Operação com polinômios

Primeiro, vamos recordar a seguinte propriedade das

potências:

am : an = am – n, com a ≠ 0

Vamos verificar como podemos efetuar a divisão:

Ex.: 12y5 : 4y³ = 𝟏𝟐𝐲𝟓

𝟒𝐲³ =

12

4 .

𝐲𝟓

𝐲³ = 3y²

3 y²

Ex.: (20a4b²) : (-5ab) = 𝟐𝟎𝐚𝟒𝐛²

−𝟓𝐚𝐛 =

𝟐𝟎

−𝟓 .

𝐚𝟒

𝐚 .

𝐛²

𝐛 = -4a³b

-4 a4-1 b2-1

Para dividir um monômio por outro, dividimos os

coeficientes entre si e as partes literais entre si.

Observe, agora, o resultado da seguinte divisão:

Ex.: (15x³y²) : (5x5y5) = 15x³y³

5x5y5 = 15

5 .

x³

x5 . y²

y5 = 𝟑

𝐱²𝐲³

3 x3-5 y2-5

No caso dessa divisão, o resultado é uma fração algébrica.

Dividindo um polinômio por um monômio

Ex.: (9x5 + 21x4 – 12x³) : (3x³) = (9x5 + 21x4 – 12x³) . 1

3x³ =

9x5

3x³ +

21x4

3x³ -

12x3

3x³ = (9x5 : 3x³) + (21x4 : 3x³) – (12x³ : 3x³) =

= 3x² + 7x - 4 =

= 3x² + 7x – 4

Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio não nulo

fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.

Dividindo um polinômio por um polinômio

O processo de divisão de polinômios em uma mesma

variável se assemelha àquele da divisão com números

naturais.

Ex.: (5x³ - 3x² + 2x - 3) : (x - 1) =

1º passo:

5x³ - 3x² + 2x - 3 x - 1

5x²

5x³ : x = 5x²

5x³ – 3x² + 2x – 3

- 5x³ + 5x²

+ 2x² + 2x – 3

x - 1

5x²

(x – 1) . 5x² = 5x³ - 5x² Subtraindo – 5x³ + 5x²

2º passo:

5x³ – 3x² + 2x – 3

- 5x³ + 5x²

+ 2x² + 2x – 3

x - 1

5x² + 2x

2x² : x = 2x

3º passo:

5x³ – 3x² + 2x – 3

- 5x³ + 5x²

+ 2x² + 2x – 3

- 2x² + 2x

4x – 3

x - 1

5x² + 2x

(x – 1) . 2x = 2x² - 2x Subtraindo – 2x² + 2x

4º passo:

5x³ – 3x² + 2x – 3

- 5x³ + 5x²

+ 2x² + 2x – 3

- 2x² + 2x

4x – 3

x - 1

5x² + 2x + 4

4x : x = 4

5º passo:

5x³ – 3x² + 2x – 3

- 5x³ + 5x²

+ 2x² + 2x – 3

- 2x² + 2x

4x – 3

- 4x + 4

+ 1

x - 1

5x² + 2x + 4

6º passo:

(x – 1) . 4 = 4x – 4 Subtraindo – 4x + 4

resto

quociente

Observe que a relação fundamental da divisão continua valendo:

(x – 1) . (5x² - 2x + 4) + 1 = 5x³ - 3x² + 2x - 3

divisor quociente resto dividendo

Use seu caderno digital e determine:

1) (6x4 - 5x³ + 12x² - 4x + 3) : (3x² - x + 1) =

2) (5x³ + x² - 3) : (x² - 1) =

Seguindo o passo a passo você vai perceber que

as divisões podem ser exatas e não exatas.

Fonte:

Giovanni, José Ruy

A conquista da matemática, 8º ano

Ed. Renovada – São Paulo: FTD, 2009