Universidade Federal do Rio de Janeiro

EEE 335 Eletromagnetismo II

Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima

0 2 4 6 8 10

!0.2

0

0.2

0.4

0.6J0

J1J2 J3

Domnio da Frequncia & Fasores Transformadas de Fourier & Laplace!

Frequncia real ou frequncia complexa!!

Matemtica para Engenheiros

Sem grandes perturbaes: lema, teorema, caveat, etc e tal, no nos interessa... sad but true!

Lidamos com sistemas fsicos, convergncias e problemas de existncia, tambm vo para segundo plano!

Se funciona no importa muito ser aproximado! Infinito j no abstrao 11 1.0

Ferramentas para Anlise

Solues de equaes diferenciais ordinrias a partir do Domnio das Transformadas!

Laplace, Fourier!

Solues de equaes parciais diferencias a partir de transformadas multi-dimensionais!

uso de funes especiais!

clculo numrico

Srie de FourierJean Baptiste Joseph Fourier!

Foi aluno de Lagrange, ganhou prmio em 1811 com citao sobre falta de generalidade e rigor. Estudou na cole Normale Suprieure e mais tarde atuou na ENS e na cole Polytechnique!

Desenvolveu a srie e transformada a partir de uma idia de Bernoulli!

No apresentou prova formal anos mais tarde Dirichlet o fez!

!f(t)

1X

n=0

a0p cos

!nt+ 'np

+ a0i sin (!nt+ 'ni)

f(t) 1X

n=0

Cn exp (j!nt+ n)

Srie de Fourier Funo peridica!

limites reais!

pode ser complexa ou real

f(t+ T ) = f(t) T = 2

an =1

Z 2

0f(t) cos(nt) dt

bn =1

Z 2

0f(t) sin(nt) dt

cn =1

2

Z 2

0f(t) exp(jnt) dt n = 0,1,2, . . .

cn =1

T

Z T/2

T/2f(t) exp(j n2

Tt) dt n = 0,1,2, . . .

Srie de Fourier Funo aperidica - T torna-se infinito! da Srie chegamos Transformada

2

T! !

f(t) =1

T

1X

k=1exp(jk!t)

"Z T/2

T/2f(t) exp(j n2

Tt) dt

#

=

1

2

1X

k=1!

Z 1

1f() exp (jk!(t )) d

=

1

2

Z 1

1exp(j!t)d!

Z 1

1f() exp (j!) d

=

1

2

Z 1

1F (!) exp(j!t) d!

Transformada de FourierSurge ao se aplicar a srie de Fourier para funes aperidicas!

F (!) =

Z 1

1f(t) exp(j!t)dt

f(t) =1

2

Z 1

1F (!) exp(j!t)d!

Definies clssicas !usadas na engenharia

F (!) =1p2

Z 1

1f(t) exp(j!t)dt

f(t) =1p2

Z 1

1F (!) exp(j!t)d!

Definies usadas na fsica

Transformada de Fourier - PropriedadesZ 1

1|f(t)|2 dt =

Z 1

1|F (!)|2 d!

A mesma quantidade de energia para o sinal existe no

domnio do tempo e no domnio da frequncia

F [af(t) + bg(t)] = aF (!) + bG(!) Linearidade

F [f(t+ a)] = exp(j!a)F (!)

F [f(at)] = 1aF (!/a)

Fdf(t)

dt

= j!F (!) F

Zf(t) dt

=

F (!)

j!

Discrete Fourier Transform Na maioria dos casos s possvel obter

uma aproximao numrica!

No mundo digital - tempo discreto e frequncia discreta!

Considere uma janela de amostragem T com passo

t =T

NN = #de amostras

tk = kt k = 0, 1, . . . , N 1fk = f(tk)

!n = 2n

T!0 =

2

T

Discrete Fourier Transform As integrais so transformadas em somatrios! Para resolver as funes so necessrios

uma grande quantidade de amostras!

Lenta convergncia era um desafio para aplicao da DFT!

Se N=2^n FFT pode ser usadaF (!n) =

N1X

k=0

f(tk) exp(j!ntk) n = 0, 1, . . . , N 1

f(tk) =1

N

N1X

k=0

F (!n) exp(j!ntk) k = 0, 1, 2, . . . , N 1

Fast Fourier Transform - FFT Algoritmo da borboleta - 1965! eficiente para o clculo da DFT! reduz o tempo de computao para N pontos

de N^2 para N*log2(N)!

no caso de N diferente de 2^n - programas adicionam zeros no vetor de entrada at atingir 2^n! matlab - fft e ifft! Mathematica - Fourier e InverseFourier

32

DFT x FFT - Exemplo Considere o sinal x(t) = sin(1.5 t) + 0.5 sin(3 t)

Para 32 amostras!Clculo da DFT =0.012355s!Clculo da FFT =0.000063s!

||DFT-FFT || = 9.2e-15!Para 512 amostras!

FFT = 0.0000065s

512

32

DFT x FFT - Exemplo Efeito do zero-padding

0 100 200 300 400 5000

50

100

150

200

250

Algumas Transformadas impulso - delta de Dirac! degrau! seno ! cosseno! cosseno*degrau! dupla exponencial

(t) ) 1

u(t) =

Z(t) dt ) 1

j!

sin(!0t) )!0

(j!)2 + !0

cos(!0t) )j!

(j!)2 + !0

exp(at) exp(bt) ) 1j! + a

1j! + b

Algumas Transformadasu(t) ) 1

j!u(t) exp(t/2) ) 11

2 + j!

Algumas Transformadask (exp(at) exp(bt)) ) 1

j! + a 1

j! + b

Problemas da Discretizao Banda de frequncia finita ! problemas nos pontos de

descontinuidade!

Efeito Gibbs - necessidade de filtros (janelamento)!

Impulso & Degrau

eF (!) =Z

f(t) exp(j!t) dt

ef =Z

eF (!) exp(j!t) d!

Efeito Gibbs

Problemas da Discretizao - Exemplo Considere o sinal

x(t) = x0(t) + x1(t) + x2(t)

x0(t) = sin(45t) exp(45 |t 0.2|)x1(t) = sin(45t) cos(180t) exp(50 |t 0.2|)x2(t) = sin(180t) exp(45 |t 0.8|)

Problemas da Discretizao - Exemplo Transformando obtemos uma expresso gigante, aqui vai

apenas um parte e a resposta grfica do conjunto

X2(!) =565.487e36.+(0.0.8i)!

!2

e(0.+0.8i)!

+ (0. + 90.i)!e(0.+0.8i)! (0. + 7.76022 1017i)! + 321800.e(0.+0.8i)!

((0. + 90.i)! !2 + 321800.) ((0. + 90.i)! !2 + 321800.)

Problemas da Discretizao - Exemplo Amostrando a resposta temporal entre 0 e 1s com 1024 pontos

e aplicando a FFT no sinal temporal

Laplace & Fourier

Laplace uma verso extendida de Fourier usando uma frequncia complexa!

Obteno da resposta numrica empregando exponenciais e FFT