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1 MAPLima
F789 Aula 01
Rev
isão
da
Mec
ânic
a Q
uânt
ica
I – F
689
Esta aula se encontra no site: http://sites.ifi.unicamp.br/maplima/
Dualidade partícula/onda da luz: Uma boa inspiração para a Mecânica Quântica
Diagrama do experimento de interferencia de dupla fenda de Young (fig. a). Cada
uma das fendas F1 e F2 produz um padrao de difracao na tela ✏. As intensidades
correspondentes sao I1(x) e I2(x) (linhas solidas da figura b). Quando as duas
fendas sao abertas simultaneamente, a intensidade I(x) observada na tela nao e
a soma I1(x) + I2(x) (linha tracejada nas figuras b e c), mas mostram oscilacoes
devido a interferencia entre os campos eletricos por F1 e F2 (curva figura c).
Figura do livro texto, Vol. 1 pag. 12
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F789 Aula 01
Descrição do experimento de dupla fenda de Young
• Coloque um filme fotografico no anteparo, aguarde tempo suficiente e as
franjas de interferencia aparecerao. Como foi um foton por vez, temos que
descartar a hipotese de que elas sao devido a interferencia entre fotons.
• Diminua a intensidade e revele o filme em intervalos curtos de tempo. Cada
foton produz uma marca localizada no anteparo e nao uma franja de
interferencia. Descarte a hipotese pura ondulatoria.
Quando muitos fotons acertam o anteparo, o seguinte acontece:
• Cada um faz uma marca localizada.
• O grande numero de marcas mostra a figura de interferencia (regioes
escuras e claras).
Coube uma pergunta: dentro do contexto corpuscular, porque o fenomeno
muda drasticamente dependendo se so uma ou ambas as fendas estao abertas?
Para melhor entender o problema, notamos que nao e possıvel determinar por
onde o foton passou na experiencia sem destruir a curva de interferencia.
3 MAPLima
F789 Aula 01
? Quantum “Ghosts”, Gabriela M. Amaral, David Q. Aruquipa, Ludwing F.
M. Camacho, Luiz F. C. Faria, Sofıa I. C. Guzman, Damaris T. Maimone,
Melissa Mendes, and Marco A. P. Lima, Revista Brasileira de Ensino
de Fısica, vol. 38, no 3, e3309 (2016).<latexit sha1_base64="Gvy6WnzWjg2AB9PYLabQKOd1fCE=">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</latexit><latexit sha1_base64="Gvy6WnzWjg2AB9PYLabQKOd1fCE=">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</latexit><latexit sha1_base64="Gvy6WnzWjg2AB9PYLabQKOd1fCE=">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</latexit>
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F789 Aula 01
Partículas e Ondas de Matéria
Esta aula se encontra no site: http://sites.ifi.unicamp.br/maplima/
1. Relacoes de de Broglie.
• Espectros de emissao e absorcao de atomos e composto por “linhas finas”.
� Energias possıveis do atomo Ei, com i = 1, 2, 3...n...k com n discreto e
k contınuo. A surpresa estava no espectro discreto.
� Energias de fotons causando transicoes h⌫ij = |Ei � Ej | discretas econtınuas. A parte continua e devido a foto-ionizacao do atomo.
• 1914 - A experiencia de Franck-Hertz demonstrou isso (atomo de mercurio).
� Bohr and Sommerfeld ! Primeiras explicacoes:
8><
>:
orbitas especiais
e
regras de quantizacao
• 1923 - de Broglie: “Partıculas materiais, assim como fotons, tem aspectos
ondulatorios”.
� Ver complemento AI
8><
>:
E = h⌫ = ~!~p = ~~k� =
2⇡|~k|
=h|~p|
• 1927 - Davisson and Germer confirmam o carater ondulatorio das partıculas
com a experiencia de difracao e interferencia de eletrons.
5 MAPLima
F789 Aula 01
Funções de Onda – Equação de Schrödinger 2.A versao de Schrodinger da Mecanica Quantica (um resumo da disciplina F589).
• O estado e caracterizado por (~r, t) que contem toda a informacao possıvel
de se obter sobre a partıcula.
• No mundo quantico
8>>>>>>>><
>>>>>>>>:
Perde-se o conceito de trajetoria, conhecimento da
posicao e velocidade da partıcula a cada instante.
Ganha-se o conceito de estado quantico, dependente
do tempo, e conhecimento do futuro baseado em
probabilidades.
• (~r, t) e interpretada como sendo uma amplitude de probabilidade da
presenca da partıcula, pois permite definir:
dP (~r, t) ⌘ C| (~r, t)|2d3r,onde C e uma constante de normalizacao, e considerar
dP (~r, t) como sendo
8><
>:
a probabilidade da partıcula estar, no
instante t, em um elemento de volume
d3r = dxdydz, centrado em ~r.
A presenca do volume d3r permite concluir que:
| (~r, t)|2 e uma densidade de probabilidade.
6 MAPLima
F789 Aula 01
A velocidade de grupo segundo a condição estacionária
• Para aplicar a condicao estacionaria no pacote, tome
(x, t) =1p2⇡
Zg(k)ei(kx�!t)dk e escreva g(k) na forma
g(k) = |g(k)|ei↵(k) ) isso vale para 8 numero complexo.
Isso permite re-escrever o pacote na forma:
(x, t) =1p2⇡
Z|g(k)|ei(↵(k)+kx�!t)dk
• A condicao estacionaria e obtida fazendo a primeira derivada da fase
(argumento complexo da exponencial) com respeito a k igual a zero em k0,
centro de |g(k)|. Conforme ja argumentamos, isso equivale a pedir que a
primeira contribuicao diferente de zero seja quadratica em k � k0, o que faz
ela contribuir com o mesmo sinal antes e depois de k0.
• Assim, a condicao estacionaria ed
dk
�↵(k) + kx� !t
�|k=k0 = 0 e isso implica
em:d
dk↵(k)|k=k0 + xm �
� d
dk!(k)|k=k0
�t = 0 ) solucao classica de um ponto
xm que realiza movimento uniforme na direcao x, com
(xm(0) = �d↵
dk |k=k0
vg = d!dk |k=k0 .
xm(t) e o centro do pacote que viaja com velocidade de grupo vg
7 MAPLima
F789 Aula 01
Relação de Incerteza de Heisenberg
• Em F689, obtivemos que se (x, 0) =1p2⇡~
Z (p)ei
px~ dp, existe
uma relacao entre a largura de | (x, 0)| e a largura de | (p)|.
�p�x � ~/2, com
Z| (x, 0)|2dx =
Z +1
�1| (p)|2dp = 1
• Essa propriedade, valida para ondas em geral, ficou surpreendente
por envolver partıculas materiais e ficou conhecida por Princıpio
ou Relacao de incerteza de Heisenberg. Na pratica significa:
E impossıvel prever o resultado da medida da
posicao e do momento linear de uma partıcula,
com precisao arbitraria.
• Para sistemas classicos, onde~m
pode ser considerado desprezıvel,
�p�x � ~ ! �v�x � ~m
) �v�x � 0,
as trajetorias (conhecimento de v e x, 8t) podem ser previstas.
8 MAPLima
F789 Aula 01
Propriedade Base discreta Base contınua
Ortonormalizacao (ui, uj)=
Zd3r u?
i (~r)uj(~r)=�ij (w↵, w↵0) = �(↵� ↵0)
Relacao de completeza
X
i
ui(~r)u?i (~r
0)=�(~r � ~r 0)
Zd↵ w↵(~r)w
?↵(~r
0)=�(~r � ~r 0)
Expansao da funcao de onda (~r) =X
i
ciui(~r) (~r) =
Zd↵ c(↵)w↵(~r)
As componentes de (~r) ci = (ui, ) c(↵) = (w↵, )
Produto escalar (', ) =X
i
b?i ci (', )=
Zd↵ b?(↵)c(↵)
Quadrado da Norma ( , ) =X
i
|ci|2 ( , )=
Zd↵ |c(↵)|2.
• Note que a mesma funcao de onda pode ser representada por diferentes bases.
• Note, em especial, que as componentes em bases diferentes sao diferentes, mas
representam “pedacos” da mesma coisa.
• Isso inspirou Dirac a criar um novo formalismo!
Resumindo (Formalismo matemático de Schrödinger)
9 MAPLima
F789 Aula 01
Resumo da notação de Dirac
Definimos:
• kets: | i ! vetor estado.
• bras: h'| ! funcional linear.
• bracket: h'| i = h |'i? ! produto escalar.
• Operador: A ! A| i = | 0i.• Elemento de matriz: h'|A| i ! h'|(A| i).• Operador sobre um bra: h'|A tambem e um bra, definido por
(h'|A)| i = h'|(A| i) = h'|A| i.• O bra associado ao ket A| i e definido por h |A†. O operador A†
e dito o adjunto de A =) A| i = |A i $ h |A† = hA |.• Vale a relacao h'|A†| i = hA'| i = h |A'i? = h |A|'i?.• Se A† = A ! A e Hermiteano. Neste caso h'|A| i = h |A|'i?.
Em F689, introduzimos o conceito de representacao de um estado
fısico qualquer em um espaco de estados conhecidos (uma base conhecida).<latexit sha1_base64="VUP+ztoASQ5MZ5S0bkQMS8Mp018=">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</latexit><latexit sha1_base64="VUP+ztoASQ5MZ5S0bkQMS8Mp018=">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</latexit><latexit sha1_base64="VUP+ztoASQ5MZ5S0bkQMS8Mp018=">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</latexit>
10 MAPLima
F789 Aula 01
Representações no espaço de estados
• A representacao de kets.
Considere uma base conhecida {|uii}. Vimos que um ket de sua escolha
arbitraria poderia ser escrito com a ajuda do operador unidade por:
| i = 11| i =X
i
|uiihui| i =X
i
ci|uii )(O conjunto de numeros
complexos ci descreve o ket.
Representaremos o ket nessa base por uma matriz coluna, dada por:
| i .=
0
BBBBBB@
c1c2...
ci...
1
CCCCCCA=
0
BBBBBB@
hu1| ihu2| i
.
.
.
hui| i...
1
CCCCCCAse base contınua | i .
=
0
BB@
.
.
.
c(↵)...
1
CCA=
0
BB@
.
.
.
hw↵| i...
1
CCA
Note que os numeros mudariam de acordo com a escolha da base. Em F689,
aprendemos como mudar de uma base para outra. Faremos um caso hoje.<latexit sha1_base64="DRSt8T+V+uv3HOjLt3jXJonDjWs=">AAALY3ictVZLbxMxEB6eLZsCaeGGkAwVCCQUJRGCFgkJhECceFSkRepGlbNx2m331bW3UEJ+Gn+CG0eEBCf+ACfGY2+62aRtQJDKrj0znufn8XaSwJeqXv9y4uSp02fOzsyecypz5y9crM4vrMo4Sz3R8uIgTt92uBSBH4mW8lUg3iap4GEnEGudnSeav7YnUunH0Ru1n4h2yDcjv+d7XCEpnj/9CW6CCx3IIMA/AQoY7vVQuHuPc5/4PaQ9xpEiNaFZ4oiQz+EHfIMYeV2kMNghLRJqMMCTLup3rMbiOND+BM9GKO/T+ZR0ZBCiXoZ2Odlh4JHUFq49ktRcrb8PH1F6A2kunuUos0lxuMitlSwxWEW5EDVJXO/iudxW7nUeg0SqtqCj1JYDtMynjIejHx20o/D/Vxw+aUpQi4nP7CWtcwspycc2Tu0Pp7GNfphYu8SNUY+gOPU+Je8jmw/jeUL0B0f6Ojo+4pxQ/kcz+BAaSLlGo3GElEvZCqkG7NBqBIUdszLT6vSO0b2CtE2skKLcp5iBd4RZgVQf5fqoweBIYl6ckWq9HGJrm3KpCkiO4Bf6IEijtBkdPW2qlZAf7y2uBtbfMi66w1oL2CP98RB35q7o+9QteetaPcfjbmXCzdS7HO8H1nRkWkqW7lgyxJS5fXpWhM0PNksB5YjDHcoRt9g8HnOHVZoRuvSs8axj2S3QtEQPqbdK1TRV5rCPFnW2dE11zhs2U2bXHO5czLfRLwt8fwLXKVShaIWR3znKbpOHD+3t+BMvJ92Dw+/Wgf/jp5pTnCpH/We3cJKe6fNT7LoGXeVeruAnzpnt5EcjpIiPcXSwqTI/jgFdMY56Eurut/85Hv7Or3KV3mGVin7+n3pN22VceqkYvLD1OHhHTZcZ7Zm6h5gXzLx74bC3ckJBat+14qs3+uYy22Ny9Og3/SnJPoN7sATL2Iume5dzz7ntkhF5kndH40E84nHu6/jXSEJ8TlFn1CM5efas1HPNt4Xp51r3Fs7bNorBRnWxXqvTj40vGnaxCPb3aqP62e3GXhaKSHkBl3K9UU9Uu89T5XuBGDhuJkXCvR2+KdZxGfFQyHafPhIH7AZSuqwXpzgixYhaPNHnoZT7YQclQ662ZJmniZN465nqLbX7fpRkSkSeMdTLAqZipr84WddPhaeCfVxwL/XRV+Zt8ZR7Cr9LHUxCoxzy+KLVrC3X6q/vLj5q2mzMwhW4jnesAffhETyHV9AC79xXZ8apOvPO98pcZaFy2YiePGHPXIKRX+Xqbx8iQ3A=</latexit><latexit sha1_base64="DRSt8T+V+uv3HOjLt3jXJonDjWs=">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</latexit><latexit sha1_base64="DRSt8T+V+uv3HOjLt3jXJonDjWs=">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</latexit>
11 MAPLima
F789 Aula 01
• A representacao de bras.
Considere uma base conhecida {|uii}. Vimos que um bra de sua escolha
arbitraria poderia ser escrito com a ajuda do operador unidade por:
h | = h |11 =
X
i
h |uiihui| =X
i
c?i hui| )(O conjunto de numeros
complexos c?i descreve o bra.
Representaremos o bra nessa base por uma matriz linha, dada por:
h | .=�c?1 c?2 . . . c?i . . .
�=�h |u1i h |u2i . . . h |uii . . .
�.
Se base for contınua
h | .=�. . . c?(↵) . . .
�=�. . . h |w↵i . . .
�
Note que os numeros que representam os bras sao os complexos
conjugados dos numeros que representam os kets. A representacao
do bra nada mais e que a transposta da matriz que representa o
ket, seguida da conjugacao complexa de todos os elementos.
Como obter o bracket h'| i nesta representacao?
Representações no espaço de estados
12 MAPLima
F789 Aula 01
Representações no espaço de estados
• O bracket h'| iConsidere novamente uma base conhecida {|uii}. Para obter o valor do
bracket nesta base basta fazer uso do operador unidade na relacao:
h'| i = h'|11| i =X
i
h'|uiihui| i =X
i
b?i ci com
(bi = hui|'ici = hui| i
Note que esse mesmo resultado seria obtido pela multiplicacao de matrizes
h'| i =�b?1 b?2 . . . b?i . . .
�
0
BBBBBB@
c1c2...ci...
1
CCCCCCA
contınua=
�. . . b?(↵) . . .
�
0
BB@
...c(↵)...
1
CCA
• Representacao dos operadores. Sabendo que Aij = hui|A|uji, definimos:
A.=
0
BBBBBB@
A11 A12 . . . A1j . . .A21 A22 . . . A2j . . ....
......
......
Ai1 A12 . . . Aij . . ....
......
......
1
CCCCCCA.
13 MAPLima
F789 Aula 01
Representação do produto de operadores: AB Sabendo que Aij = hui|A|uji, e Bij = hui|B|uji, represente cada operador por
A.=
0
BBBBBB@
A11 A12 . . . A1j . . .A21 A22 . . . A2j . . ....
.
.
....
.
.
....
Ai1 A12 . . . Aij . . ....
.
.
....
.
.
....
1
CCCCCCA.
B.=
0
BBBBBB@
B11 B12 . . . B1j . . .B21 B22 . . . B2j . . ....
.
.
....
.
.
....
Bi1 B12 . . . Bij . . ....
.
.
....
.
.
....
1
CCCCCCA.
O produto AB = 11A11B11 =
X
i,`,j
|uiiAi`B`jhuj | fica representado por
AB.=
0
BBBBBB@
A11 A12 . . . A1j . . .A21 A22 . . . A2j . . ....
.
.
....
.
.
....
Ai1 A12 . . . Aij . . ....
.
.
....
.
.
....
1
CCCCCCA
0
BBBBBB@
B11 B12 . . . B1j . . .B21 B22 . . . B2j . . ....
.
.
....
.
.
....
Bi1 B12 . . . Bij . . ....
.
.
....
.
.
....
1
CCCCCCA
coeficientes de |uiihuj |<latexit sha1_base64="XgRscmS8SCsXQ6e6ZRvwQi3hNMo=">AAACFnicdVDLSgMxFM34tr6qLt0Ei+BqmJbiY1dw41LBqtApQya9bWMzmSG5I5Zp/8KNv+LGhYpbceffmE5bUNED4R7OuTfJPWEihUHP+3RmZufmFxaXlgsrq2vrG8XNrUsTp5pDnccy1tchMyCFgjoKlHCdaGBRKOEq7J2M/Ktb0EbE6gL7CTQj1lGiLThDKwVF10e4w4zHYDUBCsHQFtDhIA2Er5nqSPBlXmga3AyCYslzK94I1HOrU3IwJmU3r16JTHAWFD/8VszTyN7MJTOmUfYSbGZMo+AShgU/NZAw3mMdaFiqWASmmeV7DemeVVq0HWt7FNJc/T6RsciYfhTazohh1/z2RuJfXiPF9lEzEypJERQfP9ROJcWYjkKiLaGBo+xbwrgW9q+Ud5lmHG2UBRvCdFP6P6lX3GPXO6+WapVJGktkh+ySfVImh6RGTskZqRNO7skjeSYvzoPz5Lw6b+PWGWcys01+wHn/AvLKoJA=</latexit><latexit sha1_base64="XgRscmS8SCsXQ6e6ZRvwQi3hNMo=">AAACFnicdVDLSgMxFM34tr6qLt0Ei+BqmJbiY1dw41LBqtApQya9bWMzmSG5I5Zp/8KNv+LGhYpbceffmE5bUNED4R7OuTfJPWEihUHP+3RmZufmFxaXlgsrq2vrG8XNrUsTp5pDnccy1tchMyCFgjoKlHCdaGBRKOEq7J2M/Ktb0EbE6gL7CTQj1lGiLThDKwVF10e4w4zHYDUBCsHQFtDhIA2Er5nqSPBlXmga3AyCYslzK94I1HOrU3IwJmU3r16JTHAWFD/8VszTyN7MJTOmUfYSbGZMo+AShgU/NZAw3mMdaFiqWASmmeV7DemeVVq0HWt7FNJc/T6RsciYfhTazohh1/z2RuJfXiPF9lEzEypJERQfP9ROJcWYjkKiLaGBo+xbwrgW9q+Ud5lmHG2UBRvCdFP6P6lX3GPXO6+WapVJGktkh+ySfVImh6RGTskZqRNO7skjeSYvzoPz5Lw6b+PWGWcys01+wHn/AvLKoJA=</latexit><latexit sha1_base64="XgRscmS8SCsXQ6e6ZRvwQi3hNMo=">AAACFnicdVDLSgMxFM34tr6qLt0Ei+BqmJbiY1dw41LBqtApQya9bWMzmSG5I5Zp/8KNv+LGhYpbceffmE5bUNED4R7OuTfJPWEihUHP+3RmZufmFxaXlgsrq2vrG8XNrUsTp5pDnccy1tchMyCFgjoKlHCdaGBRKOEq7J2M/Ktb0EbE6gL7CTQj1lGiLThDKwVF10e4w4zHYDUBCsHQFtDhIA2Er5nqSPBlXmga3AyCYslzK94I1HOrU3IwJmU3r16JTHAWFD/8VszTyN7MJTOmUfYSbGZMo+AShgU/NZAw3mMdaFiqWASmmeV7DemeVVq0HWt7FNJc/T6RsciYfhTazohh1/z2RuJfXiPF9lEzEypJERQfP9ROJcWYjkKiLaGBo+xbwrgW9q+Ud5lmHG2UBRvCdFP6P6lX3GPXO6+WapVJGktkh+ySfVImh6RGTskZqRNO7skjeSYvzoPz5Lw6b+PWGWcys01+wHn/AvLKoJA=</latexit>
14 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados da Mecânica Quântica • 1oPostulado:
Em um dado instante t0 o estado de um sistema fısico e definido por um ket
| (t0)i pertencente ao espaco E .
Comentario(s):
� No inıcio do curso o estado era (~r) 2 F. Depois introduzimos os kets | i 2 E~r,
onde (~r) = h~r| i era apenas a representacao de | i no espaco das coordenadas.
E e o espaco E~r estendido para descrever qualquer problema de interesse (com
spin, de muitos corpos, etc.)
� Vale o princıpio da superposicao: uma combinacao linear de vetores estados e
um vetor estado.
• 2oPostulado:
Toda quantidade fısica mensuravel A e descrita por um operador A que age em
E ; Este operador e uma observavel.
Comentario(s):
� Um bom exemplo e a quantidade fısica energia (Hamiltoniana), H,
descrita pelo operador H (a Hamiltoniana do sistema).
15 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios (continuacao):
� O operador Hamiltoniana do sistema, H, e escrito em termos dos operadores
~R e ~P . Por exemplo, a Hamiltoniana classica de uma partıcula sujeita a um
potencial V (~r) e dada por H =~p2
2m+ V (~r), e na Mecanica Quantica vira o
operador
H =~P2
2m+ V (~R).
� Os operadores ~R e ~P , descrevem quantidades fısicas mensuraveis, relacionadas
as coordenadas canonicas, posicao e momento, respectivamente.
� Outros operadores, como os de momento angular orbital e momento angular
intrınseco (quantidade fısica chamada spin), serao apresentados brevemente.
• 3oPostulado:
O unico resultado possıvel da medida de uma quantidade fısica A e um dos
autovalores da observavel correspondente A.
Comentarios:
� A medida de A e sempre um numero real, pois A e Hermiteano.
16 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios (continuacao):
� Se o espectro de A e discreto, os resultados que podem ser obtidos medindo
A sao quantizados.
Princıpio da Decomposicao espectral.
Pode-se dizer que isso seria a generalizacao do problema de fotons polarizados.
Considere o sistema no estado | i, tal que h | i = 1. O resultado da medida
de A associado a A (observavel) e um dos autovalores e acha-lo, como no caso
de fotons polarizados, tem sentido probabilıstico. Para o caso discreto,
A|uni = an|uni comX
n
|unihun| = 11 ! A e observavel. Podemos escrever
| i = 11| i =X
n
|unihun| i =X
n
cn|uni. Defina: P(an) = |cn|2 = |hun| i|2.
• 4oPostulado (espectro discreto nao degenerado):
Quando A e medida em um sistema em um estado normalizado | i, a
probabilidade P(an) de obter o autovalor nao degenerado an da observavel
correspondente A e P(an) = |hun| i|2, onde |uni e o autovetor
normalizado de A com autovalor an.<latexit sha1_base64="8jK7TvKbTrsBZBpDsmhdZs2VApU=">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</latexit><latexit sha1_base64="8jK7TvKbTrsBZBpDsmhdZs2VApU=">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</latexit><latexit sha1_base64="8jK7TvKbTrsBZBpDsmhdZs2VApU=">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</latexit>
17 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios:
� Se o espectro de A e discreto e degenerado, poderıamos escrever
A|uini = an|ui
ni com i = 1, ..., gn eX
n
gnX
i=1
|uinihui
n| = 11 e )
| i = 11| i =X
n
gnX
i=1
|uinihui
n| i =X
n
gnX
i=1
cin|uini. Neste caso, defina:
P(an) =gnX
i
|cin|2 =gnX
i
|huin| i|2 e rescreva o postulado.
• 4oPostulado (espectro discreto):
Quando A e medida em um sistema em um estado normalizado | i, a
probabilidade P(an) de obter o autovalor an, com degenerescencia gn, da
observavel correspondente A e P(an) =gnX
i
|huin| i|2, onde o conjunto {|ui
ni}
compoe o subespaco En (de dimensao gn) de autovetores normalizados de A
com autovalor an.
18 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios:
� E natural que P(an) =gnX
i
|cin|2 =gnX
i
|huin| i|2 nao dependa da base escolhida
em En. Para perceber isso, lembre que | i = 11| i =X
n
gnX
i
|uinihui
n| i e que
os cin que aparecem em P(an) sao os mesmos que aparecem nessa expansao.
Assim, poderıamos escrever | ni =gnX
i
|uinihui
n| i como sendo o pedaco de | i
em En. Isso permite definir um projetor em En dado por Pn =gnX
i
|uinihui
n| de
tal forma que | ni = Pn| i. Note que h n| ni =gnX
i
|cin|2 = P(an), ou seja, a
probabilidade de encontrar an e o quadrado da norma de | ni = Pn| i. Note
que a norma de um ket independe da representacao. Podemos ainda escrever
P (an) = h |P †nPn| i e isso fornece P (an) = h |Pn| i. Para fazer uma mudanca
de base, usaremos 11(t) =X
n
gnX
j
|tjnihtjn| nesta expressao.
19 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios (continuacao):
Com 11(t) =X
n
gnX
j
|tjnihtjn|, podemos escrever
Pn = 11(t)� gnX
i
|uinihui
n|�11(t) =
X
n0
gn0X
j
|tjn0ihtjn0 |� gnX
i
|uinihui
n|�X
n00
gn00X
k
|tkn00ihtkn00 |
Como os kets |uini, |t
jn0i e |tkn00i sao autokets do mesmo operador, sabemos que
sao ortogonais a menos que n00 = n0 = n. Isso permite escrever
Pn =gnX
j
|tjnihtjn|� gnX
i
|uinihui
n|� gnX
k
|tknihtkn| =gnX
ijk
|tjniS(n)ji
†S(n)ik| {z }
htkn| =gnX
j
|tjnihtjn|
�jk e S bloco diagonal
� No caso de um espectro contınuo, terıamos A|v↵i = ↵|v↵i e 11 =
Zd↵ |v↵ihv↵|.
Isso permite escrever | i=Z
d↵ c(↵)|v↵i com c(↵)=hv↵| i. Com isso, define-se
dP(↵)=⇢(↵)d↵
(probabilidade de encontrar um valor incluıdo entre ↵ e ↵+d↵,
onde ⇢(↵)=|c(↵)|2=|hv↵| i|2 e a densidade de probabilidade.
20 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados: medidas e resultados possíveis. • 4oPostulado (espectro contınuo nao-degenerado):
Quando a quantidade fısica A e medida em um sistema que esta em um estado
normalizado | i, a probabilidade dP(↵) de obter um resultado entre ↵ e ↵+d↵
e igual a dP(↵)=⇢(↵)d↵=|hv↵| i|2d↵, onde |v↵i e um autovetor correspondendo
ao autovalor ↵ da observavel A associada com A.
Comentarios sobre as 3 versoes do postulado 4:
� Quanto valeX
n
P(an)? e
ZdP(↵) =
Zd↵ ⇢(↵)?
� Como P(an) =gnX
i
|cin|2 =gnX
i
|huin| i|2 =
gnX
i
h |uinihui
n| i, temos
X
n
P(an) = h |�X
n
gnX
i
|uinihui
n|�| i = h |11| i = h | i = 1
Isso esta de acordo com nossas expectativas: uma medida de A fornece
necessariamente um dos autovalores de A. Portanto, a soma das probabilidades
de encontrar um deles e igual a 1. Repita o procedimento e mostre queZ
dP(↵) =
Zd↵ ⇢(↵) = h | i = 1
21 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios sobre as 3 versoes do postulado 4 (continuacao):
� Como
X
n
P(an) =
ZdP(↵) = h | i, para garantir que a soma sobre todo o
espectro seja 1, basta redefinir
8><
>:
dP(↵)= 1h | i hv↵| i|
2d↵
P(an) =1
h | iPgn
i |huin| i|2
) vale 8 h | i
� Sempre consideraremos | i como uma combinacao de autovetores de A, ) e
essencial que A seja uma observavel.
� Note que poderıamos ter feito casos mais gerais misturando espectros discretos
e continuos.
� Tenho dito sistematicamente que constantes multiplicativas nao modificam a
informacao fısica contida no ket. O postulado 4 permite entender melhor esta
afirmacao. Primeiro considere dois kets | i e | 0i igualmente normalizados, mas
diferindo por uma fase | 0i = ei✓| i, onde ✓ e um numero real. Primeiro note
que
8><
>:
h 0| 0i = h |e�i✓ei✓| i = h | i
|hui| 0i|2 = |hui|ei✓| i|2 = |hui| i|2e conclua que P(an) da o mesmo
resultado para | i e | 0i. Isso vale tambem para | 0i = c| i.
22 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios sobre as 3 versoes do postulado 4 (continuacao):
� Assim, dois estados que diferem por um fator complexo representam o mesmo
estado fısico. Seja cuidadoso com esse conceito, pois | i = �1| 1i+ �2| 2i e|�i = �1e
i✓1 | 1i+ �2ei✓2 | 2i sao distintos, a menos que ✓1 = ✓2 + 2⇡n, com n
inteiro, pois nesse caso | i = ei✓1 |�i. Conclui-se que:
Um fator de fase global nao afeta as previsoes fısicas, mas as fases relativas
dos coeficientes de uma expansao sao significativas.
• Reducao do pacote de onda devido a uma medida
� Caso espectro discreto (inspirados nos experimentos de otica):
Suponha que o sistema esteja em um estado qualquer | i, quando se faz uma
medida da quantidade fısica A e um dos autovalores an da observavel A e
obtido. Representamos isso por:
| i (an)=) |uni
antes
8><
>:
sabıamos so
probabilidades
de obter um dos an.
depois
8><
>:
a medida gerou
um “colapso”. Esse
e o novo estado.
23 MAPLima
F789 Aula 01
Os Postulados: medidas e resultados possíveis. Comentarios: preparacao para o postulado 5:
� A figura do slide anterior representa o 5o. postulado. De fato, a situacao que
desejamos estudar e um pouco mais complexa e poderia ser representada por:
| (0)i 7�! | (t0)i (an)=) |uni 7�! | 0
(t)i
antes
8><
>:
Sistema comeca em
| (0)i e evolui ate | (t0)i.O que comanda essa evolucao?
depois
8>>><
>>>:
a medida gerou um
“colapso”. |uni eo novo estado. Nova
evolucao ate | 0(t)i.
� Caso fizessemos outra medida imediatamente apos t0 (sem dar tempo do estado
evoluir), encontrarıamos an.
� Se an fosse degenerado, escreva o estado por | i =X
n
gnX
i
cin|uini.
| i (an)=)
gnX
i
cin|uini normalizado para
1pPgni |cin|2
gnX
i
cin|uini
� Note que
gnX
i
cin|uini = | ni e a projecao de | i sobre En (subespaco dos
autovetores com autovalor an. Resumindo: | i (an)=)
Pn| iph |Pn| i
24 MAPLima
F789 Aula 01
A medida gerando um colapso. • 5oPostulado:
Se a medida de uma quantidade fısica A sobre o sistema em um estado | i dao resultado an, o estado do sistema imediatamente apos a medida e a projecao
normalizada,Pn| iph |Pn| i
, de | i sobre o subespaco associado com an.
Comentarios
� Note que apos a medida, o novo estado e um autoestado de A com autovalor an.
� Nao e qualquer estado. E a projecao de | i em En.� Considere gn = 1.
Apos a medida, terıamoscn|cn|
|uni = ei arg cn |uni ! mesmo que |uni.
Estamos prontos para estudar a evolucao temporal do sistema.
Conforme esperado a Hamiltoniana tera papel especial. Em F689,
aprendemos a prever o resultado da evolucao
| (0)i H7�! | (t0)i (an)
=) |uni H7�! | 0(t)i
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25 MAPLima
F789 Aula 01
Evolução Temporal • 6oPostulado:
A evolucao temporal do estado | (t)i e governada pela equacao de Schrodinger
i~ d
dt| (t)i = H(t)| (t)i,
onde H(t) e a observavel associada a energia total do sistema. Esse operador
H(t) e a Hamiltoniana do sistema.
Regras de quantizacao
� Para construir um operador da mecanica quantica do tipo A(~R, ~P , t) a partir
de quantidades fısicas classicas do tipo A(~r, ~p, t), basta
trocar
(~r(x, y, z) por ~R(X,Y, Z)
~p(px, py, pz) por~P (Px, Py, Pz)
onde
([Ri, Rj ] = [Pi, Pj ] = 0
[Ri, Pj ] = i~�ij� As relacoes de comutacao em coordenadas cartesianas sao relativamente simples.
Veremos que para outras coordenadas podem ser mais complicadas.
� Em algumas situacoes precisamos de regras adicionais. Por exemplo, suponha
que A(~r, ~p, t) = ~r · ~p. Na mecanica classica, ~r · ~p = ~p · ~r. Isso nao e verdade na
mecanica quantica devido as regras de comutacao acima. A consequencia
imediata e que ~R · ~P nao e Hermiteano, pois (~R · ~P )†= ~P · ~R.
A solucao para o problema e simetrizar: ~r · ~p ) 1
2(~R · ~P + ~P · ~R).
26 MAPLima
F789 Aula 01
Exemplos importantes
• A Hamiltoniana de uma partıcula em um potencial escalar
V (~r) = qU(~r)
energia potencial potencial eletrico
i~ d
dt| (t)i = H(t)| (t)i,
� A Hamiltoniana classica do sistema seria H =p2
2m+ V (~r), com ~p = m
d~r
dt= m~v.
� Segundo o que discutimos, a Hamiltoniana quantica fica H =P
2
2m+ V (~R).
� E a equacao de Schrodinger do sistema e: i~ d
dt| (t)i =
⇥ P 2
2m+ V (~R)
⇤| (t)i.
• A Hamiltoniana de uma partıcula sujeita a um potencial vetor e a um potencial
escalar dependentes do tempo.
Vimos no semestre passado que
8><
>:
~p = m~r + q ~A(~r, t)
H(~r, ~p, t) =1
2m [~p� q ~A(~r, t)]2+ qU(~r, t)
� Segundo o que discutimos, a Hamiltoniana quantica fica
H(~R, ~P , t) =1
2m[~P � q ~A(~R, t)]
2+ qU(~R, t)
� Note que e o momento conjugado canonico ~p, e nao m~v, que vira ~P .
27 MAPLima
F789 Aula 01
De F689 ainda falta falar de spin, oscilador harmônico, momento angular e átomo de hidrogênio
• A revisao sobre spin e momento angular sera feita quando esses assuntos
voltarem a cena nos capıtulos 9 e 10.
• A revisao sobre oscilador harmonico e atomo de hidrogenio fica por conta de
voces e e essencial nas aplicacoes de teoria de perturbacao (capıtulos 11, 12
e 13).
• A revisao sobre analogos classicos da mecanica quantica sera feita sempre que
necessaria.
• Vale a pena voce passar os olhos em todos os slides de F689. Nao deixe de fazer
isso.
• Nosso primeiro assunto e teoria de espalhamento. Em seguida falaremos sobre
spin e soma de momentos angulares. O proximo desafio esta em estabelecer
metodos de aproximacao (a natureza e complicada e gerar estrategias de
aproximacao e essencial). Finalmente falaremos de partıculas
identicas (a mecanica quantica mostrara resultados surpreendentes).