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FÓRMULAS E FATORES DE SEGURANÇA PROPOSTOS PARA O PROJETO DE DUTOS
RÍGIDOS SUBMARINOS EM ÁGUAS ULTRA PROFUNDAS
Eduardo Valente Oazen
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa de Pós-graduação em Engenharia
Oceânica, COPPE, da Universidade Federal do
Rio de Janeiro, como parte dos requisitos
necessários à obtenção do título de Mestre em
Engenharia Oceânica.
Orientador: Segen Farid Estefen
Rio de Janeiro
Maio de 2012
iii
Oazen, Eduardo Valente
Fórmulas e Fatores de Segurança Propostos para o Projeto
de Dutos Rígidos Submarinos em Águas Ultra Profundas/
Eduardo Valente Oazen. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE,
2012.
X, 130 p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Segen Farid Estefen
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Oceânica, 2012.
Referências Bibliográficas: p. 103-108.
1. Colapso de dutos submarinos. 2. Colapso propagante de
dutos submarinos. 3. Confiabilidade Estrutural. I. Estefen,
Segen Farid. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
COPPE, Programa de Engenharia Oceânica. III. Título.
iv
DEDICATÓRIA
À minha esposa Juliana, aos meus pais Fátima e Marcelo e minha irmã Ana
Luiza por todo o apoio dado durante minha vida.
v
AGRADECIMENTOS
Agradeço à PETROBRAS, em particular o Gerente Geral da Unidade de
Serviços de Contratação Cláudio Araújo pela indicação e oportunidade da realização
deste curso de mestrado.
Aos gestores da área de engenharia submarina da PETROBRAS, Mauricio
Diniz, Anderson Costa, Tadeu Milão, Marcus Koelblinger, Marcus Tadeu e Edson
Meneghel que incentivaram a execução do mestrado.
Aos mestres e amigos Carlos Escudero, José Maurício Teixeira, Marcos Gomes,
Márcio Mourelle, Petrônio Zumpano e Fábio Braga por terem me ensinado tanto ao
longo destes cinco anos de convivência.
Aos meus colegas da equipe de dutos rígidos da PETROBRAS, Tomaz Vargas,
Ricardo Peixoto, Fábio Magalhães, Klaus Hatje, Ricardo Moura, Pedro Henrique,
Renata Prudêncio, Paulo Chaves e José de Brito por me auxiliarem no desempenho das
minhas atividades profissionais enquanto cursava o mestrado.
Aos colegas Rafael Solano, Carlos Cardoso, Leandro Basílio e Bruno Reis pelo
incentivo ao desenvolvimento de metodologias de análise de confiabilidade estrutural
para o projeto de dutos rígidos submarinos.
Ao meu Orientador, Professor Segen Estefen, e aos Professores Theodoro Netto
e Luís Sagrilo pelo apoio prestado durante o desenvolvimento da dissertação.
Aos meus sogros, Professor Raimundo Santos e Professora Akiko Santos, pelo
incentivo inesgotável dado para finalização do mestrado. Serei eternamente grato por
isso!
À minha família e minha esposa, por perdoar compreensivamente minha
ausência a diversos compromissos sociais para que pudesse terminar este trabalho.
Aos meus avôs Jacinto, Assad, Ana e Honorina por tudo.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
FÓRMULAS E FATORES DE SEGURANÇA PROPOSTOS PARA O
PROJETO DE DUTOS RÍGIDOS SUBMARINOS EM ÁGUAS ULTRA
PROFUNDAS
Eduardo Valente Oazen
Maio/2012
Orientador: Segen Farid Estefen
Programa: Engenharia Oceânica
A metodologia de projeto de dutos rígidos submarinos enfrenta hoje mais
um desafio tecnológico associado à explotação de petróleo em águas ultra profundas; O
equilíbrio entre a necessidade constante de redução de CAPEX dos empreendimentos e
a premissa fundamental da segurança ambiental. Se por um lado eventos recentes como
o vazamento do campo de Frade e de Macondo expõem os potenciais danos ambientais
que podem ser causados pela atividade de exploração de petróleo, por outro lado existe
o incentivo à redução da espessura de parede de dutos rígidos, visto que o aumento da
espessura de dutos implica no crescimento do CAPEX do empreendimento e
eventualmente em sua inviabilidade técnica. Dado este cenário, cabe às projetistas,
construtoras e operadoras a reavaliação da metodologia de projeto de dutos rígidos
submarinos com o intuito de permitir eventuais reduções de espessura de parede, ainda
mantendo os requisitos ambientais de proteção. Observando esta necessidade, este
trabalho visa propor as fórmulas mais adequadas para o dimensionamento da espessura
de parede de dutos rígidos submarinos em águas ultra profundas, além de propor fatores
de segurança mais adequados à realidade da indústria de óleo e gás offshore brasileira.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
FORMULAS AND SAFETY FACTORS PROPOSED FOR ULTRA
DEEPWATER PIPELINE DESIGN
Eduardo Valente Oazen
May/2012
Advisor: Segen Farid Estefen
Department: Ocean Engineering
The Rigid pipeline design methodology has been facing one more challenge due
to the oil exploitation in ultra deepwaters: The balance between the constant necessity
of project CAPEX reduction and the fundamental premise of environmental safety. If in
one hand the recent events involving Macondo and Frade fields exposes the potential
damage that may be caused by the oil industry, on the other hand there is the incentive
to the wall thickness reduction, given that the wall thickness increase also increases the
CAPEX and eventually can lead the project to technical unfeasibility. Based on this
scenario, the pipeline design companies, installators and operators will need to reassess
the pipeline design methodology in order to evaluate eventual wall thickness reduction
possibilities without compromise the environmental safety. Therefore, this works
intends to propose the most adequate formulas to be used in pipeline design for ultra
deepwater locations for wall thickness design as well as the adequate safety factors for
Brazilian typical scenarios.
viii
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 1
1.1. MOTIVAÇÃO .............................................................................................................. 1
1.1.1. PERSPECTIVA DOS IMPACTOS NEGATIVOS DO AUMENTO DA
ESPESSURA DE DUTOS SUBMARINOS......................................................................... 1
1.1.2. ALTERNATIVAS PARA REDUZIR A ESPESSURA DE PAREDE DE
DUTOS RÍGIDOS SUBMARINOS ..................................................................................... 3
1.2. ESCOPO DO TRABALHO.......................................................................................... 7
1.2.1. OBJETIVO DO TRABALHO .............................................................................. 7
1.2.2. ETAPAS NECESSÁRIAS PARA O CUMPRIMENTO DO OBJETIVO ........... 7
1.2.3. LIMITAÇÕES DO ESCOPO DO TRABALHO ................................................ 10
1.3. ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO ....................................................................... 11
2. TEORIA DOS ESTADOS LIMITES ................................................................................. 12
2.1. DEFINIÇÃO ............................................................................................................... 12
2.2. DISTINÇÃO ENTRE ESTADOS LIMITES.............................................................. 13
2.2.1. COMPARAÇÃO ENTRE A TEORIA DOS ESTADOS LIMITES E TEORIAS
CLÁSSICAS DE PROJETO ESTRUTURAL.................................................................... 15
2.3. COLAPSO PURO....................................................................................................... 18
2.3.1. DESCRIÇÃO DO FENÔMENO ........................................................................ 18
2.3.2. FATORES QUE INFLUENCIAM O FENÔMENO .......................................... 22
2.3.3. FÓRMULAS QUE REPRESENTAM O ESTADO LIMITE............................. 35
2.4. COLAPSO PROPAGANTE ....................................................................................... 42
2.4.1. DESCRIÇÃO DO FENÔMENO ........................................................................ 42
2.4.2. FATORES QUE INFLUENCIAM O FENÔMENO .......................................... 47
2.4.3. FÓRMULAS QUE REPRESENTAM O ESTADO LIMITE............................. 48
3. TEORIA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL.......................................................... 50
3.1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 50
ix
3.1.1. UTILIZAÇÃO DA TEORIA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL EM
DUTOS 52
3.2. SIMULAÇÃO MONTE CARLO ............................................................................... 52
3.3. FORM (FIRST ORDER RELIABILITY METHOD)................................................. 55
3.4. SORM (SORM ORDER RELIABILITY METHOD) ................................................ 60
3.5. CALIBRAÇÃO DE FATORES DE SEGURANÇA .................................................. 61
3.6. SOFTWARES DESENVOLVIDOS PARA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE
ESTRUTURAL....................................................................................................................... 64
3.7. LIMITAÇÕES DA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE ESTRUTURAL................ 65
4. COLAPSO PURO............................................................................................................... 67
4.1. DEFINIÇÃO DA FÓRMULA MAIS ADEQUADA ................................................. 67
4.2. DEFINIÇÃO DA PROBABILIDADE DE FALHA ALVO....................................... 74
4.3. DEFINIÇÃO DO MODELO PROBABILÍSTICO E DADOS ESTOCÁSTICOS..... 75
4.3.1. CONTABILIZANDO A INFLUÊNCIA DO EFEITO DE SISTEMA NO
ESTADO LIMITE DE COLAPSO PURO ......................................................................... 77
4.4. CASOS AVALIADOS E RESULTADOS ................................................................. 78
4.4.1. CASO A – DUTOS COM TUBOS UOE “CONFORME FABRICADO” ......... 79
4.4.2. CASO B – DUTOS COM TUBOS UOE COM REVESTIMENTO .................. 82
4.4.3. CASO C – DUTOS COM TUBOS SEM COSTURA ........................................ 84
4.4.4. CASO D – DUTOS COM TUBOS UOE DE UM FABRICANTE EM
PARTICULAR.................................................................................................................... 84
4.4.5. CASO E – LINEARIDADES IMPOSTAS PELA CALIBRAÇÃO................... 85
4.5. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS PELA SIMULAÇÃO MONTE
CARLO PELA METODOLOGIA FORM ............................................................................. 87
4.6. COMENTÁRIOS ADICIONAIS E CONCLUSÕES DO CAPÍTULO...................... 88
5. COLAPSO PROPAGANTE ............................................................................................... 90
5.1. DEFINIÇÃO DA FÓRMULA MAIS ADEQUADA ................................................. 90
5.2. DEFINIÇÃO DA PROBABILIDADE DE FALHA ALVO....................................... 91
5.3. DEFINIÇÃO DO MODELO PROBABILÍSTICO E DADOS ESTOCÁSTICOS..... 94
5.4. CASOS AVALIADOS E RESULTADOS ................................................................. 95
x
5.4.1. CASO A – DUTOS CONSTITUÍDOS POR TUBOS UOE............................... 96
5.4.2. CASO B – DUTOS CONSTITUÍDOS POR TUBOS SEM COSTURA............ 97
5.5. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS PELA SIMULAÇÃO MONTE
CARLO PELA METODOLOGIA FORM ............................................................................. 98
5.6. COMENTÁRIOS ADICIONAIS E CONCLUSÕES DO CAPÍTULO...................... 99
6. CONCLUSÃO .................................................................................................................. 101
6.1. ASPECTOS GERAIS ............................................................................................... 101
6.2. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS SUGERIDOS............................................... 102
7. REFERÊNCIAS................................................................................................................ 103
1
1. INTRODUÇÃO
1.1. MOTIVAÇÃO
1.1.1. PERSPECTIVA DOS IMPACTOS NEGATIVOS DO AUMENTO DA
ESPESSURA DE DUTOS SUBMARINOS.
Atualmente o grande desafio da exploração petrolífera mundial é a explotação de
petróleo em ambientes offshore. Neste contexto, o Brasil se apresenta em posição de
destaque, visto que parte significante das reservas comprovadas mundiais se apresenta
na costa brasileira, em locações ultra profundas.
Como já é sabido, parte dos grandes campos petrolíferos brasileiros se situa em
regiões cuja lâmina d’água excede 2000m. Neste cenário, a pressão hidrostática
exercida demanda o reforço estrutural dos equipamentos submarinos e dutos, de
maneira a lidar com os carregamentos impostos. Neste caso, tal demanda de reforço
estrutural significa o aumento do custo de construção das estruturas submarinas.
No que tange especificamente a dutos submarinos, a necessidade de reforço
estrutural se traduz no aumento de sua espessura dos tubos utilizados em sua
construção. Entretanto, ao contrário do reforço estrutural de equipamentos submarinos,
o aumento de espessura de dutos representa um consumo adicional necessariamente
elevado de aço. A adição de poucos milímetros de espessura de aço em um duto pode
significar o acréscimo de toneladas de consumo de aço em um projeto. Logicamente,
quanto maior o comprimento e diâmetro de um duto, maior será o impacto desta adição
no que se refere ao consumo de aço.
É um equívoco recorrente se julgar que o impacto econômico do aumento de
espessura de um duto esteja relacionado unicamente ao consumo de aço. De fato, como
afirmado no parágrafo anterior, o consumo de aço pode ser muito significante em dutos
de grande comprimento sob o aspecto financeiro. Entretanto não é raro que outros
efeitos colaterais do aumento de espessura apresentem influência tão marcante ou
superior no que tange o consumo de aço. Alguns exemplos destes efeitos colaterais são
apresentados abaixo:
2
• Custos de soldagem: Quanto mais espesso for o duto, maior o tempo
necessário para sua soldagem. Vale lembrar que dependendo do diâmetro do
duto e o processo de soldagem adotado, o tempo de soldagem pode variar de
30 minutos ou até superar horas. Além disso, quanto maior for a espessura de
um duto, maior será a probabilidade de incidência de um defeito durante a
execução da soldagem, dada a necessidade de execução de passes adicionais
para sua conclusão. É valido notar que todos os tópicos discutidos neste
parágrafo se referem ao consumo de tempo para executar as operações de
soldagem e seus reparos. Em um cenário onde a taxa diária de utilização de
navios de instalação é da ordem de centenas de milhares de dólares, economias
de minutos durante a soldagem implicam em grande economia do CAPEX do
empreendimento.
• Custos logísticos: Quanto mais espessos forem os tubos que comporão o duto
maior será a parcela de contribuição do custo logístico. O custo logístico
começa a incorrer desde o custo do transporte dos tubos até a área de
armazenamento. O custo não se refere somente à distância do percurso, mas
também ao peso unitário dos tubos. Quanto maior o peso dos tubos, menor o
número de tubos que poderá ser transportado por carreta. De maneira
semelhante, no transporte naval, quanto maior for o peso dos tubos, maior será
o número de viagens necessárias para alimentação dos navios de instalação J-
lay ou S-lay mediante a limitação de carga imposta pelos navios auxiliares.
Para navios Reel-lay, o número de viagens (ida e retorno à base de
carregamento) tende a ser superior também dada a limitação de carga do
tambor da embarcação.
• Custo de utilização de embarcações especiais: Quanto mais pesado for o
duto a ser instalado, maior a carga a ser suportada pelo sistema de
tensionadores e guinchos do navio durante a operação de instalação. Na
prática, a taxa diária de navios que suportam um patamar de carga superior
tende a ser muito mais elevada se comparada com navios com capacidade de
carga limitada. O motivo desta relação vai além da própria capacidade do navio
e traduz também o fato de que poucos navios podem instalar dutos de grande
diâmetro em profundidades elevadas, como por exemplo 2000 metros, pela
3
própria lei da oferta e procura. Vale ressaltar que a influência da taxa diária do
navio no custo do empreendimento nestes casos pode tornar o empreendimento
inatrativo. Em casos mais extremos, pode não ser possível prover barcos
capazes de construir um duto em particular por excesso de carga, o que implica
na inviabilidade técnica do projeto.
Retornando ao contexto apresentado no começo desta seção, cabe ressaltar que
os problemas supracitados são potencializados em águas ultra profundas, dada a relação
intrínseca entre a espessura do duto e o CAPEX do empreendimento associado. Sendo
assim, se torna claro que esforços para redução da espessura de parede são desejados e
devem ser estimulados de maneira contínua durante o projeto de qualquer duto rígido
submarino.
1.1.2. ALTERNATIVAS PARA REDUZIR A ESPESSURA DE PAREDE
DE DUTOS RÍGIDOS SUBMARINOS
Visando então a demanda de redução de espessura de parede de dutos
submarinos, a opção convencional do projetista é utilizar materiais cujas propriedades
mecânicas são superiores aos valores típicos praticados (leia-se aumento da tensão de
escoamento). Mais particularmente, a tentativa mais usual é buscar utilizar o material
API 5L X70, ao invés dos tradicionais graus X60 ou X65. No entanto, a utilização deste
material em aplicações offshore ainda não é trivial. O material X70, apesar de já
utilizado em projetos conforme apresentado por DARCIS [1], ainda é tópico de
pesquisas e de desenvolvimento entre vários fabricantes, operadores, instaladoras e
projetistas ao redor do mundo pelos seguintes motivos, entre outros:
• A quantidade de elementos de liga e tratamento térmicos específicos
necessários para alcançar a especificação “X70”, que demanda um tênue
equilíbrio entre elevadas propriedades mecânicas e considerável tenacidade,
limita o número de fornecedores. De fato, conforme informado por BAI[2],
apenas um número limitado de fornecedores é capaz de fornecer tubos
equivalentes ao API 5L X70, se comparado com os fornecedores capazes de
fornecer graus inferiores como o API 5L X65.
• A soldabilidade de materiais como API 5L X70 é reduzida devido à elevada
quantidade de elementos de liga. BAI[2] relata a ocorrência de tenacidade
4
muito reduzida na região da raiz das juntas soldadas, devido à diluição do
alumínio presente no metal de base (tubo). Tal fato implica na necessidade do
emprego de processos de soldagem mais complexos e lentos. A baixa
soldabilidade pode ser um empecilho ainda maior no caso de necessidade de
emprego do material sob serviço ácido, onde a dureza máxima permitida é
ainda menor, conforme ISO 15156[3].
• Além disso, a baixa soldabilidade e a incidência de durezas muito elevadas
implicam também no surgimento de HISC (Hydrogen Induced Stress
Cracking), que pode ser causado graças à incidência da proteção catódica
(DNV-RP-B401[4]).
Um fato relevante é que, mesmo que todos os empecilhos supracitados sejam
superados, é preciso ter em mente que o aumento da tensão de escoamento mínima
consequente da modificação de um material API X65 para X70 não necessariamente
implica na redução significativa da espessura de parede dos dutos em águas ultra
profundas. Tal afirmação é justificada a partir da percepção de que, dependendo da
relação D/t em questão, o benefício obtido pelo aumento da tensão de escoamento na
resistência ao colapso do duto pode ser bem limitado (vide Capítulo 4).
Discutidas as dificuldades práticas envolvidas na tentativa de aumento da tensão
de escoamento dos materiais utilizados no projeto de dutos, se torna então indispensável
revisitar a prática de projeto adotada, visando avaliar eventuais conservadorismos que
ora possam ser eliminadas das práticas de projeto.
Mediante a necessidade de redução da espessura de parede dos dutos, OAZEN
ET AL [5] apresenta uma lista de possíveis ações práticas que visam reduzir o
conservadorismo do projeto de dutos submarinos distintas da utilização de aços com
grau superior. As principais alternativas são reproduzidas abaixo:
• Reavaliação da resistência ao colapso de tubos com costura a partir da
aplicação do revestimento;
• Redução de conservadorismo pela adoção de metodologias de confiabilidade
estrutural;
• Avaliação criteriosa da máxima pressão interna incidental ao qual o duto estará
submetido;
5
• Aumento da resistência ao colapso pelo controle da ovalização de tubos a
serem utilizados nos dutos;
• Adoção do requisito suplementar “U” da DNV-OS-F101[6];
Algumas das alternativas citadas acima são de fácil implantação e capazes de
proporcionar considerável redução na espessura de parede dos dutos. Outras demandam
maior esforço para implementação prática, entretanto já vem sendo adotadas por
algumas operadoras há algum tempo, como a recuperação dos efeitos detrimentais
causados pelo processo de expansão na resistência ao colapso de dutos, utilizada desde
o projeto Oman-India nos anos noventa (STARK[7] e AAMLID[8]).
Uma alternativa em particular causa peculiar interesse na comunidade de projeto
de dutos submarinos: a permissão da utilização de análises de confiabilidade estrutural
para projeto de dutos rígidos submarinos. De fato, desde os anos noventa, várias
códigos de projeto vêm permitindo adoção da metodologia de confiabilidade estrutural
para cálculo da espessura de parede de dutos como alternativa à utilização de fatores de
seguranças pré-concebidos pelos códigos. Alguns códigos cuja importância no contexto
mundial é destacada, como a BS 8010[9] e a norma internacional de dutos ISO 13623
[10], já permitem a adoção desta filosofia alternativa. Outros códigos, como a DNV-
OS-F101[6], além de permitir alternativamente a utilização de técnicas de
confiabilidade estrutural, apresentam fatores de segurança pré-concebidos determinados
a partir de técnicas de confiabilidade estrutural, ao invés de simplesmente adotar valores
de fatores de segurança tradicionais, que vem sendo copiados de código a código, ao
longo de várias décadas.
Por outro lado, apesar do suporte normativo não recente, se conhece apenas um
número muito reduzido de projetos que tenham aplicado a filosofia “alternativa” de
confiabilidade estrutural ao invés da simples e prática adoção dos fatores de segurança
tabelados nos mesmos códigos. Isto pode ser explicado em parte pelo fato de que pouca
informação é disponível sobre como uma análise de confiabilidade estrutural pode ser
executada no projeto de dutos submarinos. Não há códigos prescritivos o suficiente para
permitir a execução da análise por um profissional de uma empresa projetista. Tal fato
faz com que sejam raros os profissionais que saibam utilizar e conheçam os benefícios
que podem ser trazidos pela utilização desta filosofia alternativa.
6
É preciso que seja percebido que o potencial das técnicas de confiabilidade
estrutural não se limita apenas a mais um artifício para reduzir a espessura de parede de
dutos. A aplicação adequada desta ferramenta pode permitir a execução de avaliações
mais abrangentes e igualmente úteis no projeto de dutos submarinos. Seguem dois
exemplos:
• A análise de confiabilidade estrutural é capaz de determinar a margem de
segurança adequada para cada cenário específico de projeto de dutos de
acordo com a probabilidade de falha tolerada. Tal aspecto implica no fato
de que cada cenário pode demandar uma margem de segurança distinta,
portanto um fator de segurança próprio. Esta percepção é muito relevante
visto que mesmo nos códigos de projetos mais atuais, poucos fatores de
segurança são disponibilizados para uma quantidade muito grande de
cenários. Dado que existem diversos cenários pouco semelhantes entre si,
é razoável acreditar que a adoção de um único fator para diversos
cenários pode levar a um conservadorismo exacerbado para um cenário
em particular.
• A análise de confiabilidade estrutural pode, por exemplo, ser utilizada
para avaliar a adequabilidade dos fatores de segurança propostos pelos
códigos para cenários com certo ineditismo. Neste contexto, o cenário de
águas ultra profundas com lâminas d’água superiores à 2000 m é um
exemplo perfeito, pois poucos dutos submarinos no mundo já
ultrapassaram esta barreira e nenhum código de projeto avaliado pelo
autor afirma ou nega sua aplicabilidade neste cenário. Desta forma, não
há garantias ao usuário do código de que os fatores de segurança
propostos trarão uma margem de segurança adequada para dutos neste
cenário extremo.
Avaliadas as diversas opções para redução da espessura de parede de dutos
apresentadas neste Capítulo, seria uma conclusão natural do leitor de que a redução da
espessura de parede poderia ser conduzida adequadamente apenas pela adoção das
demais alternativas citada em OAZEN ET AL [5], isto é, sem necessariamente utilizar a
alternativa “confiabilidade estrutural”. Entretanto, dado o questionamento sobre a real
aplicabilidade dos códigos de projeto presentes em águas ultra profundas, se torna
indispensável a reavaliação da adequabilidade das fórmulas e fatores de segurança
7
atuais para este cenário. Para condução desta “análise de adequabilidade”, a utilização
das técnicas de confiabilidade estrutural passa a ser indispensável.
1.2. ESCOPO DO TRABALHO
1.2.1. OBJETIVO DO TRABALHO
Diante do fato de que existe a necessidade de redução da espessura de parede de
dutos em um cenário de águas ultra profundas aliada ao compromisso da manutenção da
margem adequada de segurança demandada pela indústria e por questões ambientais,
este trabalho tem o objetivo de propor as fórmulas mais adequadas para o projeto de
dutos submarinos no que se refere particularmente à determinação da espessura da
parede de dutos. Em conjunto com tais fórmulas, fatores de segurança serão providos a
partir da teoria de confiabilidade estrutural para cada cenário tipicamente encontrado em
um projeto de duto submarino em águas ultra profundas.
1.2.2. ETAPAS NECESSÁRIAS PARA O CUMPRIMENTO DO
OBJETIVO
As seguintes etapas se fazem necessárias para cumprimento do objetivo
estabelecido na seção 1.2.1:
• Determinação da fórmula mais adequada para representação de cada
estado limite dimensionante: Nesta etapa, resultados de ensaios em escala
real e reduzida serão comparados com os valores apresentados por fórmulas
consagradas para cada estado limite. A definição da melhor fórmula se
realizará não só pela melhor adequação aos dados experimentais, mas também
pelo contexto envolvido no fenômeno.
• Definição dos fatores de segurança mais adequados para cada estado
limite dimensionante: Estudos de confiabilidade estrutural serão executados
com o intuito de determinar o fator de segurança mais adequado para vários
cenários usuais no projeto de dutos submarinos, considerando cada estado
limite dimensionante.
1.2.2.1 ESTADOS LIMITES DIMENSIONANTES
8
Para a execução das etapas citadas na seção acima, se faz necessária a definição
dos então denominados “estados limites dimensionantes”. Os “Estados limites
dimensionantes” são os estados limites que usualmente definem a espessura de parede
em projetos de dutos rígidos.
Apesar do projeto de um duto rígido submarino demandar a verificação de
vários estados limites para garantia da integridade do mesmo, apenas um número muito
limitado de estados limites define a espessura de parede no projeto de dutos submarinos.
A experiência em projeto de dutos rígidos em águas ultra profundas indica que os
seguintes estados limites usualmente definem a espessura quando a norma DNV-OS-
F101 [6] é utilizada:
• Colapso puro;
• Colapso propagante;
Com o intuito de priorizar as análises que impactem na determinação da
espessura de parede de dutos, esta dissertação concentrará esforços para determinar as
fórmulas e fatores de segurança mais adequados para estes estados limites.
NOTA TÉCNICA: É importante ressaltar que os estados limites supracitados
não são concorrentes. A espessura de parede requerida pelo estado limite de
colapso propagante sempre será superior à espessura de parede demandada pelo
estado limite de colapso puro. Entretanto, em alguns casos, o projetista pode
adotar buckle arrestors e dispensar o dimensionamento da espessura de parede
pelo estado limite de colapso propagante. Neste último caso, o estado limite de
colapso puro será então “dimensionante”.
Embora o autor acredite que a utilização do estado limite de colapso propagante
para dimensionamento em águas cuja profundidade exceda 2000 metros seja
praticamente inviável para dutos de grande diâmetro, é preciso que seja
percebido que a definição sobre utilizar ou não buckle arrestors é dada pelo
operador e possui um forte contexto econômico, conforme indicado no Capítulo
2.4.1. Sendo assim, esta dissertação desconsiderará a discussão sobre a
utilização ou não de buckle arrestors e proverá a fórmula e os fatores de
segurança mais adequados para o estado limite de colapso propagante, cabendo a
9
terceiros definir se o critério de colapso propagante será considerado ou não para
dimensionamento da espessura de parede.
1.2.2.1.1 CARREGAMENTO SIMPLES VERSUS CARREGAMENTO
COMBINADO
É recorrente ao leitor indagar como é possível que estados limites relacionados a
carregamentos simples determinem a espessura de parede de dutos submarinos e não os
carregamentos combinados. O questionamento é pertinente, visto que a contribuição de
carregamentos diversos pode induzir à falha estrutural mais brevemente se comparado a
carregamentos simples. Por exemplo, um tubo submetido à pressão externa e flexão
possui resistência ao colapso inferior se comparado com um tubo idêntico apenas
submetido à pressão externa. A explicação científica para justificar este comportamento
prático é mostrada na argumentação abaixo:
• A primeira explicação é atribuída à filosofia relacionada aos fatores de
segurança aplicados pela DNV-OS-F101[6]. Os fatores de segurança de estado
limite de colapso puro são superiores aos fatores de segurança de estados
limites relacionados a carregamentos combinados nesta norma em particular. A
razão da discrepância destes fatores é relacionada à contabilização do “efeito
de sistema” na calibração dos fatores de segurança do estado limite de colapso
puro (vide seção 4.3.1). A contabilização do “efeito de sistema” neste estado
limite é necessária para representar o fato de que duto falhará por colapso
mediante a falha do tubo de menor resistência extrema (“elo mais fraco”).
Note, no entanto, que a aplicação do “efeito de sistema” em estados limites de
carregamento combinado consiste em um conservadorismo desnecessário, visto
que o carregamento imposto por um vão livre ou por uma alça de flambagem
está limitado apenas a um número pequeno de tubos, não se configurando a
necessidade de se considerar que o “elo mais fraco” desta estrutura estaria
exatamente neste pequeno número de tubos. Maiores informações podem ser
encontradas em AAMLID [8].
NOTA: A precisão técnica obriga informar que nem todos os estados limites de
carregamento combinado excluem a contabilização do efeito de sistema em
seus fatores de segurança. Por exemplo, a análise de instalação de um duto
10
configura um carregamento combinado onde excepcionalmente a configuração
do efeito de sistema é necessária, visto que todos os trechos do duto serão
submetidos não só a pressão externa, mas também a curvatura imposta pela
catenária. Entretanto, se trata de um caso excepcional, onde a existência do
fator de segurança é contrabalanceada pela contabilização da sobre-espessura
de corrosão, esta ainda permanecendo íntegra durante a instalação (antes da
operação). Desta forma, a argumentação apresentada no item permanece
válida.
• A segunda explicação possui um cunho prático. Eventuais detecções de
eventuais falhas relacionadas a carregamentos combinados podem ser
mitigadas sem a necessidade de aumento de espessura do duto. Por exemplo, a
incidência de vãos livres pode ser resolvida pela utilização de correções (sacos
de cimento e suportes mecânicos). Da mesma maneira, o ângulo de lançamento
pode ser modificado para diminuir a flexão imposta pela catenária no leito
marinho.
• Ainda, o atendimento ao estado limite de colapso propagante em águas
profundas ou ultra profundas demanda espessuras tão elevadas para seu
atendimento que torna improvável que o atendimento a outros estados limites
demande uma espessura ainda superior, mesmo apesar dos fatores de segurança
relacionados ao estado limite de colapso propagante não considerarem o efeito
de sistema.
1.2.3. LIMITAÇÕES DO ESCOPO DO TRABALHO
As conclusões e avaliações deste trabalho se baseiam primordialmente em dutos
rígidos apoiados no leito marinho, denominados comumente como “estáticos”,
“flowlines” ou “pipelines”. Risers desacoplados das unidades de produção como risers
híbridos autossustentáveis, torre de risers, entre outros podem desfrutar de boa parte das
conclusões dos relatórios, porém risers acoplados em catenária livre ou em “lazy wave”
têm espessura usualmente definida pelo estado limite de fadiga, portanto a
aplicabilidade das conclusões contidas neste trabalho é limitada.
De maneira análoga, dutos instalados em lâminas dágua muito rasas podem ter
sua espessura acrescida por questões de estabilidade hidrodinâmica. O estado limite de
estabilidade hidrodinâmica também não será avaliado dado o escopo do trabalho.
11
O trabalho considera a premissa de que a redução do CAPEX é a meta principal
a ser atingida. Esta é uma meta consistente e comum entre várias operadoras, entretanto
busca apenas a minimização do CAPEX e não de todo o custo do ciclo de vida do
projeto. Sendo assim, as conclusões presentes neste trabalho devem ser revistas se a
premissa da redução do CAPEX for revogada.
Por fim, o trabalho faz conclusões baseadas em ensaios publicados na literatura.
Algumas das conclusões disponíveis neste trabalho podem então sofrer modificações
com o aumento de quantidade e a diversidade dos testes disponíveis em um futuro
próximo. É fundamental que o leitor considere esta informação antes de utilizar
qualquer um dos fatores de segurança ou fórmulas apresentados nesta dissertação.
1.3. ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO
Os Capítulos 2 e 3 mostram respectivamente os aspectos teóricos relevantes no
que tange cada estado limite estudado e a teoria da confiabilidade estrutural. Já os
Capítulos 4 e 5 apresentam as fórmulas julgadas como as “mais adequadas” para cada
estado limite apresentado, além de fatores de segurança mais adequados para diversos
cenários de projeto. O Capítulo 6 apresenta as conclusões gerais do trabalho.
12
2. TEORIA DOS ESTADOS LIMITES
2.1. DEFINIÇÃO
A integridade de qualquer estrutura pode ser classificada simplificadamente em
dois grupos distintos: estrutura íntegra ou estrutura não integra. O limiar, superfície ou
hiperplano que discerne estruturas íntegras das não íntegras é denominado estado limite.
Figura 2.1 – Conceito de estado limite
A Figura 2.1 ilustra o conceito de estado limite. Suponhamos que uma estrutura
está submetida a um momento M e a uma pressão P. Para uma determinada combinação
entre o momento e pressão aplicada neste estrutura, a mesma permanecerá íntegra,
permanecendo a mesma na região determinada como “segura” na Figura 2.1. Por outro
lado, um aumento no momento M ou na pressão P aplicada pode levar à falha da
estrutura.
Se consideramos ainda que tal estrutura possui uma resistência R qualquer,
podemos definir uma função que separe a região “segura” da região de “falha”. Tal
função é denominada como G, e é apresentada abaixo para o problema em questão:
13
G = R - M - P (2.1)
Vale observar que a “falha” ocorrerá para valor de P, M e R em que G for
inferior à zero. De maneira análoga, valores de P, M e R que levem a valores positivos
de G indicam que estrutura está íntegra.
Se arbitrariamente for imposto o valor de G nulo, é possível obter o limiar, ou
seja, fronteira ou superfície em que é separada a região segura da região de falha. A
superfície ou hiperplano gerado quando o valor de G é tomado como nulo é
denominado superfície de falha.
A expressão contida em G é denominada “função de falha” ou “função de estado
limite”. Generalizando o conceito de função de estado limite para qualquer estrutura, a
função G pode assumir os formatos descritos nas equações (2.2a) e (2.2b).
G = R – S (2.2a)
G = R / S (2.2b)
Onde,
R e S são respectivamente a resistência e a solicitação imposta à estrutura.
Dados os contornos acima a função de estado limite de qualquer estrutura pode ser
determinada. Um exemplo pode ser dado de uma estrutura real trivial. Supondo uma
barra de área transversal A e submetido a uma força uniaxial F. Estabelecendo o
escoamento como sendo seu estado limite, sua função de estado limite é apresentada na
equação (2.3).
G = σo – F / A (2.3)
Onde,
σo é a tensão de escoamento do material.
2.2. DISTINÇÃO ENTRE ESTADOS LIMITES
Uma estrutura qualquer não possui apenas um modo de falha. Por exemplo, um
duto pode falhar devido a um colapso ocorrido a partir da pressão hidrostática. Desta
14
maneira, existe um estado limite para cada modo de falha distinto. Sendo assim, uma
estrutura pode tantas funções de estado limite quantos forem seus modos de falha.
De acordo com o texto do parágrafo anterior, é comum ao leitor entender que o
conceito de estados limites é aplicável exclusivamente à falha estrutural. Porém, o
conceito pode ser estendido para diversos outros limites, como limites operacionais.
SOTBERG[11] define a filosofia de classificação de estados limites para dutos.
Algumas são reproduzidas abaixo:
O Estado limite de serviço (SLS) é o estado limite que quando excedido priva
duto de eventuais funcionalidades durante sua operação, apesar de sua violação não
levar a uma falha catastrófica. Sua exceção leva a consequências menores, portanto
requer fatores de segurança menores. Exemplos de estados limites de serviço são o
escoamento do material do duto e uma eventual ovalização excessiva que impede a sua
pigabilidade.
O Estado limite último (ULS) é o estado limite que quando excedido pode
causar a interrupção da operação e a ruptura. Para estes estados limites, a consequência
da falha é grave ou catastrófica, portanto demandando maiores fatores de segurança.
Exemplos de estados limites últimos são descritos abaixo:
• Ruptura por pressão interna;
• Colapso puro e colapso local (buckling);
• Propagação instável de descontinuidades na solda;
O Estado limite de fadiga (FLS) é uma subclassificação do estado limite último
voltado apenas para processo de consumo da vida à fadiga. Exemplos específicos de
estados limites de fadiga são descritos abaixo:
• Fadiga de baixo ciclo, como os causados por alças de flambagem;
• Fadiga de alto ciclo (como os ocorridos em vãos livres devido à vibração
induzida por vórtices).
O Estado limite acidental (ALS) é um estado limite cuja verificação é necessária
se o evento possuir uma probabilidade de ocorrência considerável. Eventos de
15
probabilidade de ocorrência mínima podem ser desconsiderados, conforme DNV-OS-
F101[6].
A classificação dos estados limites de acordo com a consequência de sua
exceção é fundamental. Isto porque fatores de segurança distintos podem ser adotados
dependendo da classificação do estado limite em questão. Afinal, não faz sentido impor
o mesmo fator de segurança para estados limites de serviço e estados limites últimos.
2.2.1. COMPARAÇÃO ENTRE A TEORIA DOS ESTADOS LIMITES E
TEORIAS CLÁSSICAS DE PROJETO ESTRUTURAL
PALMER [12] apresenta um breve histórico da teoria do estado limite e sua
utilização na indústria. De fato, até alguns anos atrás poucos códigos de dutos
utilizavam a teoria de estados limites mesmo sabendo que a mesma teoria vem sendo
aplicada na indústria desde a primeira metade do século 20 para estruturas metálicas.
Ao invés da utilização da teoria do estado limite, muitos códigos utilizavam ou
ainda utilizam teorias clássicas de resistência estrutural baseadas em ensaios de tração
uniaxial. O código API RP 2RD[13], por exemplo, ainda utiliza critérios de projeto
baseados no critério de Von Mises. Outros códigos como ASME B31.4[14], ASME
B31.8[15] e o próprio código internacional ISO 13623[3] ainda limitam a tensão
circunferencial trativa máxima ao qual o duto pode ser submetido. Ademais, alguns
códigos limitam também a tensão longitudinal aplicada ao duto, como a própria API RP
1111[16] apesar de tal limitação não se relacionar a nenhum estado limite em particular.
Neste ponto se faz necessária uma avaliação das teorias clássicas de projeto. A
avaliação da teoria de von Mises em projetos de dutos submarino merece atenção
especial. Suponham-se dois casos distintos e hipotéticos do projeto de um duto descritos
abaixo:
• Duto submetido apenas à pressão interna (vide Figura 2.2).
• Duto submetido apenas à pressão externa.
16
Figura 2.2 – Tubo submetido a um pressão interna P
Suponha-se ainda hipoteticamente que em ambos os casos o duto será projetado
utilizando a teoria de von Mises, sem a adoção de fatores de segurança.
Antes do prosseguimento da comparação, se faz importante prover mais detalhes
sobre a teoria de von Mises. Segundo GROEHS[17], a teoria de von Mises ou teoria da
energia de distorção máxima foi apresentada pela primeira vez por M. T. Huber em
1904 e posteriormente desenvolvida por R. von Mises em 1913 e por H. Hencky em
1925. A teoria estabelece que em qualquer ponto de um elemento estrutural a máxima
energia de distorção, por unidade de volume, deve ser inferior à energia de distorção
que produz o colapso do material no ensaio de ruptura por tração simples. De maneira
simplificada, o critério de von Mises é apenas mais um critério de escoamento, que visa
indicar à ocorrência do escoamento em um material submetido a carregamentos
multiaxiais utilizando como comparação os resultados de um ensaio de tração uniaxial.
A fórmula clássica de von Mises é apresentada abaixo:
= √ ( 1 − 2) +( 1 − 2) +( 1 − 2) (2.4)
Onde,
σ1, σ2, σ3 são as tensões principais.
σeq é a tensão equivalente de von Mises.
Retornando ao problema, a tensão equivalente causada pela pressão interna no
primeiro caso poderia ser calculada utilizando as expressões das tensões axiais,
longitudinais e até mesmo radiais providas pela teoria de Lamé, por exemplo. A tensão
equivalente seria então comparada à tensão escoamento extraída através do ensaio de
tração uniaxial.
17
Apesar do critério de ausência de escoamento ser classicamente abordado em
projetos estruturais, é fundamental perceber que o critério é por si pode não ser coerente
em diversas situações. Por exemplo, em dutos, deformações plásticas podem ser
toleradas até certo limite sem comprometimento de integridade da estrutura. Neste caso
específico, a ocorrência de um eventual escoamento limitado apenas a poucos
milímetros da superfície interna, apesar de não desejado, não compromete a capacidade
do duto de contenção do fluido.
O objetivo do autor na apresentação deste primeiro caso hipotético não é
necessariamente sugerir a permissão da plastificação da estrutura, mas sim constatar que
há um conservadorismo implícito na utilização de critérios de resistência, como o
critério de von Mises, visto que o escoamento não representa necessariamente a falha
estrutural. No que se espera de um critério que visa avaliar o limite de resistência da
estrutura, isto não é adequado.
Observando agora o segundo caso, quando a pressão externa do duto excede a
pressão interna, a utilização das fórmulas de Lamé acoplada à teoria de von Mises pode
levar a uma superestimativa da resistência ao colapso do duto. Especialmente em dutos
muito finos em relação ao seu diâmetro, o fenômeno do colapso do duto pode ocorrer
antes do escoamento do material (vide seção 2.3). Sendo assim, a teoria de von Mises é
inadequada nestes casos visto que o fenômeno do colapso é mais influenciado pela
instabilidade geométrica do que pelo escoamento do material.
Abordando agora outros limites impostos em projetos, como a limitação à tensão
circunferencial trativa ou a tensão longitudinal, se constata que os mesmos carecem de
fundamentação técnica para sua utilização. Se considerarmos a limitação única da
tensão circunferencial trativa, significa o mesmo que utilizar o critério de Rankine,
reconhecidamente inadequado para materiais dúteis, para projeto de dutos. Da maneira
semelhante, a limitação da tensão longitudinal em dutos submarinos apoiados no leito é
desnecessária, visto que a instabilidade geométrica proverá a flambagem do duto, dada
sua esbeltez. Sendo assim, a utilização de ambos os critérios para projeto de dutos
submarinos só pode ser justificada por motivos históricos. Conclusões semelhantes são
encontradas em PALMER[12].
Dados diversas inconsistências como as descritas acima, se fez necessário buscar
uma nova abordagem de projeto para dutos através da teoria de estados limites. Ao
18
invés de buscar o refinamento de critérios teóricos para representar mais adequadamente
os modos de falha, preferiu-se desenvolver ou validar equações a partir de ensaios em
escala real ou em modelos de elementos finitos.
As normas DNV-OS-F101[6] e API RP 1111[16] já incorporam a filosofia de
estados limites. Por exemplo, a equação de contenção de pressão interna da API RP
1111[16] foi obtida a partir de mais de 250 testes em escala real e a equação de
carregamento combinado da DNV-OS-F101[6] foi gerada a partir de ensaios e modelos
em elementos finitos conforme apresentado em BRUSCHI[18].
A grande vantagem da utilização de critérios baseados em estados limites é que
as formulações buscam apenas descrever a falha, sem o acréscimo de conservadorismos.
Este fato é relevante dado que além do critério de projeto fatores de segurança são
incluídos na avaliação. Se fontes de conservadorismo forem provenientes de diversas
fontes, o sentido qualitativo de conservadorismo é perdido. A partir deste ponto, só se é
permitido avaliar se um projeto é mais conservativo que o outro, mas quantificação do
conservadorismo é impraticável.
2.3. COLAPSO PURO
2.3.1. DESCRIÇÃO DO FENÔMENO
Colapso de um duto é o fenômeno que consiste no achatamento da seção
transversal do duto devido à aplicação de esforços como pressão externa, flexão e carga
axial.
Figura 2.3 – Tubo submetido ao colapso puro - ESTEFEN[19]
19
O fenômeno denominado “colapso puro” ou “colapso sistêmico” de um duto é o
colapso causado apenas pela aplicação de pressão externa.
O fenômeno de colapso puro é complexo e tem sido vastamente estudado nas
últimas décadas. KYRIAKIDES[20] apresenta um série de pesquisas voltadas para o
estudo do colapso puro e carregamentos combinados coletadas ao longo de mais de três
décadas. Na mesma obra, duas figuras representando o comportamento ao colapso de
dois tubos com relação D/t distinta são apresentadas. Ambas as figuras são reproduzidas
e discutidas ao longo desta seção.
Figura 2.4 – Colapso de um tubo com relação D/t=40 – KYRIAKIDES[20].
Onde,
P é a pressão externa aplicada sobre o tubo.
Pco é a pressão de colapso do tubo.
Pc é o ponto de bifurcação.
wmax / R é o percentual do deslocamento máximo da superfície externa do tubo em
relação ao seu raio.
Observando a Figura 2.4, é possível compreender o comportamento de um tubo
com relação D/t=40 quando submetido à pressão externa.
20
Observando a curva relacionada à geometria perfeita (tubo sem ovalização
inicial – denominado perfect geometry), pode ser percebido que o fenômeno de
instabilidade não se manifesta até uma pressão muito próxima à pressão de colapso Pco.
O ponto em que fenômeno de instabilidade começa a ocorrer se chama pressão
de bifurcação e é indicado pelo símbolo Pc. O ponto de bifurcação Pc é o ponto onde o
modo de flambagem da casca é formado e o tubo começa a perder sua rigidez. Note que
para este caso específico relacionado a tubos muito finos, a relação entre o aumento de
pressão e o deslocamento radial máximo é linear. Isto significa que a ocorrência da
flambagem da casca ocorre no regime elástico do material.
A partir do ponto de bifurcação, a estrutura se comporta como uma coluna que
acabou de sofrer flambagem, ou seja, daqui em diante um acréscimo pequeno ou nulo
na pressão externa pode causar um aumento muito grande do deslocamento radial da
superfície do tubo ”wmax”, levando o tubo ao colapso.
Se o material do tubo for perfeitamente elástico (linha tracejada), após a
passagem por Pc, um acréscimo muito pequeno de pressão leva ao colapso progressivo
da seção. Entretanto, se o material for elástico-plástico (linha cheia), o tubo acaba
adquirindo “rigidez negativa” visto que a partir de certo valor de wmax / R a curva tem
sentido descendente. Na prática, isto indica o colapso instantâneo da estrutura a partir
deste ponto. Isto ocorre porque a perda de rigidez neste caso não ocorre somente devido
a instabilidade geométrica, mas também devido ao escoamento dos pontos mais
solicitados na seção devido à progressão do colapso.
Supondo agora um tubo real, onde há uma imperfeição geométrica inicial
(ovalização de 0.2%). Neste caso, o conceito de pressão de bifurcação não faz mais
sentido, visto que já existe um ovalização inicial do tubo, ou seja, uma imperfeição
inicial, que providencia a instabilidade geométrica. Pelo mesmo motivo, o formato da
curva se distancia prontamente da curva correspondente ao tubo sem ovalização, apesar
do comportamento pós-colapso ser semelhante. Novamente, enquanto a hipótese de um
material elástico leva a necessidade de pequenos aumentos de pressão para progressão
do colapso, o material elástico-plástico, mais próximo ao real, mostra novamente que o
escoamento nos quatro pontos mais solicitado do tubo torna a rigidez do tubo negativa.
Na prática, isto significa o colapso catastrófico mesmo se pressão for mantida constante.
21
Considerando agora um tubo utilizado em águas ultra profundas, este possuindo
uma maior espessura, haverá um comportamento distinto em relação ao da Figura 2.4.
O comportamento de um tubo mais espesso sob colapso é reproduzido na Figura 2.5.
Figura 2.5 – Colapso de um tubo com relação D/t=20 – KYRIAKIDES[20]
Onde,
Po é a pressão de escoamento.
P é a pressão externa aplicada sobre o tubo.
Pco é a pressão de colapso do tubo.
wmax / R é o percentual do deslocamento máximo da superfície externa do tubo em
relação ao seu raio.
Considerando o tubo de geometria perfeita, se percebe que a relação entre a
pressão aplicada e o deslocamento radial máximo da superfície externa do tubo não é
mais linear perto de pressão de bifurcação. Isto acontece porque, ao contrário de tubos
finos, o escoamento do material ocorre antes da bifurcação. Daí a razão de denominar
este tipo de colapso de “colapso plástico”, enquanto o da Figura 2.4 de “flambagem
elástica”.
A relação D / t é o principal parâmetro que determina se um determinado duto
apresentará “colapso plástico” ou “flambagem elástica”. MURPHEY[21] sugere a
Equação (2.5) para determinar a transição. Tubos com relação D/t inferior à calculada
22
pela equação (2.5) apresentam o comportamento denominado “colapso plástico”,
enquanto tubos com relação D/t superior à calculada apresentam o comportamento
denominado “flambagem elástica”.
= ( ) (2.5)
A expressão pode ser desenvolvida a partir da equação da pressão de
escoamento e da pressão de flambagem elástica (vide equações (2.8) e (2.9)).
2.3.2. FATORES QUE INFLUENCIAM O FENÔMENO
A resistência ao colapso puro de tubos depende de uma série de fatores. Alguns
deles são discutidos na tese com o intuito de auxiliar a avaliação das fórmulas que
melhor representam o estado limite.
a) Ovalização: Conforme visto nas Figuras 2.4 e 2.5, a ovalização apresenta
grande influência na resistência ao colapso de tubos. Quanto maior for a
ovalização, menor será a resistência ao colapso de um tubo.
Antes de apresentar um exemplo que corrobore esta conclusão, se torna
relevante definir o conceito de ovalização. Historicamente duas convenções
analíticas foram adotadas para mensurar a ovalização de tubos. As duas estão
apresentadas abaixo:
∆ = (2.6a)
= (2.6b)
Onde,
Dmax é o maior diâmetro externo medido na seção transversal do tubo;
Dmin é o menor diâmetro externo medido na seção transversal do tubo;
D é o diâmetro externo nominal do tubo;
As definições são semelhantes e ambas tem raízes históricas. Ao longo deste
trabalho, ambas aparecerão. A percepção prática mais importante neste
23
momento é que o valor da ovalização “f0” tende a ser o dobro da ovalização
“Δ0”.
A Figura 2.6 reproduz resultados obtidos por KYRIAKIDES[20]. A mesma
mostra o impacto da resistência ao colapso de acordo com a ovalização
inicial dos tubos.
Figura 2.6 – Influência da ovalização na resistência ao colapso de um tubo com relação
D/t=20 – KYRIAKIDES[20].
Avaliando a Figura 2.6 pode ser percebido que a ovalização de Δo de 0.5%
(f0 de 1.0%) pode reduzir a resistência ao colapso em mais de 20% se
comparado a um tubo perfeito (ovalização inicial nula). Tal fato mostra que
um pequeno incremento na ovalização pode causar grande redução na
resistência ao colapso de um tubo.
Tal fato justifica os requisitos normativos da ISO 3183 [22] e DNV-OS-
F101[6], que indicam a necessidade de monitoração das ovalizações dos
tubos fabricados. A DNV-OS-F101[6], por exemplo, requer a medição de
um a cada vinte tubos para tubos com diâmetro nominal externo igual ou
superior a 8.625”. Ainda, o mesmo código requer que a ovalização não
exceda f0 =1.5% (Δo = 0.75%), permitindo um que critério mais restritivo
seja adotado caso requerido para um projeto em particular.
24
A modelagem da ovalização utilizando apenas os parâmetros extremos
consiste em uma modelagem limitada conforme explicado por
FOWLER[23]. De fato, os processos de fabricação induzem formatos aos
tubos não compatíveis com as modelagens simplificadas correspondentes aos
modos de colapso. Sob este aspecto, GUARRACINO[24] propõe uma
consideração analítica alternativa do formato do tubo ao invés de considerar
simplesmente uma modelagem da imperfeição conforme proposto por
(2.16a) e 2.16b). Entretanto, tal caracterização é impraticável durante a
fabricação de tubos, portanto não utilizada em projetos.
b) Anisotropia: a anisotropia é um fenômeno conhecido na fabricação de
qualquer produto metalúrgico. No caso de tubos, a própria matéria-prima,
seu processo de fabricação, entre outros influenciam na divergência da
tensão de escoamento em diferentes direções e sentidos no tubo fabricado.
A anisotropia se manifesta de maneira determinante em tubos com costura
do tipo UOE. Isto ocorre devido à etapa de expansão, necessária
primordialmente para garantir os requisitos normativos de ovalização.
Figura 2.7 – Processo de fabricação do tubo com costura UOE –
KYRIAKIDES[20].
A etapa de expansão é mostrada na fotografia situada na diagonal inferior
direita da Figura 2.7. A expansão induz deformações plásticas a partir da
imposição de tensões de escoamento trativas através de um expansor
25
hidráulico. ERNST & MANTOVANO[25] mostra a tensão de escoamento
no sentido trativo na direção axial e circunferencial de um tubo UOE em
diversas etapas do processo de fabricação:
Figura 2.8 – Tensão de escoamento na direção axial trativa
Figura 2.9 – Tensão de escoamento na direção circunferencial trativa
A partir das Figuras 2.8 e 2.9, pode-se ratificar a influência que o processo
de fabricação traz sobre as propriedades mecânicas do tubo fabricado.
Percebe-se nas Figuras 2.8 e 2.9 que o encruamento leva a um aumento da
tensão de escoamento trativa em relação à tensão de escoamento original da
matéria-prima do tubo (chapa).
26
Vale ressaltar que a tensão de escoamento trativa circunferencial e axial
neste tubo em particular são bem semelhantes. Entretanto, o mesmo não
ocorre no sentido compressivo. A Figura 2.10 mostra exemplifica a
afirmação.
Figura 2.10 – Curva tensão deformação – sentido circunferencial
compressivo – DEGEER[26]
Enquanto a tensão de escoamento trativa no sentido axial permanece bem
semelhante a do sentido circunferencial, as propriedades mecânicas no
sentido circunferencial compressivo são extremamente afetadas pela etapa de
expansão, conforme mostrado na curva de cor azul. Isto ocorre porque o
encruamento no sentido circunferencial trativo causa redução na tensão de
escoamento no sentido circunferencial compressivo. Esta ocorrência pode ser
explicada a partir de um fenômeno denominado “Efeito Bauschinger”.
Dada a importância da tensão de escoamento compressiva na resistência ao
colapso de um tubo explicada nos parágrafos acima, se torna claro que a
redução da tensão de escoamento circunferencial compressiva causa grande
impacto na resistência ao colapso de tubos com costura. De fato, conforme
identificado desde os anos 80 por KYRIAKIDES[20], um tubo UOE de certo
diâmetro e espessura tem resistência ao colapso 15% a 30% inferior se
27
comparado com um tubo sem costura de mesmo diâmetro, espessura e tensão
de escoamento trativa.
Por outro lado, KYRIAKIDES[20] percebeu também que a tensão de
escoamento compressiva e consequentemente a resistência ao colapso de
tubos UOE poderiam ser recuperadas pela aplicação de temperaturas na
ordem de 200oC por poucos minutos. O efeito deste tratamento térmico
“leve” é mostrado também na Figura 2.10 pela curva de cor vermelha, onde a
tensão de escoamento compressiva circunferencial do tubo submetido ao
tratamento térmico leve pode apresentar valores superiores se comparado ao
valor original da chapa do qual o tubo foi fabricado.
Com o objetivo de avaliar a recuperação, DEGEER[26] determinou a
recuperação da tensão de escoamento compressiva para várias temperaturas
distintas, conforme mostrado na Figura 2.11:
Figura 2.11 – Recuperação da tensão de escoamento com a aplicação de
tratamento térmico – DEGEER[26]
O aumento da tensão de escoamento compressiva circunferencial é explicada
a partir do fenômeno de envelhecimento térmico. Quando o tubo UOE é
aquecido por cerca de alguns minutos, os átomos de carbono e nitrogênio
migram por difusão para as discordâncias. Nestas, os mesmos impedem seu
28
deslocamento, aumentando a tensão de escoamento compressiva
circunferencial do tubo e consequentemente sua resistência ao colapso. Mais
detalhes podem ser encontrados em AL-SHARIFF[27].
Vale ressaltar que a temperatura e o tempo necessário para existência da
recuperação das propriedades faz com que seja possível obter a recuperação
apenas pela aplicação do revestimento anticorrosivo. Alguns projetos como
Blue Stream, Mardi Grass e MedGaz segundo KYRIAKIDES[20] já
utilizaram este recurso.
A anisotropia é um fenômeno não tão acentuado em tubos sem costura,
porém existente. KYRIAKIDES[20] fez uma pesquisa envolvendo tubos sem
costura de 4 polegadas de diâmetro externo e relações D/t variando entre
24.44 e 31.97. Nestes a relação entre a tensão de escoamento trativa
circunferencial e a axial varia entre 93% a 100%. Tais resultados corroboram
com o fato de que não é esperado em tubos sem costura diferenças
acentuadas na tensão de escoamento no que tange o sentido de carregamento
(trativo ou compressivo). Entretanto, esta afirmativa só é verdadeira se
durante a fabricação não ocorrerem etapas capazes de causar deformação
plástica no material do tubo como por exemplo a expansão das pontas a frio
e trefilação.
KYRIAKIDES[20] conclui que a resistência ao colapso depende
principalmente da tensão de escoamento compressiva circunferencial do
tubo. A tensão de escoamento na direção axial, trativa ou compressiva,
apresenta apenas uma influência secundária na resistência ao colapso.
Neste contexto, a Figura 2.12 mostra a relação entre a anisotropia “S” e a
resistência ao colapso de tubos.
29
Figura 2.12 – Influência da anisotropia na resistência ao colapso –
KYRIAKIDES[20]
Onde,
S é a relação entre a tensão de escoamento circunferencial trativa e a tensão
de escoamento axial trativa de tubos sem costura.
A Figura 2.12 mostra a influência mais acentuada das propriedades
circunferências no fenômeno do colapso. Além disso, se pode perceber na
mesma Figura que o efeito da anisotropia é mais acentuado em tubos de
menor relação D/t. O fato pode ser justificado mediante a prevalência do
fenômeno da flambagem plástica da casca em tubos de menor relação D/t,
sendo que quanto menor for a relação D/t, maior a influência da anisotropia
no resultado.
c) Curva tensão deformação do material do tubo:
Para o fenômeno de colapso puro a tensão de escoamento compressiva
apresenta um papel relevante na resistência ao colapso conforme discutido
no item anterior. A região plástica da curva tensão deformação também
influencia a resistência ao colapso de tubos espessos, visto que durante a
progressão do colapso, os pontos mais solicitados da seção transversal do
duto experimentarão algum grau de deformação plástica.
KYRIAKIDES[20] apresentou resultados de simulação da resistência ao
colapso de tubos com capacidades distintas de encruamento (diferentes
curvas tensão deformação), porém com a mesma tensão de escoamento e
ovalização. O resultado é reproduzido na Figura 2.13:
30
Figura 2.13 – Influência da curva tensão deformação na resistência ao
colapso – KYRIAKIDES[20]
Onde,
“n” é o expoente da curva Ramberg-Osgood utilizada.
Em primeira vista, ao contrário do que se imagina intuitivamente, o material
com maior capacidade de encruamento possui a menor resistência ao
colapso. A explicação disso reside na magnitude da deformação plástica
ocorrida até a ocorrência da “rigidez negativa”. Neste caso específico, a
deformação plástica ocorrida até colapso é pequena de maneira a fazer com
que o formato da curva tensão deformação influencie no resultado. A Figura
2.14 mostra as curvas tensão deformação utilizadas para execução desta
análise:
31
Figura 2.14 – Curvas tensão deformação utilizadas para análise
Pode ser percebido que para deformações inferiores a 0.5%, o
comportamento se inverte: a curva com menor expoente Ramberg-Osgood se
situa abaixo da curva “n=30”. A curva mais elevada é a “EP” que considera
o material elasto-plástico.
Pode-se concluir que o formato da curva (tipo joelho ou platô) influencia na
resistência ao colapso. Além disso, se pode afirmar que curvas tensão
deformação no sentido circunferencial do tipo platô proporcionam ao tubo
maior resistência ao colapso se comparada a curvas do tipo joelho.
Dado que a deformação plástica inserida na etapa de expansão de tubos com
costura UOE elimina o formato de platô inicial da chapa (vide Figura 2.10),
poder-se-ia concluir que estes teriam menor resistência ao colapso se
comparados a tubos sem costura, cuja ausência de deformação plástica
preserva o platô de Lüders (SAFEBUCK[28]), mesmo se o efeito da redução
da tensão de escoamento compressiva em tubos UOE fosse desconsiderado.
Em relação à presença do platô de Lüders em tubos sem costura, se deve
considerar que métodos de lançamento como o Reel-lay impõem
deformações plásticas superiores e removem o platô de Lüders mesmo da
direção circunferencial (DENNIEL[29]), fazendo com que tubos sem costura
também percam esta eventual vantagem do formato da curva tensão-
deformação.
Ainda, DEGEER[30] mostra que o aumento da resistência ao colapso em
tubos UOE pode ocorrer se o tubo for submetido a pequenas deformações
32
plásticas, tal qual são aplicáveis em stingers de barcos de lançamento S-lay.
Isto é particularmente aplicável em tubos não submetidos à aplicação de
revestimento, em que a capacidade de encruamento do material supera os
malefícios causados pelo aumento da ovalização.
Por fim, se faz necessário ressaltar que as observações apresentadas acima
quanto ao formato da curva são exclusivas para o fenômeno de colapso puro.
Outros fenômenos semelhantes como o carregamento combinado de pressão
e flexão, que envolvem maiores deformações plásticas, não compartilham
das mesmas conclusões. Referência à KYRIAKIDES[20] é sugerida.
d) Tensão residual
Os diversos processos aos quais os tubos são submetidos durante sua
fabricação induzem tensões residuais. Dependendo da magnitude da tensão
residual inserida, a mesma pode reduzir a resistência ao colapso do tubo
fabricado.
KYRIAKIDES[20] realizou simulações com o intuito de avaliar a influência
da tensão residual na resistência ao colapso dos tubos. O resultado é
reproduzido na Figura 2.15.
Figura 2.15 – Influência da tensão residual na resistência ao colapso –
KYRIAKIDES[20].
Onde,
33
σr é a tensão residual medida;
σo é a tensão de escoamento circunferencial do material;
O resultado mostra que a tensão residual tem pouca influência na resistência
ao colapso de tubos desde que sua magnitude seja limitada em até 30% da
tensão de escoamento do material. Felizmente, KYRIAKIDES[20] mostra a
partir de ensaios realizados em tubos utilizados em diversos projetos de
dutos submarinos que a tensão residual raramente ultrapassa 25% da tensão
de escoamento do material.
A DNV-OS-F101[6] e ISO 3183[22] não propõe testes para monitoração da
tensão residual induzida pela fabricação dos tubos. Ainda, exceto pela
fórmula sugerida por MURPHEY[21], não há fórmulas normativas que
considerem explicitamente a tensão residual nos cálculos de colapso. De
fato, a contabilização da tensão residual é atualmente deixada para os fatores
de segurança nas práticas atuais de projeto.
Referindo-se ao item anterior, métodos de lançamento como o Reel-lay não
só não introduzem tensões residuais como podem até reduzi-las.
ESTEFEN[31] e DENNIEL[29] mostram os benefícios causados pelo
método reel-lay neste aspecto, apesar de que este pequeno benefício é
irrelevante perto ao crescimento da ovalização dado pelo efeito Brazier
descrito por PALMER[32], ESTEFEN[31] e DENNIEL[29], entre outros.
e) Excentricidade:
A variação da espessura ao longo do comprimento do tubo é bem pequena no
que tange a tubos fabricados a partir de chapas. Entretanto, tal variação pode
ser bem acentuada em tubos sem costura.
A variação de espessura é bem acentuada dado o próprio processo de
fabricação do tubo sem costura. Dada esta limitação, as normas de fabricação
de tubo DNV-OS-F101[6] e a ISO 3183[22] permitem variações de até
±12.5% em relação à espessura nominal para este tipo de tubo.
Um parâmetro denominado excentricidade é utilizado para mensurar a
variação da espessura de parede ao longo de tubos. A definição de
excentricidade é dada pela Equação (2.7):
34
Ξ = (2.7)
Onde,
Ξ é a excentricidade;
tmax é o maior valor tolerado para espessura de parede;
tmin é o menor valor tolerado para espessura de parede;
KYRIKIADES[20] conclui que a excentricidade implica na redução da
resistência ao colapso dado o desenvolvimento de tensões de membrana
localizadas mais acentuados em pontos de menor espessura.
KYRIAKIDES[20] avaliou a resistência ao colapso de tubos para diversas
excentricidades. Os resultados são reproduzidos na Figura 2.16:
Figura 2.16 – Influência da excentricidade na resistência ao colapso –
KYRIAKIDES[20].
Os resultados mostrados na Figura 2.16 mostram que a excentricidade
apresenta pouca influência na resistência ao colapso desde que a
excentricidade não exceda 10%. Vale ressaltar a tolerância máxima
permitida de ±12.5% nos códigos de fabricação implica em uma
35
excentricidade de 12.5. Na prática, isto indica uma redução na resistência ao
colapso de cerca de 4% na avaliação da Figura 2.16.
2.3.3. FÓRMULAS QUE REPRESENTAM O ESTADO LIMITE
Diversas fórmulas foram propostas ao longo dos anos para estimar a resistência
ao colapso de tubos. Um número considerável de trabalhos foram publicados ao longo
dos últimos 40 anos apresentando ora uma abordagem puramente analítica, ora uma
abordagem híbrida. Boa parte delas com relativo sucesso.
A maioria das fórmulas apresenta um ponto em comum. As mesmas usam como
dados de entrada dois parâmetros clássicos: a pressão de escoamento e a pressão elástica
de flambagem de casca.
A pressão de escoamento é a pressão externa em que a tensão média
circunferencial resistida pela parede do tubo se iguala a tensão de escoamento uniaxial
do material. A equação 2.8 mostra a definição da pressão de escoamento.
P = 2σ (2.8)
Onde,
Po é a pressão de escoamento;
t é a espessura do tubo;
D é o diâmetro externo nominal do tubo;
σesc é a tensão de escoamento circunferencial do tubo;
Vale ressaltar que a Equação (2.8) consiste em uma simplificação para tubos de
paredes finas e não considera as tensões de flexão induzidas pela flambagem da casca
nem a ovalização inicial do tubo.
A pressão de escoamento é utilizada como uma primeira aproximação da pressão
de colapso puro para tubos muito espessos (D/t inferior à 15) conforme indicado por
MURPHEY[21]. Entretanto, a ovalização e os efeitos de plasticidade impostos pela
36
tensão axial não considerada nesta modelagem simplificada tende a desviar os
resultados obtidos por esta formulação em relação aos resultados reais.
Dependendo da versão da fórmula em questão, σesc pode ser a própria tensão de
escoamento trativa axial do material ou a tensão de escoamento trativa circunferencial
dos tubos utilizados nos dutos.
Por outro lado, conforme colocado por VITALLI[33], a utilização da tensão de
escoamento circunferencial compressiva na Equação (2.8) seria mais representativa para
a avaliação da resistência ao colapso de um tubo. Entretanto, várias dificuldades práticas
são encontradas na implantação da medição das propriedades compressivas do tubo,
conforme descrito nos parágrafos abaixo.
Considerando os tubos UOE, a medição da tensão de escoamento compressiva
não é usual e não é obrigatória nos códigos de fabricação de tubos para dutos
submarinos conforme ISO 3183 [22] e DNV-OS-F101 [6]. Porém, não existe uma razão
fora histórica para isto e de fato algumas publicações recentes estão sugerindo a
medição das propriedades compressivas na fabricação de tubos, como DEGEER[26],
por exemplo.
Para tubos sem costura, cabe constatar que a medição da tensão de escoamento
circunferencial compressiva e trativa é extremamente complexa devido a sua limitação
dimensional. É geometricamente impossível em tubos de menor diâmetro extrair
amostras para os testes circunferenciais conforme ASTM A370 [34], mediante a
recomendação de se evitar o achatamento dos corpos de prova. A solução normativa
para resolução desta questão é a execução de teste de tração longitudinal.
KYRIAKIDES[20] propõe equipamentos mais elaborados para medição da anisotropia
de tubos de menor diâmetro, entretanto não se tem notícias até o momento da aplicação
deste equipamento em projetos de dutos submarinos, dada a complexidade implícita
nesta proposta.
Em ambos os casos (tubos sem costura e UOE), a tendência normativa é
continuar com testes de tração axial para tubos sem costura e circunferencial para tubos
UOE, compensando o erro inerente a esta medição “aproximada” das propriedades
relevantes a partir de fatores de ajuste e da calibração de fatores de segurança.
37
Voltando aos parâmetros clássicos, a pressão elástica de flambagem de casca é
a pressão a parede do tubo inicialmente perfeito, isto é, com ovalização nula, assume a
configuração pós-flambagem.
A determinação desta pressão considera a solução da linha elástica para barras
curvas para o primeiro modo de flambagem de casca. A equação clássica mostrada na
Equação (2.9) foi deduzida inicialmente por Bresser em 1866 e reproduzida por
TIMOSHENKO[35].
P = (2.9)
Onde,
Pel é a pressão elástica de flambagem de casca;
E é o módulo de elasticidade do material;
v é o coeficiente de Poisson;
Assim como a pressão de escoamento é utilizada como uma primeira
aproximação para a pressão de colapso e tubos muito espessos, a pressão elástica de
flambagem da casca é utilizada como uma aproximação da pressão de colapso para
tubos de paredes finas (D/t superior à 35).
A aproximação pode chegar a resultados razoáveis já que a ocorrência do
escoamento dos quatro pontos mais críticos da seção ocorre após o colapso em tubos de
paredes finas. Além disso, a pressão de colapso se situa muito próximo à pressão de
flambagem da casca elástica (que neste caso representa a pressão de bifurcação). Por
outro, os resultados dados por esta fórmula são novamente superestimados, já que a
ovalização não é considerada.
A partir da definição da pressão de escoamento e da pressão elástica da
flambagem da casca é possível apresentar as fórmulas de colapso mais utilizadas nos
códigos de projeto de dutos submarinos. Dentre as fórmulas mais utilizadas, quatro se
destacam:
• A fórmula da Shell, adotada pelos códigos API RP 1111[16] e ABS [38];
38
• A fórmula de MURPHEY[21] adaptada para colapso puro, adotada pela API
RP 2RD[13];
• A fórmula clássica apresentada por TIMOSHENKO[35];
• A fórmula de HAAGSMA[36], adotada pela DNV-OS-F101;
A fórmula da Shell reproduzida em (2.10) foi elaborada em 1975 e apresentada
por MURPHEY[21].
P = (2.10)
Onde Pc é a pressão de colapso do tubo;
HARRISON [37] faz um resumo didático do histórico da fórmula. Na prática, a
intenção era apenas apresentar uma alternativa para cálculo da pressão de colapso puro
para tubos com relação D/t intermediário, isto é, entre 15 e 35, já que para valores de
D/t inferiores à 15 e superiores à 35 respectivamente as fórmulas (2.8) e (2.9) poderiam
ser respectivamente utilizadas. Em 1915, Southwell apresentou a proposta de considerar
a transição como o produto entre Po e Pel dividido por sua soma. Nos anos 70, a Shell
revisou a proposta dada que a transição proposta por Southwell subestimava a
resistência ao colapso dos tubos na faixa pretendida, conforme abordado por
HARRISON[37].
Maiores detalhes sobre a fórmula da Shell não foram divulgados para indústria.
Entretanto, algumas discussões já foram elaboradoras sobre a efetividade da desta
fórmula. KYRIAKIDES[20] por exemplo recomenda sua utilização para tubos cuja
flambagem da casca ocorra no regime plástico (D/t inferior à 30) como uma primeira
estimativa para resistência ao colapso, mas ressalta que certos aspectos relevantes não
são contabilizados pela mesma, como a ovalização e a contabilização das tensões
residuais. Ademais, KYRIAKIDES[20] conclui também que o formato da curva tensão
deformação não é contabilizado e que a fórmula pode superestimar a resistência ao
colapso de tubos cujo material tenha grande capacidade de encruamento (curva tipo
joelho).
Tanto a API RP 1111[16] quanto a ABS[38] solicitam a utilização da fórmula
referida para o projeto de dutos independentemente da faixa de D/t em questão. Ambas
adotam fatores de utilização em relação aos resultados finais para adicionar o
39
conservadorismo necessário e cobrir eventuais ineficiências das fórmulas. Para dutos
constituídos por tubos sem costura e com costura os fatores de utilização requeridos são
0.7 e 0.6 respectivamente. O fator de 0.6 para tubos com costura visa penalizar a
redução da tensão de escoamento compressiva dada pela etapa de expansão do processo
UOE.
A fórmula da MURPHEY[21] reproduzida em (2.11) foi divulgada em 1985 e
apresentada por MURPHEY[21] como uma fórmula para avaliação de carregamentos
combinados em deslocamento controlado. A norma API RP 2RD[13] destinada à risers
dinâmicos adotou a equação em questão para o cálculo da pressão de colapso puro:
P = g − s s (2.11)
Onde,
g é a função imperfeição;
s é a deformação induzida por uma eventual aplicação de flexão;
Observando a Equação (2.11) pode se perceber que a fórmula de MURPHEY
[21] acaba derivando na fórmula da Shell com a adição de uma função corretiva
denominada função imperfeição “g”.
A função imperfeição “g” original prevista por MURPHEY[21] buscava não só
incluir não só os efeitos da ovalização, mas também considerar a influência da tensão
residual e da excentricidade. Talvez devido a aspectos práticos, a definição mais
abrangente tenha sido abandonada para fins de projeto e apenas o efeito da ovalização
passou a ser considerado. Nesta visão, segue a versão da função imperfeição “g”
apresentada na API RP 2RD[13]:
f = 1 + (∆ D/t) − ∆ D/t (2.12a)p = P /P (2.12b)
g = (2.12c)
40
Vale a pena ressaltar apenas mais uma diferença em relação à fórmula da Shell.
A tensão de escoamento incluída no cálculo da pressão de escoamento deve ser
corrigida de forma a considerar o efeito de extremidade (end cap force).
Mais uma vez, a literatura dispõe de poucas informações adicionais sobre a
fórmula de MURPHEY[21], dada a sua divulgação limitada.
A fórmula de TIMOSHENKO[35] é uma fórmula não mais utilizada por
códigos na atualidade. Entretanto sua importância histórica é relevante. Esta é a
primeira fórmula que buscou avaliar analiticamente a influência de uma ovalização
inicial no tubo:
(2.13)
O desenvolvimento da equação considera um tubo sujeito a uma ovalização
inicial de primeiro modo (forma elíptica). A solução é desenvolvida a partir da equação
da linha elástica para vigas curvas e visa detectar a pressão em que o somatório das
tensões de membrana e flexão no ponto mais solicitado da seção transversal do tubo se
iguala ou excede a tensão de escoamento. Note que esta é uma premissa em princípio
conservativa visto que após o escoamento ainda há alguma capacidade residual ao
colapso, conforme discutido nos Capítulos anteriores (TIMOSHENKO[35]).
A equação de TIMOSHENKO[35] é recomendada para utilização apenas no
caso de tubos muito finos (alta relação D/t) segundo KYRIAKIDES[20]. Entretanto, a
mesma fórmula vem recebendo diversas críticas, tais como:
• Se por um lado a mesma busca uma aproximação mais adequada do formato
inicial do tubo, por outro é sabido que o formato do tubo inicial do tubo em
bem distinto do formato de uma elipse. Sendo assim, a própria premissa de
consideração da ovalização, utilizada com o intuito de obter maior precisão dos
resultados, insere imprecisões nos resultados obtidos pela fórmula.
• HARRISON[37] ressalta o conservadorismo implícito na consideração do
estado limite como o escoamento do ponto mais solicitado na seção. Além
disso, a tensão de escoamento utilizada consiste apenas no valor extraído de
testes uniaxiais, portanto o efeito de extremidade e sua consequente carga axial
05.11 02 =⋅+⋅
⋅
⋅⋅++− eloceloc pppp
t
Dfpp
41
acaba sendo desconsiderada. Tais premissas adotadas pela fórmula diminuem o
grau de confiança nos resultados adquiridos.
• Ainda assim, diversos aspectos da resistência ao colapso não são contemplados
pela fórmula. Nenhuma consideração é feita sobre a tensão residual,
excentricidade, formato da curva tensão deformação, etc.
A fórmula de HAAGSMA[36] foi apresentada pela primeira vez em 1981
como contraponto à fórmula de TIMOSHENKO[35].( − )( − ) = (2.14)
Enquanto a fórmula de TIMOSHENKO[35] indicava a ocorrência do colapso
quando a soma da tensão de membrana e flexão excedia a tensão de escoamento do
material obtido em um ensaio uniaxial, a fórmula de HAAGSMA[36] determina a
ocorrência do colapso a partir de uma equação de estado limite baseada na pressão
externa exercida em um tubo e o momento fletor causado no sentido radial, onde o
momento fletor resistente máximo é calculado baseado na tensão de escoamento
equivalente de Huber-Hencky.
Parte das limitações indicadas para a fórmula de TIMOSHENKO[35] continuam
sendo aplicáveis para a fórmula de HAAGSMA[36]. A fórmula continua
desconsiderando a tensão residual, excentricidade, formato real do tubo, formato da
curva tensão deformação, etc.
Um ponto interessante é que não é descrito em HAAGSMA[36] é o formato
convencionado para o tubo nas deduções. Segundo GUARRACINO [24], a previsão de
colapso dada por HAAGSMA[36] é mais precisa que a previsão de TIMOSHENKO[35]
dado o formato elíptico inicial proposto nas deduções de TIMOSHENKO[], o que é
bem distante da realidade segundo HENRYNK[39]. De fato, observando o trabalho
original de HAAGSMA[36], se percebe que a fórmula de pressão de flambagem elástica
se difere da apresentada na Equação (2.9), o que indica um modo de flambagem distinto
do “primeiro modo” proposto por Bresser. Entretanto, tanto a DNV-OS-F101[6] quanto
a BS 8010 [9] desprezam a proposta original feita por HAAGSMA[36] e adotam o valor
de Pel conforme Equação (2.9), apesar dos eventuais benefícios detectados por
HENRYNK[39].
42
Apesar de todas estas limitações a fórmula de HAAGSMA[] é adotada em dois
códigos de relevância internacional: DNV-OS-F101[6] e BS 8010[9]. Em ambos os
códigos, nenhuma consideração sobre limitações de aplicabilidade no que tange a
relação D/t é apresentada.
Além das fórmulas mostradas acima, uma literatura vasta propõe diversas outras
equações para maior exatidão da previsão da resistência ao colapso. Por exemplo,
DEGEER[30] propõe uma fórmula que considera o encruamento do material. Ainda,
GUARRACINO[24], propõe um fórmula que visa prever a resistência ao colapso a
partir do conhecimento mais adequado da geometria do tubo fabricado. Outras
fórmulas, como mostrado em FOWLER[23], sugerem a adoção de fórmulas cuja
informação sobre o módulo secante deve estar disponível. Por fim, diversos métodos
numéricos e softwares permitem a computação mais adequada resistência ao colapso.
Várias destas fórmulas propostas pela literatura tem a capacidade de prever com
maior precisão a resistência ao colapso de tubos. Entretanto, cabe ao leitor o
questionamento da validade prática de tais fórmulas no que tange às práticas de projeto
da indústria. Por exemplo, apesar de a mínima tensão de escoamento e a mínima tensão
de ruptura serem requeridas nas normas, além da mínima relação entre tensão de
escoamento e de ruptura, nada é requerido sobre o formato da curva tensão deformação.
O formato real dependerá de uma série de aspectos que variam desde o fornecedor da
chapa até a fabricação do tubo e seu tratamento térmico. A questão que se quer abordar
com este exemplo é que no que tange a equações de projeto, não faz sentido procurar
adotar equações que demandem parâmetros aos quais não se tem a rigor controle
durante a fabricação. Portanto, tais fórmulas serão desconsideradas do escopo deste
trabalho.
2.4. COLAPSO PROPAGANTE
2.4.1. DESCRIÇÃO DO FENÔMENO
Dada à ocorrência de um colapso em um determinado duto proveniente de um
dano externo provocado por terceiros ou por uma corrosão generalizada da seção,
dependendo da pressão externa atuante, o colapso pode se “propagar”, já que a
ovalização da seção adjacente também sofreu acréscimos com a deformação e portanto
43
decréscimo da sua resistência ao colapso, causando o colapso progressivo da seção. Este
fenômeno é denominado colapso propagante. O fenômeno é sumarizado na Figura 2.17.
Figura 2.17 – Colapso propagante causado pela queda de uma âncora –
KYRIAKIDES[20]
A descoberta do fenômeno de colapso propagante é bem recente. Em 1976
MESLOH[40] publicou o primeiro artigo indicando a descoberta do fenômeno. Em
1979, KYRIAKIDES[41] apresentou um estudo analítico do fenômeno com algumas
conclusões práticas. Posteriormente, NETTO [42] em 2000 complementou a avaliação
do fenômeno. Alguns pontos relevantes são destacados abaixo:
• A velocidade de propagação do colapso depende do fluido ao qual o ensaio foi
realizado. Concluiu-se que quanto maior a massa específica do fluido menor a
velocidade de propagação do colapso. Ainda, foi percebido que a velocidade de
propagação tinha uma relação inversa com a relação D/t, de maneira que
quanto maior a espessura do tubo, maior sua velocidade de propagação. Por
fim, percebeu-se também uma relação direta entre a pressão aplicada e a
velocidade do colapso, conforme Figura 2.18:
44
Figura 2.18 – Relação entre a relação D/t, pressão externa, fluido e a
velocidade do colapso - KYRIAKIDES[41].
Na Figura 2.18, lê-se,
U é a velocidade de propagação do colapso;
Pp é a pressão a partir da qual o colapso propagante ocorre;
σo é a tensão de escoamento do material;
ρ é a massa específica do material do tubo;
P é a pressão externa aplicada ao tubo;
Vale ressaltar que a velocidade de propagação do colapso é extremamente alta,
na ordem de centenas de metros por segundo em qualquer meio. Isto significa
que não é possível acompanhar o progresso do colapso durante a vida útil de um
duto, tal qual é feito com a monitoração de trincas, por exemplo. Dada a
magnitude da velocidade de propagação, o processo é quase instantâneo.
• O formato da propagação do colapso também é extremamente dependente da
pressão aplicada. O comprimento característico L do perfil de propagação
(mostrado na Figura 2.19) decresce com o aumento da pressão até cerca do
45
dobro da pressão de propagação, onde o comprimento característico se
estabiliza em cerca de três vezes o diâmetro do tubo.
Figura 2.19 – Perfil de propagação do colapso - KYRIAKIDES[41].
É válido ressaltar que as conclusões apresentadas no parágrafo superior se
referem à propagação do colapso já em um estado estacionário. Existe entretanto
um intervalo de tempo entre o início da propagação e o alcance do estado
estacionário. Mais informações podem ser encontradas em NETTO[42].
• KYRIAKIDES[41] concluiu que uma mudança da orientação do colapso (flip-
flop – vide Figura 2.20) pode ocorrer quando a magnitude da pressão externa
exercida excede 90% da pressão de colapso puro do tubo.
Figura 2.20 – Progressão do modo flip-flop- NETTO [42].
KYRIAKIDES[41] conclui que o modo flip-flop ocorre quando devido a
formação de uma ovalização secundária causada pelo próprio perfil de
46
propagação causa um colapso puro e dá origem a uma nova propagação de
colapso.
Dado o início da propagação do colapso, o mesmo se extinguirá apenas após a
redução da pressão externa (na progressão do colapso em sentido ascendente) ou após
encontrar um obstáculo capaz de impedir a progressão do colapso. Em alguns casos,
alguns acessórios forjados são projetados justamente para esta função e são
denominados “buckle arrestors”.
Figura 2.21 – Tipos de buckle arrestors utilizados em dutos submarinos - JEE[43].
Cabe ao projetista optar por duas estratégias distintas no projeto de dutos
considerando o fenômeno de propagação de colapso. O primeiro e mais adotado na
prática mundial de projeto de dutos submarinos é a adoção de buckle arrestors como os
indicados na Figura 2.20. A adoção dos mesmos permite a redução da espessura de
parede de dutos de maneira significante, visto que a pressão de propagação de colapso é
cerca de quinze a vinte e cinco por cento da pressão de colapso segundo
KYRIAKIDES[41].
A segunda estratégia é o projeto da espessura de parede do duto considerando a
pressão de propagação de colapso. Conforme indicado no parágrafo anterior, esta opção
leva a um aumento de espessura considerável no projeto de dutos e pode até causar
inviabilidades técnicas em vários aspectos. Entretanto, esta alternativa pode ser atrativa
em locais distantes dos grandes centros mundiais, onde a obtenção de recursos navais e
sobressalentes para reparo pode ser difícil dentro do prazo desejado. Por estas e outras
razões, algumas locações mundiais como Austrália e Brasil ainda adotam a utilização
desta alternativa para o projeto de alguns dutos.
Conforme já discutido no Capítulo 1, a opção de utilização de buckle arrestors
não está sendo considerada nesta dissertação devido aos aspectos predominantemente
47
financeiros envolvidos nesta decisão, embora o autor entenda que tal opção seja a mais
adequada em diversos cenários, inclusive no cenário de águas ultra profundas.
2.4.2. FATORES QUE INFLUENCIAM O FENÔMENO
Deve-se primeiramente ressaltar que o fenômeno em questão foi menos
pesquisado nos últimos anos se comparado ao colapso puro, sendo portanto mais difícil
precisar a real influência de parâmetros como tensão residual, anisotropia,
excentricidade, ovalização entre outros no comportamento da propagação ao colapso
com as informações disponíveis hoje na literatura. Entretanto, algumas publicações
atuais já reconhecem a influência de alguns fatores relevantes para o fenômeno.
MESLOH[40] detectou a influência da relação D/t nos resultados. Conforme
reproduzido na Figura 2.22, é indubitável o fato de que a diminuição da relação D/t
leva a um aumento da pressão de propagação do colapso.
Figura 2.22 – Relação entre a pressão de propagação do colapso e a relação D/t -
MESLOH[40].
DEGEER[26] e SLATER[45] indicam que a recuperação da tensão de
escoamento compressiva através da aplicação do revestimento, capaz de reestabelecer
a resistência ao colapso puro em tubos UOE, apresenta um melhoria tímida ou
insignificante no que tange o colapso propagante. Nestes artigos, se justifica que as
deformações envolvidas no processo são muito superiores às relativas ao escoamento,
48
de maneira que a recuperação da tensão de escoamento pouco impacta na pressão de
propagação de colapso.
Algumas publicações abordam também a influência capacidade de
encruamento do material na pressão de propagação ao colapso. Ao contrário do
fenômeno de colapso puro cuja dinâmica do processo acontece predominantemente em
reduzidas deformações, o colapso propagante leva a uma magnitude considerável de
deformação plástica ao longo da seção do duto. De fato, HAHN[61] compara resultados
de testes realizados em tubos sem costura API 5L X-42 e X-65 com os obtidos a partir
de tubos de inox SS-304 e conclui a ocorrência de um sensível aumento na pressão de
propagação do último devido à capacidade de encruamento superior.
2.4.3. FÓRMULAS QUE REPRESENTAM O ESTADO LIMITE
MESLOH[40] propôs em 1976 a primeira abordagem matemática para estimar
analiticamente a pressão de propagação ao colapso de tubos.
P = 6 σ .(2.15)
A equação de MESLOH[40] foi adotada para o projeto de dutos segundo a
ABS[38].
Cabe ressaltar o fato de que a tensão de escoamento é o único parâmetro do
material incluído na equação. Demais fenômenos como anisotropia e capacidade de
encruamento, entre outros, ficam restritos aos fatores de ajuste empíricos da fórmula.
A DNV-OS-F101[6] adotou a fórmula de MESLOH[40] em seu código com
pequenos ajustes nos fatores empíricos:
P = 35 σ .(2.16)
FOWLER[23] propõe uma equação com formato semelhante, porém com
parâmetros distintos para a pressão de propagação do colapso. Tal fórmula é
denominada fórmula de Langner e é utilizada no código API RP 1111[16]:
P = 24 σ .(2.17)
49
KYRIAKIDES & BABCOCK[44] propõe um equação distinta para estimar a
pressão de propagação do colapso:
P = σ 10.7 + 0.54 .(2.18)
Dada a ausência de informações detalhadas sobre o módulo tangente na
concepção do projeto, a BS 8010[9] adotou uma versão simplificada da equação (2.18):
P = 10.7 σ .(2.19)
Note que a única diferença entre as Equações (2.18) e (2.19) é a ausência do
termo referente ao módulo tangente do material. A exclusão do termo é portanto
conservativa. Desta maneira, a Equação (2.19) tende a subestimar a pressão de
propagação do colapso.
50
3. TEORIA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
3.1. INTRODUÇÃO
Qualquer estudo de engenharia relacionado à análise de estruturas demanda a
existência de pelo menos duas entidades distintas:
• uma equação que defina o limiar de falha entre a solicitação imposta e a
resistência esperada do material empregado;
• fatores de segurança que garantam, com determinado risco associado, a
integridade da estrutura quando aplicados à equação supracitada.
Os fatores de segurança de estruturas são estabelecidos nos códigos de projeto.
Os valores de cada fator de segurança em normas tradicionais têm, via de regra,
justificativas e raízes históricas. Isto quer dizer que os valores empregados são quase
sempre provenientes de projetos anteriores, onde seu emprego foi considerado bem
sucedido, isto é, não houve falhas.
Este processo de definição dos fatores de segurança pode levar a estruturas
superdimensionadas. De fato, em alguns casos, fatores de segurança vêm sendo
utilizados há décadas sem qualquer questionamento ou apresentação de qualquer
fundamentação teórica. Só porque um fator tem sido utilizado durante vários anos sem
notícias de falha, não significa que o mesmo seja adequado, pois o mesmo pode
implicar em projetos demasiadamente e injustificadamente onerosos.
Um exemplo clássico da motivação histórica envolvendo fatores de segurança é
o fator de utilização de 0.72. SOTBERG ET AL[46] fez uma pesquisa detalhada com o
intuito de determinar quais premissas técnicas norteavam a definição deste valor
especificamente. O mesmo concluiu que tal valor foi proposto inicialmente por uma
norma americana de tubulações em 1935, em que a pressão de trabalho era arbitrada em
80% da pressão de testes hidrostático aliada a um fator de projeto de 0.9. Do produto
0.8 x 0.9 se derivava o valor 0.72. Apesar do artigo em questão ter sido publicado a
mais de uma década, códigos relevantes no contexto mundial como ASME B31.4[14] e
ASME B31.8[15] continuam adotando o valor referido como obrigatório em projetos.
51
De forma a solucionar esta questão, a teoria de confiabilidade estrutural foi
desenvolvida. A teoria da confiabilidade estrutural permite uma avaliação quantitativa
da probabilidade de falha de uma estrutura qualquer baseado no comportamento
estatístico do carregamento imposto e da resistência do material utilizado na estrutura.
A Figura 3.1 ilustra adequadamente este conceito:
Figura 3.1 – Função densidade de probabilidade de carregamento “fs”e de
resistência “fr” – OAZEN ET AL[5].
A Figura 3.1 mostra a função densidade de probabilidade da solicitação “fs” e a
função densidade de probabilidade da resistência “fr”. A falha ocorrerá na eventualidade
do valor de solicitação exceder o valor de resistência da estrutura. Em uma estrutura
projetada adequadamente, a probabilidade do valor de solicitação exceder a resistência
estrutural, ou seja, a probabilidade de falha, deve ser tão reduzida quanto requerido para
a estrutura em questão.
A equação principal da teoria da confiabilidade estrutural é reproduzida em
(3.1). Cabe ressaltar que o valor numérico da área do domínio de falha não representa a
probabilidade de falha:P = ∫ ∫ f (r)f (s) dr ds (3.1)
Onde,
Pf é a probabilidade de falha da estrutura em questão.
52
Visto a impossibilidade de resolução da equação por integração direta em
diversos casos, vários métodos foram propostos para quantificar a probabilidade de
falha de estruturas. Alguns deles são discutidos nas seções 3.2, 3.3 e 3.4.
3.1.1. UTILIZAÇÃO DA TEORIA DA CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
EM DUTOS
Conforme já discutido no Capítulo 1, a utilização da teoria da confiabilidade
estrutural em dutos é permitida em apenas alguns códigos como a DNV-OS-F101[6], a
BS 8010[9] e a ISO 13623[10], porém há mais de uma década. Entretanto, se tem
notícia de um número reduzido de projetos que tenham se beneficiado de tal alternativa.
De fato, com exceção ao estado limite de contenção de pressão interna cuja
utilização de fatores de seguranças distintos da norma é apenas permitida pela BS
8010[9], qualquer estado limite pode desfrutar dos resultados de uma análise de
confiabilidade estrutural segundo os códigos supracitados.
A ISO 16708[47] descreve dois possíveis cursos de ação para utilização de
análises de confiabilidade estrutural para o projeto de dutos:
• Calcular fatores de segurança adequados para cada duto e operador em
particular, de maneira a configurar uma alternativa aos fatores de segurança
fornecidos pelos códigos de projeto.
• Conduzir uma análise puramente probabilística com o intuito de verificar se a
probabilidade de falha provida pela estrutura é inferior a um critério de
aceitação previamente estabelecido.
Ambas opções têm suas vantagens e desvantagens. A utilização de fatores de
segurança calculados permite uma adaptação menos traumática dos projetistas
acostumados a utilizar os valores propostos pelos códigos de projeto. Por outro lado, a
utilização de análises probabilísticas pode inibir o conservadorismo indesejável
implícito pela linearização da análise, visto que um único fator de segurança é incapaz
de proporcionar uma probabilidade de falha constante para uma faixa extensa de valores
da relação D/t. Tal aspecto será discutido nas seções seguintes.
3.2. SIMULAÇÃO MONTE CARLO
53
A Simulação Monte Carlo foi desenvolvida inicialmente por volta de 1940 para
o projeto Manhattan. A variante mais simples e mais antiga do método é denominado
como método “CRUDE”.
A filosofia envolvida na Simulação Monte Carlo é intuitiva. Suponhamos que
seja necessário calcular a probabilidade de um grão de feijão cair no chão em um raio
limitado de 10 cm. A maneira mais intuitiva de realizar tal avaliação é jogar um número
grande de grãos no chão. O número de grãos localizados dentro do círculo dividido pela
totalidade do número de grãos representa a probabilidade de grãos caírem dentro do raio
de 10cm.
O exemplo trivial acima não pode ser aplicável às estruturas por motivos óbvios
ou à probabilidade de ocorrência muito reduzidas, onde o número de tentativa precisaria
ser muito grande para ocorrência das falha. Nestes casos, é possível simular
numericamente às tentativas. Se por exemplo estiver disponível a função densidade de
probabilidade da resistência de uma estrutura assim como a função densidade de
probabilidade da solicitação imposta a mesma, é possível simular numericamente
diversos valores aleatórios para a resistência da estrutura assim como para sua
solicitação.
No intuito de exemplificar o contexto apresentado no parágrafo acima,
suponhamos a seguinte equação de estado limite “G”:
G = R – S (3.2)
Para esta função específica, o número de vezes em que G obtiver um valor
negativo dividido pelo número de vezes em que se arbitraram valores aleatórios para
“R” e “S” será a probabilidade de falha da estrutura. Basta então ter um procedimento
capaz de gerar adequadamente tais valores aleatórios.
É possível simular valores aleatórios tanto para resistência “R” da estrutura
quanto para solicitação “S” de acordo com o procedimento a seguir. A geração de
valores aleatórios para “R” e “S” se inicia pela adoção de valores aleatórios
uniformemente distribuídos entre 0 e 1. Os valores aleatórios gerados por qualquer
ferramenta computacional como MS Excel, Mathematica, Mathcad, MatLab, etc são
inseridos na função cumulativa de probabilidade de “R” e “S” como sendo a
54
probabilidade de não excedência de cada variável aleatória. Como resultado, valores
aleatórios de “R” e “S” são obtidos.
Considerando um duto submarino como sendo a estrutura em questão, é possível
afirmar que a função de densidade de probabilidade “fr” é influenciada pela função
densidade de probabilidade da tensão de escoamento, da espessura do tubo e etc
dependendo do estado limite considerado. Da mesma maneira, a função densidade de
probabilidade “fs” é influenciada pela densidade de probabilidade da pressão interna do
fluido transportado, no caso específico do estado limite de contenção de pressão. Sendo
assim, para cada variável envolvida na equação de estado limite que posteriormente
formarão os valores de “R” e “S”, é preciso gerar valores aleatórios.
Apesar da facilidade de compreensão e de implementação da Simulação monte
carlo, deve ser ressaltado que até pouco tempo atrás o custo computacional de sua
utilização para probabilidades de falha inferiores à 10-5 era proibitivo. Horas eram
necessárias para determinação da probabilidade de falha em um único cenário para um
único estado limite. Isto advém do fato de que o número de ciclos necessário para que
se calculasse a probabilidade de falha deve ser tal que pelo menos 100 falhas sejam
detectadas na análise numérica conforme requerido DNV CN 30.6 [48]. Isto
corresponde a dez milhões de valores aleatórios gerados para cada variável envolvida,
neste caso em particular.
Felizmente, computadores comerciais modernos, isto é, lançados nos últimos
dois anos são capazes de executar esta análise em uma fração de hora enquanto
computadores do final do século 20 demandavam dias para execução da mesma análise.
ANG & TANG[49] e MELCHERS[50] mostram mais detalhes do método em
questão, assim como variações do método CRUDE que visam reduzir o tempo
computacional. DNV[51] recomenda por exemplo a simulação Axi-ortogonal que
poderia reduzir drasticamente o número de amostras necessárias e reduzir
significantemente o custo computacional para probabilidades de falha inferiores à 10-1.
Entretanto, o autor deste trabalho julga que esta recomendação perde o sentido na
medida que o custo computacional necessário para executar análises considerando o
método CRUDE foi reduzido mediante o aumento da capacidade computacional. Desta
forma, a utilização de métodos mais complexos só se justifica se um número muito
maior e rotineiro de análises for necessário.
55
NOTA TÉCNICA: É importante ressaltar que esta conclusão é válida apenas
para funções de estado limite analíticas ou numéricas de relativa simplicidade. Para
funções de estado limite mais complexas, o custo computacional pode demandar a
utilização de métodos mais complexos, como o “axi-simétrico”, com o intuito de
reduzir o custo computacional requerido.
3.3. FORM (FIRST ORDER RELIABILITY METHOD)
Dado o cenário estabelecido acima no que tange ao alto custo computacional da
Simulação Monte Carlo até o final do século 20, métodos analíticos aproximados foram
desenvolvidos para estimar a probabilidade de falha de estruturas. Um deles é o método
denominado FORM, cujo desenvolvimento data de 1969 na Universidade de Cornell
segundo ANG & TANG[49].
A Figura 3.2 sumariza o conceito envolvido no FORM. No método FORM, o
vetor de variáveis aleatórias U é transformado no vetor de variáveis aleatórias V
normais padrão estatisticamente independentes. A função de falha G(U) é reescrita
como uma função g(V), baseada no vetor V de variáveis aleatórias normais padrão
estatisticamente independentes. Posteriormente, a função g(V)=0, ou seja, a superfície
de falha, é aproximada por uma superfície linear no ponto de projeto (o ponto mais
provável de falha). Mais detalhes podem ser encontrados em SAGRILO[52].
Figura 3.2 –Representação gráfica do método FORM – DNV[51]
56
Esta aproximação pode ser conservativa se a superfície aproximada for convexa,
como na Figura 3.2. Entretanto, se a superfície aproximada for côncava a aproximação é
contra a segurança. Entretanto, SAGRILO[52] indica que para aplicações práticas a
diferença entre os valores reais e aproximados da probabilidade de falha são via de regra
irrelevantes.
Como vantagem do FORM em relação à Simulação Monte Carlo, reside
basicamente o fato de que o custo computacional independe da magnitude da
probabilidade de falha da estrutura, o que o torna recomendado para problemas de alta
confiabilidade segundo DNV[51].
Por outro lado, a implementação de seu código é complexa de difícil validação.
Vale ressaltar que DNV CN 30.6[48] obriga a validação de seus resultados por SORM
ou métodos de simulação, como o próprio método de Monte Carlo, visto que a
ocorrência de uma superfície de falha côncava pode gerar imprecisões consideráveis nos
resultados obtidos. Sendo assim, sua execução por si só não garante certeza numérica do
resultado, independentemente do número de iterações adotado.
Uma vez que a rotina FORM estiver pronta e validada, a mesma pode ser bem
útil para realizar sensibilidade das variáveis envolvidas no fenômeno, visto que
superado o custo inicial e dada a certeza da validade da aproximação, o seu custo
computacional será inferior ao da Simulação Monte Carlo.
As seguintes etapas para utilização do FORM são resumidas abaixo para fins
didáticos. Maiores informações podem ser encontradas em MELCHERS[50] e
SAGRILO[52].
1˚ PASSO – DETERMINAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
EQUIVALENTE:
A primeira etapa do FORM é a transformação das variáveis aleatórias
envolvidas em variáveis normais equivalentes e estatisticamente independentes.
Se não bastasse a complexidade imposta por uma integral no domínio complexo,
nem todas as variáveis aleatórias envolvidas no projeto de dutos são descritas
adequadamente por distribuições normais (gaussiana). Por exemplo, variáveis
relacionadas à solicitação são geralmente melhor representadas por uma distribuição
57
Lognormal de acordo com SOTBERG [11]. Entretanto, isto não é uma regra, pois a
ovalização de tubos, que é uma variável relacionada à resistência, se aproxima mais
adequadamente a uma função lognormal (JIAO [53]).
Com os valores médios e os desvios padrões de cada uma das variáveis é
possível determinar distribuições normais equivalentes para o ponto de projeto
estudado. O procedimento consiste em determinar tais valores a partir do valor
numérico da função densidade de probabilidade e a função cumulativa da densidade de
probabilidade da distribuição original. Neste procedimento, as seguintes equações são
aplicáveis:
σ = [ ( ∗)]( ∗) (3.3a)
μ = x∗ - σ Φ [F (x∗)] (3.3b)
Onde,
são respectivamente o desvio padrão e a média da distribuição normal
equivalente.FX e fX são respectivamente a função cumulativa de probabilidade e a função
densidade de probabilidade da função original.
x* é um ponto qualquer da distribuição da variável X em que se quer obter um
função normal equivalente.
ϕ e Φ são respectivamente o valor da função densidade e cumulativa de
probabilidade da distribuição normal padrão
Cabe ressaltar que a adoção deste artifício só é possível em casos onde as
variáveis são estatisticamente independentes. Quando as variáveis aleatórias são
estatisticamente dependentes é necessária a execução da Transformação de Nataf. Tal
transformação não será detalhada neste trabalho dada a aplicabilidade na análise de
confiabilidade estrutural de dutos, já que correlação entre as diversas variáveis
aleatórias envolvidas nos estados limites estudados é fraca ou negligenciável, segundo
ISO 16708[47].
2˚ PASSO – DETERMINAÇÃO DO VETOR V
58
Para prosseguir o cálculo, é preciso construir o vetor m e a matriz [σ].
Respectivamente, o primeiro se refere a uma matriz que contém a média das variáveis
aleatórias e o segundo se refere à matriz diagonal que possui os desvios padrões das
variáveis aleatórias.
O vetor V que possui a conversão das variáveis aleatórias do vetor U em
variáveis aleatórias normais padrão e estatisticamente independentes é determinada pela
equação matricial abaixo:
V = [Γ] -1 [σ] (U - m) (3.4)
Onde,
Γ é uma matriz identidade de ordem “n”, onde “n” é o número de variáveis aleatórias
envolvidas na função de estado limite, desde que as variáveis aleatórias sejam
estatisticamente independentes.
3˚ PASSO – ESCOLHER UM PONTO DE PARTIDA NO ESPAÇO
ORIGINAL U:
É preciso escolher um ponto de partida para o processo iterativo do FORM de
forma a determinar o índice de confiabilidade. É prática comum adotar o ponto de
partida U como sendo a média das variáveis aleatórias envolvidas no problema.
4˚ PASSO – PONTO DE PARTIDA NO ESPAÇO REDUZIDO V:
O vetor V* é o vetor que liga a origem à superfície de falha com o módulo
mínimo. A metodologia consiste em determinar por iteração o ponto V*, pois a
magnitude de seu módulo é relacionada à probabilidade de falha.
O algoritmo para encontrar o vetor V* é denominado método HL-RF. Para
aplicação deste método, a execução da sequência mostrada abaixo é necessária.
A primeira etapa é calcular o Jacobiano da transformação do espaço original
para o espaço reduzido. Este valor pode ser calculado matricialmente pela expressão
abaixo:
[J]= [Γ] [σ] -1 (3.5)
59
A segunda etapa é determinar o gradiente da função de falha ∇G(U). A derivada
parcial em função de cada variável pode ser disposta em forma matricial, de acordo com
uma matriz diagonal.
A terceira etapa é calcular o valor de G(U), lembrando que G(U) = R – S.
A partir do Jacobiano, do gradiente e de G(U), a adoção das seguintes relações é
necessária:
G(U) = g(V) (3.6)
[J-1]T ∇ G(U) = ∇ g(V) (3.7)
Analiticamente, a adoção das relações acima significa que dizer que o a
distância entre a origem e a superfície de falha, assim como o gradiente (a inclinação)
no ponto da superfície de falha no espaço original e no espaço reduzido é idêntica.
O ponto de partida no espaço reduzido é então determinado de acordo com a
equação abaixo:
V = [J] (U - m) (3.8)
5˚ PASSO – ALGORITMO HL-RF E ITERAÇÕES PARA DETERMINAR
Vnext:
O algoritmo HL-RF pode determinar o vetor Vnext, que será utilizado na próxima
etapa da iteração:
[ ] TTNEXT VgVgVVgVg
V )()()()(
12
∇−∇∇
= (3.9)
O valor de Unext no espaço original pode ser calculado pela expressão abaixo:
60
Unext= U + [J-1]T (Vnext -V) (3.10)
Com o novo valor de U (Unext) é possível repetir os passos 1, 4 e 5 até que a
tolerância estabelecida seja respeitada:
TOLVnext
VVnext<
−(3.11)
6˚ PASSO – CÁLCULO DA PROBABILIDADE DE FALHA Pf:
O índice de confiabilidade β é definido como a distância entre a superfície de
falha e a origem. O índice de confiabilidade β é então o valor do módulo de Vnext
quando a tolerância tende a zero.
A probabilidade de falha (Pf) é então definida como sendo Φ(-β) para a
metodologia FORM.
3.4. SORM (SORM ORDER RELIABILITY METHOD)
A metodologia SORM foi criada em 1987 por Der Kiureghian como uma
tentativa de aumentar a precisão da probabilidade calculada pelo FORM.
A diferença entre a metodologia FORM e SORM é a aproximação da superfície
de falha em espaço reduzido. Enquanto a metodologia FORM aproxima a superfície de
falha do espaço reduzido de uma superfície linear conforme mostrado na Figura 3.2, a
metodologia SORM utiliza a aproximação de uma superfície quadrática.
A aproximação por uma superfície quadrática proporciona uma maior
probabilidade de convergência especialmente em superfícies de falha de maior
gradiente.
Na prática, a grande diferença entre a marcha de cálculo da metodologia FORM
e SORM é a formulação da probabilidade de falha a partir de β. A fórmula da
61
probabilidade de falha na metodologia SORM foi desenvolvida por Breitung, e é
apresentada abaixo:
Pf = Φ(-β) ∏ (1 + βκi) / (3.12)
A determinação das curvaturas κi no ponto de projeto depende da determinação
de derivadas de segunda ordem da função de falha no ponto de projeto, o que traz certas
complexidades numéricas em funções mais complexas.
Se comparado ao FORM, o SORM provê uma maior precisão da probabilidade
de falha calculada com um acréscimo de custo computacional. Mesmo assim, continua
sendo necessária a validação de seus resultados por um método de simulação, conforme
DNV CN 30.6[48].
3.5. CALIBRAÇÃO DE FATORES DE SEGURANÇA
MELCHERS[50] estabelece a sequência necessária para calibração dos códigos
de dutos. Tal sequência, apresentada abaixo, é reafirmada em ISO 16708[53]:
a) Definir a probabilidade de falha alvo;
b) Estabelecer uma faixa representativa da relação D/t para calibração;
c) Definir os valores característicos;
d) Convencionar vários fatores de segurança;
e) Calcular a probabilidade de falha imposta por cada fator de segurança para
alguns pontos situados na faixa de D/t escolhida;
f) Selecionar o fator de segurança mais adequado de acordo com a
probabilidade de falha alvo;
O primeiro passo da calibração é então determinar a probabilidade de falha alvo.
Afinal, esta é uma questão um tanto complexa a ser respondida, visto que a
consequência da falha de dutos pode ser simplesmente não desejável ou ser catastrófico,
com impactos tanto para o operador quanto para o meio ambiente.
No intuito de responder esta pergunta, o primeiro trabalho relacionado a tentar
quantificar a probabilidade de falha tolerável foi feita pelo projeto multiclientes
denominado SUPERB. Tal trabalho é baseado no banco de dados PARLOC (Pipeline
And Riser LOss of Containment database), gerido pelo governo britânico que
62
contabiliza falhas em dutos ocorridas no Mar do Norte, além do benchmarking de
outros códigos estruturais que adotam técnicas de confiabilidade estrutural.
Posteriormente, a filosofia proposta no projeto SUPERB foi adotada como referência
para elaboração dos fatores de segurança da DNV-OS-F101[6].
A tabela 3.1 mostra as faixas de probabilidade de falha toleráveis para o projeto
de dutos submarinos em estados limites últimos:
Tabela 3.1 – Faixa de Probabilidade de falha tolerável – AAMLID [8].
A definição da classe de segurança a ser utilizada no projeto de um duto é
determinada pela conseqüência da falha, que por sua vez depende do fluido
transportado, proximidade da plataforma ou região costeira, dano ambiental, etc.
É importante informar que a probabilidade de falha apresentada na Tabela 3.1
visa apenas os estados limites últimos. Para estados limites de serviço, a faixa de
probabilidade de falha tolerável para as classes “Low” e “Medium” é respectivamente
de 10-1-10-2 e 10-2-10-3. Por outro lado a Tabela 3.1 não é aplicável ao estado limite
último de contenção de pressão, dado que o código internacional de duto ISO 13623[10]
proíbe a alteração dos fatores de segurança para este estado limite em particular.
A faixa de D/t deve ser definida também para a análise de confiabilidade
estrutural. Deve ser notado que a análise de confiabilidade estrutural é não linear e por
isso, exceto por funções de estado limite muito estáveis, um valor numérico específico
para um fator de segurança em particular dará probabilidades de falha bem distintas em
uma faixa restrita de D/t.
A Figura 3.3 extraída de AAMLID[8], mostra a probabilidade de falha obtida
para vários valores da relação D/t, utilizando três valores de segurança distintos para
classe Low, Medium e High.
63
Figura 3.3 –Probabilidade de falha dada para diversos fatores de segurança
para o estado limite de colapso puro – AAMLID[8].
Escolhida a faixa da probabilidade de falha mais adequada para a análise em
questão assim como a faixa D/t de interesse, os valores característicos devem ser
estabelecidos. Isto porque os fatores de segurança são determinados em relação a
valores de referência estabelecidos na operação de calibração. Por exemplo,
normalmente a mínima tensão de escoamento especificada (SMYS) é utilizada como
sendo o valor característico da tensão de escoamento. A tensão de escoamento no
entanto pode assumir qualquer valor aleatório de acordo com a sua distribuição, sendo o
valor característico apenas uma referência numérica para o estabelecimento do fator de
segurança. Em outras palavras, os fatores de segurança determinados somente são
válidos se os valores característicos forem inseridos na fórmula durante a sua utilização.
Se forem arbitrado vários fatores de segurança e para cada um deles for obtida a
probabilidade de falha para diversos valores de D/t, é possível aplicar a equação (3.13)
para determinar o fator de segurança mais adequado.∑ ∑ (P − P ) wi = valor mínimo (3.13)
Onde,
Pf-alvo é a probabilidade de falha alvo, normalmente arbitrada como sendo o
centro da faixa de probabilidade de falha tolerada.
64
wi é a função peso, utilizada para privilegiar certa região da relação D/t na
calibração em detrimento a outra.
O fator de segurança que prover o menor valor da equação (6.13) é o fator de
segurança mais adequado segundo o processo de calibração.
3.6. SOFTWARES DESENVOLVIDOS PARA ANÁLISE DE
CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
Foram desenvolvidos dois softwares para execução das análises de
confiabilidade estrutural apresentadas neste trabalho.
Uma planilha de cálculo utilizando “Visual Basic for Applications” foi
desenvolvida no Microsoft Excel para execução da Simulação Monte Carlo, pelo
método “Crude”. A Figura 3.4 mostra o leiaute do software:
Figura 3.4 – Leiaute do software desenvolvido para Simulação Monte Carlo
Crude
As rotinas de programação exigidas pela metodologia em questão são bem
simplórias. A subrotina principal é reproduzida abaixo. Trata-se da detecção da falha
(função de estado limite inferior à zero) e sua contabilização:
Sub Macro1()
65
'
' Macro1 Macro
' Macro gravada em 20/10/2011 por Oazen
'
' Atalho do teclado: Ctrl+r
'
x = 0
For i = 1 To Cells(7, 4).Value
Calculate
If Cells(2, 11).Value = "1" Then
x = x + 1
Else
x = x
End If
Next i
Cells(8, 4).Value = x
End Sub
Rotinas para metodologia FORM foram desenvolvidas no software Wolfram
Mathematica 7.0. As rotinas são apresentadas nos Anexos A e B.
3.7. LIMITAÇÕES DA ANÁLISE DE CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
Se por um lado a teoria da confiabilidade estrutural proporciona uma visão mais
racional e quantitativa na determinação de fatores de segurança, a mesma possui certas
limitações.
66
Em primeiro lugar, conforme discutido em ISO 16708[47], a teoria da
confiabilidade estrutural não considera erros humanos, portanto estruturas cuja falha é
influenciada por procedimentos operacionais cuja interferência humana é presente
devem considerar tal aspecto, de maneira que o resultado da análise de confiabilidade
estrutural pode inclusive não ser aplicável. Um fato relevante sobre este tópico é que a
maioria das falhas estruturais é causada por erros grosseiros provenientes da ação
humana, segundo pesquisa realizada em mais de 800 falhas estruturais segundo
PALMER[12].
Uma razão da inatratividade da análise de confiabilidade estrutural é a aparente
escassez de dados estatísticos necessários para realização de uma análise adequada. De
fato, exceto pela ISO 16708[47], pouquíssimos dados estatísticos são disponíveis na
literatura aberta. Algumas poucas empresas já possuem vastos bancos de dados e podem
a partir dos mesmos determinar as curvas mais adequadas para cada cenário particular,
porém apenas um número reduzido das mesmas possui informação suficiente para
obtenção de resultados confiáveis.
PALMER[12] cita um aspecto importante quanto a escassez de dados. Enquanto
um número limitado de dados presentes pode indicar em uma distribuição estatística em
particular, talvez a distribuição estatística da cauda pode não ser adequada. Mediante ao
fato de que a falha das estruturas não ocorre em valores próximos à média dos valores
da solicitação imposta e da resistência estrutural, a consideração inadequada do
comportamento estatístico extremo pode subestimar a probabilidade de falha da
estrutura avaliada.
Por estas razões, a principal recomendação no que tange a utilização da teoria da
confiabilidade estrutural em projetos reside na análise crítica dos resultados em
comparação com os fatores de seguranças dos códigos de projeto atuais, assim como
com projetos realizados previamente. Reduções exacerbadas de fatores de segurança em
relação aos valores clássicos devem ser avaliadas criteriosamente e vedadas caso não
haja uma justificativa técnica adequada.
67
4. COLAPSO PURO
4.1. DEFINIÇÃO DA FÓRMULA MAIS ADEQUADA
A fórmula mais adequada é a que apresenta o menor desvio em relação à pressão
de colapso real, na faixa de D/t estudada.
É importante neste momento ressaltar os impactos de uma fórmula ineficaz. A
calibração dos fatores de segurança considera não só as incertezas das variáveis
envolvidas, mas também a incerteza do modelo. Isto significa que quanto maior for a
incerteza da previsão do resultado pelo modelo, maior será a contribuição do mesmo no
fator de segurança. Em outras palavras, uma fórmula com maior incerteza demandará
maiores fatores de segurança se comparado com fórmulas mais precisas.
Com o intuito de determinar a fórmula mais indicada para representar o
fenômeno, as seguintes referências foram consultadas para construção de um banco de
dados o mais representativo o possível:
BANCO DE DADOS DE TUBOS UOE - ESCALA REAL:
• DEGEER[54] publicou dois testes em escala real realizados para o projeto
Mardi Grass em 2004 em tubos UOE. Um dos testes foi realizado com uma
amostra submetida a uma aplicação simulada de revestimento. Todos os tubos
foram fabricados pela Europipe e possuíam relação D/t de 18,5.
• DEGEER[26] publicou cinco testes em escala real realizados para o projeto
Bluestream em 2005 em tubos UOE. Dois dos cinco testes foram realizados
com amostras submetidas a uma aplicação simulada de revestimento. Todos os
tubos foram fabricados pela Europipe e possuíam relação D/t de 19,2.
• STARK[7] apresenta vários testes em escala real de colapso realizados em
tubos UOE. Entretanto apenas em um dos testes a tensão de escoamento
compressiva à 0.5% de deformação foi fornecida. A mesma amostra foi
fabricada pela British Steel (atual Tata Steel) e não foi submetida à tratamento
térmico. A mesma apresentava uma relação D/t de 15,92.
68
• SLATER[45] publicou dois testes em escala real realizados com tubos UOE
fabricados pela Tata Steel com relação D/t de 14,27. Um dos testes foi
realizado com uma amostra submetida a uma aplicação simulada de
revestimento.
• ERNST & MANTOVANO[25] publicou quatro testes em escala real
realizados em tubos UOE com relação D/t de 20. Um dos testes foi realizado
com uma amostra submetida a uma aplicação simulada de revestimento. Todos
os tubos foram fabricados pela Tenaris Confab.
• GRESNIGT[55] publicou o resultado do teste de um tubo UOE de relação D/t
de 26,68. O tubo não foi submetido à aplicação simulada de revestimento e
dados sobre sua origem não foram publicados.
No que tange a tubos UOE, estão disponíveis então o resultado de quinze
ensaios em escala real, onde cinco deles foram submetidos previamente a uma aplicação
simulada de revestimento. Em todos os quinze ensaios, a tensão de escoamento
circunferencial compressiva “Rt 0.5”, conforme ASTM A370 [34], está presente e foi
divulgada.
No que tange a tubos UOE, existe hoje uma quantidade razoável de testes em
escala real publicados na literatura. Entretanto, nem todos os testes publicados possuem
informações compatíveis entre si que permitam sua consideração conjunta. Por
exemplo, o principal motivo de exclusão de testes do banco de dados é convenção
utilizada para medição da tensão de escoamento. Por exemplo, os resultados de testes
publicados em ERNST & MANTOVANO[58], KYRIAKIDES[20] e em STARK[7]
foram excluídos pela ausência de informações quanto à tensão de escoamento
compressiva na convenção “Rt 0.5”. A tensão de escoamento compressiva informada
nestas referências é dada na convenção “Rp 0.2”. Visto que a união em um banco de
dados de testes com estas duas convenções distintas pode ocasionar consideráveis
discrepâncias em curvas joelho, os resultados destes testes foram desprezados. A Figura
4.1 mostra graficamente a diferença considerável de resultados obtida por ambas as
convenções de tensão de escoamento em uma curva do tipo “joelho”.
69
Figura 4.1 – Comparação entre critérios de determinação da tensão de
escoamento – SAFEBUCK[28]
Por outro lado, pela avaliação da Figura 4.1, pode ser percebido que a distinção
entre o resultado obtido por diferentes convenções de tensão de escoamento não ocorre
em curvas contendo um formato de “platô”. Este é o caso das curvas tensão-deformação
obtidas em tubos sem costura utilizados na construção de dutos, que possuem
geralmente um platô de Lüders, ou obtidas após a aplicação do revestimento nos tubos
UOE (vide Figura 2.10). Nestes casos, o valor da tensão de escoamento é, na prática,
insensível ao seu método de obtenção (“Rt 0.5” ou “Rp 0.2”).
BANCO DE DADOS DE TUBOS SEM COSTURA:
Em adição ao banco de dados de tubos UOE, estão presentes também o resultado
de cinco testes realizados em tubos sem costura em escala real. Três resultados foram
apresentados por KYRIAKIDES[20], um por TOSCANO[56] e outro por
GRESNIGT[55]. A relação D/t presente no banco varia de 24 a 28. Exceção é dada ao
resultado apresentado por TOSCANO[56], onde a relação D/t é de 17,69. Nestes testes
de tubos sem costura, apenas tensão de escoamento axial trativa “Rt 0.5” (ASTM A370
[34]) está presente e foi divulgada.
Dada a escassez de resultados de testes em escala real, alguns testes realizados
com tubos em escala reduzida foram incluídos no banco de dados em conjunto com os
testes de escala real. Segue a descrição dos testes que complementam o banco de dados
de tubos sem costura:
70
• Nove testes em tubos de aço publicados em PASQUALINO[64],
sumarizados de trabalhos internos do LTS/COPPE realizados entre 1992
e 1994 por Estefen, Netto, Cyrino e Aguiar.
• Três testes em tubos de aço inox 304, publicados por KYRIAKIDES[20].
Todos os resultados de testes escolhidos para formação do banco de dados de
tubos UOE e tubos sem costura foram selecionados a partir da limitação pré-
estabelecida referente à faixa de D/t. Buscou-se limitar resultados de testes referentes a
tubos ensaiados com faixa de D/t entre 15 e 25. Subentende-se assim cobrir uma faixa
de profundidade compreendida entre 1300 metros 3000m, ou seja, compatível com
águas profundas e ultra profundas.
A comparação entre os resultados obtidos pelas fórmulas citadas no Capítulo 2.2
é feita pelo cálculo do “BIAS” conforme AAMLID[8]. O “BIAS” é definido pela
Equação (4.1).
BIAS = (4.1)
Para cada ensaio, o BIAS deve ser calculado pela Equação (4.1). A média e o
Coeficiente de Variação (desvio padrão do BIAS dividido pela sua média) para conjunto
de ensaios deve ser determinado para cada uma das fórmulas apresentadas no Capítulo
2.2.
Após a execução do procedimento descrito no parágrafo anterior para cada
formulação, é possível comparar as fórmulas através da média e o Coeficiente de
Variação calculado. A “melhor” fórmula será a que a média do BIAS mais se aproximar
ao valor unitário e o Coeficiente de Variação se aproximar ao valor nulo. Na prática,
isto significa escolher a fórmula que reproduz melhor os resultados obtidos no teste.
Entretanto, nem sempre ambas as condições são atendidas. Nestes casos, a
fórmula com menor Coeficiente de Variação deve prevalecer contanto que o BIAS
permaneça constante ao longo da faixa de D/t. Este critério é proposto por AAMLID[8]
dada a intenção de calibração de fatores de segurança com fórmula escolhida. Caso o
BIAS seja relativamente constante ao longo da faixa, a defasagem do BIAS em relação
ao valor unitário pode ser prontamente considerado na fórmula através da multiplicação
da mesma pelo próprio valor médio do BIAS. O mesmo não pode ser dito sobre o
71
Coeficiente de Variação, cuja magnitude implica na própria confiabilidade do modelo.
Quanto maior o Coeficiente de Variação, maior é a incerteza do modelo e portanto
maior será o fator de segurança associado para contemplá-lo.
Considerando todos os testes relativos aos tubos UOE, os seguintes resultados
podem ser obtidos na comparação das fórmulas (Tabela 4.1a):
FÓRMULA BIAS COVHAAGSMA 0,885 8,9%
SHELL 1,003 7,6%MURPHEY 0,931 8,4%
TIMOSHENKO 0,977 9,5%Tabela 4.1a – Comparação de resultados – tubos UOE
Os resultados expressados na Tabela 4.1 mostram que a fórmula da Shell como
a mais adequada se comparando somente os resultados de testes referentes a tubos
UOE. A fórmula apresenta a menor Coeficiente de Variação e o BIAS mais próximo do
valor unitário.
Deve ser ressaltado um aspecto interessante na comparação mostrada na Tabela
4.1. A fórmula de constituição mais simples é que apresenta o melhor desempenho de
acordo com a base de dados adotada. É importante ressaltar que resultados semelhantes
foram encontrados em GRESNIGT[55] e DEGEER[30] no que se refere a bancos de
dados constituídos apenas por tubos UOE. Na próxima referência, também foi
concluído que a fórmula da Shell seria a mais adequada para este tipo de tubo.
É importante enfatizar que a adequabilidade da fórmula da Shell constatada
pelos resultados apresentados na Tabela 4.1a está diretamente relacionada com as
ovalizações típicas encontradas em tubos UOE. Embora o banco de dados mostre que a
ovalização raramente ultrapassa 0.5%, a norma DNV-OS-F101[6] permite ovalizações
de até 1,5% na fabricação de tubos. Sendo assim, para aplicação desta fórmula, se
recomenda a adoção do limite fabril de ovalização de 0,5% (definição f0) para tubos
UOE, em adição aos requisitos da DNV-OS-F101 [6], para evitar o aparecimento de
tubos cuja ovalização exceda consideravelmente o esperado em tubos UOE.
Considerando agora apenas os 17 resultados de testes de tubos sem costura, os
resultados são modificados conforme mostrado na Tabela 4.1b.
72
FÓRMULA BIAS COVHAAGSMA 0,987 9,3%
SHELL 1,075 10,3%MURPHEY 0,996 11,6%
TIMOSHENKO 1,081 9,6%Tabela 4.1b – Comparação de resultados – tubos sem costura
Neste cenário, a situação se inverte: a fórmula de Haagsma seria a fórmula
mais adequada para tubos sem costura, dado que a mesma apresenta o menor
Coeficiente de Variação. Este resultado também é ratificado por GRESNIGT[55] na sua
avaliação referente a um banco de dados referentes à 103 tubos, em VITALLI[33] e em
AAMLID[8].
Independentemente da adequabilidade dos resultados obtidos em comparação
com trabalho anteriores para tubos sem costura, é importante ressaltar que a validade do
banco de dados apresentado é questionável. Alguns tubos em escala reduzida utilizados
no banco de dados não possuem curvas tensão deformação com platô de Lüders ou
mesmo apresentando o comportamento de platô, o que é comumente encontrado na
prática para tubos sem costura reais utilizados em dutos. Outro fato é que a
excentricidade de tubos de pequeno diâmetro, principalmente tubos cuja espessura é
inferior à 4mm, tende a ser maior que em tubos sem costura utilizados em dutos devido
ao seu próprio processo fabril (DNV-OS-F101[6]) . Sendo assim, a tendência é que os
resultados apresentados na Tabela 4.1b sejam incompatíveis com os tubos sem costura
utilizados em dutos.
Finalizadas as comparações entre as formulações propostas no início do estudo,
se convencionou que uma das fórmulas deveria ser definida para cálculo dos fatores de
segurança, com o intuito de permitir a comparação posterior dos resultados obtidos.
Neste contexto, a fórmula selecionada é a fórmula da Shell para condução do restante
das análises pelos seguintes motivos:
• A fórmula da Shell foi selecionada a partir de um banco de dados
contendo tubos UOE utilizados nas construções de dutos submarinos,
enquanto a fórmula de Haagsma foi selecionada a partir de um banco de
dados de tubos sem costura contendo poucos tubos em escala real, cuja
representatividade é questionável (conforme descrito no parágrafo
anterior).
73
• Tubos UOE são utilizados em dutos de exportação, isto é, dutos com
diâmetro considerável e com comprimento elevado, onde qualquer
aumento de espessura apresenta uma relação direta com o aumento do
custo do empreendimento. Para estes dutos especialmente impactados
pelo aumento da espessura, a utilização da fórmula mais adequada para
tubos UOE levaria a um menor fator de segurança e portanto menor
espessura, visto que tal fórmula possui o menor Coeficiente de Variação.
Selecionada a fórmula da Shell e segregando os resultados obtidos por tipo de
tubo e pré-tratamento, outras conclusões podem ser deduzidas:
T
Tabela 4.2 – Comportamento estatístico – Fórmula Shell
Uma análise mais detalhada dos dados apresentada na Tabela 4.2 pode levar às
observações descritas abaixo:
• Fica claro que a avaliação de testes cujas amostras ensaiadas sofreram
aplicação de revestimento em conjunto com amostras prontamente fabricadas é
uma ação inadequada. Tratam-se de duas populações distintas com
comportamentos estatísticos próprios. Por isso, a avaliação distinta das duas
condições permite a diminuição da incerteza do modelo, o que pode contribuir
para a diminuição dos fatores de segurança necessários resultantes da análise
em questão.
• A comparação do BIAS médio entre os testes realizados com e sem aplicação
de revestimentos em tubos UOE mostra que benefícios são esperados na
aplicação do revestimento mesmo sem considerar na avaliação a magnitude da
recuperação da tensão de escoamento. Infere-se que tal resultado é atribuído à
mudança do formato da curva tensão deformação, mais próxima a um platô.
Tal fato corroboraria os resultados reproduzidos na Figura 2.13.
CONDIÇÃO NÚMERO DE TESTES BIAS COVTubos UOE 15 1,003 7,6%
Tubos UOE sem aplicação derevestimento 10 0,947 4,4%
Tubos UOE com aplicação derevestimento 5 1,090 3,9%
Tubos sem costura 17 1,075 10,3%
74
4.2. DEFINIÇÃO DA PROBABILIDADE DE FALHA ALVO
O colapso puro de um duto impede não só sua operação, como causa danos que
comprometem a sua integridade. Sem dúvida, se trata então de um estado limite último.
A próxima questão a ser discutida é então a severidade da falha. Dutos
projetados para colapso puro via de regra são projetados para a pressão interna
atmosférica, ou seja, a premissa de que eventualmente o duto pode ficar vazio ao longo
de sua vida útil. Se o colapso ocorrer quando o duto estiver vazio, então não haveria
vazamento de fluido, portanto alguns julgam que a Classe “Low” seria aplicável a dutos
quando verificados segundo o estado limite de colapso puro (vide AAMLID[8]). Outros
argumentam ainda que o colapso puro não levaria à perda de capacidade de contenção
de fluido dados requisitos de tenacidade e os critérios de aceitação dos ensaios de
dobramento durante a qualificação do processo de manufatura dos tubos, fato que
reafirma a utilização da classe “Low”. Por fim, mesmo que ocorresse a ruptura da
parede do tubo, o diferencial de pressão causaria o ingresso da água no duto e não o
vazamento do conteúdo do duto para o mar.
Por outro lado, o colapso do duto significa interrupção da produção e
necessidade de reposição da região danificada. Dados os custos incorridos dos lucros
cessantes, a seleção da classe “Low” pode não ser economicamente interessante. Por
exemplo, em dutos de exportação de grandes diâmetros, como linhas tronco, a
interrupção de operação do duto pode levar ao desabastecimento da rede de gás e até
mesmo a interrupção da operação das unidades offshore. Sendo assim, não é incomum
projetar dutos considerando a Classe “Medium” para o estado limite de colapso,
independentemente da função do duto.
Polêmicas a parte, conservativamente, este trabalho considerará a probabilidade
de falha alvo de 5 x 10-4 para o estado limite de colapso puro. Esta probabilidade de
falha alvo é a média entre os extremos recomendados pelo JIP SUPERB (AAMLID[8])
reproduzidos na Tabela 3.1 para a classe Medium. Entretanto, a probabilidade de falha
para nenhum valor de D/t pode apresentar probabilidade de falha superior ao limite da
classe “Medium” (10-3).
Por fim, se faz importante afirmar que pesos “wi” foram adotados para
calibração dos fatores de segurança de acordo com a Equação (3.13). Os fatores
75
adotados foram respectivamente de 0,75 , 1 e 1 para respectivamente as relações D/t de
15, 20 e 25. Tais fatores foram convencionados a partir da percepção de que projetos de
dutos em lâminas dágua muito acima de 2200m não são previstos nos próximos anos.
Desta forma, se percebeu como coerente a adoção de pesos distintos para relação D/t de
15.
4.3. DEFINIÇÃO DO MODELO PROBABILÍSTICO E DADOS
ESTOCÁSTICOS.
Indicada a preferência pela fórmula da Shell, a função de estado limite é
determinada pela Equação (4.2):G = BIAS Pc − Pe (4.2)
Onde,
Pc é a pressão de colapso estimada pela fórmula da Shell (2.10).
Pe é a pressão externa exercida pela coluna hidrostática.
Dada a função do estado limite, se faz necessário estabelecer as dados
estocásticos aos quais a análise será realizada. Neste aspecto, os seguintes dados
estocásticos são adotados:
• O módulo de elasticidade é estabelecido como uma distribuição normal com
média 205800MPA e Coeficiente de Variação de 4%, conforme sugerido por
GRESNIGT[55]
• O coeficiente de Poisson é modelado como uma de média 0,297 e Coeficiente
de Variação de 2,6% conforme MELCHERS[50]. Dado o fato que a referência
não sugere uma distribuição estatística para representar a variável nem dá os
dados brutos para permitir a determinação da distribuição adequada, a função
lognormal foi arbitrada dado que o coeficiente de Poisson é uma variável de
solicitação, segundo sugerido por SOTBERG[11].
• A espessura de parede é modelada como uma distribuição normal com a média
referente ao valor nominal. Para tubos UOE, o desvio padrão de 0,25mm é
adotado dado que o controle dimensional de chapas é bem eficiente, conforme
conservativamente sugerido por ISO 16708[47]. Para tubos sem costura, cujo
76
controle mais restritivo de espessura pelo próprio processo é impraticável, uma
Coeficiente de Variação de 3,5% conforme sugerido por GRESNIGT[55].
• A tensão de escoamento trativa circunferencial utilizada neste trabalho é
referente a um tubo com grau API 5L X65. O grau em questão foi escolhido
dado que em comparação com o API 5L X60 possui uma maior Coeficiente de
Variação na distribuição estatística segundo JIAO[53], constituindo portanto
no caso mais conservativo. Uma distribuição normal com média 485 MPa e
desvio padrão de 15MPa foi adotada conforme COLLBERG[59].
• Visto que a calibração foi realizada considerando a tensão de escoamento
compressiva e não a trativa no caso de tubos com costura UOE, o fato deve ser
considerada na análise probabilística, entretanto, não foram encontradas
referências que apresentem dados estatísticos desta propriedade. De forma a
considerar a tensão de escoamento compressiva e não a trativa conforme BIAS
estabelecido na seção anterior, é preciso estabelecer a propriedade estatística da
relação αfab, definida conforme SLATER[45]:
= ã ã (4.3)
A multiplicação da relação αfab pela tensão de escoamento trativa
circunferencial terá como resultado a tensão de escoamento compressiva
circunferencial.
A interpretação dos dados estatísticos de vinte tubos de diversos fabricantes
feitos durante o projeto Oman-India publicados em AAMLID[8] justificam o
valor médio de 0,8265 e o desvio padrão de 0,041. Uma análise de aderência
pelo critério Chi-quadrado foi realizada e corrobora que a variável em questão
pode ser modelada como uma distribuição normal considerando 5% de
significância.
• A modelagem estatística do BIAS como uma distribuição normal também pode
ser comprovada como adequada quando submetida ao critério de aderência
Chi-quadrado considerando 5% de significância.
A pressão hidrostática é adotada como um valor determinístico, dada que a
influência da maré em águas ultra profundas é desprezível. O diâmetro do tubo é
77
considerado também como determinístico visto que seu desvio padrão representa um
milésimo do diâmetro, conforme JIAO[53].
Os seguintes valores característicos foram adotados para a calibração:
• Tensão de escoamento: 450 MPa (SMYS);
• Espessura: valor nominal;
• Módulo de elasticidade: 207000 MPa;
• Coeficiente de Poisson: 0,3;
• Fator αfab: 0,85 para tubos com costura UOE e 1,00 para tubos sem costura;
4.3.1. CONTABILIZANDO A INFLUÊNCIA DO EFEITO DE SISTEMA
NO ESTADO LIMITE DE COLAPSO PURO
A consideração do então chamado “efeito de sistema” se faz importante em
estados limites como o “colapso puro” conforme já discutido no Capítulo 1.2.
JIAO[53] sugere que avaliações referentes ao valores extremos de ovalização
(máximo) e da tensão de escoamento (mínimo) e que ambos sejam avaliados
separadamente na análise de confiabilidade estrutural.
JIAO[53] não sugere a verificação de valores extremos da espessura de parede
sem apresentar argumentos para tal decisão. Na opinião do autor, isto ocorre porque a
espessura de parede ao longo de todos os tubos é verificada durante a fabricação pelo
ensaio de ultrassom conforme DNV-OS-F101[6], de maneira que a ocorrência de
valores extremamente reduzidos, isto é, menores que a tolerância inferior permitida
seriam detectados e consequentemente o tubo seria segregado.
A influência do valor extremo mínimo da tensão de escoamento pode ser
avaliado através de uma função de distribuição potência “n” extrema.CDF = 1 − [1 − CDF] (4.4)
Onde,
CDFmin é a função cumulativa de probabilidade extrema mínima.
CDF é a função cumulativa de probabilidade.
78
n é o número de seções estatisticamente independentes.
A dedução da equação (4.4) é apresentada em ANG & TANG[] e SAGRILO[].
O número de seções estatisticamente independentes é discutida por
SOTBERG[11] e COLLBERG[59]. A última publicação define “n” como sendo o
número de seções ao longo do duto em que as propriedades mecânicas são distintas.
Conservativamente, como comentado por SOTBERG [11], “n” será arbitrado como o
número de tubos aos quais um duto é constituído (comprimento do duto dividido pelo
comprimento unitário de um tubo).
A inclusão do “número de tubos” no cálculo da tensão mínima de escoamento
mostra um aspecto interessante da calibração: que a probabilidade de falha é dependente
do comprimento do duto. Quanto maior o comprimento do duto, menor é a tensão de
escoamento mínima extrema e portanto maior será a probabilidade de falha.
A afirmação contida no parágrafo anterior é verdadeira, porém limitada ao
comprimento do duto. SOTBERG[11] indica que a partir de valores de “n” superiores à
1000, que consistem em aproximadamente um comprimento de 12 km, a relação entre o
comprimento do duto e a probabilidade de falha é praticamente inelástica. A explicação
deste fenômeno reside no fato de que a partir deste valor de “n” a distribuição de
mínimo extremo começa a se aproximar da distribuição assintótica. Maiores
informações podem ser encontradas em ANG & TANG[49] e SAGRILO[52].
Como a fórmula da Shell não possui explicitamente a ovalização em sua
formulação, se torna impossível avaliar a influência do valor extremo da mesma. De
fato, parte da eficácia da fórmula da Shell reside no fato de que as ovalizações reais dos
tubos são bem inferiores às ovalizações limites de códigos como a ISO 3183[22], que
estabelece o limite de f0 para 1,5%, conforme já discutido nesta dissertação. Entretanto,
a limitação do valor extremo fabril da ovalização em 0,5% já proposto na seção 4.3.1
permite que esta abordagem seja desconsiderada para fins práticos, visto que tubos com
ovalização excessiva serão segregados durante a fabricação.
4.4. CASOS AVALIADOS E RESULTADOS
Dados os contornos mostrados nas seções anteriores, fatores de segurança foram
calibrados para os seguintes casos utilizando a fórmula da Shell:
79
a) Dutos constituídos por tubos UOE “conforme fabricados”, isto é,
desconsiderando os efeitos benéficos da aplicação do revestimento.
b) Dutos constituídos por tubos UOE, considerando os efeitos benéficos da
aplicação do revestimento.
c) Dutos constituídos por tubos sem costura, instalados pelo método J-lay ou
reboque.
d) Dutos constituídos por tubos com costura UOE de um fabricante em
particular.
e) Linearidades impostas pela calibração de fatores de segurança.
As próximas seções mostram os resultados obtidos em cada um dos casos.
É importante ressaltar que todos os resultados mostrados neste Capítulo foram
gerados a partir de uma análise de confiabilidade estrutural utilizando a metodologia da
Simulação Monte Carlo ”crude”, exceto quando informado o oposto.
4.4.1. CASO A – DUTOS COM TUBOS UOE “CONFORME
FABRICADO”
A tabela abaixo mostra os resultados obtidos de acordo com o comprimento do
duto:
Fator de segurança Comprimento(km)
1,42 4001,41 801,39 121,37 51,36 21,28 1 tubo
Tabela 4.3 – Fatores de segurança e o comprimento do duto
É importante observar que o fator de segurança mostrado na Tabela 4.3 deve ser
aplicado conforme a Equação (4.5).
Pe = (4.5)
Com o intuito de comparar os resultados, vale observar os valores normativos
dos códigos de projeto de duto submarinos. O fator de utilização proposto pela API RP
1111[16] é de 0.6. Portanto, o fator de segurança é de 1.66. Isto significa que teríamos
80
uma redução do fator de segurança por volta de 15% se for considerado o duto de maior
comprimento. A DNV-OS-F101[6] sugere por sua vez um fator de 1.15 x 1.14 x 1.1, ou
seja, de 1.44, para a classe de segurança “Medium”. Isto mostra que o resultado
encontrado não se encontra notadamente discrepante em relação aos valores praticados
pelos códigos de projeto.
Com o intuito de perceber a influência de cada aspecto considerado na
calibração além de intensificar a comparação com os resultados obtidos na DNV-OS-
F101[6], os fatores de segurança serão divididos em três fatores parciais distintos:
• O fator γm, denominado fator de material, convencionado como 1.15
conforme proposto pela DNV-OS-F101[6];
• O fator γp, denominado fator do “efeito de sistema”. Este fator busca
quantificar o crescimento do fator de segurança apenas pela influência do
comprimento do duto. O fator γp é determinado de acordo com a Equação
(4.6):
= (4.6)
Onde “x km” significa o comprimento do duto ao qual se quer calcular o
fator de segurança γp.
• O fator γsc, denominado fator de classe. Este fator busca quantificar o
resíduo do fator de segurança, isto é, contempla todo o fator de segurança
exceto pelas quantias já contempladas por γp e γm.
Usando as três definições acima, a equação (4.7) se torna aplicável:FS = γ γ γ (4.7)Baseado na equação (4.7), a informação presente na Tabela 4.3 pode ser
reavaliada em termos dos três fatores de segurança parciais supracitados:
81
Tabela 4.4 – Fatores de segurança parciais e o comprimento do duto
Os fatores mostrados na Tabela 4.4 mostram que os fatores γm e γsc permanecem
constantes independentemente do comprimento do duto. Ainda, o fator γp assume o
valor unitário para um único tubo, conforme estabelecido conceitualmente.
Os fatores explicitados na Tabela 4.4 mostram alguns aspectos importantes. O
mais relevante neste primeiro exemplo é o impacto do comprimento do duto no fator de
segurança total. A Figura 4.1 mostra a relação entre o fator γp e o comprimento do duto:
Figura 4.1 – Fator parcial γp e o comprimento do duto
A Figura 4.1 mostra resultados que reproduzem o fenômeno descrito na seção
4.3.1. O comprimento do duto impacta significantemente o fator de segurança
necessário apenas até um comprimento de até 12km. A partir deste comprimento, a
contribuição do aumento do comprimento é apenas marginal. Isto significa que ganhos
podem ser obtidos na avaliação de dutos de coleta, cujo comprimento raramente excede
5 km. Em outras palavras, fatores de segurança de dutos de menor comprimento podem
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
0 100 200 300 400
γP x km
Gama P x km
Km FS γm γp γsc
400 1,42 1,15 1,11 1,1180 1,41 1,15 1,10 1,1112 1,39 1,15 1,09 1,115 1,37 1,15 1,07 1,112 1,36 1,15 1,06 1,11
1 tubo 1,28 1,15 1,00 1,11
82
ser inferiores a fatores de segurança de dutos de maior comprimento para o estado limite
de colapso puro.
Mais uma vez, os fatores de segurança obtidos por esta calibração parecem
compatíveis com os requeridos pelos códigos de projeto. O fator γp das versões
anteriores da DNV-OS-F101-2000[60] era de 1,10, enquanto a calibração propõe um
fator de 1,11 para 400 km, podendo ser reduzido para dutos de menor comprimento. O
fator γsc obtido pela calibração é também de 1,11 para 400km, enquanto os fatores
equivalentes da DNV-OS-F101[6] para a classe “Medium” e “Low” são de 1,14 e 1,04.
A aplicabilidade dos fatores de segurança propostos para dutos lançados pelo
método S-lay é questionável. Caso o lançamento não induza qualquer grau de
deformação plástica, o que é raro para lâminas dágua ultra profundas, os resultados
supracitados permanecem aplicáveis. No caso da deformação plástica se limitar a 1%,
DEGEER[30] conclui que o acréscimo de ovalização proveniente da deformação
plástica seria contrabalanceado pelo encruamento do material. Desta maneira, a tênue
deformação plástica causada pelo lançamento até aumentaria a resistência ao colapso
puro do duto, apesar do aumento da ovalização. Entretanto, esta afirmação ainda carece
de comprovações adicionais, como a contabilização da influência da grande carga axial
imposta pelo método de lançamento S-lay. Se comprovado, tais fatores de segurança
poderiam ser aplicáveis para lançamento de dutos com o método S-lay.
4.4.2. CASO B – DUTOS COM TUBOS UOE COM REVESTIMENTO
Conforme discutido na seção 2.2.2, o formato da curva tensão deformação
induzido pelo envelhecimento térmico, que pode resultar da aplicação do revestimento,
pode aumentar a resistência ao colapso do duto, independentemente da contabilização
da recuperação da tensão de escoamento circunferencial compressiva.
Para a calibração deste caso, os seguintes dados de entrada foram modificados
em relação ao “caso A”:
• A distribuição estatística do BIAS estimados para tubos submetidos à
aplicação de tratamento térmico leve apresentada na Tabela 4.2 foi aplicada.
• O valor médio do αfab adotado foi de 0,938, mantendo o desvio padrão
utilizado no caso “A”. O valor “0,938” foi estimado baseado em ensaios
83
informações encontradas em DEGEER[26] e ERNST &
MANTOVANO[25], contabilizando 6 tubos ensaiados.
• O valor característico utilizado para o αfab foi de “0,938”, de maneira a
manter a coerência com a modificação na distribuição estatística adotada.
Os resultados obtidos são mostrados na Tabela 4.5:
Km FS γm γp γsc
400 1,17 1,15 1,08 0,945 1,13 1,15 1,05 0,94
1 tubo 1,08 1,15 1,00 0,94
Tabela 4.5 – Fatores de segurança parciais e o comprimento do duto
A partir da Tabela 4.5 pode ser percebido que a redução do fator de segurança
foi tão acentuada que o fator γ sc assume valores inferiores a uma unidade, o que é
conceitualmente inconsistente, apesar do valor estar numericamente correto.
A notável redução dos fatores de segurança se atribui principalmente ao aumento
do valor médio do BIAS sem modificação considerável da sua Coeficiente de Variação.
O valor do BIAS quase 9% superior ao valor unitário mostra que a fórmula subestima a
pressão de colapso de tubos submetidos ao fenômeno de envelhecimento térmico. Vale
notar que esta mesma conclusão foi constatada também por KYRIAKIDES[20].
Ainda, cabe observar que os resultados repetem as observações relativas ao
“efeito de sistema”, mostradas no caso anterior. O valor de γp para 400km é de 1,08 ,
consistente portanto com os resultados e observações mostradas no caso “A”.
Por fim, vale ressaltar que as conclusões obtidas por DEGEER[30] relativas aos
efeitos benéficos do lançamento S-lay (pequenas deformações plásticas) na resistência
ao colapso passam a não ser mais aplicáveis, dada a baixa capacidade de encruamento
do material envelhecido. Nestes casos, se comprovada a conclusão de DEGEER[30], os
fatores de seguranças não seriam aplicáveis.
É importante ressaltar que tais resultados mostram apenas uma tendência, visto
que as distribuições estatísticas utilizadas foram deduzidas a partir de um número de
testes reduzidos (5 testes).
84
4.4.3. CASO C – DUTOS COM TUBOS SEM COSTURA
De maneira a refletir as características intrínsecas aos tubos sem costura, as
seguintes modificações em relação aos dados do caso “A” foram implementadas:
• A distribuição estatística do BIAS estimados para tubos sem costura
apresentada na Tabela 4.2 foi aplicada.
• O valor unitário determinístico de αfab foi adotado. Tal fato é coerente com
o BIAS calculado, que considera apenas resultados de corpos de prova de
tração axial dada a dificuldade de extração de amostras na direção
circunferencial.
• A distribuição estatística de espessura de parede de tubos sem costura
sugerida por GRESNIGT[55] apresentada na seção 4.3 é utilizada.
Os resultados obtidos são mostrados na Tabela 4.6:
Km FS γm γp γsc
400 1,44 1,15 1,04 1,205 1,41 1,15 1,02 1,20
1 tubo 1,38 1,15 1,00 1,20
Tabela 4.6 – Fatores de segurança parciais e o comprimento do duto
Conforme discutido previamente na seção 4.1, a comparação entre os resultados
obtidos para tubos UOE e tubos sem costura é uma tarefa complexa dada a falta de
garantia de representatividade do banco de dados referente aos tubos sem costura. Pode-
se prever no entanto que seu fator de segurança total tem a tendência de ser muito
próximo ao proposto para tubos UOE “conforme fabricado”, além de ser bem
semelhante ao valor proposto pela classe “Medium” da DNV-OS-F101[6].
Vale ressaltar que tais resultados não são aplicáveis a dutos lançados pelo
método Reel-lay. A ovalização induzida pela deformação plástica, assim como a
remoção do platô de Lüders, tendem a reduzir a resistência ao colapso puro. Sendo
assim, é vedada a extrapolação dos resultados apresentados acima para a aplicação em
dutos lançados pelo método Reel-lay.
4.4.4. CASO D – DUTOS COM TUBOS UOE DE UM FABRICANTE EM
PARTICULAR
85
As distribuições estatísticas apresentadas na seção 4.3 representam o
comportamento estatístico de um número representativo de fabricantes de tubos de
condução para dutos. Entretanto, cada fabricante possui virtudes e limitações próprias.
Alguns fabricantes têm capacidade técnica para atender ao código de fabricação, sem a
necessidade de dispor de margens de segurança. Outros inserem margens de segurança
em relação aos limites normativos de acordo com suas limitações fabris, com o intuito
de evitar refugos de produção.
SLATER[45] apresenta dados estatísticos obtidos a partir de tubos fabricados
pela Tata Steel. Um dos dados estatísticos disponíveis neste trabalho é distribuição
estatística proposta para espessura de parede: Normal com média normalizada de 1,009
e desvio padrão de 0,2356 mm.
Utilizando a distribuição estatística apresentadas no parágrafo anterior e demais
dados utilizados no caso “A”, é possível calibrar novamente os fatores de segurança. O
fator de segurança para 400km pode neste caso ser reduzido de 1,42 para 1,41.
O resultado desta análise de sensibilidade mostra que a particularização de
fabricantes, assim como a utilização de seus dados estatísticos pode reduzir os fatores de
segurança. A particularização dos fabricantes diminui a Coeficiente de Variação dos
dados estatísticos utilizados, visto que a variância de tubos em uma única fábrica é
menor que a variância avaliada em um conjunto de fábricas. A utilização dos dados não
precisa se limitar apenas à espessura, de maneira que dados disponíveis relacionados à
tensão de escoamento, módulo de elasticidade, etc podem ser incluídos na análise.
4.4.5. CASO E – LINEARIDADES IMPOSTAS PELA CALIBRAÇÃO
Conforme discutido na seção 3.5, a calibração e os fatores de segurança
resultantes deste processo constituem por si só em uma linearização dos resultados
obtidos pela análise de confiabilidade estrutural e que, dependendo da função de estado
limite adotada, valores bem distintos de probabilidade de falha poderiam ser
encontrados para uma faixa relativamente estreita da relação D/t.
No caso particular do estado limite de colapso puro, para a faixa da relação D/t
selecionada, a não linearidade é considerável. A razão disso é a transição da prevalência
da “flambagem elástica” e do “colapso plástico” que ocorre segundo a equação (2.5)
justamente na faixa da relação D/t escolhida para o problema. Sendo assim, quanto mais
86
perto do limite inferior da faixa escolhida para calibração (D/t próximo a 15), as
incertezas pertinentes à tensão de escoamento prevalecerão nos resultados, enquanto às
incertezas do módulo de elasticidade e do coeficiente de Poisson prevalecerão no limite
superior da faixa.
A linearização imposta pela calibração pode ser demonstrada pela apresentação
da calibração realizada para o “caso A”, mostrado na Tabela 4.7. Os dados mais
importantes para discussão a seguir foram destacados em negrito:
FS D/t15 20 25
1,25 9,09E-02 5,01E-02 2,54E-021,3 2,75E-02 1,20E-02 4,83E-03
1,35 6,81E-03 2,28E-03 7,62E-041,36 4,63E-03 1,59E-03 5,23E-041,37 3,74E-03 1,09E-03 3,06E-041,39 1,93E-03 5,17E-04 1,46E-041,4 1,44E-03 3,73E-04 9,70E-05
1,41 1,02E-03 2,34E-04 6,14E-051,42 7,00E-04 1,65E-04 4,10E-051,43 4,83E-04 1,06E-04 2,48E-05
Tabela 4.7 – Probabilidades de falha obtidas durante a calibração do
“Caso A” – 400km
Vale lembrar que o fator de segurança escolhido de acordo com a equação (3.13)
foi 1,42 para o “caso A”. Entretanto, se observa que para o mesmo fator, dependendo da
relação D/t, proporciona probabilidades de falha bem inferiores e superiores à
probabilidade de falha alvo de 5 x 10-4, estabelecida na seção 4.2. Isto é um reflexo da
linearização do problema pela definição de um fator de segurança.
Se ao invés de adotar a estratégia da calibração fosse utilizada uma abordagem
puramente probabilística para calcular a probabilidade de falha conforme descrito na
seção 3.1.1 seria possível adotar menores espessuras para dutos com relação D/t de 20
ou 25. Isto pode ser percebido se observados os valores de probabilidade de falha em
negrito da tabela 4.7, referentes aos fatores de segurança 1,36 e 1,39, respectivamente
para uma relação D/t de 20 e 25.
A partir de tais resultados, é possível concluir que a utilização da abordagem
puramente probabilística é desejável em estados limites cuja não linearidade é
87
considerável, como o estado limite de colapso puro. A utilização de fatores de
segurança nestes casos impõe, dependendo da faixa D/t avaliada, conservadorismos
numéricos não relacionados à fundamentação física do problema, portanto não é
recomendada nestes casos.
NOTA TÉCNICA: Opcionalmente, poderiam ser calibrados fatores de segurança
para faixas de D/t reduzidas. Entretanto a não linearidade é muito acentuada nesta faixa
de D/t do estado limite de colapso puro em particular, de maneira que um número
considerável de calibrações deveria ser executada para cobrir toda a faixa de D/t entre
15 e 25. Caso contrário, seria novamente acumulado um conservadorismo resultante da
linearização do problema. O autor julga esta opção como plausível, porém injustificável
do ponto de vista prático, sendo recomendável a execução da abordagem puramente
probabilística para este estado limite.
4.5. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS PELA SIMULAÇÃO
MONTE CARLO PELA METODOLOGIA FORM
Considerando a caso “A” para um comprimento de 400km, se fez uma análise da
adequabilidade do metodologia analítica FORM. Para tal, as probabilidade de falha
obtidas para três valores de D/t distintos foram comparados. Os resultados são
mostrados na Tabela 4.8:
Tabela 4.8 – Comparação FORM e Simulação monte carlo
Os resultados obtidos pela metodologia FORM são bem próximos aos resultados
obtidos pela Simulação Monte Carlo. Isto é uma indicação de que a metodologia FORM
poderia ser utilizada para análises de sensibilidade, com o intuito de diminuir do esforço
computacional.
Método D/t15 20 25
MCS 7,00E-04 1,65E-04 4,10E-05FORM 6,20E-04 1,32E-04 3,10E-05
Variação -11,43% -20,00% -24,30%
88
A memória de cálculo utilizada na metodologia FORM para o estado limite de
colapso puro é reproduzida no Apêndice A.
4.6. COMENTÁRIOS ADICIONAIS E CONCLUSÕES DO CAPÍTULO
As conclusões a seguir sumarizam as principais discussões e resultados incluídos
no Capítulo:
• Para a faixa de D/t estudada, a fórmula da Shell foi escolhida como a
fórmula que representa mais adequadamente a pressão de colapso puro de
acordo com o banco de dados disponível para dutos constituídos por tubos
UOE. Percebeu-se no entanto que seu desempenho deve ser garantido de
acordo com um controle mais restritivo da ovalização durante a fabricação,
visto que a consideração da ovalização não é explicita na formulação.
• Para a faixa de D/t estudada, a fórmula de Haagsma foi escolhida como a
fórmula que representa mais adequadamente a pressão de colapso puro de
acordo com o banco de dados disponível para dutos constituídos por tubos
sem costura. Tal conclusão deve ser validada posteriormente a partir da
inclusão de resultados de testes de tubos sem costura em escala real.
• Fatores de segurança parciais foram propostos para três cenários distintos
comumente encontrados em águas ultra profundas. Os cenários baseiam-se
em dutos constituídos por tubos com costura “conforme fabricados”, tubos
com costura revestidos e tubos sem costura. Comparando os resultados
contidos nos três cenários, é possível inferir que a adoção de um único fator
de segurança para qualquer tipo de duto, composto por qualquer tipo de
tubo, constitui em um conservadorismo exacerbado.
• Outra questão relevante é a influência do comprimento do duto nos fatores
de segurança. Para dutos menores que 12km, como dutos de coleta, os
fatores de segurança obtidos pela análise de confiabilidade estrutural são
menores em comparação aos calculados para dutos de grande comprimento,
dado que a influência do efeito de sistema é reduzido.
• Comparando os fatores de segurança obtidos para tubos com costura UOE
cuja aplicação do revestimento permitiu o envelhecimento térmico e tubos
UOE “conforme fabricado”, se percebeu que os fatores de segurança podem
89
ser menores na primeira situação. Deve-se ter mente que tal resultado utiliza
uma base de dados insuficiente, portanto a conclusão deve ser avaliada
posteriormente e considerada apenas como uma avaliação de tendência.
• Vale lembrar que os resultados obtidos para os casos “A”, “B” e “C” são
válidos apenas para métodos de lançamento que não imponham
deformações plásticas, como S-lay (em casos mais raros) e o J-lay.
Conforme discutido neste Capítulo, existe uma expectativa de que os fatores
de segurança apresentados sejam válidos para dutos lançados por S-lay para
tubos UOE “conforme fabricado” (caso “A”) para deformações plásticas de
até 1%, a ser verificado posteriormente. Entretanto os fatores de segurança
mostrados nos casos “B” e “C” não são aplicáveis respectivamente para
dutos lançados pelo método S-lay (que induzam deformações plásticas) e
Reel-lay.
• Uma análise de sensibilidade mostrou que benefícios podem ser obtidos
pela consideração de distribuições estatísticas próprias dos fabricantes de
tubos escolhidos para um projeto em particular, ao invés de utilizar dados
abrangentes da literatura. Desta forma, incertezas provenientes de outros
fabricantes não seriam incluídas na análise de confiabilidade estrutural,
levando então à redução dos fatores de segurança.
• Finalmente, mostrou-se que a adoção de uma abordagem puramente
probabilística seria mais adequada ao estado limite de colapso puro, dada a
não linearidade do problema. A calibração de fatores de segurança neste
caso implica em conservadorismos desnecessários por este motivo.
• Uma análise de sensibilidade mostrou que não se esperam diferenças
consideráveis utilizando a metodologia FORM ou a Simulação Monte Carlo
para determinação da probabilidade de falha. Desta forma, a metodologia
FORM poderia aparentemente ser utilizada para execução de análise de
sensibilidade.
90
5. COLAPSO PROPAGANTE
5.1. DEFINIÇÃO DA FÓRMULA MAIS ADEQUADA
Ao contrário dos testes de colapso puro, poucos testes em escala real de colapso
propagante foram publicados na literatura, como reflexo da tendência mundial de
utilização de buckle arrestors. Por esta razão, alguns testes em escala reduzida
encontrados na pesquisa bibliográfica serão utilizados para determinação da fórmula
mais adequada.
O banco de dados utilizados é composto pelos seguintes testes:
TUBOS UOE:
• Oito testes em escala real de tubos UOE com relação D/t variando de 14,3 a
20,3, onde quatro deles não foram submetidos à aplicação de revestimento e
quatro foram submetidos à aplicação de revestimentos simulados. Os testes
foram extraídos de DEGEER[54] (Projeto Mardi Grass), DEGEER[26]
(Projeto Blue Stream), SLATER[45] (Tata Steel) e ERNST &
MANTOVANO [25] (Tenaris).
TUBOS SEM COSTURA:
• TOSCANO[54] apresenta o resultado de um teste realizado em um tubo
sem costura API X65 de 12,75”, com relação D/t de 17,7.
• ESTEFEN[57] apresenta o resultado de testes em treze tubos de escala
reduzida, com relação D/t variando entre 16 e 25,4. Destes treze tubos,
cinco tubos de aço, enquanto o restante dos tubos eram tubos de alumínio.
• KYRIAKIDES[65] apresenta o resultado de nove testes realizados em tubos
de aço inox de escala reduzida com relação D/t entre 14,5 e 24,2.
• KYRIAKIDES[66] apresenta o resultado de um teste realizado em um tubo
de aço inox de escala reduzida com relação D/t de 18,2.
• ESTEFEN[67] apresenta o resultado de nove testes realizados em tubos de
escala reduzida com relação D/t inferior à 15 e superior à 11.
É preciso que seja estabelecida a faixa da relação D/t a qual a análise será
realizada. Novamente a faixa entre D/t de 15 a 25 será avaliada dada a limitação prática
91
de aplicação do estado limite de colapso propagante. Entende-se que para profundidades
acima de 1400m, a utilização do estado limite de colapso propagante ao invés da adoção
de buckle arrestors é impraticável devido a diversas limitações técnicas relacionadas ao
aumento da espessura dos dutos. Sendo assim, os resultados deste trabalho são válidos
até um limite de profundidade de 1400m.
O desempenho das fórmulas para os oito ensaios de tubos UOE em escala real e
para os quarenta e dois ensaios de tubos sem costura (sendo quarenta e um em escala
reduzida) é avaliado separadamente. Os resultados obtidos são reproduzidos na Tabela
5.1 e na Tabela 5.2, novamente adotando a definição de BIAS de acordo com a equação
(4.1):
FÓRMULA BIAS COVMESLOH 1,034 10,7%
DNV 1,003 10,7%FOWLER 1,096 10,7%
BS 1,596 11.1%Tabela 5.1 – Comparação entre resultados – tubos UOE
FÓRMULA BIAS COVMESLOH 1,041 11,0%
DNV 1,010 11,0%FOWLER 1,103 11,3%
BS 1,604 12,6%Tabela 5.2 – Comparação entre resultados – tubos sem costura
As Tabelas 5.1 e Tabela 5.2 mostram que a fórmula proposta pela DNV seria a
mais adequada independentemente do duto ser composto por tubos UOE ou sem
costura, embora seja percebido que o desempenho proposto tanto pela fórmula de
Mesloh quanto pela fórmula de Fowler se assemelham notavelmente ao desempenho da
fórmula da DNV.
5.2. DEFINIÇÃO DA PROBABILIDADE DE FALHA ALVO
A definição da probabilidade de falha alvo para o estado limite de “colapso
propagante” merece uma discussão filosófica dedicada. Isto porque o colapso
propagante só ocorrerá se o duto for submetido a um dano inicial que provoque o
colapso da seção. Sendo assim, o evento de propagação do colapso é um evento
condicionado, diferentemente do “colapso puro” ou “contenção de pressão interna”.
92
COLLBERG[59] discute a probabilidade de falha do estado limite do colapso
propagante. A Equação (5.1) mostra a filosofia da probabilidade de falha condicionada
apresentada nesta referência:P = P P P (5.1)
Onde,
Pimpacto é a probabilidade da ocorrência de algum evento capaz de modificar o
formato original do duto, como a queda de um objeto de uma embarcação navegando
próximo a sua rota.
Pf-colapso é a probabilidade deste evento causar um dano, gerando um colapso no
duto.
Pf-propagação é a probabilidade deste colapso se propagar, se tornando um “colapso
propagante”.
NOTA TÉCNICA: A corrosão localizada não é considerada nesta equação dado
que, ao final do cálculo da espessura mínima necessária para o projeto de dutos, a sobre-
espessura de corrosão compatível com o serviço e com a vida útil do empreendimento é
somada à espessura mínima. Sendo assim, a probabilidade de propagação do colapso
devido a uma corrosão localizada no duto é considerada nula durante a vida útil de
projeto.
Em analogia com a seção 4.2, a Pf-propagação é calculada a partir de métodos de
confiabilidade estrutural. Entretanto, o valor de Pimpacto e Pf-colapso demanda discussões
probabilísticas adicionais.
Pimpacto pode ser calculado a partir de DNV-RP-F107[62]. Este código considera
fatos como a relação entre a rota de navegação e a rota do duto, a proximidade em
relação a uma plataforma, atividades de pesca, atividades de ancoragem, vida útil do
duto, diâmetro e comprimento do duto avaliado assim como qualquer outra atividade ou
característica capaz de intervir indesejavelmente com o duto. Vale então perceber que
dutos com comprimento reduzido, menor diâmetro, afastados de plataformas e distantes
de rotas comerciais apresentam probabilidade de impacto bem reduzida se comparado
com dutos de grande diâmetro e comprimento, cuja diretriz é paralela e próxima a rotas
comerciais de navegação. Apesar da contabilização da probabilidade de impacto não ser
93
uma tarefa propriamente complexa, esta depende particularmente de cada cenário, não
podendo ser particularizada para diversos casos, tal qual foi feito para os tipos de tubo
utilizado na construção do duto na seção 4.4. Em outras palavras, não há como definir
um conjunto de valores práticos de probabilidade de falha sem incorrer em
conservadorismos exacerbados em alguns casos em particular.
Pf-colapso pode ser calculado conforme proposto por KYRIAKIDES[20].
Conforme apresentado nesta publicação, testes validam o fundamento de que o formato
do objeto causador do dano tem influência apenas secundária na resistência ao colapso,
enquanto a ovalização induzida pelo dano desempenha um papel principal no fenômeno,
de maneira que quanto maior for a ovalização induzida, menor a resistência residual de
colapso do tubo. A maior dificuldade nesta avaliação é a precisão da ovalização causada
pelo dano, isto porque a mesma é dependente da energia cinética do objeto que causa o
dano. Dado que a energia cinética depende de parâmetros como a massa e as dimensões
do objeto, assim como a resistência do tubo depende da sua relação D/t e tensão de
escoamento conforme DNV-RP-F107[62], novamente então o problema configura a
necessidade de análises estatísticas dedicadas a cada cenário, sendo impraticável
novamente determinar um único valor que seja conservativo para qualquer situação e
não ser extremamente conservativo para algum dos casos.
A DNV-OS-F101[6] propôs uma solução prática para este assunto. Mesmo
correndo o risco desta proposta gerar conservadorismos exacerbados para casos em
particular, a DNV-OS-F101[6] propôs que a probabilidade de falha ao qual o estado
limite de colapso propagante seria calibrado seria de 10 a 100 vezes superior aos
demais estados limites. Analiticamente, isto significa que o produto “Pimpacto x Pf-colapso“
assumiria valores entre 10-1 e 10-2. Conforme discutido nos parágrafos acima, tal
premissa pode ser muito conservativa e se recomenda sua avaliação projeto a projeto.
Considerando o valor do produto supracitado assumindo o valor de 10-1, então as
probabilidades de falha alvo para as classes “Medium” e “Low” serão então 5 x 10-3 e 5
x 10-2 respectivamente.
Antes de prosseguir com a definição dos valores de probabilidade de falha alvo,
é fundamental discutir um pouco mais o fenômeno da propagação do colapso.
COLLBERG[59] ressalta que a probabilidade “Pf-propagação“ é a probabilidade do
colapso se propagar no tubo danificado, mas a probabilidade do colapso se propagar
94
através dos dois tubos adjacentes será ainda menor. Por exemplo, a probabilidade do
colapso se propagar pelo menos dois tubos é de “2 Pf-propagação²- Pf-propagação3”. Atribuindo
valores numéricos, se Pf-propagação possui o valor de 5 x 10-2, então “2 Pf-propagação²- Pf-
propagação3” assume o valor de 4.8 x 10-3, portanto muito pequeno.
O ponto principal da discussão acima é avaliar se realmente é necessário assumir
classes diferentes da “Low” para o colapso propagante. Deve ser dito que o reparo de
uma um ou dois tubos não implica custos adicionais significativos se comparado ao
reparo de um colapso pontual (caso o colapso não se propague). Em ambos os casos, o
reparo pode ser feito utilizando apenas conectores “diverless” e “spools” conforme
proposto por OILSTATES[63]. O limite prático de construção e instalação de spools é
de cerca de trinta metros de comprimento, o que dá aproximadamente um comprimento
de três tubos danificados. Citando o parágrafo acima, vale ressaltar que a probabilidade
do trecho danificado exceder três tubos é ainda menor.
Baseado nas constatações acima, é recomendada a adoção da classe “Low” para
o estado limite de colapso propagante, visto que a probabilidade da extensão do dano
ainda permitir o reparo por “spools” sem acréscimo considerável de custos de reparo é
alta.
Adicionalmente aos fatores de segurança visando o atendimento à classe “Low”,
serão apresentados em conjunto com os fatores de segurança da classe “Medium”
apenas para informação.
5.3. DEFINIÇÃO DO MODELO PROBABILÍSTICO E DADOS
ESTOCÁSTICOS.
Indicada a preferência pela fórmula da DNV, a função de estado limite é
determinada pela Equação (5.2):G = BIAS P − (5.2)
Onde,
Pp é a pressão de propagação do colapso estimada pela fórmula da DNV (2.16)
Pe é a pressão externa exercida pela coluna hidrostática.
95
Dada a função do estado limite, se faz necessário estabelecer as dados
estocásticos aos quais a análise será realizada. Neste aspecto, os dados estocásticos
utilizados são idênticos aos adotados para calibração do estado limite de “colapso puro”:
Maiores informações podem ser encontradas na seção 4.3.
Um ponto importante sobre a análise de confiabilidade do estado limite de
colapso propagante é que esta não considera os efeitos de sistema. A razão disso é que
não se espera que o objeto ou ação que venha a causar o dano no duto atue exatamente
no tubo de “menor resistência extrema” do duto. A utilização de correções para
considerar o efeito de sistema no “colapso propagante” seria portanto muito
conservativo e inconsistente.
Os valores característicos para cada variável estocástica apresentada no Capítulo
4 para estado limite de “colapso puro” também permanecem aplicáveis ao estado limite
de colapso propagante.
5.4. CASOS AVALIADOS E RESULTADOS
Dados os contornos mostrados nas seções anteriores, fatores de segurança foram
calibrados para os seguintes casos:
a) Dutos constituídos por tubos UOE.
b) Dutos constituídos por tubos sem costura, instalados pelo método J-lay ou
reboque.
As próximas seções mostram os resultados obtidos em cada um dos casos.
Baseado na discussão apresentada na seção 4.4, novamente fatores de segurança
parciais são adotados conforme informado na equação (4.6). Entretanto, o fator γp será
considerado como inexistente (valor unitário) já que os efeitos de sistemas não são
considerados na calibração do estado limite de “colapso propagante”. Novamente, o
fator γm assumirá o valor de 1,15 com intuito de permitir a comparação com os valores
da DNV-OS-F101[6].
É importante ressaltar que todos os resultados mostrados neste Capítulo foram
gerados a partir de uma análise de confiabilidade estrutural utilizando a metodologia de
Simulação Monte Carlo ”crude”, exceto quando informado o oposto.
96
5.4.1. CASO A – DUTOS CONSTITUÍDOS POR TUBOS UOE
As Tabelas 5.3 e 5.4 mostram os resultados obtidos durante a calibração para a
classe “Low” e “Medium”:
γscD/t
15 20 251,02 6,50E-02 6,22E-02 6,04E-021,03 4,78E-02 4,70E-02 5,56E-021,04 4,00E-02 4,20E-02 4,30E-021,05 3,60E-02 3,72E-02 4,04E-02
Tabela 5.3 – Calibração do fator de segurança – Classe Low
Tabela 5.4 – Calibração do fator de segurança – Classe Medium
A partir das tabelas 5.3 e 5.4, algumas percepções podem ser extraídas:
• As Tabelas 5.3 e 5.4 mostram que os fatores de segurança calculados são
razoavelmente semelhantes com os valores propostos pela DNV-OS-
F101[6]. Neste código, os fatores γsc são 1,04 e 1,14 respectivamente para
as classes “Low” e “Medium”. Para a classe “Low”, o fator de segurança
proposto é um pouco inferior ao da DNV-OS-F101[6].
• As Tabelas 5.3 e 5.4 mostram também uma variação pequena entre as
probabilidades de falha entre a faixa de D/t estudada. Isto é um sinal de
que a adoção de um fator de segurança para toda a faixa proporciona um
conservadorismo uniforme, ao contrário do estado limite de “colapso
puro”.
A influência do envelhecimento térmico a partir da aplicação do revestimento
não pode ser avaliada com precisão devido à escassez de dados. Por outro lado, o
resultado dos quatro testes presentes em amostras submetidas ao tratamento térmico
γscD/t
15 20 251,14 1,01E-02 1,02E-02 1,01E-021,16 7,47E-03 7,44E-03 7,32E-031,17 5,91E-03 5,88E-03 6,45E-031,18 5,07E-03 5,70E-03 5,78E-031,19 4,82E-03 4,34E-03 4,98E-031,20 4,42E-03 4,02E-03 3,86E-03
97
simulado pode ser comparado com os resultados dos demais quatro testes realizados em
tubos “conforme fabricados”. Os resultados, que devem ser considerados apenas como
indicativos, são mostrados na Tabela 5.5:
BASE DE DADOS BIAS COVDNV UOE 1,003 10,7%
DNV UOE “CONFORME FABRICADOS” 1,031 11,5%DNV UOE “COM REVESTIMENTO” 0,975 10,4%
Tabela 5.5 – BIAS e Coeficiente de Variação para diversos bancos de dados
A partir da Tabela 5.5 infere-se um comportamento previsto na seção 2.3.3. Ao
contrário do estado limite de “colapso puro”, a redução da capacidade de encruamento
do material aparentemente apresenta impacto negativo na resistência à propagação do
colapso. Enquanto a fórmula subestima a resistência à propagação do colapso de tubos
“conforme fabricados”, a resistência à propagação de colapso de tubos submetidos a
uma aplicação de revestimento simulada é superestimada (BIAS menor que um).
Cabe ressaltar que se testes adicionais comprovarem o BIAS apresentado para
tubos UOE “conforme fabricados”, uma redução dos fatores de segurança apresentados
nesta seção pode ser praticada. Análises de sensibilidade mostram que os fatores
parciais γsc podem ser reduzidos para 1,02 e 1,18 para as classes “Low” e “Medium”
respectivamente. Por outro lado, o oposto ocorrerá com tubos submetidos a um
tratamento térmico simulado. Nestes casos, análises de sensibilidade mostram que os
fatores parciais γsc teriam que ser modificados para 1,04 e 1,21 para as classes “Low” e
“Medium”.
5.4.2. CASO B – DUTOS CONSTITUÍDOS POR TUBOS SEM COSTURA
A tabela abaixo mostra os resultados obtidos durante a calibração para a classe
“Low” e “Medium”, utilizando os dados de BIAS apresentados nas Tabelas 5.6 e 5.7 :
γscD/t
15 20 251,02 5,07E-02 5,07E-02 5,64E-02
1,03 5,01E-02 4,53E-02 4,86E-02
1,04 4,83E-02 4,29E-02 4,95E-02
98
Tabela 5.6 - Calibração do fator de segurança – Classe Low
Tabela 5.7 - Calibração do fator de segurança – Classe Medium
Mais uma vez, o banco de dados é considerado não representativo o suficiente
para permitir uma comparação precisa entre os resultados obtidos para tubos UOE e
tubos sem costura. Entretanto, novamente, os resultados obtidos a partir de um banco de
dados extremamente heterogêneo resultou em fatores de segurança razoavelmente
próximos aos da DNV-OS-F101[6].
Vale ressaltar mais uma vez que tais resultados se baseiam em dutos não sujeitos
a deformações plásticas durante a instalação. Para dutos lançados por Reel-lay por
exemplo, a remoção do platô de Lüders pode inclusive ser benéfica dado o aumento da
capacidade de encruamento. Entretanto, testes específicos devem ser feitos para
comprovar tal ganho.
5.5. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS OBTIDOS PELA SIMULAÇÃO
MONTE CARLO PELA METODOLOGIA FORM
Considerando a caso “A” para tubos UOE - classe Medium, se fez uma análise
da adequabilidade do método analítico FORM. Para tal, as probabilidades de falha
obtidas para três valores de D/t distintos foram comparados. Os resultados são
mostrados na Tabela 5.8:
γscD/t
15 20 251,19 5,93E-03 6,02E-03 6,03E-03
1,2 5,58E-03 5,31E-03 5,30E-03
1,21 4,47E-03 4,41E-03 4,41E-03
99
Tabela 5.8 – Comparação FORM e Simulação monte carlo
Os resultados obtidos pela metodologia FORM são novamente razoavelmente
próximos aos resultados obtidos pela Simulação Monte Carlo. Isto é uma indicação de
que a metodologia FORM poderia ser novamente utilizada para análises de
sensibilidade, com o intuito de diminuir do esforço computacional.
A memória de cálculo utilizada na metodologia FORM para o estado limite de
colapso propagante é reproduzida no Apêndice B.
5.6. COMENTÁRIOS ADICIONAIS E CONCLUSÕES DO CAPÍTULO
As conclusões a seguir sumarizam as principais discussões e resultados incluídos
no Capítulo:
• De acordo com os resultados de ensaios disponíveis, constatou-se que a
fórmula da DNV parece ser a mais adequada tanto para tubos UOE
quanto para tubos sem costura.
• Fatores de segurança parciais foram apresentados para a fórmula da
DNV em dois cenários distintos comumente encontrados em águas ultra
profundas. Os cenários baseiam-se em dutos constituídos por tubos com
costura e tubos sem costura.
• Visto que os fatores de segurança propostos por este trabalho e pela
DNV-OS-F101[6] se baseiam em probabilidade condicionadas de
impacto e colapso muito conservativas para parte dos casos práticos, se
recomendam avaliações específicas para determinação de tais
probabilidades, dado que a avaliação mais adequada das mesmas permite
a adoção de fatores de segurança ainda menores.
Método D/t15 20 25
MCS 4,20E-03 4,70E-03 5,56E-03FORM 5,83E-03 5,90E-03 5,90E-05
Variação 40,2% 25,50% 17,00%
100
• Na ausência de informações detalhadas, recomenda-se a adoção de
fatores de segurança referentes à classe “Low” para dutos
independentemente do grau de criticidade. A recomendação é baseada no
fato de que a probabilidade de propagação (Pf-propagação ) considera a falha
de contenção da propagação em um único tubo e que a probabilidade de
propagação nos tubos adjacente seria de uma ordem de grandeza menor.
• Em oposição ao estado limite de colapso puro, a aplicação de
revestimento em tubos UOE faz com que os fatores de segurança
necessários para a verificação do estado limite do colapso propagante
sejam maiores se comparados a tubos “conforme fabricados”. Vale
lembrar que esta conclusão é baseada em um número reduzido de testes e
deve ser revista a partir de dados estatísticos complementares.
• Ao contrário do estado limite de colapso puro, a calibração de fatores de
segurança não impõe conservadorismos desnecessários, dada a baixa
não-linearidade imposta pela calibração do estado limite de colapso
propagante.
• Uma análise de sensibilidade mostrou novamente que não se esperam
diferenças consideráveis utilizando a metodologia FORM ou a
Simulação Monte Carlo para determinação da probabilidade de falha.
Desta forma, a metodologia FORM poderia aparentemente ser utilizada
para execução de análise de sensibilidade deste estado limite.
101
6. CONCLUSÃO
6.1. ASPECTOS GERAIS
As fórmulas e fatores de segurança mais adequados para os estados limites de
“colapso puro” e “colapso propagante” foram propostos neste trabalho. Para tal,
resultados de ensaios em escala real e reduzida foram utilizados em conjunto com
técnicas de confiabilidade estrutural.
Percebeu-se que os fatores de segurança obtidos como produto desta dissertação
são via de regra inferiores ou muito próximos aos propostos pela DNV-OS-F101[6].
Sendo assim, se acredita que a magnitude dos fatores de segurança do código
supracitado estejam suficientemente conservativos mesmo para águas ultra profundas.
Por outro lado, percebe-se que os fatores propostos pela DNV-OS-F101[6] podem, em
diversos cenários, ser reduzidos sem aumentar de maneira intolerável a probabilidade de
falha do duto avaliado.
Em condições gerais, foi percebido que várias estratégias apresentam o potencial
de reduzir os fatores de segurança calculados pela análise de confiabilidade estrutural.
Conclusões específicas aplicáveis a cada estado limite estão descritas nos Capítulos 4 e
5.
Por outro lado, é sempre importante ter a ciência que os resultados apresentados
por análises de confiabilidade estrutural possuem limitações relativas principalmente
aos dados estatísticos utilizados em cada análise. Por isso, se recomenda uma avaliação
de engenharia cuidadosa nos resultados obtidos, buscando compará-los com projetos
anteriores e com os fatores de segurança sugeridos pelos próprios códigos.
É importante ressaltar aqui que apesar de códigos como DNV-OS-F101[6], BS
8010[9] e ISO 13623[10] permitirem a adoção das técnicas de confiabilidade estrutural
para determinação de seus fatores de segurança, nenhum deles permite a adoção de
fórmulas representando os estados limites diferentes dos expostos no próprio corpo do
código. Sendo assim, a definição da “fórmula mais adequada” mostrada nos Capítulos 4
e 5 proporcionam uma avaliação puramente acadêmica, visto que a fórmula a ser
adotada na avaliação deve ser compatível com o código de projeto selecionado em
102
questão. Mesmo assim, as conclusões principais provenientes da etapa de calibração
seriam repetidas para fórmula escolhida.
6.2. DESENVOLVIMENTOS FUTUROS SUGERIDOS
A principal sugestão de desenvolvimento futuro é a expansão da base de dados a
partir dos próximos projetos de dutos. De fato, as perspectivas positivas mostradas neste
relatório devem ser confirmadas a partir da aquisição de dados adicionais. Tal sugestão
é especialmente válida para tubos sem costura, ponto em que se acredita a ausência de
testes em escala real usando tubos a serem utilizados em dutos estão compromentendo
as conclusões apresentadas.
Uma expansão deste trabalho é sugerida para risers. Apesar do objeto de estudo
deste relatório ter sido os dutos (pipelines), se espera que boa parte das conclusões
obtidas aqui se repitam, porém ainda sim é necessária a análise para confirmar esta
expectativa.
Um estado limite em que se deseja atenção especial nos próximos trabalhos é o
de “fadiga”. Mesmo as normas que atualmente utilizam técnicas de confiabilidade
estrutural ainda usam fatores de segurança elevados como “10” para risers, mesmo
utilizando técnicas de confiabilidade estrutural. A aplicação deste fator é extremamente
impactante em risers sujeitos a um regime severo de fadiga de alto ciclo e corrosão
fadiga, demandando via de regra tubos de metalurgia especial para sua construção, que
por sua vez são extremamente caros e necessitam grande prazo de entrega.
103
7. REFERÊNCIAS
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Propagante de Dutos Submarinos”, SOBENA, 1998.
APÊNDICE A- ALGORITMO PARA FORM – ESTADO LIMITE DE COLAPSO PURO
APÊNDICE A - Metodologia FORM - Estado Limite de Co lapso Puro
Considerações gerais:
In[1]:= Off@General::"spell1", General::"spell", Solve::"ifun"D
In[2]:= ODg = 24;
Peg = 22.35113633;
nS = 400 000 ê 12.2;tg = N@ODg ê 20D;
Função de Falha:
In[6]:= Clear@S, t, Ey, v, αfab, BIAS, G, Pel, Py, PcD;
In[7]:= G = BIAS Pc − Pe ;
In[8]:= Py = 2 S αfab Ht ê ODL; Pel = H2 Ey Ht ê ODL^3L ê H1 − v^2L;
In[9]:= Pc = Py Pel ê HPy^2 + Pel^2L^0.5;
Dados de BIAS:
In[10]:= dBIASO = [email protected], 0.044 ∗ 0.947D;
In[11]:= dBIAS = dBIASO
Out[11]= [email protected], 0.041668D
Dados de Sy:
In[12]:= dSO = NormalDistribution@485, 15D;
In[13]:= dS = dSO
Out[13]= NormalDistribution@485, 15D
In[14]:= dSe = PDF@dSO, xD nS H1 − CDF@dSO, xDLnS−1 ;
Dados de t:
In[15]:= dtO = NormalDistribution@tg, 0.009843D;
In[16]:= dt = dtO
Out[16]= [email protected], 0.009843D
Dados de Ey:
In[17]:= dEyO = NormalDistribution@205 800, 8232D;
In[18]:= dEy = dEyO
Out[18]= NormalDistribution@205 800, 8232D
Dados de v:
In[19]:= mv = 0.297;
In[20]:= dpv = 0.026 ∗ 0.99;
In[21]:= δv = dpv ê mv;
In[22]:= ζv = LogA1 + δv2E ;
In[23]:= λv = Log@mvD − 0.5 ∗ ζv2
Out[23]= −1.21776
In[24]:= dvO = LogNormalDistribution@λv, ζvD;
In[25]:= dv = dvO
Out[25]= LogNormalDistribution@−1.21776, 0.0865046D
Dados de afab:
In[26]:= dafabO = [email protected], 0.040688D;
In[27]:= dafab = dafabO
Out[27]= [email protected], 0.040688D
Dados estatísticos:
In[28]:= MediaBIAS = Mean@dBIASD
Out[28]= 0.947
In[29]:= MediaS = NIntegrate@x dSe, 8x, −1000, 1000<, MaxRecursion → 100, WorkingPrecision → 10D
Out[29]= 422.9867644
In[30]:= Mediat = Mean@dtD
Out[30]= 1.2
In[31]:= MediaEy = Mean@dEyD
Out[31]= 205 800
In[32]:= Mediav = Mean@dvD
Out[32]= 0.297
In[33]:= Mediaafab = Mean@dafabD
Out[33]= 0.8265
In[34]:= DesvPadBIAS = StandardDeviation@dBIASD
Out[34]= 0.041668
In[35]:= DesvPadS = NIntegrateAx2 dSe, 8x, −1000, 0, 1000<, MaxRecursion → 1000E − MediaS2
Out[35]= 4.2925
In[36]:= DesvPadt = StandardDeviation@dtD
Out[36]= 0.009843
In[37]:= DesvPadEy = StandardDeviation@dEyD
Out[37]= 8232
In[38]:= DesvPadv = StandardDeviation@dvD
Out[38]= 0.02574
2 FORM Colapso Puro Tese Final.nb
In[39]:= DesvPadafab = StandardDeviation@dafabD
Out[39]= 0.040688
Matriz G:
In[40]:= Γ =
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
;
Primeira Iteração:
Ponto de Partida:
In[41]:= S = MediaS; t = Mediat; Ey = MediaEy; v = Mediav; αfab = Mediaafab; BIAS = MediaBIAS;
In[42]:= OD = ODg; Pe = Peg;
In[43]:= G
Out[43]= 5.79219
Distribuicao Normal Equivalente S:
In[44]:= x = S;
PDFSe = N@dSeDClear@xD;
Out[45]= 0.0945199
In[47]:= CDFSe = NIntegrate@dSe, 8x, −1000, S<, MaxRecursion → 100D
Out[47]= 0.442275
In[48]:= zS =
If@Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, xD − H1 − CDFSeL � 0, xD, 81, 1<DD > 0,
−Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, xD − H1 − CDFSeL � 0, xD, 81, 1<DD,Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, xD − HCDFSeL � 0, xD, 81, 1<DDD
Out[48]= −0.145205
In[49]:= PDFSN = PDF@NormalDistribution@0, 1D, %D
Out[49]= 0.394759
In[50]:= DesvPadSN = PDFSN ê PDFSe
Out[50]= 4.17646
In[51]:= MediaSN = S − DesvPadSN zS
Out[51]= 423.593
In[52]:= dS = NormalDistribution@MediaSN, DesvPadSND;
Distribuicao Normal Equivalente v:
In[53]:= CDFv = CDF@dvO, vD
Out[53]= 0.51725
FORM Colapso Puro Tese Final.nb 3
In[54]:= zv = Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, wD − HCDFvL � 0, wD, 81, 1<DD
Out[54]= 0.0432523
In[55]:= PDFvN = PDF@NormalDistribution@0, 1D, %D
Out[55]= 0.398569
In[56]:= DesvPadvN = PDFvN ê PDF@dvO, vD
Out[56]= 0.0256919
In[57]:= MediavN = v − DesvPadvN zv
Out[57]= 0.295889
In[58]:= dv = NormalDistribution@MediavN, DesvPadvND;
Matriz U:
In[59]:= U = 8Mean@dSD, Mean@dtD, Mean@dEyD, Mean@dvD, Mean@dafabD, Mean@dBIASD<;
Matriz s:
In[60]:= σ =
StandardDeviation@dSD 0 0 0
0 StandardDeviation@dtD 0 0
0 0 StandardDeviation@dEyD 0
0 0 0 StandardDeviation@0 0 0 0
0 0 0 0
Out[60]= 884.17646, 0, 0, 0, 0, 0<, 80, 0.009843, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 8232, 0, 0, 0<,80, 0, 0, 0.0256919, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0.040688, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 0.041668<<
Matriz m:
In[61]:= m = 8Mean@dSD, Mean@dtD, Mean@dEyD, Mean@dvD, Mean@dafabD, Mean@dBIASD<
Out[61]= 8423.593, 1.2, 205 800, 0.295889, 0.8265, 0.947<
Jacobiano da Transformação:
In[62]:= J = Γ.Inverse@σD
Out[62]= 880.239437, 0., 0., 0., 0., 0.<, 80., 101.595, 0., 0., 0., 0.<,80., 0., 0.000121477, 0., 0., 0.<, 80., 0., 0., 38.9228, 0., 0.<,80., 0., 0., 0., 24.5773, 0.<, 80., 0., 0., 0., 0., 23.9992<<
Gradiente do espaço original no ponto:
In[63]:= Clear@S, t, Ey, v, αfab, BIAS, G, Py, Pel, PcD;
In[64]:= G = BIAS ∗ Pc − Pe;
Py = 2 S αfab Ht ê ODL; Pel = H2 Ey Ht ê ODL^3L ê H1 − v^2L;Pc = Py Pel ê HPy^2 + Pel^2L^0.5;
In[67]:= GradU = 8D@G, SD, D@G, tD, D@G, EyD, D@G, vD, D@G, αfabD, D@G, BIASD<;
4 FORM Colapso Puro Tese Final.nb
In[68]:= S = Mean@dSD; t = Mean@dtD; Ey = Mean@dEyD;v = Mean@dvD; αfab = Mean@dafabD; BIAS = Mean@dBIASD;
In[69]:= GradU
Out[69]= 80.0479933, 36.5343, 0.0000380816, 5.08288, 24.5972, 29.7432<
Gradiente no espaço reduzido:
In[70]:= GradV = Transpose@[email protected]
Out[70]= 80.200442, 0.359607, 0.313487, 0.130589, 1.00081, 1.23934<
Ponto de partida no espaço reduzido:
In[71]:= V = J.HU − mL
Out[71]= 80., 0., 0., 0., 0., 0.<
Novo ponto de projeto no espaço reduzido:
In[72]:= Va =1
GradV.GradV∗ HGradV.V − GL ∗ GradV
Out[72]= 8−0.413018, −0.740983, −0.645952, −0.269082, −2.06221, −2.5537<
Índice de Confiabilidade:
In[73]:= βa = HVa.VaL1ê2
Out[73]= 3.4617
In[74]:= Pa = CDF@NormalDistribution@0, 1D, −βaD
Out[74]= 0.000268384
Novo ponto de projeto no espaço original:
In[75]:= Ua = U + Transpose@[email protected] − VL
Out[75]= 8421.868, 1.19271, 200 483., 0.288976, 0.742593, 0.840592<
Segunda Iteração:
Ponto de Partida:
In[76]:= Clear@Sa, ta, Eya, va, αfaba, BIASa, Ga, Pya, Pela, PcaD;
In[77]:= Sa = Ua@@1DD; ta = Ua@@2DD; Eya = Ua@@3DD; va = Ua@@4DD; αfaba = Ua@@5DD; BIASa = Ua@@6DD;
In[78]:= Ga = BIASa ∗ Pca − Pe ;
In[79]:= Pya = 2 Sa αfaba Hta ê ODL; Pela = H2 Eya Hta ê ODL^3L ê H1 − va^2L;
In[80]:= Pca = Pya Pela ê HPya^2 + Pela^2L^0.5;
Distribuicao Normal Equivalente Sa:
In[81]:= x = Sa;
PDFSe = N@dSeDClear@xD;
Out[82]= 0.0815105
FORM Colapso Puro Tese Final.nb 5
In[84]:= CDFSe = NIntegrate@dSe, 8x, −1000, Sa<, MaxRecursion → 100D
Out[84]= 0.343547
In[85]:= zS =
If@Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, xD − H1 − CDFSeL � 0, xD, 81, 1<DD > 0,
−Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, xD − H1 − CDFSeL � 0, xD, 81, 1<DD,Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, xD − HCDFSeL � 0, xD, 81, 1<DDD
Out[85]= −0.402802
In[86]:= PDFSN = PDF@NormalDistribution@0, 1D, %D
Out[86]= 0.367856
In[87]:= DesvPadSN = PDFSN ê PDFSe
Out[87]= 4.51299
In[88]:= MediaSN = Sa − DesvPadSN zS
Out[88]= 423.686
In[89]:= dS = NormalDistribution@MediaSN, DesvPadSND;
Distribuicao Normal Equivalente va:
In[90]:= CDFv = CDF@dvO, vaD
Out[90]= 0.392281
In[91]:= zv = Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, wD − HCDFvL � 0, wD, 81, 1<DD
Out[91]= −0.273379
In[92]:= PDFvN = PDF@NormalDistribution@0, 1D, %D
Out[92]= 0.38431
In[93]:= DesvPadvN = PDFvN ê PDF@dvO, vaD
Out[93]= 0.0249977
In[94]:= MediavN = va − DesvPadvN zv
Out[94]= 0.295809
In[95]:= dv = NormalDistribution@MediavN, DesvPadvND;
Matriz Ua:
In[96]:= Ua = 8Sa, ta, Eya, va, αfaba, BIASa<;
Matriz s:
6 FORM Colapso Puro Tese Final.nb
In[97]:= σ =
StandardDeviation@dSD 0 0 0
0 StandardDeviation@dtD 0 0
0 0 StandardDeviation@dEyD 0
0 0 0 StandardDeviation@0 0 0 0
0 0 0 0
Out[97]= 884.51299, 0, 0, 0, 0, 0<, 80, 0.009843, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 8232, 0, 0, 0<,80, 0, 0, 0.0249977, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0.040688, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 0.041668<<
Matriz m:
In[98]:= m = 8Mean@dSD, Mean@dtD, Mean@dEyD, Mean@dvD, Mean@dafabD, Mean@dBIASD<
Out[98]= 8423.686, 1.2, 205 800, 0.295809, 0.8265, 0.947<
Jacobiano da Transformação:
In[99]:= J = Γ.Inverse@σD
Out[99]= 880.221583, 0., 0., 0., 0., 0.<, 80., 101.595, 0., 0., 0., 0.<,80., 0., 0.000121477, 0., 0., 0.<, 80., 0., 0., 40.0037, 0., 0.<,80., 0., 0., 0., 24.5773, 0.<, 80., 0., 0., 0., 0., 23.9992<<
Gradiente do espaço original no ponto:
In[100]:= Clear@Sa, ta, Eya, va, αfaba, BIASa, Ga, Pya, Pela, PcaD;
In[101]:= Ga = BIASa ∗ Pca − Pe ;
In[102]:= Pya = 2 Sa αfaba Hta ê ODL; Pela = H2 Eya Hta ê ODL^3L ê H1 − va^2L;
In[103]:= Pca = Pya Pela ê HPya^2 + Pela^2L^0.5;
FORM Colapso Puro Tese Final.nb 7
In[104]:= GradUa = 8D@Ga, SaD, D@Ga, taD, D@Ga, EyaD, D@Ga, vaD, D@Ga, αfabaD, D@Ga, BIASaD<
Out[104]= :−8.37245 × 10−8 BIASa Eya Sa2 ta6 αfaba3
I1 − va2M Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
1.5+
BIASa Eya ta4 αfaba
82944 I1 − va2M Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
0.5,
−
6.02816 × 10−6 BIASa Eya Sa ta4 αfabaEya2 ta5
7 962 624 I1−va2M2+
1
72Sa2 ta αfaba2
I1 − va2M Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
1.5+
BIASa Eya Sa ta3 αfaba
20736 I1 − va2M Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
0.5,
−2.52352 × 10−13 BIASa Eya2 Sa ta10 αfaba
I1 − va2M3 Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
1.5+
BIASa Sa ta4 αfaba
82944 I1 − va2M Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
0.5,
−5.04705 × 10−13 BIASa Eya3 Sa ta10 va αfaba
I1 − va2M4 Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
1.5+
BIASa Eya Sa ta4 va αfaba
41472 I1 − va2M2 Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
0.5,
−8.37245 × 10−8 BIASa Eya Sa3 ta6 αfaba2
I1 − va2M Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
1.5+
BIASa Eya Sa ta4
82944 I1 − va2M Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
0.5,
Eya Sa ta4 αfaba
82944 I1 − va2M Eya2 ta6
47 775 744 I1−va2M2+
1
144Sa2 ta2 αfaba2
0.5>
In[105]:= Sa = Ua@@1DD; ta = Ua@@2DD; Eya = Ua@@3DD; va = Ua@@4DD; αfaba = Ua@@5DD; BIASa = Ua@@6DD;
Gradiente no espaço reduzido:
In[106]:= GradVa = Transpose@[email protected]
Out[106]= 80.181267, 0.280902, 0.233954, 0.0898181, 0.928423, 1.12237<
Ponto de partida no espaço reduzido:
In[107]:= Va = J.HUa − mL
Out[107]= 8−0.402802, −0.740983, −0.645952, −0.273379, −2.06221, −2.5537<
8 FORM Colapso Puro Tese Final.nb
Novo ponto de projeto no espaço reduzido:
In[108]:= Vb =1
GradVa.GradVa∗ HGradVa.Va − GaL ∗ GradVa
Out[108]= 8−0.436444, −0.67634, −0.563301, −0.216259, −2.23541, −2.70239<
Índice de Confiabilidade:
In[109]:= βb = HVb.VbL1ê2
Out[109]= 3.64855
In[110]:= Pb = CDF@NormalDistribution@0, 1D, −βbD
Out[110]= 0.00013186
Novo ponto de projeto no espaço original:
In[111]:= Ub = Ua + Transpose@[email protected] − VaL
Out[111]= 8421.716, 1.19334, 201 163., 0.290403, 0.735546, 0.834397<
Terceira Iteração:
Ponto de Partida:
In[112]:= Clear@Sb, tb, Eyb, vb, αfabb, BIASb, Pelb, Pyb, PcbD;
In[113]:= Sb = Ub@@1DD; tb = Ub@@2DD; Eyb = Ub@@3DD; vb = Ub@@4DD; αfabb = Ub@@5DD; BIASb = Ub@@6DD;
In[114]:= Gb = BIASb ∗ Pcb − Pe ;
In[115]:= Pyb = 2 Sb αfabb Htb ê ODL; Pelb = H2 Eyb Htb ê ODL^3L ê H1 − vb^2L;
In[116]:= Pcb = Pyb Pelb ê HPyb^2 + Pelb^2L^0.5;
Distribuicao Normal Equivalente Sb:
In[117]:= x = Sb;
PDFSe = N@dSeDClear@xD;
Out[118]= 0.079562
In[120]:= CDFSe = NIntegrate@dSe, 8x, −1000, Sb<, MaxRecursion → 100D
Out[120]= 0.331319
In[121]:= zS =
If@Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, xD − H1 − CDFSeL � 0, xD, 81, 1<DD > 0,
−Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, xD − H1 − CDFSeL � 0, xD, 81, 1<DD,Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, xD − HCDFSeL � 0, xD, 81, 1<DDD
Out[121]= −0.436273
In[122]:= PDFSN = PDF@NormalDistribution@0, 1D, %D
Out[122]= 0.362727
In[123]:= DesvPadSN = PDFSN ê PDFSe
Out[123]= 4.55905
FORM Colapso Puro Tese Final.nb 9
In[124]:= MediaSN = Sb − DesvPadSN zS
Out[124]= 423.705
In[125]:= dS = NormalDistribution@MediaSN, DesvPadSND;
Distribuicao Normal Equivalente vb:
In[126]:= CDFv = CDF@dvO, vbD
Out[126]= 0.414338
In[127]:= zv = Last@Extract@NSolve@CDF@NormalDistribution@0, 1D, wD − HCDFvL � 0, wD, 81, 1<DD
Out[127]= −0.2164
In[128]:= PDFvN = PDF@NormalDistribution@0, 1D, %D
Out[128]= 0.38971
In[129]:= DesvPadvN = PDFvN ê PDF@dvO, vbD
Out[129]= 0.0251212
In[130]:= MediavN = vb − DesvPadvN zv
Out[130]= 0.29584
In[131]:= dv = NormalDistribution@MediavN, DesvPadvND;
Matriz Ub:
In[132]:= Ub = 8Sb, tb, Eyb, vb, αfabb, BIASb<;
Matriz s:
In[133]:= σ =
StandardDeviation@dSD 0 0 0
0 StandardDeviation@dtD 0 0
0 0 StandardDeviation@dEyD 0
0 0 0 StandardDeviation@0 0 0 0
0 0 0 0
Out[133]= 884.55905, 0, 0, 0, 0, 0<, 80, 0.009843, 0, 0, 0, 0<, 80, 0, 8232, 0, 0, 0<,80, 0, 0, 0.0251212, 0, 0<, 80, 0, 0, 0, 0.040688, 0<, 80, 0, 0, 0, 0, 0.041668<<
Matriz m:
In[134]:= m = 8Mean@dSD, Mean@dtD, Mean@dEyD, Mean@dvD, Mean@dafabD, Mean@dBIASD<
Out[134]= 8423.705, 1.2, 205 800, 0.29584, 0.8265, 0.947<
Jacobiano da Transformação:
10 FORM Colapso Puro Tese Final.nb
In[135]:= J = Γ.Inverse@σD
Out[135]= 880.219344, 0., 0., 0., 0., 0.<, 80., 101.595, 0., 0., 0., 0.<,80., 0., 0.000121477, 0., 0., 0.<, 80., 0., 0., 39.807, 0., 0.<,80., 0., 0., 0., 24.5773, 0.<, 80., 0., 0., 0., 0., 23.9992<<
Gradiente do espaço original no ponto:
In[136]:= Clear@Sb, tb, Eyb, vb, αfabb, BIASb, Gb, Pelb, Pyb, PcbD;
In[137]:= Gb = BIASb ∗ Pcb − Pe ;
In[138]:= Pyb = 2 Sb αfabb Htb ê ODL; Pelb = H2 Eyb Htb ê ODL^3L ê H1 − vb^2L;
In[139]:= Pcb = Pyb Pelb ê HPyb^2 + Pelb^2L^0.5;
In[140]:= Clear@Sb, tb, Eyb, vb, αfabb, BIASbD;
In[141]:= GradUb = 8D@Gb, SbD, D@Gb, tbD, D@Gb, EybD, D@Gb, vbD, D@Gb, αfabbD, D@Gb, BIASbD<;
In[142]:= Sb = Ub@@1DD; tb = Ub@@2DD; Eyb = Ub@@3DD; vb = Ub@@4DD; αfabb = Ub@@5DD; BIASb = Ub@@6DD;
Gradiente no espaço reduzido:
In[143]:= GradVb = Transpose@[email protected]
Out[143]= 80.1822, 0.275034, 0.224945, 0.08759, 0.932293, 1.11614<
Ponto de partida no espaço reduzido:
In[144]:= Vb = J.HUb − mL
Out[144]= 8−0.436273, −0.67634, −0.563301, −0.2164, −2.23541, −2.70239<
Novo ponto de projeto no espaço reduzido:
In[145]:= Vc =1
GradVb.GradVb∗ HGradVb.Vb − GbL ∗ GradVb
Out[145]= 8−0.439998, −0.664183, −0.543223, −0.211522, −2.25141, −2.69539<
Índice de Confiabilidade:
In[146]:= βc = HVc.VcL1ê2
Out[146]= 3.64809
In[147]:= Pc = CDF@NormalDistribution@0, 1D, −βcD
Out[147]= 0.0001321
Novo ponto de projeto no espaço original:
In[148]:= Uc = Ub + Transpose@[email protected] − VbL
Out[148]= 8421.699, 1.19346, 201 328., 0.290526, 0.734895, 0.834688<
Resumo:
Convergência da Probabilidade de Falha:
FORM Colapso Puro Tese Final.nb 11
In[149]:= Pa
Pb
Pc
Out[149]= 0.000268384
Out[150]= 0.00013186
Out[151]= 0.0001321
In[152]:= ListPlot@881, Pa<, 82, Pb<, 83, Pc<<, Joined → TrueD
Out[152]=
1.5 2.0 2.5 3.0
0.00016
0.00018
0.00020
0.00022
0.00024
0.00026
12 FORM Colapso Puro Tese Final.nb
APÊNDICE B- ALGORITMO PARA FORM – ESTADO LIMITE DE COLAPSO PROPAGANTE
Apêndice B - Metodologia FORM - Estado Limite de Co lapso Propagante
Considerações gerais:
In[1]:= Off@General::"spell1", General::"spell", Solve::"ifun"D
In[2]:= OD = 24;
Pe = 3.130464;
SMYS = 450;
t = OD ê 25
Out[5]=24
25
Função de Falha:
In[6]:= G = BIAS 35 S αfabt
OD
2.5
− Pe;
Dados de Sy:
In[7]:= dS = NormalDistribution@485, 15D;
Dados de t:
In[8]:= dt = [email protected] ∗ t, 0.02 ∗ tD;
Dados de afab:
In[9]:= dafab = [email protected], 0.040688D;
Dados de BIAS:
In[10]:= dBIAS = [email protected], 0.107 ∗ 1.003D;
Dados estatísticos:
In[11]:= MediaS = Mean@dSD;
Mediat = Mean@dtD;
Mediaafab = Mean@dafabD;
In[14]:= MediaBIAS = Mean@dBIASD;
Matriz G:
In[15]:= Γ =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
;
Primeira Iteração:
Ponto de Partida:
In[16]:= S = MediaS; t = Mediat; αfab = Mediaafab; BIAS = MediaBIAS;
In[17]:= G
Out[17]= 1.37255
Matriz U:
In[18]:= U = 8S, t, αfab, BIAS<;
Matriz s:
In[19]:= σ =
StandardDeviation@dSD 0 0 0
0 StandardDeviation@dtD 0 0
0 0 StandardDeviation@dafabD 0
0 0 0 StandardDeviation
Out[19]= 8815, 0, 0, 0<, 80, 0.0192, 0, 0<, 80, 0, 0.040688, 0<, 80, 0, 0, 0.107321<<
Matriz m:
In[20]:= m = 8Mean@dSD, Mean@dtD, Mean@dafabD, Mean@dBIASD<
Out[20]= 8485, 0.96, 0.8265, 1.003<
Jacobiano da Transformação:
In[21]:= J = Γ.Inverse@σD
Out[21]= 880.0666667, 0., 0., 0.<, 80., 52.0833, 0., 0.<,80., 0., 24.5773, 0.<, 80., 0., 0., 9.31784<<
Gradiente do espaço original no ponto:
In[22]:= Clear@S, t, αfab, BIAS, GD;
In[23]:= G = BIAS 35 S αfabt
OD
2.5
− Pe;
In[24]:= GradU = 8D@G, SD, D@G, tD, D@G, αfabD, D@G, BIASD<;
In[25]:= S = Mean@dSD; t = Mean@dtD; αfab = Mean@dafabD; BIAS = Mean@dBIASD;
In[26]:= GradU
Out[26]= 80.00928457, 11.7266, 5.4483, 4.48955<
Gradiente no espaço reduzido:
In[27]:= GradV = Transpose@[email protected]
Out[27]= 80.139269, 0.225151, 0.22168, 0.481823<
Ponto de partida no espaço reduzido:
In[28]:= V = J.HU − mL
Out[28]= 80., 0., 0., 0.<
Novo ponto de projeto no espaço reduzido:
In[29]:= Va =1
GradV.GradV∗ HGradV.V − GL ∗ GradV
Out[29]= 8−0.544002, −0.879469, −0.865913, −1.88206<
2 FORM Colapso propagante tese final.nb
Índice de Confiabilidade:
In[30]:= βa = HVa.VaL1ê2
Out[30]= 2.31546
In[31]:= Pa = CDF@NormalDistribution@0, 1D, −βaD
Out[31]= 0.0102938
Novo ponto de projeto no espaço original:
In[32]:= Ua = U + Transpose@[email protected] − VL
Out[32]= 8476.84, 0.943114, 0.791268, 0.801015<
Segunda Iteração:
Ponto de Partida:
In[33]:= Sa = Ua@@1DD; ta = Ua@@2DD; αfaba = Ua@@3DD; BIASa = Ua@@4DD;
In[34]:= Ga = BIASa 35 Sa αfabata
OD
2.5
− Pe
Out[34]= 0.107615
Matriz Ua:
In[35]:= Ua = 8Sa, ta, αfaba, BIASa<;
Matriz s:
In[36]:= σ =
StandardDeviation@dSD 0 0 0
0 StandardDeviation@dtD 0 0
0 0 StandardDeviation@dafabD 0
0 0 0 StandardDeviation
Out[36]= 8815, 0, 0, 0<, 80, 0.0192, 0, 0<, 80, 0, 0.040688, 0<, 80, 0, 0, 0.107321<<
Matriz m:
In[37]:= m = 8Mean@dSD, Mean@dtD, Mean@dafabD, Mean@dBIASD<
Out[37]= 8485, 0.96, 0.8265, 1.003<
Jacobiano da Transformação:
In[38]:= J = Γ.Inverse@σD
Out[38]= 880.0666667, 0., 0., 0.<, 80., 52.0833, 0., 0.<,80., 0., 24.5773, 0.<, 80., 0., 0., 9.31784<<
Gradiente do espaço original no ponto:
In[39]:= Clear@Sa, ta, αfaba, BIASa, GaD;
FORM Colapso propagante tese final.nb 3
In[40]:= Ga = BIASa 35 Sa αfabta
OD
2.5
− Pe;
In[41]:= GradUa = 8D@Ga, SaD, D@Ga, taD, D@Ga, αfabaD, D@Ga, BIASaD<;
In[42]:= GradUa
Out[42]= 90.0102514 BIASa ta2.5, 0.0256285 BIASa Sa ta1.5, 0, 0.0102514 Sa ta2.5=
In[43]:= Sa = Ua@@1DD; ta = Ua@@2DD; αfaba = Ua@@3DD; BIASa = Ua@@4DD;
In[44]:= GradUa
Out[44]= 80.00709307, 8.96567, 0, 4.22247<
Gradiente no espaço reduzido:
In[45]:= GradVa = Transpose@[email protected]
Out[45]= 80.106396, 0.172141, 0., 0.453159<
Ponto de partida no espaço reduzido:
In[46]:= Va = J.HUa − mL
Out[46]= 8−0.544002, −0.879469, −0.865913, −1.88206<
Novo ponto de projeto no espaço reduzido:
In[47]:= Vb =1
GradVa.GradVa∗ HGradVa.Va − GaL ∗ GradVa
Out[47]= 8−0.567579, −0.918301, 0., −2.41742<
Índice de Confiabilidade:
In[48]:= βb = HVb.VbL1ê2
Out[48]= 2.64752
In[49]:= Pb = CDF@NormalDistribution@0, 1D, −βbD
Out[49]= 0.00405427
Novo ponto de projeto no espaço original:
In[50]:= Ub = Ua + Transpose@[email protected] − VaL
Out[50]= 8476.486, 0.942369, 0.8265, 0.74356<
Terceira Iteração:
Ponto de Partida:
In[51]:= Sb = Ub@@1DD; tb = Ub@@2DD; αfabb = Ub@@3DD; BIASb = Ub@@4DD;
In[52]:= Gb = BIASb 35 Sb αfabbtb
OD
2.5
− Pe;
Matriz Ub:
In[53]:= Ub = 8Sb, tb, αfabb, BIASb<;
Matriz s:
4 FORM Colapso propagante tese final.nb
In[54]:= σ =
StandardDeviation@dSD 0 0 0
0 StandardDeviation@dtD 0 0
0 0 StandardDeviation@dafabD 0
0 0 0 StandardDeviation
Out[54]= 8815, 0, 0, 0<, 80, 0.0192, 0, 0<, 80, 0, 0.040688, 0<, 80, 0, 0, 0.107321<<
Matriz m:
In[55]:= m = 8Mean@dSD, Mean@dtD, Mean@dafabD, Mean@dBIASD<
Out[55]= 8485, 0.96, 0.8265, 1.003<
Jacobiano da Transformação:
In[56]:= J = Γ.Inverse@σD
Out[56]= 880.0666667, 0., 0., 0.<, 80., 52.0833, 0., 0.<,80., 0., 24.5773, 0.<, 80., 0., 0., 9.31784<<
Gradiente do espaço original no ponto:
In[57]:= Clear@Sb, tb, αfabb, BIASb, GbD;
In[58]:= Gb = BIASb 35 Sb αfabbtb
OD
2.5
− Pe;
In[59]:= GradUb = 8D@Gb, SbD, D@Gb, tbD, D@Gb, αfabbD, D@Gb, BIASbD<;
In[60]:= GradUb
Out[60]= 90.0124034 BIASb tb2.5 αfabb, 0.0310084 BIASb Sb tb1.5 αfabb,
0.0124034 BIASb Sb tb2.5, 0.0124034 Sb tb2.5 αfabb=
In[61]:= Sb = Ub@@1DD; tb = Ub@@2DD; αfabb = Ub@@3DD; BIASb = Ub@@4DD;
In[62]:= GradUb
Out[62]= 80.00657129, 8.30655, 3.78842, 4.211<
Gradiente no espaço reduzido:
In[63]:= GradVb = Transpose@[email protected]
Out[63]= 80.0985694, 0.159486, 0.154143, 0.451929<
Ponto de partida no espaço reduzido:
In[64]:= Vb = J.HUb − mL
Out[64]= 8−0.567579, −0.918301, 0., −2.41742<
Novo ponto de projeto no espaço reduzido:
In[65]:= Vc =1
GradVb.GradVb∗ HGradVb.Vb − GbL ∗ GradVb
Out[65]= 8−0.485286, −0.785195, −0.758893, −2.22498<
FORM Colapso propagante tese final.nb 5
Índice de Confiabilidade:
In[66]:= βc = HVc.VcL1ê2
Out[66]= 2.52556
In[67]:= Pc = CDF@NormalDistribution@0, 1D, −βcD
Out[67]= 0.00577563
Novo ponto de projeto no espaço original:
In[68]:= Uc = Ub + Transpose@[email protected] − VbL
Out[68]= 8477.721, 0.944924, 0.795622, 0.764213<
Quarta Iteração:
Ponto de Partida:
In[69]:= Sc = Uc@@1DD; tc = Uc@@2DD; αfabc = Uc@@3DD; BIASc = Uc@@4DD;
In[70]:= Gc = BIASc 35 Sc αfabctc
OD
2.5
− Pe
Out[70]= −0.00346357
Matriz Uc:
In[71]:= Uc = 8Sc, tc, αfabc, BIASc<;
Matriz s:
In[72]:= σ =
StandardDeviation@dSD 0 0 0
0 StandardDeviation@dtD 0 0
0 0 StandardDeviation@dafabD 0
0 0 0 StandardDeviation
Out[72]= 8815, 0, 0, 0<, 80, 0.0192, 0, 0<, 80, 0, 0.040688, 0<, 80, 0, 0, 0.107321<<
Matriz m:
In[73]:= m = 8Mean@dSD, Mean@dtD, Mean@dafabD, Mean@dBIASD<
Out[73]= 8485, 0.96, 0.8265, 1.003<
Jacobiano da Transformação:
In[74]:= J = Γ.Inverse@σD
Out[74]= 880.0666667, 0., 0., 0.<, 80., 52.0833, 0., 0.<,80., 0., 24.5773, 0.<, 80., 0., 0., 9.31784<<
Gradiente do espaço original no ponto:
In[75]:= Clear@Sc, tc, αfabc, BIASc, GcD;
6 FORM Colapso propagante tese final.nb
In[76]:= Gc = BIASc 35 Sc αfabctc
OD
2.5
− Pe;
In[77]:= GradUc = 8D@Gc, ScD, D@Gc, tcD, D@Gc, αfabcD, D@Gc, BIAScD<;
In[78]:= GradUc
Out[78]= 90.0124034 BIASc tc2.5 αfabc, 0.0310084 BIASc Sc tc1.5 αfabc,
0.0124034 BIASc Sc tc2.5, 0.0124034 Sc tc2.5 αfabc=
In[79]:= Sc = Uc@@1DD; tc = Uc@@2DD; αfabc = Uc@@3DD; BIASc = Uc@@4DD;
In[80]:= GradUc
Out[80]= 80.00654567, 8.27315, 3.93026, 4.09179<
Gradiente no espaço reduzido:
In[81]:= GradVc = Transpose@[email protected]
Out[81]= 80.098185, 0.158844, 0.159914, 0.439135<
Ponto de partida no espaço reduzido:
In[82]:= Vc = J.HUc − mL
Out[82]= 8−0.485286, −0.785195, −0.758893, −2.22498<
Novo ponto de projeto no espaço reduzido:
In[83]:= Vd =1
GradVc.GradVc∗ HGradVc.Vc − GcL ∗ GradVc
Out[83]= 8−0.491278, −0.794794, −0.800147, −2.19725<
Índice de Confiabilidade:
In[84]:= βd = HVd.VdL1ê2
Out[84]= 2.51818
In[85]:= Pd = CDF@NormalDistribution@0, 1D, −βdD
Out[85]= 0.0058982
Novo ponto de projeto no espaço original:
In[86]:= Ud = Uc + Transpose@[email protected] − VcL
Out[86]= 8477.631, 0.94474, 0.793944, 0.767188<
Resumo:
Convergência da Probabilidade de Falha:
FORM Colapso propagante tese final.nb 7
In[87]:= Pa
Pb
Pc
Pd
Out[87]= 0.0102938
Out[88]= 0.00405427
Out[89]= 0.00577563
Out[90]= 0.0058982
In[91]:= ListPlot@881, Pa<, 82, Pb<, 83, Pc<, 84, Pd<<, Joined → TrueD
Out[91]=
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.010
In[92]:= βa
βb
βc
βd
Out[92]= 2.31546
Out[93]= 2.64752
Out[94]= 2.52556
Out[95]= 2.51818
8 FORM Colapso propagante tese final.nb
