Doutorado Final Revisada

RODRIGO CUTRI

MTODO DE EXTRAO EM TEMPO REAL DE SEQNCIA POSITIVA, NEGATIVA E/OU HARMNICOS

SO PAULO

2008

RODRIGO CUTRI

MTODO DE EXTRAO EM TEMPO REAL DE SEQNCIA POSITIVA, NEGATIVA E/OU HARMNICOS

Tese apresentada Escola

Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do Ttulo de Doutor em Engenharia

rea de concentrao : Engenharia Eltrica Orientador : Prof. Dr. Loureno Matakas Junior

SO PAULO 2008

A Deus A meus pais e minha irm minha noiva A todos que me apoiaram com seus exemplos, gestos e palavras.

AGRADECIMENTOS

Agradeo primeiramente a Deus, o Grande Arquiteto do Universo, por me guiar,

concedendo foras para nunca desistir e fazendo-me perseverar acreditando

sempre.

Agradeo a todos que colaboraram para que esta tese se realizasse, em especial

meus pais, minha irm e minha noiva (agora sim, poderemos nos casar). Agradeo a

compreenso, a pacincia e o carinho em todos os momentos.

Agradeo em especial ao professor Loureno Matakas Jr. pelo companheirismo,

pela dedicada orientao que contribuiu para que eu pudesse aprimorar minha

forma de pensar, de expressar idias e pesquisar problemas, descobrir suas causas,

analisar e propor solues. Desde o incio do mestrado, so quase sete anos de

encontros de idias e orientaes. Agradeo tambm aos professores Walter Kaiser

e Wilson Komatsu pelas sugestes que colaboraram para o aperfeioamento deste

trabalho.

Agradeo ao professor Sigmar Maurer Deckmann da UNICAMP que participou de

minha banca de mestrado e cuja discusso tcnica foi muito importante para o

desenvolvimento deste trabalho.

Agradeo a Universidade de So Paulo e a Escola de Engenharia Mau pela

formao e apoio.

Aos professores Mrio Pagliaricci, Nilson De Lucca e Jorge Janiszewski pelo

exemplo, pela amizade, colaborao e incentivo em vrios momentos desta

pesquisa.

RESUMO

Harmnicos e desequilbrios podem causar uma srie de problemas a equipamentos

conectados a rede eltrica. Este trabalho prope um mtodo de extrao em tempo

real das componentes de seqncia positiva, negativa e/ou harmnicos que no

requer transformaes de coordenadas ou filtragem de sinais. O mtodo proposto

verificado via simulao numrica e implementado experimentalmente em um DSP.

Como exemplos de aplicao apresentam-se: a simulao de um Filtro Ativo de

Potncia utilizando-se um conversor do tipo fonte de tenso operando em PWM e

um Rel de Seqncia Negativa.

Palavras-chave: Engenharia Eltrica. Sistemas de Potncia. Qualidade de Energia

Eltrica. Sequncias Positiva, Negativa e Zero.

ABSTRACT

Harmonics and unbalances cause several problems to equipments connected to AC

mains. This work proposes a real time method to obtain the positive and negative

sequence components and/or harmonics that requires no coordinate transformation

neither signal filtering. Numerical simulation and experimental results are shown to

validate the proposed method. As examples of application an Active Power Filter

using a voltage source converter operating with PWM and an Negative Sequence

Power Relay are presented.

Keywords: Electrical Engineering. Power Systems. Power Quality. Positive, Negative

and Zero Sequence.

LISTAS DE FIGURAS Fig. 1 - Diagrama de Blocos Estrutura da Tese 21Fig.2-1 - Diagrama de Blocos Mtodos de extrao das

seqncias positiva, negativa e/ou harmnicos 22

Fig. 2.1-1 - Vetor espacial S , e os sistemas de coordenadas

rst e

23

Fig. 2.1.1-1 - Vetor S e sua trajetria (pontilhada) 25

Fig. 2.1.1-2 - Projeo do Vetor S no sistema 26

Fig. 2.1.1-3 - Projeo no sistema do Vetor fS1 aps a

filtragem

27

Fig. 2.1.1-4 - Diagrama de Blocos do Mtodo DTRVE (extrao seqncia negativa)

29

Fig. 2.1.2-1 - Vetores em um sistema girante de referncia 30Fig. 2.1.2-2 - Vetores dos componentes fundamentais em um

sistema fixo de referncia 30

Fig. 2.1.2-3 - Vetores da componente fundamental representada em um sistema fixo e num sistema girante de referncia

31

Fig. 2.1.2-4 - Diagrama de Blocos do Mtodo RSP 32Fig. 2.1.2-5 - Diagrama de Blocos do Mtodo RNP 33Fig. 2.2-1 - Diagrama de Blocos do Mtodo Proposto 34Fig. 3a - Diagrama em blocos do algoritmo de extrao da

componente de seqncia positiva da fundamental 52

Fig. 3b - Diagrama em blocos do algoritmo de extrao da componente de seqncia negativa da fundamental

52

Fig. 3c - Diagrama em blocos do algoritmo de extrao da componente de seqncia negativa e harmnicos (extrao total)

53

Fig. 3d - Diagrama em blocos do algoritmo de extrao dos harmnicos

53

Fig.4.1.1a - Sinal distorcido simulado (1+-,3+-,5+-) 56Fig.4.1.1b - Sinal distorcido simulado (1+-,2+-,4+-) 56Fig.4.1.2a - Sinal distorcido experimentalmente gerado atravs

de matriz de pontos pr-programada

56

(1+-,3+-,5+-)

Fig.4.1.2b - Sinal distorcido experimentalmente gerado atravs

de matriz de pontos pr-programada

(1+-,2+-,4+-)

56

Fig.4.1.3a - Sinais extrados Mtodo A (Simulao) - (1-,5+)

57

Fig.4.1.3b - Sinais extrados Mtodo A (Simulao) - (1+-,2+-,4+-)

57

Fig.4.1.4a - Sinais extrados Mtodo A (Experimental) - (1-,5+)

57

Fig.4.1.4b - Sinais extrados Mtodo A (Experimental) - (1+-,2+-,4+-)

57

Fig.4.1.5a - Sinais extrados Mtodo B (Simulao) - (1-,3+,5-)

58

Fig.4.1.5b - Sinais extrados Mtodo B (Simulao) - (1+-,2+-,4+-)

58

Fig.4.1.6a - Sinais extrados Mtodo B (Experimental) - (1-,3+,5-)

58

Fig.4.1.6b - Sinais extrados Mtodo B (Experimental) - (1+-,2+-,4+-)

58

Fig.4.1.7a - Sinais extrados Mtodo C (Simulao) ) - (1+,5-)

59

Fig.4.1.7b - Sinais extrados Mtodo C (Simulao) ) - (1+-,2+-,4+-)

59

Fig.4.1.8a - Sinais extrados Mtodo C (Experimental) ) - (1+,5-)

59

Fig.4.1.8b - Sinais extrados Mtodo C (Experimental) ) - (1+-,2+-,4+-)

59

Fig.4.1.9a - Sinais extrados Mtodo D (Simulao) - (1+,3-,5+)

60

Fig.4.1.9b - Sinais extrados Mtodo D (Simulao) - (1+-,2+-,4+-)

60

Fig.4.1.10a - Sinais extrados Mtodo D (Experimental) -

(1+,3-,5+)

60

Fig.4.1.10b - Sinais extrados Mtodo D (Experimental) - (1+-

,2+-,4+-)

60

Fig.4.1.11a - Sinais extrados Mtodo AB (Simulao) - (1-) 61Fig.4.1.11b - Sinais extrados Mtodo AB (Simulao) - (1+-

,2+-,4+-) 61

Fig.4.1.12a - Sinais extrados - Mtodo AB (Experimental) - (1-) 61Fig.4.1.12b - Sinais extrados Mtodo AB (Experimental) -

(1+-,2+-,4+-) 61

Fig.4.1.13a - Sinais extrados Mtodo CD (Simulao) - (1+) 62Fig.4.1.13b - Sinais extrados Mtodo CD (Simulao) - (1+-

,2+-,4+-) 62

Fig.4.1.14a - Sinais extrados Mtodo CD (Experimental) - (1+)

62

Fig.4.1.14b - Sinais extrados Mtodo CD (Experimental) - (1+-,2+-,4+-)

62

Fig.4.1.15a - Seqncias dos sinais extrados (Terico tabela I, cap.3)

63

Fig.4.1.16a - Seqncias dos sinais extrados (Simulado) 63Fig.4.1.17a - Seqncias dos sinais extrados (Experimental) 63Fig.4.1.15b - Seqncias dos sinais extrados (Terico

tabela II, cap.3) 64

Fig.4.1.16b - Seqncias dos sinais extrados (Simulado) 64Fig.4.1.17b - Seqncias dos sinais extrados (Experimental) 64Fig.4.2.1a - Sinal distorcido para anlise do transitrio

(Simulao) 66

Fig.4.2.1b - Sinal distorcido para anlise do transitrio (Experimental)

66

Fig.4.2.2a - Sinais extrados Mtodo A (Simulao) Anlise Transitria

66

Fig.4.2.2b - Sinais extrados Mtodo A (Experimental) Anlise Transitria

66

Fig.4.2.3a - Sinais extrados Mtodo B (Simulao) Anlise Transitria

67

Fig.4.2.3b - Sinais extrados Mtodo B (Experimental) Anlise Transitria

67

Fig.4.2.4a - Sinais extrados Mtodo C (Simulao) Anlise Transitria

67

Fig.4.2.4b - Sinais extrados Mtodo C (Experimental) Anlise Transitria

67

Fig.4.2.5a - Sinais extrados Mtodo D (Simulao) Anlise Transitria

68

Fig.4.2.5b - Sinais extrados Mtodo D (Experimental) Anlise Transitria

68

Fig.4.2.6a - Sinais extrados Mtodo AB(Simulao) Anlise Transitria

68

Fig.4.2.6b - Sinais extrados Mtodo AB(Experimental) Anlise Transitria

68

Fig.4.2.7a - Sinais extrados Mtodo CD(Simulao) Anlise Transitria

69

Fig.4.2.7b - Sinais extrados Mtodo CD(Experimental) Anlise Transitria

69

Fig. 4.3.1a - Operao A Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (impares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

72

Fig. 4.3.1b - Operao A Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (pares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

73

Fig. 4.3.2a - Operao B Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (impares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

74

Fig. 4.3.2b - Operao B Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (pares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

75

Fig. 4.3.3a - Operao C Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (impares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

76

Fig. 4.3.3b - Operao C Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (pares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

77

Fig. 4.3.4a - Operao D Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (impares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

78

Fig. 4.3.4b - Operao D Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (pares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

79

Fig. 4.3.5a - Operao AB Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (impares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

80

Fig. 4.3.5b - Operao AB Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (pares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

81

Fig. 4.3.6a - Operao CD Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (impares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

82

Fig. 4.3.6b - Operao CD Resposta em Freqncia para vrios harmnicos (pares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

83

Fig. 4.3.7a - Operao AB Resposta em Freqncia (PADRO ONS) para vrios harmnicos (impares)

84

e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase Fig. 4.3.7b - Operao AB Resposta em Freqncia

(PADRO ONS) para vrios harmnicos (pares) e seqncias. Acima: ganho Abaixo:fase

85

Fig. 5.1-1 Diagrama em blocos do compensador ativo de desequilbrios

88

Fig.5.1-2

- Diagrama em bloco mostrando o conversor e as malhas de controle de tenso no barramento CC e da corrente CA

89

Fig.5.1-3 - Filtro Ativo (Mtodo A) 92Fig.5.1-4 - Filtro Ativo (Mtodo Compensao Total) 92Fig.5.1-5 - Comportamento da malha de corrente (fase r)

(Mtodo A) 93

Fig.5.2-1 - Simulao Rel de Seqncia Negativa Comportamento da corrente da rede (grfico superior) Comportamento do acionamento do rel (grfico inferior)

95

Fig. 5.2-2 - Circuito do rel de seqncia negativa simulado (Circuito Geral)

96

Fig. 5.2-3 - Circuito do rel de seqncia negativa simulado (clculo das seqncias positiva e negativa)

96

Fig. 5.2-4 - Circuito do rel de seqncia negativa simulado (clculo das correntes eficazes)

96

Fig. 5.2-5 - Circuito do rel de seqncia negativa simulado (clculo do grau de desequilbrio e comparao com set-point)

97

Fig. AP-1 - Operao A - Resposta em Freqncia para vrios harmnicos de seqncia zero.

106

Fig.B-1 - Circuito Teste do Buffer (Simulao) 108Fig.B-2 - Sinais Bufferizados (Simulao) 109Fig.B-3 - Diagrama de Blocos do ADMC-401 109Fig.B-4 - Buffer digital 110Fig. C-1 - Circuito-teste referente a todos os mtodos 112Fig. C-2 - Circuito simulado mtodo A 113Fig. C-3 - Circuito do filtro ativo simulado (compensador

completo) 113

Fig. C-4a - Conversor (parte 1) 114Fig. C-4b - Conversor (parte 2) 115

Fig. C-5 - Malha de tenso 115Fig. C-6 - Malha de corrente 116

LISTAS DE TABELAS

Tabela I - Ganho de amplitude (p.u.) e fase () das

operaes A, B, C, D, AB, CD para harmnicas

mpares de sequncia positiva e negativa.

37

Tabela II - Ganho de amplitude (p.u.) e fase () das

operaes A, B, C, D, AB, CD para harmnicas

pares de sequncia positiva e negativa.

38

Tabela III - Quadro demonstrativo dos sinais extrados

operao A

41

Tabela IV - Quadro demonstrativo dos sinais extrados

operao B

44

Tabela V - Quadro demonstrativo dos sinais extrados

operao A (com harmnicos)

46

Tabela VI - Quadro demonstrativo dos sinais extrados

operao B (com harmnicos)

50

Tabela VII - Durao do Transitrio em relao a um ciclo da

fundamental (base 60Hz)

69

Tabela VIII - Tempo de execuo de cada mtodo

implementado no DSP ADM401

86

Tabela IX - Quadro resumo das caractersticas adotadas referentes ao compensador para a simulao completa do sistema

90

Tabela X - Ganho de amplitude (p.u.) e fase () das

operaes A, B, C, D para harmnicas pares e

mpares de seqncia zero.

105

LISTAS DE ABREVIATURAS E SIGLAS

AC - Alternating current (Corrente alternada)

CC - Corrente Contnua

CA - Corrente Alternada

DSP - Digital Signal Processor (Processador Digital de Sinais)

PLL - Phase Locked Loop

DTRVE - Mtodo da Deteco em Tempo Real atravs de Vetores Espaciais

FPB - Filtro Passa Baixa

FPA - Filtro Passa Alta

PQ - Mtodo da Potncia Ativa e Reativa Instantnea

RSP - Mtodo da Referncia Sncrona Girante Positiva

RSN - Mtodo da Referncia Sncrona Girante Negativa

DSNI - Mtodo da Injeo Direta de Seqncia Negativa

IRF - Referncia Instantnea de Filtragem - Instantaneous Filter Reference

VSI - Voltage Source Inverter (Inversor tipo fonte de tenso)

PWM - Pulse Width Modulation (Modulao em largura de pulso)

PCC - Point of common coupling (Ponto de acoplamento comum)

PI - Proporcional-Integral (Controlador)

LISTAS DE SMBOLOS sr(t), ss(t), st(t) sinais instantneos no sistema rst

s0(t) sinal instantneo de seqncia zero

)(tS

vetor espacial associado as correntes instantneas de um

sistema trifsico

S(t) mdulo do sinal instantneo associado ao sistema

(t) fase do sinal instantneo associado ao sistema Sp valor de pico do sinal 1S vetor espacial associado a fundamental do sinal instantneo de

um sistema trifsico

)(1 tS mdulo da fundamental de um sinal instantneo associado ao

sistema fS1 vetor espacial associado ao sinal fundamental instantneo

filtrado

)t( fase da fundamental de um sinal instantneo associado ao sistema

hS vetor espacial associado aos harmnicos de um sinal

instantneo de um sistema trifsico

)(tSh mdulo da harmnica de ordem h de um sinal instantneo

associado ao sistema

)t(h fase da harmnica de ordem h um sinal instantneo associado ao sistema

velocidade angular da rede h ordem do harmnico +S vetor espacial associado a fundamental de seqncia positiva de

um sinal de um sistema trifsico S vetor espacial associado a fundamental de seqncia negativa

de um sinal de um sistema trifsico

+hS vetor espacial associado aos harmnicos de seqncia positiva

de um sinal de um sistema trifsico hS vetor espacial associado aos harmnicos de seqncia negativa

de um sinal de um sistema trifsico

+S mdulo do vetor espacial associado a fundamental de seqncia

positiva de um sinal de um sistema trifsico

)(t+ fase da fundamental de um sinal instantneo de sequncia positiva associado ao sistema

S mdulo do vetor espacial associado a fundamental de seqncia

negativa de um sinal de um sistema trifsico

)(t fase da fundamental de um sinal instantneo de sequncia negativa associado ao sistema

t,s,r vetores do sistema rst

, vetores do sistema

s(t),s(t) sinais instantneos no sistema

+hS mdulo do vetor espacial associado aos harmnicos de um sinal

de seqncia positiva de um sistema trifsico

hS mdulo do vetor espacial associado aos harmnicos de um sinal

de seqncia negativa de um sistema trifsico

h+ fase do harmnico de seqncia positiva de ordem h h- fase do harmnico de seqncia negativa de ordem h

+0 fase inicial da seqncia positiva da fundamental 0 fase inicial da seqncia negativa da fundamental deslocamento da fase causado pelo filtro sf(t),sf(t) sinais instantneos filtrados no sistema

sf+(t),sf+(t) parte real e parte imaginria dos sinais instantneos filtrados de

seqncia positiva da freqncia fundamental no sistema

sf-(t),sf-(t) parte real e parte imaginria dos sinais instantneos filtrados de

seqncia negativa da freqncia fundamental no sistema

sf90(t),sf 90(t) parte real e parte imaginria dos sinais instantneos filtrados no

sistema e rotacionadas de -/2

s+(t), s+(t) parte real e parte imaginria dos sinais instantneos de

seqncia positiva com a defasagem corrigida

s-(t), s-(t) parte real e parte imaginria dos sinais instantneos de

seqncia negativa com a defasagem corrigida

t ngulo variante no tempo que representa a posio angular do eixo girante

)(),(),( ___ tststs trefsrefrref sinais instantneos de referncia

p,q potncias ativa e reativa instantneas

p , q parte constante das potncias ativa e reativa instantneas

p~ , q~ parte oscilatria das potncias ativa e reativa instantneas

cp , cq potncias relativas a pertubaes

ir(t), is(t), it(t) correntes instantneas no sistema rst

vr(t), vs(t), vt(t) tenses instantneas no sistema rst

i(t),i(t) correntes instantneas no sistema

v(t),v(t) tenses instantneas no sistema

ngulo qualquer em radianos q,d vetores do sistema dq

sd(t), sq(t) sinais instantneos no sistema dq

)(),(~~tsts qd parcelas oscilatrias dos sinais instantneos no sistema dq

)(),( tsts qd parcelas mdias dos sinais instantneos no sistema dq

)(' tsd , )(' tsq sinais instantneos no sistema dq

)(),(~'

~' tsts qd parcelas oscilatrias dos sinais instantneos no sistema dq

)(),( '' tsts qd parcelas mdias dos sinais instantneos no sistema dq

)(),(~~tsts qndn parcelas oscilatrias dos sinais instantneos de seqncia

negativa no sistema dq

sc(t), sc(t) parte real e parte imaginria dos sinais instantneos de

compensao

vr_PLL, vs_PLL, vt_PLL tenses instantneas produzidas pelo PLL S fasor do sinal de seqncia negativa +S fasor do sinal de seqncia positiva

0S fasor do sinal de seqncia nula

RS ,

SS ,

TS fasores dos sinais de linha

M matriz de converso de valores no sistema rst para

componentes simtricas

rrefS _ ,

srefS _ ,

trefS _ fasores dos sinais de referncia obtidos pelo mtodo de

extrao

sr0(t), ss0(t), st0(t) sinais instantneos de sequncia zero

)(),(),( tststs tsr sinais instantneos de seqncia negativa

)(),(),( tststs tsr +++ sinais instantneos de seqncia positiva

sr-90(t),ss-90(t),st-90(t) sinais instantneos atrasados de /2 no sistema rst

N nmero de amostras por ciclo da rede

sr60(t),ss60(t),st60(t) sinais instantneos adiantados de /3 no sistema rst

sr-60(t),ss-60(t),st-60(t) sinais instantneos atrasados de /3 no sistema rst

srh(t), ssh(t) e sth(t) sinais instantneos com harmnicas

n nmero inteiro (0,1,2,..)

A B, C ou D operao de extrao Ibalanceada correntes de linha da rede balanceadas

Idesbalanceada correntes de linha da carga desbalancedas

Icompensao correntes injetadas para compensao do desequilbrio

Icomp_ref correntes de referncia para compensao do desequilbrio

ir(t), is(t), it(t) correntes instantneas no sistema rst

)t(i),t(i),t(i t_refs_refr_ref correntes instantneas de referncia

)t(i),t(i),t(i tsr correntes instantneas de seqncia negativa

irc(t), isc(t), itc(t) correntes instantneas da rede aps a compensao

vdm tenso instantnea do capacitor do barramento CC

vLr, vLs, vLt queda de tenso instantnea no indutor de acoplamento

vc_ref_r, vc_ref_s, vc_ref_t tenses instantneas de referncia

i_dc_r, i_dc_s, i_dc_t correntes instantneas de compensao para o regulador do

barramento CC

verro erro instantneo de tenso no barramento CC

vd_ref tenso de referncia do barramento CC

iref_PI corrente instantnea de sada do controlador PI (malha de

tenso)

ir_injetada, is_injetada, it_injetada correntes instantneas injetadas pelo conversor

X grau de desequilbrio de corrente I fasor da corrente de seqncia negativa

+I fasor da corrente de seqncia positiva

SUMRIO LISTA DE TABELAS LISTA DE FIGURAS LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS LISTA DE SMBOLOS RESUMO ABSTRACT 1 INTRODUO 202 MTODOS DE EXTRAO DE SEQNCIA POSITIVA, NEGATIVA E/OU HARMNICOS

22

2.1 Mtodos baseados na teoria de vetores espaciais 232.1.1 Sistema de referncia fixa 252.1.1.1 Mtodo de deteco em tempo real atravs de vetores espaciais (DTRVE)

25

2.1.2 Sistema de Referncia girante 292.2 Mtodo baseado na teoria da decomposio em seqncia negativa, positiva e zero (Mtodo Proposto)

34

3 MTODO PROPOSTO DE EXTRAO 35

3.1 Demonstrao matemtica da operao A aplicada a um sinal senoidal e peridico qualquer

39

3.2 Demonstrao matemtica da operao B aplicada a um sinal senoidal e peridico qualquer

41

3.3 Demonstrao matemtica das operaes aplicadas a um sinal com contedo harmnico

45

3.3.1 Demonstrao matemtica da operao A aplicada a um sinal com contedo harmnico

45

3.3.2 Demonstrao matemtica da operao B aplicada a um sinal com contedo harmnico

48

3.4 Estratgias para separar os distrbios individualmente 524 SIMULAO NUMRICA E IMPLEMENTAO EM DSP DO ALGORITMO DE EXTRAO PROPOSTO

54

4.1 Resposta em Regime 554.2 Resposta Transitria 654.3 Influncias da variao da freqncia da rede 704.4 Tempos de execuo 864.5 Observaes gerais 865 APLICAES DO EXTRATOR 875.1 Exemplo de aplicao do extrator - simulao de um filtro ativo de potncia

87

5.2 Exemplo de aplicao do extrator - simulao de um rel de seqncia negativa

94

6 CONCLUSES E SUGESTES PARA A CONTINUIDADE DO TRABALHO

98

LISTA DE REFERNCIAS 99APNDICE A MTODO PROPOSTO DE EXTRAO APLICADO A UM SINAL COM SEQUNCIA ZERO

103

AP.1 Demonstrao matemtica da operao A aplicada a um sinal contendo sequncia zero

104

AP.2 Demonstrao matemtica da operao B aplicada a um sinal contendo sequncia zero

104

AP.3 Resposta em regime 105

AP.4 Anlise da influncia da freqncia do sinal de seqncia zero

106

APNDICE B IMPLEMENTAO DO BUFFER 108APNDICE C CIRCUITOS SIMULADOS 111

20

Mtodo de extrao em tempo real de seqncia positiva, negativa e/ou harmnicos.

1 INTRODUO

Apresentam-se as conseqncias da operao do sistema eltrico

contendo cargas desbalanceadas com correntes distorcidas e os objetivos

desta tese.

Distores e desequilbrios nas correntes que circulam pela rede eltrica provocam

diversos efeitos negativos na mesma. Equipamentos eletrnicos alimentados por

retificadores a diodos e tiristores (aplicaes em eletrodomsticos, drivers de motores,

reatores eletrnicos para iluminao, fornos de induo etc.), por exemplo, tm

comportamento no linear, drenando correntes distorcidas da rede eltrica, mesmo

quando alimentados por tenso perfeitamente senoidal. Os efeitos negativos destes

harmnicos de corrente so notados no sobreaquecimento de dispositivos eltricos

(mquinas rotativas, transformadores e capacitores de correo de fator de potncia) e

distores na forma senoidal da tenso de fornecimento, o que pode prejudicar o

funcionamento de circuitos mais sensveis. Tenses desequilibradas provocadas por

cargas desbalanceadas causam efeitos indesejveis como perdas adicionais em

motores e geradores com evidente reduo na vida til desses equipamentos, atuao

da proteo contra sobrecarga provocada pela circulao de correntes de seqncia

negativa em motores de induo, aumento da ondulao (ripple) na tenso de sada

dos retificadores e saturao de transformadores (IEEE 519-1992), (Penteado Jr.,

1985), (Robba et al., 1996), (Watanabe; Aredes, 1998), (Senini; Wolfs, 2000) e (Senini;

Wolfs, 2002).

A deteco em tempo real de desequilbrios e harmnicos, de tenso ou de corrente

exigida em aplicaes ligadas compensao ativa de perturbaes e rels de

proteo. Uma breve descrio das estratgias mais conhecidas para a extrao de

harmnicos e/ou desequilbrios apresentada no captulo 2.

Baseado no trabalho anteriormente desenvolvido por (Cutri, 2004), (Cutri; Matakas

Jr., 2004), prope-se (cap. 3) um algoritmo (Referncia Instantnea de Filtragem -

Instantaneous Filter Reference - IFR) baseado na teoria de componentes simtricas que

no requer nenhuma transformao de base nem filtragem do sinal e apenas utiliza

21


clculos algbricos. Esta nova abordagem permite obter apenas a seqncia positiva

ou negativa da componente fundamental e/ou os harmnicos presentes no sinal. A

validao experimental do algoritmo proposto apresentada no captulo 4.

Uma breve explanao sobre as possveis aplicaes do algoritmo proposto

apresentada no captulo 5. Para ilustrar as possveis aplicaes, as simulaes de um

Filtro Ativo de Potncia e de um Rel de Proteo so apresentadas respectivamente

nas seces 5.1 e 5.2. Um diagrama de blocos explicitando a estrutura desta tese

apresentado na Fig.1.

ESTRUTURA DA TESE DIAGRAMA DE BLOCOS

Mtodos de extrao de seqncia positiva, negativa ou harmnicos (cap.2)

Simulao e Implementao em DSP do algoritmo de extrao (cap.4)

Mtodo proposto de extrao (cap.3)

Introduo (cap.1)

Aplicaes do extrator (cap.5)

Concluses e sugestes para a continuidade do trabalho (cap.6)

Fig.1 - Diagrama de Blocos Estrutura da Tese

Mtodo de extrao em tempo real de seqncia positiva, negativa e/ou harmnicos

22

2 MTODOS DE EXTRAO DE SEQNCIA POSITIVA, NEGATIVA E/OU HARMNICOS

Os mtodos de extrao de seqncia positiva, negativa e/ou

harmnicos disponveis na literatura so agrupados segundo suas

caractersticas comuns e tm suas notaes uniformizadas.

Muitas estratgias foram desenvolvidas para a extrao de harmnicos e/ou

desequilbrios1, destacando-se: referncia sncrona positiva (RSP) e referncia

sncrona negativa (RSN) (Hafner et al., 1997), (Choi et al., 2000) e (Senini; Wolfs,

2000), a deteco atravs de vetores espaciais (DTRVE) (Zhang; Xu, 2001) e a

injeo direta de seqncia negativa (DSNI) (Cutri; Matakas Jr., 2003).

Um estudo comparativo entres estas estratgias apresentado em (Cutri, 2004).

Neste captulo apresenta-se uma breve descrio das estratgias mais

conhecidas agrupadas de acordo com a Fig.2-1.

Baseado na teoria de vetores espaciais

cap.(2.1)

Baseado na teoria da decomposio em

seqncia negativa , positiva e zero

cap.(2.2)

Sistema de referncia fixo cap.(2.1.1)

Referncia Instantnea de Filtragem (Mtodo Proposto)

Sistema de referncia girante cap.(2.1.2)

Mtodos de extrao

Fig.2-1 - Diagrama de Blocos Mtodos de extrao das seqncias positiva, negativa e/ou harmnicos.

1 O Mtodo das potncias ativa e reativa instantneas (PQ) (Akagi et al, 1984), (Akagi; Nabae, 1993) e (Watanabe; Aredes, 1998) no

ser includo nesta seleo pois no permite a separao de harmnicos e sequncias positiva e negativa.


23

2.1 Mtodos baseados na teoria de vetores espaciais

A Teoria de Vetores Espaciais adequada para o tratamento matemtico de

valores instantneos de tenses e correntes em circuitos trifsicos:

Segundo (Ferrero et al. ,1993), (Robba et al., 1996), (Matakas Jr. ,1998) e

(Watanabe; Aredes, 1998), um terno de sinais instantneos sr(t) , ss(t) , st(t) , de um

sistema trifsico a trs fios pode ser associado a um vetor espacial S no plano

(Fig. 2.1-1), de acordo com a eq.(2.1-1). Mostra-se pela Fig. 2.1-1 e pela eq.(2.1-1)

que o vetor S pode ser escrito tanto como uma combinao linear dos vetores

t,s,r , como dos vetores

, . Os vetores

t,s,r so igualmente defasados de 120

e no constituem uma base.

Fig. 2.1-1 Vetor espacial S , e os sistemas de coordenadas rst e

+=++= (t).s(t).s)t(t).ss(t).sr(t)..(s

32S tsr (2.1-1)

Neste desenvolvimento, no sero consideradas as componentes de seqncia

zero dos sinais, sendo a soma dos sinais instantneos dadas pela eq.(2.1-2).

sr(t)+ss(t)+st(t)=0 (2.1-2)

A transformao de coordenadas do sistema rst (sr(t), ss(t), st(t)) para o sistema

(s(t),s(t)), tambm conhecida como transformada de Clarke (Clarke ,1943), uma

transformao algbrica de um sistema trifsico em um sistema de referncia

t

r

s S

(t)


24

estacionrio onde se passa a trabalhar apenas com duas variveis (sistema ), o

que proporciona menor complexidade no tratamento das variveis do sistema.

A relao entre os coeficientes s(t) e s(t) e sr(t),ss(t),st(t) dos sistemas e rst

respectivamente definida pela eq.(2.1-3).

=

)()()(

.2

32

30

2/12/11.

32

)()(

tststs

tsts

t

s

r

(2.1-3)

Mostra-se que sr(t)+ s0(t),ss(t) + s0(t) e st(t) + s0(t) tambm representam o mesmo

vetor S . Por este motivo, a anti-transformada , ou seja , o retorno dos valores

expressos no sistema para o sistema rst possui infinitas solues. Para o caso

particular da eq.(2.1-2), ou seja, seqncia zero nula, a antitransformada dada

pela eq.(2.1-4).

=

)()(

.

232/12

32/1

01

)()()(

.tsts

tststs

t

s

r

(2.1-4)

O lugar geomtrico do vetor S gerado por um conjunto de sinais trifsicos

senoidais e equilibrados com valor de pico Sp um crculo com raio Sp. Adota-se

que os sinais de seqncia positiva produzem um vetor S que gira no sentido anti-

horrio e os sinais de seqncia negativa produzem um vetor no sentido oposto.

Alm da notao vetorial, como apresentado, tem-se a notao complexa onde os

eixos e correspondem aos eixos real e imaginrio do plano complexo. O vetor S passa a ser representado pela eq.(2.1-5).

)()().(.1 )(.32.

32.

ttSetS(t)sj(t)s)(t).es(t).es(t)..(s32S tj

j

t

j

sr

==+=++= (2.1-5)


25

2.1.1 Sistema de referncia fixa

2.1.1.1 Mtodo de deteco em tempo real atravs de vetores espaciais (DTRVE)

Em (Zhang; Xu, 2001), para uma sinal genrico com harmnicos e desequilbrios,

associam-se os sinais sr(t), ss(t), st(t) a um vetor espacial instantneo )(tS

, em um

sistema de referncia fixo (), utilizando-se a eq.(2.1-5).

O vetor )(tS

descrito na notao complexa por )()( ttSS = , com )(tS e )t(

variantes no tempo, de modo que )(tS

percorra um percurso arbitrrio, conforme

mostrado a seguir na Fig.2.1.1-1. Na notao complexa, o eixo corresponde parte real e o eixo parte imaginria.

(t)

Sh

SS1

(t)

Im

Re

h(t)

Fig. 2.1.1-1 Vetor S e sua trajetria (pontilhada)

O vetor S pode ser decomposto em duas partes, )()(11 ttSS =

, correspondente

aos componentes do sinal na freqncia fundamental (Fig.2.1.1-1 em verde), e

)()( ttSS hhh =

que inclui todas as componentes harmnicas (Fig.2.1.1-1 em azul).


26

O vetor )(1 tS

pode ainda ser decomposto nas parcelas +S (t) e

S (t),

correspondentes aos componentes de seqncia positiva e negativa na freqncia

fundamental, de acordo com a eq.(2.1.1-1).

)()()()()()()(1 ttSttStStStS

+

+

+

+=+= (2.1.1-1) onde

tt .)( 0 += ++ e tt .)( 0 = .

O mtodo de (Zhang; Xu, 2001) permite o clculo de +S e

S , seguindo a

seqncia abaixo descrita. Calcula-se inicialmente o vetor S a partir da eq.(2.1-5),

decompondo-o nas projees s(t) e s(t) (Fig.2.1.1-2) conforme as eqs.(2.1.1-2) e

(2.1.1-3).

))(cos().())(cos().())(cos().())(cos().()(2++ ++== ttSttSttSttSts hh

(2.1.1-2)

))(().())(().())(().())(().()(2++ ++== tsentStsentStsentStsentSts hh

(2.1.1-3)

(t)

Sh

SS1

(t)

s(t)

s(t)

Im ()

Re ()

Fig. 2.1.1-2 Projeo do Vetor S no sistema


27

As parcelas s(t) e s(t) so filtradas por dois filtros passa-baixas independentes

(com ganho unitrio (de modo a no alterar a amplitude dos sinais), e fase ( ) na freqncia fundamental) eliminando-se as componentes harmnicas e introduzindo

uma defasagem ( ) na componente do sinal de freqncia fundamental conforme a Fig.2.1.1-3. Aps a filtragem, os componentes sf(t) (parte real) e sf(t) (parte

imaginria) que contm as componentes das seqncias positiva (sf+(t); sf+(t)) e

negativa (sf-(t); sf-(t)) da freqncia fundamental podem ser reescritas nas

eqs.(2.1.1-4) e (2.1.1-5) respectivamente.

)()())(cos(.))(cos(.)( tststStSts fff +

+

+ +=+= (2.1.1-4)

)()())((.))((.)( tststsenStsenSts fff +

+

+ +== (2.1.1-5)

S1

[(t)-]

sf(t)

sf(t)

Im ()

Re ()

Fig. 2.1.1-3 Projeo no sistema do Vetor fS1 aps a filtragem

Para separar as projees das componentes de seqncia positiva (sf+(t); sf+(t))

e negativa (sf-(t); sf-(t)) de sf(t) e sf(t), (Zhang; Xu, 2001) prope criar um novo

vetor (sf90(t);sf 90(t)), obtido a partir do vetor original (sf(t); sf(t)), rotacionando-o de

-/2, o que resulta nas eqs.(2.1.1-6) e (2.1.1-7) respectivamente.

))((.))((.

)2

)(cos(.)2

)(cos(.)(90

+

=+=

+

+

++

tsenStsenS

tStSts f (2.1.1-6)

))(cos(.))(cos(.

)2

)((.)2

)((.)(90

+

==

+

+

++

tStS

tsenStsenSts f (2.1.1-7)


28

Os componentes desejados de seqncia positiva (sf+(t); sf+(t)) e negativa (sf-(t);

sf-(t)) so obtidos a partir dos valores de (sf(t); sf(t); sf90(t); sf 90(t)) utilizando-se as

eqs.(2.1.1-8), (2.1.1-9), (2.1.1-10) e (2.1.1-11).

( )2

)()()( 90

tststs fff

=+ (2.1.1-8) ( )

2)()(

)( 90tsts

ts fff

+= (2.1.1-9)

( )

2)()(

)( 90tsts

ts fff

+=+ (2.1.1-10)

( )2

)()()( 90

tststs fff

= (2.1.1-11)

Podem-se agrupar as eqs.(2.1.1-8), (2.1.1-9), (2.1.1-10) e (2.1.1-11) na matriz

dada pela eq.(2.1.1-12).

.

=

+

+

)(

)(

)(

)(

.

1001011010010110

.21

)(

)(

)(

)(

90

90

tstststs

tstststs

f

f

f

f

f

f

f

f

(2.1.1-12)

Para se corrigir o deslocamento da fase causado pelo filtro ( ), necessrio rotacionar-se os vetores (sf+(t); sf+(t)) e (sf-(t); sf-(t)) de acordo com o

deslocamento ( ), obtendo-se assim os valores dos componentes de seqncia positiva e negativa (s+(t); s+(t); s-(t); s-(t)) respectivamente nas eqs.(2.1.1-13) e

(2.1.1-14).

=

+

+

+

+)()(

.cossinsincos

)()(

tsts

tsts

f

f

(2.1.1-13)

=

)()(

.cossinsincos

)()(

tsts

tsts

f

f

(2.1.1-14)

Os sinais instantneos de seqncia positiva e/ou negativa

( )(),(),( ___ tststs trefsrefrref ) so obtidos pela eq.(2.1-4), substituindo-se os valores

de s(t) por s+(t) (s-(t)) e s(t) por s+(t) (s-(t)).

O diagrama de blocos do Mtodo DTRVE mostrando a extrao da seqncia

negativa apresentado na Fig. 2.1.1-4.


29

Fig. 2.1.1-4 Diagrama de Blocos do Mtodo DTRVE (extrao seqncia

negativa)

2.1.2 Sistema de referncia girante

O mtodo de referncia girante positiva requer a mudana do sistema de

coordenadas fixo (Seo 2.1) para o sistema de coordenadas girante dq. O

sistema dq gira com velocidade de modo que o ngulo2 entre os eixos e d ( e q) tenha valor ( t ). A transformao das coordenadas do vetor do sinal no sistema (sistema de referncia fixo) para o sistema dq (sistema girante), tambm chamada

Transformada de Park (Hafner et al., 1997), (Choi et al., 2000) e (Senini; Wolfs,

2000) efetuada pelas eqs.(2.1-3) e (2.1.2-1) e observada na Fig. 2.1.2-1.

=

)()(

.)cos()()()cos(

)()(

tsts

ttsentsent

tsts

q

d

(2.1.2-1)

2 Para simplificar a explanao considerou-se o ngulo entre os eixos e d com valor t . Para uma abordagem mais geral deve-se consider-lo como sendo +t .

rst/

sr(t), ss(t), st(t) s(t)

s(t)

sf(t)

sf(t)

Rotao -90 sf90(t)

sf 90(t)

=

+

+

)()(

)(

)(

.

1001011010010110

.21

)()(

)(

)(

90

90

tstststs

tstststs

f

f

f

f

f

f

f

f

Correo da defasagem causada pelo filtro e transformada

/rst

sf-(t)

sf-(t)

)(),(),( ___ tststs trefsrefrref

FPB

FPB

Rotao -90


30

S

s(t)

s(t)

sq(t)

d q

sd(t) (t)

t

Fig. 2.1.2-1 - Vetores em um sistema girante de referncia

Esse sistema est sendo rotacionado a uma velocidade constante em sincronismo

com uma referncia o que torna necessrio um circuito de sincronismo do tipo PLL

para a obteno de ( t ).

O vetor S pode ser descrito pela soma das componentes fundamental 1

S e

harmnicos hS mostrado na Fig. 2.1.1-1. O vetor da componente fundamental do

sinal analisado 1S pode ser descrito pela soma dos vetores

+S e

S correspondentes aos componentes de seqncia positiva e negativa da

fundamental do sinal. No sistema , +S tem velocidade angular , enquanto

S

tem velocidade angular - conforme a Fig.2.1.2-2.

S1

S -

S+

-

Fig. 2.1.2-2 - Vetores dos componentes fundamentais em um sistema fixo de referncia


31

No sistema de referncia girante o vetor +S de seqncia positiva permanece

parado. Deste modo , as projees de +S nos eixo dq apresentam amplitude

constante. No sistema dq o vetor S gira com velocidade angular -2., fazendo

com que suas projees nos eixos dq apresentem freqncia 2., conforme pode ser visto na Fig.2.1.2-3. Harmnicos de seqncia positiva de ordem h produziro

componentes no sistema dq com freqncia ).1h( , enquanto que os de seqncia negativa tero freqncia + ).1h( . Assim, a parte oscilatria das

coordenadas do vetor S no sistema dq formada tanto por harmnicos como por

componentes de seqncia negativa.

-2t S -

S+

d

q

Fig. 2.1.2-3 - Vetores da componente fundamental representada em um sistema fixo e num sistema girante de referncia

Portanto, no sistema dq o componente fundamental de seqncia positiva pode

ser filtrado utilizando-se um filtro passa-baixa. A parte oscilatria ( )(),(~~tsts qd )

corresponde aos harmnicos e seqncia negativa extrados do sinal no sistema dq.

A proximidade entre as freqncias da parcela associada seqncia negativa (2.) e das parcelas associadas aos harmnicos ( ).1h( ) nos sinais sd e sq, torna difcil sua separao pela filtragem. O diagrama de blocos do Mtodo RSP mostrando a

extrao da seqncia negativa e harmnicos apresentado na Fig. 2.1.2-4.


32

Fig. 2.1.2-4 Diagrama de Blocos do Mtodo RSP

(Hafner et al., 1997), (Choi et al., 2000) e (Senini; Wolfs, 2000) propem utilizar

uma estratgia semelhante da referncia girante positiva, para a extrao da

seqncia positiva de sinais distorcidas num mtodo chamado de referncia girante

negativa (RSN). Neste mtodo, aps a extrao do componente constante

correspondente seqncia positiva ( )(),( tsts qd ), representa-se o vetor associado

s variveis oscilantes ( )(),(~~tsts qd ) em um novo sistema dq, que gira no sentido

horrio, com velocidade -2com relao ao sistema dq original, utilizando a eq.(2.1.2-2).

=

)(

)(.

)2cos()2()2()2cos(

)(

)(~

~

'

'

ts

tsttsentsent

tsts

q

d

q

d

(2.1.2-2)

No sistema dq, a componente de seqncia negativa da fundamental apresenta-

se como um valor constante ( )(),( '' tsts qd ) que pode ser isolado via um filtro passa-

baixa. Os sinais no sistema rst ( )(),(),( ___ tststs trefsrefrref ) so obtidos atravs da

eq.(2.1.2-2),(2.1.2-3) e (2.1-4) substituindo-se os valores de )(~tsd por )(

~tsdn , )(

~tsq

por )(~tsqn , s(t) por sc(t) e s(t) por sc(t).

=

)(

)(.

)2cos()2()2()2cos(

)(

)('

'

~

~

ts

tsttsentsent

ts

ts

q

d

qn

dn

(2.1.2-2)

rst/

sr(t) ss(t) st(t)

s(t)

s(t)

FPA

sd(t)

sq(t)

)(~tsd

)(~tsq

/rst sc(t)

sc(t) )(

)()(

_

_

_

tststs

tref

sref

rref

/dq dq/

vr_PLL, vs_PLL, vt_PLL

FPA


33

=

)(

)(.

)cos()()()cos(

)()(

~

~

ts

tsttsentsent

tsts

q

d

c

c

(2.1.2-3)

O diagrama de blocos do Mtodo RNP mostrando a extrao da seqncia

negativa apresentado na Fig. 2.1.2-5.

Fig. 2.1.2-5 Diagrama de Blocos do Mtodo RNP

Uma variante do mtodo de Referncia Girante Positiva chamada de Referncia

Girante Positiva Modificada apresentada em (Marques, 1998). Nela, o ngulo de

referncia para rotao do sistema calculado utilizando diretamente os sinais no

sistema rst. No necessitando assim de um circuito de sincronismo. A velocidade da

referncia girante pode no ser mais constante. Ela varia instantaneamente

dependendo da forma de onda do sistema de tenso trifsico.

O ngulo de referncia ( t ) varivel no tempo segundo as eqs.(2.1.2-3), (2.1.2-4) e (2.1.2-5).

=

)()()(

.2

32

30

2/12/11.

32

)()(

tststs

tsts

t

s

r

(2.1.2-3)

)()(

)()cos(

22 tsts

tst

+

= (2.1.2-4) )()(

)()sin(

22 tsts

tst

+

= (2.1.2-5)

vr_PLL, vs_PLL, vt_PLL

FPB

sd(t)

sq(t)

)(~tsqn

)(),(),( ___ tststs trefsrefrref

rst/

sr(t) ss(t) st(t)

s(t)

s(t)

FPA

sd(t)

sq(t)

)(~tsd

)(~tsq

sc(t)

sc(t)

/dq

)(' tsd

dq/ dq

-2 2

)(~tsdn

)(' tsq

FPAdq/ dq

FPB

dq/

/ rst

-


34

(Marques, 1998) mostra que o mtodo Referncia Girante Positiva Modificada

apresenta um desempenho idntico ao mtodo de Referncia Girante Positiva se os

sinais forem equilibrados e simtricos, no entanto o desempenho piora quando for

distorcido ou desbalanceado, o que remete a necessidade de um circuito PLL.

2.2 Mtodo baseado na teoria da decomposio em seqncia negativa, positiva e zero (Mtodo Proposto)

A utilizao deste mtodo para a extrao dos sinais instantneos de seqncia

positiva, negativa e harmnicos foi proposta inicialmente em (Cutri; Matakas Jr.,

2003) baseando-se na teoria de componentes simtricos (Fortescue, 1918) e (Robba

et al., 1996), no entanto a mesma no permitia a extrao somente de desequilbrios

ou harmnicos separadamente. Nesta tese proposto um aperfeioamento do

mtodo apresentado em (Deckmann, S.M.; Marafao, F.P., 2000), (Cutri; Matakas Jr.,

2003) permitindo a extrao somente das componentes de seqncia positiva,

negativa e/ou harmnicos da fundamental. A extrao feita sem nenhuma

transformao de sistema de coordenadas, operando-se diretamente com os sinais

de linha medidos.

O diagrama de blocos do Mtodo proposto apresentado na Fig. 2.2-1.

Este mtodo descrito em detalhe no cap.3.

Fig. 2.2-1 Diagrama de Blocos do Mtodo Proposto

sr(t) ss(t) st(t)

)(

)()(

_

_

_

tststs

tref

sref

rref

Armazena amostras (depende do mtodo

utilizado)

Mtodo

Desejado

(A,B,C,D, AB ou.CD)


35

3 MTODO PROPOSTO DE EXTRAO

O mtodo de extrao proposto nesta tese apresentado.

A eq.(3.1) calcula os fasores das componentes simtricas (0S ,

+S ,

S ) associadas

a um terno de grandezas senoidais de fase (correntes ou tenses) (RS ,

SS ,

TS )

(Fortescue, 1918) e (Robba et al., 1996).

=

=

+

T

S

R

T

S

R

M

S

S

S

S

S

S

S

S

S

..120112011120112011

111.

31

0

M

4444 34444 21

(3.1)

Para se extrarem as componentes que causam desequilbrio basta que se

separem os fasores de seqncia negativa e zero. Os fasores de seqncia zero

podem ser obtidos pela eq. (3.2) enquanto que os fasores de seqncia negativa

podem ser obtidos pela eq.(3.3).

=

T

S

R

S

S

SS.

000000111

.31

00

0

(3.2)

=

T

S

R

S

S

S

S.

120112011000000

.310

0 (3.3)

Para se obterem os fasores (seqncia negativa) extrados na base rst basta

multiplicar os fasores obtidos pela eq.(3.3) pela matriz inversa (M-1) da eq.(3.1), obtendo a eq.(3.4).

=

=

T

S

R

T

S

R

tref

sref

rref

S

S

S

S

S

S

S

S

S

.1601601

60116016016011

.31.

120112011000000

.31.1

_

_

_

M

(3.4)

A matriz complexa da eq.(3.4) pode ser reescrita em duas sub-matrizes: uma

contendo os termos reais e outra contendo os termos imaginrios multiplicados por -j

conforme a eq.(3.5).


36

=

T

S

R

tref

sref

rref

S

S

S

j

S

S

S

.

023

23

230

23

23

230

.12/12/12/112/12/12/11

.31

_

_

_

(3.5)

Para operao em regime permanente senoidal (Deckmann, S.M.; Marafao, F.P.,

2000), (Cutri; Matakas Jr., 2003), (Cutri, 2004), (Cutri; Matakas Jr., 2004), (Cutri;

Matakas Jr., 2007) as equaes (3.4) e (3.5) podem ser reescritas no domnio do

tempo, resultando nas equaes (3.6) e (3.7). O deslocamento de fase de 60 (-60)

ou -90 (90) pode ser implementado pelo atraso no tempo do sinal original por um

intervalo de tempo correspondente ao ngulo desejado na freqncia fundamental.

O atraso pode ser implementado armazenando-se um determinado nmero de

amostras medidas. O atraso de 90 (sinais (sr-90(t), ss-90(t) e st-90(t)) pode ser

implementado armazenando-se as ltimas N/4 amostras medidas. O avano de 90

pode ser obtido atravs da multiplicao dos sinais atrasados de 90 por -1. O atraso

de 60 (sr-60(t),ss-60(t),st-60(t)) pode ser obtido armazenando-se as ltimas N/6

amostras medidas. O avano de 60 (sr60(t),ss60(t),st60(t)) pode ser obtido utilizando-

se as ltimas N/3 amostras medidas, equivalentes a um atraso de 120, com sinal

negativo, (N igual ao nmero de amostras por ciclo da rede na freqncia

fundamental).

A transformao das relaes fasoriais para o domnio do tempo so exatas para

regime permanente senoidal, desde que a janela de N amostras esteja sincronizada

com os sinais (sr(t), ss(t) e st(t), onde a janela de amostras impe um transitrio

para variaes em degrau na amplitude ou fase dos sinais.

+

+

=

)()()(

.010001100

)()()(

.001100010

)()()(

.100

010001

.31

)()()(

60

60

60

60

60

60

tststs

tststs

tststs

tststs

t

s

r

t

s

r

t

s

r

t

s

r

(3.6)

+

=

)()()(

.

023

23

230

23

23

230

)()()(

.12/12/12/112/12/12/11

.31

)()()(

90

90

90

tststs

tststs

tststs

t

s

r

t

s

r

t

s

r

(3.7)


37

O mesmo raciocnio pode ser aplicado para calcular a seqncia positiva obtendo-

se as equaes (3.8) e (3.9).

+

+

=

+

+

+

)()()(

.010001100

.)()()(

001100010

)()()(

.100

010001

.31

)()()(

60

60

60

60

60

60

tststs

tststs

tststs

tststs

t

s

r

t

s

r

t

s

r

t

s

r

(3.8)

=

+

+

+

)()()(

.

023

23

230

23

23

230

)()()(

.12/12/12/112/12/12/11

.31

)()()(

90

90

90

tststs

tststs

tststs

t

s

r

t

s

r

t

s

r

(3.9)

As operaes definidas pelas equaes (3.6), (3.7), (3.8) e (3.9) sero chamadas

A, B, C e D respectivamente. As operaes A e B apresentam o mesmo resultado para a freqncia fundamental, ou seja, extraem os sinais de seqncia negativa. O

mesmo ocorre para as operaes C e D, que extraem os sinais de seqncia positiva. Os quatro mtodos foram originalmente desenvolvidos para a freqncia

fundamental. As componentes harmnicas apresentaro comportamentos diferentes

dependendo de sua ordem e seqncia, para as operaes A, B, C ou D. A Tabela I e a Tabela II apresentam o ganho de amplitude e fase relativo ao uso das operaes

A, B, C e D, e suas aplicaes em cascata (AB) e (CD) para seqncias positivas e negativas de harmnicas mpares e pares respectivamente.

TABELA I Ganho de amplitude (p.u.) e fase (graus) das operaes A, B, C, D, AB, CD para harmnicas impares de seqncia positiva e negativa.

operao A B C D AB CD1seq+ 0 0 01 01 0 011seq- 01 01 0 0 01 0 3seq+ 0 01 0 0 0 0 3seq- 0 0 0 01 0 0 5seq+ 01 0 0 01 0 0 5seq- 0 01 01 0 0 0


38

TABELA II Ganho de amplitude (p.u.) e fase (graus) das operaes A, B, C, D, AB,

CD para harmnicas pares de seqncia positiva e negativa.

Operao A B C D AB CD 2seq+ 03

1 45107

6032 4510

7 45307

1053014

2seq- 6032 45

107 03

1 4510

7 10530

14 45307

4seq+ 603

2 4510

7 031

45107

153014

45307

4seq- 03

1 45107

6032

45107 45

307

153014

6seq+ 603

2 45107

6032

45107 15

3014 15

3014

6seq- 603

2 4510

7 6032 4510

7 1530

14 1530

14 8seq+ 03

1 45107 603

2 45107

45307 15

3014

8seq- 6032 45

107

031

45107 15

3014 45

307

10seq+ 6032

45107

031

45107 105

3014 45

307

10seq- 031 45

107 603

2 4510

7 45307 105

3014

Para harmnicos impares:

- a operao A apresenta o mesmo ganho para harmnicos de seqncia negativa de ordem (1+6n) (n=0,1,2,....) e para harmnicos de seqncia positiva de ordem

(5+6n), apresentando ganho nulo para outras situaes.

- a operao C apresenta o mesmo ganho para harmnicos de seqncia positiva de ordem (1+6n) (n=0,1,2,....) e para harmnicos de seqncia negativa de ordem

(5+6n), apresentando ganho nulo para outras situaes.

- a operao B apresenta o mesmo ganho para harmnicos de seqncia positiva de ordem (3+4n) e seqncia negativa de ordem (1+4n), apresentando ganho nulo

para outras situaes.

- a operao D apresenta o mesmo ganho para harmnicos de seqncia negativa de ordem (3+4n) e seqncia positiva de ordem (1+4n), apresentando ganho nulo

para outras situaes.

- a operao cascateada AB apresenta o mesmo ganho para harmnicos de seqncia positiva de ordem (11+12n) e seqncia negativa de ordem (1+12n),

apresentando ganho nulo para outras situaes.

- a operao cascateada CD apresenta o mesmo ganho para harmnicos de seqncia negativa de ordem (11+12n) e seqncia positiva de ordem (1+12n),

apresentando ganho nulo para outras situaes.


39

Para harmnicos pares:

- as operaes A e C apresentam o mesmo ganho para harmnicos de ordem (2+6n), (4+6n) e (6+6n).

- as operaes B e D apresentam o mesmo ganho para harmnicos de ordem (2+4n) e (4+4n).

- as operaes cascateadas (AB) e (CD) apresentam o mesmo ganho para harmnicos de ordem (2+12n), (4+12n), (6+12n), (8+12n), (10+12n) e (12+12n).

Para todas as operaes, os harmnicos pares no so cancelados, mas apenas

atenuados. Para obter uma atenuao maior as operaes podem ser cascateadas.

A demonstrao matemtica das operaes A, B, C e D para um sinal contendo componentes de seqncia positiva e negativa da fundamental e para um sinal

contendo componentes harmnicas de seqncia positiva e negativa apresentada

a seguir.

3.1 DEMONSTRAO MATEMTICA DA OPERAO A APLICADA A UM

SINAL SENOIDAL E PERIDICO QUALQUER

Hiptese a ser provada: a eq.(3.6) vlida para o domnio do tempo, em regime permanente.

A validao desta hiptese feita adotando-se trs sinais instantneos sr(t), ss(t) e

st(t), peridicos e senoidais, contendo componentes de seqncia positiva e

negativa e calculando-se as componentes de seqncia negativa pela eq.(3.6);

Os resultados esperados so trs sinais representando a seqncia negativa do

sinal original.

Assim, sejam os sinais instantneos sr(t), ss(t) e st(t) representados na forma

exponencial eqs.(3.1-1), (3.1-2), (3.1-3), os sinais instantneos adiantados de /3,

(3.1-4), (3.1-5) e (3.1-6) e os sinais instantneos atrasados de /3, (3.1-7), (3.1-8) e

(3.1-9).


40

)..Re()( )()(+ +

+

+ += tjtjr eSeSts (3.1-1)

)..Re()()

3.2()

3.2( ++

+

++

+= tjtjs eSeSts (3.1-2)

)..Re()()

3.2()

3.2( +

++

++

+= tjtjt eSeSts (3.1.3)

)..Re()()

3()

3(

60

++

+++

+

+= tjtjr eSeSts (3.1-4)

)..Re()()

33.2()

33.2(

60

+++

+++

+


)..Re()()

33.2()

33.2(

60

++

++++

+

+= tjtjt eSeSts (3.1-6)

)..Re()()

3()

3(

60

+

++

+

+= tjtjr eSeSts (3.1-7)

)..Re()()

33.2()

33.2(

60

++

++

+


)..Re()()

33.2()

33.2(

60

+

+++

+


Calculam-se individualmente pela eq.(3.6) os trs sinais de seqncia negativa

comprovando assim a validao da hiptese inicial.

A seguir descreve-se o clculo de )(tsr (eq.(3.1-10)) substituindo os valores

dados pelas eqs. (3.1-1) a (3.1-9) na eq. (3.6). .

)(

6

)33

.2(

5

)33

.2(

4

)33

.2(

3

)33

.2(

2

)(

1

)(

).Re().3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

+

++

+

+++++++

++++++

=

++=

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tjr

eSeS

eS

eS

eS

eS

eS

ts

444 3444 21444 3444 21444 3444 21

444 3444 2144 344 214434421

(3.1-10)

Os sinais extrados ss-(t) e st-(t) seguem o mesmo procedimento e so

apresentados nas eqs. (3.1-11) e (3.1-12).

.

)3

2().Re()(

++

= tjs eSts (3.1-11) .

)3

2().Re()(

+

= tjt eSts (3.1-12)


41

Apresenta-se a seguir um quadro resumo (Tabela III) contendo o sinal original e o

sinal de seqncia negativa obtido comprovando assim a hiptese inicial.

Tabela III - Quadro demonstrativo dos sinais extrados operao A

Sinal Original Sinal extrado

)..Re()( )()(+ +

+

+ += tjtjr eSeSts . )( ).Re()( + = tjr eSts

)..Re()()

3.2()

3.2( ++

+

++

+= tjtjs eSeSts.

)3

2().Re()(

++

= tjs eSts

)..Re()()

3.2()

3.2( +

++

++

+= tjtjt eSeSts.

)3

2().Re()(

+

= tjt eSts

3.2 DEMONSTRAO MATEMTICA DA OPERAO B APLICADA A UM SINAL SENOIDAL E PERIDICO QUALQUER

Hiptese a ser provada: a eq.(3.7) vlida para o domnio do tempo, em regime permanente.

A validao desta hiptese feita adotando-se trs sinais instantneos sr(t), ss(t) e

st(t), peridicos e senoidais, contendo componentes de seqncia positiva e

negativa e calculando-se as componentes de seqncia negativa pela eq.(3.7);

Os resultados esperados so trs sinais representando a seqncia negativa do

sinal original.

Assim, sejam os sinais instantneos sr(t), ss(t) e st(t), respectivamente eqs.(3.2-1),

(3.2-2) e (3.2-3) e as correntes instantneas atrasadas de /2 eqs.(3.2-4), (3.2-5) e

(3.2-6).

)cos(.)cos(.)( +

+ +++= tStStsr (3.2-1) )

3.2cos(.)

3.2cos(.)( ++++= ++ tStStss (3.2-2)

)3.2cos(.)

3.2cos(.)( ++++= ++ tStStst (3.2-3)


42

)2

cos(.)2

cos(.)(90 +++= ++ tStStsr (3.2-4)

)23

.2cos(.)23

.2cos(.)(90 ++++= ++ tStStss (3.2-5)

)23

.2cos(.)23

.2cos(.)(90 ++++= ++ tStStst (3.2-6)

Representando as equaes acima na forma exponencial obtemos as eqs.(3.2-7),

(3.2-8), (3.2-9), (3.2-10), (3.2-11) e (3.2-12).

)..Re()( )()(+ +

+

+ += tjtjr eSeSts (3.2-7)

)..Re()()

3.2()

3.2( ++

+

++


)..Re()()

3.2()

3.2( +

++

++


)..Re()()

2()

2(

90

+

++

++= tjtjr eSeSts (3.2-10)

)..Re()()

23.2()

23.2(

90

++

++

+


)..Re()()

23.2()

23.2(

90

+

+++

+


Calculam-se individualmente pela eq.(3.7) os trs sinais ( )(),(),( tststs tsr )

comprovando assim a validao da hiptese inicial.

A seguir descreve-se o clculo de )(tsr (eq.(3.2-13)) substituindo os valores

dados pelas eqs. (3.2-7), (3.2-8), (3.2-9), (3.2-10), (3.2-11) e (3.2-12) na eq.(3.7).


43

.

10

)23

.2(

9

)23

.2(

8

)23

.2(

7

)23

.2(

6

)3.2(

5

)3.2(

4

)3.2(

3

)3.2(

2

)(

1

)(

))..63..

63

..63..

63

.6

.6

.6

.6

.3

.3

Re()(

4444 34444 21444 3444 21

4444 34444 21444 3444 21

444 3444 2144 344 2144 344 21

44 344 2144 344 2143421

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tj

termo

tjr

eSeS

eSeS

eSeSeS

eSeSeSts

+

+++

++

++

++++++

+++++

+

+

+

++

+

+

+=

(3.2-13)

Utilizando-se a identidade 2

ee)cos(.j.j += para os termos (3) e (5) da eq.(3.2-

13), bem como para os termos (4) e (6), obtm-se as equaes (3.2-14) e (3.2-15).

)()(

.

)3.2()

3.2(

.6

)3.2cos(.2..

6

.6

.6

- 5 termo 3 Termo

++

++

++++

+++++

==

==+

tjtj

tjtj

eSeS

eSeS (3.2-14)

)()(

.

)3.2()

3.2(

.6

)3.2cos(.2..

6

.6

.6

- 6 termo 4 Termo

++

+++

+==

==+

tjtj

tjtj

eSeS

eSeS (3.2-15)

Utilizando-se a identidade j.2ee)sin(

.j.j = para os termos (7) e (9) da eq.(3.2-

13), bem como para os termos (8) e (10), obtm-se as equaes (3.2-16) e (3.2-17).

)()2()

2(

)2

(

.

)23

.2()23

.2(

.2

..2

)3.2sin(..2...

63

..63..

63 9 Termo 7 Termo

++

+

++

+++++

++

+++

++

=

=+

=+=+

tjjtj

tj

tjtj

eSeeS

jeS

eSeS

(3.2-16)


44

)(

)2

()2

()2

(

.

)23

.2()23

.2(

..21

...21)

3.2sin(..2...

63

..63..

63 10 ermo 8 Termo

+

++

+

+

++

+

=+=

=+=+

tj

jtjtj

tjtj

eS

eeSjeS

eSeST

(3.2-17)

Substituindo-se os resultados das eqs.(3.2-14), (3.2-15), (3.2-16) e (3.2-17) na

eq.(3.2-13) obtm-se a parcela da corrente de seqncia negativa instantnea da

fase r na eq.(3.2-18).

).Re().2

.2

.2

.2

Re()( )()()()()(++ +

++++++

+=+++= tjtjtjtjtjr eSeSeSeSeSts (3.2-18)

Os sinais ss-(t) e st-(t) seguem o mesmo procedimento e so apresentadas nas

eqs.(3.2-19) e (3.2-20).

.

)3

2().Re()(

++

= tjs eSts (3.2-19) .

)3

2().Re()(

+

= tjt eSts (3.2-20)

Apresenta-se a seguir um quadro resumo (Tabela IV) contendo o sinal original e o

sinal de seqncia negativa obtido comprovando assim a hiptese inicial.

Tabela IV Quadro demonstrativo dos sinais extrados operao B

Sinal Original

Sinal extrado

)..Re()( )()(+ +

+

+ += tjtjr eSeSts ).Re()( )( + += tjr eSts

)..Re()()

3.2()

3.2( ++

+

++

+= tjtjs eSeSts.

)3

2().Re()(

++

= tjs eSts

)..Re()()

3.2()

3.2( +

++

++

+= tjtjt eSeSts.

)3

2().Re()(

+

= tjt eSts

De forma anloga, as demonstraes dos itens A.1 e A.2 valem respectivamente

para as operaes C e D.


45

3.3 DEMONSTRAO MATEMTICA DAS OPERAES APLICADAS A UM SINAL COM CONTEDO HARMNICO

Se o sinal analisado contiver harmnicos estes podero ser extrados dependendo

de sua ordem, seqncia e da operao utilizada (A, B, C, D).

A prova matemtica desta constatao feita adotando-se um sinal trifsico

contendo um componente harmnico, peridico e senoidal, qualquer e calculando-se

o sinal extrado de acordo com a operao proposta.

Assim, sejam os sinais instantneos srh(t), ssh(t) e sth(t) representados na forma

exponencial respectivamente nas eqs.(3.3-1), (3.3-2) e (3.3-3).

)..Re()( )()(+ +

+

+ += hh thjthjrh eSeSts (3.3-1)

)..Re()()

3.2()

3.2( ++

+

++

+=hh thjthj

sh eSeSts (3.3-2)

)..Re()()

3.2()

3.2( +

++

++

+=hh thjthj

th eSeSts (3.3-3)

3.3.1 DEMONSTRAO MATEMTICA DA OPERAO A APLICADA A UM SINAL COM CONTEDO HARMNICO

Hiptese a ser provada: a eq.(3.6) vlida para o domnio do tempo, em regime permanente para um sinal contendo harmnicos.

A seguir descreve-se o clculo de )(tsr (eq.(3.3.1-1)) substituindo os valores

dados pelas eqs. (3.3-1), (3.3-2), (3.3-3) na eq.(3.6). .

)3

.3.2()

3.

3.2()

32.

3.2(

)3

2.3.2()()(

).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

hthjhthjhthj

hthjthjthjr

hhh

hhh

eSeSeS

eSeSeSts

++++++

+++++

+

++

++++= (3.3.1-1)

Os sinais extrados ss-(t) e st-(t) seguem o mesmo procedimento e so

apresentados nas eqs. (3.3.1-2) e (3.3.1-3).


46

.

)3

.()3

.()3

.2.3.2(

)3

.2.3.2()

3.2()

3.2(

).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

hthjhthjhthj

hthjthjthj

s

hhh

hhh

eSeSeS

eSeSeSts

++++

+++++++

+

++

++++=

(3.3.1-2) .

)3

.3.2()

3.

3.2()

3.2.(

)3

.2.()3.2()

3.2(

).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

hthjhthjhthj

hthjthjthj

t

hh

hhh

eSeSeS

eSeSeSts

+++++

++++++

+

++

++++=(3.3.1-3)

Apresenta-se a seguir um exemplo de clculo dos sinais extrados (Tabela V) para

harmnicos de 2, 3 e 5 ordem de seqncia positiva e negativa comprovando

assim a hiptese inicial e validando a Tabela I e II.

Tabela V - Quadro demonstrativo dos sinais extrados operao A (com

harmnicos)

Sinal Original 2 Ordem Sinal extrado

).

.Re()()2(

)2(2

2

2

+

+

++ +=

tj

tjr

eS

eSts

.

)3

2()2(

)3

.23.22()

3.2

3.22(

)3

2.23.22()

32.2

3.22(

)2()2(

).3.2.

3Re(

).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

22

22

22

22

+++

++++

++++

+++

+

+

+

+

+

=

++

++=

tjtj

tjtj

tjtj

tjtjr

eSeS

eSeS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.22(

)3.22(

2

2

2

++

++

++=

tj

tj

s

eS

eSts

.

)3

.3.22()

3.22(

)3

.22()3

.22(

)3

.2.23.22()

3.2.2

3.22(

)3.22()

3.22(

22

22

22

22

.3.2.

3Re(

).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

++++

+++

++++

++++

+

+

+

+

++

=

+

+++=

tjtj

tjtj

tjtj

tjtj

s

eSeS

eSeS

eSeS

eSeSts


47

).

.Re()()

3.22(

)3.22(

2

2

2

+

+++

++=

tj

tj

t

eS

eSts

.

)33

.22()3.22(

)3

.23.22()

3.2

3.22(

)3

.2.22()3

.2.22(

)3.22()

3.22(

22

22

2

22

.3.2.

3Re(

).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

++++

++++

+++

++++

+

+

+

+

+

=

+

+++=

tjtj

tjtj

tjtj

tjtj

t

eSeS

eSeS

eSeS

eSeSts


).

.Re()()3(

)3(3

3

3

+

+

++ +=

tj

tjr

eS

eSts

.

)3

.33.23()

3.3

3.23(

)3

2.33.23()

32.3

3.23(

)3()3(

0).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

33

33

33

=

+

+++=

++++

++++

+++

+

+

+

tjtj

tjtj

tjtjr

eSeS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.23(

)3.23(

3

3

3

++

++

++=

tj

tj

s

eS

eSts

.

)3

.33()3

.33(

)3

.2.33.23()

3.2.3

3.23(

)3.23()

3.23(

0).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

33

33

33

=

+

+++=

+++

++++

++++

+

+

+

tjtj

tjtj

tjtj

s

eSeS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.23(

)3.23(

3

3

3

+

+++

++=

tj

tj

t

eS

eSts

.

)3

.33.23()

3.3

3.23(

)3

.2.33()3

.2.33(

)3.23()

3.23(

0).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

33

3

33

=

+

+++=

++++

+++

++++

+

+

+

tjtj

tjtj

tjtj

t

eSeS

eSeS

eSeSts


).

.Re()()5(

)5(5

5

5

+

+

++ +=

tj

tjr

eS

eSts

.

)5(

)3

.53.25()

3.5

3.25(

)3

2.53.25()

32.5

3.25(

)5()5(

).Re(

).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

5

55

55

55

+

+

+

+

++

++++

++++

+++

+=

++

++=

tj

tjtj

tjtj

tjtjr

eS

eSeS

eSeS

eSeSts


48

).

.Re()()

3.25(

)3.25(

5

5

5

++

++

++=

tj

tj

s

eS

eSts

.

)3.25(

)3

.55()3

.55(

)3

.2.53.25()

3.2.5

3.25(

)3.25()

3.25(

).Re(

).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

5

55

55

55

++

+++

++++

++++

+

+

+

+

+

=

+

+++=

tj

tjtj

tjtj

tjtj

s

eS

eSeS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.25(

)3.25(

5

5

5

+

+++

++=

tj

tj

t

eS

eSts

.

)3.25(

)3

.53.25()

3.5

3.25(

)3

.2.55()3

.2.55(

)3.25()

3.25(

).Re(

).3

.3

.3

.3

.3

.3

Re()(

5

55

5

55

+++

++++

+++

++++

+

+

+

+

+

=

+

+++=

tj

tjtj

tjtj

tjtj

t

eS

eSeS

eSeS

eSeSts

3.3.2 DEMONSTRAO MATEMTICA DA OPERAO B APLICADA A UM

SINAL COM CONTEDO HARMNICO

Hiptese a ser provada: a eq.(3.7) vlida para o domnio do tempo, em regime permanente para um sinal contendo harmnicos.

A seguir descreve-se o clculo de )(tsr (eq.(3.3.2-1)) substituindo os valores

dados pelas eqs. (3.3-1), (3.3-2), (3.3-3) na eq.(3.7). .

10

)2

.3.2(

9

)2

.3.2(

8

)2

.3.2(

7

)2

.3.2(

6

)3.2(

5

)3.2(

4

)3.2(

3

)3.2(

2

)(

1

)(

))..63..

63

..63..

63

.6

.6

.6

.6

.3

.3

Re()(

4444 34444 214444 34444 21

4444 34444 214444 34444 21

444 3444 21444 3444 2144 344 21

444 3444 2144 344 214434421

termo

hthj

termo

hthj

termo

hthj

termo

hthj

termo

thj

termo

thj

termo

thj

termo

thj

termo

thj

termo

thjr

hh

hh

hhh

hhh

eSeS

eSeS

eSeSeS

eSeSeSts

+

+++

++

++

++++++

+++++

+

+

+

++

+

+

+=

(3.3.2-1)


49

Utilizando-se a identidade 2

ee)cos(.j.j += para os termos (3) e (5) da eq.(3.3.2-

1), bem como para os termos (4) e (6), obtm-se as equaes (3.3.2-2) e (3.3.2-3).

)()(

.

)3.2()

3.2(

.6

)3.2cos(.2..

6

.6

.6

- 5 termo 3 Termo

++

++

++++

+++++

==

==+

thjthj

thjthj

eSeS

eSeShh

(3.3.2-2)

)()(

.

)3.2()

3.2(

.6

)3.2cos(.2..

6

.6

.6

- 6 termo 4 Termo

++

+++

+==

==+hh

hh

thjthj

thjthj

eSeS

eSeS

(3.3.2-3)

Utilizando-se a identidade j.2ee)sin(

.j.j = para os termos (7) e (9) da eq.(3.3.2-

1), bem como para os termos (8) e (10), obtm-se as equaes (3.3.2-4) e (3.3.2-5).

)2

()2

.(

)2

.(

.

)2

.3.2()

2.

3.2(

..2

)3.2sin(..2...

63

..63..

63 9 Termo 7 Termo

+++

++

+++

++

+

+

++

=+

=+=+

jhthj

hthj

hthjhthj

eeS

jeS

eSeS

h

h

hh

(3.3.2-4)

)2

()2

.()2

.(

.

)2

.3.2()

2.

3.2(

...21)

3.2sin(..2...

63

..63..

63 10 ermo 8 Termo

++

+

+

++

+=

=+=+jhthjhthj

hthjhthj

eeSjeS

eSeST

hh

hh

(3.3.2-5)

Substituindo-se os resultados das eqs.(3.3.2-2), (3.3.2-3), (3.3.2-4) e (3.3.2-5) na

eq. (3.3.2-1) obtm-se o sinal instantneo extrado da fase r na eq.(3.3.2-6).

).2

.2

.2

.2

Re()())1.(

2())1.(

2()()( hthjhthjthjthj

r

hhhh

eSeSeSeSts++++++++

++ +++=

(3.3.2-6)


50

Os sinais ss-(t) e st-(t) seguem o mesmo procedimento e so apresentadas nas

eqs. (3.3.2-7) e (3.3.2-8).

).2

.2

.2

.2

Re()())

62.())

62.()

3()

3( ++++++++

++

= hthjhthjthjthjshhhh

eSeSeSeSts

(3.3.2-7)

).2

.2

.2

.2

Re()())

65

2.())

65

2.()

3()

3( ++++++++

++

= hthjhthjthjthjthhhh

eSeSeSeSts

(3.3.2-8)

Apresenta-se a seguir um exemplo de clculo dos sinais extrados (Tabela VI)

para harmnicos de 2, 3 e 5 ordem de seqncia positiva e negativa comprovando

assim a hiptese inicial e validando a Tabela I e II.

Tabela VI - Quadro demonstrativo dos sinais extrados operao B (com

harmnicos)


).

.Re()()2(

)2(2

2

2

+

+

++ +=

tj

tjr

eS

eSts

).10.7.

10.7Re(

).2

.2

.2

.2

Re()(

)4

2()4

2(

))21.(2

2())21.(2

2(

)2()2(

22

22

22

++++

+++++

+++

+

+

+

+

=+

++=

tjtj

tjtj

tjtjr

eSeS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.22(

)3.22(

2

2

2

++

++

++=

tj

tj

s

eS

eSts

)43

.22()43

.22(

))62

.22())62

.22(

)3

2()3

2(

22

22

22

.10.7.

10.7Re(

).2

.2

.2

.2

Re()(

+++++

++++

++++

+

+

+

+

=

=

tjtj

tjtj

tjtj

s

eSeS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.22(

)3.22(

2

2

2

+

+++

++=

tj

tj

t

eS

eSts

)43

.22()43

.22(

))6

52

.22())6

52

.22(

)3

2()3

2(

22

22

22

.10.7.

10.7Re(

).2

.2

.2

.2

Re()(

+++++

++++

++++

+

+

+

+

=

=

tjtj

tjtj

tjtj

t

eSeS

eSeS

eSeSts


51


).

.Re()()3(

)3(3

3

3

+

+

++ +=

tj

tjr

eS

eSts

).Re(

).2

.2

.2

.2

Re()(

)3(

))31.(2

3())31.(2

3(

)3()3(

3

33

33

+

+

+

++

+++++

+++

=+

++=

tj

tjtj

tjtjr

eS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.23(

)3.23(

3

3

3

++

++

++=

tj

tj

s

eS

eSts

).Re(

).2

.2

.2

.2

Re()(

)3.23(

))62

.33())62

.33(

)3

3()3

3(

3

33

33

++

++++

++++

+

+

+

=

=

tj

tjtj

tjtj

s

eS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.23(

)3.23(

3

3

3

+

+++

++=

tj

tj

t

eS

eSts

).Re(

).2

.2

.2

.2

Re()(

)3.23(

))6

52

.33())6

52

.33(

)3

3()3

3(

3

33

33

+++

++++

++++

+

+

+

=

=

tj

tjtj

tjtj

t

eS

eSeS

eSeSts


).

.Re()()5(

)5(5

5

5

+

+

++ +=

tj

tjr

eS

eSts

).Re(

).2

.2

.2

.2

Re()(

)5(

))51.(2

5())51.(2

5(

)5()5(

5

55

55

+

+

+

+++++

+++

+=+

++=

tj

tjtj

tjtjr

eS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.25(

)3.25(

5

5

5

++

++

++=

tj

tj

s

eS

eSts

).Re(

).2

.2

.2

.2

Re()(

)3.25(

))62

.55())62

.55(

)3

5()3

5(

5

55

55

++

++++

++++

+

+

=

=

tj

tjtj

tjtj

s

eS

eSeS

eSeSts

).

.Re()()

3.25(

)3.25(

5

5

5

+

+++

++=

tj

tj

t

eS

eSts

).Re(

).2

.2

.2

.2

Re()(

)3.25(

))6

52

.55())6

52

.55(

)3

5()3

5(

5

55

55

+

++++

++++

+

+

=

=

tj

tjtj

tjtj

t

eS

eSeS

eSeSts

De forma anloga, as demonstraes dos itens 3.3.1 e 3.3.2 valem

respectivamente para as operaes C e D.


52

3.4 Estratgias para separar os distrbios individualmente

Uma anlise detalhada da tabela I, mostra que possvel combinar as operaes

(A, B, C, D) para obter uma determinada estratgia de extrao. A Fig.3a mostra como a seqncia positiva da fundamental pode ser extrada de um sinal distorcido

e desequilibrado atravs da operao em cascata das operaes C e D. De modo anlogo, a Fig.3b mostra como a seqncia negativa da fundamental pode ser

extrada atravs da operao em cascata das operaes A e B. A Fig.3c mostra a extrao das componentes harmnicas apresentando-se como possvel aplicao

em filtros de harmnicos. A Fig.3d mostra a extrao das componentes harmnicas

e desequilbrios. Apenas as harmnicas mpares so consideradas nas figuras (3a,

3b, 3c, 3d).

Fig. 3a Diagrama em blocos do algoritmo de extrao da componente de

seqncia positiva da fundamental

Fig. 3b Diagrama em blocos do algoritmo de extrao da componente de

seqncia negativa da fundamental

D Sinais medidos Sinais

extrados C

1+, 5-

1+, 1- 3+, 3- 5+, 5- etc,

1+

Sinais medidos

Sinais extrados A B

1+, 1- 3+, 3- 5+, 5- etc, 1-, 5+ 1-


53

Fig. 3c Diagrama em blocos do algoritmo de extrao dos harmnicos

Fig. 3d Diagrama em blocos do algoritmo de extrao da componente de

seqncia negativa e harmnicos (extrao total)

A extrao da seqncia zero no domnio do tempo e a influncia dos mtodos

propostos no processamento de sinais com seqncia zero ser apresentada no

Apndice A.

-

D + Sinais

medidos de linha

Sinais extrados C

1+, 5-

1+, 1- 3+, 3- 5+, 5- etc,

1+

1- 3+, 3- 5+, 5- etc,

1+

-

C D + sinais

medidos de linha

sinais extrados

A B

+

1+, 1- 3+, 3- 5+, 5- etc, 1+,

5-

1-, 5+ 1-

3+, 3- 5+, 5- etc,


54

4 SIMULAO NUMRICA E IMPLEMENTAO EM DSP DO ALGORITMO DE EXTRAO PROPOSTO

O mtodo proposto no cap.3 para extrao das componentes de

seqncia positiva, negativa e/ou harmnicos analisado a partir de

resultados obtidos via simulao numrica e implementao digital em

um Processador Digital de Sinais.

As operaes (A, B, C, D, AB e CD) apresentadas no cap.3 foram simuladas numericamente e implementadas no DSP ADMC401 da Analog Devices, seus

sinais foram adquiridos atravs do software Wavestar e processados no software

MATLAB.

Tendo-se por base um sinal distorcido, contendo harmnicos e/ou desequilbrios

apresentam-se:

- a anlise das respostas em regime e transitria das operaes propostas;

- um comparativo entre os resultados tericos, simulados no software MATLAB e

os obtidos experimentalmente;

- a anlise da influncia da variao da freqncia dos sinais processados no

desempenho dos mtodos propostos;

- o tempo de execuo de cada rotina.

Todas as amplitudes dos sinais so representadas, neste captulo, pelos seus

valores de pico, exceto quando especificado em contrrio.


55

4.1 Resposta em Regime

O comportamento das operaes para o clculo da componente de seqncia

positiva, negativa e/ou harmnicos, vistos no captulo 3, analisado para um sinal

distorcido.

A fim de permitir uma melhor anlise das operaes propostas, utilizam-se dois

sinais distorcidos, sendo um composto exclusivamente por harmnicos impares (a) e

outro por harmnicos pares (b).

O sinal distorcido composto por harmnicos impares (Fig.4.1.1a) tem a seguinte

caracterstica:

- 0.5 p.u. de seqncia positiva e 0.5 p.u. de seqncia negativa da fundamental

com defasagem nula;

- 0.15 p.u. de seqncia positiva e 0.15 p.u. de seqncia negativa de terceira

harmnica com defasagem nula;

- 0.15 p.u. de seqncia positiva e 0.15 p.u. de seqncia negativa de quinta


O sinal distorcido composto por harmnicos pares (Fig.4.1.1b) tem a seguinte

caracterstica:

- 0.4 p.u. de seqncia positiva e 0.4 p.u. de seqncia negativa da fundamental

com defasagem nula;

- 0.15 p.u. de seqncia positiva e 0.15 p.u. de seqncia negativa de segunda


- 0.15 p.u. de seqncia positiva e 0.15 p.u. de seqncia negativa de quarta


Devido aos valores de amplitude e defasagem dos sinais distorcidos de teste, o

sinal da fase S (verde) se encontra em fase (sobreposto) com o sinal da Fase T

(azul).


56

As figuras 4.1.2(a) e 4.1.2(b) apresentam os sinais gerados ex

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Doutorado Final Revisada