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[email protected] SEMESTRAIS DE 3 GRAUEQUAES
DIFERENCIAISPROGRAMA DO CURSO DE EQUAES DIFERENCIAIS 1. Conceito de
Equaes Diferenciais2. Classificao das Equaes Diferenciais3. Modelos
Matemticos4. Tipos de Equaes Diferenciais4.1. Equaes Diferenciais
de Primeira Ordem4.1.1. Variveis Separveis4.1.2. Equaes
Homogneas4.1.3. Equaes Exatas4.1.4. Equaes Lineares4.1.5. Equaes de
Bernoulli4.1.6. Aplicaes das Equaes Lineares de Primeira Ordem4.2.
Equaes Diferenciais de Ordem Superior4.2.1. Equaes Diferenciais
Lineares de 2 Ordem Homogneas e No-homogneas4.2.2. Equaes
Diferenciais Lineares de Ordem Superior Homogneas e
No-homogneas4.2.3. Aplicaes de Equaes Diferenciais Lineares de 2
OrdemCONCEITO E CLASSIFICAO DAS EQUAES DIFERENCIAIS1. Seqncia: Funo
Derivada Equao Diferencial 2. Uma equao que contm as derivadas ou
diferenciais de uma ou mais variveis dependentes, em relao a uma ou
mais variveis independentes, chamada de EQUAO DIFERENCIAL
(ED).Nosso problema central: Dada uma ED como dy2xydx , que funo y
= f(x) satisfaz equao? O mtodo de encontrarmos essa funo ser
descrito ao longo do nosso curso.As Equaes Diferenciais so
classificadas:1) Quanto ao Tipoa) EquaesDiferenciaisOrdinrias(EDO)
Contmderivadasdeumaoumaisvariveisdependentescom relao a uma nica
varivel independente. Exemplos:( )du dvy x dx 4xdy 0 e xdx dx +
b)EquaesDiferenciaisParciais(EDP)Soaquelasqueenvolvemasderivadasparciaisdeumaoumais
variveis dependentes de duas ou mais variveis independentes.
Exemplos:2 22 2u v u u ue 2y x t x t NOTA: Em nosso curso
estudaremos somente as Equaes Diferenciais Ordinrias de uma varivel
dependente, em relao a uma nica varivel independente.1 AFONSO CELSO
FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul
GoiniaEmail: [email protected]) Quanto
OrdemAordemde uma ED dada pela derivada de maior ordemque comparece
na equao. Assim, a EDO 322x2d y dy5 4y edx dx _+ , uma EDO de 2
Ordem.3) Quanto LinearidadeUma Equao Diferencial dita linear quando
pode ser escrita sob a forma:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n 1 2n n 1 2
1 0n n 1 2d y d y d y dya x a x a x a x a x y g xdx dx dx dx+ + + +
+ L , que apresenta as seguintes propriedades:(i) A varivel
dependente y e todas as suas derivadas so do 1 grau.(ii) Os
coeficientes so todos dependentes apenas da varivel independente
x.Assim, so lineares as equaes diferenciais3 23 2 3x3 2d y d y dyx
x 3x 5y e e y'' 2y' y 0dx dx dx + + + e as equaes 323d yyy'' 2y' x
e y 0dx + so equaes diferenciais no-lineares.3. Exemplos
Resolvidos1. Classifique as Equaes Diferenciais:a)( ) 1 x y'' 4xy'
5y cos x + b)( )2 xx dy y xy xe dx 0 + c) 222dy dy1dx dx _ +
,d)( ) ( ) senx y''' cos x y' 2 2. Verifique se a funo dada
soluo da Equao Diferencial:a) 3x 3x 2xdy2y e ; y e 10edx +b) 1y' y
1; y xlnx x 0x >c)( )3y' xy' y; y x 1 + +MODELOS MATEMTICOS2
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Queda-LivreEquao Diferencial: 22d ygdt 2. Sistema Massa-Mola Equao
Diferencial: 22d xm kxdt 3. Pndulo SimplesEquao Diferencial: 22d
gsenl dt 4. Circuito Eltrico Simples em Srie RLCEquao Diferencial:(
)22d q dq 1L R q e tdt C dt+ + 5. Crescimento PopulacionalEquao
Diferencial: dPkPdt6. Exemplos Resolvidos1. Qual a ED para a
velocidade v de um corpo de massa m em queda vertical atravs de um
meio que oferece uma resistncia proporcional ao quadrado da
velocidade? 2. Encontre as EDS dos circuitos eltricos simples em
srie RC e LC, sujeitos a uma tenso externa e(t).EQUAES DE VARIVEIS
SEPARVEIS1. Tipo:( ) ( ) M x, y dx N x, y dy 0 + 2. Transforma-se
em: ( ) ( )( ) ( )dy dx0 ou F y dy G x dx 0F y G x+ + 3. Mtodos de
Separao: Direto Fatorao Artifcios de Clculo4. Exemplos Resolvidos3
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as EDOS por Separao de Variveis:a)( )dysen 5xdxb) 2dx 1 2ydy
ysenx+c) dy xy 3x y 3dx xy 2x 4y 8+ + d) ( )2ydy 4x y 1 se y 0 1 +
EQUAES DIFERENCIAIS HOMOGNEAS1. Tipo:( ) ( ) M x, y dx N x, y dy 0
+ , onde M(x,y) e N(x,y) so funes homogneas de mesmo grau.2. Mtodo
de SoluoMudana de Varivel: y ux ou x vy , esta ltima utilizada
sempre que a expresso M(x,y) for mais simples que N(x,y).3.
Exemplos Resolvidos1. Resolva as EDOS a seguir:a)( ) x y dx xdy 0 +
b) dy x 3ydx 3x y++c)( )4 4 3x y dx 2x ydy 0 + d) dy y ylndx x x _
,e)( ) ( ) ( )2 2y 3xy dx 4x xy dy, se y 1 1 + + f)( )2 2x xy y dx
xydy 0 + EQUAES DIFERENCIAIS - MODELOS DE PROVAQuesto 01: Resolva a
EDO4 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96
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2ydx +Questo 02: Resolva a EDO11x3dy xedx yQuesto 03: Resolva a EDO
com as condies dadas 4dy 2dx y 8+, x = 1 e y = 0.Questo 04: Resolva
a EDO( )dyy y 7dx +Questo 05: Resolva a Integral 23x 1dxx 21x 20+
+Agora voc deve resolver essas questes:Questo 01: Resolva a EDOdy5
3ydx Questo 02: Resolva a EDO5x2dy xedx yQuesto 03: Resolva a EDO
com as condies dadas 3dy 5dx y 15+, x = 1 e y = 2.Questo 04:
Resolva a EDO( )dyy y 3dx Questo 05: Resolva a Integral 5 AFONSO
CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor
Sul GoiniaEmail: [email protected] 1dx2x 21x
23+ EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS HOMOGNEASAs Equaes Diferenciais
Ordinrias do tipo M(x,y) dx+ N(x, y) dy = 0 so homogneas quando as
funes M(x, y) e N(x, y) forem homogneas do mesmo grau. O mtodo de
resoluo consiste na substituio y = ux e dy = u dx
+xduounasubstituiox vy e dx vdy ydv +. Masqual
delasaplicar?Aprticanosmandautilizara segunda substituio (x vy e dx
vdy ydv +) sempre que a expresso de M(x, y) for mais simples do que
N(x, y). O exemplo a seguir esclarece este ponto. Acompanhe com
ateno as duas substituies para a mesma Equao Diferencial e decida
pelo melhor caminho.Resolva a Equao Homognea( )2 3 32x ydx 3x y dy
+EQUAES DIFERENCIAIS I - MTODOS DE RESOLUOPROGRAMA1. Introduo2.
Variveis Separveis3. Equaes Diferenciais Exatas4. Fator
Integrante5. Equaes Diferenciais Homogneas1. INTRODUOEquao
Diferencial toda equao onde figuram derivadas ou diferenciais. A
ordem de uma equao diferencial dadapela maiorderivada
quecomparecenaequao.Assim, uma equaoondeaderivada de maior a
terceira classificada como equao de 3 ordem.Uma
outraimportanteclassificao das equaes diferenciais dividi-las em
EquaesDiferenciaisLinearese Equaes Diferenciais No-LinearesUma
Equao Diferencial dita Linear quando puder ser escrita sob a
forma:n n 1n n 1 1 0 n n 1d y d y dya (x) a (x) ... a (x) a (x)y
g(x)dx dx dx + + + + Observando a expresso acima, podemos notar que
as equaes diferenciais lineares tmcoeficientes dependentes de
apenas uma varivel e a varivel dependente y e todas as suas
derivadas so do primeiro grau.Se as equaes diferenciais tm
derivadas de funes de uma nica varivel independente, ento, ela
chamada EquaoDiferencialOrdinria(EDO); caso as derivadas
envolvamfunes commais de uma varivel independentes ela chamada de
Equao Diferencial Parcial (EDP).Qualquer funo, dentro de um
determinado intervalo, quando substituda na equao diferencialreduz
esta a uma identidade, chamada soluo da equao dada.As equaes
diferenciais ou um sistema de equaes diferenciais descrevem
matematicamente o comportamento de algum sistema ou fenmeno fsico,
como por exemplo, o funcionamento de um circuito eltrico.Neste
nosso estudo, aprenderemos alguns mtodos de resoluo das equaes
diferenciais, bemcomo identificaremos os principais tipos de equaes
diferenciais de primeira ordem. 2. VARIVEIS SEPARVEIS2.1.
Reconhecimento e ResoluoToda equao diferencial redutvel forma:6
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)( )dy fxfx dx g y dydx g y denomina-se de separvelou tem
variveisseparveis.Para resolve-la basta integr-la. preciso que,
neste ponto de nosso estudo, faamos uma advertncia a todos os
alunos para que revisem algumas Tcnicas de Integrao.Muitas vezes
aoaplicarmos outrosmtodos deresoluodeequaesdiferenciais,
recamosnomtodode variveis separveis, da a sua importncia.2.2.
Exemplos ResolvidosEx.1: Resolva a equao( ) 1 0 x dy xdy + Ex.2:
Resolva a equao(5 )dysen xdx 2.3. Exerccios Propostos01)( ) 21dyxdx
+02) 30xdx e dy + 03) 0 dx x dy 04)( ) 1 6dyx xdx+ +05)2x dye xdx
06)' 4 xy y 07)2 0dyxydx + 08) dy ydx x09) 1 dy ydx x+10) 1dx x ydy
x+11) 1 2 dx ydy y sen x+7 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL:
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[email protected]) 3 32 4 8dy xy x ydx xy x y+ +
3. EQUAES DIFERENCIAIS EXATAS3.1. Reconhecimento e ResoluoDada uma
equao diferencial redutvel forma:( ,) ( ,) 0 M x y dx N x y dy + ,
ela ser uma Equao Diferencial Exata se, e somente se, M Ny x .1)
Mtodo de Resoluo A sua resoluo tem o seguinte procedimento:(1)
Suponha que( ) ( ) , f x y c Soluo Geral (2) Escreva( ,) ( ,) ( )
fx y M x y dx g y +(3) Faa( )( ) ( ) ( ),, ' ,f x yM x y dx g y N x
yy y 1 + ] (4) Dessa forma, ( )( ) ( ) '( ) 'dg yg y g y g y dydy
(5) Substitua na Soluo Geral f(x,y) = c.2) Mtodo de Resoluo(1)
Suponha que( ) ( ) , f x y c Soluo Geral (2) Escreva( ,) ( ,) ( )
fx y N x y dy g x +(3) Faa( )( ) ( ) ( ),, ' ,f x yN x y dy g x M x
yx x 1 + ] (4) Dessa forma, ( )( ) ( ) '( ) 'dg xgx g x g x dxdx
(5) Substitua na Soluo Geral f(x,y) = c.3.2. Exemplos
ResolvidosEx.1: Resolva( ) 2 1 0 xydx x dy + 8 AFONSO CELSO FONE:
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GoiniaEmail: [email protected]: Resolva 1 1 11
1 0tdt dyt y y y _ _+ + + , ,3.3. Exerccios Propostos01)( ) ( ) 2 0
xy dx x y dy Resp.: 4 x y y c 02)( ) ( ) 2 3 0 x y dx xy dy Resp.:
3 9 x xy y c + 03)( ) ( ) 0 y t dt y t dy Resp.: 3 3t yty c 04)( )
( ) cos cos 0 d sen sen d + + Resp.:cos sen c + 05)( ) ( ) 4 2 4 2
0 x y y dx x y x dy + Resp.:4 6 x y xy c 06)( ) ( ) 3 1 3 3 0 t dy
t y dt + + + Resp.: 3 3 3 2 2t t t y y c + + + 07)( ) 3 4 2 2 0dyt
ty y tdt+ + + Resp.: 2 t t y y c + + 08)2 3 0dyty t ydt+ Resp.: t y
c 09)( ) ( ) 8 3 12 8 0 ty t y dt y t y t dy + + + + Resp.:4 4 t y
t y y c + + 10)( ) ( ) 2 1 3 7 0 x dx y dx + + 11)( ) ( ) 2 6 0 x y
dx x y dy + 12)( ) ( ) 5 4 4 8 0 x y dx x y dy + + 13)( ) (cos cos
) 0 seny ysenx dx x x y y dy + + 14)(2 3) (2 4) 0 y x dx yx dy + +
15) 12 cos3 4 3 3 0dy yy x x ysen xx dx x _ + + + ,16)( ) ( ) ( ) 2
0 x y x y dx x x y dy + + 9 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 /
CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail:
[email protected])( ) 1 ln 1 lnyx dx x dyx _+ +
,18)( ) ( ) 3 2cos 0 y y senx x dx xy y x dy + + 19)( ) 3 0 x y dx
xy dy + + 20)( )1ln ln 0xyy y e dx x y dyy _ + + ,21) 2 0x xdx dyy
y 22)2 6 xdyx xe y xdx +23)( ) ( )3 2 0y yx y e dx x xe y dy + + +
24) 3 31 1 0 y dx x dyx y _ _ + + + , ,25) 1 01 9 dxx y x yx dy _ +
+ ,26)(5 2 ) ' 2 0 y x y y 27)(1 2 2 ) 4 4dyx y x xydx +4. FATOR
INTEGRANTEQuando a Equao Diferencial no exata, podemos usar um
Fator Integrante que pode ser:10 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268
/ CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail:
[email protected] dx ) x (ex onde NxNyM) x ( ou dy
) y (ey onde MyMxN) y ( Dessa forma, o fator integrante
multiplicado pela equao diferencial no exata ir transforma-la numa
equao diferencial exata.Veremosmaistarde,
queousodofatorintegrantepermitequeoutrostiposdeequaesdiferenciaissejam
resolvidos.5. EQUAES DIFERENCIAIS HOMOGNEAS5.1. ReconhecimentoUma
equao( ,) ( ,) 0 M x y dx N x y dy + chamada de Equao Diferencial
Homognea se ambos os coeficientes M(x,y) e N(x,y) so funes
homogneas de mesmo grau.A equao ( ,) ( ,) 0 M x y dx N x y dy +
homognea se( , ) ( , ) ( , ) ( , )n nM x y t M x y e N x y t N x y
.5.2. Mtodo de ResoluoUma equao diferencial homognea reduzida
forma( ,) ( ,) 0 M x y dx N x y dy + pode ser resolvida por meio da
substituioalgbrica y = ux ou x = vy,onde u e v so novasvariveis
independentes.Esta transformao transformar a equao dada em uma
equao de variveis separveis de 1 ordem. Quando devemos utilizar a
transformao x = vy? Na verdade, ela pode ser usada em ualquer equao
diferencial homognea, porm, a prtica nos ensina que ela deve ser
tentada sempre que a funo M(x,y) for mais simples do que N(x,y).
Pode acontecer tambm que ao fazermos a substituio algbrica y = ux
ou x = vy resulte em integrais difceis ou impossveis de serem
resolvidas, uma outra substituio pode tornar a resoluo mais
fcil.5.3. Exemplos ResolvidosEx.1: Verifique se as funes so
homogneasa)( , ) 3 5 fx y x xy y +b) 3( ,) fx y x y +Ex.2: Resolva
as equaes abaixo:a)( ) ( ) 0 x y dx x xy dy + + b) 4 42 ( ) 0 x ydx
x y dy + + 5.4. Exerccios Propostos(I) Verifique se so homogneas as
funes:11 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua
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[email protected]) 4( ,) 2 yfx y x xyx + 02)( )
( ,) 4 3 fx y x y x y + +03) ( ) ( ,)8 x y x yfx yx y+04) 4 4(
,)xfx yy x y+ +05) ( ,) cosxfx yx y _ + ,06)( ,)xfx y senx y _ +
,(II) Resolva as equaes homogneas a seguir:01)( )4 4 32 0 x y dx x
ydy + 02)( ) 0 x y dx xdy + 03)( ) 0 x y dx xdy + + 04)( 2 ) 0 xdx
y x dy + 05)( ) 0 y yx dx x ydy + 06) dy y xdx y x+07) 33dy x ydx x
y++08)( ) 0 x xy y dx xydy + 12 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 /
CEL: (62) 9216-9668
