DOE-Response Surface Designs

DOE - Experimentos de Superfcie de Resposta (Response Surface Designs)*Autoria: Maria Luiza Toledo

Resumo Frequentemente, na anlise de experimentos fatoriais fracionados, detectada uma relao no linear entre a varivel resposta e os fatores quantitativos analisados. Nessas situaes, os experimentos de Superfcie de Resposta so teis, pois tm a habilidade de modelar a funo que relaciona essas variveis. Nesse artigo, so abordados alguns conceitos da metodologia de Superfcie de Resposta com Experimentos Centrais Compostos. Posteriormente, apresentado um exemplo utilizando-se a ferramenta Response Surface, do software estatstico MINITAB. Alm disso, os passos a serem seguidos no MINITAB para a realizao dessa anlise tambm so detalhadamente descritos.

A metodologia de Superfcie de Resposta No contexto do planejamento de experimentos, o principal objetivo dos pesquisadores caracterizar a relao entre uma ou mais variveis resposta e um conjunto de fatores de interesse. Isso pode ser executado atravs da construo de um modelo que descreva a varivel resposta em funo dos valores aplicveis desses fatores. Certos tipos de problemas cientficos envolvem a expresso de uma varivel resposta, tal como o rendimento de um produto, como uma funo emprica de um ou mais fatores quantitativos, tais como a temperatura de reao e a presso. Isso pode ser efetuado utilizando-se uma superfcie de resposta para modelar a relao Rendimento = f (temperatura de reao, presso). O conhecimento da forma funcional de f, frequentemente obtido com a modelagem de dados provenientes de experimentos planejados, permite tanto sumarizar os resultados do experimento quanto predizer a resposta para valores dos fatores quantitativos. Assim, a funo f define a superfcie de resposta.

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Podemos ento definir a Superfcie de Resposta como sendo a representao geomtrica obtida quando uma varivel resposta plotada como uma funo de um ou mais fatores quantitativos. No planejamento de experimentos para estudar ou ajustar superfcies de resposta, a funo de resposta caracterizada em uma regio de interesse do pesquisador, para que seja possvel utiliz-la na prtica. Aps o ajuste do modelo aos dados, possvel estimar a sensibilidade da resposta aos fatores, alm de determinar os nveis dos fatores nos quais a resposta tima (por exemplo, mxima ou mnima). Quando a superfcie de resposta funo de um nico fator, a resposta pode ser plotada como uma curva em duas dimenses:

Nesse caso, os pontos plotados representam pares de respostas observadas (y) para cada um dos trs nveis quantitativos do fator (x). O modelo ajustado, representado pela curva, caracteriza a superfcie de resposta e identifica onde a resposta mxima obtida.


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Quando a superfcie de resposta uma funo de dois ou mais fatores, as situaes experimentais ainda podem ser descritas graficamente. Grficos de contorno e superfcie so teis para estabelecer condies de operao para se obter valores desejveis da resposta.

Em um grfico de contorno, os valores dos dois fatores so representados nos eixos x e y, enquanto os valores da resposta so representados por regies sombreadas, chamadas contornos. Um grfico de contorno como um mapa topogrfico.

Em um grfico de superfcie, os valores dos dois fatores so representados nos eixos x e y, enquanto os valores da resposta so representados no eixo z. Esse grfico fornece uma viso tridimensional que pode exibir um desenho mais claro da superfcie de resposta.

As ilustraes abaixo mostram um grfico de contorno e um grfico de superfcie para os mesmos dados. Os menores valores de Y so encontrados onde X1 e X2 so ambos iguais a zero. medida que X1 e X2 se afastam de zero, os valores de Y aumentam consistentemente.


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Na ferramenta de Superfcie de Resposta do MINITAB, temos a metodologia de experimentos centrais compostos, atravs da qual podemos criar experimentos centrais com ou sem blocos. Um experimento central composto com dois fatores mostrado abaixo. Os pontos no diagrama representam os ensaios experimentais que so realizados:

Os pontos fatoriais do experimento so codificados como -1 e +1.

Os pontos axiais do experimento so:

(+ , 0), (, 0), (0,+ ), (0, )

Aqui, os pontos fatoriais e axiais, com o ponto central, so mostrados. O ponto central est em

(0,0).

O nmero total de ensaios em um experimento central composto baseado em um experimento fatorial completo n = 2k +2k + m, onde: 2k nmero de pontos fatoriais 2k nmero de pontos axiais (de estrela) m nmero de replicaes do ponto central Esse valor (n) normalmente menor que um 3k, assim menos observaes so necessrias. O valor corresponde a F1/4, onde F o nmero de pontos fatoriais (F=2k quando um experimento fatorial completo usado).


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Exemplo:Um pesquisador usa trs fatores: nitrognio, cido fosfrico e potssio, que so ingredientes de fertilizantes. O efeito do fertilizante no rendimento do feijo foi estudado em um experimento central composto. Nesse experimento, temos: 2k = 23 = 8 pontos fatoriais 2k = 2*3 = 6 pontos axiais m = 6 replicaes do ponto central Portanto, sero 8 + 6 + 6 = 20 ensaios. Os pontos axiais tero = F1/4 = (2k)1/4 = (23)1/4 = 1,68. As unidades reais para os nveis -1 e +1 (baixo e alto) de cada fator so: Nitrognio: 2.03 e 5.21 cido Fosfrico: 1.07 e 2.49 Potssio: 1.35 e 3.49

O experimento ser analisado em unidades codificadas. Se fssemos analisar o experimento nas unidades reais, algumas coisas mudariam: os coeficientes e seus desvios padro, os valores T e P para o termo constante. Os resultados adicionais seriam os mesmos, incluindo quais termos so significativos no modelo.


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Passo 1: Criando um experimento central composto

1. Selecione Stat > DOE > Response Surface > Create Response Surface Design. 2. Complete a caixa de dilogo como mostra a figura a seguir:

3. Clique em Designs. O experimento selecionado completo (Full), com 20 ensaios (Runs), sem bloco (Blocks = 1), sendo que entre os 6 pontos centrais, nenhum ser ponto de cubo (fatorial) ou ponto axial. O valor default para Alfa de 1,682, mas pode ser modificado na prpria janela. Clique em OK.


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4. Clique em Factors. Na coluna Name, digite Nitrognio, cido fosfrico e Potssio nas linhas 1 a 3, respectivamente. Clique em OK em cada caixa de dilogo.

Para compreendermos melhor a estrutura da worksheet, adequado visualizarmos o experimento na ordem padro. Para isso, selecione Stat > DOE > Display Design. Marque a opo Standard order for design.


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Considere que: -1 = nvel baixo do fator 1 = nvel alto do fator 0 = ponto central entre nveis baixo e alto do fator A estrutura do experimento na worksheet a seguinte: - A coluna StdOrder mostra a ordem padro do experimento; - A coluna RunOrder mostra uma sugesto de ordem de execuo do experimento; - A coluna PtType mostra a qual tipo de ensaio cada linha se refere: 1 se um ponto fatorial, -1 se um ponto axial, e 0 se um ponto central. - A coluna Blocks mostra a qual bloco cada ensaio pertence. Nesse exemplo, no existem blocos, portanto todos os valores so iguais a 1. - As colunas Nitrognio, cido fosfrico e Potssio contm os nveis dos fatores em cada ensaio.


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As 8 primeiras linhas se referem aos pontos fatoriais, ou seja, as 8 combinaes entre os nveis baixo e alto das trs variveis explicativas. No grfico abaixo, podemos localizar esses pontos (em vermelho): Nitrognio (-1, (1, (-1, (1, (-1, (1, (-1, (1, cido Fosfrico -1, -1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, Potssio -1) -1) -1) -1) 1) 1) 1) 1)

As linhas 9 a 14 se referem aos pontos axiais (em azul, no grfico):

Nitrognio (- , ( , (0, (0, (0, (0,

cido Fosfrico 0, 0, - , 0) 0) 0) 0)

Potssio

,0, 0,

- )

)


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As linhas restantes, de 15 a 20, se referem ao ponto central (em verde, no grfico), que replicado 6 vezes: Nitrognio (0, (0, (0, (0, (0, (0, cido Fosfrico 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) 0) 0) 0) 0) 0) Potssio

Como o experimento j foi estruturado, entraremos com a coluna que contm a varivel resposta. A worksheet CCD_EX1.MTW j contm o experimento que construmos no passo anterior, juntamente com os dados da varivel resposta, j coletados. Inicialmente, ajustaremos um modelo linear a esses dados.


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Passo 2: Ajustando um modelo linear 1. Abra a worksheet CCD_EX1.MTW. (Selecione File > Open Worksheet , e selecione esse conjunto de dados, que est disponvel dentro do diretrio do MINITAB, em Arquivos de Programas). Observe que nessa planilha, os nveis dos fatores esto em unidades nocodificadas. 2. Selecione Stat > DOE > Response Surface > Analyze Response Surface Design. 3. Em Responses, enter BeanYield. Under Analyze data using, marque Coded units. 4. Clique em Terms. Complete a caixa de dilogo como mostra a figura a seguir:

5. Clique em OK em todas as caixas de dilogo.


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Na Session, os resultados obtidos sero os seguintes:

Response Surface Regression: BeanYield versus Nitrogen; PhosAcid; PotashThe analysis was done using coded units. Estimated Regression Coefficients for BeanYield Term Constant Nitrogen PhosAcid Potash S = 1,553 Coef 10,1980 -0,5738 0,1834 0,4555 SE Coef 0,3473 0,4203 0,4203 0,4203 T 29,364 -1,365 0,436 1,084 P 0,000 0,191 0,668 0,295

R-Sq = 16,8%

R-Sq(adj) = 1,2%

Analysis of Variance for BeanYield Source Regression Linear Residual Error Lack-of-Fit Pure Error Total DF 3 3 16 11 5 19 Seq SS 7,789 7,789 38,597 36,057 2,540 46,385 Adj SS 7,789 7,789 38,597 36,057 2,540 Adj MS 2,5962 2,5962 2,4123 3,2779 0,5079 F 1,08 1,08 6,45 P 0,387 0,387 0,026

Unusual Observations for BeanYield Obs 7 16 StdOrder 9 3 BeanYield 8,260 13,190 Fit 11,163 10,500 SE Fit 0,788 0,807 Residual -2,903 2,690 St Resid -2,17 R 2,03 R

R denotes an observation with a large standardized residual.

Estimated Regression Coefficients for BeanYield using data in uncoded units Term Constant Nitrogen PhosAcid Potash Coef 10,0144 -0,360862 0,258300 0,425680


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Primeiramente, usamos os valores-p da tabela de Anlise de Varincia para determinar quais dos efeitos do modelo so estatisticamente significativos. Para usar o valor-p, precisamos: - comparar esse valor-p com um nvel . Um nvel normalmente usado 0.05. - se o valor-p for menor ou igual a , conclumos que o efeito significativo. - se o valor-p for maior que , conclumos que o efeito no significativo.

No exemplo, a tabela de anlise de varincia mostra que: Regression: Testa se os termos do modelo tm algum efeito na resposta. O modelo de regresso no significativo (p = 0,387). Como s estamos testando o modelo linear, a regresso quebrada nesse termo, cujo valor-p mostra que o modelo linear no adequado nesse caso. Residual Error: O erro residual mede quanto da variao da resposta no explicado pelo modelo. Essa variao no explicada foi subdividida em duas partes: Lack-of-Fit e Pure Error. Lack-of-Fit: a variao devido inadequao do modelo. O valor-p de 0,026 menor que 0,05. Portanto, existe evidncia de que o modelo no explica adequadamente a variao da resposta.

Assim, pela tabela de Anlise de Varincia j temos evidncias suficientes de que o modelo linear no adequado para explicar a relao desses fatores com a resposta. O valor de R-Sq (adj), que representa a proporo da variao na resposta explicada pelo modelo, de apenas 1,2%, o que tambm mostra a inadequao desse modelo.

Como o modelo linear no ajusta adequadamente a superfcie de resposta, ajustaremos um modelo quadrtico (segunda ordem), que permite a deteco de curvatura na superfcie de resposta.


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Passo 3: Ajustando um modelo quadrtico 1. Selecione Stat > DOE > Response Surface > Analyze Response Surface Design. 2. Em Responses, enter BeanYield. 3. Clique em Terms. Complete a caixa de dilogo como mostra a figura abaixo:

4. Clique em OK. 5. Clique em Graphs. Em Residual Plots, marque Four in one. 6. Clique em OK em cada caixa de dilogo.


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Os resultados fornecidos na Session sero os seguintes:

Response Surface Regression: BeanYield versus Nitrogen; PhosAcid; PotashThe analysis was done using coded units. Estimated Regression Coefficients for BeanYield Term Constant Nitrogen PhosAcid Potash Nitrogen*Nitrogen PhosAcid*PhosAcid Potash*Potash Nitrogen*PhosAcid Nitrogen*Potash PhosAcid*Potash S = 0,9960 Coef 10,4623 -0,5738 0,1834 0,4555 -0,6764 0,5628 -0,2734 -0,6775 1,1825 0,2325 SE Coef 0,4062 0,2695 0,2695 0,2695 0,2624 0,2624 0,2624 0,3521 0,3521 0,3521 T 25,756 -2,129 0,680 1,690 -2,578 2,145 -1,042 -1,924 3,358 0,660 P 0,000 0,059 0,512 0,122 0,027 0,058 0,322 0,083 0,007 0,524

R-Sq = 78,6%

R-Sq(adj) = 59,4%

Analysis of Variance for BeanYield Source Regression Linear Square Interaction Residual Error Lack-of-Fit Pure Error Total DF 9 3 3 3 10 5 5 19 Seq SS 36,465 7,789 13,386 15,291 9,920 7,380 2,540 46,385 Adj SS 36,465 7,789 13,386 15,291 9,920 7,380 2,540 Adj MS 4,0517 2,5962 4,4619 5,0970 0,9920 1,4760 0,5079 F 4,08 2,62 4,50 5,14 2,91 P 0,019 0,109 0,030 0,021 0,133

Unusual Observations for BeanYield Obs 2 7 16 StdOrder 12 9 3 BeanYield 11,060 8,260 13,190 Fit 12,362 9,514 12,004 SE Fit 0,776 0,776 0,815 Residual -1,302 -1,254 1,186 St Resid -2,09 R -2,01 R 2,07 R

R denotes an observation with a large standardized residual.

Estimated Regression Coefficients for BeanYield using data in uncoded units Term Constant Nitrogen PhosAcid Potash Nitrogen*Nitrogen PhosAcid*PhosAcid Potash*Potash Nitrogen*PhosAcid Nitrogen*Potash PhosAcid*Potash Coef 12,4512 0,962568 -2,28406 -1,47942 -0,267571 1,11636 -0,238794 -0,600142 0,695057 0,306042


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Como a anlise linear sugeriu que um modelo de ordem maior necessrio para modelar adequadamente a superfcie de resposta, ajustamos o modelo quadrtico. Para esse modelo, o valor-p do teste de Lack-of-Fit, de 0,133 sugere que esse modelo ajusta adequadamente os dados. Podemos observar que a estrutura da tabela de Anlise de Varincia para esse modelo um pouco diferente da tabela do modelo anterior. O valor-p para Regression, de 0,019, indicando que os termos no modelo tm algum efeito sobre a resposta. Ou seja, ao menos um dos termos na equao de regresso tem um impacto significante na resposta mdia. O termo Regression ento quebrado nos termos Linear, Square, e Interaction. - Square: Termos quadrticos so usados para avaliar se existe ou no curvatura (quadrtica) na superfcie de resposta. O valor-p de 0,030 menor que 0,05. Portanto, existe um efeito quadrtico significante, ou seja, a relao entre os fatores e a resposta no segue um plano, e sim uma curva. - Interaction: O valor-p de 0,021 para a interao entre os fatores menor que 0,05. Portanto, existe um efeito de interao significativo. - Linear: Devemos ter cuidado ao interpretar os efeitos lineares na presena de interao e efeitos quadrados significativos. A primeira tabela dos resultados fornece os coeficientes para todos os termos do modelo. Como foi usado um experimento ortogonal, cada efeito estimado independentemente. Portanto, os coeficientes para os termos lineares so os mesmos de quando ajustamos o modelo linear. O termo de erro, s = 0.996, menor que o do modelo anterior, pois com o modelo quadrtico ns reduzimos a variabilidade devido ao erro. Alm disso, o R-Sq (adj) aumentou de 1,2% (modelo linear) para 59,4% (modelo quadrtico), indicando que esse modelo forneceu um ajuste melhor. Na tabela de coeficientes estimados, os valores-p baixos para a interao Nitrogenio*Potassio (p = 0.007), Nitrogenio*Nitrogenio (p = 0.027), e cido Fosfrico*cido Fosfrico (p = 0.058) sugerem que esses efeitos so importantes.


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Adicionalmente, o MINITAB plota os grficos de resduos: Normal Probabilty Plot of the Residuals: necessrio utilizarmos o grfico de probabilidade Normal dos resduos para verificar se estes no se desviam de forma substancial de uma distribuio normal. Se os resduos seguem uma distribuio normal, os pontos descrevero, aproximadamente, a linha azul. Para esses dados, o grfico de probabilidade Normal dos resduos mostra que podemos pressupor que estes resduos seguem uma distribuio normal. A normalidade tambm pode ser avaliada atravs do histograma, mas o grfico de probabilidade normal , geralmente, mais informativo, especialmente no caso de amostras pequenas.


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Residuals Versus the Fitted Values: Utilizamos o grfico de resduos versus os valores ajustados para verificar se as seguintes suposies so satisfeitas: Varincia constante ao longo de todos os nveis dos fatores; No existe qualquer ponto discrepante nos dados.

Na sada grfica, observamos que os pontos parecem estar aleatoriamente distribudos em torno do valor zero no grfico de resduos versus os valores ajustados. Portanto, podemos considerar que as duas suposies acima foram satisfeitas.

Residuals Versus the Order of the Data: Utilizamos o grfico de resduos versus a ordem dos dados para verificar se os resduos so independentes. Se houver um efeito devido ordem de coleta dos dados, os resduos no estaro dispersos aleatoriamente ao redor de zero. Neste caso, ser possvel detectar um padro no grfico. Nesse exemplo, como a verdadeira ordem de coleta dos dados desconhecida, esse grfico no significante.


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Agora, queremos entender os efeitos desse modelo, avaliando um grfico de contorno e um grfico de superfcie de resposta. Passo 4: Criando grficos de contorno e superfcie de resposta 1 2 Selecione Stat > DOE > Response Surface > Contour/Surface Plots. Marque Contour plot e clique em Setup. Marque a opo Generate plots for all pairs of

factors. Clique em OK. 3 Marque Surface plot e clique em Setup. Marque a opo Generate plots for all pairs of

factors. Clique em OK em cada caixa de dilogo.


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Atravs desses grficos, podemos avaliar quais combinaes dos fatores nos fornecem valores mximos do rendimento de feijo. Alm disso, podemos ver a forma da superfcie de resposta e ter uma idia geral do rendimento em vrios ajustes de Nitrognio, cido Fosfrico, e Potssio.

Referncias Bibliogrficas: A.I. Khuri and J.A. Cornell (1987). Response Surfaces: Designs and Analyses. Marcel Dekker, Inc. Mason, R. L., 1946 - Statistical design and analysis of experiments: with applications to engineering and science / Robert L. Mason, Richard F. Gunst, James L. Hess. Wiley series in probability and mathematical statistics. Applied probability and statistics.

*Sobre a autora: Maria Luiza Toledo Graduada em Estatstica pela Universidade Federal de Minas Gerais-UFMG, Mestranda em Estatstica pela UFMG e faz parte da Equipe Tcnica da Minitab Brasil.

Nenhuma parte deste artigo poder ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo sem prvia autorizao por escrito da autora.


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