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Funcao do 2o grau: Equacao e Inequacao2a Edicao do Curso de Difusao Pre-Calculo aos alunos de
graduacao da ESALQ
Patricia Araripe e Pollyane Vieira
15 de fevereiro de 2019
Definicao (1)(Funcao) Dados dois conjuntos A e B nao vazios, uma relacao f de Aem B recebe o nome de funcao definida em A com imagens em B se, esomente se, para todo x ∈ A existe um unico correspondente emy ∈ B.
Definicao (2)(Funcao do 2o grau) Uma funcao do segundo grau ou quadraticaassocia a cada x ∈ R o elemento ax2 + bx + c ∈ R em que a 6= 0.
f : R→ R
f (x) = ax2 + bx + c
Observacao: O grau de uma funcao e determinado pelo maiorexpoente da variavel.
Exemplo (1)
1. f (x) = x2 − 3x + 22. f (x) = 2x2 + 4x− 33. f (x) = −3x2 + 5x− 14. f (x) = −2x2 + 5x5. f (x) = x2 − 4
Qual o valor dos coeficientes a, b e c nas funcoes acima?
PARABOLA
O grafico de uma funcao quadratica e sempre uma parabola,sendo esta com dois comportamentos diferentes.
RAIZ DA FUNCAO
Os valores que o grafico da funcao intercepta o eixo x saochamados de raızes ou zeros da funcao.
Sao os valores de x tais que f (x) = 0, ou seja,
ax2 + bx + c = 0.
Temos aqui uma equacao do 2o grau e para resolve-lautilizaremos a formula de Bhaskara, dada por:
Deve-se considerar os casos para ∆:
∆ > 0
A funcao possui 2 raızes reais.
∆ = 0
A funcao possui 1 raız real.
∆ < 0
A funcao nao possui raızes reais.
Exemplo (2)Determine as raızes das seguintes funcoes:
1. f (x) = x2 − 3x + 22. f (x) = 4x2 − 4x + 13. f (x) = x2 − 4x + 5
Solucao:1. S = {1, 2}2. S = { 1
2}3. S = ∅
VERTICE DA PARABOLA
O vertice V de uma parabola e representado pelo ponto deintersecao do eixo de simetria com a propria parabola, sendosuas coordenadas dadas por
Exemplo (3)Determine o vertice da parabola que representa as seguintes funcoes:
1. f (x) = x2 − 3x + 22. f (x) = 4x2 − 4x + 13. f (x) = x2 − 4x + 5
Solucao:1. V(3
2 ,−14 )
2. V(12 , 0)
3. V(2, 1)
O ponto de interseccao da parabola com o eixo y e (0, c).
CONJUNTO IMAGEM DA FUNCAO QUADRATICA
O conjunto imagem da funcao quadratica e determinado apartir do (yV) da parabola. Existem dois casos a se considerar:
a > 0A funcao apresentara um ponto de mınimo, em que yV e ovalor mınimo da funcao.
a > 0A funcao apresentara um ponto de maximo, em que yV e ovalor maximo da funcao.
ESTUDO DOS SINAIS DA FUNCAO QUADRATICA
Os sinais da funcao quadratica sao estudados por meio docoeficiente a e do ∆. Apresentam-se os possıveis casos:
INEQUACAO 2O GRAU
Uma inequacao e uma desigualdade, em que no lugar de umsinal de igual na sentenca matematica utiliza-se sinais de:
ax2 + bx + c� 0, em que a, b, c ∈ R a 6= 0
< Menor que> Maior que≤ Menor que ou igual a≥ Maior que ou igual a
Por exemplo, na desigualdade x2 + 6x + 9 > 0, tem-se:
Incognita⇒ x (expoente de x e igual a 2 )
1o membro⇒ x2 + 6x + 9
2o membro⇒ 0
Resolver a inequacao e encontrar todos os valores reais de xque tornem a desigualdade verdadeira e escrever o conjuntosolucao.
Considere os seguintes passos:
1. Igualar a sentenca do 2o grau a zero;
2. Localizar e (se existir) as raızes da equacao no eixo x;
3. Estudar o sinal da funcao correspondente, tendo-se comopossibilidades:
4. Escrever o conjunto solucao.
Exemplo (1)
Resolva as inequacoes:
1. x2 − 2x− 8 < 0.2. −x2 − 3x− 2 ≤ 03. 2x2 − 2x + 5 > 0
Solucao:1. S = {x ∈ R| − 2 < x < 4}2. S = {x ∈ R|x ≤ −2 ou x ≥ −1}3. S = R
SISTEMAS DE INEQUACOES DO 2O GRAU E
INEQUACOES SIMULTANEAS
Existem sistemas de inequacoes que aparecem uma ou maisinequacoes do 2o grau. A resolucao deve ser feita por:
1. Resolver cada inequacao separadamente;
2. Fazer a interseccao das solucoes usando as retas dosintervalos;
3. Dar a solucao.
Uma inequacao do 2o grau e simultanea quando aparecer duasdesigualdades numa so sentenca. A resolucao deve ser feita damesma maneira que em sistemas de inequacoes do 2o grau.
Exemplo (2)
Encontre o conjunto solucao das seguintes inequacoes:
1.{
x2 − 6x + 9 ≥ 03x− 6 > 0
2. 3 < x2 − 2x + 8 ≤ 8
Solucao:
1. S = {x ∈ R|x > 2}
2. S = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 2}
INEQUACAO PRODUTO E INEQUACAO QUOCIENTE
Algumas inequacoes apresentam o produto de funcoes,enquanto que algumas apresentam o quociente de funcoes.
Neste caso:
I Fazer a analise de sinais de todas as funcoes e;
I Determinar a solucao pela interseccao do estudo de sinaisdas funcoes das inequacoes.
Uma observacao importante na resolucao da inequacaoquociente e que a funcao expressa no denominador nao podeser igual a zero.
Exemplo (3)
Determine o conjunto solucao das inequacoes:
1.(x2 − 7x + 10
)(6x + 12) ≥ 0
2. −x2+4x−3−x+2 ≥ 0
Solucao:
1. S = {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 2 ou x ≥ 5}
2. S = {x ∈ R|1 ≤ x < 2 ou x ≥ 3}
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