99

do as suas escolhas a partir daí. Nesta situação, tendem a identificar as assímptotas ver-

ticais, as assímptotas horizontais e a associar as representações analítica e gráfica que

têm estas características em comum:

No entanto, podem ter a necessidade de recorrer ao estudo de outras proprieda-

des para decidir qual a correspondência que devem estabelecer, uma vez que, nas repre-

sentações dadas, existem algumas que apresentam as mesmas assímptotas.

No exemplo seguinte, os alunos identificam correctamente a assímptota vertical,

não indicam qual a assímptota horizontal mas, implicitamente, comparam o comporta-

mento das duas funções (definidas analítica e graficamente) que admitem a recta 2x =

como assímptota vertical. A fundamentação da escolha que fizeram é baseada no estudo

do sinal da função:

Noutros casos, os alunos podem identificar pelo menos uma das assímptotas do

gráfico da função e fundamentar as suas opções com base na influência do parâmetro b ,

nas representações gráficas de funções do tipo b

y ax d

= ++

:

100

Pode ainda acontecer que os alunos recorram a uma análise cuidada das várias

representações analíticas que são fornecidas, identifiquem algumas propriedades co-

muns (como, por exemplo, a existência das mesmas assímptotas dos gráficos das fun-

ções) e procedam ao agrupamento das respectivas representações analíticas. Deste mo-

do, conseguem reduzir o número de funções a estudar. A decisão da expressão corres-

pondente é tomada a partir da identificação de um ponto que pertence ao gráfico da fun-

ção, depois de terem obtido as imagens, por cada uma das funções do grupo selecciona-

do, para um objecto que escolheram:

Com a resolução da segunda questão desta tarefa, pretende-se que os alunos

identifiquem, a partir da análise de uma representação gráfica de uma função racional,

os valores a atribuir aos parâmetros a , b e c , de modo a escrever a função na forma

( ) bf x a

x c= +

−.

101

É de prever que os alunos adoptem o mesmo tipo de argumentos usados na ques-

tão anterior para fundamentar a escolha dos valores a atribuir aos parâmetros a e c .

Deste modo, podem recorrer aos efeitos provocados pelas translações horizon-

tais e verticais na representação gráfica da função e nas respectivas assímptotas, toman-

do como referência a função 1

yx

= :

Podem também reconhecer qual o sinal do valor a atribuir a b , por observação

da localização dos ramos da hipérbole, em relação às assímptotas, e identificar a sime-

tria (em relação ao eixo Ox ):

Por outro lado, os alunos podem invocar argumentos de carácter mais analítico,

tendo por base o tipo de expressão que se pretende obter para a função e as propriedades

verificadas nas funções racionais da família ( ) bf x a

x c= +

−. Assim, podem relaci-

onar os valores a atribuir a a e c com os valores que definem as assímptotas horizon-

tais e verticais, respectivamente:

102

Para a determinação do valor de b os alunos devem recorrer à identificação de

um ponto que pertence ao gráfico da função e, reconhecendo a relação entre objecto e

imagem, usar a expressão analítica da função:

É de esperar que a maioria dos alunos recorra ao zero da função e determine o

valor de b usando o ponto de coordenadas ( )1; 0 :

No entanto, pode haver alunos que identifiquem, na representação gráfica, outros

pontos de coordenadas inteiras, como é o caso da seguinte resolução:

103

Com a exploração do terceiro conjunto de questões desta tarefa pretende-se que

os alunos estabeleçam relações entre a representação analítica de uma função racional

[definida por ( ) 3 1

1

xg x

x

+=+

] e a correspondente representação gráfica, identifican-

do algumas propriedades que lhes permitirão esboçar a representação gráfica da função.

Para escrever a função dada na forma ( )1

bg x a

x= +

+, os alunos podem re-

cordar procedimentos abordados no ano curricular anterior referentes à divisão inteira

de polinómios:

Já na questão 3.2. pretende-se que os alunos recorram a uma imagem mental da

representação gráfica da função para indicar o comportamento desta nos ramos infinitos.

Nesta fase, o professor deve ter uma atenção especial ao trabalho dos alunos pois, de um

modo natural, podem pretender esboçar a representação gráfica (pedida, apenas, na

questão 3.3.). É importante que o professor realce a necessidade de fundamentar as res-

postas apresentadas.

104

Nalguns casos, os alunos podem relacionar os seus conhecimentos e evidenciar

alguma compreensão quanto ao comportamento da função, baseando os argumentos

utilizados nas transformações ocorridas no gráfico da função, tomando como referência

funções do tipo b

yx

= :

Neste caso, os alunos não consideraram correctamente o sinal do valor de b , e

referem a localização dos ramos da hipérbole no 1.º e 3.º quadrantes (em vez de indica-

rem que se situam no 2.º e 4.º quadrantes, já que estariam a referir-se à função

2y

x= − ). Ainda assim, ao apresentarem os valores de cada um dos limites e ao

complementarem as respostas com a indicação do comportamento da função junto da

assímptota horizontal, os alunos respondem em conformidade com os argumentos apre-

sentados:

No entanto, pode acontecer que os alunos, apesar de identificarem os limites pe-

didos com o estudo do comportamento da função junto das assímptotas, apresentem

algumas dificuldades na justificação dos seus raciocínios. No exemplo que se segue,

105

parece existir alguma confusão entre a análise da variação dos objectos e a consequente

influência nas respectivas imagens:

Sendo este um tópico em que os alunos podem evidenciar muitas dificuldades, o

professor deve promover a discussão com o grupo turma dos aspectos menos consegui-

dos nas suas explorações.

Na resolução da questão 3.3. é de esperar que os alunos esbocem uma represen-

tação gráfica da função, dando significado às conclusões retiradas nas questões anterio-

res:

Considerações finais sobre a exploração da tarefa

Com a realização desta tarefa os alunos podem estabelecer conexões entre repre-

sentações gráficas e analíticas de várias funções racionais, sem recorrer à calculadora

106

gráfica. Deste modo, devem identificar várias propriedades das funções dadas (como,

por exemplo, o domínio, o contradomínio, a localização dos ramos das hipérboles repre-

sentadas, as assímptotas horizontais e verticais dos gráficos das funções, a existência de

zeros, a relação imagem/objecto e a maior ou menor “abertura” dos ramos das hipérbo-

les) ou reconhecer as transformações geométricas produzidas nas representações gráfi-

cas das funções, tomando como referência algumas classes de funções conhecidas.

Os argumentos apresentados pelos alunos ao longo da exploração da tarefa po-

dem reflectir várias perspectivas de abordagens entre as possíveis relações existentes

entre as várias representações de uma função. De facto, os alunos podem usar preferen-

cialmente argumentos de natureza geométrica, reconhecendo a influência de cada um

dos parâmetros nas representações gráficas das funções do tipo b

y ax d

= ++

ou

podem optar por fundamentações de carácter mais analítico no estabelecimento de rela-

ções entre as representações da mesma função.

Será importante o professor atender aos diferentes argumentos que podem surgir

e promover a discussão destes com todos os alunos. Deste modo, os alunos terão a opor-

tunidade de confrontar estratégias diversificadas e poderão desenvolver mais a sua ca-

pacidade de relacionar as várias representações de uma mesma função e fortalecer a

criação de imagens mentais que favorecem a compreensão do comportamento das fun-

ções da família em estudo.

107

OPERAÇÕES COM FUNÇÕES I1

1. As funções f e g estão definidas, respectivamente, por ( ) 1

1f x

x=

− e

( ) 1

1g x

x=

+.

1.1. Determine, analiticamente, o domínio das funções f e g .

1.2. Represente graficamente, no mesmo referencial, as funções dadas.

1.3. Determine as expressões analíticas de ( )f g+ , ( )f g− e ( )f g× . Repre-

sente estas funções graficamente e determine os respectivos domínios.

1.4. Considere outras funções de domínios diferentes.

Investigue uma relação entre o domínio das funções que escolheu e os domínios

das funções soma, diferença e produto.

1 Tarefa adaptada de Brochura de Funções: Matemática – 11º ano de escolaridade, ME, DES, Lisboa,

1998, p. 95

Organize as suas respostas com clareza e correcção, indicando todos os ra-

ciocínios, os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que julgar con-

veniente.

108

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido no 10.º ano de escolaridade e no 11.º ano, nas au-

las anteriores relativas a este conteúdo, os alunos devem ser capazes de:

� Definir, analiticamente, o domínio de uma função;

� Recorrer à calculadora e representar graficamente funções;

� Identificar propriedades das funções e dos seus gráficos;

� Efectuar operações que envolvam expressões algébricas.

Aprendizagens visadas

Com o trabalho a desenvolver nesta tarefa, os alunos devem ser capazes de re-

forçar a sua capacidade de analisar representações gráficas de funções e identificar al-

gumas das suas propriedades, nomeadamente o domínio e a existência de assímptotas

do gráfico de uma função. Devem, ainda, ser capazes de relacionar os seus conhecimen-

tos de modo a caracterizar as funções soma, diferença e produto de funções racionais e a

estabelecer relações entre os respectivos domínios.

Em particular os alunos devem ser capazes de:

� Identificar, por via analítica e graficamente, o domínio de uma função racional;

� Estabelecer que a expressão analítica da função soma pode ser obtida pela soma

das expressões analíticas das funções dadas, a expressão analítica da função di-

ferença pode ser obtida pela diferença das expressão analítica das funções dadas

e que a expressão analítica da função produto pode ser obtida pelo produto das

expressões analíticas das funções dadas, na intersecção dos domínios;

� Definir, analiticamente, as funções soma, diferença e produto de duas funções

racionais;

� Identificar o domínio da soma, da diferença e do produto de duas funções racio-

nais.

� Conjecturar quanto a uma relação entre o domínio das funções soma, diferença e

produto com os domínios das funções de partida.

109

A realização desta tarefa pode, também, contribuir para o desenvolvimento da capa-

cidade de o aluno comunicar matematicamente, oralmente e por escrito, fundamentar

raciocínios, discutir processos e comentá-los com outros.

Orientações para o professor

1. Indicações gerais

Com a exploração desta tarefa, pretende-se que, de um modo intuitivo, os alunos

caracterizem as funções soma, diferença e produto de duas funções racionais. Assim, as

actividades a desenvolver ao longo de uma aula de 90 minutos poderão envolver a ex-

ploração desta tarefa (30 minutos), a apresentação e validação de resultados (30 minu-

tos) e, na fase final da aula, realizar outras propostas que envolvam a soma, a diferença

e o produto de funções racionais.

Operações com funções I

Duração prevista Exploração Apresentação e valida-

ção de resultados Outras tarefas propostas

1 bloco (90 min) 30 min 30 min

Resolução de propostas que

envolvam operações com

funções (30 min)

Durante a exploração da tarefa, os alunos deverão trabalhar em pares ou em pe-

quenos grupos. É aconselhável que, em cada grupo, seja elaborado um pequeno relató-

rio com o registo das respectivas explorações, dos raciocínios realizados e das justifica-

ções que os fundamentam.

Os exemplos apresentados pelos alunos nas respostas à questão 1.4. podem ser-

vir de ponto de partida para o trabalho a desenvolver com a turma, na fase final da aula.

No entanto, devem também ser propostas outras tarefas com aspectos referentes às ope-

rações com funções racionais que aqui não são contemplados.

Para além do trabalho de natureza algébrica que se pretende que os alunos de-

senvolvam na determinação da expressão analítica das funções pedidas, deve ser dedi-

cada especial atenção à relação entre os domínios das funções de partida e o domínio

das funções soma, diferença e produto.

110

2. Algumas explorações

Na resolução desta tarefa, os alunos são remetidos para um conjunto de noções e

procedimentos algébricos abordados anteriormente (validade de uma expressão algébri-

ca; operações entre fracções racionais) que, de modo intuitivo, irão dar significado às

funções soma, diferença e produto. Deste modo, tem-se:

1.1. Pretende-se que os alunos identifiquem o domínio das funções dadas, de modo ana-

lítico (tendo em conta o modo como as funções aparecem definidas e o conjunto de

valores que dão significados às respectivas expressões). Assim:

{ } { }1 0 1fD x x \= ∈ − ≠ =R R: { } { }1 0 1gD x :x \= ∈ + ≠ = −R R

1.2. Para representar graficamente as duas funções no mesmo referencial, é importante

ajustar a janela de visualização, de modo a permitir observar as características de

cada uma das representações gráficas. Poderá ser:

A partir da análise das tabelas das respectivas funções pode observar-se que, tal

como as representações gráficas sugerem, a função f não se encontra definida para

1x = e a função g não se encontra definida para 1x = − .

As expressões analíticas das funções ( )f g+ , ( )f g− e ( )f g× podem ser

obtidas, respectivamente, a partir da soma, diferença e produto das expressões ana-

líticas das duas funções dadas. Deste modo, os alunos poderão recordar os proce-

dimentos necessários para a adição, subtracção e multiplicação de fracções racio-

nais.

De modo intuitivo, os alunos devem conjecturar que:

111

� a função soma obtém-se a partir da soma das funções dadas;

� a função diferença obtém-se a partir da diferença das funções dadas;

� a função produto obtém-se a partir do produto das funções dadas;

No entanto, será importante que o professor, quer na interacção com os diferentes

grupos quer na fase de discussão de resultados, promova a reflexão quanto ao domí-

nio de validade das equivalências estabelecidas. Deste modo, os alunos poderão dar

significado à relação existente entre o domínio de cada uma das “novas” funções

com o das funções que lhes eram fornecidas.

1.3. Com a exploração desta questão pretende-se que os alunos, ao escolherem outros

exemplos para funções f e g , sistematizem as noções de função soma, função di-

ferença e função produto, realizem algum trabalho algébrico inerente e identifi-

quem os domínios das funções obtidas, relacionando-os com os domínios das fun-

ções de partida. No final, espera-se que sintetizem os resultados obtidos, o que os

poderá conduzir à sua formalização ao estabelecer que:

( ) ( ) ( ) ( ) , f gf g x f x g x x D D+ = + ∀ ∈ ∩

( )( ) ( ) ( ) , f gf g x f x g x x D D− = − ∀ ∈ ∩

( )( ) ( ) ( ) , f gf g x f x g x x D D× = × ∀ ∈ ∩

Explorações de alunos

Nas duas primeiras questões desta tarefa, é de esperar que os alunos utilizem

procedimentos analíticos para determinar o domínio de funções definidas por expres-

sões racionais e recorram à calculadora para visualizar as representações gráficas das

funções dadas, de modo a orientar o esboço pretendido.

Assim, na resolução da questão 1.1., os alunos podem identificar o domínio de

cada uma das funções dadas com o domínio de validade das expressões algébricas que

as definem, considerando, deste modo, o maior subconjunto dos números reais que lhes

dá significado:

112

Para o esboço das representações gráficas das funções, num mesmo referencial,

os alunos podem recorrer à calculadora gráfica, mas devem apresentar todos os elemen-

tos recolhidos na utilização da calculadora. Podem, ainda, complementar as representa-

ções de cada uma das funções com o traçado das respectivas assímptotas:

Nas questões 1.3 e 1.4. é pedido aos alunos que analisem características das fun-

ções dadas, caracterizem as funções ( )f g+ , ( )f g− e ( )f g× , recorrendo quer a

processos algébricos para a determinação das expressões analíticas, quer à construção e

análise das representações gráficas, para indicar os respectivos domínios de validade.

Em seguida, é-lhes solicitado que analisem outras funções e que observem os domínios

das funções soma, diferença e produto, com o intuito de estabelecer uma relação entre

eles.

Para a resolução destas questões, os alunos podem recorrer a processos analíti-

cos para determinar as expressões analíticas das funções pedidas. De modo intuitivo,

depois de identificarem correctamente o domínio das funções f e g , podem estabele-

cer que o domínio das funções soma, diferença e produto corresponde à intersecção dos

domínios das funções dadas no enunciado:

113

Em situações desta natureza, será importante o professor questionar os alunos

sobre os raciocínios que realizaram para estabelecer esta relação entre os domínios das

funções pois, pela resposta apresentada, não se torna evidente se usaram raciocínios

algébricos ou se recorreram à análise das representações gráficas das novas funções.

Por vezes, tanto na resolução da questão 1.3. como na questão 1.4., pode suceder

que os alunos determinem correctamente a expressão analítica de cada uma das funções

pedidas (função soma, função diferença e função produto), analisem as respectivas re-

presentações gráficas, assinalem devidamente as assímptotas verticais (bilaterais) do

gráfico da função, mas determinem o domínio da “nova” função a partir do domínio de

validade da expressão analítica obtida, sem o relacionar com o das funções de partida:

Sendo esta uma incorrecção que se regista com bastante frequência sempre que

os alunos trabalham com operações com funções, é importante que, na fase de discussão

com a turma, o professor apresente exemplos em que não se verifique a igualdade entre

114

a intersecção dos domínios das funções de partida e o domínio da expressão analítica da

função resultante, recorrendo a funções iniciais cujas expressões analíticas da soma, da

diferença ou do produto permitam simplificações.

É de salientar que, ao seguirem este raciocínio, os alunos podem não conseguir

estabelecer uma relação entre o domínio das funções de partida e o das funções resultan-

tes, pois tendem a focar a sua atenção nos domínios que obtiveram para as funções so-

ma, diferença e produto:

Na exploração da questão 1.4. é dada a liberdade aos alunos para escolherem

novos pares de funções e operarem com elas. Numa primeira fase, é de esperar que os

alunos apresentem exemplos de funções definidas por expressões analíticas que se as-

semelhem às dadas no enunciado:

No entanto, o professor deve incentivar os alunos a procurar outros tipos de

exemplos de funções racionais, de modo a permitir um trabalho mais rico na sistemati-

zação dos procedimentos algébricos necessários para obter as funções soma, diferença e

produto de duas funções. De facto, ao explorarem o que acontece com outras funções de

domínios diferentes, as opções feitas pelos diferentes grupos podem ser confrontadas e

exploradas pelo grupo turma, na fase de discussão de resultados:

115

O tipo limitado de exemplos com que os alunos trabalham pode vir a condicio-

nar as conjecturas que elaboram e as generalizações que possam estabelecer:

Na discussão com a turma, o professor deve conduzir os alunos a reflectir sobre

o grau escolhido para o polinómio que figura em cada um dos numeradores e dos de-

nominadores das funções racionais com que se pretende trabalhar, e qual a influência

deste na determinação do domínio de cada uma das funções. Deve, também ser dada

especial atenção à formalização dos resultados pretendidos, uma vez que esta pode ser

uma das dificuldades apresentadas pelos alunos.

Para além dos aspectos algébricos trabalhados ao longo da exploração desta tare-

fa, os alunos podem estabelecer conexões entre conhecimentos já apreendidos e utilizá-

los como argumentos para justificar as suas conclusões, como se ilustra na seguinte re-

solução:

116

Tendo como referência a representação gráfica da função obtida, estes alunos as-

sinalam a existência de assímptotas verticais do gráfico da função e, em seguida, estabe-

lecem uma relação entre estas e o domínio da função soma:

A conjectura que elaboram não foi testada e não verificam se as soluções da

condição que indicam para a determinação do domínio da função soma (denominador

da expressão analítica diferente do valor numérico que define cada uma das assímptotas

verticais) dá origem ao conjunto { }\ 3; 2−R . Ainda assim, depois de analisar, de

modo análogo, as funções diferença e produto de f e h , os alunos apresentam dificul-

dades em formalizar as suas conjecturas ao concluir:

Escolhemos inicialmente duas funções que têm um determinado domínio.

Quando fazemos a soma, a subtracção ou a multiplicação dessas duas funções, o domínio da função resultante vai ser sempre a junção dos domínios das funções iniciais.

117

A partir da resposta apresentada, surge a necessidade de o professor clarificar o

conceito de “junção de domínios”, fazendo uma abordagem a noções de lógica e teoria

de conjuntos, com o intuito de reforçar a compreensão das operações entre conjuntos e

de estabelecer as diferenças entre a união e intersecção de conjuntos, em termos formais

e na linguagem verbal.

Considerações finais sobre a exploração da tarefa

Na exploração da primeira parte desta tarefa, os alunos podem mostrar facilidade

em estabelecer, de modo intuitivo, como se determinam as funções soma, diferença e

produto de duas funções dadas. Com recurso às representações gráficas visualizadas,

podem identificar o domínio das novas funções e relacionar conhecimentos relativos a

conteúdos abordados nas aulas anteriores (operações entre fracções algébricas, análise

das representações gráficas de funções e identificação de algumas propriedades das fun-

ções).

Com a exploração da questão 1.4., os alunos têm a oportunidade de trabalhar

com novas funções, escolhidas por eles, e sistematizar os procedimentos algébricos ine-

rentes à obtenção das expressões analíticas das respectivas funções soma, diferença e

produto. No entanto, os alunos podem mostrar dificuldades em estabelecer claramente

as relações existentes entre os domínios das funções de partida e os domínios das res-

pectivas funções soma, diferença e produto.

Na fase de discussão, o professor deve dedicar uma atenção especial aos proces-

sos seguidos pelos alunos na determinação do domínio das funções soma, diferença e

produto, e deve apresentar à turma alguns exemplos que evidenciem a necessidade de

recorrer à intersecção dos domínios das funções iniciais. A formalização dos conceitos

envolvidos na caracterização das funções soma, diferença e produto de duas funções

racionais devem ser o foco da reflexão realizada pelo grupo turma.

A exploração desta tarefa pode, ainda, criar a necessidade de explorar, oportu-

namente, alguns temas transversais ao programa (como é o caso das noções de lógica),

partindo das dificuldades evidenciadas pelos alunos.

118

OPERAÇÕES COM FUNÇÕES II

1. Na figura estão representadas as funções m e n , respectivamente de 2.º grau e 3.º

grau.

1.1. Por observação da figura:

1.1.1. indique o valor de ( )m n× (-1) e de ( )m n× (3);

1.1.2. estude, quanto ao sinal, a função m n× ;

1.1.3. indique a condição que define o domínio da função m

n;

1.2. Determine as expressões analíticas das funções m , n e m n× ;

1.3. Caracterize, agora, a funçãon

m (apresente a expressão analítica simplificada tanto

quanto possível).

1.4. Considere outras funções de domínios diferentes.

O que se pode observar relativamente ao domínio da função quociente?

Organize as suas respostas com clareza e correcção, indicando todos os raciocí-

nios, os cálculos que tiver de efectuar e as justificações que julgar conveniente.

n

m

119

Conhecimentos prévios dos alunos

Com o trabalho desenvolvido no 10.º ano de escolaridade e no 11.º ano, nas au-

las anteriores relativas a este conteúdo, os alunos devem ser capazes de:

� Definir, analiticamente, o domínio de uma função;

� Identificar propriedades das funções e dos seus gráficos;

� Relacionar as representações analíticas e gráficas de funções polinomiais de 2.º e

3.º graus;

� Efectuar operações que envolvam expressões algébricas.

� Recorrer à calculadora e representar graficamente funções.

Aprendizagens visadas

Com o trabalho a desenvolver nesta tarefa, os alunos devem ser capazes de re-

forçar a sua capacidade de analisar representações gráficas de funções e identificar al-

gumas das suas propriedades, nomeadamente o valor das imagens para objectos concre-

tos, o sinal de funções representadas graficamente e os zeros de uma dada função. De-

vem, ainda, ser capazes de relacionar os seus conhecimentos de modo a: estabelecer

relações entre a variação de sinal de cada uma das funções dadas com o sinal da função

produto; determinar as expressões analíticas de funções polinomiais, a partir das suas

representações gráficas; e caracterizar a função quociente a partir do quociente de duas

funções polinomiais.

Em particular os alunos devem ser capazes de:

� Determinar o valor das imagens de objectos concretos, recorrendo quer às repre-

sentações gráficas fornecidas quer à noção de função produto;

� Estabelecer o sinal da função produto, a partir do estudo do sinal de cada uma

das funções “factor”;

� Identificar a condição do domínio da função quociente, a partir da observação

das representações gráficas das funções polinomiais que a definem;

� Determinar expressões analíticas de funções polinomiais do 2.º e 3.º graus, a par-

tir das suas representações gráficas;

120

� Simplificar fracções racionais e determinar o domínio em que a simplificação é

válida;

� Conjecturar quanto a uma relação entre os domínios das funções de partida e o

domínio da função quociente correspondente.

A realização desta tarefa pode, ainda, contribuir para o desenvolvimento da ca-

pacidade de o aluno comunicar matematicamente, oralmente e por escrito, fundamentar

raciocínios, discutir processos e comentá-los com outros.

Orientações para o professor

1. Indicações gerais

Com a exploração desta tarefa, pretende-se que os alunos, a partir da observação

das representações gráficas de funções polinomiais, identifiquem algumas propriedades

das funções, de modo a determinar o valor numérico das imagens, pela função produto,

de dois objectos concretos, estabelecer o sinal da função produto e indicar uma condição

que defina o domínio de uma função quociente. Numa segunda fase, pretende-se que

estabeleçam conexões entre as representações gráficas e as expressões analíticas das

funções polinomiais dadas, com vista à caracterização da função produto e da função

quociente. Por último, a partir de novos exemplos propostos pelos alunos, pretende-se

que conjecturem quanto a uma relação entre os domínios das funções escolhidas e o

domínio da função quociente.

Para a realização desta tarefa, prevê-se a duração de uma aula de 90 minutos,

destinando-se cerca de 60 minutos para a exploração desta tarefa, em pares ou em pe-

quenos grupos, e 30 minutos para a apresentação e validação de resultados.

Operações com funções II

Duração prevista Exploração Apresentação e validação de resultados

1 bloco (90 min) 60 min 30 min

Tal como é indicado no enunciado, ao longo da exploração da tarefa, os alunos

devem elaborar um pequeno relatório, procedendo ao registo dos raciocínios realizados,

dos cálculos e das justificações julgadas convenientes.

121

2. Algumas explorações

No primeiro conjunto de questões desta tarefa, é proposto aos alunos a análise

das representações gráficas de duas funções polinomiais, com o intuito de remeter a sua

atenção para a recolha de imagens de objectos concretos, para a análise do sinal de cada

uma das funções e para a identificação dos zeros das funções, articulando os dados reco-

lhidos com as noções de imagem e de sinal da função produto, bem como com o domí-

nio de validade de uma expressão racional.

Deste modo, tem-se:

Observando atentamente as representações

gráficas das funções m e n , temos:

m(-1) = 3− e n (-1) = 12.

Logo, de acordo com a noção de função produ-

to:

( )m n× (-1) ( ) ( ) ( )1 1 3 12m n= − × − = − ×

36= −

De modo análogo, como m(3) = 5 e n (3) =

12, vem:

( )m n× (3) ( ) ( )3 3 5 12 60m n= × = × =

Pretende-se que os alunos efectuem o estudo do sinal de m n× a partir da análi-

se do sinal das funções m e n . Esta poderá ser uma situação de partida para, um pouco

mais tarde, dar significado à resolução analítica de inequações fraccionárias.

Deste modo, atendendo às regras de sinais da multiplicação (e ao modo como a

função m n× se define), os dados recolhidos podem ser organizados numa tabela, para

permitir estudar o sinal do produto das duas funções.

∞− – 3 – 2 1 2 ∞+

m + + + 0 – – – 0 +

n – 0 + + + 0 – 0 +

m n× – 0 + 0 – 0 + 0 +

n

m

122

Na resolução desta questão, pretende-se que os alunos recordem as condições

que têm de existir para que uma expressão racional tenha significado – a garantia que o

denominador tem de ser diferente de zero, para os diferentes valores da variável.

Como, neste caso, o denominador da expressão é dado pela função n , basta ve-

rificar quando é que esta função se anula para saber os valores que não podem pertencer

ao domínio.

Por observação da representação gráfica da função, vem:

( ) 0 3 1 2n x x x x= ⇔ = − ∨ = ∨ =

Assim, atendendo a que não há restrições a

acrescentar quanto às funções que figuram tanto

no numerador como no denominador, tem-se:

( ){ }{ }

{ }

m

n

0

3 1 2

3; 1; 2

D x :n x

x : x x x

\

= ∈ ≠

= ∈ ≠ − ∧ ≠ ∧ ≠

= −

R

R

R

Na resolução das questões 1.2. e 1.3. pretende-se que os alunos estabeleçam co-

nexões entre as informações dadas a partir das representações gráficas das funções m e

n e os procedimentos algébricos inerentes às funções que resultam dos seus produto e

quociente. A análise e a identificação das propriedades das funções estão, também, sub-

jacentes à resolução da questão 1.2.. Nesta fase será importante que os alunos recordem

as conexões entre as representações gráficas e algébricas das funções polinomiais de 2.º

e 3.º graus, abordadas no 10.º ano.

Assim, tem-se:

Para determinar as expressões analíticas das funções m e n (só depois será pos-

sível determinar uma expressão analítica da função produto m n× ), os alunos deverão

observar as características dos gráficos das respectivas funções e ter em conta os conte-

údos do 10.º ano, relativos ao estudo das funções polinomiais.

Atendendo a que m é uma função polinomial de grau 2, com zeros em 2x = − e

2x = , pode escrever-se na forma ( ) ( ) ( )2 2m x a x x= + − e, a partir da condição

( )0 4m = − , pode estabelecer-se que ( ) 2 4m x x= − .

n

m

123

De modo análogo, como n é uma função polinomial de grau 3, com zeros em

3x = − , 1x = e 2x = , pode escrever-se na forma:

( ) ( ) ( ) ( )3 1 2n x a x x x= + − −

e como ( )0 6n = , vem ( ) 3 7 6n x x x= − + .

Por último, m n× pode ser definida a partir de n e de m , sendo:

( )( ) ( ) ( ) ( )( )2 34 7 6m n x m x n x x x x× = × = − − +

ou seja,

( )( ) 5 3 211 6 28 24m n x x x x x× = − + + −

Tendo em conta os resultados obtidos anteriormente, vem:

Domínio: ( ){ } { }: 0 2;2n

m

D x m x \= ∈ ≠ = −R R ;

Expressão analítica: ( ) ( )( )

2

3

4

7 6

mm x xx

n n x x x

− = = − +

Como é pedida uma expressão simplificada, pode recorrer-se à decomposição

em factores de cada uma das funções que figuram no numerador e no denominador –

obtidas na resolução da questão anterior. No entanto, alguns alunos poderão usar, por

exemplo, a regra de Ruffini para obter a decomposição dos polinómios. Usando o pri-

meiro processo:

( ) ( )( )( )( )( ) ( ) ( )

2

3

2 24 22

7 6 3 1 2 3 1

x xm x xx x

n x x x x x x x

− +− + = = = ∧ ≠ − + + − − + −

Com a exploração da questão 1.4. os alunos devem escolher novos pares de fun-

ções, identificar uma função quociente que lhes esteja associada e estabelecer as condi-

ções subjacentes à determinação do domínio desta nova função. A formalização destas

condições, relacionando-as com as funções de partida, deve ser um aspecto central na

discussão das conclusões relativas a esta questão.