Dois Avisos: da aula · 2020. 9. 11. · Fundamentos de Mecânica –4300151 Prof. Renato F. Jardim –2020-2 1 Dois Avisos: (1) Provinha na segunda feira, 14/09, últimos ~ 25 minutos

Fundamentos de Mecânica – 4300151

Prof. Renato F. Jardim – 2020-2

1

Dois Avisos:

(1) Provinha na segunda feira, 14/09, últimos ~ 25 minutos

da aula – Recomendo que tenham papel em mãos ! E-mails

alternativos [email protected] ou [email protected]

(2) A partir de 19/09, haverá necessidade de “senha” para

participar das aulas online. Essa senha será enviada aos

estudantes, via e-mail, até antes da aula do dia 21/09 !

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



2

Relembrando as últimas aulas

Uma maratonista corre a uma velocidade constante de 15 km/h.

Quando ela está a 7,5 km da chegada, um pássaro começa a

voar dela à chegada a uma velocidade de 30 km/h. Quando o

pássaro atinge a linha de chegada, ele se vira e voa de volta para

a maratonista, e então se vira novamente, repetindo as viagens

de ida e volta até que a maratonista alcance a linha de chegada.

Pergunta: Quantos quilômetros o pássaro viaja?

chegada

1. 10 km

2. 15 km

3. 20 km

4. 30 km

5. 35 km

O pássaro voa enquanto a maratonista estiver correndo.

A maratonista irá correr, até a chegada, 7,5 km mas em quanto tempo ?

(7,5 km) (1 hora/15 km), ou seja (½ hora) para correr os 7,5 km finais !

A pergunta que fica é: Qual intervalo de tempo o pássaro voa? O mesmo que a Maratonista, ou seja, (½ hora) !

Sendo assim, o pássaro voa (½ hora) a uma velocidade de 30 km/h

O pássaro voa então (½ h) (30 km/h) = 15 km – Resposta Correta – Alternativa 2



3

• Escalares: apenas números. Pode ser + ou -, pode ter unidades.

• Exemplos: temperatura, volume

• Os escalares seguem a aritmética comum

• Vetores: grandezas físicas que são completamente especificadas por uma magnitude e uma

direção no espaço.

• vetores são “coisas” que precisam de setas para serem representadas adequadamente ou na

forma de negrito

• eles têm sua própria aritmética, que é diferente da aritmética dos escalares

Pausa para discutir Grandezas

Escalares e Vetoriais

Retornando à descrição do Movimento !



4

Velocidade Escalar Média e Velocidade Média

De maneira geral, a velocidade v,

genericamente falando, é a taxa na qual a

posição de um objeto é alterada através do

tempo, ou seja, v = x/t

A velocidade escalar média é uma grandeza

escalar, definida como sendo a razão entre a

distância total percorrida pelo intervalo de

tempo gasto para percorrer tal distância...

Por outro lado, a velocidade média é uma

grandeza vetorial; ela sempre deve estar

ciente da sua direção. A velocidade média é o

deslocamento (xf – xi) (uma grandeza

vetorial) dividido pelo tempo gasto na

mudança de posição...

Como a “velocidade” inclui a direção, é possível que dois objetos tenham

as mesmas velocidades (escalar e vetorial), mas velocidades médias

diferentes. Exemplo:

Se você viajou de trem para visitar um amigo, pode ir 30

quilômetros por hora (km/h) ao norte no caminho para lá e 30 km/h

ao sul no caminho de volta. Sua “velocidade” escalar média é a

mesma tanto na ida quanto na volta, mas sua “velocidade” média

(vetorial) é diferente porque sua direção de movimento foi

alterada.

Outra diferença entre velocidade escalar e velocidade vetorial é a

forma como a média é calculada. A velocidade escalar média

depende da distância total que você viajou. A velocidade média

depende do deslocamento (xf – xi) : de onde você está e onde você

começou.

Ao se deslocar para o norte, sua velocidade escalar média seria 30

km/h (não é necessário saber se foi para o norte) e sua velocidade

média seria 30 km/h norte. Após a viagem de ida e volta, sua

velocidade escalar média de viagem ainda seria de 30 km/h.

Sua velocidade média, entretanto, seria 0 km/h porque o seu

deslocamento (xf – xi) terminou exatamente onde começou.



5

Agora a ideia é avançar e:

• Definir a velocidade escalar média e velocidade média

de um objeto em movimento unidimensional – 1D.

• Calcular a velocidade escalar média e velocidade

média de um objeto em movimento unidimensional – 1D

a partir de gráficos de movimento.

• Correlacionar a geometria dos gráficos de movimento

com a velocidade escalar média e velocidade média de

um objeto em movimento em uma dimensão ou

unidimensional.


Distância média

• O próximo passo para descrever o movimento do objeto é

determinar a velocidade escalar média do movimento.

• A taxa na qual a curva x-versus-t aumenta com o aumento do

tempo é chamada de inclinação da curva:

• Observar como a inclinação se torna menos acentuada quando a

velocidade do objeto diminui.

Caminhar até

x = 4,8 m

....leva cerca de 2,33 s na

velocidade normal para

Atingir 4,8 m!

velocidade

normal

metade

da velocidade

normal

....duas vezes mais (2x)

na metade da velocidade para

Atingir 4,8 m!

x1x2

t2t1

1

2



6

• Definições: xi é a posição no início do movimento, xp é a

posição durante a parada ou pausa e xf é a posição no final do

movimento !

• A velocidade escalar média de um objeto é a distância

percorrida dividida pelo intervalo de tempo necessário para

percorrer essa distância.

• A curva 2 indica que o homem percorre uma distância total

de 5,2 m = 3,8 m + 1,4 m ((de 1,0 m até 4,8 m (3,8 m) e depois

de 4,8 até 3,4 m (1,4 m)) em 6,0 s:

• Velocidade escalar média = distância percorrida/intervalo

de tempo

• Velocidade escalar média = (5,2 m)/(6,0 s) = 0,87 m/s.

Velocidade Escalar Média

início

início pausa

fim

fim

curva 1

caminha lentamente

e para a frente do

início ao fim

curva 2

caminha rapidamente

para a frente, faz

uma pausa e volta

lentamente até o fim

pausa

fim

curva 2

x = + 2,4 m

t = 6,0 s

t = 1,0 s

t = 1,0 s

x = - 0,58 m

x = + 1,7 m

xp = 4,8

xi = 1,0

xf = 3,4



7

• Vamos supor que iremos utilizar um hodômetro para

medir a distância percorrida por um objeto – homem,

carro, bicicleta etc!

• A velocidade escalar média seria então obtida através

da divisão da leitura do hodômetro, em metros, por

exemplo, pela duração da viagem em segundos, minutos

ou horas:

Velocidade Escalar Média = (distância

percorrida/intervalo de tempo gasto na viagem)

• Esta velocidade média NÃO é, a priori, a mesma que

sua velocidade em um determinado instante

• Se a posição versus tempo for uma linha reta:• inclinação constante velocidade constante

• todos os intervalos ao longo da linha têm a

mesma velocidade média

• Se a posição vs tempo for uma linha plana:• o objeto não está se movendo

Velocidade Escalar Média

pausa

fim

curva 2

x = + 2,4 m

t = 6,0 s

t = 1,0 s

t = 1,0 s

x = - 0,58 m

x = + 1,7 m

xp

xi

xf

Vamos trabalhar esse ponto !



8

Velocidade Média

(a) Usando a curva 2, em que instante o homem

passou pela primeira vez na posição xf = + 3,4 m ?

(b) Qual era sua velocidade escalar média até aquele

instante?

(a) Primeiro passo: localizar a posição xf = + 3,4 mSão dois pontos mas a pergunta é: em que instante o homem

passou pela primeira vez na posição xf = + 3,4 m ?

(b) Traçar uma reta paralela ao eixo y que intercepte a posição

xf = + 3,4 m

(c) A reta intercepta o eixo x (t (s)) em t = 1,4 s !

Resposta de (a) = t = + 1,4 s

(b) A velocidade escalar média nesse ponto é a inclinação da

reta

x ÷ t = (1,7 m)/(1,0 s) = 1,7 m/s !

Resposta de (b) = x/t = 1,7 m/s

pausa

fim

curva 2

x = + 2,4 m

t = 6,0 s

t = 1,0 s

t = 1,0 s

x = - 0,58 m

x = + 1,7 m

xp = 4,8

xi = 1,0

xf = 3,4

t = 1,4 s



9

• Em um gráfico de posição como função do tempo

(x(t)), quanto mais acentuada for a inclinação da

curva, maior será a velocidade escalar.

• Compare as velocidades escalares médias durante o

primeiro e o terceiro segmentos do movimento

representado pela curva 2 na figura.

pausa

fim

curva 2

x = + 2,4 m

t = 6,0 s

t = 1,0 s

t = 1,0 s

x = - 0,58 m

x = + 1,7 m

xp = 4,8

xi = 1,0

xf = 3,4

No segmento 1 (primeiro)

A velocidade escalar média é a inclinação da reta

x ÷ t = (1,7 m)/(1,0 s) = 1,7 m/s !

No segmento 2 (segundo)


A inclinação é zero, o homem está parado e portanto a

velocidade escalar média é Zero.

No segmento 3 (terceiro)


x ÷ t = (0,58 m)/(1,0 s) = 0,58 m/s (voltando ! Sinal ?)

Velocidade Média

1

2

3

Observação: Notar a INCLINAÇÃO DA RETA

(positiva ou negativa) e os valores das velocidades

(segmentos 1, 2 e 3)!



10

Velocidades

• A quantidade que fornece a velocidade e a

direção da viagem é a velocidade média.

• A componente x da velocidade média de um

objeto é a componente x de seu deslocamento

(xf – xi) dividido pelo intervalo de tempo

necessário para percorrer esse deslocamento.

• velocidade escalar: “O carro está indo a 100

km/h”

• velocidade: “O carro está indo 100 km/h

para oeste”




11

Velocidade escalar média e

velocidade média

• Com cerca de 20 minutos de

sobra, você caminha vagarosamente

da sua casa para a aula, que fica a

1,0 km = 1.000 m de distância.

• No meio do caminho, você

percebe que esqueceu seu caderno e

corre de volta para sua casa.

• Você caminhou 6,0 minutos antes

de se virar e correr três vezes mais

rápido por unidade de tempo do

que ao caminhar.

• Quais são (a) a componente x de

sua velocidade média e (b) sua

velocidade escalar média durante

toda a viagem?

Para iniciar a elucidação deste problema, ajuda bastante

fazer um esboço para visualizar a situação

CasaSala de

Aula

0,5 km 0,5 km

Caminhando

Correndo

6,0 minutos

vcor = 3 vcam

Para encontrar a componente x de sua velocidade média é necessário dividir

a componente x do seu deslocamento (xf – xi) pelo intervalo de tempo no

qual esse deslocamento ocorreu. Para encontrar sua velocidade escalar

média, é necessário dividir a distância percorrida pelo intervalo de tempo.



12

(a) Quando você está de volta a sua casa, a

componente x de seu deslocamento (xf – xi) é

zero porque suas posições inicial e final são as

mesmas.

Portanto, a componente x de sua velocidade

média também é zero. ✔

velocidade média = (componente x do

deslocamento)/(tempo)


(b) Você “viajou” na metade do caminho para a aula e de volta.

Portanto, você “viajou” 0,5 km duas vezes, sendo o total de 1,0

km. Você caminhou por 6,0 min. Como você corre três vezes

mais rápido do que anda, levou apenas 2,0 minutos para

retornar. O tempo total de ida e volta é então de 8,0 min (6,0 +

2,0) ou 480 s. Sua velocidade escalar média, portanto, é

(distância percorrida)/(intervalo de tempo) = (1000 m)/(480 s) =

2,1 m / s.

CasaSala de

Aula

0,5 km 0,5 km

Caminhando

Correndo

6,0 minutos

vcor = 3 vcam



13

AVALIAÇÃO DO RESULTADO

Se você INICIA e TERMINA no

mesmo lugar, na mesma posição, o seu

deslocamento (xf – xi) é zero e,

portanto, sua velocidade média é zero,

não importa o que aconteça.

Para (b): a velocidade escalar média é

de 2,1 m/s (ou ~ 4,7 mi/h), ou seja, em

uma faixa bastante razoável para uma

pessoa que faz uma combinação de

caminhada e corrida.


Dirigindo na cidade

Você precisa dirigir até uma loja que fica 1,0 mi a oeste de sua

casa, na mesma rua em que você mora. Existem 5 (cinco)

semáforos entre sua casa e a loja, e em sua viagem você atinge

todos os cinco assim que eles “mudam” para vermelho.

Enquanto você está se movendo, sua velocidade escalar média é

de 20 mi/h, mas você tem que esperar 1 minuto em cada um dos

semáforos.

(a) Quanto tempo você leva para chegar à loja?

(b) Qual é a distância percorrida ?

(c) Qual é a velocidade escalar média para concluir a viagem?

Vamos a + um exemplo com

unidades do sistema inglês

É sempre bom recordar

que 1 mi (milha) ~ 1,6 km

= 1600 m



14


❶ INICIANDO

1. Desenhe um diagrama que o ajude a

visualizar todos os segmentos em movimento e

parados e sua velocidade em cada segmento.

Faz diferença onde os semáforos estão

localizados?

2. Você inicia e para, acelera e desacelera. O

que significa a velocidade escalar média neste

caso e como ela se relaciona com o seu

deslocamento (xf – xi) em cada segmento?

Norte

Sul

LesteOeste

CasaLoja

Vetor Deslocamento (xf – xi)

1 mi Oeste

1,6 km Oestevelocidade escalar média é de 20 mi/h

t em cada semáforo: 60 s



15

❷ PLANO DE AÇÃO

3. Durante quanto tempo você está se

movendo? Durante quanto tempo você fica

parado nas luzes?

4. Qual é o seu deslocamento (xf – xi) para

executar a viagem?

5. Como você pode aplicar as respostas às

perguntas para obter sua velocidade média?

6. Qual é a distância percorrida e como ela se

relaciona com sua velocidade escalar média?

7. Como a velocidade média e a velocidade

escalar média estão relacionadas neste caso?


Norte

Sul

LesteOeste

CasaLoja


1 mi Oeste

1,6 km Oeste

velocidade escalar média é de 20 mi/h




16

❸ EXECUTANDO O PLANO

O tempo total gasto na viagem é: tempo se deslocando +

tempo gasto nos semáforos !

20 mi/h (1 h/60 min) = 1/3 mi/min

1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 mi em 3 min

Tempo total gasto = 3 min + 5 min = 8 min = 480 s

(a) Você leva 8 min = 480 s para chegar à loja !

(b) A distância total percorrida é de 1 mi ou ~ 1600 m!

(c) A velocidade escalar média para concluir a viagem =

distância percorrida/tempo gasto = (1 mi)/(8 min) ou

ainda (1 mi/8 min) (60 min/1 h) = 7,5 mi/h ~ 3,3 m/s

CasaLoja


1 mi Oeste

1,6 km Oeste


velocidade escalar média é de 20 mi/h




17


1. A velocidade média (vetorial) é a razão entre

o deslocamento (xf – xi) e o tempo gasto para esse

deslocamento;

2. (xf – xi) = 1 mi, ou seja, ~ 1.600 m;

3. O tempo gasto para percorrer essa 1 mi foi

de 8 min = 480 s;

4. velocidade média = 1.600 m/480 s

= 3,3 m/s na Direção

de Leste para Oeste!

Neste caso, as velocidades médias (escalar e

vetorial) são as mesmas ~ 3,3 m/s mas os

detalhes do movimento NÃO !

Norte

Sul

LesteOeste

CasaLoja


1 mi Oeste

1,6 km Oeste



18

Velocidade Média de um Gráfico

Tempo (s)

• Calcular a velocidade média:

• entre [0, 1 s]?

Resposta: as posições inicial xi e final xf

não foram alteradas, ou seja, xi e xf = 20

m entre [0, 1 s].

A velocidade média = (xf – xi)/1 s

= 0 m/1 s

= 0 m/s

Lembrar que: a componente x da velocidade média de um objeto

é a componente x de seu deslocamento (xf – xi) (vetor) dividido pela duração

do intervalo de tempo necessário para percorrer esse deslocamento.



19


Tempo (s)


• entre [1, 3 s]?

Resposta: o objeto se desloca de xi = 20

m até xf = 60 m em um intervalo de

tempo de 2 s.

velocidade média = (xf – xi) m/2 s

= (60 -20) m/2 s

= 40 m/2 s

= 20 m/s, na direção

crescente do movimento !

x = + 40 m

t = 2 s



20


Tempo (s)


• entre [0, 3 s]?

Resposta: o objeto se desloca de xi = 20 m

até xf = 60 m em um intervalo de tempo de

3 s.

velocidade média = (xf – xi)/3 s

= (60 – 20)m/3 s

= 13,33 m/s, na direção

crescente do movimento !

x = + 40 m

t = 3 s



21


Tempo (s)


• entre [3, 6 s]?

Resposta: o objeto se desloca de xi = 60 m até xf

= 20 m em um intervalo de tempo de 3 s.

velocidade média = (xf - xi ) m/3 s

= (20 – 60) m/3 s

= - 40 m/3 s = - 13,33 m/s

Na direção decrescente do movimento !

t = 3 s



22


Tempo (s)


• entre [0, 6 s] ou o gráfico todo ?

Resposta: o objeto se desloca de xi = 20 m mas

retorna a sua posição inicial em xf = 20 m após

um intervalo de tempo de 6 s.

velocidade média = 0 m/6 s = 0 m/s

Documents

Dois Avisos: da aula · 2020. 9. 11. · Fundamentos de Mecânica –4300151 Prof. Renato F. Jardim –2020-2 1 Dois Avisos: (1) Provinha na segunda feira, 14/09, últimos ~ 25 minutos