Domínio, Contradomínio e Imagem - labMA/UFRJgoldfeld/Courses/2007.2/alglin/slides/slides... · Deﬁnição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A →B uma função

TransformaçõesLineares

Revisão deFunções

TransformaçõesLinearesDefinição

Projeção, Rotação eReflexão

Matrizes eTLs

Espaçovetorial dasTLs/matrizesDefinição eOperações básicas

composição deTLs/produto dematrizes

Inversa deTL/MatrizFunção Inversa

Inversa de TL

Inversa de Matriz

Domínio, Contradomínio e Imagem

Definição (domínio, contradomínio e imagem de função)

Seja f : X → Y uma função. Dizemos que:

YX

f (X )

X é o domínio;Y é o contra-domínio e{y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X} é a imagem,denotada Im(f ) ou f (X ).

Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 60





Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




YX

f (X )







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




YX

f (X )







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




YX

f (X )







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




YX

f (X )







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva

Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva)

Seja f : A→ B uma função. Dizemos que f é:injetiva se f (u) = f (v) implica que u = v. No diagrama,cada elemento do contra-domínio é atingido nomáximo uma vez.sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elementodo contra-domínio é atingido pelo menos uma vez.bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cadaelemento do contra-domínio é atingido exatamenteuma vez.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Funções – Exemplo 1

Exemplo (função injetiva)

f : R→ R2 definido por f (x) = (x , x).

f

R é o domínioR2 é o contra-domínioÉ injetiva: f (x) = f (y) ⇒ (x , x) = (y , y) ⇒ x = yNão é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x , x) ∀x ∈ RA imagem de f é a reta y = x.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




f







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




f







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




f







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




f







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




f







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




f







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo (função sobrejetiva)

f : R2 → R definido por f (x , y) = x + y.R2 é o domínioR é o contra-domínioNão é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1)

É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento docontra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0))tal que f (x) = f (y , 0) = yA imagem de f é R






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz










Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz










Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz










Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz










Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz










Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Definição de Transformação Linear

Definição (transformação linear)

T : V →W é dita linear se preserva combinações lineares:

T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).

para todo ~u, ~v ∈ V e α ∈ R.

Observação

Uma função é linear se e só se preserva soma vetoriale multiplicação por escalar.Se T é linear,

T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).


Observação


T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).


Observação


T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).


Observação


T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).


Observação


T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




T (α~u + ~v) = αT (~u) + T (~v2).


Observação


T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Notação

Notação

Denotamos por L(U, V ) o conjunto de todas astransformações lineares de U em V .

Observação

Veremos que L(U, V ), munido de operações adequadas, éespaço vetorial.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Notação

Notação

Denotamos por L(U, V ) o conjunto de todas astransformações lineares de U em V .

Observação

Veremos que L(U, V ), munido de operações adequadas, éespaço vetorial.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 1

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, −x1)é linear?

T (αx + y) = T (αx1 + y1, αx2 + y2, αx3 + y3)

= (αx3 + y3, −(αx1 + y1))

= α(x3, −x1) + (y3, −y1)

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm

x 7→ Am×nxé linear?

T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm


T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm


T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm


T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm


T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 2

T : Rn → Rm


T (αx + y) = A(αx + y)

= αAx + Ay

= αT (x) + T (y)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 3

T : R3 → R2

(x1, x2, x3) 7→ (x3, x1x2)é linear?

T (1, 1, 1) = (1, 1)

T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1)

Não.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 4

Seja C1(R) o espaço das funções continuamentediferenciáveis e C(R) o conjunto das funções contínuas.A transformação derivada

D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?

D(αf + g) = (αf + g)′ = αf′ + g′ = αD(f) + D(g)

Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 4


D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?


Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 4


D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?


Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 4


D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?


Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 4


D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?


Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TL – Exemplo 4


D : C1(R) → C(R)f 7→ D(f ) = f ′.

é linear?


Sim.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Teorema

Teorema

Sejam T : U → V transformação linear e {u1, u2, . . . , un}base de U. Se conhecemos T (ui) para i = 1, . . . , n, entãoT (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U.

u =∑n

i=1 αiui

T (u) = T(∑n

i=1 αiui)

=∑n

i=1 αiT (ui)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Teorema

Teorema


u =∑n

i=1 αiui

T (u) = T(∑n

i=1 αiui)

=∑n

i=1 αiT (ui)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Teorema

Teorema


u =∑n

i=1 αiui

T (u) = T(∑n

i=1 αiui)

=∑n

i=1 αiT (ui)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Teorema

Teorema


u =∑n

i=1 αiui

T (u) = T(∑n

i=1 αiui)

=∑n

i=1 αiT (ui)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo

Exemplo

Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3.Determine T(x,y).

(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo

Exemplo


(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo

Exemplo


(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo

Exemplo


(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo

Exemplo


(x , y) = (x , x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)

T (x , y) = xT (1, 1)+(y −x)T (0, 1) = 2x +3(y −x) = 3y −x






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo: Rotação

A rotação em torno da origem é uma transformação linear.

uv

R(u + v) = R(u) + R(v)

Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar.Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 60





Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo: Rotação


u + v

uv

R(u + v) = R(u) + R(v)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo: Rotação


R(v)

R(u)

R(v)

RR

v u

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo: Rotação


R(v)

R(u)

R(v)

R(u) + R(v)

v u

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo: Rotação


R(u) + R(v)R

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo: Rotação


R(u) + R(v)R

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo: Rotação


R(u) + R(v)R

u + v

R(u + v) = R(u) + R(v)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo: Matriz de Rotação

R([

xy

])= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)

cos θ

sin

θ

θ

e1

R(e1)

− sin θ

cos θ

e2

R(e2)θ

R([

xy

])= x

[cos θsin θ

]+ y

[− sin θ

cos θ

]

=

[cos θ − sin θsin θ cos θ

] [xy

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


R([

xy

])= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)

cos θ

sin

θ

θ

e1

R(e1)

− sin θ

cos θ

e2

R(e2)θ

R([

xy

])= x

[cos θsin θ

]+ y

[− sin θ

cos θ

]

=


] [xy

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


R([

xy

])= R(xe1 + ye2) = xR(e1) + yR(e2)

cos θ

sin

θ

θ

e1

R(e1)

− sin θ

cos θ

e2

R(e2)θ

R([

xy

])= x

[cos θsin θ

]+ y

[− sin θ

cos θ

]

=


] [xy

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs

Matrizes e transformações lineares estão intrinsecamenterelacionados (em espaços de dimensão finita):

A uma matriz associamos uma TL;A uma TL associamos uma matriz;As operações com matrizes (soma, multiplicação porescalar e produto) são definidas à partir de operaçõescom TLs.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs

Se A ∈ Rm×n, T : Rn → Rm dada por T (u) = Au é linear.

Como construir T : U → V linear a partir de A?

Sejam β = {u1, . . . , un}, γ = {v1, . . . , vm} bases de U e V .

Defina T : U → V por [T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U.

[T (αu1 + u2)]γ = A[αu1 + u2]β = αA[u1]β + A[u2]β= α[T (u1)]γ + [T (u2)]γ= [αT (u1) + T (u2)]γ ,

T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs






T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs






T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs






T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs






T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs






T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs






T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs






T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs






T (αu1 + u2) = αT (u1) + T (u2) ∀α ∈ R, ∀u1, u2 ∈ U.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs

[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U

m

[T (uj)]γ = A[uj ]β j = 1, . . . , n

A[uj ]β = Aej = aj

[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U

m

A =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ

]Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 60





Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs

[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U

m

[T (uj)]γ = A[uj ]β j = 1, . . . , n

A[uj ]β = Aej = aj

[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U

m

A =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs

[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U

m

[T (uj)]γ = A[uj ]β j = 1, . . . , n

A[uj ]β = Aej = aj

[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U

m

A =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs

Teorema

Dadas T : U → V, β, γ, defina

[T ]γ←β =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ

].

Então vale

[T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β ∀u ∈ U.

[ · ]γ←β : L(U, V ) → Rm×n

T 7→ [T ]γ←β

é bijeção.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs

Teorema

Dadas T : U → V, β, γ, defina

[T ]γ←β =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ

].

Então vale

[T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β ∀u ∈ U.

[ · ]γ←β : L(U, V ) → Rm×n

T 7→ [T ]γ←β

é bijeção.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs

coordenadas

vetor=

matriz

transf. linear






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matrizes e TLs

U T−→ V

[ · ]β ↓ ↓ [ · ]γ

Rn −→[T ]γ←β

Rm

[T (u)]γ = [T ]γ←β[u]β






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo

T : R2 → R3 linearT (1, 0) = (1, 2, 3), T (2, 1) = (0, 0, 2)

β = {(1, 0), (2, 1)}, γ = {(1, 2, 3), (0, 0, 2), (0, 1, 0)}ε2 = {(1, 0), (0, 1)}, ε3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

[T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2= ?

[T ]γ←β =

[[T (1, 0)]γ [T (2, 1)]γ

]=

1 00 10 0






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo

T : R2 → R3 linearT (1, 0) = (1, 2, 3), T (2, 1) = (0, 0, 2)

β = {(1, 0), (2, 1)}, γ = {(1, 2, 3), (0, 0, 2), (0, 1, 0)}ε2 = {(1, 0), (0, 1)}, ε3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

[T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2= ?

[T ]γ←β =

[[T (1, 0)]γ [T (2, 1)]γ

]=

1 00 10 0






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo

T : R2 → R3 linearT (1, 0) = (1, 2, 3), T (2, 1) = (0, 0, 2)

β = {(1, 0), (2, 1)}, γ = {(1, 2, 3), (0, 0, 2), (0, 1, 0)}ε2 = {(1, 0), (0, 1)}, ε3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

[T ]γ←β = ?, [T ]ε3←ε2= ?

[T ]γ←β =

[[T (1, 0)]γ [T (2, 1)]γ

]=

1 00 10 0






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Núcleo e Imagem

Definição (núcleo, imagem)

O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo.

N(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}

A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do contra-domínio que são imagem por T de algumvetor do domínio.

Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Núcleo e Imagem

Definição (núcleo, imagem)

O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo.

N(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0}

A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dosvetores do contra-domínio que são imagem por T de algumvetor do domínio.

Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U}






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Núcleo e Imagem

Observação

N(T ) é subespaço vetorial de U.

Im(T ) é subespaço vetorial de V .

Definição (nulidade, posto)

A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão doseu núcleo

ν(T ) = dim(N(T ))

O posto de uma transformação linear T é a dimensão dasua imagem

ρ(T ) = dim(Im(T ))






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Núcleo e Imagem

Observação





ν(T ) = dim(N(T ))








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Núcleo e Imagem

Observação





ν(T ) = dim(N(T ))








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Núcleo e Imagem de T : x 7→ Ax

Considere a TL T : x 7→ Ax, onde Am×n é dada.

Uma base do núcleo é obtida resolvendo-se

[A 0

].

As colunas de A geram Im(A) (a imagem de A também échamada de espaço-coluna de A). Uma base da imagem éobtida tomando-se um subconjunto das colunas de A. Énecessário descartar colunas que são combinações deoutras. Como fazê-lo?






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




[A 0

].







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




[A 0

].







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




[A 0

].







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




[A 0

].







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




[A 0

].







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Suponha que A está na forma totalmente escalonada. Por

exemplo, A =

[1 2 00 0 1

].

As colunas-pivot (colunas que contém pivots) serãosempre, nesta situação, e1, . . . , ep e formam, portanto, baseda imagem de A.

O fato das colunas-pivot serem LI traduz-se no fato de nãohaver solução não-trivial do sistema linear homogêneoAx = 0 com entradas não nulas apenas nas posiçõesassociadas aos pivots. No exemplo, não há solução não

trivial do tipo[

1 2 00 0 1

] ?0?

=

[00

].






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



exemplo, A =

[1 2 00 0 1

].



trivial do tipo[

1 2 00 0 1

] ?0?

=

[00

].






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



exemplo, A =

[1 2 00 0 1

].



trivial do tipo[

1 2 00 0 1

] ?0?

=

[00

].






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Mas o conjunto-solução de um sistema é preservado porescalonamento. Assim, se

B =

[b1 b2 b3

]∼

[1 2 00 0 1

]então não há solução

não-trivial do sistema linear homogêneo Bx = 0 comentradas não nulas apenas nas posições associadas aos

pivots de A.

[b1 b2 b3

] ?0?

= 0 não tem solução

não trivial, ou seja, b1 e b3 são LI.

Um argumento análogo permite concluir que b1 e b3também geram Im(B).






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



B =

[b1 b2 b3

]∼

[1 2 00 0 1



pivots de A.

[b1 b2 b3

] ?0?









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



B =

[b1 b2 b3

]∼

[1 2 00 0 1



pivots de A.

[b1 b2 b3

] ?0?









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



B =

[b1 b2 b3

]∼

[1 2 00 0 1



pivots de A.

[b1 b2 b3

] ?0?









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



B =

[b1 b2 b3

]∼

[1 2 00 0 1



pivots de A.

[b1 b2 b3

] ?0?









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Teorema

Seja Am×n qualquer e Bp×n a sua forma escalonadareduzida.

O núcleo de A é igual ao núcleo de B, isto é,oconjunto-solução de [ B |0].Se os pivots de B estão nas colunas j1, j2, . . . , jp, então{aj1 , aj2 , . . . , ajp} é uma base para Im(A).

Corolário

O posto de A é o número de linhas (não-nulas) da formaescalonada de A.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Teorema



Corolário







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Teorema



Corolário







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Teorema



Corolário







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Teorema (do núcleo e imagem (ou do posto))

T : U → V transformação linear. A soma do posto e danulidade de T é igual à dimensão do domínio de T :

N(T ) + ρ(T ) = dim(N(T )) + dim(Im(T ))= dim(U) = n = #colunas






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Espaço-Linha de A

Definição (transposta)

A transposta de uma matriz Am×n é a matriz Bn×m = AT

dada por

bij = aji , , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.

Note que (AT )T = A.

Definição (espaço-linha)

O espaço-linha de A é o espaço gerado pelas linhas de A,isto é, Im(AT ).






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Espaço-Linha de A



dada por

bij = aji , , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Espaço-Linha de A



dada por

bij = aji , , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Espaço-Linha de A

Teorema


O espaço-linha de A é igual ao espaço linha de B.ρ(AT ) (o chamado posto-linha de A) é igual aoposto(-coluna) de A.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Espaço-Linha de A

Teorema








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Espaço-Linha de A

Teorema








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

TLs e Matrizes – Recapitulando

Definição (espaço das TLs)

Dados U e V espaços vetoriais definimos por L(U, V ) oespaço das transformações lineares T : U → V.

Definição (espaço Rn×m)

Definimos por Rn×m o espaço das matrizes n ×m.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Definição (espaço das TLs)

Dados U e V espaços vetoriais definimos por L(U, V ) oespaço das transformações lineares T : U → V.

Definição (espaço Rn×m)

Definimos por Rn×m o espaço das matrizes n ×m.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Sejam β = {u1, . . . , un} base de U eγ = {v1, . . . , vm} base de V .

Dada T ∈ L(U, V ), ∃!A ∈ Rn×m tal que[T (u)]γ = A[u]β ∀u ∈ U. Denota-se [T ]γ←β = A.

Dada A ∈ Rn×m, ∃!T ∈ L(U, V ) tal que[T ]γ←β = A.

Em resumo, [ · ]γ←β : L(U, V )→ Rn×m é bijetiva.

[T ]γ←β =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz






[T ]γ←β =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz






[T ]γ←β =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz






[T ]γ←β =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz






[T ]γ←β =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz






[T ]γ←β =

[[T (u1)]γ [T (u2)]γ · · · [T (un)]γ

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Relação entre Matrizes e L(U, V ) (parte II)

Observação

É comum se abusar da notação e se referir à“transformação linear A ∈ Rm×n” ou à“matriz da transformação T : Rn → Rm”(sem menção explícita às bases em questão).Nestes casos, assumem-se tacitamente as basescanônicas de Rn e de Rm.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Relação entre Matrizes e L(U, V ) (parte II)

Observação

É comum se abusar da notação e se referir à“transformação linear A ∈ Rm×n” ou à“matriz da transformação T : Rn → Rm”(sem menção explícita às bases em questão).Nestes casos, assumem-se tacitamente as basescanônicas de Rn e de Rm.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo de Relação Rn×m e L(U, V )

Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,

ε base canônica de R2, A =

[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,


[a1 a2

]= [T ]ε←ε =?

a1 = Ae1 = [T ]ε←ε[e1]ε = [T e1]ε = [e1 + e2]ε =

[11

]

a2 = Ae2 = [T ]ε←ε[e2]ε = [T e2]ε = [2e1 + 2e2]ε =

[22

]

[T ]ε←ε =

[1 21 2






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo (continuação)

T : R2 → R2 com Te1 = e1 + e2, T e2 = 2e1 + 2e2,β = {v1, v2} com v1 = e1 + e2, v2 = e2 − 2e1,

B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?

b1 = Be1 = [T ]β←β [v1]β = [T ]β←β [e1 + e2]β= [T (e1 + e2)]β = [T (e1) + T (e2)]β= [(e1 + e2) + (2e1 + 2e2)]β = [3(e1 + e2)]β

= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [3v1]β =

[30

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?

b2 = Be2 = [T ]β←β [v2]β = [T ]β←β [e2 − 2e1]β= [T (e2 − 2e1)]β = [T (e2)− 2T (e1)]β= [(2e1 + 2e2)− 2(e1 + e2)]β = [0]β

= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?


= [0v1 + 0v2]β =

[00

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




B =

[b1 b2

]= [T ]β←β =?

[T ]β←β =

[3 00 0

]






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Mudança de Base

Quando uma TL vai de um EV nele mesmo, T : U → U,podemos escolher a mesma base β para o domínio e ocontra-domínio. Denotamos [T ]β←β por [T ]β.

Podemos, mesmo neste caso, escolher duas bases, β e γ.Temos então

[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.

O caso importante é quando T = I. Então

[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.

[I]γ←β é a matriz de mudança de base de β para γ.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Mudança de Base



[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.


[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Mudança de Base



[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.


[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Mudança de Base



[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.


[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Mudança de Base



[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.


[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Mudança de Base



[T ]γ←β[u]β = [T (u)]γ.


[I]γ←β[u]β = [I(u)]γ = [u]γ.







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Mudança de Base

[I]γ←β =

[[I(u1)]γ · · · [I(un)]γ

]

=

[[u1]γ · · · [un]γ

]onde β = {u1, . . . , un} .






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Espaço Vetorial das TLs

Definição (operações entre TLs)

Dados T , S ∈ L(U, V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e asua multiplicação por escalar como:

T + S : U → Vu 7→ T (u) + S(u)

e αT : U → Vu 7→ αT (u)

.

Lema (espaço vetorial das TLs)

L(U, V ) com as operações acima é um espaço vetorial.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Espaço Vetorial das TLs

Definição (operações entre TLs)

Dados T , S ∈ L(U, V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e asua multiplicação por escalar como:

T + S : U → Vu 7→ T (u) + S(u)

e αT : U → Vu 7→ αT (u)

.

Lema (espaço vetorial das TLs)

L(U, V ) com as operações acima é um espaço vetorial.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Operações em Rn×m

Sejam β = {u1, . . . , un} base de U,γ = {v1, . . . , vm} base de V ,T , S : U → V lineares eA = [T ]γ←β, B = [S]γ←β.

Como definir a soma de matrizes de forma que

A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β

=

[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ

]

=

[ ([T u1]γ + [Su1]γ

)· · ·

([T un]γ + [Sun]γ

) ]

=

[(a1 + b1) · · · (an + bn)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β ?

=

[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ

]

=

[ ([T u1]γ + [Su1]γ

)· · ·

([T un]γ + [Sun]γ

) ]

=

[(a1 + b1) · · · (an + bn)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β

=

[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ

]

=

[ ([T u1]γ + [Su1]γ

)· · ·

([T un]γ + [Sun]γ

) ]

=

[(a1 + b1) · · · (an + bn)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β

=

[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ

]

=

[ ([T u1]γ + [Su1]γ

)· · ·

([T un]γ + [Sun]γ

) ]

=

[(a1 + b1) · · · (an + bn)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




A + B = [T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β

=

[[(T + S)u1]γ · · · [(T + S)un]γ

]

=

[ ([T u1]γ + [Su1]γ

)· · ·

([T un]γ + [Sun]γ

) ]

=

[(a1 + b1) · · · (an + bn)






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Operações em Rm×n

Para valer

[T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β ,

define-se

A + B =

[(a1 + b1) · · · (an + bn)

],

isto é,

(A + B)ij = aij + bij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Para valer

[T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β ,

define-se

A + B =

[(a1 + b1) · · · (an + bn)

],

isto é,

(A + B)ij = aij + bij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Para valer

[T ]γ←β + [S]γ←β = [T + S]γ←β ,

define-se

A + B =

[(a1 + b1) · · · (an + bn)

],

isto é,

(A + B)ij = aij + bij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Analogamente, para que

[αT ]γ←β = α[T ]γ←β,

define-se

αA =

[αa1 · · · αan

],

isto é,

(αA)ij = αaij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




define-se

αA =

[αa1 · · · αan

],

isto é,

(αA)ij = αaij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




define-se

αA =

[αa1 · · · αan

],

isto é,

(αA)ij = αaij i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Espaço Vetorial Rm×n

Definição

Soma de matrizes e multiplicação de mariz por escalar sãodefinidas entrada-a-entrada.

Lema (espaço vetorial das matrizes)

Rn×m com as operações acima é espaço vetorial.

Lema (linearidade da representação matricial)

[ · ]γ←β : L(U, V )→ Rm×n é linear, isto é,

[αT + S]γ←β = α[T ]γ←β + [S]γ←β






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Definição






[αT + S]γ←β = α[T ]γ←β + [S]γ←β






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Definição






[αT + S]γ←β = α[T ]γ←β + [S]γ←β






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo de EV de matrizes

Exemplo

Encontre uma base de R2×3.Qual a dimensão deste espaço?

Defina

A11 =

[1 0 00 0 0

]A12 =

[0 1 00 0 0

]A13 =

[0 0 10 0 0

]A21 =

[0 0 01 0 0

]A22 =

[0 0 00 1 0

]A23 =

[0 0 00 0 1

]{A11, A12, A13A21, A22, A23} é base. (Representação única.)[

a11 a12 a13a21 a22 a23

]= a11A11 + a12A12 + a13A13 + a21A21 + a22A22 + a23A23






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


Defina

A11 =

[1 0 00 0 0

]A12 =

[0 1 00 0 0

]A13 =

[0 0 10 0 0

]A21 =

[0 0 01 0 0

]A22 =

[0 0 00 1 0

]A23 =

[0 0 00 0 1


a11 a12 a13a21 a22 a23

]= a11A11 + a12A12 + a13A13 + a21A21 + a22A22 + a23A23






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


Defina

A11 =

[1 0 00 0 0

]A12 =

[0 1 00 0 0

]A13 =

[0 0 10 0 0

]A21 =

[0 0 01 0 0

]A22 =

[0 0 00 1 0

]A23 =

[0 0 00 0 1


a11 a12 a13a21 a22 a23

]= a11A11 + a12A12 + a13A13 + a21A21 + a22A22 + a23A23






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


Defina

A11 =

[1 0 00 0 0

]A12 =

[0 1 00 0 0

]A13 =

[0 0 10 0 0

]A21 =

[0 0 01 0 0

]A22 =

[0 0 00 1 0

]A23 =

[0 0 00 0 1


a11 a12 a13a21 a22 a23

]= a11A11 + a12A12 + a13A13 + a21A21 + a22A22 + a23A23






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Composição de Funções

Definição (composição de funções)

Dadas f : X → Y e g : Y → Z, define-se

g ◦ f : X → Zx 7→ g(f (x))

f g

X Y Z






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




g ◦ f : X → Zx 7→ g(f (x))

f g

X Y Z






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz




g ◦ f : X → Zx 7→ g(f (x))

X Z

g ◦ f






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Propriedades da Composição

Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ hNão-comutatividade:em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z ,g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está.Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estãodefinidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir.Exemplo em breve.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Composição de TLs

Propriedades da Composição de TLs

No caso particular em que as funções são TLs, temosalgumas propriedades adicionais:

A composição de TLs é uma TL.

(T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v))= αT (S(u)) + T (S(v))= α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v)

(S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade);S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade);S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ;






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Composição de TLs











Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Composição de TLs











Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Composição de TLs











Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Composição de TLs











Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplo de Composição de TLs

Exemplo

Considere TLs definidas em R2:P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0);R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a);S reflexão no eixo y: S(a, b) = (−a, b).

PS(x , y) = P(−x , y) = (−x , 0)SP(x , y) = S(x , 0) = (−x , 0). Logo PS = SP.PR(x , y) = P(y , x) = (y , 0)RP(x , y) = R(x , 0) = (0, x). Logo PR 6= RP






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Matriz da Composição (Produto de Matrizes)

U VT






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


U VT

Rn Rm

[ · ]β [ · ]γ






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


U VT

Rn Rm[T ]γ←β

[ · ]β [ · ]γ






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


V

Rm

[ · ]γ

WS

Rp[S]δ←γ

[ · ]δ






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


U VT

Rn Rm[T ]γ←β

[ · ]β [ · ]γ

WS

Rp[S]δ←γ

[ · ]δ






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


U VT

Rn Rm[T ]γ←β

[ · ]β [ · ]γ

WS

Rp[S]δ←γ

[ · ]δ

S ◦ T






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


U VT

Rn Rm[T ]γ←β

[ · ]β [ · ]γ

WS

Rp[S]δ←γ

[ · ]δ

S ◦ T

[S ◦ T ]δ←β






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Queremos definir o produto deB = [S]δ←γ ∈ Rp×m por A = [T ]γ←β ∈ Rm×n

de forma que

BA = [S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β ∈ Rp×n

=

[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ

]

=

[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ

]

=

[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)

]

=

[Ba1 · · ·Ban






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



de forma que


=

[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ

]

=

[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ

]

=

[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)

]

=

[Ba1 · · ·Ban






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



de forma que


=

[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ

]

=

[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ

]

=

[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)

]

=

[Ba1 · · ·Ban






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



de forma que


=

[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ

]

=

[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ

]

=

[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)

]

=

[Ba1 · · ·Ban






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



de forma que


=

[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ

]

=

[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ

]

=

[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)

]

=

[Ba1 · · ·Ban






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



de forma que


=

[[(S ◦ T )(u1)]δ · · · [(S ◦ T )(un)]δ

]

=

[[S(T (u1))]δ · · · [S(T (un))]δ

]

=

[([S]δ←γ [T (u1)]γ) · · · ([S]δ←γ [T (un)]γ)

]

=

[Ba1 · · ·Ban






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Produto de Matrizes

Definição

O produto de Bp×m por Am×n é a matriz Cp×n cuja j-ésimacoluna é o produto de B pela j-ésima coluna de A.

Propriedade

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

Observação

Pela propriedade acima, o produto de matrizes herda aspropriedades da composição de TLs: distributividade,associatividade, não-comutatividade, etc.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Produto de Matrizes

Definição


Propriedade

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

Observação







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Produto de Matrizes

Definição


Propriedade

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

Observação







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Produto de Matrizes

Bp×m, Am×n, Cp×n = BA






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Produto de Matrizes


= p m

m

n

n

p

colunas são CLs das colunas da 1a matriz






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Produto de Matrizes


= p m

m

n

n

p

colunas são CLs das colunas da 1a matriz






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Produto de Matrizes


= p m

m

n

n

p

entradas são produtos escalaresde linhas da 1a matriz por colunas da 2a matriz






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Produto de Matrizes


= p m

m

n

n

p

entradas são produtos escalaresde linhas da 1a matriz por colunas da 2a matriz






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Produto de Matrizes


= p m

m

n

n

p

linhas são CLs das linhas da 2a matriz






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Propriedades do Produto de Matrizes

(αA)B = A(αB) = αAB, (AB)C = A(BC) = ABC

A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz



A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC

(AB)T = BT AT

AB 6= BA, AB = 0 6⇒ A = 0 ou B = 0

[S]δ←γ [T ]γ←β = [S ◦ T ]δ←β

[Tn]βn+1←βn· · · [T2]β3←β2

[T1]β2←β1= [Tn ◦ · · · ◦ T2 ◦ T1]βn+1←β1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Função Inversa

Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y :(a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ;(b) injetividade garante a unicidade de tal x .Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f−1:

f−1 : Y → Xy 7→ x satisfazendo f (x) = y .

f

X Y






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Função Inversa



f

X Y






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Função Inversa



f

X Y






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Função Inversa



f

X Y






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Função Inversa



f

X Y






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Função Inversa



f−1

X Y






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Propriedades da Inversa

A inversa possui as seguintes propriedades:

f (f−1(y)) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f−1 = IY ef−1(f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f−1 ◦ f = IX .

De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa,conforme veremos mais adiante.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz










Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz










Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Exemplos de Função Inversa

Exemplo

A inversa de f (x) = x3 é f−1(x) = 3√

x pois ( 3√

y)3 = y e3√

x3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x3.

Exemplo

A inversa de f (x) = cos(x) é f−1(x) = arccos(x) poiscos(arccos(y)) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO ég(x) = 1/ cos(x).






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


x pois ( 3√

y)3 = y e3√


Exemplo







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


x pois ( 3√

y)3 = y e3√


Exemplo







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


x pois ( 3√

y)3 = y e3√


Exemplo







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


x pois ( 3√

y)3 = y e3√


Exemplo







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


x pois ( 3√

y)3 = y e3√


Exemplo







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


x pois ( 3√

y)3 = y e3√


Exemplo







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


x pois ( 3√

y)3 = y e3√


Exemplo







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Exemplo


x pois ( 3√

y)3 = y e3√


Exemplo







Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Caracterização da Inversa

Lema

Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existemg, h : Y → X satisfazendo:(a) g ◦ f = IX (identidade em X) e(b) f ◦ h = IY (identidade em Y),então f é bijetiva e g = h = f−1.

Corolário

Se f é bijetiva, então f−1 é bijetiva e (f−1)−1 = f .

Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Lema


Corolário








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Lema


Corolário








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Lema


Corolário








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Lema


Corolário








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz


Lema


Corolário








Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa da Composta

Lema

Se f : Y → Z e g : X → Y são invertíveis então f ◦ gtambém o é e (f ◦ g)−1 = g−1 ◦ f−1.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa da Composta

Lema


f g

X Y Z






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa da Composta

Lema


f g

X Y Zg ◦ f






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa da Composta

Lema


f−1 g−1

X Y Zf−1 ◦ g−1






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de TL

Uma transformação linear é uma função e, como tal,admite uma função inversa desde que seja bijetiva.Há dois fatos específicos relativos à inversa de umatransformação linear importantes.

Lema (inversa de TL)

Se T : U → V é transformação linear invertível, entãoT−1 também é linear;U e V têm a mesma dimensão.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de TL









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de TL









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de TL









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Definição de Inversa de Matriz

T : U → V TL invertível, β e γ bases de U e V .

Pelo lema, dim(U) = dim(V ) = n, logoA = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ são quadradas n × n.

Qual é a relação entre A = [T ]γ←β e B = [T−1]β←γ?

AB = [T ]γ←β[T−1]β←γ = [T ◦ T−1]γ←γ = [IV ]γ←γ = In×n eBA = [T−1]β←γ [T ]γ←β = [T−1 ◦ T ]β←β = [IU ]β←β = In×n.

Conclusão: AB = BA = In×n.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz












Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de Matriz

Definição (matriz inversa)

Diz-se que uma matriz A é invertível se existe B tal queAB = BA = I. Neste caso, denota-se B = A−1.

Observação

Se A é quadrada, basta verificar que AB = I ou que BA = I.A outra identidade segue.Isto é falso se a hipótese de A ser quadrada for relaxada.

Lema (relação entre matriz e TL inversa)

Se A = [T ]γ←β então A é invertível se, e somente se, T éinvertível. Neste caso [T−1]β←γ = A−1.






Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de Matriz



Observação









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de Matriz



Observação









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de Matriz



Observação









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de Matriz



Observação









Matrizes eTLs




Inversa de TL

Inversa de Matriz

Inversa de Matriz



Observação





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Domínio, Contradomínio e Imagem - labMA/UFRJgoldfeld/Courses/2007.2/alglin/slides/slides... · Deﬁnição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A →B uma função