EEE335 Fourier - dee.ufrj.br acsl/grad/eletromag/material/EEE335_  · Transformada de Fourier Surge

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Text of EEE335 Fourier - dee.ufrj.br acsl/grad/eletromag/material/EEE335_  · Transformada de Fourier Surge

  • Universidade Federal do Rio de Janeiro

    EEE 335 Eletromagnetismo II

    Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima

    0 2 4 6 8 10

    !0.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6J0

    J1J2 J3

  • Domnio da Frequncia & Fasores Transformadas de Fourier & Laplace!

    Frequncia real ou frequncia complexa!!

  • Matemtica para Engenheiros

    Sem grandes perturbaes: lema, teorema, caveat, etc e tal, no nos interessa... sad but true!

    Lidamos com sistemas fsicos, convergncias e problemas de existncia, tambm vo para segundo plano!

    Se funciona no importa muito ser aproximado! Infinito j no abstrao 11 1.0

  • Ferramentas para Anlise

    Solues de equaes diferenciais ordinrias a partir do Domnio das Transformadas!

    Laplace, Fourier!

    Solues de equaes parciais diferencias a partir de transformadas multi-dimensionais!

    uso de funes especiais!

    clculo numrico

  • Srie de FourierJean Baptiste Joseph Fourier!

    Foi aluno de Lagrange, ganhou prmio em 1811 com citao sobre falta de generalidade e rigor. Estudou na cole Normale Suprieure e mais tarde atuou na ENS e na cole Polytechnique!

    Desenvolveu a srie e transformada a partir de uma idia de Bernoulli!

    No apresentou prova formal anos mais tarde Dirichlet o fez!

    !f(t)

    1X

    n=0

    a0p cos

    !nt+ 'np

    + a0i sin (!nt+ 'ni)

    f(t) 1X

    n=0

    Cn exp (j!nt+ n)

  • Srie de Fourier Funo peridica!

    limites reais!

    pode ser complexa ou real

    f(t+ T ) = f(t) T = 2

    an =1

    Z 2

    0f(t) cos(nt) dt

    bn =1

    Z 2

    0f(t) sin(nt) dt

    cn =1

    2

    Z 2

    0f(t) exp(jnt) dt n = 0,1,2, . . .

    cn =1

    T

    Z T/2

    T/2f(t) exp(j n2

    Tt) dt n = 0,1,2, . . .

  • Srie de Fourier Funo aperidica - T torna-se infinito! da Srie chegamos Transformada

    2

    T! !

    f(t) =1

    T

    1X

    k=1exp(jk!t)

    "Z T/2

    T/2f(t) exp(j n2

    Tt) dt

    #

    =

    1

    2

    1X

    k=1!

    Z 1

    1f() exp (jk!(t )) d

    =

    1

    2

    Z 1

    1exp(j!t)d!

    Z 1

    1f() exp (j!) d

    =

    1

    2

    Z 1

    1F (!) exp(j!t) d!

  • Transformada de FourierSurge ao se aplicar a srie de Fourier para funes aperidicas!

    F (!) =

    Z 1

    1f(t) exp(j!t)dt

    f(t) =1

    2

    Z 1

    1F (!) exp(j!t)d!

    Definies clssicas !usadas na engenharia

    F (!) =1p2

    Z 1

    1f(t) exp(j!t)dt

    f(t) =1p2

    Z 1

    1F (!) exp(j!t)d!

    Definies usadas na fsica

  • Transformada de Fourier - PropriedadesZ 1

    1|f(t)|2 dt =

    Z 1

    1|F (!)|2 d!

    A mesma quantidade de energia para o sinal existe no

    domnio do tempo e no domnio da frequncia

    F [af(t) + bg(t)] = aF (!) + bG(!) Linearidade

    F [f(t+ a)] = exp(j!a)F (!)

    F [f(at)] = 1aF (!/a)

    Fdf(t)

    dt

    = j!F (!) F

    Zf(t) dt

    =

    F (!)

    j!

  • Discrete Fourier Transform Na maioria dos casos s possvel obter

    uma aproximao numrica!

    No mundo digital - tempo discreto e frequncia discreta!

    Considere uma janela de amostragem T com passo

    t =T

    NN = #de amostras

    tk = kt k = 0, 1, . . . , N 1fk = f(tk)

    !n = 2n

    T!0 =

    2

    T

  • Discrete Fourier Transform As integrais so transformadas em somatrios! Para resolver as funes so necessrios

    uma grande quantidade de amostras!

    Lenta convergncia era um desafio para aplicao da DFT!

    Se N=2^n FFT pode ser usadaF (!n) =

    N1X

    k=0

    f(tk) exp(j!ntk) n = 0, 1, . . . , N 1

    f(tk) =1

    N

    N1X

    k=0

    F (!n) exp(j!ntk) k = 0, 1, 2, . . . , N 1

  • Fast Fourier Transform - FFT Algoritmo da borboleta - 1965! eficiente para o clculo da DFT! reduz o tempo de computao para N pontos

    de N^2 para N*log2(N)!

    no caso de N diferente de 2^n - programas adicionam zeros no vetor de entrada at atingir 2^n! matlab - fft e ifft! Mathematica - Fourier e InverseFourier

  • 32

    DFT x FFT - Exemplo Considere o sinal x(t) = sin(1.5 t) + 0.5 sin(3 t)

    Para 32 amostras!Clculo da DFT =0.012355s!Clculo da FFT =0.000063s!

    ||DFT-FFT || = 9.2e-15!Para 512 amostras!

    FFT = 0.0000065s

    512

  • 32

    DFT x FFT - Exemplo Efeito do zero-padding

    0 100 200 300 400 5000

    50

    100

    150

    200

    250

  • Algumas Transformadas impulso - delta de Dirac! degrau! seno ! cosseno! cosseno*degrau! dupla exponencial

    (t) ) 1

    u(t) =

    Z(t) dt ) 1

    j!

    sin(!0t) )!0

    (j!)2 + !0

    cos(!0t) )j!

    (j!)2 + !0

    exp(at) exp(bt) ) 1j! + a

    1j! + b

  • Algumas Transformadasu(t) ) 1

    j!u(t) exp(t/2) ) 11

    2 + j!

  • Algumas Transformadask (exp(at) exp(bt)) ) 1

    j! + a 1

    j! + b

  • Problemas da Discretizao Banda de frequncia finita ! problemas nos pontos de

    descontinuidade!

    Efeito Gibbs - necessidade de filtros (janelamento)!

    Impulso & Degrau

    eF (!) =Z

    f(t) exp(j!t) dt

    ef =Z

    eF (!) exp(j!t) d!

  • Efeito Gibbs

  • Problemas da Discretizao - Exemplo Considere o sinal

    x(t) = x0(t) + x1(t) + x2(t)

    x0(t) = sin(45t) exp(45 |t 0.2|)x1(t) = sin(45t) cos(180t) exp(50 |t 0.2|)x2(t) = sin(180t) exp(45 |t 0.8|)

  • Problemas da Discretizao - Exemplo Transformando obtemos uma expresso gigante, aqui vai

    apenas um parte e a resposta grfica do conjunto

    X2(!) =565.487e36.+(0.0.8i)!

    !2

    e(0.+0.8i)!

    + (0. + 90.i)!e(0.+0.8i)! (0. + 7.76022 1017i)! + 321800.e(0.+0.8i)!

    ((0. + 90.i)! !2 + 321800.) ((0. + 90.i)! !2 + 321800.)

  • Problemas da Discretizao - Exemplo Amostrando a resposta temporal entre 0 e 1s com 1024 pontos

    e aplicando a FFT no sinal temporal

  • Laplace & Fourier

    Laplace uma verso extendida de Fourier usando uma frequncia complexa!

    Obteno da resposta numrica empregando exponenciais e FFT