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IFSULDEMINAS 2017 EAC/Inconfidentes

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1

EAC-082: Geodésia Física

Prof. Paulo Augusto Ferreira Borges

Aula 4: Teoria do Potencial

https://intranet.ifs.ifsuldeminas.edu.br/~paulo.borges/

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Vimos anteriormente que:

Considerando umas das partículas como “Atrativa” (M) e outra

como “Atraída” (m), tem-se:

𝐹 =𝐺 ∙ 𝑚 ∙ 𝑀

𝑙2

Com 𝐺 = 6,67408 ∗ 10−11𝑚3/𝐾𝑔 𝑠2.

Campo da Gravidade

m2=m

F1F2

l

m1=M𝑭𝟏𝟐 = 𝑮 ∙

𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐

𝒅𝟏𝟐𝟐

1

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Vetorialmente, a força exercida por dois corpos 𝑚1 e 𝑚2 de

dimensões negligenciáveis, será:

Campo da Gravidade

Onde 𝑚1 = 𝑀: partícula atrativa de coordenadas (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′);𝑚2 = 𝑚: partícula atraída de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧);

𝑟2 − 𝑟1 = 𝑙: distância entre as duas partículas

2

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Como 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎𝑔

𝑚 ∙ 𝑎𝑔 =𝐺 ∙ 𝑚 ∙ 𝑀

𝑙2

Logo, a aceleração da gravidade é dada por:

𝑎𝑔 =𝐺𝑀

𝑙2

Tanto a força F como a aceleração a têm a mesma direção que a

linha que liga os corpos. Por esta razão, muitas vezes escreve a

equação (3) como uma equação vetorial, expressa por:

𝑎𝑔 = −𝐺𝑀 ∙𝑟2 − 𝑟1𝑙3

onde os vetores tridimensionais do lugar das massas atraentes e

atraídas são definidos em coordenadas retangulares como:

Campo da Gravidade

3

4

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𝑟2 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘

𝑟1 = 𝑋𝑖 + 𝑌𝑗 + 𝑍𝑘

onde o trio dos vetores unitários 𝑖, 𝑗, 𝑘 é uma base ortogonal no

espaço Euclidiano (𝑅3) e:

𝑙 = 𝑟2 − 𝑟1 = 𝑥 − 𝑋 2 + 𝑦 − 𝑌 2 + 𝑧 − 𝑍 2

Observe que a equação vetorial (4) contém um sinal de menos. O

sinal apenas indica que a direção da força é oposta à do vetor

𝑟2 − 𝑟1 . Este vetor é a localização da massa atraída 𝑚 contada a

partir da localização da massa atrativa 𝑀, de forma a indicar uma

atração e não uma repulsão.

Campo da Gravidade

5

6

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Assim, temos que a Força de Atração exercida sobre partícula de

massa unitária 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) pela massa 𝑀 localizada na origem do

sistema é dada por:

Ԧ𝐹𝑚→𝑀 =𝐺∙𝑀∙𝑚

𝑟2−𝑟13 ∙ 𝑟2 − 𝑟1

Componentes Cartesianas da Força de Atração

Considerando a partícula

atraída com massa 𝑚 unitária,

temos:

Ԧ𝐹 = −𝐺∙𝑀

𝑙3∙ Ԧ𝑙

7

8

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Estando o sistema de massas atrativas na origem, têm-se:

Ԧ𝑙 = 𝑃 − 𝑂 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 + 𝑧𝑘

Onde Ԧ𝑖, Ԧ𝑗 e 𝑘 são os versores fundamentais (vetores unitários).

Substituindo a equação (9) em (8), temos:

Ԧ𝐹 = −𝐺 ∙ 𝑀

𝑙3∙ 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗 + 𝑧𝑘

Assim temos as seguintes componentes cartesianas para a Força

de atração:

𝐹𝑥 = −𝐺∙𝑀

𝑙3∙ 𝑥 𝐹𝑦 = −

𝐺∙𝑀

𝑙3∙ 𝑦 𝐹𝑧 = −

𝐺∙𝑀

𝑙3∙ 𝑧

Componentes Cartesianas da Força de Atração

9

10

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No caso geral, onde o sistema de massa atrativa não é

coincidente com a origem do sistema de coordenadas

𝑃′ 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ , tem-se:

Ԧ𝐹 = −𝐺 ∙ 𝑀

𝑙3∙ 𝑥 − 𝑥′ 2𝑖 + 𝑦 − 𝑦′ 2𝑗 + 𝑧 − 𝑧′ 2𝑘

Considerando um sistema discreto de massas atrativas formado

por 𝑛 partículas não coincidente com a origem do sistema de

coordenadas 𝑃′ 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ , a expressão da força será:

Ԧ𝐹 = −𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑀𝑖

𝑙𝑖3 ∙ 𝑙𝑖

Componentes Cartesianas da Força de Atração

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12

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Cujas componentes cartesianas serão:

𝐹𝑥 = −𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑥 − 𝑥′𝑖

𝑙𝑖3 ∙ 𝑀𝑖

𝐹𝑦 = −𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑦 − 𝑦′𝑖

𝑙𝑖3 ∙ 𝑀𝑖

𝐹𝑧 = −𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑧 − 𝑧′𝑖

𝑙𝑖3 ∙ 𝑀𝑖

Componentes Cartesianas da Força de Atração

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Considerando um sistema de distribuição contínua de massa

atrativa (corpo de massa 𝑚 e volume 𝑣), tem-se:

Ԧ𝐹 = −𝐺 ∙ න𝑀

𝑑𝑚

𝑙3∙ Ԧ𝑙

Componentes Cartesianas da Força de Atração

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𝐹𝑥 = −𝐺 ∙ න𝑀

𝑥 − 𝑥′

𝑙3𝑑𝑚 = −𝐺 ∙ න

𝑣

𝑥 − 𝑥′

𝑙3𝜌𝑑𝑣

𝐹𝑦 = −𝐺 ∙ න𝑀

𝑦 − 𝑦′

𝑙3𝑑𝑚 = −𝐺 ∙ න

𝑣

𝑦 − 𝑦′

𝑙3𝜌𝑑𝑣

𝐹𝑧 = −𝐺 ∙ න𝑀

𝑧 − 𝑧′

𝑙3𝑑𝑚 = −𝐺 ∙ න

𝑣

𝑧 − 𝑧′

𝑙3𝜌𝑑𝑣

Sendo 𝑑𝑚 uma massa elementar de coordenadas 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ e

volume 𝑑𝑣:

𝑑𝑚 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑧′

O que lembra que as integrais são triplas.

Componentes Cartesianas da Força de Atração

15

16

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Assim um corpo de massa 𝑀 pode ser considerado como

composto por elementos de volume elementar 𝑑𝑣 com

densidades 𝜌 . A atração exercida pelo corpo pode ser

considerada como a integral das atrações exercidas pelos

elementos de volumes 𝑑𝑣 .

Admitindo a massa atraída como massa unitária, tem-se:

Ԧ𝐹𝑑𝑣 = −𝐺 ∙ම𝑣

𝜌

𝑙3∙ Ԧ𝑙𝑑𝑣

Componentes Cartesianas da Força de Atração

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Ԧ𝐹𝑑𝑣 = −𝐺 ∙ම𝑣

𝜌

𝑙3∙ Ԧ𝑙𝑑𝑣

Considerando-se o corpo atraído de massa unitária, a expressão

acima pode ser utilizada na quantificação da atração exercida por

uma massa M sobre corpos exteriores ou sobre o mesmo. Sendo

desconhecida com precisão a estrutura interna da Terra, com

relação à distribuição de densidades, a equação é de uso

limitados na Geodésia. No entanto, sua utilidade reside na

demonstração da interrelação da força de atração com a

densidade.

Componentes Cartesianas da Força de Atração

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A teoria do potencial é devida a Laplace (1782) e desempenha

importante papel na Geofísica, Geodésia e Física, entre outras

áreas. A Geodésia utiliza-se da Teoria do Potencial como

subsídio para o estudo do campo da gravidade e de suas

vinculações com o problema da Forma da Terra.

O potencial gravitacional de atração (ou newtoniano) é dado pela

função escalar definida por:

𝑉 =𝐺 ∙ 𝑚

𝑙

O potencial gravitacional é concebido pela massa 𝑚 𝑥′, 𝑦′, 𝑧′ no

ponto 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 .

Potencial Gravitacional

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No caso de um sistema discreto de partículas:

𝑉 = 𝐺 ∙

𝑖=1

𝑛𝑚𝑖

𝑙𝑖

Considerando uma distribuição contínua, tem-se:

𝑉 = 𝐺 ∙ න𝑚

𝑑𝑚

𝑙= 𝐺 ∙ න

𝑣

𝜌𝑑𝑣

𝑙= 𝐺 ∙ න

𝑣

𝜌 𝑑𝑥′𝑑𝑦′𝑑𝑧′

𝑙

Propriedade Fundamental do potencial de atração:

As derivadas do potencial gravitacional segundo os eixos

coordenados proporcionam as componentes da força de atração

em relação aos mesmos eixos.

Potencial Gravitacional

20

19

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𝜕𝑉

𝜕𝑥= 𝐺 ∙ 𝑚 ∙

𝜕

𝜕𝑥

1

𝑙= −𝐺 ∙ 𝑚 ∙

𝑥 − 𝑥′

𝑙3

𝜕𝑉

𝜕𝑦= 𝐺 ∙ 𝑚 ∙

𝜕

𝜕𝑦

1

𝑙= −𝐺 ∙ 𝑚 ∙

𝑦 − 𝑦′

𝑙3

𝜕𝑉

𝜕𝑧= 𝐺 ∙ 𝑚 ∙

𝜕

𝜕𝑧

1

𝑙= −𝐺 ∙ 𝑚 ∙

𝑧 − 𝑧′

𝑙3

Unidades:

No S.I. o potencial gravitacional é expresso em 𝑚2 ∙ 𝑠−2. Mas

como a unidade Gal é dada por:

𝐺𝑎𝑙 = 103𝑚𝑖𝑙𝑖𝑔𝑎𝑙𝑠 (𝑚𝐺𝑎𝑙) = 10−2𝑚 ∙ 𝑠−2

𝑚2 ∙ 𝑠−2 = 102𝐺𝑎𝑙 𝑚 = 105 ∙ 𝑚𝐺𝑎𝑙 ∙ 𝑚

Potencial Gravitacional

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Operadores:

Uma “função de posição” ou “função de ponto” é uma quantidade que

assume valores diferentes nos diferentes pontos de uma região. Logo,

o potencial gravitacional (dependente da distância ao centro de massa

atrativo) é uma função escalar de posição. Do mesmo modo define-se

funções vetoriais de posição. A seguir têm-se algumas funções de

posição, de aplicação frequente na Teoria do Potencial.

a) Vetor simbólico nabla ഥ𝜵 (operador newtoniano):

ത𝛻 =𝜕

𝜕𝑥Ԧ𝑖 +

𝜕

𝜕𝑦Ԧ𝑗 +

𝜕

𝜕𝑧𝑘

Potencial Gravitacional

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Operadores:

b) Gradiente da função escalar 𝐸 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 :

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐸 = ത𝛻𝐸 =𝜕𝐸

𝜕𝑥Ԧ𝑖 +

𝜕𝐸

𝜕𝑦Ԧ𝑗 +

𝜕𝐸

𝜕𝑧𝑘

O operador 𝑔𝑟𝑎𝑑 transforma um escalar em vetor, cujas componentes

cartesianas são as derivadas da função escalar segundo os eixos.

c) Divergência da função vetorial de posição ҧ𝐴 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 :

𝑑𝑖𝑣 ҧ𝐴 = ത𝛻 ∙ ҧ𝐴

𝑑𝑖𝑣 ҧ𝐴 =𝜕𝐴𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝐴𝑦

𝜕𝑦+𝜕𝐴𝑧𝜕𝑧

Potencial Gravitacional

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Operadores:

d) Rotacional:

𝑟𝑜𝑡 ҧ𝐴 = ത𝛻⋀ഥ𝐴

O símbolo ⋀ indica o produto vetorial. 𝑟𝑜𝑡 ҧ𝐴 =

ҧ𝑖 ҧ𝑗 ത𝑘𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦

𝜕

𝜕𝑧

𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧

𝑟𝑜𝑡 ҧ𝐴 =𝜕𝐴𝑧𝜕𝑦

−𝜕𝐴𝑦𝜕𝑧

Ԧ𝑖 +𝜕𝐴𝑥𝜕𝑧

−𝜕𝐴𝑧𝜕𝑥

Ԧ𝑗 +𝜕𝐴𝑦𝜕𝑥

−𝜕𝐴𝑥𝜕𝑦

𝑘

Potencial Gravitacional

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Operadores:e) Operador de Laplace (Laplaciano):

∆ =𝜕2

𝜕𝑥2+

𝜕2

𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2

O Laplaciano corresponde ao operador 𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑. Aplicando a uma

função escalar 𝐸 sucessivamente os operadores 𝑔𝑟𝑎𝑑 e 𝑑𝑖𝑣, temos:

𝑔𝑟𝑎𝑑𝐸 =𝜕𝐸

𝜕𝑥Ԧ𝑖 +

𝜕𝐸

𝜕𝑦Ԧ𝑗 +

𝜕𝐸

𝜕𝑧𝑘

𝑑𝑖𝑣 𝑔𝑟𝑎𝑑𝐸 =𝜕2𝐸

𝜕𝑥2+𝜕2𝐸

𝜕𝑦2+𝜕2𝐸

𝜕𝑧2= ∆ 𝐸

Potencial Gravitacional

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Operadores:

A expressão é conhecida como equação de Laplace e é de grande

utilidade na solução de problemas físicos através da Teoria do

Potencial. Verifica-se que o potencial gravitacional é uma função

harmônica, pois satisfaz a equação de Laplace, no exterior das

massas. Em resumo temos:

Potencial Gravitacional

Operador Transforma Em

grad escalar vetor

div vetor escalar

rot vetor vetor

laplaciano escalar escalar

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Exercício

1. Designando por 𝑠 a distância entre dois pontos, um

fixo (𝑥’, 𝑦’, 𝑧’) e um móvel (𝑥, 𝑦, 𝑧), calcule o gradiente

e o laplaciano de 𝑠.

Resposta:

Gradiente: 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑠 = Τҧ𝑠 𝑠

Laplaciano: ∆𝑠 = Τ2 𝑠

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Exercício

2. Adotando um modelo esférico, homogêneo e rotante,

calcular a gravidade teórica sobre a sua superfície

nos paralelos com latitude geocêntrica 0º, 30º, 60º e

90º. Para os mesmos paralelos, calcule o percentual

representado pela força centrífuga. Admita que a

esfera tem o mesmo volume que o elipsoide do

SGR-67 no qual:

𝑎 = 6378160 𝑚

𝑏 = 6356775 𝑚

𝐺𝑀 = 398603𝑥109 𝑚3. 𝑠− 2

𝜔 = 7292116𝑥10 − 11 𝑟𝑎𝑑/𝑠

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Exercício (Solução)

a) Raio da Esfera:

b) Valores auxiliares:

c) Vetorialmente:

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Exercício (Solução)

d) Em módulo usando as componentes:

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Exercício (Solução)

ϕ gx gz g = √gx2 + gz

2

0º 9,786362607 0 9,786362607

30º 8,475238628 4,910120248 9,794843064

45º 6,920003362 6,943958648 9,803316186

60º 4,893181303 8,504577741 9,811781990

90º 0 9,820240497 9,820240497

ϕ kM/R2 ω2Rcos2ϕ % (C/F)*100 g = F - C

0º 9,820240497 0,033877890 0,345 9,786362607

30º “ 0,025408418 0,259 9,794832079

45º “ 0,016938945 0,172 9,803301552

60º “ 0,008469473 0,086 9,811771024

90º “ 0 0 9,820240497

e) Resumo dos cálculos (m/s2)

f) Usando a componente de C na direção de F:

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Referências Bibliográficas

Gemael, C. Introdução à geodésia física – Ed. da UFPR,

Curitiba, 1999.

Oliveira Filho, K. S.; Saraiva, M. F. O. Astronomia e

astrofísica – 2. ed. Editora Livraria da Física, São Paulo, 2004.