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outubro de 2015

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015

Domingos Dias

Estudo etnomatemtico sobre o grupo tnico Nyaneka-nkhumbi do Sudoeste de Angola. Aplicaes Educao Matemtica

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Universidade do MinhoInstituto de Educao

Trabalho efetuado sob a orientao do Professor Doutor Pedro Manuel Baptista Palhares e da Professora Doutora Maria Ceclia Rosas Pereira Peixoto da Costa

Tese de Doutoramento em Cincias da Educao Especialidade em Educao Matemtica

outubro de 2015

Domingos Dias

Estudo etnomatemtico sobre o grupo tnico Nyaneka-nkhumbi do Sudoeste de Angola. Aplicaes Educao Matemtica

Universidade do MinhoInstituto de Educao

Dedicatria

vii

AGRADECIMENTOS

A efetivao deste trabalho aconteceu graas conjugao de vrias foras harmnicas. Para o

reconhecimento destas foras vou exprimir, no mnimo, com palavras o incomensurvel que sinto no

fundo do corao e difcil de verbalizar. Mui grato:

- a Deus omnipotente pela vida e oportunidade proporcionadas;

- ao Professor Doutor Pedro Palhares pela sapincia na orientao, apoios e contributos prestados;

- Professora Doutora Ceclia Costa pela orientao magnfica, apoios e contributos concedidos;

- famlia Palhares (Professor Doutor Palhares, Professora Doutora Dina, Joo e Diogo) pelo carinho,

convvio e alojamento na sua prpria residncia a custo zero;

- ao Professor Doutor Leonel Vieira pela contribuio dada;

- s Professoras das turmas dos participantes portugueses pelo tempo, apoio e contribuies

concedidas para o trabalho de investigao;

- aos alunos dos cursos de licenciatura e de mestrado portugueses por aceitarem participar no

trabalho de investigao;

- aos cinco Professores angolanos de alunos da comunidade Nyaneka-nkhumbi pela contribuio no

trabalho de investigao;

- ao Subdiretor, Mestre Joaquim Tavares e ao Tcnico Adelino Jamba ambos da Escola do II ciclo do

Ensino Secundrio do Xangongo (Angola) pelo apoio prestado;

- Professora Doutora Cristina Parente e Professora Doutora Alexandra Gomes pelo apoio prestado;

- ao Doutor Antnio Castro e Esposa, Dr. Nuno e Dr. Isabel, Dr. Ana e Dr. Rui pelo apoio e

acompanhamento concedidos;

- ao Governo Angolano pela oportunidade de estudo concedida;

- Direo e tcnicos da Universidade do Minho pela prestao de servios;

- aos colegas de doutoramento, em particular ao Mestre Pedro da Silva pela companhia e partilha;

- aos meus queridos irmos Joaquim e Mateus e outra famlia pelo apoio concedido;

- s minhas queridas irms Ana, Marta, Carmona e Edm e esposos pelo afeto e carinho;

- minha amada esposa (Madalena) e filhos (lgines, lginas, Blginas, Blgines, Clsia, Deginas,

Clsio, Arlindo, Fidalga, Aniluza, Marlina, Jamba, Ezequiel, Armando, Ndahalaombili e Betinho) pelo

carinho e amor;

- aos meus amados pais (Longuti e Vatateka) pelo incentivo, encorajamento e apoio concedidos;

viii

- a todos os que de algum modo contriburam para a consecuo deste trabalho.

ix

RESUMO

A etnomatemtica e a educao matemtica constituem as grandes temticas deste trabalho. uma

resposta diversidade cultural, em prol de maior equidade na aprendizagem de uma matemtica com

significado. Para a conexo dicotmica destas temticas e com base nos conhecimentos endgenos do

grupo tnico Nyaneka-nkhumbi do sudoeste de Angola, buscamos e mostramos os conhecimentos

matemticos em artefactos deste grupo, a partir dos quais construmos tarefas direcionadas a alunos

do 1. ciclo do ensino bsico. Construiu-se uma primeira verso das tarefas, a qual foi primeiro sujeita

a uma reviso crtica por um professor portugus de larga experincia profissional nesta matria.

Seguiu- -se a reviso crtica de um grupo de professores primrios angolanos com experincia na

lecionao a alunos desta comunidade (participantes no estudo grupo PNN). A verso final das

tarefas foi aplicada no contexto de formao em duas turmas de futuros professores portugueses do

1. ciclo do ensino bsico, alunos de cursos de licenciatura (grupo A) e de mestrado (grupo B) de duas

universidades portuguesas, no sentido de se verificar a sua adequabilidade e relevncia didtica.

Recolhemos e analisamos as produes e comentrios dos participantes. Para uma anlise alargada

dos dados elaborou-se um inqurito por questionrio fundamentado nos comentrios do grupo PNN o

qual foi aplicado aos grupos A e B aps as sesses.

Os objetivos deste estudo constituram-se: i) na anlise e reconstruo de elementos matemticos na

tradio do povo Nyaneka-nkhumbi do sudoeste de Angola; ii) na construo de tarefas para a

educao matemtica que usem a tradio do povo Nyaneka-nkhumbi como contexto cultural

integrador. De modo particular, visa averiguar o impacto das tarefas aplicadas: se so significativas no

contexto do 1. ciclo do ensino bsico da comunidade Nyaneka-nkhumbi de Angola e, no s, tambm

no contexto portugus onde se regista um nmero considervel de emigrantes africanos e de todo o

mundo. Este trabalho est alicerado na linha de investigao de DAmbrsio, Gerdes, Palhares e

tantos outros. Parece-nos uma rea de investigao nova e rica de conhecimentos

matemticos/geomtricos inditos, que propicia materiais didticos com potencial para serem

utilizados em diversas partes do mundo. A anlise das produes, comentrios e resposta ao inqurito

por parte dos participantes produziram resultados positivos.

Esperamos que com este estudo estejamos a contribuir para uma educao contextualizada e uma

valorizao de culturas no campo da cincia quer a nvel local, quer a nvel global. Estaremos, tambm,

a promover e a estimular o gosto pela matemtica a qual temida por muitos em certos lugares e a

elevar o nvel da matemtica para o sucesso escolar.

xi

ABSTRACT

Ethnomathematics and mathematics education are the major themes of this work. It is a response to

cultural diversity, to promote greater equity in learning a meaningful math. For a dichotomous

connection of these issues and based on the indigenous knowledge of the ethnic group Nyaneka-

nkhumbi from the southwest of Angola, we searched for and present here the mathematical knowledge

in artifacts of this group, from which we built tasks aimed to students of the 1st cycle of basic

education. We built a first version of the tasks, which was first subjected to a critical review by a

Portuguese professor of extensive professional experience in this field. There followed a critical review of

a group of Angolan primary teachers with experience in teaching the students of this community

(participants in the study - PNN group). The final version of the tasks has been applied to two groups of

future Portuguese teachers of the 1st cycle of basic education, students of licenciate degree course

(group A) and master's degree course (group B) of two Portuguese universities, in order to check the

suitability and didactic relevance of teaching. We collected and analyze the productions and comments

from participants. For an extensive analysis of the data we elaborated a questionnaire based on PNN

Group comments which was applied to groups A and B after the sessions. The goals of this study were

constituted by: i) the analysis and reconstruction of mathematical elements in the tradition of the

Nyaneka-nkhumbi people of the southwest of Angola; ii) the construction of tasks for mathematics

education that use the Nyaneka-nkhumbi people's tradition as an integrating cultural context. In

particular, it aims to assess the impact of the tasks applied: if they are significant in the context of the

1st cycle of basic education of the Nyaneka-nkhumbi community of Angola and not only, also in the

Portuguese context where there is a considerable number of African migrants, and throughout the

world. This work is grounded in DAmbrsio research line, Gerdes, Palhares and many others. It seems

to us a new field of research rich of new mathematical geometry knowledge, which provides teaching

materials with potential for use in various parts of the world. The analysis of the production, comments

and survey responses from the participants produced positive results.

We hope that with this study we are contributing to a contextualized education and an appreciation of

cultures in science, both locally or globally. We will also be promoting and encouraging students to

appreciate mathematics, which is feared by many in some places and to raise the level of mathematics

for school success.

xiii

NDICE

CAPTULO I ............................................................................................................................. 1

INTRODUO ......................................................................................................................... 1

1.1 - Pertinncia do estudo ........................................................................................................ 1

1.2 - Objetivos e questes do estudo .......................................................................................... 2

1.3 - Design do estudo ............................................................................................................... 3

1.4 - Estrutura do estudo ........................................................................................................... 5

1.5 - Conceitos principais .......................................................................................................... 7

CAPTULO II ........................................................................................................................... 9

ETNOMATEMTICA .............................................................................................................. 9

2.1 - Breve historial sobre a frica e a etnomatemtica .............................................................. 9

2.2 - Etnomatemtica. Surgimento e conceito ......................................................................... 13

2.3 - Artefactos ....................................................................................................................... 20

2.4 - Jogos ............................................................................................................................. 28

2.5 - Sistemas de numerao ................................................................................................. 36

CAPTULO III ....................................................................................................................... 51

ETNOMATEMTICA E EDUCAO MATEMTICA ......................................................... 51

3.1 - Alguns aspetos sobre etnomatemtica ............................................................................ 51

3.2 - Aplicaes da etnomatemtica educao matemtica: alguns estudos ......................... 60

CAPTULO IV ....................................................................................................................... 73

METODOLOGIA ................................................................................................................... 73

4.1 - Breve descrio sobre o grupo tnico Nyaneka-nkhumbi ................................................. 73

4.2 - Sobre investigao em educao .................................................................................... 77

4.3 - Opo metodolgica ....................................................................................................... 82

4.4 - Participantes .................................................................................................................. 84

4.5 - Sobre as tarefas ............................................................................................................. 86

4.6 - Sobre a recolha de dados ............................................................................................... 90

CAPTULO V......................................................................................................................... 99

ESTUDO ETNOMATEMTICO SOBRE O GRUPO TNICO NYANEKA-NKHUMBI :

RESULTADOS ...................................................................................................................... 99

5.1 - Enfeites tpicos das mulheres Nyaneka-nkhumbi ............................................................. 99

5.2 - Cestaria no contexto das mulheres Nyaneka-nkhumbi ................................................... 103

xiv

5.3 - Jogos no contexto dos Nyaneka-nkhumbi ...................................................................... 119

5.4 - Casas tradicionais de pau-a-pique dos Nyaneka-nkhumbi .............................................. 132

5.5 - Armadilhas dos caadores Nyaneka-nkhumbi ................................................................ 146

5.6 - Sistema de numerao dos Nyaneka-nkhumbi .............................................................. 154

CAPTULO VI ..................................................................................................................... 163

AS TAREFAS ...................................................................................................................... 163

6.1 - Finalidades das tarefas ................................................................................................. 163

6.2 - Propostas de resoluo e explorao das tarefas ........................................................... 166

CAPTULO VII .................................................................................................................... 199

ANLISE DAS REAES DO GRUPO PNN S TAREFAS .............................................. 199

7.1 - Na primeira sesso....................................................................................................... 199

7.2 - Na segunda sesso ...................................................................................................... 200

7.3 - Sntese ......................................................................................................................... 215

CAPTULO VIII ................................................................................................................... 221

ANLISE DA APLICAO DAS TAREFAS ....................................................................... 221

8.1- Anlise dos dados sobre as atividades de tarefas ........................................................... 221

8.2 - Anlise comparativa sobre os resultados dos grupos A e B ............................................ 325

CAPTULO IX ..................................................................................................................... 333

ANLISE DOS DADOS DO INQURITO DE OPINIES SOBRE TAREFAS .................... 333

9.1 - Anlise dos dados do inqurito ..................................................................................... 333

CAPTULO X ....................................................................................................................... 363

DISCUSSO E CONCLUSES .......................................................................................... 363

10.1 - Sntese do estudo ....................................................................................................... 363

10.2 - Discusso .................................................................................................................. 364

10.2.1 - Sobre o estudo etnomatemtico .............................................................................. 364

10.2.2 - Sobre etnomatemtica e educao matemtica ....................................................... 373

10.3 - Concluso .................................................................................................................. 378

10.4 - Recomendaes ......................................................................................................... 379

10.5 - Sugestes de futuras investigaes ............................................................................. 383

10.6 - Limitaes.................................................................................................................. 385

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ................................................................................... 387

ANEXO................................................................................................................................ 399

Anexo 1 .............................................................................................................................. 401

Carta explicativa do estudo aos participantes e declarao de consentimento informado ........ 401

xv

Anexo 2 .............................................................................................................................. 403

Ficha de tarefas aplicada aos futuros professores do ensino bsico ....................................... 403

Anexo 3 .............................................................................................................................. 415

PowerPoint sobre as tarefas apresentadas ............................................................................ 415

Anexo 4 .............................................................................................................................. 451

Inqurito de opinies sobre as tarefas ................................................................................... 451

Anexo 5 .............................................................................................................................. 455

Guio de entrevista ............................................................................................................... 455

Anexo 6 .............................................................................................................................. 457

Ficha de tarefas usada por 5 Professores angolanos (PNN) ................................................... 457

Anexo 7 .............................................................................................................................. 581

Programa de matemtica do I ciclo do ensino Primrio angolano .......................................... 581

FIGURAS

Figura 1 - Esquema do design do estudo .................................................................................................... 5

Figura 2 - frica no centro do planeta Terra ................................................................................................ 9

Figura 3 - Quipu ..................................................................................................................................... 22

Figura 4 - Konane ................................................................................................................................... 23

Figura 5 - Sona de cabea de bfalo (Gerdes, 2012b, p. 29) ...................................................................... 23

Figura 6 - Cesto para transporte de peixe (Gerdes, 2012a, p. 34) ............................................................... 24

Figura 7 - Armadilha de pesca (Gerdes, 2011b) ........................................................................................ 25

Figura 8 - Bola tradicional (Gerdes, 2011b, p. 66) ..................................................................................... 25

Figura 9 - Base da cesta (Vieira at al., 2008) ............................................................................................ 26

Figura 10 - Esquema de um compasso de reduo (Costa et al., 2008a, p. 212) ........................................ 27

Figura 11 - Alguns jogos de cordas (Jayne, 1962, p. 381) ......................................................................... 33

Figura 12 - Sistema de numerao da Guin Bissau (Gerdes, 2008b, p.18) ................................................ 37

Figura 13 - Sistema de numerao na lngua Bt da Costa de Marfim (Gerdes, 2008b, p.12) ..................... 38

Figura 14 - Princpio por subtrao na lngua Yoruba da Nigria (Gerdes, 2008b, p.17) ............................... 38

Figura 15 - Alguns sistemas de numerao .............................................................................................. 41

Figura 16 - Representao maia dos primeiros dezanove nmeros (Ifrah, 1985, p. 239) .............................. 43

Figura 17 - Contagem gestual indiana (Zaslavsky, 1996, p. 59).................................................................. 48

Figura 18 - Pitgoras Africano (Gerdes, 2011a, pp. 68-69) ........................................................................ 62

Figura 19 - Adinkra (Barta et al., 2014) .................................................................................................... 63

Figura 20 - Esquema de tranas .............................................................................................................. 64

Figura 21 - Esquema da trajetria simblica da galinha em fuga (Gerdes, 2014c, p. 22) .............................. 65

Figura 22 - Trabalhando os jugos em sala de aula (Costa et al., 2011a, p.107) ........................................... 66

Figura 23 - Produes dos alunos partindo de jugos em sala de aula (Costa et al., 2011b, p. 7) ................... 67

xvi

Figura 24 - Produo de um braso por uma aluna em sala de aula (Nascimento et al., 2010, p. 281)......... 68

Figura 25 - Exemplos de atividades matemticas envolvendo o corpo/movimento (Almeida, 2007)............... 71

Figura 26 - Globo terreste e mapa de Angola com indicao das provncias ................................................ 73

Figura 27 - Dana tradicional da mulher mumula ..................................................................................... 74

Figura 28 - Adolescentes: direita 1 mumula e esquerda 3 muhanda ..................................................... 76

Figura 29 - Eumbo dos Nyaneka-nkhumbi ................................................................................................ 77

Figura 30 - Mulheres Nyaneka-nkhumbi criana ( esquerda), jovem (ao centro) e casada ( direita) .......... 100

Figura 31 - Enfeites fabricados e usados pelas mulheres Nyaneka-nkhumbi (Fotografias da autoria do autor) ............................................................................................................................................................. 101

Figura 32 - Esquema do tringulo com elemento mnimo (Dias, 2011) ..................................................... 102

Figura 33 - Esquema ilustrativo do modo de enfiar as missangas num s fio (Dias & Costa, 2011) ............. 102

Figura 34 - Pulseiras usadas pelas mulheres Nyaneka-nkhumbi (Foto tirada pelo autor, Lubango (Angola) a

11.08.2011, pelas 08h48) ...................................................................................................................... 103

Figura 35 - Mulher Nyaneka-nkhumbi, construindo um cesto (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola) a

18.09.2013, 16h58) .............................................................................................................................. 104

Figura 36 - Cestos manufaturados por mulheres Nyaneka-nkhumbi (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola)

a 07.07.2012, 16h58) ............................................................................................................................ 105

Figura 37 - Uma Mulher munkhumbi comercializando a fuba de massango (Foto tirada pelo autor em Ondjiva

(Angola) a 07.07.2013, 09h16) ............................................................................................................... 105

Figura 38 - Cestos (antigos) usados e feitos pela mulher mula moendo cereais (Estermann, 1970, fig. 37) 107

Figura 39 - Exemplo de cesto pequeno (base 16 cm, boca 20 cm, altura 3 cm) (Foto tirada pelo autor em

Muvonde-Kipungo (Angola) a 27.08.2011, 11h44) .................................................................................... 107

Figura 40 - Exemplo de cesto grande (base 21cm, boca 37cm, altura 15cm) (Foto tirada pelo autor em Ondjiva

(Angola) a 06.09.2011, 11h51) ............................................................................................................... 108

Figura 41 - Cesto raso (Foto tirada pelo autor em Xangongo (Angola) a 30.06.2012, 15h08) ..................... 108

Figura 42 - Cesto fundo (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola) a 18.08.2011, 10h43) ....................... 109

Figura 43 - Base de um cesto fundo (idntica dos diversos cestos) (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola)

a 02.07.2011, 09h06) ............................................................................................................................ 110

Figura 44 - Espiral de Arquimedes ......................................................................................................... 110

Figura 45 - Exemplos de cestos com enfeites antigos (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola) a

02.07.2012, 11h23) .............................................................................................................................. 112

Figura 46 - Exemplos de cestos com enfeites atuais (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola) a 02.07.2012,

11h25) .................................................................................................................................................. 112

Figura 47 - Cestos rasos com mais de duas cores e com enfeites geomtricos (Foto tirada pelo autor em

Muvonde e Xangongo (Angola) a 30.06.2012) .......................................................................................... 113

Figura 48 - Cestos com enfeites geomtricos (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola), a 02.07.2012,

11h23) .................................................................................................................................................. 114

Figura 49 - Detalhe de um dos enfeites de um cesto (Foto tirada pelo autor em Xangongo (Angola), a

02.07.2012, 11h23) .............................................................................................................................. 114

Figura 50 - Cesto enfeitado com um friso (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola), a 12.07.2012, 09h46) ............................................................................................................................................................. 115

Figura 51 - Cestos no geomtricos onde se reconhecem reflexes e rotaes (Foto tirada pelo autor em

Ondjiva (Angola) a 02.07.2012, 14h40) ................................................................................................... 115

Figura 52 - Cesto com enfeites geomtricos que sugerem uma rotao (Foto tirada pelo autor em Ondjiva

(Angola) a 02.07.2012, 14h45) ............................................................................................................... 116

xvii

Figura 53 - Cesto com enfeites geomtricos que sugerem uma homotetia (Foto tirada pelo autor em Ondjiva

(Angola) a 19.06.2012, 08h12) ............................................................................................................... 116

Figura 54 - Cesto (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola) a 24.06.2012, 15h13) ................................ 117

Figura 55 - Caracol de Pascal ................................................................................................................ 117

Figura 56 - Esboo de trs dos enfeites geomtricos usados nos cestos ................................................... 117

Figura 57 - Lwinda ou oondo (cesto de armadilha para apanhar ratos), (Foto tirada pelo autor em Kuyu, Benguela (Angola) a 22.08.2014, 9h30) .................................................................................................. 118

Figura 58 - Esquema de lwinda hexagonal na posio vertical (da autoria do autor, a 14.11.2014) ............. 119

Figura 59 - Esquema de lwinda hexagonal na posio lateral (da autoria do autor a 14.11.2014) ............... 119

Figura 60 - ltima fase do jogo (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola), a 02.08.2012) ....................... 120

Figura 61 - Ondjandja (pssaro de tipo pardal), (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola) a 15.09.2012) . 120

Figura 62 - 1. posio do jogo (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola) a 02.08.2012) ........................ 121









Figura 71 - 10. posio do jogo (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola) a 02.08.2012) ...................... 126


Figura 73 - 12.A posio do jogo (foto do autor em Ondjiva (Angola) a 02.8.2012) ................................... 127

Figura 74 - 12.B posio do jogo (Foto tirada pelo autor em Ondjiva (Angola) a 02.08.2012) .................... 127







Figura 81 - Jovens jogando owela (Tirada pelo irmo do autor na Hula (Angola) a 9.9.2010) ..................... 130

Figura 82 - Regras de owela em fluxograma ........................................................................................... 131

Figura 83 - Desenho na areia dos Chokwe (Angola) (Gerdes, 2007a, p. 148) ............................................ 132

Figura 84 - Esquema das casas de uma famlia (da autoria do autor a 9.7.2015) ...................................... 134

Figura 85 - Esquema do corte de troncos com machado (da autoria do autor a 09.12.2014) ..................... 139

Figura 86 - Marcao de uma casa de pau-a-pique (Foto tirada pelo autor em Qu-Chikomba Hula (Angola) a 26.08.2011) direita esquema da marcao (da autoria do autor) ......................................................... 141

Figura 87 - Fase da construo de uma casa de pau-a-pique (Foto tirada pelo autor em Qu-Chikomba Hula (Angola) a 26.08.2011) ........................................................................................................................... 142

Figura 88 - Fase final da construo de uma casa de pau-a-pique (Foto tirada pelo autor em Qu-Chikomba Hula (Angola) a 26.08.2011) .................................................................................................................. 143

Figura 89 - Casas retangulares com material de construo misto (Foto tirada pelo irmo do autor, Joaquim

Tavares em Shiangalala-Ombadja (Angola) a 8.7.2015) ............................................................................. 144

Figura 90 - Esquema de divises internas de uma casa do Nyaneka-nkhumbi (Figura da autoria do autor a 25.05.2012) .......................................................................................................................................... 144

xviii

Figura 91 - Eumbo de um Nyaneka-nkhumbi (Foto tirada pelo autor em Qu- Chikomba Hula (Angola) a 26.08.2011) .......................................................................................................................................... 145

Figura 92 - Omuiyo (Foto tirada pelo autor, Muvonde Kipungo (Angola) a 27.08.2012) ........................... 147

Figura 93 - Eliva (Foto tirada pelo autor, Muvonde Kipungo (Angola) a 27.08.2012) ............................... 148

Figura 94 - Katiamununa (Ratoeira)(Foto tirada pelo autor, Muvonde Kipungo (Angola) a 27.08.2012) ..... 148

Figura 95 - Esquema etnomatemtico de omuiyo (Figura da autoria do autor) ........................................... 152

Figura 96 - Esquema etnomatemtico do movimento do omuiyo (Figura da autoria do autor) ..................... 152

Figura 97 - Esquema etnomatemtico de Eliva (Figura da autoria do autor) ............................................... 153

Figura 98 - Esquema etnomatemtico de katiamununa (Figura da autoria do autor) .................................. 154

Figura 99 - Forma de contagem dos Nyaneka-nkhumbi ........................................................................... 155

Figura 100 - Contagem Nyaneka-nkhumbi (Dias, 2011) .......................................................................... 159

Figura 101 - Enunciado da 1. parte da tarefa 1 ..................................................................................... 167

Figura 102 - Possvel esquema de ondjandja .......................................................................................... 167


Figura 104 - Possveis figuras geomtricas semelhantes no esquema de ondjandja ................................... 168

Figura 105 - Figuras geomtricas extradas do esquema de ondjandja...................................................... 169

Figura 106 - Figuras geomtricas extradas do esquema de ondjandja...................................................... 170
















Figura 122 - Resoluo possvel da 3. parte da tarefa 7 ......................................................................... 184

Figura 123 - Enunciado da tarefa 8 ....................................................................................................... 184



Figura 126 - Enunciado da 1. parte da tarefa 10 ................................................................................... 186






Figura 132 - Enunciado da tarefa 12 ..................................................................................................... 189



xix

Figura 135 - Possvel resoluo da forma de contagem de 100 missangas por Artur ................................. 191

Figura 136 - Possvel resoluo da forma de contagem de 100 missangas por Berto ................................ 192

Figura 137 - Possvel resoluo da forma de contagem de 100 missangas por Carlos ............................... 192

Figura 138 - Possvel resoluo da forma de contagem de 100 missangas por Drio ................................. 193



Figura 141 - Figuras geomtricas extradas do enfeite do cesto ................................................................ 194

Figura 142 - Figuras geomtricas extradas do cesto ............................................................................... 195





Figura 147 - Partes semelhantes do esquema do cesto divididas pela coluna sinalizada ............................ 197

Figura 148 - Tarefa sobre o ondjandja apresentada ao grupo PNN ........................................................... 201

Figura 149 - Tarefa 1 sobre enfeites apresentada ao grupo PNN .............................................................. 203







Figura 156 -Tarefa sobre casas de pau-a-pique apresentada ao grupo PNN .............................................. 212

Figura 157 - Tarefa sobre cestos apresentada ao grupo PNN................................................................... 215


Figura 159 - ltimo passo de owela alcanado pelo participante .............................................................. 223

Figura 160 - Esquema 1 de ondjandja ................................................................................................... 223

Figura 161 - Esquema 2 de ondjandja ................................................................................................... 224

Figura 162 - Esquema 3 de ondjanja ..................................................................................................... 224


Figura 164 - Excerto ............................................................................................................................. 225

Figura 165 - Esquema de ondjandja ...................................................................................................... 226

Figura 166 - Excerto ............................................................................................................................. 226


Figura 168 - Contagem gestual at 12 apresentada pelo participante ....................................................... 227


Figura 170 - Representao gestual do nmero 15 em Nyaneka-nkhumbi ................................................ 228

Figura 171 - Representao gestual do nmero 40 ................................................................................. 228

Figura 172 - Representao gestual do nmero 101 ............................................................................... 228

Figura 173 - Representao gestual numrica ........................................................................................ 229




Figura 177 - Excerto ............................................................................................................................. 231


Figura 179 - Quadro de owela adaptado no quadro branco da sala de aula ............................................... 233

xx


Figura 181 - Quadro ilustrativo de owela ................................................................................................ 234

Figura 182 - Excerto ............................................................................................................................. 234


Figura 184 - Excerto ............................................................................................................................. 235

Figura 185 - Excerto ............................................................................................................................. 236

Figura 186 - Excerto ............................................................................................................................. 237


Figura 188 - Excerto ............................................................................................................................. 238

Figura 189 - Excerto ............................................................................................................................. 239

Figura 190 - Excerto ............................................................................................................................. 239


Figura 192 - Excerto ............................................................................................................................. 240

Figura 193 - Excerto ............................................................................................................................. 240


Figura 195 - Excerto ............................................................................................................................. 241

Figura 196 - Excerto ............................................................................................................................. 241


Figura 198 - Excerto ............................................................................................................................. 242

Figura 199 - Excerto ............................................................................................................................. 242

Figura 200 - Excerto ............................................................................................................................. 242


Figura 202 - Excerto ............................................................................................................................. 243

Figura 203 - Excerto ............................................................................................................................. 243

Figura 204 - Excerto ............................................................................................................................. 244


Figura 206 - Excerto ............................................................................................................................. 244

Figura 207 - Excerto ............................................................................................................................. 245


Figura 209 - Excerto ............................................................................................................................. 246

Figura 210 - Excerto ............................................................................................................................. 246

Figura 211 - Excerto ............................................................................................................................. 247

Figura 212 - Excerto ............................................................................................................................. 247

Figura 213 - Excerto ............................................................................................................................. 247


Figura 215 - Excerto ............................................................................................................................. 248

Figura 216 - Excerto ............................................................................................................................. 249

Figura 217 - Excerto ............................................................................................................................. 250

Figura 218 - Excerto ............................................................................................................................. 251


Figura 220 - Excerto ............................................................................................................................. 252

Figura 221 - Excerto ............................................................................................................................. 252


Figura 223 - Padres criados pelo grupo A ............................................................................................. 253


xxi

Figura 225 - Excerto ............................................................................................................................. 254

Figura 226 - Excerto ............................................................................................................................. 254

Figura 227 - Excerto ............................................................................................................................. 255

Figura 228 - Excerto ............................................................................................................................. 255

Figura 229 - Enunciado da tarefa 8 ....................................................................................................... 256

Figura 230 - Excerto ............................................................................................................................. 256

Figura 231 - Excerto ............................................................................................................................. 257

Figura 232 - Excerto ............................................................................................................................. 258

Figura 233 - Excerto ............................................................................................................................. 258


Figura 235 - Excerto ............................................................................................................................. 259

Figura 236 - Excerto ............................................................................................................................. 259


Figura 238 - Excerto ............................................................................................................................. 261

Figura 239 - Excerto ............................................................................................................................. 262

Figura 240 - Excerto ............................................................................................................................. 262

Figura 241 - Excerto ............................................................................................................................. 262

Figura 242 - Excerto ............................................................................................................................. 263

Figura 243 - Excerto ............................................................................................................................. 263

Figura 244 - Excerto ............................................................................................................................. 264


Figura 246 - Excerto ............................................................................................................................. 265

Figura 247 - Excerto ............................................................................................................................. 265


Figura 249 - Excerto ............................................................................................................................. 266

Figura 250 - Excerto ............................................................................................................................. 266


Figura 252 - Excerto ............................................................................................................................. 267

Figura 253 - Excerto ............................................................................................................................. 267

Figura 254 - Excerto ............................................................................................................................. 267


Figura 256 - Excerto ............................................................................................................................. 268

Figura 257 - Excerto ............................................................................................................................. 269

Figura 258 - Excerto ............................................................................................................................. 269


Figura 260 - Excerto ............................................................................................................................. 270

Figura 261 - Excerto ............................................................................................................................. 270


Figura 263 - Excerto ............................................................................................................................. 271

Figura 264 - Excerto ............................................................................................................................. 271

Figura 265 - Excerto ............................................................................................................................. 271


Figura 267 - Excerto ............................................................................................................................. 272

Figura 268 - Excerto ............................................................................................................................. 273

Figura 269 - Excerto ............................................................................................................................. 273

xxii

Figura 270 - Excerto ............................................................................................................................. 273


Figura 272 - Excerto ............................................................................................................................. 274

Figura 273 - Excerto ............................................................................................................................. 274


Figura 275 - Maneiras descobertas de contar 100 missangas do Artur ..................................................... 276

Figura 276 - Maneiras descobertas de contar 100 missangas do Berto .................................................... 277

Figura 277 - Maneiras descobertas de contar 100 missangas do Carlos ................................................... 279

Figura 278 - Maneiras descobertas de contar 100 missangas do Drio .................................................... 280

Figura 279 - Excerto ............................................................................................................................. 281

Figura 280 - Excerto ............................................................................................................................. 281

Figura 281 - Excerto ............................................................................................................................. 282

Figura 282 - Excerto ............................................................................................................................. 282

Figura 283 - Excerto ............................................................................................................................. 282

Figura 284 - Excerto ............................................................................................................................. 283


Figura 286 - Excerto ............................................................................................................................. 284

Figura 287 - Excerto ............................................................................................................................. 284

Figura 288 - Excerto ............................................................................................................................. 285

Figura 289 - Excerto ............................................................................................................................. 285


Figura 291 - Excerto ............................................................................................................................. 286

Figura 292 - Excerto ............................................................................................................................. 286

Figura 293 - Excerto ............................................................................................................................. 286

Figura 294 - Excerto ............................................................................................................................. 287


Figura 296 - Excerto ............................................................................................................................. 288

Figura 297 - Excerto ............................................................................................................................. 289

Figura 298 - Excerto ............................................................................................................................. 289

Figura 299 - Excerto ............................................................................................................................. 289

Figura 300 - Excerto ............................................................................................................................. 290


Figura 302 - Excerto ............................................................................................................................. 291

Figura 303 - Excerto ............................................................................................................................. 291

Figura 304 - Excerto ............................................................................................................................. 291

Figura 305 - Excerto ............................................................................................................................. 292


Figura 307 - Excerto ............................................................................................................................. 293

Figura 308 - Excerto ............................................................................................................................. 293

Figura 309 - Excerto ............................................................................................................................. 294


Figura 311 - Excerto ............................................................................................................................. 294

Figura 312 - Excerto ............................................................................................................................. 295

Figura 313 - Excerto ............................................................................................................................. 295

Figura 314 - Excerto ............................................................................................................................. 295

xxiii

Figura 315 - Excerto ............................................................................................................................. 296


Figura 317- Esquema de ondjandja ....................................................................................................... 297

Figura 318 - Esquema de ondjandja ...................................................................................................... 297


Figura 320 - Excerto ............................................................................................................................. 298

Figura 321 - Excerto ............................................................................................................................. 298

Figura 322 - Excerto ............................................................................................................................. 299

Figura 323 - Excerto ............................................................................................................................. 299

Figura 324 - Excerto ............................................................................................................................. 299



Figura 327 - Excerto ............................................................................................................................. 301



Figura 330 - Excerto ............................................................................................................................. 303


Figura 332 - participantes a jogarem owela ............................................................................................ 304



Figura 335 - Excerto ............................................................................................................................. 305



Figura 338 - Excerto ............................................................................................................................. 307


Figura 340 - Excerto ............................................................................................................................. 308

Figura 341 - Excerto ............................................................................................................................. 309

Figura 342 - Excerto ............................................................................................................................. 309

Figura 343 - Excerto ............................................................................................................................. 310


Figura 345 - Excerto ............................................................................................................................. 310


Figura 347 - Excerto ............................................................................................................................. 310

Figura 348 - Excerto ............................................................................................................................. 311

Figura 349 - Excerto ............................................................................................................................. 311

Figura 350 - Excerto ............................................................................................................................. 311


Figura 352 - Excerto ............................................................................................................................. 312

Figura 353 - Excerto ............................................................................................................................. 312

Figura 354 - Excerto ............................................................................................................................. 313

Figura 355 - Excerto ............................................................................................................................. 313


Figura 357 - Excerto ............................................................................................................................. 314

Figura 358 - Excerto ............................................................................................................................. 314


xxiv

Figura 360 - Excerto ............................................................................................................................. 315

Figura 361 - Excerto ............................................................................................................................. 316


Figura 363 - Excerto ............................................................................................................................. 317

Figura 364 - Excerto ............................................................................................................................. 317

Figura 365 - Excerto ............................................................................................................................. 318

Figura 366 - Excerto ............................................................................................................................. 318


Figura 368 - Excerto ............................................................................................................................. 320

Figura 369 - Excerto ............................................................................................................................. 321

Figura 370 - Excerto ............................................................................................................................. 321

Figura 371 - Excerto ............................................................................................................................. 321


Figura 373 - Excerto ............................................................................................................................. 322

Figura 374 - Excerto ............................................................................................................................. 322


Figura 376 - Padres criados pelos participantes do grupo B ................................................................... 323


Figura 378 - Excerto ............................................................................................................................. 323

Figura 379 - Excerto ............................................................................................................................. 324

Figura 380 - Excerto ............................................................................................................................. 326

Figura 381 - Excerto ............................................................................................................................. 327

Figura 382 - Excerto ............................................................................................................................. 329

Figura 383 - Excerto ............................................................................................................................. 330

Figura 384 - Excerto ............................................................................................................................. 330

Figura 385 - Excerto ............................................................................................................................. 331

Figura 386 - Excerto ............................................................................................................................. 331

Figura 387 - Excerto ............................................................................................................................. 332

Figura 388 - Excerto ............................................................................................................................. 332

QUADROS

Quadro 1 - Jogos de tipo mancala ............................................................................................................ 30

Quadro 2 - Meioquadrados do jogo de puzzles .......................................................................................... 35

Quadro 3 - Contagem numrica em lnguas diferentes do mundo Zaslavsky (1996, p. 66) ............................ 42

Quadro 4 - Contagem gestual dos Kamba de 1 a 10 .................................................................................. 45

Quadro 5 - Comparao da contagem gestual dos Taita com a dos Kamba ................................................. 45

Quadro 6 - Sobre caratersticas dos paradigmas Qualitativo e Quantitativo (Carmo & Ferreira, 1998, p. 177) . 79

Quadro 7 - Resumo das sesses dos grupos ............................................................................................. 89

Quadro 8 - Temticas de prticas culturais Nyaneka-nkhumbi que constituem resultados deste estudo ......... 99

Quadro 9 - Contagem gestual recolhida junto das crianas Nyaneka-nkhumbi ............................................ 156

Quadro 10 - Comparao de designaes numricas em Kwanyama (Zaslavsky, 1999) e em Nyaneka-nkhumbi (Dias, 2011) ........................................................................................................................................... 160

Quadro 11 - Indicao das linhas que ligam as junes A e B .................................................................. 175

Quadro 12 - Indicao das linhas que ligam as junes E e F .................................................................. 176

xxv

Quadro 13 - Indicao das linhas que ligam as junes B e D .................................................................. 177

Quadro 14 - Maneiras diferentes de tirar 8 espigas de um pau-travessa em conjuntos de 2 a 4. ................. 179




Quadro 18 - Indicao para construir metade do padro do ornamento no applet de Ron Eglash ................ 183

Quadro 19 - Ilustrao dos totais de missangas alternadas uma a uma a duas cores por coluna ................ 187

Quadro 20 - Total de laos volta do padro do cesto (permetro) ............................................................ 196

Quadro 21 - Sntese de resultados da tarefa 1 sobre ondjandja ................................................................ 224

Quadro 22 - Resumo de resultados sobre a representao gestual ........................................................... 232

Quadro 23 - Sntese das maneiras de indicar a localizao de pedrinhas ou bolinhas no quadro de owela ... 236

Quadro 24 - Sntese de resultados da tarefa 6 sobre enfeites de missangas .............................................. 250

Quadro 25 - Sntese de resultados da tarefa 5 ........................................................................................ 252

Quadro 26 - Estratgias adotadas na resoluo da 1. parte da tarefa 17 (figura 295) ............................... 290

Quadro 27 - Sntese dos resultados da tarefa 1 sobre ondjandja .............................................................. 300

Quadro 28 - Sntese das formas de orientao na reproduo de padres de enfeites de missangas ........... 325

Quadro 29 - Anlise de opinies dos grupos A e B sobre a questo 1 (Q1) ................................................ 335









Quadro 38 - Anlise de opinies dos grupos A e B sobre a questo 10 (Q10) ............................................ 346













1

CAPTULO I

INTRODUO

Com este captulo pretende-se espelhar os tpicos essenciais que constituem este trabalho. Tm

a ver com aspetos relacionados com a pertinncia do estudo, objetivos e questes de

investigao, design do estudo, metodologia adotada, estrutura organizacional e explicitao de

alguns termos principais frequentes no trabalho.

1.1 - Pertinncia do estudo

A matemtica hoje uma fonte de conhecimentos recursiva em todas as reas do saber. Requer

uma aprendizagem bem alicerada desde os contedos concetuais bsicos aos mais complexos.

No entanto, notria a dificuldade na apreenso dos contedos matemticos, criando antipatia

em alguns alunos, e mesmo em alguns professores (De Deus, Xavier, Teixeira & S, 2006;

Gerdes 2014a).

Uma das razes para que isto acontea a falta de ligao realidade daquilo que ensinado, o

que nos levou a pensar na explorao dos saberes e saberes-fazer culturais matemticos, pelo

potencial que a etnomatemtica tem para a educao matemtica (Gerdes, 1993a, 1993b). A

aplicao destes na educao matemtica atravs, por exemplo, da construo de tarefas

(Ponte, 2005), quer para o contexto de formao de professor, quer no contexto de sala de aula

poder ajudar a cultivar o gosto pela matemtica, muitas vezes tida como bicho-de-sete-

cabeas e, consequentemente, subir o nvel de sucesso nesta disciplina.

Tambm o recurso a saberes e saberes-fazer matemticos em sala de aula envolve, quase que

naturalmente, a manipulao de objetos/artefactos que se constituem como materiais didticos

manipulveis e que so considerados pelos professores como uma mais-valia, em particular, na

aprendizagem de crianas do 1. ciclo do ensino bsico (Botas & Moreira, 2013).

Hoje evidente a multiculturalidade em muitos pases e, em particular, em Portugal, pas onde

se desenvolve este estudo, com um nmero de emigrantes de vrios pontos do mundo com

destaque para os do continente africano no qual est inserido o grupo tnico foco do estudo.

Esta caraterstica retoma a preocupao de Paulo Abrantes e colegas ao desenvolver o projeto

2

Matemtica para Todos investigaes em sala de aula (Abrantes, Ferreira & Oliveira, 1996),

agora reforando o aspeto da incluso, tendo em conta a origem e cultura dos alunos.

Entretanto, ao pensar-se incorporar os saberes e saberes-fazer de uma cultura nos currculos de

matemtica, poder-se- perceber o renascimento das antigas prticas congeladas de um povo,

a valorizao cultural de uma nao, para que se sinta parte deste universo e a divulgao das

prticas culturais seja vista e possa contribuir para vrios campos da cincia, tal como

aconteceu com a matemtica, produto da contribuio de vrios saberes e saberes-fazer de

muitas culturas.

Ao descongelar esses saberes e saberes-fazer compila-se um corpo de conhecimento que

pode servir de ponto de partida para a inveno de novos conhecimentos (Gerdes, 1993a)

matemticos, criando cincia nova (Gerdes, 1993a; 2012c).

Com este trabalho, continuaremos o estudo iniciado no mbito da elaborao da tese de

Mestrado, intitulada Ensaio etnomatemtico sobre o grupo Nyaneka-nkhumbi do sudoeste de

Angola (Dias, 2011) e aprofundamos o mesmo tema com maior incidncia na aplicao

educao matemtica. Note-se que apesar de existirem estudos etnogrficos sobre o grupo

tnico Nyaneka-nkhumbi (Estermann, 1960, 1970), so poucas as obras desenvolvidas no

mbito da etnomatemtica com os grupos tnicos de Angola, em particular com os Nyaneka-

nkhumbi, povos com saberes e saberes-fazer culturais riqussimos em conhecimentos

matemticos. Parece-nos uma rea de investigao nova e rica de conhecimentos matemticos

inditos, que propicia materiais didticos com potencial para serem utilizados em diversas partes

do mundo.

1.2 - Objetivos e questes do estudo

Neste estudo pretendemos identifi

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