Distribuições de Probabilidade Discretascmq.esalq.usp.br/BIE5781/lib/exe/fetch.php?media=01-discretas:01... · Distribuições de Probabilidade Discretas Who? PauloInácioK.L.PradoeJoãoL.F.Batista

Distribuições deProbabilidade Discretas

Who? Paulo Inácio K.L. Prado e João L.F. Batista

From? BIE-5781 Modelagem Estatística em Ecologia e Recursos Naturais

When? setembro de 2016

Conceitos

Variável aleatóriaDistribuição de ProbabilidadeFunção de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumuladaDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Conceitos

Variável aleatória

Distribuição de ProbabilidadeFunção de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumuladaDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Conceitos

Variável aleatóriaDistribuição de Probabilidade

Função de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumuladaDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Conceitos

Variável aleatóriaDistribuição de ProbabilidadeFunção de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumulada

Distribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Conceitos

Variável aleatóriaDistribuição de ProbabilidadeFunção de densidade probabilísticaFunção de distribuição ou probabilidade acumuladaDistribuição BernoulliDistribuição BinomialDistribuição PoissonDistribuição GeométricaDistribuição Binomial Negativa

Uma teoria da variabilidade

Variávelaleatória:

Qualquer resultado que possa variar entre observações.

Exemplo: Número de fêmeas em ninhadas de Callithrix jacchus :zero, uma ou duas.

Probabilidade: medida da incerteza/chance de se observar um resultado.

Distribuição deProbabilidades x = 0→ 1

4

x = 1→ 12

x = 2→ 14







4

x = 1→ 12

x = 2→ 14







4

x = 1→ 12

x = 2→ 14







4

x = 1→ 12

x = 2→ 14







4

x = 1→ 12

x = 2→ 14

Distribuição de Probabilidades

Função

Uma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.

Esquema

INTERVALO

0

1

x

x

x

1

2

3

N

ix

x4

p

p

p

p

1

2

3

4

i

N

p

AMOSTRALESPACO

x

p


Função

Uma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.

Esquema

INTERVALO

0

1

x

x

x

1

2

3

N

ix

x4

p

p

p

p

1

2

3

4

i

N

p

AMOSTRALESPACO

x

p


FunçãoUma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.

Esquema

INTERVALO

0

1

x

x

x

1

2

3

N

ix

x4

p

p

p

p

1

2

3

4

i

N

p

AMOSTRALESPACO

x

p


FunçãoUma Distribuição de Probabilidades éuma função matemática.

Esquema

INTERVALO

0

1

x

x

x

1

2

3

N

ix

x4

p

p

p

p

1

2

3

4

i

N

p

AMOSTRALESPACO

x

p

Classes de Variáveis Quantitativas

VariáveisDiscretas

Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:

finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.

Variáveis obtidas por:

enumeração,contagem.


VariáveisDiscretas

Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:





VariáveisDiscretas Os valores possíveis estão no conjunto dos

NÚMEROS INTEIROS.

O tamanho do conjunto é:






NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:






NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.

infinito contável se todos números interios.





NÚMEROS INTEIROS.O tamanho do conjunto é:finito se for um sub-conjunto dos números interios.infinito contável se todos números interios.











Variáveis obtidas por:enumeração,

contagem.




Variáveis obtidas por:enumeração,contagem.


VariáveisContínuas

Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.


medição.

EspaçoAmostral

Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.


VariáveisContínuas

Os valores possíveis estão no conjunto dosNÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.


medição.

EspaçoAmostral



VariáveisContínuas Os valores possíveis estão no conjunto dos

NÚMEROS REAIS.

O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.


medição.

EspaçoAmostral




NÚMEROS REAIS.O tamanho do conjunto dos valores possíveis é sempreinfinito incomensurável.


medição.

EspaçoAmostral






medição.

EspaçoAmostral





Variáveis obtidas por:medição.

EspaçoAmostral






EspaçoAmostral






EspaçoAmostral Tanto para variáveis discretas quanto contínuas,

Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.






Chama-se o conjunto de valores possíveis de

Espaço Amostral.






Chama-se o conjunto de valores possíveis deEspaço Amostral.

Exemplos de Espaços Amostrais

V. Discretas

Número de caras no lançamento de duas moedas:

S = {0, 1, 2}

Número de plântulas numa parcela:

S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas

Peso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)

Diâmetro de árvores em levantamento com diâmetromínimo de medição de 5 cm:

S = {d} | d ∈ [5,+∞)

Exemplos de Espaços AmostraisV. Discretas


S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas



S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas



S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas



S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. Contínuas



S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. ContínuasPeso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)


S = {d} | d ∈ [5,+∞)



S = {0, 1, 2}


S = N = {0, 1, 2, 3, . . .}

V. ContínuasPeso de peixe: S = {w} |w ∈ [0,+∞)


S = {d} | d ∈ [5,+∞)


FunçãoMatemática

Para uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:

cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].

Probabilidade


cada valor possível da variávelcom uma probabilidade desse valor ser observado.


FunçãoMatemática Para uma variável discreta,

a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].

Probabilidade




FunçãoMatemática Para uma variável discreta,

a Distribuição de Probabilidades associa:cada (e todos) elemento do Espaço Amostralcom um número real no intervalo [0, 1].

ProbabilidadePara uma variável discreta,a Distribuição de Probabilidades associa:


Exemplo de Distribuição de Probabilidades

Situação

Uma ninhada de 2 filhotes de sagui.Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.

VariávelDiscreta

X = número de fêmeas na ninhada.

EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2


Situação

Uma ninhada de 2 filhotes de sagui.Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.

VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2


SituaçãoUma ninhada de 2 filhotes de sagui.

Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.

VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2


SituaçãoUma ninhada de 2 filhotes de sagui.Cada filhote tem chance de 50% de ser fêmea.

VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2



VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2



VariávelDiscreta


EspaçoAmostral

x ∈ S = {0, 1, 2} ou x = 0, 1, 2


Função

Função de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):

f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25


Função

Função de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):

f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25


FunçãoFunção de densidade probabilística ou

Função de massa probabilística (Rice, 1995):

f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25


FunçãoFunção de densidade probabilística ouFunção de massa probabilística (Rice, 1995):

f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25



f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidades

x = 0→ f(0) = P (X = 0) = 14 = 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25



f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2

Probabilidadesx = 0→ f(0) = P (X = 0) = 1

4 = 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25



f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2


4 = 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25



f(x) = P (X = x) x = 0, 1, 2


4 = 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) = 12 = 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) = 14 = 0, 25

Função de Densidade Probabilística

Função Função de densidade probabilística:

f(x) = P (X = x), x ∈ S (espaço amostral)

Propriedades

Valores no intervalo [0, 1]:

0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.

A soma das probabilidades é igual a 1:∑x∈S

f(x) = 1.




Propriedades


0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.


f(x) = 1.




Propriedades


0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.


f(x) = 1.




PropriedadesValores no intervalo [0, 1]:

0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.


f(x) = 1.





0 ≤ f(x) ≤ 1 para x ∈ S.


f(x) = 1.

A Soma das Probabilidades no EspaçoAmostral

Exemplo daNinhada

x = 0→ f(0) = P (X = 0) =1

4= 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) =1

2= 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) =1

4= 0, 25

2∑x=0

f(x) = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, 000

A Soma das Probabilidades no EspaçoAmostral

Exemplo daNinhada

x = 0→ f(0) = P (X = 0) =1

4= 0, 25

x = 1→ f(1) = P (X = 1) =1

2= 0, 50

x = 2→ f(2) = P (X = 2) =1

4= 0, 25

2∑x=0

f(x) = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1, 000

Gráfico da Função de DensidadeProbabilística

Exemplo daNinhada

0 1 2

Número de Fêmeas

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Gráfico da Função de DensidadeProbabilística

Exemplo daNinhada

0 1 2

Número de Fêmeas

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Função de Distribuição

Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição ouprobabilidade acumulada

A Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S

V. Discreta: sequência ordenada (crescente) dex = {x1, x2, . . . , xn, . . .}:

F (xn) =

n∑i=0

P (X = xi) =

n∑i=0

f(xi), xi ∈ S


Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição ouprobabilidade acumulada

A Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S


F (xn) =

n∑i=0

P (X = xi) =

n∑i=0

f(xi), xi ∈ S


Outra Função Outra forma de representar a distribuição deprobabilidades é a Função de Distribuição ouprobabilidade acumuladaA Função de Distribuição de x informa a probabilidade“acumulada até x”

F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S


F (xn) =

n∑i=0

P (X = xi) =

n∑i=0

f(xi), xi ∈ S



F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S


F (xn) =

n∑i=0

P (X = xi) =

n∑i=0

f(xi), xi ∈ S



F (x) = P (X ≤ x), x ∈ S


F (xn) =

n∑i=0

P (X = xi) =

n∑i=0

f(xi), xi ∈ S

Propriedades da Função de Distribuição

Propriedades


0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.

Função monotonicamente crescente:

x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)

Valor unitário para o maior valor no espaço amostral:

F (max{x ∈ S}) = 1


Propriedades


0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.


x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)


F (max{x ∈ S}) = 1



0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.


x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)


F (max{x ∈ S}) = 1



0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.


x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)


F (max{x ∈ S}) = 1



0 ≤ F (x) ≤ 1 para x ∈ S.


x1 < x2 < x3 ⇒ F (x1) ≤ F (x2) ≤ F (x3)


F (max{x ∈ S}) = 1

Gráfico da Função de Distribuição

Exemplo daNinhada

0 1 2

Número de Fêmeas

Pro

babi

lidad

e ac

umul

ada

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Gráfico da Função de Distribuição

Exemplo daNinhada

0 1 2

Número de Fêmeas

Pro

babi

lidad

e ac

umul

ada

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Esperança e Variância

Propriedades

Há duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:

Esperança ou Valor EsperadoVariância

Esperança

A esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Variável discreta X:

E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)


Propriedades

Há duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:


Esperança


E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)


PropriedadesHá duas propriedades das distribuições de probabilidadeque são importantes na inferência estatística:


Esperança


E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)




EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.

Variável discreta X:

E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)




EsperançaA esperança pode ser interpretada como o “valor médio”da variável.Variável discreta X:

E[X] =∑x∈S

x f(x) =∑x∈S

xP (X = x)


Variância

A variância pode ser interpretada como a dispersão dosvalores ao redor da esperança.Variável discreta X:

Var[X] =∑x∈S

(x−E[X])2 f(x)

=∑x∈S

(x−E[X])2 P (X = x)

= E[(X −E[X])2]

= E[X2]− (E[X])2


Variância

A variância pode ser interpretada como a dispersão dosvalores ao redor da esperança.Variável discreta X:

Var[X] =∑x∈S

(x−E[X])2 f(x)

=∑x∈S

(x−E[X])2 P (X = x)

= E[(X −E[X])2]

= E[X2]− (E[X])2


VariânciaA variância pode ser interpretada como a dispersão dosvalores ao redor da esperança.

Variável discreta X:

Var[X] =∑x∈S

(x−E[X])2 f(x)

=∑x∈S

(x−E[X])2 P (X = x)

= E[(X −E[X])2]

= E[X2]− (E[X])2


VariânciaA variância pode ser interpretada como a dispersão dosvalores ao redor da esperança.Variável discreta X:

Var[X] =∑x∈S

(x−E[X])2 f(x)

=∑x∈S

(x−E[X])2 P (X = x)

= E[(X −E[X])2]

= E[X2]− (E[X])2

Exemplo da Ninhada: Número de Machos

Esperança

E[X] =2∑

x=0

x f(x)

= 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4)

= 1, 0

Variância

Var[X] =2∑

x=0

(x−E[X])2 f(x)

= (0− 1)2(1/4) + (1− 1)2(1/2)

+ +(2− 1)2(1/4)

= 0, 50


Esperança

E[X] =

2∑x=0

x f(x)

= 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4)

= 1, 0

Variância

Var[X] =2∑

x=0

(x−E[X])2 f(x)

= (0− 1)2(1/4) + (1− 1)2(1/2)

+ +(2− 1)2(1/4)

= 0, 50


Esperança

E[X] =

2∑x=0

x f(x)

= 0(1/4) + 1(1/2) + 2(1/4)

= 1, 0

Variância

Var[X] =2∑

x=0

(x−E[X])2 f(x)

= (0− 1)2(1/4) + (1− 1)2(1/2)

+ +(2− 1)2(1/4)

= 0, 50

Exemplo da Ninhada: Variância 2

Variância 2

Var[X] = E[X2]− (E[X])2

E[X] = 1, 0

E[X2] =2∑

x=0

x2 f(x)

= 02(1/4) + 12(1/2) + 22(1/4)

= 1, 5

Var[X] = 1, 5− 12 = 0, 50


Variância 2

Var[X] = E[X2]− (E[X])2

E[X] = 1, 0

E[X2] =2∑

x=0

x2 f(x)

= 02(1/4) + 12(1/2) + 22(1/4)

= 1, 5

Var[X] = 1, 5− 12 = 0, 50


Variância 2

Var[X] = E[X2]− (E[X])2

E[X] = 1, 0

E[X2] =

2∑x=0

x2 f(x)

= 02(1/4) + 12(1/2) + 22(1/4)

= 1, 5

Var[X] = 1, 5− 12 = 0, 50

Distribuição Bernoulli

Ensaio

Bernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.

Variável Binária

Dois resultados possíveis:

fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.

Parâmetro: a probabilidade de sucesso (p).


EnsaioBernoulli é a distribuição de probabilidades mais simplesdentre as variáveis discretas.Mais que uma distribuição, é interessante vê-la como umensaio com resultado estocástico.A partir desse ensaio aleatório pode se conceituardiversas distribuições de probabilidades de variáveisdiscretas.

Variável Binária

Dois resultados possíveis:





Variável BináriaDois resultados possíveis:





Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.

sucesso (X = 1): o evento ocorre.




Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.




Variável BináriaDois resultados possíveis:fracasso (X = 0): o evento não ocorre.sucesso (X = 1): o evento ocorre.


Distribuição Bernoulli: Apresentação Formal

Descrição Função de Densidade:

f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

Resultados

Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p

Função deDistribuição F (x) = (1− p)1−x, x = 0, 1

Propriedades

Esperança: E[X] = p

Variância: Var[X] = p (1− p)



f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

Resultados

Fracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p


Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.

ResultadosFracasso: f(0) = P (X = 0) = (1− p)Sucesso: f(1) = P (X = 1) = p


Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.



Propriedades





f(x) = px(1− p)1−x, x = 0, 1.



PropriedadesEsperança: E[X] = p


Distribuição Binomial

Situação

Uma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p

Variável

X = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:

N de caras em 10 lançamentos de moedaN de mulheres em famílias de 5 filhosN de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)


Situação

Uma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p

Variável


Exemplos:



SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentes

Parâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p

Variável


Exemplos:



SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: n

Parâmetro probabilidade de sucesso constante: p

Variável


Exemplos:



SituaçãoUma série de n de ensaios Bernoulli independentesParâmetro tamanho da série: nParâmetro probabilidade de sucesso constante: p

Variável


Exemplos:




VariávelX = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:




VariávelX = o número de sucessos nos n ensaiosespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:N de caras em 10 lançamentos de moedaN de mulheres em famílias de 5 filhosN de cobaias mortos em bioensaio (dose-resposta)

Gráfico: Distribuição Binomial

Função dedensidade

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

p = 0,1

x

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

p = 0,5

x

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30



0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

p = 0,9

x

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

Distribuição Binomial: Apresentação Formal

Descrição Função de densidade:

f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros

Tamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.

Função deDistribuição

F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades

Esperança: E[X] = n p

Variância: Var[X] = n p (1− p)

Distribuição Binomial: Apresentação FormalDescrição Função de densidade:

f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros



F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

Parâmetros



F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);

Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.


F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n

ParâmetrosTamanho da amostra: n (número de ensaios);Probabilidade de sucesso em cada ensaio: p.


F (x) =x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n



F (x) =

x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n



F (x) =

x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

Propriedades




f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n



F (x) =

x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

PropriedadesEsperança: E[X] = n p



f(x) =

(n

x

)px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n



F (x) =

x∑k=0

(n

k

)pk(1− p)n−k, x = 0, 1, 2, . . . , n

PropriedadesEsperança: E[X] = n p


Distribuição Poisson

Situação

Contagem de eventos independentes.A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço.Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade.Esta taxa é o único parâmetro, λ.

Variável

X = o número de eventos em cada unidade.espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:

N de árvores por parcelaN de capturas por unidade de tempoN bombas V1 por área em Londres 1

1R.D. Clarke 1946, Journal of the Institute of Actuaries,72,481.


Situação

Contagem de eventos independentes.A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço.Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade.Esta taxa é o único parâmetro, λ.

Variável


Exemplos:




SituaçãoContagem de eventos independentes.A contagem é por unidade de tempo e/ou espaço.Os eventos ocorrem a uma taxa constante por unidade.Esta taxa é o único parâmetro, λ.

Variável


Exemplos:





VariávelX = o número de eventos em cada unidade.espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:





VariávelX = o número de eventos em cada unidade.espaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:N de árvores por parcelaN de capturas por unidade de tempoN bombas V1 por área em Londres 1


Gráfico: Distribuição Poisson


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15

λ = 1

x

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15

λ = 3

x

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15

λ = 6

x

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

Distribuição Poisson: Apresentação Formal

Função dedensidade f(x) =

λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .

Parâmetro λ: valor esperado da contagem

Função dedistribuição

F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança: E[X] = λ

Variância: Var[X] = λ

Parâmetro λ = Esperança = Variância



λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades






λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades






λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .

PropriedadesEsperança: E[X] = λ





λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .






λx e−λ

x!, x = 0, 1, 2, . . .



F (x) =

x∑k=0

λk e−λ

k!, x = 0, 1, 2, . . .




Exemplo de Distribuição Poisson

Situação Número de bombas V1 que caíram no sul de Londresdurante a II Guerra:λ = 535 bombas/576 quadrículas ' 0, 929/quadr.

0 1 2 3 4 5 6

ObsPoisson

λ = 535/576

N de bombas

Pro

porç

ão d

as q

uadr

ícul

as

0.0

0.1

0.2

0.3

Exemplo de Distribuição PoissonSituação Número de bombas V1 que caíram no sul de Londres

durante a II Guerra:λ = 535 bombas/576 quadrículas ' 0, 929/quadr.

0 1 2 3 4 5 6

ObsPoisson

λ = 535/576

N de bombas

Pro

porç

ão d

as q

uadr

ícul

as

0.0

0.1

0.2

0.3

Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomialquando:o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n→∞).a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.

0 1 2 3 4 5 6 7

Binomial, N = 200, p = 0,01Poisson, λ = 2

Binomial x Poisson

x

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Formalmente:

limn→∞p→0

f(x) = limn→∞p→0

(n

x

)px(1− p)n−x =

λx e−λ

x!

Caso Limite A Poisson é um caso limite da distribuição binomialquando:o tamanho da amostra (n) tende a infinito (n→∞).a probabilidade de sucesso (p) tende a zero (p→ 0).Mas o valor esperado permanece constante: n p = λ.

0 1 2 3 4 5 6 7


Binomial x Poisson

x

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Formalmente:

limn→∞p→0


(n

x

)px(1− p)n−x =

λx e−λ

x!

Caso-limite

limn→∞p→0


(n

x

)px(1− p)n−x =

λx e−λ

x!

0 1 2 3 4 5 6 7


Binomial x Poisson

x

Pro

babi

lidad

e

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

Distribuição Geométrica

Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes.O único parâmetro é a probabilidade de sucesso porensaio (p, constante).

Variável

X =número de fracassos até o primeiro sucessoespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:

Tempo de vida em unidades discretasN de inspeções até encontrar algoN de carnavais até o divórcio



VariávelX =número de fracassos até o primeiro sucessoespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:

Tempo de vida em unidades discretasN de inspeções até encontrar algoN de carnavais até o divórcio



VariávelX =número de fracassos até o primeiro sucessoespaço amostral: x = 0, 1, 2, . . . , n

Exemplos:Tempo de vida em unidades discretasN de inspeções até encontrar algoN de carnavais até o divórcio

Gráfico: Distribuição Geométrica


0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29

p = 0,2

x

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4



0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29

p = 0,3

x

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4



0 2 4 6 8 11 14 17 20 23 26 29

p = 0,4

x

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribuição Geométrica: ApresentaçãoFormal

Função dedensidade f(x) = p(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .

Função dedistribuição F (x) = 1− (1− p)x+1, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2




Propriedades

Esperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2




PropriedadesEsperança:

E[X] =1

p

Variância:Var[X] =

1− pp2

Exemplo de Distribuição Geométrica

Situação Tabela de vida de uma coorte de Vanellus vanellus(Haldane 1953)593 aves anilhadas, recontadas a cada anoTempo médio de vida: 2,77 anosp = 2, 77−1 = 0, 65782

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

ObsGeométrica

p = 0,658

Anos

Pro

porç

ão s

obre

vive

nte

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Exemplo de Distribuição GeométricaSituação Tabela de vida de uma coorte de Vanellus vanellus

(Haldane 1953)593 aves anilhadas, recontadas a cada anoTempo médio de vida: 2,77 anosp = 2, 77−1 = 0, 65782

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

ObsGeométrica

p = 0,658

Anos

Pro

porç

ão s

obre

vive

nte

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Distribuição Binomial Negativa

Situação Sequência de ensaios Bernoulli independentes (generalizaa geométrica).

Variável X = número de fracassos até o nésimo sucesso.

Parâmetros

n: número de sucessosp: probabilidade de sucesso (constante)

Exemplos:

N de tentativas até conseguir duas carasN de tentativas até seu personagem morrer no gameEm biologia mais usada para descrever agregações (embreve)




Parâmetros


Exemplos:





Parâmetros


Exemplos:





Parâmetrosn: número de sucessosp: probabilidade de sucesso (constante)

Exemplos:





Parâmetrosn: número de sucessosp: probabilidade de sucesso (constante)

Exemplos:N de tentativas até conseguir duas carasN de tentativas até seu personagem morrer no gameEm biologia mais usada para descrever agregações (embreve)

Gráfico: Distribuição Binomial Negativa


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p = 0,5 n = 2

N ensaios

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p = 0,7 n = 2

N ensaios

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

p = 0,7 n = 4

N ensaios

Pro

babi

lidad

e

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distribuição Binomial Negativa:Apresentação Formal


f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .


F (x) =x∑k=0

(n+ k − 1

k

)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .



f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x, x = 0, 1, 2, . . .


F (x) =

x∑k=0

(n+ k − 1

k

)pn(1− p)k, x = 0, 1, 2, . . .


PropriedadesEsperança:

E[X] =n(1− p)

p

Variância:Var[X] =

n(1− p)p2

Binomial Negativa × Geométrica

Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.

Função de densidade quando n = 1:

f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x = p(1− p)x


Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.

Função de densidade quando n = 1:

f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x = p(1− p)x


Caso Particular A distribuição geométrica é um caso particular dadistribuição binomial negativa.Função de densidade quando n = 1:

f(x) =

(n+ x− 1

x

)pn(1− p)x = p(1− p)x

Binomial Negativa:Parametrização Alternativa

Situação Dados de contagem de eventos agregados

Agregação: variância maior que a médiaExemplos:

número de árvores por parcelanúmero de plântulas por parcelacapturas por armadilha

Parâmetros

valor esperado (contagem média) E[X] = µ

parâmetro de dispersão: k

Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p


Situação Dados de contagem de eventos agregadosAgregação: variância maior que a médiaExemplos:


Parâmetros

valor esperado (contagem média) E[X] = µ


Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p




Parâmetrosvalor esperado (contagem média) E[X] = µ


Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p




Parâmetrosvalor esperado (contagem média) E[X] = µ


Relações

n = k ; p =k

k + µ⇐⇒ k = n ; µ =

n(1− p)p

Binomial Negativa:Parametrização Alternativa (cont.)


f(x) =Γ(k + x)

Γ(k)x!

(k

k + µ

)k ( µ

k + µ

)x, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança: E[X] = µ

Variância:

Var[X] =n(1− p)

p2= µ+

µ2

k



f(x) =Γ(k + x)

Γ(k)x!

(k

k + µ

)k ( µ

k + µ

)x, x = 0, 1, 2, . . .

Propriedades

Esperança: E[X] = µ

Variância:

Var[X] =n(1− p)

p2= µ+

µ2

k



f(x) =Γ(k + x)

Γ(k)x!

(k

k + µ

)k ( µ

k + µ

)x, x = 0, 1, 2, . . .

PropriedadesEsperança: E[X] = µ

Variância:

Var[X] =n(1− p)

p2= µ+

µ2

k

Distribuições de probabilidade no RBinomial

dbinom(x, size, prob, log = FALSE)

pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE,log.p = FALSE)

qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE,log.p = FALSE)

rbinom(n, size, prob)

Poissondpois(x, lambda, log = FALSE)

ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, log.p =FALSE)

qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, log.p =FALSE)

rpois(n, lambda). . .

Resumo

Distribuições de Probabilidade são funções que associamos valores de uma variável quantitativa comprobabilidades.As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:

discretascontínuas

Uma mesma distribuição de probabilidade pode serdefinida por duas funções:

Função de DensidadeFunção de Distribuição

Os parâmetros controlam o comportamento dadistribuição.

Resumo

Distribuições de Probabilidade são funções que associamos valores de uma variável quantitativa comprobabilidades.

As variáveis quantitativas podem ser de dois tipos:

discretascontínuas




Resumo


discretascontínuas




Resumo


discretascontínuas




Resumo


discretascontínuas




Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outras.Algumas distribuições são casos limites de outras.Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.

Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outras.

Algumas distribuições são casos limites de outras.Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.

Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outras.Algumas distribuições são casos limites de outras.

Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.

Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outras.Algumas distribuições são casos limites de outras.Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.

Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.

Resumo (cont.)

Algumas distribuições são casos especiais de outras.Algumas distribuições são casos limites de outras.Média e variância não são parâmetros de todas asdistribuições mas podem ser expressas como funçõesdesses.Uma mesma distribuição pode ter aplicações muitodiferentes daquela que a originou.

E agora?

1 Faça os tutoriais sobre distribuições discretas(http://cmq.esalq.usp.br/BIE5781/);

2 Leia pelo menos os textos básicos da unidade;3 Se der tempo comece a fazer os exercícios no notaR

(201.1 a 201.4)4 Traga suas questões para a próxima aula.

http://cmq.esalq.usp.br/BIE5781/

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Distribuições de Probabilidade Discretascmq.esalq.usp.br/BIE5781/lib/exe/fetch.php?media=01-discretas:01... · Distribuições de Probabilidade Discretas Who? PauloInácioK.L.PradoeJoãoL.F.Batista