Econometria - Inferência

8/16/2019 Econometria - Inferência

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Econometria

1. Inferência

Danielle Carusi Machado - UFF – Econometria

1/2016



Distribuição Normal de ε

Usada para facilitar as derivações deestatísticas de testes em amostras finitas.

Derivação das distribuições exatas dasestatísticas t, F.

I N X 2,0~/



Inferência – hipótese de

normalidade

12 )'(,~| X X N X b

Distribuição normal multivariada, desta forma, cada elemento

de b, tem uma distribuição normal da seguinte forma:

12 )'(,~|

kk k k

X X N X b



Testes de hipóteses clássico

Usando a regressão linear gostaríamos de testar a

validade de uma teoria que formulamos nonosso modelo estatístico.

O modelo é usado para testar uma hipótese sobreo processo de geração de dados, descrito pelo

nosso modelo.





Estimando um Intervalo de

Confiança Assumindo normalidade de ε :

bk ~ N[βk ,vk 2] para o verdadeiro βk .

(bk -βk )/vk ~ N[0,1]

vk

= [σ2( X’X )-1]kk

não é conhecida pois σ2 deve serestimada.

Usando s2 ao invés de σ2, (bk -βk )/est.(vk ) ~ t[n-K].

(Prova: razão de uma normal e da raiz quadrada de umaqui-quadrada/grau de liberdade)

Utilizamos os valores críticos de uma distribuição t-studentao invés de uma normal padrão.

1)(Pr2 /2 / k k b k k b k s t b s t b ob



Testando a hipótese usando um

intervalo de confiançaO IC nos dá o conjunto de valores plausíveis –

região de aceitação!

Testando a hipótese que um coeficiente é igual a

zero ou igual a qualquer outro valor particular:O valor hipotético está dentro do IC?

O valor hipotético está dentro do conjunto devalores plausíveis?



Testando a hipótese para um

parâmetro – teste t Comece com a hipótese nula.

Por exemplo, H0: j=0

Se aceitamos a nula, aceitamos que x j , após

controlarmos pelos outros x ’s, não tem efeito emy. Precisamos de uma hipótese alternativa, H1, eum nível de significância.

H1 pode ser unicaudal ou bicaudal.

H1: j > 0 e H1: j < 0 são unicaudais. H1: j 0 é bicaudal.




parâmetro – teste t - unilateral Se queremos apenas 5% de probabilidade de

rejeitar H0 caso ela seja, então dizemos quenosso nível de significância é de 5%.

Escolhido um nível de significância, , olhamosno (1 – )-ésimo percentil na distribuição t com n– k graus de liberdade e chamamos esse valor, c ,de valor crítico.

Rejeitamos a hipótese nula se a estatística t é

maior que o valor crítico. Se a estatística t for menor que o valor crítico,

então não rejeitamos a nula



yi = 0 + 1 xi1 + … + k xik + ui

H0: j = 0 H1: j > 0


parâmetro – teste t

Não rejeitamos

Rejeitamos





Como a distribuição t é simétrica, testar H1: j <0 é direto. O valor crítico é simplesmente o

negativo do anterior. Rejeitamos a nula se t < –c; se t > –c, então não

rejeitamos a nula.

Para um teste bicaudal, escolhemos um valor

crítico baseado em /2 e rejeitamos H1: j 0 seo valor absoluto da estatística t for > c.



Testando a hipótese para um parâmetro

– teste t – hipótese bilateral yi = 0 + 1 X i1 + … + k X ik + ui

H0

: j

= 0 H1

: j

≠ 0

c0

-c

Rejeitamos Rejeitamos

Não rejeitamos





Como a distribuição t é simétrica, testar H1: j <0 é direto. O valor crítico é simplesmente o

negativo do anterior. Rejeitamos a nula se t < –c; se t > –c, então não

rejeitamos a nula.

Para um teste bicaudal, escolhemos um valor

crítico baseado em /2 e rejeitamos H1: j 0 seo valor absoluto da estatística t for > c.





Calculando o p -valor do teste t Uma alternativa ao procedimento clássico de

teste é perguntar: “qual é o menor nível designificância ao qual a nula seria rejeitada?”

Calcule a estatística t , e olhe em que percentilela está na distribuição t apropriada – este é op -valor.

O p -valor é a probabilidade de observarmos

valores iguais ou maiores (em valor absoluto) àestatística t obtida se a nula for verdadeira.



Testando a Hipótese para uma

combinação linear: Intervalo de confiança Aplicação: Decomposição Oaxaca Blinder

Em um estudo de oferta de trabalho são estimadas duasregressões separadas, uma para homens (nm) e outra

para mulheres (nf ).

Estamos interessados em comparar estas duas regressõese, particularmente, se há discriminação salarial.

f ,,,

m,,,

1...n jonde 'ln

1...nionde 'ln

j f f j f j f

i m m i m i m

x wage

x wage





Testando a Hipótese para uma

combinação linear: Intervalo de confiançaEsta decomposição pode ser computada usando a média

dos regressores e estaremos interessados em formularum intervalo de confiança para o 1º. termo.

Por hipótese, considera-se que os dois conjuntos de

observações são independentes.Os estimadores bm e bf são independentes com médias

iguais a βm e βf e matrizes de covariância σm2( X m’X m)-1

e σf 2( X f ’X f )

-1

A matriz de covariância da diferença é a soma destas duas

matrizes: σm2

( X m’X m)-1

+ σf 2

( X f ’X f )-1

IC para d = bm – bf



Múltiplas restrições lineares Podemos testar conjuntamente múltiplas

hipóteses sobre os parâmetros.

Um exemplo é do “restrição de exclusão” –

queremos testar se um grupo de parâmetros éigual a zero.

Agora, a hipótese nula é algo do tipo

H0: k-q+1 = 0, , k = 0

A alternativa é H1: H

0é falsa, ou seja, pelo

menos um dos ́ s é diferente de zero.





Teste de restrição de exclusão

O teste é feito estimando o “modelorestrito” sem x k-q+1,, …, x k , assim como o “modelo irrestrito” com todos os x ’s.

Intuitivamente, queremos saber se x k-q+1,,…, x k causam uma variação suficientementegrande na SQR

.irrestritoirerestritoér

onde,1

k nSQR

qSQRSQR

F ir

ir r



A estatística F A estatística F é sempre positiva, uma vez que

a SQR do modelo restrito não pode ser menorque a do modelo irrestrito.

A estatística F mede o crescimento relativo naSQR quando se passa do modelo irrestrito parao modelo restrito.

q = número de restrições

n – k – 1 = grau de liberdade do modelo

irrestrito





0 c

f(F)

F

Rejeita

Não rejeita

Rejeita H0 ao

nível de

significância se

F > c

A estatística F



A estatística F em função do R 2

Podemos usar o fato de que, em qualquerregressão, SQR = SQT(1 – R 2) e substituirna fórmula:

.irrestritoéirerestritoér

onde,11 2

22

k n R

q R R F

ir

r ir



Significância da regressão

Um caso especial é o testeH0: 1 = 2 =…= k = 0.

Como o R 2 do modelo com apenas o

intercepto será zero, a estatística F serásimplesmente:

11 2

2

k n R

k R F



Restrições lineares gerais A forma básica da estatística F é válida para

qualquer restrição linear.

Primeiro estime os modelos irrestrito e restrito.

Em cada caso, anote a SQR e substitua nafórmula.



Exemplo: O modelo is votoA = 0 + 1log(gastoA) +

2log(gastoB ) + 3prtystrA + u.

Agora a nula é H0: 1 = 1, = 0.

Substituindo a restrição: votoA = 0 +log(gastoA) + 2log(gastoB ) + u .

Agora votoA - log(gastoA) = 0 + 2log(gastoB ) + u é o modelo restrito.



Estatística F : Resumo Da mesma forma que no teste t , o p -valor

pode ser calculado olhando no percentil dadistribuição F apropriada.

Se apenas uma exclusão está sendo testada,então F = t 2 e o p -valor será o mesmo.



Formas funcionais e mudança

estrutural

• Variáveis binárias

• Não linearidade nas variáveis

• Modelagem e teste de mudança estrutural



Variáveis binárias numa regressãoVariáveis binárias ou dummy:

-valor 1 para algumas observações (efeito ou pertencem a algum grupo) e zero para

observações restantes.

-Deslocamentos discretos de uma função dentro do modelo de regressão.

- Efeito tratamento

- Exemplos: efeito da universidade nos ganhos ao longo da vida, diferenças de sexo no

comportamento da oferta de trabalho, etc.



Diversas categorias-Conjunto de variáveis binárias

Exemplo: dummies para correção de fatores sazonais

-Armadilha da variável dummy



Diversos grupos- Exemplo: vários estados para 10 anos.



Fatores qualitativos-Exemplo: níveis educacionais

Variável discreta: 0 – sem escolaridade (SE), 1 – Fundamental (F), 2 – Médio (M), 3 –

Superior (S).

O que acontece???

Modelo mais flexível (mais alto nível alcançado)

Fazer esperança condicional: E(renda/idade, SE), E(renda/idade, F), E(renda/idade, M),

E(renda/idade, S)



Regressão “Spline”- Dados cross section para indivíduos de diversas idades: alguns padrões são específicos

para determinadas faixas etárias.

- 18 anos: fim do ensino médio

- 22 anos: fim da faculdade.

-Amostra pode ser dividida em 3 grupos.



Não linearidade de variáveis- O modelo de regressão deverá ser escrito de uma forma mais geral.

um conjunto de funções linearmente independentes de z.

Seja g(y) uma função do y observado, o modelo de regressão nesta forma geral é:

Como é o modelo de regressão linear??



Formas funcionais

Termos de interaçãoExemplos





Teste Chow: exemplo



Algebra Teste Chow

1960-1973 1960-1973 1960-19731

1974-1995 1974-1995 1974-19952

1960-1973 1960-1973 19

1974-1995 1974-1995

Unrestricted regression is

Restricted regression is

y X 0

y 0 X

y X

y X

60-1973 1960-1973

1974-1995 1974-1995

1 2

1 2 1 2

In the unrestricted model, = [ ,- ], = .= ;

[Var( , )] = Var[ ] Var[ ] (no covariance)

R I I q 0Rb - q b b

R b b R' b b





Econometria

Multicolinearidade

4. Testes de hipóteses no modelo de regressão linear

5. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO

Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria

2/2015



Multicolinearidade

Característica do banco de dados que afeta a matriz de covariância doEstimador de MQO.

Considere um estimador de um dos parâmetros k : E[bk ] = k (não viesado)

Var[b] = 2( X’X )-1 .

A variância de bk é o k -ésimo elemento da diagonal da matriz 2( X’X )-1

Escreva [X,z] sendo [outros xs , xk ] = [ X 1, x2]

M1 matriz que gera os resíduos da projeção de um vetor no subespaçoformado pelas colunas de X 1.

O elemento da diagonal será: [ x2M1 x2]-1 que corresponde ao recíproco da

soma do quadrado dos resíduos da regressão de x2 em X 1.



Variância do estimador de MQO

A variância estimada de bk é

Var[bk / X ] =

Quanto maior o fit da regressão de x2 em X 1, maior a variância. Nolimite, um ajuste perfeito produz uma variância infinita.

.

)1()()1(

222.2

2

2

1

222.2

2

S R

s

x x R

s

n

i

i



Variância do estimador de MQO

Forma mais geral

Defina a matriz X que contém uma constante e K-1 variáveis explicativas

A variância estimada de bk é

Var[bk / X ] =

n

i

k ik k x x R

s

1

22.

2

1



Multicolinearidade

Não existe “cura” para a colinearidade (análise componente principal).

Existem “medidas” de multicolinearidade, contudo não há solução.

Entender as implicações para a estimação:1) Pequenas mudanças nos dados causam grandes variações nas estimativas

dos parâmetros;2) Os coeficientes estimados podem ter erro padrão elevado e baixo nível de

significância, apesar da significância conjunta e de um bom grau deajuste;

3) Os coeficientes podem ter o sinal contrário e magnitudes implausíveis.



Multicolinearidade

O que é melhor:

1) Incluir uma variável que causa colinearidade, ou;

2) Eliminá-la e gerar um estimador viesado?

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