Upload
lequynh
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������1BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
&DStWXOR���±�0DWUL]HV
ÅÅ 11RRoo}}HHVV **HHUUDDLLVV
xx Seja £ uma HVWUXWXUD�DOJpEULFD que possua as operações de DGLomR e PXOWLSOLFDomR com as propriedades habituais ( por exemplo: ¸, ©, ·, ... ).
Aos elementos de £ chamamos HVFDODUHV.
xx Uma PDWUL]�GH�WLSR (ou tamanho) S l T é uma tabela de S OLQKDV�e T FROXQDV com elementos de £.
QRPH da matriz
HOHPHQWRV que são HVFDODUHV da forma DLM�onde L ∈ {���������S} indica a OLQKD
e M ∈ {���������T} a FROXQD
xx Geralmente denotamos,
a PDWUL] $ = [ DLM�] com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T}
o HOHPHQWR (L��M) que está na OLQKD�L e FROXQD�M
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Ambas as notações [DLM ]SlT e [$]SlT indicam que a matriz tem S linhas e�T colunas.
xx Por exemplo,
é uma matriz [$]�l�onde D�� = 27
xx Quando S ��� temos uma PDWUL]�OLQKD
e quando T �� temos uma PDWUL]�FROXQD
Por exemplo,
xx Quando S �T a matriz chama-se TXDGUDGD
Por exemplo,
é uma matriz TXDGUDGD�GH�RUGHP��.
xx Numa matriz quadrada, os elementos com L �M�formam a GLDJRQDO�SULQFLSDO.Neste exemplo, os HOHPHQWRV�GLDJRQDLV são,
D�� = 25 D���= 10 D�� = 7
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������3BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
D�� = 3 e D���= 6 chamam-se HOHPHQWRV�RSRVWRV.
xx Uma matriz quadrada onde DLM� �� para L ≠ M chama-se PDWUL]�GLDJRQDO.Por exemplo,
Note que podem ocorrer elementos nulos na diagonal principal.
xx Quando os elementos de uma matriz diagonal são todos iguais, temos uma PDWUL]�HVFDODU�Por exemplo,
�
xx A PDWUL]�LGHQWLGDGH é uma matriz escalar cujos elementos são todos iguais a �.
Por exemplo, a PDWUL]�LGHQWLGDGH�GH�RUGHP�Q,
geralmente indicada por ,Q ,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������4BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Note que ,Q = [GLM]QlQ onde GLM� é o VtPEROR�GH�.URQHFNHU,
xx Numa PDWUL]�QXOD todos os elementos são iguais a zero.
Por �SlT representamos a matriz nula de tipo S l T.
��l� =
xx Uma matriz quadrada chama-se WULDQJXODU�VXSHULRU quando DLM� �� para todo o L > M .
Por exemplo,
xx Uma matriz quadrada chama-se WULDQJXODU�LQIHULRU quando DLM� �� para todo o L < M .
Por exemplo,
xx Duas matrizes $ = [ DLM�] e % = [ ELM�] ambas de tipo S l T são LJXDLV
se DLM = ELM para todo L ∈ {���������S} e todo M ∈ {���������T} .
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
ÅÅ 22SSHHUUDDoo}}HHVV FFRRPP 00DDWWUULL]]HHVV
xx Seja 0SlT(£) o conjunto das matrizes de tipo S l T com elementos de £.
xx Uma RSHUDomR�ELQiULD�em 0SlT(£) é uma aplicação,
0SlT(£) l 0SlT(£) | 0SlT(£)
� $��%������� &A cada par ordenado de matrizes do conjunto a operação faz corresponder, de forma única, uma matriz do mesmo conjunto.
xx A DGLomR�GH�PDWUL]HV é uma operação binária em 0SlT(£).
Dadas $��%�∈0SlT(£), com $ = [ DLM�] e % = [ ELM�] ,
a PDWUL]�VRPD é definida por,
$ + % = [ DLM�+ ELM�]para todo L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T} .
xx Por exemplo, dadas duas matrizes de 0�l�(¸),
a PDWUL]�VRPD & = $ + % também pertence a 0�l�(¸) e é calculada de forma única adicionando elementos correspondentes.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
& = $ + %
xx De modo análogo, a VXEWUDFomR�GH�PDWUL]HV é uma operação binária em 0SlT(£), definida por,
$ – % = [ DLM�- ELM�]para todo L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T} .
> 33UURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD $$GGLLoommRR GGHH 00DDWWUULL]]HHVV
x As propriedades da adição de matrizes são consequência directa das mesmas propriedades que se verificam na adição em £.
x Sejam $��%��&�∈0SlT(£)
onde $ = [ DLM�] , % = [ ELM�] e & = [ FLM�]com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T} .
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������7BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x &RPXWDWLYLGDGH: $ + % = % + $'HPRQVWUDomR:
$ + % = [ DLM�+ ELM�] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = [ ELM�+ aLM�] FRPXWDWLYLGDGH�GD DGLomR�HP��£
= % + $ GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV
x $VVRFLDWLYLGDGH: � $ + % ����&� =�$ ����%���&�� 'HPRQVWUDomR:
�$ + %����&� = [DLM�+ ELM] + [FLM] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = [(DLM�+ ELM) + FLM] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV
= [DLM�+ (ELM + FLM)] DVVRFLDWLYLGDGH�GD�DGLomR�HP��£= [DLM] + [ELM + FLM] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�
� = $ ����%���&�� GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV
x ([LVWrQFLD�GH�(OHPHQWR�1HXWUR: �SlT + $ = $ + �SlT = $'HPRQVWUDomR:
�SlT + $ = [�£]SlT + [DLM] GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD = [ �£ + DLM�] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�
� = [ aLM�] �£ p R�HOHPHQWR�QHXWUR�GD DGLomR�HP��£= $ GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������8BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
$ + �SlT = [DLM] + [�£]SlT GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD = [ DLM�+ �£ ] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�
� = [ aLM�] �£ p R�HOHPHQWR�QHXWUR�GD DGLomR�HP��£= $ GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV
x ([LVWrQFLD�GH�(OHPHQWR�6LPpWULFR:
$ + (–$) = (–$) +�$ = �SlTonde –$ = [ - DLM�]
'HPRQVWUDomR:
$ + (–$) = [ DLM�+ (-DLM) ] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�
� = [ �£ ]SlT HOHPHQWR�VLPpWULFR�GD�DGLomR�HP��£= �SlT GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD
(–$) + $ = [ (-DLM) + DLM�] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�
� = [ �£ ]SlT HOHPHQWR�VLPpWULFR�GD�DGLomR�HP��£= �SlT GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD
x Verificadas esta quatro propriedades, podemos concluir que
R FRQMXQWR 0SlT(£), PXQLGR�GD�RSHUDomR�DGLomR�GH�PDWUL]HV,
é um JUXSR�DEHOLDQR (ou FRPXWDWLYR).
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������9BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
ÅÅ 00XXOOWWLLSSOOLLFFDDoommRR GGHH XXPPDD 00DDWWUULL]] SSRRUU XXPP ((VVFFDDOODDUU
xx Consideremos uma PDWUL]� $ = [ DLM�] ∈0SlT(£) e um HVFDODU D∈£.
A matriz D $ ∈ 0SlT(£) é o resultado da multiplicação
de cada elemento da matriz $ pelo escalar D.
Ou seja,
D $ = [ D DLM�] com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T} .
xx Por exemplo,
se então
xx Definidas a adição entre matrizes e a multiplicação por um escalar, podemos calcular FRPELQDo}HV�OLQHDUHV�GH�PDWUL]HV.
Por exemplo dadas,
calcule � $�±���% .
> 33UURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD 00XXOOWWLLSSOOLLFFDDoommRR SSRRUU XXPP ((VVFFDDOODDUU
x De modo análogo, as propriedades seguintes são consequência directa das propriedades da adição e da multiplicação em £.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������10�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x Sejam $��%�∈0SlT(£) onde $ = [ DLM�] e % = [ ELM�]com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T}
e sejam D, E ∈ £.
x 3URSULHGDGH��: D � $ + % ��= D $ ��D %'HPRQVWUDomR:
D �$ + %�� = D [DLM�+ ELM] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = [ D (DLM�+ ELM) ] GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�XPD�� PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU
= [ D DLM�+ D ELM ] GLVWULEXWLYLGDGH�GD PXOWLSOLFDomR�� HP�UHODomR�j�DGLomR�HP��£
= [ D DLM�] + [ D ELM ] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = D $ ��D % GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�XPD�� PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU
x 3URSULHGDGH��: � D + E ) $ = D $ ��E $'HPRQVWUDomR:
�D + E) $ = �D + E) [DLM] GHILQLomR�GH�PDWUL]�� = [ �D + E) DLM ] GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�XPD�� PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU
= [ D DLM�+ E DLM ] GLVWULEXWLYLGDGH�GD PXOWLSOLFDomR�� HP�UHODomR�j�DGLomR�HP��£
= [ D DLM�] + [ E DLM ] GHILQLomR�GD�DGLomR�GH�PDWUL]HV�� = D $ ���E $ GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH�XPD�� PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������11�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x 3URSULHGDGH��: D � E $ � = �D E� $� 'HPRQVWUDomR�FRPR�H[HUFtFLR��
x 3URSULHGDGH��: �£ $ = $onde �£ é o elemento neutro da multiplicação em £.
No âmbito deste curso, �£ é a própria XQLGDGH.
'HPRQVWUDomR�FRPR�H[HUFtFLR��
x 3URSULHGDGH��: �£ $ = �SlTonde �£ é o elemento absorvente da multiplicação em £.
No âmbito deste curso, �£ é o próprio ]HUR.
'HPRQVWUDomR�FRPR�H[HUFtFLR��
xx Por exemplo, dadas duas matrizes de 0�l�(¸), tais que,
aplicando propriedades anteriores, calcule,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������12�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx 7HRUHPD�� Sejam $ = [ DLM�] ∈ 0SlT(£) uma PDWUL],
com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T}
e D∈£ um HVFDODU.Então,
D $ = �SlT x D = �£ ½ $ = �SlT
'HPRQVWUDomR���D $ = �SlT x D [DLM]SlT = �SlT
x [D DLM]SlT = �SlT GHILQLomR�GD�PXOWLSOLFDomR�GH��� XPD�PDWUL]�SRU�XP�HVFDODU� x [D DLM]SlT = [ �£ ]SlT GHILQLomR�GD�PDWUL]�QXOD�
x D DLM�= �£ , � L ∈ {���������S} , M ∈ {���������T}
GHILQLomR�GD�LJXDOGDGH�GH�PDWUL]HV
x D = �£ ½ DLM�= �£ , � L ∈ {���������S}, M ∈ {���������T}
OHL�GR�DQXODPHQWR�GR�SURGXWR�HP £
x D = �£ ½ [DLM]SlT = [ �£ ]SlT
x D = �£ ½ $ = �SlTT�H�G��
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������13�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
ÅÅ 00XXOOWWLLSSOOLLFFDDoommRR GGHH 00DDWWUULL]]HHVV
xx Duas PDWUL]HV [$]SlT e [%]QlP dizem-se HQFDGHDGDV quando T �Q.
xx O SURGXWR $% só pode ser efectuado se as matrizes $ e % forem encadeadas.
xx Nesse caso, sendo $ uma matriz do tipo S l T e % uma matriz do tipo T l P,
o produto $% será uma matriz do tipo S l P.
xx Naturalmente, o produto %$ destas duas matrizes só seria possível se S �P.
Nesse caso, $% e %$ seriam matrizes do mesmo tipo S l S mas não necessariamente iguais.
xx Note ainda que, se $ for uma matriz do tipo S l T e % uma matriz do tipo T l S,
o produto $% será uma matriz do tipo S l S e o produto %$ será uma matriz do tipo T l T.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������14�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Comecemos por considerar o caso particular do SURGXWR�GH�XPD�PDWUL]�OLQKD�SRU�XPD�PDWUL]�FROXQD.
xx Dadas as matrizes [$]�lQ e [%]Ql�
definimos o SURGXWR $% por,
portanto uma matriz do tipo � l �.
xx Por exemplo,
xx O caso geral da multiplicação de duas matrizes é uma generalização desta operação.
xx Sejam $ e % matrizes do tipo S l T e T l P, respectivamente.
O SURGXWR de $ por %, representado por $%, é a matriz do tipo S l Pque se obtém, calculando FDGD�HOHPHQWR �L��M� como
o SURGXWR�GD�OLQKD L da matriz $ SHOD�FROXQD M da matriz %.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������15�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Claro que o SURGXWR�GD�OLQKD L da matriz $ SHOD�FROXQD M da matriz % só é possível se tiverem ambas a mesma dimensão, isto é, se as matrizes forem HQFDGHDGDV.
xx Assim, dadas duas matrizes $ = [ DLN�] e % = [ ENM�]com L ∈ {���������S} , N ∈ {���������T} e M ∈ {���������P}
o SURGXWR da matriz $ pela matriz % é a matriz $% do tipo S l P definida por.
$% = [ FLM�] , com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������P}
onde cada,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������16�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Por exemplo, dadas as matrizes,
temos o produto,
xx Um WUXTXH�DX[LOLDU consiste em dispor as matrizes na forma,
o que também facilita a verificação das dimensões.
xx Por exemplo, para as matrizes,
temos o produto,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������17�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
enquanto que,
xx Vemos portanto que a operação multiplicação de matrizes QmR p�FRPXWDWLYD.
xx Outras propriedades da multiplicação habitual entre escalares deixam também de se verificar. Por exemplo, QmR�p�YiOLGD�D�OHL�GR�DQXODPHQWR�GR�SURGXWR.
Facilmente encontramos um contra-exemplo, pois com,
e
obtemos,
xx Também QmR p�YiOLGD�D�OHL�GR�FDQFHODPHQWR�GR�SURGXWR.
Por exemplo,
dadas as matrizes $, % e &, podemos ter $%� �$& mas com % z &.
xx Obviamente, o TXDGUDGR $� $$ de uma matriz $ do tipo S l T só está definido se S �T, ou seja, se a matriz for quadrada.
Por exemplo,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������18�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Note-se também que, não sendo válida a lei do anulamento do produto,
podemos ter $� �SlS com $ z �SlS.
Por exemplo,
xx Para uma PDWUL]�TXDGUDGD $ do tipo Q l Q e um LQWHLUR N ≥ �, definimos
SRWrQFLD�GH�RUGHP�N da matriz por,
$N $��$�������$
N
xx Se N ��, utilizamos a convenção $� ,Q.
xx Apesar destas restrições, continuam a ser válidas algumas das propriedades fundamentais da multiplicação habitual ...
> 33UURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD 00XXOOWWLLSSOOLLFFDDoommRR GGHH 00DDWWUULL]]HHVV
No que se segue, D é um escalar e assumimos que as matrizes $, % e &têm os tamanhos adequados.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������19�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x ([LVWrQFLD�GH�(OHPHQWR�1HXWUR: ,S $ = $% ,T = %
x $VVRFLDWLYLGDGH: $ � % &��� =���$�%���&�
x $VVRFLDWLYLGDGH�PLVWD: D � $�%��� = � D $ ��%�� = $ ��D % ��
x 'LVWULEXWLYLGDGH: $ � % ��&��� =�$�%���$�&� � $ + % ��&��= $ &���%�&
ÅÅ 77UUDDQQVVSSRRVVWWDD GGHH XXPPDD 00DDWWUULL]]
xx Seja $ = [ DLM�] uma matriz do tipo S l T.
Chama-se WUDQVSRVWD�GD�PDWUL] $ e representa-se por $7
à matriz do tipo T l S que se obtém de $, trocando as linhas pelas colunas.
Ou seja, cada elemento,
D7LM� �DML��, com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T}
Por exemplo,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������20�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
> 33UURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD 77UUDDQQVVSSRRVVWWDD GGHH XXPPDD 00DDWWUULL]]No que se segue, D é um escalar e assumimos que as matrizes $, e %têm os tamanhos adequados.
x � $7 �7 = $'HPRQVWUDomR:
Seja $ = [ DLM�] , com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T}.
A matriz transposta $7 [ D7LM�] [ DML��] ,
portanto a transposta da transposta � $7 �7 [ D7ML�] [ DLM��] = $ .
x � $���%��7 = $7 � %7
'HPRQVWUDomR:
Sejam $ = [ DLM�] e % = [ ELM�], com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T}.
Por definição de adição de matrizes,
$ ��%� �&� [ FLM�] com FLM�� �DLM�� ELM Então a transposta da soma,
� $���%��7 = &7 [ F7LM�] [ FML��] , com FML�� �DML�� EML Por outro lado também,
$7 � %7 [ D7LM�] + [�E7LM�] = [�DML��] + [�EML��]= [�DML� +�EML��]
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������21�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x � D $ �7 = D $7
'HPRQVWUDomR:
Seja $ = [ DLM�], com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������T}.
Partindo da definição de transposta, $7 [ D7LM�] [ DML��]e multiplicando por D, D $7 D [ D7LM�] D [ DML��]
[ D DML��]Por outro lado, partindo da definição de produto
de uma matriz por um escalar D $ = D [ DLM��] = [ D DLM��]e transpondo, � D $ �7 = � D [ DLM��] �7
= � [ D DLM��] �7= [�D DML��]
x � $�%��7 = %7 $7
Comecemos com um exemplo,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������22�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
sendo,
verificamos que,
'HPRQVWUDomR:
Dadas $ = [ DLM�] do tipo S l T e % = [ ELM�] do tipo T l P,
chamemos & à PDWUL]�SURGXWR do tipo S l P.
$ % = & = [ FLM�] onde,
com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������P} .
Então a transposta do produto será,
� ��$�%��7 = &7 [ F7LM�] [ FML��] do tipo P l S.
Por outro lado, tomemos as matrizes transpostas,
$7 [ D7LM�] [ DML��] do tipo T l S%7 [ E7LM�] [ EML��] do tipo P l T
e multipliquemos por ordem inversa.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������23�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
Chamemos ' a esta matriz produto, do tipo P l S.
%7 $7 = [�E7LM��] [D7LM��] = ' = [ GLM�]com L ∈ {���������P} e M ∈ {���������S}
onde,
com L ∈ {���������S} e M ∈ {���������P}
Assim, &7 = ' e portanto � $�%��7 = %7 $7.
No exemplo anterior, analisemos o cálculo de G��� F��,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������24�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
ÅÅ 66LLPPHHWWUULLDD HH DDQQWWLL��VVLLPPHHWWUULLDD GGHH PPDDWWUULL]]HHVV
xx Uma matriz $ = [ DLM�] chama-se VLPpWULFD se $ �$7
Obviamente, para que a matriz seja simétrica é necessário que seja TXDGUDGD.
A designação de�VLPHWULD (em relação à diagonal principal) ilustra o facto
dos HOHPHQWRV�RSRVWRV�serem�LJXDLV, ou seja,
DLM� �DML��, � L, M ∈ {���������S}
Por exemplo,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������25�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Uma matriz $ = [ DLM�] chama-se DQWL�VLPpWULFD se� $7 – $
Do mesmo modo, para que $ seja anti-simétrica é necessário que seja
uma matriz TXDGUDGD.
Os HOHPHQWRV�RSRVWRV�são�VLPpWULFRV entre si e os elementos
da GLDJRQDO�SULQFLSDO terão de ser todos QXORV, ou seja,
DLM� ���DML��, � L, M ∈ {���������S}
Como por exemplo,
xx ([HUFtFLR: Sendo $ uma matriz quadrada, prove que:
D� $ ��$7é simétrica
E� $ – $7é anti-simétrica
D� $ ��$7é VLPpWULFD
Como por exemplo,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������26�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
5HVROXomR�$ ��$7 = [ DLM ] + [ D7LM�]
= [ DLM�] + [ DML�] = [ DLM�+ DML�] � L, M ∈ {���������S}
� $���$7�7 = [ (DLM�+ DML�7 ]
= [ (DLM�7 + (DML�7 ] WUDQVSRVWD�GD�VRPD
= [ DML�+ DLM�] = [ DLM�+ DML�] � L, M ∈ {���������S}
= $ ��$7
E� $ – $7é DQWL�VLPpWULFD
Como por exemplo,
5HVROXomR�$ ±�$7 = [ DLM�] - [ D7LM�]
= [ DLM�] - [ DML�] = [ DLM�- DML�] � L, M ∈ {���������S}
± ��$�±�$7�7 = [ - (DLM�- DML�7 ]
= [ - (DML�- DLM� ] WUDQVSRVWD�GD�VRPD�GLIHUHQoD
= [ DLM�- DML�] � L, M ∈ {���������S}
= $ ±�$7
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������27�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx ([HUFtFLR: Mostre que qualquer matriz quadrada se pode decompor na
VRPD�GH�XPD�PDWUL]�VLPpWULFD�FRP�XPD�PDWUL]�DQWL�VLPpWULFD.
5HVROXomR���Nos exercícios anteriores verificámos que,
$ ��$7é uma matriz VLPpWULFD
$ ±�$7é uma matriz DQWL�VLPpWULFD
somando,
� $���$7 � ����$�±�$7 � ���$
portanto,
$ �ò���$���$7 � ��ò���$�±�$7 �onde
ò ��$���$7 � é uma matriz VLPpWULFD
ò ��$�±�$7 � é uma matriz DQWL�VLPpWULFD
5HVROXomR���Sem utilizar os resultados anteriores, pretendemos decompor,
$ �%���& onde % é uma matriz VLPpWULFD� % �%7
e& é uma matriz DQWL�VLPpWULFD� ±&� �&7
Então a transposta de $, $7 �%���&�7 %7 � &7
%�±�&
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������28�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
Assim, para calcular % e& temos GXDV�HTXDo}HV,
$ �%���&�� $7 %�±�&
somando as duas equações obtemos, $ ��$7 ��%
% ò ��$���$7 �
e subtraindo as duas equações obtemos, $ ±�$7 ��&
& ò ��$�±�$7 �
e portanto $ �%���&,
$ �ò���$���$7 � ��ò���$�±�$7 �
e também $7 %�±�&,
$7 ò���$���$7 � ±�ò���$�±�$7 �
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������29�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU�������������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx ([HUFtFLR: Em cada caso, SURYH que a afirmação é verdadeira
ou apresente um FRQWUD�H[HPSOR mostrando que é falsa.
Sejam $, % e & matrizes de tamanhos adequados.
D� Se $ ��%� �$���& então % e & têm o mesmo tamanho.
E� Se $ ��%� ��, então % ��.
F� Se o elemento ������ da matriz $ é �,
então o elemento ������ de $7é ±�.
G� Se $ �±$, então $ ��.
H� Para toda a matriz quadrada, $ e $7têm a mesma diagonal principal.
I � A igualdade �$���%�� $� � �$%���%�
é sempre válida para quaisquer matrizes.
J� Se $� $ então $ �� ou $ �,.