DISTRIBUIÇÃO DE POISSONPROFESSOR(A):JANAINA F. LACERDA

Distribuição de Poisson

• Distribuição discreta de probabilidade aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado

TAXA

Exemplos

• usuários de computador ligados na internet• clientes chegando ao caixa de um supermercado• acidentes com automóveis em uma determinada estrada• Número de carros que chegam a um posto de gasolina• Número de aviões sequestrados em um dia• Número de falhas em componentes por unidade de tempo• Número de requisições para um servidor em um intervalo de tempo t• Número de peças defeituosas substituídas num veículo durante o

primeiro ano de vida

• Em todas estas situações, temos um conjunto de ocorrências que satisfazem as seguintes condições:

• o número de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo (espaço) é independente do número de ocorrências do evento em qualquer outro intervalo disjunto –ocorrências independentes umas das outras

• a probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente zero• o número médio de ocorrências por unidade de tempo (espaço) é constante

ao longo do tempo (espaço) –ocorrências distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado

• o número de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração ou tamanho do intervalo; quanto maior o intervalo, maior o número de ocorrências

• Experimento ser realizado em repetições (repetitivo);

• Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli, com o detalhe de que P(sucesso) tende a ZERO;

• Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n, e que n tende a infinito;• Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de

sucessos nas n repetições.

• Nota: Pela característica da Poisson, percebe-se que são as mesmas da Binomial, com o detalhe é que:

• i) p 0,000 ;• i i) n ∞.

Por: p 0,000 diz-se que a distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros.

Na quase totalidade da Distribuição de Poisson, o valor de p depende da unidade do tempo, é preciso atentar para este fato para achar o seu valor. Por diz-se que a distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros.

• Portanto:• A variável aleatória X é o nº de ocorrências do evento no

intervalo• O intervalo pode ser o tempo, a distância, a área, o

volume ou outra unidade análoga.

• Esta distribuição representa a probabilidade de que um evento ocorra um nº especificado de vezes em um intervalo de tempo (espaço), quando a taxa de ocorrência é fixa .

• x = valor da v. a. node ocorrências do evento em um intervalo• λ= taxa de ocorrência do evento x (nº esperado(MÉDIA) de

eventos)• e ≈2,71828 (constante natural)

Exemplo 1:

• Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto?

Exemplo 2:

O número de falhas em parafusos de máquinas da indústria têxtil segue a distribuição de Poisson, com média 0,1 falha por metro quadrado.• A)Qual é a probabilidade de que haja duas falhas em 1

metro quadrado de tecido?• B)Qual a probabilidade de que não haja falhas em 20

metros quadrados de tecido?• C)Qual a probabilidade de que haja no mínimo duas

falhas em 10 metros quadrados de tecido?

Reforçando....

• A distribuição de Poisson exige que:• a variável aleatória X seja o nº de ocorrências de um

evento em um intervalo• as ocorrências sejam aleatórias• as ocorrências sejam independentes umas das outras• as ocorrências tenham a mesma probabilidade sobre o

intervalo considerado

Distribuição de Poisson

Os parâmetros da Distribuição de Poisson são:

• MÉDIA= e DESVIO PADRÃO=

• A distribuição de Poisson DIFERE da Distribuição Binomial em dois aspectos:

• a binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e pela probabilidade p, enquanto a Poisson é afetada apenas pela taxa de ocorrência (média) λ

• em uma binomial, os valores possíveis da variável aleatória X são 0, 1, 2, ..., n (limite máximo), enquanto que em uma Poisson os valores possíveis de X são 0,1,2,3 ... (sem limite superior)

Observação Final

• Podemos utilizar a Distribuição de Poisson como uma aproximação da Distribuição Binomial quando:

• “n” é grande e “p”, muito pequeno• •n ≥100 e n.p ≤10 (regra empírica)• Ao utilizarmos Poisson como aproximação da Binomial,

podemos achar o valor de λ pela fórmula:• λ= n . p

Suponha que 10% das crianças de um determinado bairro do Rio de Janeiro prefiram sorvete de baunilha ao de chocolate, qual a probabilidade de que se entrevistarmos 10 crianças deste bairro que exatamente 2 duas prefiram soverte de baunilha?• Podemos resolver este problema de duas formas de mais

exata que seria pela binomial o qual p=0,1 e n=10 ou pela distribuição de Poisson, o qual embora não seja tão exata quanto a binomial, é bem mais simples de ser calculada. Embora pelo método de Poisson tenhamos um erro este erro em muitos casos não chega a ser significativo.