Edo - Cálculo III - Unid A

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Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias.

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  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 1

    PROF MARCO A BRASIL

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    EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM

    UNIDADE A

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    SUMRIO

    CONTEDOS PGINA

    CADERNO 1 REVENDO DERIVADAS E INTEGRAIS 5

    1 Antidiferenciao: A Integral Indefinida 6

    2 Notao para Antiderivadas 7

    3 Integrais Imediatas e Propriedades 8

    4 AULA 1 ATIVIDADES DE ESTUDOS 1 9 CADERNO 2 CONCEITOS BSICOS 14

    1 Ordem e Grau 15

    2 Forma Implcita ou Explcita de uma EDO 17

    3 Soluo de uma EDO 20

    4 Resoluo de uma EDO 21

    5 Soluo Geral e Soluo Particular de uma EDO 23

    6 AULAS 2 e 3 CONCEITOS BSICOS 26 7 ATIVIDADES DE ESTUDOS 2 27

    CADERNO 3* PROBLEMA DE VALOR INICIAL E SOLUES SINGULARES 33

    1 O Teorema da Existncia e Unicidade de Cauchy 35

    2 ATIVIDADES DE ESTUDOS 3 36

    CADERNO 4 EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS: EVS 37

    1 Resolvendo EVS 38

    2 Logaritmos: Definio e Propriedades I 39 3 Logaritmos: Definio e Propriedades II 40 4 Fraes Parciais 43 5 AULAS 4 e 5 EQUAES SEPARVEIS 45 6 ATIVIDADES DE ESTUDOS 4 46

    CADERNO 5 MODELOS MATEMTICOS ASSOCIADOS S EVS 49

    1 O Modelo da Radioatividade I 50

    2 O Modelo da Radioatividade II 51

    3 O Modelo da Radioatividade III 52

    4 A Lei do Resfriamento de Newton: LRN 54

    5 AULA 6 MODELOS MATEMTICOS 56 6 ATIVIDADES DE ESTUDOS 5 57

    CADERNO 6 EQUAES REDU|TVEIS 59

    1 AULA 7 - ATIVIDADES DE ESTUDOS 6 62

    CADERNO 7 EQUAES EXATAS 63

    1 Equaes No Exatas: Fatores Integrantes 65

    2 AULA 8 - ATIVIDADES DE ESTUDOS 7 66

    : TPICO AUXILIAR DE ESTUDO ( * ): Contedo Optativo

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    Equaes cujas incgnitas so derivadas de funes foram denominadas EQUAES DIFERENCIAIS pelo matemtico alemo Gottfried Wilhelm Leibniz.

    As primeiras motivaes ao estudo das Equaes Diferenciais vieram da Mecnica quando teorias como o Movimento dos Planetas ou as Oscilaes de um Pndulo ampliaram seus estudos a partir de duas importantes publicaes.

    A primeira, Pholosophiae Naturalis Principia Matematica ou Princpios Matemticos da Filosofia Natural, do fsico ingls Isaac Newton de 1687 e Nova methodus pro maximis et minimis, item que tangetibus, qua Nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus ou Um novo mtodo para mximos e mnimos e tambm para tangentes, que no obstrudo por quantidades irracionais, de Leibniz em 1684.

    Da em diante foi possvel descrever atravs de uma funo incgnita y da

    varivel independente e pelo menos uma derivada de em relao os princpios associados aos processos de observao dos fenmenos naturais ou as propriedades de uma curva ou famlia de curvas.

    Trs questes, entretanto, se conservam com as equaes diferenciais:

    Uma equao diferencial sempre tem soluo?

    Ora, existem equaes que simplesmente no tem soluo, como y = 1 para y real. Assim a questo saber se uma dada equao tem soluo. Esta questo diz respeito EXISTNCIA DE SOLUES.

    A segunda questo trata da UNICIDADE, pois as equaes diferenciais podem ter infinitas solues.

    Para ver isto considere, por exemplo, que a soluo de uma equao simples

    como = 0 = , real. Cada valor atribudo produz uma soluo e, assim temos uma infinidade de solues.

    Essa questo traz implicaes prticas, pois se a soluo nica, um dado problema pode estar completamente resolvido.

    A terceira questo, considerando que a equao diferencial tem soluo, trata de DETERMINAR esta soluo.

    No entanto, a determinao de solues no se coloca simplesmente, pois mesmo sabendo que a soluo existe, pode no ser possvel express-la atravs das principais Funes Elementares. Neste caso pesquisamos aproximaes de solues atravs das Sries, dos Mtodos Computacionais, ou estudando as propriedades das solues sem necessariamente encontr-las.

    Os procedimentos computacionais, diga-se, so importantes ferramentas quando nos familiarizamos com os fundamentos da teoria das equaes diferenciais. Particularmente se o interesse computacional se orienta para obteno de solues numricas ou solues grficas.

    INTRODUO

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    REVENDO DERIVADAS E INTEGRAIS

    O Clculo Diferencial sistematiza regras operacionais simples. As REGRAS FUNDAMENTAIS DE DERIVAO so:

    CONSTANTE PELA FUNO: ( k u )= k u SOMA: ( u + v ) = u + v

    PRODUTO: (u v )= uv + vu ( u v w ) = uv w + vu w + wu v

    QUOCIENTE: (

    ) =

    Um importante princpio a Regra da Cadeia ou Regra da Derivada da Funo Composta. Ela diz:

    Considerando u, v funes derivveis de x, k e n , a DERIVADA DAS

    PINCIPAIS FUNES ELEMENTARES so:

    NOTAO LEIBNIZ NOTAO LAGRANGE NOTAO LEIBNIZ NOTAO LAGRANGE

    = 1

    () = 1

    = 0 ( K ) = 0

    = . .

    (

    ) = . . u.

    =

    ( ) = . u

    log =

    1

    .

    ;

    =

    1

    .

    ( log ) = 1

    . ; ( ) =

    1

    .

    =cos u.

    ( sen u )= cos u. u

    = sen u.

    ( cos u )= sen u. u

    =

    1 + 2 ;

    =

    1 + ;

    =

    1+2

    ( ) =

    1+2 ( ) =

    1+2 ( ) =

    1+2

    CADERNO1

    1

    Se y uma funo diferencivel de u e u uma funo diferencivel de x, ento

    =

    .

    ou y= f( u ) . u

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    ANTIDIFERENCIAO: A INTEGRAL INDEFINIDA

    No Clculo Diferencial, dado y = f ( x ), procuramos a derivada y= f ( x ). No Clculo Integral, dado y= f( x ), queremos determinar y = f ( x ).

    O processo que determina a funo f cuja derivada f ( x ) denominado

    ANTIDERIVAO, ANTIDIFERENCIAO ou INTEGRAO

    Uma funo tal que ) = ( ) uma primitiva ou antiderivada de .

    Se F uma antiderivada de e C , ento F( x ) = G ( x ) + C tambm antiderivada de f, pois F( x ) = [ G ( x ) + C ]= G( x ) + C= G( x ) + 0 = G(x) = f(x).

    Por exemplo, G( x ) = e F( x ) = + C so antiderivadas de ( ) = , pois

    G( x ) = = x e F( x ) = [ + C ]= ( ) + C= + 0 = .

    Para mais exemplos, na coluna ( 1 ) do quadro abaixo perguntamos

    Qual a funo cuja derivada ... ?

    A resposta est na coluna ( 2 ) e a justificativa, na coluna ( 3 ).

    ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

    0 C ( C )= 0

    1 + C ( x+ C ) = x+ C= x + 0 = x

    + C [

    2 + ] = ( ) + C = + 0 = x.

    + C [ + C ]= ( ) + C= + 0 = x.

    + C [ + C ]= ( ) + C= + 0 =

    + C [ + C ]= ( ) + C= + 0 =

    1 / + ( ln x + C ) = ( ln x )+ C= =

    - + [ cos x + C]= ( cos x ) + C= ( cos x )= sen x

    + [ sen x + C ]= ( sen x ) + C= cos x

    1

    1 +

    + [ + ] =

    1

    1 +

    1

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    NOTAES PARA ANTIDERIVADAS

    Antiderivadas so descritas atravs do smbolo especial criado pelo matemtico alemo Gottfried Willeim Leibniz.

    Trata-se de um S estilizado como .

    O simbolismo de Leibniz considera a diferencial dy como uma poro

    infinitesimal de y e imagina dy como somatrio de todas essas pores infinitesimais de modo que dy = y + C

    O matemtico Johann Bernoulli sugeriu que o processo de reunir infinitsimos

    para formar uma quantidade completa, expresso como = dy, se denominasse Integrao ao invs de somatrio.

    Assim nos referimos ao smbolo como o Sinal de Integral.

    Segundo Leibniz, desde que f( x ) exista, o smbolo

    visto como um

    quociente e = f ( x ) como equao. Portanto dy = f ( x ) dx compreendida

    como uma Equao Diferencial.

    Desde que y = dy e C uma constante arbitrria, segue-se que

    dy = f( x ) dx + C ou y = f( x ) dx + C.

    De modo geral a notao f( x ) dx = F( x ) + C, onde C , diz que F uma

    antiderivada de f tal que F( x ) = f ( x ) para todo valor de x no domnio de f:

    A constante C chamada Constante de Integrao e a expresso sob o sinal de integrao chamado Integrando.

    O smbolo indica a varivel de integrao.

    Na Definio 1 a varivel de integrao a letra x e qualquer outra letra

    considerada constante. Por exemplo, na integral , a varivel de integrao t e x um termo constante.

    O processo para calcular f( x ) dx denominado Integrao Indefinida. O termo Indefinida advm da constante C assumir qualquer valor real.

    A f ( x ) dx chamada Integral Indefinida da fu