DIVAGAÇÕES SOBRE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA E O spiem.pt/DOCS/ATAS_ENCONTROS/2002/2002_02_  · adição

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    Divagaes sobre investigao matemtica e o seu papel na aprendizagem da matemtica Carlos A. Braumann Centro de Investigao em Matemtica e Aplicaes1 Universidade de vora braumann@uevora.pt

    Introduo

    O XI Encontro de Investigao em Educao Matemtica escolheu como tema a investigao na aprendizagem da Matemtica e na formao de professores. Considero este tema da maior importncia. Por isso e por ser professor e investigador por vocao, quando a comisso organizadora me pediu um testemunho sobre a investigao matemtica e sobre o seu papel na aprendizagem da matemtica, aceitei entusiasmado e agradecido.

    Aprender Matemtica no simplesmente compreender a Matemtica j feita, mas ser capaz de fazer investigao de natureza matemtica (ao nvel adequado a cada grau de ensino). S assim se pode verdadeiramente perceber o que a Matemtica e a sua utilidade na compreenso do mundo e na interveno sobre o mundo. S assim se pode realmente dominar os conhecimentos adquiridos. S assim se pode ser inundado pela paixo detectivesca indispensvel verdadeira fruio da Matemtica. Aprender Matemtica sem forte interveno da sua faceta investigativa como tentar aprender a andar de bicicleta vendo os outros andar e recebendo informao sobre como o conseguem. Isso no chega. Para verdadeiramente aprender preciso montar a bicicleta e andar, fazendo erros e aprendendo com eles.

    H quem diga que Matemtica demonstrao. No fujamos das demonstraes. Elas so essenciais para se perceber a essncia da Matemtica e no podem ser substitudas por exemplos ou ilustraes (faz-lo induz os estudantes a pensar que tal um mtodo de demonstrao logicamente aceitvel). Quando a demonstrao seja complicada e no se queira fazer, haja a honestidade de o dizer.

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  • 6 Carlos Braumann

    Dizer que a Matemtica demonstrao verdade, uma verdade essencial, mas s uma pequena parte da verdade. Antes de demonstrar uma proposio matemtica (teorema), preciso enunciar o teorema a demonstrar. Como se chega l? Qual o interesse que tem esse teorema? Que problema que ele resolve? Que mecanismos intuitivos, associados por vezes a mtodos de tentativa e erro, que razes estticas at, nos levam a pensar que a proposio verdadeira? E, depois de sabermos o que queremos demonstrar, que estratgia usar para o demonstrar?2

    Uma outra parte da Matemtica a de construir teorias ou modelos matemticos para estudar certas realidades ou fenmenos da natureza. Esses modelos devem ser suficientemente simples para poderem ser formulados numa linguagem matemtica e ser estudados matematicamente e suficientemente apropriados para permitirem resultados teis para a compreenso do fenmeno e para a previso do seu comportamento futuro e das consequncias de uma interveno sobre o mesmo.

    Os problemas e projectos, mesmo simples, principalmente quando ligados vida quotidiana ou descrio de fenmenos naturais3, permitem o exerccio da modelao matemtica, ou seja, a transposio para uma linguagem matemtica adequada seguida do seu estudo por mtodos matemticos e da interpretao dos resultados em termos da realidade modelada. Esta componente desenvolve uma faceta investigativa aplicada essencial para perceber a funo e utilidade da Matemtica e para nos dotar de um poderoso instrumento de anlise e interveno. Desenvolve ainda o esprito cientfico e mostra que em Cincia no h compartimentos isolados e que a Matemtica alimenta e alimentada pelo desenvolvimento cientfico e tecnolgico. Esquecer esta simbiose, como frequentemente ns, professores de Matemtica, fazemos, matar a Matemtica do seu principal alimento e motivao, fazendo a Matemtica parecer um mero jogo intelectual que busca a autosatisfao dos que com ele se deleitam. No que, em si, isso tenha algum mal4. O problema est se deixamos que o ensino seja monopolizado por esse jogo, com o qual muitos se no deleitam nem vem nele qualquer interesse ou utilidade, cedo se afastando em definitivo.

    Como aprender Matemtica, o mesmo dizer, como aprender a fazer investigao matemtica? Vendo fazer e FAZENDO! A simples repetio do que vimos fazer (ainda que com mudanas cosmticas) ou o simples marrar podem ajudar a consolidar certas rotinas teis mas, s por si, no levam a carta a Garcia.

    Pediram-me para falar um pouco da minha experincia de investigador, procurando assim dar um testemunho, necessariamente de carcter pessoal, sobre a actividade de investigao matemtica. Para isso, socorrer-me-ei de dois exemplos, um muito antigo (quando era estudante do ensino secundrio), outro recente. Dar conta dos processos mentais que subjazem ao trabalho de investigao implica uma sempre difcil auto-anlise, pelo que o leitor deve olhar este relato

  • Divagaes sobre investigao 7

    como sendo aquilo que o autor julga ter ocorrido. Incluirei tambm uma referncia divulgao e validao dos resultados da investigao na comunidade cientfica.

    No resisto a terminar com algumas consideraes sobre as dificuldades que a educao matemtica actualmente atravessa.

    Um testemunho pessoal de uma investigao escolar elementar

    Uma experincia de uma investigao trivial, mas que me deu particular satisfao, vem do ensino secundrio, quando fui (h muitos anos) aluno de uma turma especial (Matemtica Moderna) para testar um novo programa curricular coordenado nacionalmente pelo Prof. Sebastio e Silva. Os nmeros complexos faziam parte do programa.

    Considere-se um complexo z=x+iy (x e y reais). Suponhamos que z0. Ento, ele pode ser representado na forma trigonomtrica cisr (representao unvoca se tomarmos r>0, 01 natural, r1/n a nica raz real positiva de ndice n de r e ( kw nk 2cis, )n/=

    n wnr /1 )/(cis

    . As n razes de ndice n de z so dadas pela expresso

    , com k=0,1,,n1 (nk ,

    )/( n

    5). Tal reconhece-se facilmente, pois

    ( ) ( ) ( ) zrkrnknnnrwnrn

    nkn ==+==

    cis2cis/2cis)/(cis/cis ,/1

    Claro que, nas aulas e nos trabalhos para casa, fizemos alguns exerccios para calcular razes de nmeros complexos concretos e, em todos os casos, verifiquei que a soma das n razes de um complexo z0 era nula. No podia ser coincidncia. Se considerarmos a interpretao geomtrica de um complexo como um vector que une a origem ao ponto que o representa no plano de Argand e a adio de complexos como a adio desses vectores, vemos que as n razes de um complexo formam (ver Figura 1) raios da circunferncia de centro na origem e raio r1/n orientados para o exterior desta e dividindo a circunferncia em n ngulos iguais. Se imaginarmos esses vectores como foras aplicadas na origem, a sua simetria circular implicaria intuitivamente que a fora resultante, a soma vectorial das foras aplicadas, tivesse um efeito nulo. Essa era uma explicao intuitiva do resultado, que reforava consideravelmente a convico da sua verdade universal, mas no era uma demonstrao.

    Claro que bastava demonstrar a propriedade para as n razes da unidade wk,n, k=0,1,,n1 (tcnica da reduo do problema a outro mais simples). Com

    efeito, as razes de z obtm-se multiplicando as da unidade pela constante . cis/1r n

  • 8 Carlos Braumann

    r1/n r

    w4,5 w3,5

    w2,5

    w1,5

    w0,5

    z=rcis

    k=0

    k=1

    k=2

    k=3 k=4

    Figura 1. As 5 razes (correspondentes a k=0,1,2,3,4) de ndice n=5 de um complexo z = r cis ( esquerda) e as 5 razes wk,5 (k=0,1,2,3,4) da unidade ( direita).

    As razes da figura esquerda obtm-se multiplicando por )/(cis/1 nr n as razes da figura direita.

    O problema reduzia-se ento a demonstrar que . 01

    0, =

    =

    n

    knkw=S

    Para n par, a demonstrao era fcil, bastando organizar as razes em pares correspondentes a vectores com sentidos opostos. Com efeito, wj,n+wj+n/2,n=0

    (j=0,1,,n/21) pois a soma de vectores de comprimento unitrio e sentidos opostos; a mesma concluso se obteria algebricamente, atendendo a que

    ).2(cis)2(sen)/2cos()/2(sen)/2cos()/2(cis)/)2/(2(cis

    /nj/njinjnjinjnjnnj

    ==+++=+=+

    012

    02, =

    =n

    jnjw

    Para n>1 mpar, as coisas pareciam mais difceis e, de facto, deram muita luta. Mas geometricamente v-se (ver Figura 2) que as razes de ndice n da unidade so tambm razes de ndice 2n, embora haja naturalmente mais razes de ndice 2n, que alternam na posio geomtrica com as primeiras. Com efeito, temos wk,n=w2k,2n.

    Ora, j sabemos que a soma de todas as razes de ndice 2n (que par) nula, isto

    , . Daqui conclui-se que a soma = 22,...,2,0

    2,nj

    njw

    ==

    1

    0,

    n

    knkwS

    das razes de

    ndice 2n com j par (que coincide basta pr j=2k com a desejada soma das n razes de ndice n, isto , com ) ser igual a menos a soma

  • Divagaes sobre investigao 9

    = 12,...,3,1 nj

    jnjw =,

    2, njw das razes de ndice 2n com j mpar. Mas isso ajuda pouco se no

    conhecermos esta ltima soma (que , como vimos, igual a S) e no vislumbrava meio de a obter. Reparei mais tarde que cada raz de ndice 2n com j mpar se obtinha rodando a raz com j1 (que par) de um ngulo de 2/(2n)=/n no sentido anti-horrio (ver Figura 2). Ora uma rotao de ngulo (neste caso, o ngulo seria =/n) corresponde algebricamente multiplicao por cis (neste caso, por cis(/n)). Vi, por observao geomtrica, aquilo que tambm bvio por clculos algbricos elementares: wj,2n=wj1,2ncis(/n). Isto , para obter a soma das razes de

    ndice 2n com j mpar, bastava pegar na soma das razes pares e multiplic-la por cis(/n). Logo S=Scis(/n), donde S=0, como pretendia mostrar.

    w9,10

    w2,10=w1,5

    w4,10=w2,5

    w6,10=w3,5

    w8,10=w4,5

    w0,10=w0,5

    w3,10

    w5,10

    w7,10

    w1,10

    Figura 2. Ilustrao para o caso n=5. As razes wk,5 de ndice 5 da unidade coincidem com as

    razes pares w2k,10 de ndice 10 da unidade (a trao grosso). As restantes razes