E - Flexao Pura

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    07-Jul-2015

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E Flexo Pura

Cap. 5.0 FLEXAO PURA 5.1 INTRODUO As peas longas, quando submetidas flexo, apresentam tenses normais elevadas (por exemplo, para se quebrar um lpis, com as mos, jamais se cogitaria tracion-lo, comprimi-lo, torc-lo ou cisalh-lo; um momento fletor de pequeno valor seria suficiente para produzir tenses de ruptura no material). Da a importncia do presente estudo. 5.2 MOMENTO FLETOR (M) Recordando estudos de Isosttica, quando da anlise das relaes entre os esforos solicitantes em uma viga sob carregamento transversal q(x), temos que:q(x) y

Fy = 0 Q = q (x) dx + (Q + dQ) dQ/dx = - q(x) ........... (5.2.1)

M x

Q

O

Q+dQ

M+dM

(sendo > 1, tornando o termo desprezvel em presena das demais) e

Mo=0 M+Qdx=q(x)dx.dx/ + M+dM

dx

dM/dx = Q ...................... (5.2.2)

Fig. 5.2.1 Relaes entre q(x), Q e M em uma viga

A relao 5.2.2 denota que, quando a fora cortante Q nula ao longo de uma extenso x da viga, o momento fletor M ser constante (FLEXO PURA). Da mesma forma, nas sees onde o momento fletor extremo (mximo [+] ou mnimo [-]) a fora cortante ser nula, sendo aplicvel para tais casos (de especial importncia) o estudo da flexo como sendo pura.2,0 tf 2,0 tf 1,0 tf / m 4,0 tf

2,0 1,5 4,0 m tf + 2,0 Q=0 - 2,0

1,5

1,5

4,0 m

1,5

3,5 m

3,5 m

+ 2,0

+ 2,0 - 2,0 Q=0 - 2,0

2,0 tf Q (tf)

Q=0

+3,0 tf.m +5,0 tf.m +7,0 tf.mFig. 5.2.2 Diagramas de esforos solicitantes (Q e M) de vigas sob carregamento transversal (exemplos)1

M

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5.3 TENSES NORMAIS NA FLEXO RETA (SIMTRICA) E ELSTICA. No caso comum de vigas com seo transversal simtrica em relao ao plano do carregamento, verifica-se que a distribuio das tenses normais nos diversos pontos da seo s depende da distncia y em relao linha que a divide nas partes tracionada e comprimida (linha neutra LN Fig. 5.3.1 a e b). Admitindo que a seo transversal permanece plana aps girar em torno da LN em decorrncia da deformao das fibras longitudinais, concluiremos que a linha neutra ser reta e que as deformaes variaro linearmente com relao a seu afastamento y em relao LN (Fig. 5.3 .1 c).

LN

M

LN

y

LN

y

(a)

(b)

dA

(c)

Fig.5.3.1 (a) Flexo de vigas simtricas. (b) tenses normais. (c) deformaes manuteno da seo plana (Obs: o eixo y foi orientado para baixo para se adequar conveno de sinais do momento fletor - positivo quando traciona as fibras inferiores e comprime as superiores)

Computando a resultante dos momentos, em relao linha neutra, das foras elementares atuantes nos diversos pontos da seo podemos escrever (Fig. 5.3.1 b):

dA.y = M.............................(5.3.1)Adotando a hiptese da manuteno da seo plana (Fig. 5.3.1 c), e admitindo que o material da viga trabalha na fase elstica podemos escrever sucessivamente: = c. y .......... = E .............. = k y .....(distribuio linear das tenses) e

k y dA.y = M k = M / y2 dA ,sendo y2 dA = ILN (momento de inrcia da rea da seo transversal em relao linha neutra). Portanto:

= (M / ILN) y .................. (5.3.2)

+

equao estabelecida por Euler, para determinao da tenso normal atuante em um ponto qualquer de uma dada seo de uma viga, onde atua um momento fletor M e que2

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tem um momento de inrcia ILN em relao linha neutra, sendo y a distncia do ponto citado, em relao mencionada LN. Resta precisar a posio em que se encontra a linha neutra. Como na flexo pura a fora normal nula, teremos, necessariamente:

dA = N = 0 e ( / LN ) y dA = 0, portanto, y dA = 0,ou seja, o momento esttico (de 1 ordem) da rea da seo em relao Linha Neutra sendo nulo, indica que a LN contm o centride da rea. 5.4 VRIAS FORMAS DE SEO. MDULO DE RESISTNCIA (W). Para as formas mais comuns das sees das vigas (retangular, circular, tubular ou composies destas), o cmputo dos respectivos momentos de inrcia I em relao a eixo central que contm o centride da rea nos fornece, por exemplo (com e >> = k0 + k1 y + k2 z , sendo ki constantes a determinar.

= k1 y + k2 z ................................................ (5.6.2) Levando em 5.6.1 obtemos: Mz =

(k1 y2 + k2 zy) dA

e e

Mz =

(k1 yz + k2 z2) dA , ou

M z = k1

y2 dA + k2 zy dA

Mz = k1 yz dA + k2

z2 dA .

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Considerando que:

y2 dA = Iz ;

z2 dA = Iy ;

yz dA = Pyz *

* - Pyz - Produto de Inrcia da rea da seo em relao ao par de eixos yz. Finalmente teremos: Mz = k1 Iz + k2 Pyz ................................... (5.6.3). My = k1 Pyz + k2 Iy Conhecido o carregamento e determinado o momento fletor, obtemos suas componentes nos eixos y (para baixo) e z escolhidos (cuidado com o sinal de Mz, positivo quando no sentido negativo do eixo z). Conhecidas as caractersticas geomtricas da seo, podemos determinar os momentos e produto de inrcia em relao aos eixos. Tais valores (Mz , My , Iz , Iy e Pyz ), levados em 5.6.3, nos permitem obter um sistema de duas equaes com as duas incgnitas k1 e k2. Resolvido o sistema e utilizando 5.6.2, obteremos o valor da tenso normal, bastando conhecer as coordenadas do ponto correspondente da seo. A posio da linha neutra ser determinada considerando que nela as tenses sero nulas (fazendo = 0 em 5.6.2, obtendo-se a equao da L.N.).

Exemplo n 5.6.1 - O perfil de abas desiguais esquematizado ao lado submetido a um carregamento vertical e, em determinada seo, a flexo pura, com momento fletor de 10,0 kN.m, tracionando a aba superior. Pede-se determinar: 1) as tenses normais nos pontos A, B e C assinalados; 2) a posio da linha neutra; 3) as mximas tenses de trao e de compresso na seo.

80

A

B20

140

M = 10,0 kN.m

C20 52

22

CG Soluo Estabelecendo os eixos y z com origem no centride da rea da seo:yc = (60 x20 x10 + 140 x20 x70) / (60 x20 + 140 x20) = 52 mm zc = (60 x20 x50 + 140 x20 x 10) / (60 x20 + 140 x20) = 22 mm

z

No clculo dos momentos de inrcia obtem-se:Iz = 60 x203/12 + 60 x20(52 10)2 + 20 x 1403/12 + 140 x 20(70 52)2 = = 7,637 x 106 mm4 = 7,637 x 10 6 m4 3 Iy = 140 x20 /12 + 140 x20(22 10)2 + 20 x 603/12 + 60 x 20(50 22)2 = = 1,797 x 106 mm4 = 1,797 x 10 6 m4 y

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No cmputo do PRODUTO DE INERCIA Pyz levaremos em conta que nulo o seu valor quando um dos eixos for de simetria para a seo. Portanto, os produtos de inrcia baricntricos para cada uma das abas retangulares sero nulos, bastando apenas acrescentar os produtos de transporte para o baricentro da figura, conforme estabelece o teorema de Steiner (eixos paralelos). Importante ser levar em conta que, ao contrrio dos momentos de inrcia (grandeza sempre positiva), o produto de inrcia pode ser positivo ou negativo (conforme o quadrante em que a figura esteja posicionada) Assim, para a rea da cantoneira em anlise (em sua maior parte contida nos 2 e 4 quadrantes) teremos: Pyz = [ - 60 x 20 x (50 22) x (52 10)] + [ - 140 x 20 x (70 52) x (22 10) == - 2,016 x 106 mm4 = - 2,016 x 10 6 m4

Levando em 5.6.3 os resultados obtidos para as propriedades geomtricas da seo e considerando que o momento fletor M tem como componentes: My = 0 e Mz = - 10 kN.m (o sinal negativo corresponde conveno usual para momentos que tracionam as fibras superiores, embora esteja orientado no sentido positivo do eixo z cuidado ! segundo o eixo y a incoerncia no ocorre ):- 10 x 103 = [ 7,637 k1 + (- 2,016) k2] x 10 6 0 = [(- 2,016) k1 + 1,797 k2] x 10 -6 Resolvido o sistema obtemos: k1 = - 1.860 x 106 ; k2 = - 2.087 x 106 (Pa/m) e, levando em

5.12, teremos finalmente:

= (- 1.860) y + (- 2.087) z ..............................(a)

Para os pontos A(-52; -22); B(-52; +58) e C(+84; -2) coordenadas (y; z) em mm, teremos: A = + 143 MPa (trao); B = - 24,3 MPa (compresso !! *); C = 152 MPa (compresso). * o resultado, inesperado em princpio, de uma tenso de compresso em ponto da aba superior do perfil, ficar compreendido ao analisarmos a posio da linha neutra. A linha neutra (que separa as regies tracionada e comprimida) o lugar geomtrico dos pontos da seo onde a tenso nula, permitindo obter-se a sua equao zLN = f (yLN) fazendo = 0 em (a): 0 = 1.860 y + 2.087 z >>>> zLN = - 0,8912 yLN (eq. da LN) indicando que a LN forma um ngulo com o eixo y tal que a sua tg = - 0,8915 ou seja = - 41,7 = + 138,3. Portanto, a linha neutra no coincide com a linha de ao do vetor momento na seo (ao contrrio do que ocorre na flexo reta). O ponto B, realmente, est no lado comprimido do perfil. As tenses mximas ocorrero nos pontos mais afastados da linha neutra. No caso em apreciao:52

A + + + ++ + + + + +

-

B

41,9

Linha Neutra

- 41,7

max

Trao

= 143 MPa (ponto A); max

Comp.

= 152 MPa (ponto A)

C y

58

z

Nota: se a equao de Euler (5.4) fosse empregada para o caso (soluo incabvel) as tenses extremas seriam calculadas como: A = B = (10.000 / 7,637 x 10-6) x 0,052 = 68,1 MPa (errado !) C = (10.000 / 7,637 x 10-6) x 0,088 = 115 MPa (errado !)

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No caso de vigas cuja seo transversal possui um eixo de simetria, porm o plano do carregamento no coincide com o seu plano de simetria (FLEXAO OBLIQUA), a determinao das tenses se realiza de maneira mais simples escolhendo-se, como um dos eixos, o eixo citado de simetria da seo. Assim, teremos a condio simplificada de Pyz = 0 que, levada em 5.6.3 nos fornece:

k1 = MZ / IZ

e

k2 = MY / IY.

Considerando 5.6.2, termos finalmente:

= (MZ / IZ) Y + (MY / IY) Z ................ (5.6.4)Mindicando que a soluo seria a composio de duas flexes retas, cada uma computada em relao a um dos eixos principais da seo (representados em letras maisculas como Y e Z). Obs.: mesmo que a seo no admita um eixo de simetria, haver dois eixos perpendiculares em relao aos quais o produto de inrcia ser nulo (eixos principais de inrcia), e para os quais os momentos de inrcia sero extremos (um mximo e outro mnimo). Seus valores so dados por: I1,2 = (Iy + Iz) + [ (Iy Iz)2 + (Pyz)2 Exemplo n 5.6.2 A viga em T, posicionada obliquamente A 80 em relao ao plano do carregamento vertical, com a alma formando um ngulo de 30, est submetida, em determinada seo, a flexo pura com um momento fletor de intensidade M = 2,5 kN.m, tracionando as fibras inferiores. Pede-se determinar M as mximas tenses de trao e de compresso, indicando os B pontos da seo onde ocorrem. 30 LN Soluo: 30 O centride da seo fica em: Z YC YC = (80x30x15 + 100x24x80) / (80x30 + 100x24) = 47,5 mm Os momentos de inrcia principais valero: 24 IZ =80x303/12 + 80x30(47,5 15)2 + 24x1003/12 + 100x24(80 47,5)2 100 Y C IZ = 7,250 x 10-6 m4 IY = 30 x 803/ 12 + 100 x 243 / 12 = 1,395 x 10-6 mm4 IY = 1,395 x 10-6 m4 As componentes do momento fletor nos eixos principais sero: MZ = 2,5 x cos 30 = + 2,165 kN.m; MY = 2,5 x cos 60 = + 1,250 kN.m; Levando em 2.14 teremos: A equao da linha neutra ( = 0) ser: ZLN = - 0,3332 YLN. Portanto, a LN forma com o eixo Y um ngulo tal que tg = - 0,3332 e = -18,43. Os pontos onde ocorrem as tenses extremas so aqueles mais afastados da LN. Para a compresso, no h dvida, ser a quina A da mesa:

ZPlano do carregamento

Y

= (2.165 / 7,250x10-6) Y + (1.250 / 1,395x10-6) Z; = ( 298,6 Y + 896,1 Z )x106 .

= [298,6 x (-0,0475) + 896,1 (-0,040)] x 106 = - 50,0 MPa (compresso mxima).Para a trao, dois seriam os candidatos: (a quina B da mesa e a quina C da alma):

= [298,6 x (-0,0475 + 0,030) + 896,1 (+0,040)] x 106 = + 30,6 MPa. C = [298,6 x (0,130 - 0,0475) + 896,1 (+0,012)] x 106 = + 35,4 MPa (trao mxima).

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h M

Exerccio Proposto n 5.6.3 Para a viga retangular (b x h), submetida a um carregamento vertical direcionado segundo uma de suas diagonais, pede-se: 1) mostrar que a linha neutra estar direcionada segundo a outra diagonal, e 2) determinar as mximas tenses de trao e compresso em funo do momento M e das dimenses da seo.

b

5.7 DEFORMAES NA FLEXO PURA SIMTRICA E ELSTICA. O momento fletor o esforo solicitante que, atuando em duas sees contguas paralelas de uma viga reta, separadas de dx, provoca um ngulo d entre elas de sorte a se poder escrever (ver Fig. 5.7.1 abaixo): d = dx / yd

sendo a deformao especfica longitudinal de uma fibra situada a uma distncia y do plano neutro. Admitindo que o material trabalha na fase elstica, teremos:x x y z

= / E = (M / E ILN) y portanto: d = dx / E ILN .......(5.7.1) No caso da flexo pura, com M constante, seo uniforme e material continuo, ao longo da extenso L0 da viga obteremos, para o pequeno ngulo formado entre as sees extremas:

dx

y

(1+ )dx Fig. 5.7.1 Deformaes na flexo pura simtrica

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= L0 / E ILN .......(5.7.2) (compare com as equaes 1.7.2, 3.1.1 e 4.2.8). O raio de curvatura do plano neutro pode ser calculado observando (ainda na Fig. 5.7.1) que: d = dx; portanto d / dx = 1 / 1 / = / L ...................................... (5.7.3)2 mm

D = 2,0 m

35

Exemplo n 5.7.1 Uma fita de ao (E = 210 GPa), com 2 mm de espessura e 20 mm de largura, encurvada para formar um aro 20 circular com 2,0m de dimetro, sendo suas extremidades unidas atravs de um pino cravado conforme mostra a figura ao lado. Pede-se estimar: 1) o valor mximo das tenses normais na fita; 2) o valor da fora de trao no pino da unio.Obs.: h uma superposio entre as fitas da ordem de 35 mm.

Soluo: A equao 5.16 nos fornece: 1 / = / L = 1 / 1,0 = 12 M / 210x109 x 20 x (2)3 x 10-12 de onde tiramos M = 2,8 N.m Fpino35

As tenses mximas (tanto de trao como de compresso) valero: =[12 x 2,8 / 20 x (2)3 x 10-12] x (1,0 x 10-3 ) = 210 MPa

O momento fletor aplicado na extremidade da fita, atravs da ao do pino e do encosto com a outra extremidade da fita, ser dado por: Fpino x (2/3) 0,035 = 2,8 e, portanto: Fpino = 120 N.(valor aproximado, admitindo que a ao de encosto entre as fitas se caracterizasse por uma distribuio linear de esforos, desde zero, na altura do pino, at o valor mximo, na extremidade).

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