EBAU Modelo 2020 Matemáticas II en Madrid I.E.S. Vicente ......EBAU Modelo 2020 Matemáticas II en Madrid I.E.S. Vicente Medina (Archena) 2 de 13 B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos

EBAU Modelo 2020 Matemáticas II en Madrid I.E.S. Vicente Medina (Archena)

1 de 13

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID

EVALUACIÓN PARA EL ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO

Curso 2019-2020 MATERIA: MATEMÁTICAS II

Modelo orientativo

INSTRUCCIONES GENERALES Y CALIFICACIÓN

Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a

elegir entre las ocho que se proponen.

TIEMPO Y CALIFICACIÓN: 90 minutos. Cada pregunta se calificará sobre 2,5 puntos.

A.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Se quiere construir un invernadero para el cultivo de semillas con ambiente controlado de

temperatura, humedad y composición del aire. El aire que hay que suministrar debe contener un 78%

de nitrógeno, un 21% de oxígeno y un 1% de argón.

a) (0.5 puntos) Si la capacidad del invernadero es 2000 litros, determine cuántos litros de nitrógeno,

cuántos de oxígeno y cuántos de argón son necesarios.

b) (2 puntos) Para suministrar el aire se dispone de tres mezclas gaseosas A, B y C, cuya

composición se expresa en la tabla adjunta.

Obtenga la cantidad que hay que utilizar de cada mezcla para llenar el invernadero de aire con la

composición requerida.

Mezcla Nitrógeno Oxígeno Argón

A 80% 20% 0%

B 70% 20% 10%

C 60% 40% 0%


Dada la función 3 2xf x e , se pide:

a) (1 punto) Determinar el punto en el que la tangente a la curva y f x tiene pendiente igual a 3

e

y escribir la ecuación de esta recta tangente.

b) (0.5 puntos) Calcular 2/3

1 ( )lim

6 4x

f x

x

.

c) (1 punto) Calcular el área de la superficie acotada por la curva y f x y las rectas 0x , 1y .


Dadas las rectas 1

1

2 3

x zr

y z

, 2

4 5

4 3

x zr

y z

; se pide:

a) (1.5 puntos) Estudiar su posición relativa y hallar la distancia entre ellas.

b) (1 punto) Hallar el punto de corte entre la recta r2 y el plano que contiene a r1 y pasa por el origen

de coordenadas.


Dados dos sucesos A y B, se conocen las siguientes probabilidades: 0,55P A B ,

0,90P A B y / A 0,25P B . Se pide:

a) (2 puntos) Calcular P A B , P A , P B y / AP B .

b) (0.5 puntos) Deducir de manera razonada si los sucesos A y B son independientes.


2 de 13

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada las matrices

1 2

5 10 3

1 2

t

A t

, x

Xy

,

3

9

3 3

B

t

, se pide:

a) (1 punto) Calcular el rango de la matriz A en función del parámetro t.

b) (1.5 puntos) Resolver el sistema AX B , para los valores de t que lo hagan compatible y

determinado.


Dada la función 3

( )1

f xx

, se pide:

a) (1 punto) Calcular el área del triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta tangente a la

curva y f x en 2x .

b) (0.75 puntos) Determinar las posibles asíntotas de la curva y f x y estudiar los intervalos de

crecimiento y decrecimiento de f(x).

c) (0.75 puntos) Calcular 2

0

xf x dx .


Dados los puntos 1,1, 2A , 3, 1,4B y la recta

1 3

2 5

3

x

r y

z

, se pide:

a) (1.5 puntos) Calcular el área del triángulo OPQ, siendo 0,0,0O , P el punto medio del segmento

AB y Q la intersección de la recta que pasa por A y B y el plano 7z .

b) (0.5 puntos) Hallar la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a la recta r.

c) (0.5 puntos) Calcular el coseno del ángulo que forman la recta r y la recta que pasa por A y B.


En cierta ciudad se estima que la temperatura máxima de cada día, en el mes de junio, sigue una

distribución normal de media 30ºC y varianza 25. Se pide:

a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un día cualquiera del mes la temperatura máxima

esté entre 28ºC y 32ºC.

b) (1 punto) Calcular el número esperado de días del mes con máxima superior a 36ºC.

c) (0.75 puntos) Determinar la temperatura máxima alcanzada el día 10 de junio, sabiendo que dicha

temperatura fue superada exactamente el 50% de los días del mes.


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SOLUCIONES


Se quiere construir un invernadero para el cultivo de semillas con ambiente controlado de

temperatura, humedad y composición del aire. El aire que hay que suministrar debe contener un 78%

de nitrógeno, un 21% de oxígeno y un 1% de argón.

a) (0.5 puntos) Si la capacidad del invernadero es 2000 litros, determine cuántos litros de nitrógeno,

cuántos de oxígeno y cuántos de argón son necesarios.

b) (2 puntos) Para suministrar el aire se dispone de tres mezclas gaseosas A, B y C, cuya

composición se expresa en la tabla adjunta.

Obtenga la cantidad que hay que utilizar de cada mezcla para llenar el invernadero de aire con la

composición requerida.


A 80% 20% 0%

B 70% 20% 10%

C 60% 40% 0%

a) Se necesita 2000 · 0,78 = 1560 litros de nitrógeno, 2000 · 0,21 = 420 litros de oxígeno y 2000

· 0,01 = 20 litros de argón.

b) Llamemos “x” los litros de A, “y” a los litros de B y “z” a los litros de C.

Tendríamos un sistema con 3 ecuaciones, una para cada componente.


Ax 0,8x 0,20x 0

By 0,7y 0,2y 0,1y

Cz 0,6z 0,4z 0

1560 0,8 0,7 0,6

420 0, 2 0, 2 0, 4

20 0,1

x y z

x y z

y

Lo resolvemos despejando “y” en la ecuación 3ª y sustituyendo en las otras ecuaciones.

1560 0,8 0,7 0,61560 0,8 0,7·200 0,6 1560 140 0,8 0,6

420 0,2 0,2 0,4420 0,2 0,2·200 0,4 420 40 0,2 0,4

20200

0,1

1420 0,8 0,6 710 0,4 0,3

380 0,2 0,4 190 0,1 0,2

x y zx z x z

x y zx z x z

y

x z x z

x z x

7100 4 3 7100 4 3

1900 2 7600 4 8

Sumando las ecuaciones 500 5 100

Sustituyendo en la ecuación 1900 2 nos queda 1900 200 1700

x z x z

z x z x z

z z

x z x x

Son necesarios 1700 litros de A, 200 litros de B y 100 de C.


4 de 13


Dada la función 3 2xf x e , se pide:

a) (1 punto) Determinar el punto en el que la tangente a la curva y f x tiene pendiente igual a 3

e

y escribir la ecuación de esta recta tangente.

b) (0.5 puntos) Calcular 2/3

1 ( )lim

6 4x

f x

x

.

c) (1 punto) Calcular el área de la superficie acotada por la curva y f x y las rectas 0x , 1y .

a) La pendiente de la tangente es el valor de la derivada. Calculemos la derivada de 3 2xf x e

3 2 3 2´ 3x xf x e f x e y lo igualamos a 3

e

3 2 3 2 3 2 1 3 1 03 1´ 3 3 ·e 3 1 3 1 0

3

x x x xf x e e e e e x xe

En 1

3x la función vale

13 2

1 2 131 1

3f e e e

e

El punto de tangencia tiene coordenadas 1 1

,3 e

La ecuación de la recta tangente en x a es ( ) (́ )y f a f a x a .

Como 1 1

3f

e

y

1 3´

3f

e

La recta tangente queda 1 3 1 1 3 3 1 3 1 3

3 3

x x xy x y y y

e e e e e e e e e

b)

3 2

3 2

23 2

3

2

3

2/3 2/3

2/

3

3

2

1 ( ) 1 1 1 1 0lim lim Indeterminación ´

26 4 6 4 4 4 06 4

3

0 3 3 3lim 0,5

6 6 6

x

x

x

x

x

f xAplico L Hôpit

x

e

e

ax

el

e

c) Buscamos los puntos de corte de 3 2xf x e y la recta 1y .

3 2 21 3 2 0 3 2

3

xe x x x

El área pedida es la integral definida de 3 2xf x e menos 1y entre 0 y 2

3.

3 23 2

2 223 33

0 0

2 2 2

0 22

2

3 20

3 3 3 3

1 2 1 10,378

3 3 3 3 3 3 3

1x

x e eÁ

eerea x

e e

d

eu

x


5 de 13

Como se puede comprobar el área es menos de medio cuadradito, como hemos obtenido con

el cálculo integral.


Dadas las rectas 1

1

2 3

x zr

y z

, 2

4 5

4 3

x zr

y z

; se pide:

a) (1.5 puntos) Estudiar su posición relativa y hallar la distancia entre ellas.

b) (1 punto) Hallar el punto de corte entre la recta r2 y el plano que contiene a r1 y pasa por el origen

de coordenadas.

a) Extraemos de las rectas su vector director y un punto, también sus ecuaciones paramétricas.

1

1

1

11,2,01

2 32 3 1, 3,1

x zPx z

r y zy z v

z z

2

2

2

4 54, 3,04 5

3 44 3 5,4,1

x zPx z

r y zy z v

z z

¿Son paralelas o coincidentes? Para ello los vectores directores deben ser proporcionales.

1

2

1, 3,1 1 3 1¿ ?

5 4 15,4,1

v

v

No es cierto, pues todas las fracciones son distintas.

Las rectas ni son paralelas ni coincidentes. Por lo que se cruzan o cortan.

Para saber cuál de estas dos situaciones se cumple, haremos el producto mixto de los vectores

directores y del vector que va de un punto de r1 a un punto de r2.

1 2 4, 3,0 1,2,0 5, 5,0PP


6 de 13

1

2 1 2 1 2

1 2

1, 3,1 1 3 1

5,4,1 , , 5 4 1 0 15 25 20 0 5 55 0

5 5 05, 5,0

v

v v v PP

PP

Como el producto mixto es no nulo las rectas se cruzan.

La distancia entre dos rectas que se cruzan es el cociente entre el producto mixto hallado antes

y el modulo del producto vectorial de los vectores directores. Dicho de otra forma, es el

volumen del paralelepípedo entre el área de la base t nos da la altura (distancia entre ambas

rectas).

Nos falta hallar el producto vectorial.

1

1 2

2

2 2 2

1 2

1, 3,11 3 1 3 5 4 15 4 7 4 19 7,4,19

5,4,15 4 1

Módulo del producto vectorial = 7 4 19 426 20,64

i j kv

v v i j k k j i i j kv

v v

1 2 1 2

1 2

1 2

, , 55, 2,66

426

v v PPd r r

v v

b) El plano que contiene a r1 y pasa por el origen de coordenadas tiene como vectores directores

1 1, 3,1v y el vector 1OP .

1

1

(0,0,0) 0 0 0

1, 3,1 1 3 1 0

1 2 01,2,0

1 3 1 0 2 3 2 0 2 0 2 0

1 2 0

O plano x y z

v plano

OP

x y z

y z z x x y z plano x y z

El punto de corte lo obtenemos resolviendo el sistema formado por la ecuación de la recta 2r

y plano.

2

2 0

2 4 5 4 3 04 5

4 3

8 10 4 3 0 15 5

5 74 4 4

3 35 1

15 3 4 134 3 3

3 3

plano x y z

z z zx zr

y z

z z z z

x z

z

y z

El punto de corte es 7 13 1

, ,3 3 3

P


7 de 13


Dados dos sucesos A y B, se conocen las siguientes probabilidades: 0,55P A B ,

0,90P A B y / A 0,25P B . Se pide:

a) (2 puntos) Calcular P A B , P A , P B y / AP B .

b) (0.5 puntos) Deducir de manera razonada si los sucesos A y B son independientes.

a) Como

0,900,90 1 0,9 1 0,9 0,1

P A BP A B P A B P A B

A B A B

También tenemos que

/ A 0,25 0,25 0,1 0,1

0,25 0,40,25

0,1

P A BP B

P A P AP A

P A B

Además

0,550,55

0,1

0,4

0,4 0,1 0,55 ( ) 0,25

P A BP A P B P A B

P A B P A P B P A B

P A B

P A

P B P B

Por último

0,25 0,1

0,251 1 0,

A

4/ A

P B P A B

P

B

AP

P

PB

A

b) Los sucesos A y B son independientes cuando ·P A B P A P B

0,1Son iguales y por tanto son independientes.

· 0,4 ·0,25 0,1

P A B

P A P B


8 de 13


Dada las matrices

1 2

5 10 3

1 2

t

A t

, x

Xy

,

3

9

3 3

B

t

, se pide:

a) (1 punto) Calcular el rango de la matriz A en función del parámetro t.

b) (1.5 puntos) Resolver el sistema AX B , para los valores de t que lo hagan compatible y

determinado.

a) UNA FORMA DE HACERLO (Gauss)

A La matriz

1 2

5 10 3

1 2

t

A t

es de orden 2x3, su rango es 2 o 1.

Fila 3ª + Fila 1ª Fila 2ª - 5 · Fila 1ª1 2 1 2

1 2 5 10 35 10 3 0 2

1 2 5 10 51 2 0

0 Nueva fila 3ª 0 2 Nueva fila 2ª

t tt t

t tt

tt t

El rango de A es el mismo que el rango de la matriz que hemos obtenido con las

transformaciones. Hay 2 casos distintos.

CASO 1. Si 0t .

La matriz transformada de A queda

1 2

0 0

0 0

y tiene rango 1. Rango de A es 1 si 0t .

CASO 2. Si 0t .

La matriz transformada de A tiene el menor que resulta de quitarle la fila 3ª con

determinante no nulo:

1 22 0

0 2

tt

t

El rango de A es 2 si 0t .

OTRA FORMA DE HACERLO

La matriz

1 2

5 10 3

1 2

t

A t

es 2x3, su rango es 2 o 1.

¿El rango de A es 2?

El menor que resulta de quitarle la primera fila tiene determinante

5 10 310 10 3 3 0 0

1 2

tt t t

El menor que resulta de quitarle la 2ª fila tiene determinante

1 22 2 0 0

1 2

tt t t


9 de 13

Conclusión: El rango de A es 2 si t es distinto de 0.

Si t = 0 el rango es 1, pues los menores de orden 2 tienen determinante nulo y hay un menor

de orden 1 con determinante no nulo.

b) AX B se convierte en el sistema:

2 31 2 3 2 3

5 10 3 9 5 10 3 9 5 10 3 9

1 2 3 3 2 3 3 2 3 3

x t yt x t yx

t x t y x t yy

t x y t x y t

Para que sea compatible determinado el rango de A debe ser 2, al igual que el rango de A/B.

Para que el rango de A sea 2 debe ser 0t . Visto en el apartado anterior.

Dada la matriz ampliada

1 2 3

/ 5 10 3 9

1 2 3 3

t

A B t

t

para que el rango de A/B sea 2

debe ser su determinante 0.

1 2 3

/ 5 10 3 9

1 2 3 3

10 3 3 3 9 2 30 3 10 3 5 2 3 3 18

30

t

A B t

t

t t t t t t

t

30 29 9t t 18 9t 30 30 9 30t t 30 215 15 18t t

2

2

6 6

0/ 0 6 6 0 6 1 0

1 0 1

t t

tA B t t t t

t t

Como 0t , entonces es 1t .

Para 1t el sistema es compatible determinado. Resolvámoslo.

2 1 3 3

5 10 3 9 5 7 9

2 02 3 3

Al ser compatible determinado 3

nos quedamos con la ecuación 1ª y 3ª 2 0

Ecuación 2ª + Ecuación 1ª

2 0

3

3 Nueva ecu

x y x y

x y x y

x yx y

x y

x y

x y

x y

y

3

3

ación 2ª

33 3 6

3

x y

y

x yx x

y

El sistema es compatible determinado para 1t y tiene la solución 6x , 3y .


10 de 13


Dada la función 3

( )1

f xx

, se pide:

a) (1 punto) Calcular el área del triángulo formado por los ejes de coordenadas y la recta tangente a la

curva y f x en 2x .

b) (0.75 puntos) Determinar las posibles asíntotas de la curva y f x y estudiar los intervalos de

crecimiento y decrecimiento de f(x).

c) (0.75 puntos) Calcular 2

0

xf x dx .

a) La derivada de3

( )1

f xx

es

2

3(́ )

1f x

x

La recta tangente a la función 3

( )1

f xx

en 2x tiene la ecuación:

2

32 1

2 1 12 ´ 2 2 1 2

3 3 1 3´ 29 32 1

1 2 1 2 1 51 1

3 3 3 3 3 3

f

y f f x y x

f

y x y x y x

Dibujemos la función y la recta tangente para tener más claro cómo resolver el problema.

1 533 3150 3 03

1 1,52

32 13

3 0,75 5 0

x y xx yx


11 de 13

Averiguamos los puntos de corte con los ejes de la tangente, aunque aparecen en la tabla de la

recta tangente y son 5

0, 5,03

y

. Si observamos la figura la base del triángulo es 5 y la

altura es 5/3, por lo que el área del triángulo es 2

55·

· 253 4,162 2 6

base alturaÁrea u

b) Las asíntotas de 3

( )1

f xx

son:

Asíntota vertical. 1x

1 1

3 3lim ( ) lim

1 0x xf x

x

Asíntota horizontal. y b .

3 3lim ( ) lim 0

1x xf x

x

La asíntota horizontal es 0y

Asíntota oblicua. y mx n .

No tiene asíntota oblicua por tener horizontal.

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento utilizamos la derivada.

La igualamos a cero.

2

3(́ ) 0 0 3 0

1f x

x

No tiene solución. Por lo que no tiene puntos críticos.

Como tiene el punto de discontinuidad en 1x estudiamos si crece o decrece antes y

después de este valor.

En , 1 tomamos 2x y la derivada vale

2

3(́ 2) 0

2 1f

. La función

decrece en , 1 .

En 1, tomamos 0x y la derivada vale

2

3(́0) 0

0 1f

. La función decrece

en , 1 .

Conclusión: La función decrece en todo su dominio.

c)

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0

2

0

3 1 1 1 1 13 3 3 3

1 1 1 1 1 1

3 ln 1 3 2 ln 2 1 0 ln 0 1 6 3ln 3

x x xx dx dx dx dx dx dx dx

x x x x x x

x x


12 de 13


Dados los puntos 1,1, 2A , 3, 1,4B y la recta

1 3

2 5

3

x

r y

z

, se pide:

a) (1.5 puntos) Calcular el área del triángulo OPQ, siendo 0,0,0O , P el punto medio del segmento

AB y Q la intersección de la recta que pasa por A y B y el plano 7z .

b) (0.5 puntos) Hallar la ecuación del plano que pasa por A y es perpendicular a la recta r.

c) (0.5 puntos) Calcular el coseno del ángulo que forman la recta r y la recta que pasa por A y B.

a) Averiguamos las coordenadas de los puntos P y Q.

1,1, 2 3, 1,42,0,1

2 2

A BP

La recta s que pasa por A y B tiene ecuación:

1,1, 2

3, 1,4 1,1,

1

2, 2,62 1

2 31, 1,3

s x

AB s y

zv

A

Q es la intersección de esta recta y el plano 7z . Hallamos Q resolviendo el sistema:

11 1 1

1 1 3 41 1 1

2 3 1 3 27 2 3 9 3 3

7

xx x x

s y xy y y

z y

z

El punto Q tiene coordenadas 4, 2,7Q .

Pasamos a calcular el área del triángulo OPQ que se calcula como la mitad del módulo del

producto vectorial de los vectores de dos de sus lados.

2

2,0,1 0,0,0 2,0,12 0 1

4, 2,7 0,0,0 4, 2,74 2 7

4 4 14 2 2 10 4 2, 10, 4

4 100 16 12030 5,47

2 2 2

i j kOP

OQ OPOQ

OQ OP j k j i i j k

OQ OPÁrea OPQ u

b) Si el plano π´ es perpendicular a la recta debe tener como vector normal el director de la

recta.

1 31, 2,3

2 53,5,0

3

r

r

xP

r yv

z

El plano pedido tendrá la ecuación:

1,1, 2 1,1,´3 5 0 8

´ 3 5 03,5,

2

0r

D Dx y Dn v

A A

´ 3 5 8 0x y

c) El coseno del ángulo entre las rectas es el ángulo entre sus respectivos vectores directores.


13 de 13

Obtenemos los vectores directores a partir de sus ecuaciones:

1

1 1, 1,3

2 3

s

x

s y v

z

1 3

2 5 3,5,0

3

r

x

r y v

z

Con el producto escalar obtenemos:

· 3 53,5,0 1, 1,3 2

cos( , ) cos( , )9 25 · 1 1 9 374 374·

r s

r s

r s

v vr s v v

v v


En cierta ciudad se estima que la temperatura máxima de cada día, en el mes de junio, sigue una

distribución normal de media 30ºC y varianza 25. Se pide:

a) (0.75 puntos) Calcular la probabilidad de que un día cualquiera del mes la temperatura máxima

esté entre 28ºC y 32ºC.

b) (1 punto) Calcular el número esperado de días del mes con máxima superior a 36ºC.

c) (0.75 puntos) Determinar la temperatura máxima alcanzada el día 10 de junio, sabiendo que dicha

temperatura fue superada exactamente el 50% de los días del mes.

X = Temperatura máxima de un día de junio.

Como la varianza es 25 entonces la desviación típica es 25 5 . X = N(30, 5)

a)

28 30 32 3028 32 0,4 0,4

5 5

0,4 0,4 0,4 0,4

0,4 1 0,4

0,4 1 0,4 0,6554 0,6554 1 0,3108

P X Tipificamos P Z P Z

P Z P Z P Z P Z

P Z P Z

P Z P Z

b) Calculamos la probabilidad de que ocurra un día y luego la multiplicamos por el número de

días de junio (30).

36 3036 1,2

5

1 1,2 Buscamos en la tabla 1 0,8849 0,1151

P X Tipificamos P Z P Z

P Z

Multiplicamos esta probabilidad por 30 y obtenemos 0,1151 · 30 = 3.453.

Entre 3 y 4 días de junio tendrán una máxima superior a 36ºC.

c) 0,5P X a esto es lo que ocurre con la media de una distribución normal, por lo que la

temperatura máxima del 10 de junio es la media que vale 30ºC.

Si lo hacemos de forma mecánica tenemos que

0,5 1 0,5 0,5 Buscamos en la tabla 30ºP X a P X a P X a a C

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EBAU Modelo 2020 Matemáticas II en Madrid I.E.S. Vicente ......EBAU Modelo 2020 Matemáticas II en Madrid I.E.S. Vicente Medina (Archena) 2 de 13 B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos