Distribuiçoes Amostrais e Estimacao de Parâmetros

7/21/2019 Distribuioes Amostrais e Estimacao de Parmetros

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Estatstica para Cursos de Engenharia eEstatstica para Cursos de Engenharia eInformticaInformtica

Pedro Alberto Barbetta / Marcelo Menezes Reis / Antonio Cezar Bornia

So Paulo: Atlas, 2004

--

BARBETTA, REIS e BORNIA Estatstica para Cursos de Engenharia e Informtica. Atlas, 2004

..ee EstimaoEstimaodedeParmetrosParmetros

APOIO:Fundao de Apoio Pesquisa Cientfica e Tecnolgica do Estado de Santa Catarina(FAPESC)Departamento de Informtica e Estatstica UFSC (INE/CTC/UFSC)


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Amostragem e Inferncia estatsticaAmostragem e Inferncia estatsticaPOPULAO: todos

os possveisconsumidoresAMOSTRA: um

subconjunto dos

amostragem

Ex.


consum ores

inferncia


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ConceitosConceitos Parmetro: alguma medida descritiva (mdia, varincia, proporo,

etc.) dos valores x1, x2, x3,..., associados populao.

Amostra aleatria simples: conjunto de nvariveis aleatrias

independentes {X1, X2, ..., Xn}, cada uma com a mesma distribuio

de probabilidades de uma certa varivel aleatria X. Esta distribuio


e pro a a es eve correspon er s r u o e req nc as osvalores da populao (x1, x2, x3, ...).

Estatstica: alguma medida descritiva (mdia, varincia, proporo,

etc.) das variveis aleatrias X1, X2, ..., Xn, associadas amostra


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Parmetros e EstatsticasParmetros e Estatsticas

Amostra(X1,X2, ...,Xn)

Populao(x1, x2, x3,...,xN)

Parmetros Estatsticas


N

atributoocomelementosdenp

o

=n

atributoocomelementosdenP

o

=

==

N

i i

xN 1

1

==n

iiXnX 1

1

( )=

=

N

iix

N 1

22 1 ( )=

=

n

ii XX

nS

1

22

1

1

Proporo

Mdia

Varincia


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Exemplos de parmetrosExemplos de parmetros X varivel aleatria contnua com funo de densidade f

Mdia ou valor esperado:


Varincia:

22 )()( = XEXV

= dxxfxXE )()( 2ou: onde:


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Exemplos de estatsticasExemplos de estatsticas (X1, X2,..., Xn): uma amostra aleatria simples da

populao caracterizada por X.

Mdia : =

=+++

=

n

i

in X

nn

XXXX

1

21 1...


Varincia: ( )=

=

n

i

i XXn

S1

22

1

1

Uma estatstica uma varivel aleatria e a sua distribuio deprobabilidades chamada de distribuio amostral.


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EstatsticasEstatsticas (x1, x2,..., xn): amostra efetivamente observada.

Mdia : =

=+++

=

n

i

in x

nn

xxxx

1

21 1...


Varincia: ( )=

=n

ii xx

ns

1

22

11

=

=2

1

22

1

1

xnxns

n

iiou:


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Ex. 7.2Ex. 7.2 Populao: {2, 3, 4, 5}

Parmetros:

p(x)


5,34

15

4

14

4

13

4

12)( =+++== XE

( ) [ ] 25,1)5,35()5,34()5,33()5,32(4

1.)( 2222

1

22=+++===

=

N

i

ii pxXV

x2 3 4 5


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Distribuio da mdia amostral (Ex. 7.2)Distribuio da mdia amostral (Ex. 7.2)

p(x)

Distribuio dapopulao

Distribuio damdia amostral


)(xp

x2 3 4 5x2 3 4 5

E(X) = 3,5

5,3)( =XE


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Mdia e varincia da mdia amostral (Ex. 7.2)Mdia e varincia da mdia amostral (Ex. 7.2)

( ) 5,316

15

16

25,4

16

34

16

45,3

16

33

16

25,2

16

12 =

+

+

+

+

+

+

=XE


625,016

1)5,35(...

16

2)5,35,2(

16

1)5,32()( 222 =+++=XV


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Distribuio amostral da mdiaDistribuio amostral da mdia

Amostra:

Populao: NelementosX: varivel quantitativa

Amostragem

aleatria simples


1, 2, ..., n =E(X),2 = V(X)

Estatsticas:X pode ser vista como uma varivel

aleatria se considerar a distribuio de

freqncias da populao como uma

distribuio de probabilidades a

distribuio da populao.

==n

iiXnX 1

1

( )=

=

n

ii XX

nS

1

22

1

1


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Exemplo de motivaoExemplo de motivao

Populao X uniforme em [0, 1].

=

],[para,0

],[para,1

)(

x

xxf

Lembrando:

X uniforme em [, ].

1


x0

f(x)

1

2)( +=XE

( )12

)(

2

=XV

2

=

12

1)( =XV

Simular dados numa numaplanilha eletrnica e calcular

estatsticas.


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Mdia e varincia da mdia amostralMdia e varincia da mdia amostral

=)(XE

2

Seja a populao com mdia e varincia 2.


n= se a amos ragem or com repos o,

ouNmuito grande ou infinito

1)(

2

=N

nN

nXV

se a amostragem for sem reposio e

Nno muito grande,N< 20n


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Distribuio da mdia amostralDistribuio da mdia amostral

(Teorema do limite central) Se o tamanho da amostra forrazoavelmente grande, ento a distribuio amostral da

mdia pode ser aproximada pela distribuio normal.



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Distribuio da mdia amostralDistribuio da mdia amostral Populao Amostra

=

=

n

iiX

nX

1

1


=)(XE

2)( =XV

=)(XDP

=)(XE

nXV

2)( =

nXDP

=)(


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Populao de tamanho NPopulao de tamanho NPopulao dos salrios dos empregados

de certo setor da economia (N =1.000)

Distribuio de freqncias de mdias

de amostras de tamanho n = 100

BARBETTA, REIS e BORNIA Estatstica para Cursos de Engenharia e Informtica. Atlas,2004

=)(XE

1)(

2

=N

nN

nXV

1)(

=

N

nN

n

XDP

=)(XE

2)( =XV

=)(XDP


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Distribuio da populao (caso de proporo)Distribuio da populao (caso de proporo)

x p(x)

0

1

1 p

p


=p

2 = p(1 p)

Mdia e varincia:


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Distribuio da proporo amostralDistribuio da proporo amostral Se o tamanho da amostra for razoavelmente grande,

ento a distribuio amostral da proporo pode seraproximada pela distribuio normal.


OBS. Se nfor pequeno, a distribuio exata binomial ouhipergeomtrica (dependendo se a amostragem for com

ou semreposio)


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AMOSTRA

POPULAO

p = ?

Estimao de ParmetrosEstimao de Parmetros


X1 X2 X3 ...Observaes: p

p = erro amostralp


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Estimao de parmetros:Estimao de parmetros:

intervalo de confiana para proporointervalo de confiana para proporo

Com dados de uma amostragem aleatria simples com

reposio (ou sem reposio, mas com N >> n), tem-se umintervalo de confiana parap, com nvel de confiana :


n

ppzppIC )1(

),( =


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intervalo de confiana para mdiaintervalo de confiana para mdia

= mdia na populao (parmetro que se quer estimar)

= mdia na amostra (pode ser calculada com base na amostra)x


= erro-padro da mdia.X

nX

=


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Caso o desvio padro (populacional) seja conhecido:


nzxI =

,


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Caso o desvio padro (populacional) no seja conhecido:

uso da distribuio t de Student.



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A distribuioA distribuio tt dede StudentStudent Supondo a populao com distribuio normal, a

estatstica

nS

XT

=


tem distribuio de probabilidades conhecida como

distribuio t de Student, com gl = n 1 graus de

liberdade.


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T h d tT h d t


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Tamanho de amostraTamanho de amostra

Na fase do planejamento da pesquisa, muitas vezes

precisamos calcular o tamanho nda amostra, paragarantir uma certa preciso desejada, a qual descrita em

termos do erro amostral mximo tolerado(E0,) e do nvel


de confiana ( ) a ser adotado no processo de estimao.

Suponha amostragem aleatria simples


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T h i d t l t i i lT h i d t l t i i l


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Tamanho mnimo de uma amostra aleatria simplesTamanho mnimo de uma amostra aleatria simples

E

z=n

02

22

0

( )

E

ppz=n

02

2

0

1

Parmetro de interesse Valor inicial do tamanho da amostra

uma mdia ():

uma proporo (p):


Ez=n4 0

2

2

0

0nn =

10

0

nN +

nN.n =

vrias propores (p1,p

2, ...):

Tamanho da amostra

Populao infinita: (arredondamento para

o inteiro superior)

Populao de tamanhoN: (arredondamento parao inteiro superior)

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