Tesis1.1 Historia y antecedentes 1.1.1 Monstruos matemáticos 1.1.2
Julia 1.1.3 Mandelbrot
1.2 Comprendiendo al Fractal 1.2.1 La teoría del caos 1.2.2 ¿Qué es
un fractal? 1.2.3 Características 1.2.4 Geometría Euclidiana VS
Geometría Fractal
Capítulo II LA GEOMETRÍA FRACTAL
2.1 El Fractal en el mundo que nos rodea 2.1.1 Naturaleza 2.1.2
Seres vivos
2.2 El Fractal en las ciencias y sus aplicaciones 2.2.1 Medicina
2.2.2 Biología 2.2.3 Telecomunicaciones 2.2.4 Compresión de
imágenes 2.2.5 Animación y efectos especiales 2.2.6 Ecología
2.3 El fractal en el arte 2.3.1 Música 2.3.2 Pintura
Capítulo III COMPOSICIÓN Y RETICULADO EN EL DISEÑO GRÁFICO
3.1 La Composición en el diseño editorial 3.1.1 El soporte 3.1.2
Rectángulo ternario y otros 3.1.3 Número de caracteres por línea
3.1.4 Columnas 3.1.5 Márgenes 3.1.6 La sección Áurea 3.1.7 La
composición en el diseño
3.2 La retícula 3.2.1 Conceptos básicos 3.2.1 Retícula de
manuscrito 3.2.3 Retícula modular 3.2.4 Retícula jerárquica 3.2.5
Deconstrucción de la retícula
Capítulo IV INTRODUCCIÓN DEL FRACTAL AL DISEÑO GRÁFICO
4.1 Composición fractal general 4.2 Composición fractal con ángulos
4.3 Reticulado fractal de columnas 4.4 Reticulado fractal
jerárquico 4.5 Reticulado fractal modular
CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA MESOGRAFÍA REFERENCIAS DE IMÁGENES
mal.
AGRADECIMIENTOS
A partir de la experiencia personal e indagaciones propias, se ha
tenido contacto con los fractales, que, llevados a la imagen, dan
tanta información a la vista que el espectador lo único que hace en
el momento es asombrarse.
Los fractales son tan fascinantes, asombrosos y complejos que se
han encontrado usos a partir de sus cualidades y características,
como la compresión de imágenes, la arquitectura, la música, etc.
Sin embargo, han carecido de su uso y explotación en el diseño,
tanto en la ense- ñanza en la licenciatura como en la práctica en
la vida profesional del diseñador. Los sistemas educativos actuales
en México no contem- plan al fractal en la trayectoria académica
del estudiante, como un método de composición, ni como un
movimiento artístico.
Una composición gráfica no es un sistema estándar, único. Los mis-
mos elementos se pueden organizar según diferentes esquemas lógi-
cos, deberán estar dispuestos según una retícula que les aporte
equi- librio y estabilidad visual.
Dado su sinnúmero de aplicaciones, ¿por qué no utilizar las
caracte- rísticas de los fractales en el quehacer del Diseñador
Gráfico?
El estudio del concepto de la geometría fractal, una rama de las
ma- temáticas relativamente nueva, ha generado una evolución
increíble en la percepción del mundo y ha dado pauta a un sinnúmero
de aplicaciones en prácticamente todas las ramas de la ciencia y el
arte, entre las que se encuentran la física, la biología, la
geografía, la medicina, la música, la poesía, la arquitectura, la
producción de efectos especiales, las telecomunicaciones,
etc.
INTRODUCCIÓN
En su sentido más amplio, la palabra composición refiere
a la acción y resultado de componer, en tanto, la mis-
ma presenta otras referencias más específicas de acuerdo al
contexto en el cual se emplee la palabra.*
Para el mundo de las artes como la escultura, la fotogra-
fía, la pintura, entre otras, una composición será el arte de
distribuir los elementos de una obra. Por ejemplo, la com-
posición fotográfica refiere a aquella manera en la cual se
ordenarán los objetos vistos
dentro del encuadre.
Al conocer a fondo al fractal, se ha notado que su flexibilidad
para adaptarse y vincularse virtualmente a cualquier aspecto de la
ciencia posibilita su uso en el campo de diseño. Sin embar- go,
poco se ha hecho para introducir y vincular la geometría fractal al
diseño gráfico.
A partir de esto, surge la interrogante: ¿Cómo puede el diseñador
gráfico explotar las características de los fractales e introducir
el uso de la geometría fractal en la disciplina? Las
características propias de los fractales matemáticos se pueden
abstraer y ser aplicadas al diseño gráfico. El presente documento
precisamente pretende comprender a fondo el concepto fractal e
integrarlo a la disciplina para su uso y explotación en dos campos
muy concretos del diseño: la composición y el reticulado.
El presente texto explicará a grandes rasgos, de una manera
sencilla y sin tener que utilizar las matemáticas, conceptos y
temas clave para la comprensión profunda de la generación de
fractales y su funcio- namiento. Contiene la información suficiente
y clara para que sea digerible y asimilada por cualquier persona,
esté o no familiarizada con el tema.
Este libro da por sentado que el diseñador está familiarizado con
el diseño editorial, comprende y sabe hacer uso de una retícula;
sus co- nocimientos previos harán que el diseñador pueda entender y
aplicar el reticulado y la composición fractal al diseño gráfico.
Este docu- mento no pretende analizar las interrelaciones del
espacio y la retícula ni medir de qué manera afecta ésta en el
espectador. Propone alternativas viables a las técnicas de
composición co- munes como el uso de sección áurea, la generación
de colum- nas, campos reticulares, módulos, medianiles, márgenes,
etc.
A lo largo del Capítulo I el lector se irá familiarizando con los
térmi- nos más usados y comprenderá poco a poco la historia y la
esencia propia de los fractales matemáticos. Se conocerán los
modelos frac- tales más comunes, desde los monstruos matemáticos
del siglo XIX, como el conjunto de Cantor o el triángulo de
Sierpinski, hasta la ima- gen matemática más impresionante jamás
descubierta; el conjunto de Mandelbrot.
El Capítulo II explicará cómo el fractal se encuentra inmerso en el
mundo que nos rodea, desde las estructuras naturales, como los
ríos, las costas, las montañas y las nubes, hasta la asombrosa
cualidad frac- tal del ADN para formar toda la cadena de la vida a
partir de instruc- ciones bastante simples. Describirá cómo la
geometría fractal estudia y aplica al fractal en diversas ramas de
las ciencias y de las artes, tales como la biología, la medicina,
las telecomunicaciones, la ecología, la pintura, la música,
etc.
Después de comprender a fondo el concepto fractal y la manera en
que la geometría fractal está aplicándose en las ciencias y las
artes, nos damos cuenta que el fractal puede ser explotado en el
diseño. El Capítulo III muestra dos campos muy concretos en los que
se puede introducir el uso del concepto fractal: la composición y
la retícula en el diseño gráfico.
El Capítulo IV aplica la geometría fractal en la disciplina del
diseño gráfico con propuestas de composición y reticulado fractal,
se abs- traen y utilizan las características de los fractales para
ser integradas al proceso de diseño. Las propuestas aquí
presentadas servirán de base para generar nuevas y diferentes
composiciones fractales, variando las condiciones iniciales de cada
una de ellas.
CAPÍTULO I El fractal
EL FRACTAL 1.1 Historia y antecedentes
1.1.1 Monstruos matemáticos
A finales del siglo XIX, los matemáticos habían puesto por es-
crito una descripción formal de cómo debía ser una curva*, a
grandes rasgos todo aquello que se dibujara sin levantar el lápiz;
pero dentro de esa descripción había más cosas,
elementos que satisfacían esa definición pero que eran tan raros
que ni siquiera se podía pensar en dibujarlos, eran vistos como
monstruos o cosas más allá de lo real. Los científicos de aquella
época supusie- ron que esas mismas funciones discontinuas eran muy
escasas y que raramente surgirían en sistemas naturales, por lo que
las consideraban excepciones a la matemática tradicional y
simplemente las dejaban de lado, o si no las ignoraban realizaban
aproximaciones a través de redondeos, lo cual aún hoy en día se
continúa haciendo con éxito en diferentes sistemas, pero dichos
redondeos se vuelven peligrosos en sistemas con una dinámica
caótica. **
Un grupo de matemáticos comenzó a darse cuenta que en la natura-
leza se daba muy seguido el fenómeno de irregularidades y que no
eran excepciones como se suponía.
* “Sobre la historia del concepto topológico de curva.PDF”[en
línea], disponible en:
http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/
autores/pag/mat/Historia11.pdf [Recuperado el día 20 de septiembre
de 2013]. ** “Curso Geometría Fractal.PDF” [en línea], disponible
en: http://fractaltec.org [Recuperado el día 11 de octubre de
2011].
Conjunto de Cantor
Si acercamos el Conjun- to de Cantor, el patrón sigue siendo el
mismo, y si tomamos una par- te, podemos observar que mantiene la
misma apariencia que el todo, es autosimilar.
Otra forma extraña fue presentada por el matemático sueco Hel- ge
Von Koch en 1904, quien tomó un triángulo equilátero, el ter- cio
central de cada lado se sustituye por dos líneas más grandes que la
original, formando otro triángulo equilátero y así sucesivamente.
Cada ciclo añade otro pequeño triángulo. El proceso se repite un
nú- mero infinito de veces.
En aquella época se denominó “curva patológica”, ya que carecía de
sentido según la forma de pensar de la gente acerca de las medidas,
la geometría euclidiana, las figuras matemáticas, etc.*
* “+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponi-
ble en: http://www.youtube.com/watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el
día 11 de octubre de 2011]
La curva de Koch es una para- doja, a la vista la curva parece
finita, pero matemáticamente resulta infinita, lo que supone
que no se puede medir.
Ciertamente, esta figura ocupa un lugar concreto en el espa-
cio, sin embargo no ocupa dos dimensiones, y sus característi- cas
hacen que tampoco sea un
objeto unidimensional.
Estas figuras se encuentran en una dimensión espacial entre 1
y 2, su dimensión es un número fraccionario.
El diseño gráfico necesita poner elementos dentro de determi- nado
espacio, ¿será el fractal
alguna manera de realizar dicha tarea?
Triángulo de Sierpinski
1.1.2 Julia
El matemático Gastón Julia (1893-1978) fue uno de los grandes
precursores de la matemática fractal. Se interesó por las
iteraciones de números complejos. En Paris, en 1917 publicó el
artículo “Infor- me sobre la iteración de las funciones racionales”
de 199 páginas en la revista francesa Journal de Mathématiques
Pures et Apliques, ello le mereció un galardón por parte de la
Academia de ciencias de Francia.
Julia intentaba averiguar qué ocurre cuando se toma una simple
ecua- ción y se itera mediante una retroalimentación, eso significa
que to- mamos un número, lo introducimos en la fórmula y el
resultado de ello se pone de vuelta al principio, se realiza la
misma operación un número indeterminado de veces. La serie de
números que se obtienen se denomina conjunto, el Conjunto de
Julia.
Sin embargo, dibujar esta figura matemática a mano era una tarea
im- posible. Se llevaron a cabo intentos para dibujarlo a mano
mediante la aritmética, pero se había que retroalimentar millones
de veces. El desarrollo de este nuevo tipo de matemáticas tenía que
esperar hasta la invención de la computadora.
Conjunto de Julia.
y trazado en el plano cartesiano, generan- do una
espectacular
imagen, la cual puede ser amplifica- da infinitamente, sin
perder detalle.
1.1.3 Mandelbrot *
Benoît Mandelbrot (1924) se interesó mucho por la posibilidad de
que una regla o cierto tipo de orden determinaran el ruido que se
proyectaba en las comunicaciones entre computadoras. Trazó la in-
formación del ruido y lo que vio fue sorprendente y bastante
curioso. Sin tener en cuenta la escala de tiempo, el gráfico
resultaba idéntico a cualquier escala, un día, una hora, un
segundo, pareciéndose mucho a los patrones del Conjunto de Cantor.
Resultó haber encontrado interferencia con autosimilitud.
Sin embargo, una de sus aportaciones más significativas la pudo
rea- lizar gracias a la invención de la computadora, ya que
Mandelbrot la utilizó para transformar los números del conjunto de
Julia en puntos en un gráfico. En marzo de 1980 creó su propia
ecuación, una que combinaba todo el Conjunto de Julia en una sola
imagen, cuando iteró su ecuación consiguió su propio conjunto de
números: el Con- junto de Mandelbrot.
Z=z2+c Los números de esta ecuación son números complejos,
coordenadas que representan un punto en el plano cartesiano. El
aspecto más sig- nificativo de esta ecuación y de los fractales en
general es que exis- te un tráfico de los números para ambos lados,
retroalimentándose constantemente. Este proceso cíclico es llamado
Iteración, donde se le da un valor inicial y se la aplica la
fórmula, el resultado de ésta es tomado ahora como el valor inicial
y se vuelve a aplicar el proceso,
infinitamente.
Algo que es demasiado remarcable acerca del set de Mandelbrot es
que esas formas tan complejas son basadas en un principio
increíble- mente simple, de hecho, toda persona que sepa
multiplicar y sumar
* “+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponi-
ble en: http://www.youtube.com/watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el
día 11 de octubre de 2011]
puede entender los principios en los que está basado. La razón por
la que el descubrimiento de esta imagen tan espectacular es
relativa- mente reciente es que esas operaciones simples se tienen
que repetir miles de millones de veces, [de hecho, un término más
exacto sería Iterar infinitamente], y eso sólo se pudo lograr con
el surgimiento de la computadora.
Una de las revoluciones resultado de este descubrimiento, es que
co- menzamos a darnos cuenta que las formas de la naturaleza no son
suaves líneas continuas, comenzamos a notar que los objetos de la
naturaleza son explicados por la geometría fractal. La geo- metría
fractal es la manera por la cual la naturaleza se rige.
El Set de Mandelbrot es uno de los mayo- res descubrimientos en la
historia de las
matemáticas. A par- tir de instrucciones
bastante simples, se pueden crear estruc-
turas infinitamente complejas.
IMG- Proyecto Universo FractalIMG- Proyecto Universo Fractal
Mediante esta imagen, Mandelbrot dejó en duda visiblemente las
ideas que se tenían acerca de los límites de las matemáticas, se
quita- ron el antifaz y la gente comenzó a ver formas que siempre
habían estado ahí, pero habían sido invisibles.
El conjunto de Mandelbrot es un gran ejemplo de lo que se puede
hacer en la geometría fractal, al igual que el círculo era el
arquetípico ejemplo de la geometría clásica.
Recorrido a través del conjunto de Mandelbrot
Los colores son creados arbitrariamente, pero
no sin importancia, ya que el cambio gradual
de color se da por cada iteración aplicada.
IMG-Geometría Fractal
IMG-Geometría Fractal
IMG-Geometría Fractal
IMG-Geometría Fractal
Si lo acercas lo vuelves a ver, de modo que
hay autosimilitud, si se acerca muchas veces parece el mismo sitio
pero en realidad no
es así, es solo que esa parte contiene la misma estructura que el
punto de donde partimos, de
modo que una sola par- te es similar al todo.
IMG-Geometría Fractal IMG-Geometría Fractal
IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón
IMG-Los Sistemas Complejos, entre el caos y el patrónIMG-Los
Sistemas Complejos, entre el caos y el patrón
Daniel Esquivel Bandera terrestre
CAPÍTULO II La Geometría
Fractal
LA GEOMETRÍA FRACTAL* La generación de fractales obedece a una
simple regla que ha de regir el comportamiento y formación de
estructuras más complejas.
Un fractal se forma al aplicar una transformación a una figura
mate- mática u objeto partiendo de instrucciones relativamente
simples, esa transformación se volverá a aplicar al objeto
resultante una y otra vez haciéndolo cada vez más complejo. Como
hemos visto en la teoría del caos, pequeñas variaciones en las
condiciones iniciales dan como resultado un número infinito de
posibilidades. El universo como lo conocemos hoy no sería posible
si las condiciones iniciales y las leyes físicas que lo rigen
fueran minúsculamente diferentes.
La geometría fractal, al igual que la geometría tradicional, busca
com- prender el espacio y representar diferentes aspectos de la
realidad. Si muchos aspectos de la realidad están concebidos con
base en un diseño fractal llenan un espacio y tiempo cuantificable,
y sobre todo, manipulable.
La geometría fractal busca tener un entendimiento mayor del
funcionamiento del mundo y aplicar ese conocimiento para nuestro
beneficio. No podemos cambiar las leyes físicas, pero podemos
manipular las condiciones iniciales del mundo a nues- tro
alrededor.
Un diseñador manipula información sobre un espacio visual, ¿será el
fractal una forma de llenar este espacio?
El atractivo visual de los fractales tal vez obedezca a la belleza
mate- mática que los envuelve y las infinitas posibilidades de
diseño hacen de éstos una posible herramienta a utilizar en el
ámbito del diseño gráfico.
* “Geometría Fractal” [en línea]disponible en:
http://www.youtube.com/watch?v=CgVqX0a49HM [Recuperado el día 11 de
octubre de 2011]
IMG- Xeometría, Arte e NaturalezaIMG- Proyecto Universo
Fractal
El fractal está presen- te en las formas que
adapta la naturaleza, esto es debido a la gran eficiencia en
recursos y su distri- bución por todo el
organismo.
rreteras, sólo necesita un pequeño trozo de
información, llamado gen (que es como una ecuación), el cual
dirá
unas simples instruc- ciones que se repeti-
rán una y otra vez (se iterará la ecuación)
para concluir con una estructura sumamente compleja: una red de
vasos sanguíneos que cubre por completo al
ser vivo y suministra eficientemente sangre
a todos los rincones del organismo.
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
IMG- Proyecto Fractales
en el Diseño Gráfico
COMPOSICIÓN Y RETICULADO EN EL DISEÑO GRÁFICO
3.1 La Composición en el diseño editorial*
«Desde Gutenberg la tipografía ha trabajado con reglas fijas que se
aplican a la configuración de obras impresas. (…) Las reglas
tipográfi- cas se refieren no solo a las distancias entre letras y
entre palabras, al interlineado, al tipo de letra, etc., sino
también al establecimiento de las proporciones de la mancha, de las
columnas, de los márgenes y de
los formatos de página. (…)»
Josef Müller-Brockmann
E n el acto de construir y recibir un mensaje se establecen
relaciones de tiempo y espacio. En una composición, el ordenamiento
de los elementos en el plano con base en reglas de proporcionalidad
le confiere a la pieza un
determinado ritmo y coherencia. Esto es utilizado por el diseña-
dor como herramienta para establecer jerarquías visuales y
manifestar con claridad su intención comunicacional.
La actividad humana puede observarse desde épocas muy remotas como
una tendencia al orden. El deseo de organizar lo múltiple y diverso
de los fenómenos y las cosas corresponde a una profunda necesidad
del hombre.
Pitágoras (580-500 a.C.) enseñó que los números simples y sus re-
laciones recíprocas, así como las figuras geométricas sencillas,
repre- sentan el secreto íntimo de la naturaleza. Los griegos
encontraron también las relaciones de la proporción áurea y
demostraron que las mismas se encuentran en el cuerpo humano; los
artistas y arquitectos, por su parte, basaron en ellas sus
obras.
* “Tipografía y proporciones” [en línea], disponible en: http://
www.oert.org/tipografia-y-proporciones/ [Recuperado el día 24 de
septiembre de 2013].
En el Renacimiento, filósofos, arquitectos y artistas como
Pitágoras, Vitrubio, Durero, y Le Corbusier, elaboraron sus teorías
sobre la pro- porción, en las que expresan las ideas de la época.
Los artistas recono- cieron en la medida y en las proporciones los
principios de sus com- posiciones, estudiando y aplicando las
matemáticas y la geometría.
Composición. “Es la organización estructural voluntaria de uni-
dades visuales en un campo dado, de acuerdo a leyes perceptua- les
con vistas a un resultado integrado y armónico.
Los elementos o sus equivalentes perceptuales, (unidades ópticas)
reciben en la composición una distribución que tiene en cuenta su
valor individual como parte, pero subordinada al total. Así en el
campo, las direcciones principales del espacio aparecen represen-
tadas por sus bordes exteriores y las líneas de fuerza de tensión
de campo circunscripto. (Mapa estructural) Estos dictan las leyes
del campo perceptivo a las que se ciñen las formas, líneas,
colores, espacios, en una relación dinámica que los transforma en
fuerzas perceptuales.”*
Organizar el espacio no responde a un capricho estético ni
estilístico, es un recurso de diseño inteligente y práctico que
permite la resolu- ción de problemas complejos de comunicación en
forma múltiple y diversa, y que a la vez asegura la unidad y el
comportamiento armó- nico de los elementos utilizados.
Proporción
1.f. Disposición, conformidad o correspondencia debida de las par-
tes de una cosa con el todo o entre cosas relacionadas entre
sí.
2.f. Mayor o menor dimensión de una cosa.
3.f. Mat. Igualdad de dos razones. Proporción aritmética, geomé-
trica.
(Real Academia Española, 2001, 22º ed.).
* “Composición” [en línea], disponible en: http://www.esceno-
grafia.cl/comp.htm/ [Recuperado el día 24 de septiembre de
2013]
A continuación se mos- trarán algunos de los recursos que se
utilizan para la composición en el diseño, desde el for- mato ISO
216 hasta el uso de la sección áurea. Es necesario entender sus
principios para saber utilizarlos. Como vere- mos, algunos métodos
se relacionan estrecha- mente con algunas ca- racterísticas de los
frac- tales, esto hace aún más posible la utilización de una
retícula fractal, basándose en los prin- cipios básicos que rigen
las siguientes técnicas.
CAPÍTULO IV Introducción del fractal al
Diseño Gráfico
INTRODUCCIÓN DEL FRACTAL AL DISEÑO GRÁFICO
Hasta ahora hemos conocido las características del fractal y las
aplicaciones en las que ha estado inmerso el concep- to. También se
han explicado las partes que integran una retícula y la función que
tiene cada tipo de retícula en un
diseño. Es momento ahora de aplicar esos conocimientos para crear
nuevas formas de composición.
Las siguientes propuestas de composición y reticulado abstraen y
utilizan las características de la geometría fractal para ser in-
tegradas en el proceso de diseño. Cabe destacar que las propuestas
aquí presentadas servirán de ejemplo para generar nuevas y diferen-
tes composiciones, variando simplemente las propiedades iniciales
de cada una de ellas.
El principio básico para la generación de retículas y composi-
ciones fractales es la iteración: Se parte de un objeto inicial
(rec- tángulo, triángulo, cuadrado, etc.) dentro del espacio de
trabajo, este objeto tiene determinadas propiedades, las cuales se
modificarán: se copiará y se le aplicará una transformación en su
tamaño, su inclina- ción y/o su posición. Estas condiciones
iniciales regirán las subsecuen- tes transformaciones, y sólo con
modificar un poco alguna de ellas, el resultado final será muy
diferente.
Los valores aquí dados han sido dados arbitrariamente, es tarea del
diseñador experimentar con los valores y decidir qué resultados son
óptimos y funcionales con base en sus necesidades. El límite es la
imaginación.
“+X- 09 Fractales: la geometría del caos” [en línea], disponible
en: http://www.youtube.com/ watch?v=ngfPwaHJfYo [Recuperado el día
11 de octubre de 2011]. “Composición” [en línea], disponible en:
http://www.escenografia.cl/comp.htm/ [Recuperado el día 24 de
septiembre de 2013]. “Curso Geometría Fractal.PDF” [en línea],
disponible en: http://fractaltec.org [Recuperado el día 11 de
octubre de 2011]. “Definición de composición” [en línea],
disponible en: http://www.definicionabc.com/general/
composicion.php [Recuperado el día 20 de septiembre de 2013].
”Fractales: Los colores del infinito” [en línea] disponible en:
http://www.youtube.com/ watch?v=5x9NPln3erM [Recuperado el día 11de
octubre de 2011]. “Fractales, una nueva geometría” [en línea]
Disponible en: http://usuarios.multimania.es/sisar [Recuperado el
día 20 de marzo de 2011]. “Geometría Fractal” [en línea] disponible
en: http://www.http://www.youtube.com/ watch?v=dKarsTZ0RjM
[Recuperado el día 11 de octubre de 2011]. “La sección áurea” [en
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http://www.fotonostra.com/grafico/reglaaurea. htm [Recuperado el
día 6 de junio de 2012]. “Universo matemático, orden en el caos”
[en línea], http://www.youtube.com/ watch?v=G2escEYqOUo [Recuperado
el 11 de octubre de 2011]. “Sobre la historia del concepto
topológico de curva.PDF”[en línea], disponible en: http://vir-
tual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/Historia11.pdf
[Recuperado el día 20 de septiembre de 2013]. “Tipografía y
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http://catedu.es/matemáti- cas_mundo/CINE/cine_estructura.htm
[Recuperado el día 11 de enero de 2013].
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Obras de fotografía e ilustración digital de Proyecto Fractales.
Autor: Daniel Esquivel.
“Proyecto Universo Fractal” [en línea], disponible en:
http://www.facebo- ok.com/pages/Proyecto-Universo
Fractal/174811115917211?ref=hl [Recupe- rado el día 11 de enero de
2013].
“Tipografía y proporciones” [en línea], disponible en:
http://www.oert.org/ tipografia-y-proporciones/ [Recuperado el día
24 de septiembre de 2013].
“Xeometría, Arte e Natureza, Polígonos, Fractales, Caos” [en
línea], dispo- nible en: http://www.youtube.com/watch?v=eIhqmyPDlf4
[Recuperado el día 11 de octubre de 2011].
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