ED Isabel 10-02 SEI uni I · Medidas de dispersão Exemplos: 1) A Confederação de atletismo do país A está escolhendo o seu representante

Unidade I

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Profa. Isabel Espinosa

Estatística

Veremos nesta unidade:

Variáveis

Tabela de frequência

Gráficos

Medidas de tendência central -media,mediana e moda

Medidas de dispersão - variância, desvio padrão e coeficiente de variação

Estatística

Estatística

DESCRITIVA INFERENCIAL(INDUTIVA)

Estatística

Descritiva-

Inferencial – conclusões de uma amostra

Organização Sumarização Apresentação gráfica

para a população

Estatística

Estatística descritiva

Coleta

Organização

Análise

Interpretação de dados

Auxilia tomada de decisões

Estatística

Dados –

Informações Medições Resultados de pesquisas Contagem

Tipos : qualitativos , ordinais, métricos

Estatística

Qualitativos Cor dos olhos Sexo Tipo sanguíneo

Ordem de chegada emOrdinais

Ordem de chegada em uma competição

Avaliação de uma prova em conceitos

Peso

Métricos

Peso Estatura Área Tempo

Estatística

Dados brutos: não organizados

Rol: dados ordenados

Exemplo:

Numa sala com 10 pessoas perguntou-se a estatura (em cm) de cada um, os resultados obtidos foram:

178, 160, 165,159,198,174,161,186,165, 175

Determine o rol desta pesquisaDetermine o rol desta pesquisa.

Estatística

Dados brutos:

178, 160, 165,159,198,174,161,186, 165,175

Rol:

159 160 161 165 165 174 175 178 159, 160,161,165,165, 174,175, 178, 186,198

Estatística

População: todos os elementos do sistema em estudo

Amostra: parte da população

Ex. município X, 50 mil habitantes

P l ã 50 ilPopulação: 50 mil

Amostra:

100 habitantes (insuficiente)

2 mil habitantes (significativa)

Estatística

Variável: discreta ou contínua

Discreta: amostra grande, poucos resultados distintosgeralmente contagem

Contínua: amostra grandeContínua: amostra grande,muitos resultados distintosgeralmente medições

Estatística

Apresentação dos dados: tabelas, gráficos

Tabelas de frequência(variável discreta)

xi (anos) Frequências

14 9

15 10

Idade dos alunos1º ano ensino médio Escola X

15 10

16 16

total 35

Fonte: secretaria da escola X

Estatística

Tabelas de frequência(variável contínua)

Salário dos funcionários da empresa AAA

Faixa salarial (R$)

Nº de funcionários

480 680 4

680 880 10

880 1080 3880 1080 3

Total 17

Fonte: RH da empresa AAA

Estatística

Gráficos - Alguns exemplos

Jornal O Estado de São Paulo 28/01/11

Estatística

O estado de São Paulo 28/01/11

Estatística

Gráfico de setores

Vendas

1º Tri

2º Tri

Histograma

3º Tri

4º Tri

F ê i

128642

Frequência

0 2 4 6 8 10 notas

Interatividade

Os dados: cor da pele, idade dos alunos, classificação em uma prova de atletismo, volume são respectivamente:

a) Qualitativo,métrico, ordinal, métrico;

b) Qualitativo ordinal métrico ordinal;b) Qualitativo,ordinal, métrico, ordinal;

c) Ordinal,métrico, qualitativo, métrico;

d) Qualitativo,métrico, métrico, ordinal;

e) Métrico, qualitativo, ordinal, métrico.


Frequência absoluta (fi) - dados coletados

Frequência relativa absoluta (fri)

n = nº total de dados

Frequência rel. abs. percentual (fri %) –

fi

nfri =

fi

nfri (%) = . 100


Frequência absoluta acumulada (fac) –Soma com as frequências anteriores

Exemplo:

Observando as médias finais dos alunos de sua turma a professora de matemáticade sua turma a professora de matemática resolveu fazer uma tabela de frequênciae representar também as frequênciasrelativa e acumulada.

As médias encontradas formam:

4 5 4 6 7 5 4 5 6 8 9 5 6 4 9 8 4 , 5, 4, 6, 7, 5, 4, 5, 6, 8, 9, 5, 6, 4, 9, 8, 6, 7,4, 5, 7, 8, 5, 8, 5, 6, 8, 7, 8, 5


Construa a tabela de frequência, indicando frequência relativa percentual e acumulada.Sabendo que para aprovação é necessário média maior ou igual a 6, qual o percentual de alunos aprovados?

Dados brutos- (não agrupados)

4 , 5, 4, 6, 7, 5, 4, 5, 6, 8, 9, 5, 6, 4, 9, 8, 6, 7,4, 5, 7, 8, 5, 8, 5, 6, 8, 7, 8, 5.

Rol:

4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 64,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,

7,7,7,7, 8,8,8,8,8,8,9,9


xi fi

4 5

5 8


6 5

7 4

8 6

9 2

total 30


5Frequência relativa:

xi fi fri

4 5 0,1667

530

= 0,16667

0,1667

5 8 0,2667

6 5 0,1667

7 4 0,1333

8 6 0,2000

9 2 0,0667

total 30 1


Frequência relativa:

xi fi frifri (%)

4 0 166 16 6

530

. 100 = 0,16667.100 = 16,67 %

4 5 0,1667 16,67

5 8 0,2667 26,67

6 5 0,1667 16,67

7 4 0,1333 13,33

8 6 0 2000 20 008 6 0,2000 20,00

9 2 0,0667 6,67

total 30 1 100


Frequência acumulada:

xi fi frifri (%) fac

4 5 0,1667 16,67 5

5 8 0,2667 26,67 5+8=13

6 5 0,1667 16,67 5+13=18

7 4 0,1333 13,33 4+18=22

8 6 0,2000 20,00 6+22=28

9 2 0,0667 6,67 2+28=30

Aprovados:

16,67+13,33+20+6,67 = 56,67 %

total 30 1 100


Distribuição para variável contínua- dados agrupados

Exemplo:

Um terminal de caixa eletrônico recebe em um dia 25 pagamentos de boletosem um dia 25 pagamentos de boletos, os valores em reais estão indicados a seguir, faça a tabela de frequência e indique o percentual de pagamentos que foram inferiores a R$ 900,00.


Dados brutos:

89,5 35,9 123 356,78 978,5856,18 865 1250,89 1004 259,34

300 597 645,35 1500 234,5765 25 879 45 921 995 54 1304 55

Rol:

765,25 879,45 921 995,54 1304,5535 476 1450 698,75 655

35 35,9 56,18 89,5 123234 5 259 34 300 356 78 476234,5 259,34 300 356,78 476

597 645,35 655 698,75 765,25865 879,45 921 978,58 995,54

1004 1250,89 1304,55 1450 1500


35 35,9 56,18 89,5 123234,5 259,34 300 356,78 476

597 645,35 655 698,75 765,25865 879,45 921 978,58 995,54

1004 1250,89 1304,55 1450 1500

Amplitude total: maior – menor

At = 1500 – 35 = 1465

Nº de classes: 525nk

Amplitude de classe:

Ac = At / k = 1465 / 5 = 293

Ac ≈ 300


35 35,9 56,18 89,5 123234,5 259,34 300 356,78 476

597 645,35 655 698,75 765,25865 879,45 921 978,58 995,54

1004 1250,89 1304,55 1450 1500

5 classes de amplitude 300

xi fi

0 300 7

300 600 4

600 900 6600 900 6

900 1200 4

1200 1500 4

total 25


xi fi frifri (%)

0 300 7 0,2800

300 600 4 0,1600

600 900 6 0,2400

900 1200 4 0 1600900 1200 4 0,1600

1200 1500 4 0,1600

total 25 1


xi fi frifri (%)

0 300 7 0,2800 28

300 600 4 0,1600 16

600 900 6 0,2400 24

900 1200 4 0,1600 16

1200 1500 4 0,1600 16

total 25 1 100

Pagamentos inferiores a R$ 900,0024 + 16 + 28 = 68, isto é, 68%

Interatividade

Considerando a tabela de distribuição é correto afirmar que a frequência absoluta relativa percentual do elemento xi = 17 é igual a:

xi fi

12 3

15 5

17 12

20 10

a) 12%

b) 17%

c) 20%

d) 40%

22 6

25 4

40

e) 30%

Gráficos

Gráfico de barras

xi (ano) fi

14 9

Idade dos alunos1º ano ensino médio Escola X

14 9

15 10

16 16

20

Idade dos alunos – 1º anoensino medio Escola Xfi

05

101520

14 15 16 idade

Gráficos

Histograma

Um terminal de caixa eletrônico recebe em um dia 25 pagamentos de boletos, os valores em reais estão indicados na tabela a seguir, construa o histograma. g g

xi fi

0 300 7

300 600 4

600 900 6600 900 6

900 1200 4

1200 1500 4

total 25

Gráficos

7

6

fi

4

0 300 600 900 1200 1500 xi (reais)

Gráficos

7

6

fi

4

0 300 600 900 1200 1500 xi (reais)

Gráficos

Polígono de frequência

7

fi

6

4

0 300 600 900 1200 1500 xi (reais)

Gráficos

Ogiva – gráfico das fac

xi fi fac

0 300 7 7

300 600 4 11

600 900 6 17

900 1200 4 21

1200 1500 4 25

total 25

Gráficos

25

21

17

fac

11

7

0 300 600 900 1200 1500 xi (reais)

Medidas de tendência central

Media, mediana e moda

Média aritmética ( )

Simples (variável discreta)

x

Onde: xi = valores da variável

n

xx

n

1 ii

n = número de valores


Exemplo:

Você almoçou fora todos os dias desta semana e deseja saber quanto gastou em média por dia, sendo os valores gastos em reais dados na tabela. g

9,50 12,30 10,50 9,80 15,70 11,50 12.90


Queremos determinar

9,50 12,30 10,50 9,80 15,70 11,50 12.90

x

xx

n

1 ii

74,117

20,827

90,1250,1170,1580,950,1030,1250,9n

x

Logo nesta semana você gastou em media R$ 11,74 por dia

Interatividade

A média dos valores é igual a:

a) 7,3

15 12 10 9 9 10 8

9 12 15 10 8 9 8

) ,

b) 9,1

c) 8,0

d) 10,29

e) 8,97)


Média ponderada:

As ocorrências podem ter peso diferente

Exemplo 1: Calcular a média dos valores

x

100 120 120 150 170

170 170 190 190 200


1º modo: (variável discreta, não agrupada)

100 120 120 150 170

170 170 190 190 200

1581580

10

200190190170170170150120120100n

xx

n

1 ii

15810


2º modo: (variável discreta, agrupada)


xi fi xi . fi

100 1 100 1581580f . x

x

n

1 iii

100 1 100

120 2 240

150 1 150

170 3 510

190 2 380

15810n

x

200 1 200

total 10 1580


Exemplo 2:Um terminal de caixa eletrônico recebe em um dia 25 pagamentos de boletos, os valores em reais estão indicados na tabela a seguir, determine o valor médio dos pagamentos efetuados

t dineste dia.

xi fi

0 300 7

300 600 4

600 900 6

900 1200 4

1200 1500 4

total 25


Neste caso devemos utilizar a expressão:

n

f . Pmx

n

1 iii

classes fi Pmi Pmi . fi

0 300 7 150 1050

300 600 4 450 1800

600 900 6 750 4500

900 1200 4 1050 4200

Pm1 = (0 + 300)/ 2 = 150

Pm1 . fi = 150 . 7 = 1050

1200 1500 4 1350 5400

total 25 16950


Valor médio de pagamento: R$ 678,00

67825

16950

n

f . Pmx

n

1 iii

p g $ ,


Mediana: elemento central dos dados ordenados

Moda: elemento com maior frequência

Exemplo:

) 3 3 4 5 5 5 6 7 7 8 9a) 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9

Moda: 5

b) 3 3 4 5 5 5 6 7 7 7 8 9

mediana

b) 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7,7, 8, 9

Bimodal: 5 e 7

Mediana = (5+6) / 2 = 5,5

Medidas de dispersão

VariânciaPopulacional (σ2)Amostral (s2)

Populacional (σ)Desvio padrão

(afastamento entre cada xi e )

Populacional (σ)Amostral (s)

x

Coeficiente de variação – (CV)

(compara a variação de conjuntos de dados com grandezas diferentes)


Exemplos:

1) A Confederação de atletismo do país A está escolhendo o seu representante para competir nos 100 m rasos, os seus 2 melhores atletas tem tempos parecidos. Para decidir o técnico resolveu analisar os tempos dos dois nas ultimas competições e vai escolher o que for mais regular.Para isso irá calcular o desvio padrão d t á ldos tempos e compará-los.Os tempos dos atletas em décimos de segundos são:


Tabela de frequência:

Atleta 1 102 99 97 98 98

Atleta 2 99 98 101 97

Atleta 1 Atleta 2

xi fi

97 1

98 2

xi fi

97 1

98 199 1

100 1

total 5

99 1

101 1

total 4


Atleta 1

xi fi xi . fi xi – x (xi – x )2 (xi – x )2.fi

97 1 97 - 1.4 1.96 1.96

98 2 196 - 0.4 0.16 0.32

99 1 99 0.6 0.36 0.36

100 1 100 1.6 2.56 2.56

total 5 492 5.2

492f . xn

ii4.98

5

492

nx 1 i

ii

1.14 s e 3.14

2.5

1-n

f . )x-x(s

n

1 ii

2

i2


Atleta 2

xi fi xi . fi xi – x (xi – x )2 (xi – x )2.fi

97 1 97 - 1.75 3.0625 3.0625

98 1 98 - 0.75 0.5625 0.5625

99 1 99 0.25 0.0625 0.0625

101 1 101 2.25 5.0625 5.0625

total 4 395 8.75

395f . xn

ii75.98

4

395

nx 1 i

1.71 s e 92.23

75.8

1-n

f . )x-x(s

n

1 ii

2

i2


Comparando os desvios temos:s1 = 1.14

s2 = 1.71

Atleta 1 é mais o regular .


Exemplo 2:

Um terminal de caixa eletrônico recebe em um dia 25 pagamentos de boletos, os valores em reais estão indicados na tabela a seguir, determine a variância, gdesvio padrão e coeficiente de variação.

xi fi

0 300 7

300 600 4

600 900 6

900 1200 4

1200 1500 4

total 25


n

Já sabemos que

Classes fi Pmi Pmi . fi

0 300 7 150 1050 1951488

67825

16950

n

f . Pmx

n

1 iii

i

2

i f.)xx(

300 600 4 450 1800 207936

600 900 6 750 4500 31104

900 1200 4 1050 4200 553536

1200 1500 4 1350 5400 1806336

total 25 16950 4550400

s2 = 189600, s = 435,43

64,22%100 . 6422,0

100.678

43.435100.

x

sCV

Interatividade

Um banco solicitou o levantamento do tempo de espera (em segundos) de seus clientes na central de atendimento. Foram verificados

t d 100 li t

xi fi

20 7

30 13

40 15

os tempos de 100 clientes, o tempo médio de espera e o desvio padrão são respectivamente:

a) 54,3 e 18,33

50 25

60 32

70 8

100

b) 44 e 19,39

c) 40,5 e 15,34

d) 48,6 e 13,93

e) 41,62 e 10,2

ATÉ A PRÓXIMA!

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