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ngohanh
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Universidade Federal do Rio de Janeiro
EEE 335 Eletromagnetismo II
Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima
0 2 4 6 8 10
!0.2
0
0.2
0.4
0.6J0
J1J2 J3
Domnio da Frequncia & Fasores Transformadas de Fourier & Laplace!
Frequncia real ou frequncia complexa!!
Matemtica para Engenheiros
Sem grandes perturbaes: lema, teorema, caveat, etc e tal, no nos interessa... sad but true!
Lidamos com sistemas fsicos, convergncias e problemas de existncia, tambm vo para segundo plano!
Se funciona no importa muito ser aproximado! Infinito j no abstrao 11 1.0
Ferramentas para Anlise
Solues de equaes diferenciais ordinrias a partir do Domnio das Transformadas!
Laplace, Fourier!
Solues de equaes parciais diferencias a partir de transformadas multi-dimensionais!
uso de funes especiais!
clculo numrico
Srie de FourierJean Baptiste Joseph Fourier!
Foi aluno de Lagrange, ganhou prmio em 1811 com citao sobre falta de generalidade e rigor. Estudou na cole Normale Suprieure e mais tarde atuou na ENS e na cole Polytechnique!
Desenvolveu a srie e transformada a partir de uma idia de Bernoulli!
No apresentou prova formal anos mais tarde Dirichlet o fez!
!f(t)
1X
n=0
a0p cos
!nt+ 'np
+ a0i sin (!nt+ 'ni)
f(t) 1X
n=0
Cn exp (j!nt+ n)
Srie de Fourier Funo peridica!
limites reais!
pode ser complexa ou real
f(t+ T ) = f(t) T = 2
an =1
Z 2
0f(t) cos(nt) dt
bn =1
Z 2
0f(t) sin(nt) dt
cn =1
2
Z 2
0f(t) exp(jnt) dt n = 0,1,2, . . .
cn =1
T
Z T/2
T/2f(t) exp(j n2
Tt) dt n = 0,1,2, . . .
Srie de Fourier Funo aperidica - T torna-se infinito! da Srie chegamos Transformada
2
T! !
f(t) =1
T
1X
k=1exp(jk!t)
"Z T/2
T/2f(t) exp(j n2
Tt) dt
#
=
1
2
1X
k=1!
Z 1
1f() exp (jk!(t )) d
=
1
2
Z 1
1exp(j!t)d!
Z 1
1f() exp (j!) d
=
1
2
Z 1
1F (!) exp(j!t) d!
Transformada de FourierSurge ao se aplicar a srie de Fourier para funes aperidicas!
F (!) =
Z 1
1f(t) exp(j!t)dt
f(t) =1
2
Z 1
1F (!) exp(j!t)d!
Definies clssicas !usadas na engenharia
F (!) =1p2
Z 1
1f(t) exp(j!t)dt
f(t) =1p2
Z 1
1F (!) exp(j!t)d!
Definies usadas na fsica
Transformada de Fourier - PropriedadesZ 1
1|f(t)|2 dt =
Z 1
1|F (!)|2 d!
A mesma quantidade de energia para o sinal existe no
domnio do tempo e no domnio da frequncia
F [af(t) + bg(t)] = aF (!) + bG(!) Linearidade
F [f(t+ a)] = exp(j!a)F (!)
F [f(at)] = 1aF (!/a)
Fdf(t)
dt
= j!F (!) F
Zf(t) dt
=
F (!)
j!
Discrete Fourier Transform Na maioria dos casos s possvel obter
uma aproximao numrica!
No mundo digital - tempo discreto e frequncia discreta!
Considere uma janela de amostragem T com passo
t =T
NN = #de amostras
tk = kt k = 0, 1, . . . , N 1fk = f(tk)
!n = 2n
T!0 =
2
T
Discrete Fourier Transform As integrais so transformadas em somatrios! Para resolver as funes so necessrios
uma grande quantidade de amostras!
Lenta convergncia era um desafio para aplicao da DFT!
Se N=2^n FFT pode ser usadaF (!n) =
N1X
k=0
f(tk) exp(j!ntk) n = 0, 1, . . . , N 1
f(tk) =1
N
N1X
k=0
F (!n) exp(j!ntk) k = 0, 1, 2, . . . , N 1
Fast Fourier Transform - FFT Algoritmo da borboleta - 1965! eficiente para o clculo da DFT! reduz o tempo de computao para N pontos
de N^2 para N*log2(N)!
no caso de N diferente de 2^n - programas adicionam zeros no vetor de entrada at atingir 2^n! matlab - fft e ifft! Mathematica - Fourier e InverseFourier
32
DFT x FFT - Exemplo Considere o sinal x(t) = sin(1.5 t) + 0.5 sin(3 t)
Para 32 amostras!Clculo da DFT =0.012355s!Clculo da FFT =0.000063s!
||DFT-FFT || = 9.2e-15!Para 512 amostras!
FFT = 0.0000065s
512
32
DFT x FFT - Exemplo Efeito do zero-padding
0 100 200 300 400 5000
50
100
150
200
250
Algumas Transformadas impulso - delta de Dirac! degrau! seno ! cosseno! cosseno*degrau! dupla exponencial
(t) ) 1
u(t) =
Z(t) dt ) 1
j!
sin(!0t) )!0
(j!)2 + !0
cos(!0t) )j!
(j!)2 + !0
exp(at) exp(bt) ) 1j! + a
1j! + b
Algumas Transformadasu(t) ) 1
j!u(t) exp(t/2) ) 11
2 + j!
Algumas Transformadask (exp(at) exp(bt)) ) 1
j! + a 1
j! + b
Problemas da Discretizao Banda de frequncia finita ! problemas nos pontos de
descontinuidade!
Efeito Gibbs - necessidade de filtros (janelamento)!
Impulso & Degrau
eF (!) =Z
f(t) exp(j!t) dt
ef =Z
eF (!) exp(j!t) d!
Efeito Gibbs
Problemas da Discretizao - Exemplo Considere o sinal
x(t) = x0(t) + x1(t) + x2(t)
x0(t) = sin(45t) exp(45 |t 0.2|)x1(t) = sin(45t) cos(180t) exp(50 |t 0.2|)x2(t) = sin(180t) exp(45 |t 0.8|)
Problemas da Discretizao - Exemplo Transformando obtemos uma expresso gigante, aqui vai
apenas um parte e a resposta grfica do conjunto
X2(!) =565.487e36.+(0.0.8i)!
!2
e(0.+0.8i)!
+ (0. + 90.i)!e(0.+0.8i)! (0. + 7.76022 1017i)! + 321800.e(0.+0.8i)!
((0. + 90.i)! !2 + 321800.) ((0. + 90.i)! !2 + 321800.)
Problemas da Discretizao - Exemplo Amostrando a resposta temporal entre 0 e 1s com 1024 pontos
e aplicando a FFT no sinal temporal
Laplace & Fourier
Laplace uma verso extendida de Fourier usando uma frequncia complexa!
Obteno da resposta numrica empregando exponenciais e FFT