Econometria Series Temporais

ECONOMETRIA

Prof. Patricia Maria Bortolon, D. Sc.

Séries Temporais

Fonte: GUJARATI; D. N. Econometria Básica: 4ª Edição.

Rio de Janeiro. Elsevier- Campus, 2006

Processos Estocásticos

• É um conjunto de variáveis aleatórias ordenadas no

tempo.

– Variável aleatória contínua: Y(t)

– Variável aleatória discreta: Yt

• O índice Ibovespa é um processo estocástico.

• Um determinado valor do índice Ibovespa no tempo, é

uma realização particular entre todos os possíveis

valores.

• População ↔ Amostra

• Processo Estocástico ↔ Realização

Processos Estocásticos

• Processo Estocástico ↔ Realização

• “No estudo de séries temporais usamos uma realização

particular para fazer inferências sobre o processo

estocástico subjacente”

Processos estocásticos estacionários

• = fracamente estacionário = estacionário em

covariâncias = estacionário de segunda ordem

Média: E(Yt) = µ Constante ao longo

do tempo

Variância: Var(Yt) = E(Yt - µ)2 = σ2 Constante ao longo

do tempo

Covariância: γk = E[(Yt - µ)(Yt+k - µ)] Depende apenas do

intervalo entre os

dois períodos de

tempo

Processos estocásticos estacionários

• “Se uma série temporal é estacionária, sua média, variância e

autocovariância (em diferentes defasagens) permanecem as

mesmas, não importa qual seja o ponto em que as medimos: isto

é, elas não variam com o tempo.”

• Séries desse tipo tendem a retornar para sua média (reversão à

média);

• As flutuações em torno da média não variam muito.

Ruído Branco

• Ou Processo Puramente Aleatório

• Quando:

– Sua média é zero;

– A variância σ2 é constante;

– É serial não correlacionado.

Processo Estocástico Não-Estacionário

• A média ou a variância se alteram ao longo do tempo;

• Neste tipo de série todo o resultado da análise só é

válido para o período analisado, não é possível

extrapolar para outros períodos de tempo.

• O exemplo clássico é o modelo de passeio aleatório

– Preços de ações, taxas de câmbio são ditos passeios

aleatórios, ou seja, não-estacionários;

– Podem ser de dois tipos:

• Passeio aleatório sem deslocamento

• Passeio aleatório com deslocamento

Passeio Aleatório sem Deslocamento

• ut é um termo de erro de ruído branco (média e

variâncias constantes)

• O modelo acima é um AR(1)

• Hipótese do Mercado de Capitais Eficiente: argumenta

que o preço das ações são um passeio aleatório. Não é

possível prever o preço de amanhã com base no preço

de hoje.

ttt uYY 1


• A média é igual ao valor de partida

• A variância aumenta com o tempo (não estacionária)

• Há persistência dos choques aleatórios = o impacto

demora a desaparecer = memória infinita

2

0

0

)var(

)(

tY

YYE

uYY

t

t

tt


• A primeira diferença é estacionária!!!

• ut é ruído branco conforme definido anteriormente

tttt uYYY )( 1

Passeio Aleatório com Deslocamento

• ut é um termo de erro de ruído branco (média e

variâncias constantes)

• δ é conhecido com parâmetro de deslocamento

• Yt se desloca para cima ou para baixo dependendo de δ

• Este também é um modelo AR(1)

ttt uYY 1

ttt uYY 1

Passeio Aleatório com Deslocamento

• A média e a variância aumentam com o tempo

• Passeios aleatórios com ou sem deslocamento são

processos são processos estocásticos não estacionários

• Passeio Aleatório = Processo de Raiz Unitária

2

0

)var(

)(

tY

tYYE

t

t

Processo de Raiz Unitária

• Se ρ = 1 temos um Passeio Aleatório sem

Deslocamento

• É uma situação de não-estacionariedade

• não-estacionariedade = passeio aleatório = raiz

unitária

• Se | ρ | ≤ 1 a série é estacionária

111 ttt uYY

Processos estocásticos de tendência estacionária

e estacionários em diferenças

• Considere o seguinte modelo de série temporal:

• Passeio aleatório puro: se β1=0, β2=0, β3=1

• escrevendo:

• torna-se estacionário. Portanto, um modelo de passeio

aleatório sem deslocamento é um processo

estacionário em diferenças

ttt uYtY 1321

ttt uYY 1

tttt uYYY )( 1




• Passeio aleatório com deslocamento: se β1≠0, β2=0,

β3=1

• escrevendo:

• é um processo estacionário em diferenças. A tendência

β1 pode ser positiva ou negativa.

ttt uYtY 1321

ttt uYY 11

tttt uYYY 11)(




• Tendência determinística: se β1≠0, β2 ≠ 0, β3=0

• É um processo estacionário em tendência

• A variância e a média não são constantes, entretanto, a

média pode ser prevista:

• daí, a série Yt – E(Yt) será estacionária pós-remoção

da tendência.

ttt uYtY 1321

tt utY 21

tYE t 21)(



• Passeio aleatório com deslocamento e com tendência

determinística: se β1≠0, β2 ≠ 0, β3=1

• A variância e a média não são constantes, entretanto, a

média pode ser prevista:

• que significa que Yt é não estacionário.

ttt uYtY 121

tttt utYYY 211)(



• Tendência determinística com componente auto-

regressivo AR(1) estacionário: se β1≠0, β2 ≠ 0, β3<1

• É estacionário em torno de uma tendência

determinística.

ttt uYtY 1321

Processos estocásticos integrados

• Quando um modelo é não-estacionário mas sua

primeira diferença é estacionária, diz-se que ele é

integrado de ordem 1, ou, I(1)

• Se para tornar a série estacionária tem-se que fazer a

primeira diferença e depois a diferença da primeira

diferença, ou seja, diferenciar duas vezes, diz-se que

ela é integrada de ordem 2, ou, I(2)

• E assim sucessivamente, uma série diferenciada d vezes

para se tornar estacionária, é integrada de ordem d, ou,

I(d)

• Se ela é estacionária desde o início, ela é I(0)

Processos estocásticos integrados

• Propriedades das séries integradas:

1. Se Xt ~ I(0) e Yt ~ I(1) => Zt = (Xt + Yt) = I(1)

2. Se Xt ~ I(d) => Zt = (a + bXt) = I(d)

3. Se Xt ~ I(d1) e Yt ~ I(d2) => Zt = (aXt + bYt) = I(d2), onde

d1 < d2

4. Se Xt ~ I(d) e Yt ~ I(d) => Zt = (aXt + bYt) = I(d*), onde d*

pode ser igual a d, mas em alguns casos d* < d

Portanto, cuidado ao combinar séries temporais que são

integradas de ordem diferente!!

O fenômeno da regressão espúria

• A partir de dois modelos de passeios aleatórios:

• Uma regressão de Yt contra Xt onde não se esperaria

mostrar relação significativa, pode apresentar R2 alto e

coeficientes altamente significativos => é o fenômeno

da regressão espúria

• Um sintoma é R2 > que a estatística d de Durbin-

Watson (que é um teste de autocorrelação)

• Portanto, cuidado ao interpretar resultados de

regressões com variáveis que são I(1)

ttt

ttt

vXX

uYY

1

1

Testes de Estacionariedade

• Análise Gráfica

– Observar se há tendências de aumento ou diminuição na série

temporal;

• Função de Autocorrelação e Correlograma

– A função de autocorrelação amostral mede para várias

defasagens k:

n

YY

n

YYYY

t

ktt

k

kk

2

0

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

Testes de Estacionariedade

• Função de Autocorrelação e Correlograma

– Assim, observa-se os valores de autocorrelação verificando

até que defasagem ele é relevante.

– Observar figuras 21.6 e 21.7

– Como decidir se o coeficiente de correlação em determinada

defasagem é significativo?

• Verificando se os intervalos de confiança para ρk incluem o valor 0,

sabendo-se que, segundo Bartlett, ρk ~ N (0; 1/n) => complicado!

• Olhando a estatística Q de Box e Pierce e a estatística LB de Ljung e

Box

• A hipótese nula é de que todos os ρk são até aquela defasagem iguais a

zero

• Ao rejeitar a hipótese nula, significa que algum coeficiente de

correlação é diferente de zero e, portanto, a série é não-estacionária

Teste da Raiz Unitária

• Para verificar a estacionariedade.

• Partindo de:

• onde ut é um termo de erro de ruído branco

• estimamos

111 ttt uYY

)1(onde

)1(

1

1

111

ttt

tt

ttttt

uYY

uY

uYYYY


• e verificamos se δ é igual a zero ou não. Se for zero,

concluímos que Yt é não-estacionário, mas se for

negativo, concluímos que Yt é estacionário.

• O valor t segue a estatística τ (tau)

• Este é o teste de Dickey-Fuller (DF)

• Dickey e Fuller desenvolveram valores críticos para

três diferentes naturezas de processos de raiz unitária

Yt é um passeio aleatório:

Yt é um passeio aleatório com

deslocamento:

Yt é um passeio aleatório com

deslocamento em torno de uma

tendência estocástica:

ttt uYY 1

ttt uYY 11

ttt uYtY 121


• O procedimento correto é estimar os três modelos

anteriores;

• Obter o coeficiente de Yt-1 e dividi-lo pelo desvio-

padrão para calcular a estatística tau;

• Consultar as tabelas de Dickey-Fuller;

• Se o valor absoluto exceder o valor crítico, rejeitamos a

hipótese de que δ = 0 e, nesse caso, a série temporal é

(i) estacionária com média zero no caso da primeira

equação; (ii) estacionária com média diferente de zero

no caso da segunda e (iii) estacionária em torno de uma

tendência determinística no caso da terceira equação.

O teste de Dickey-Fuller aumentado

• Para levar em consideração a possibilidade de ut ser

correlacionado;

• As 3 equações anteriores são acrescidas de valores

defasados da variável dependente ΔYt.

• onde εt é um termo de ruído branco e ΔYt-1=(Yt-1 - Yt-2),

ΔYt-2=(Yt-2 - Yt-3)

t

m

i

ititt YYtY

1

121

Transformação de Séries Temporais Não-

Estacionárias

• Processos estacionários em diferenças

– Se uma série tem raiz unitária, as primeiras diferenças dessa

série temporal são estacionárias

• Processo estacionário em tendência

– Se

– será estacionária

– e denominada série temporal sem tendência

tt utY 21

)ˆˆ(ˆ21 tYu tt

Modelos de Previsão

• Para modelos de previsão ver Levine, Cap. 16:

• Para ajuste exponencial – seção 16.3

• Modelo de tendência linear, modelo de tendência

quadrática e modelo de tendência exponencial – seção

16.4

• Previsão de séries temporais para dados sazonais –

seção 16.7

Modelagem de séries temporais segundo os

métodos auto-regressivo, das médias

móveis e ARIMA

Um processo auto-regressivo (AR)

• onde δ é a média de Y

• ut é um ruído branco

• Y no período t é uma proporção (=α1) do seu valor no

período (t-1) mais um choque ou distúrbio aleatório no

período t

• Os valores de Y são expressos em torno de sua média

• Este é um processo auto-regressivo estocástico de

primeira ordem, ou AR(1)

ttt uYY )()( 11

Um processo auto-regressivo (AR)

• É um processo auto-regressivo estocástico de ordem p,

ou AR(p)

• Neste tipo de modelo consideram-se apenas os valores

atual e anteriores de Y;

• “os dados falam por si mesmos”

tptpttt uYYYY )(...)()()( 2211

Um processo de média móvel (MA)

• onde µ é uma constante

• u é o termo de erro estocástico de ruído branco

• Y no período t é igual a uma constante mais uma média

móvel dos termos de erro presentes e passados

• Y segue um processo de média móvel de primeira

ordem ou MA(1)

• De forma mais geral, um processo MA(q)

110 ttt uuY

qtqtttt uuuuY ...22110

Um processo auto-regressivo e de médias

móveis (ARMA)

• ARMA(1,1)

• Em um processo ARMA(p,q) haverá p termos auto-

regressivos e q termos de média móvel

11011 tttt uuYY

Um processo auto-regressivo integrado e de

médias móveis (ARIMA)

• Lembrando que se uma série temporal for integrada de

ordem 1, isto é, se for I(1), suas primeiras diferenças

serão I(0), ou seja, estacionárias. Se for I(2) sua

segunda diferença é I(0).

• Se uma série temporal é I(d), depois de diferenciá-la d

vezes obteremos uma série I(0)

• Se após diferenciar uma série d vezes, aplicarmos um

modelo ARMA(p,q), dizemos que a série temporal é

ARIMA(p, d, q), uma série temporal auto-regressiva

integrada e de médias móveis

Um processo auto-regressivo integrado e de

médias móveis (ARIMA)

• Uma série temporal ARIMA(2,1,2) precisa ser

diferenciada uma vez (d=1) antes de tornar-se

estacionária, e assim a série estacionária obtida pode

ser modelada num processo ARMA(2,2).

Método Box-Jenkins

• Ajuda a identificar se um processo é AR puro, MA

puro, ARMA ou ARIMA

• Consiste em 4 etapas:

1. Identificação: encontra os valores adequados de p, d e q

2. Estimação: por MQO ou outros métodos não-lineares

3. Verificação de diagnóstico: para verificar a qualidade do

ajuste

4. Previsão: bom para previsões, especialmente de curto prazo

Método Box-Jenkins - Identificação

• Ferramentas: função de autocorrelação, função parcial

de autocorrelação e os resultantes correlogramas

• Autocorrelação parcial, ρkk, é a correlação entre Yt e

Yt-k, depois de removido o efeito dos Y intermediários

• O correlograma mostra em que defasagem a correlação

e a correlação parcial deixam de ser diferentes de zero

• Ver figuras 22.2 e 22.3

• Como definir qual o melhor modelo?

– Verificando quais defasagens apresentam autocorrelação

parcial diferente de zero. No exemplo do PIB diferenciado, os

lags 1, 8 e 12 sugerem um AR:

onde Yt* são as primeiras diferenças

*

1212

*

88

*

11

*

tttt YYYY

Método Box-Jenkins - Identificação

• Também podem ser observados os padrões teóricos das

funções de autocorrelação e autocorrelação parcial

Tipo do

modelo

Padrão típico da função de

autocorrelação

Padrão típico da função parcial

de autocorrelação

AR(p) Delicna exponencialmente ou com

um padrão de onde senóide

amortecida, ou ambos

Apresenta picos significativos até p

defasagens

MA(q) Apresenta picos significativos até q

defasagens

Declina exponencialmente

ARMA(p,q) Diminui exponencialmente Diminui exponencialmente

Método Box-Jenkins - Estimação

• No exemplo do PIB, com dados em primeira diferença,

estima-se:

• avaliando normalmente a significância estatística dos

coeficientes

*

1212

*

88

*

11

*

tttt YYYY

Método Box-Jenkins - Diagnóstico

• Após a estimação, procede-se à análise dos resíduos:

– Função de autocorrelação e autocorrelação parcial: o ideal é

que não apresentem valores significativamente diferentes de

zero

– Observa-se a estatística Q de Box-Pierce

– Observa-se a estatística de Ljung-Box

• Se a partir dessas análises concluir-se que os resíduos

são puramente aleatórios, o modelo estimado apresenta

bom ajuste

Método Box-Jenkins - Previsão

• Um modelo que foi estimado com dados em primeira

diferença irá fornecer na previsão as variações de Y

• Para obter a previsão de Y, é preciso “desmanchar” a

transformação das primeiras diferenças (se

“diferenciamos” para obter a série em diferenças, agora

“integramos” para retornar aos valores de Y)

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