NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA

Prof. Carlos R. A. Lima

CAPÍTULO 2

RADIAÇÃO TÉRMICA E CORPO NEGRO

Edição de janeiro de 2009

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CAPÍTULO 2 – RADIAÇÃO TÉRMICA E CORPO NEGRO

ÍNDICE 2.1- Radiação Térmica 2.2- Corpo Negro 2.3- Teoria Clássica da Radiação de Cavidade de Rayleigh - Jeans 2.4- Teoria de Planck da Radiação de Cavidade Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 2 aulas de quatro créditos.

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Lista de Exercícios 1- Um corpo negro tem que ser necessariamente negro? Explique o termo corpo negro. 2- Um pedaço de metal brilha com uma cor avermelhada a . Entretanto, nessa mesma temperatura, um pedaço de quartzo não brilha. Explique este fato sabendo-se que, ao contrário do metal, o quartzo é transparente à luz visível.

K1100

3- Uma das primeiras tentativas de se explicar a distribuição espectral de um corpo negro foi feita por Rayleigh – Jeans, a partir de conceitos clássicos da termodinâmica. Em que região do espectro eletromagnético a lei de Rayleigh – Jeans não se verifica e que fato ficou conhecido como catástrofe do ultravioleta? 4- Na tentativa de explicar os resultados experimentais observados no espectro de um corpo negro, Planck concluiu que o problema estava principalmente num conceito clássico da termodinâmica. Qual seria esse conceito, e que alteração foi sugerida por Planck? Essa alteração invalida conceitos clássicos da termodinâmica, ou redefine esses conceitos de modo a incluir os casos clássicos como particulares? Explique. 5- Em muitos sistemas clássicos as freqüências possíveis são quantizadas, tal como, por exemplo, a propagação de ondas sonoras num tubo ressonante. Nestes casos, a energia também é quantizada? Explique. 6- Faça uma estimativa para encontrar o comprimento de onda em que corpo humano emite sua radiação térmica máxima? 7- Em uma explosão termonuclear, a temperatura no centro da explosão é momentaneamente 107 K . Ache o comprimento de onda para o qual a radiação emitida é máxima. 8- A uma dada temperatura, nmmax 650λ = para uma cavidade de corpo negro. Qual será λmax se a taxa de emissão de radiação espectral for duplicada? 9- O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por certa cavidade ocorre para um comprimento de onda de m27,0μ (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada ata que a potência total irradiada se torne três vezes maior. (a) Determine a nova temperatura da cavidade. (b) Determine a nova posição do máximo da distribuição espectral. 10- A energia solar que atinge a parte superior da atmosfera da terra é , a chamada constante solar. (a) Supondo que a terra se comporte como um corpo negro de temperatura uniforme use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura de equilíbrio da terra. (b) Se o diâmetro do sol é da ordem de

e a distância da terra ao sol é de aproximadamente e supondo que o sol irradie como um corpo negro use a equação de Stefan - Boltzmann para estimar a temperatura na sua superfície.

W m31,36 10 /× 2

m91,6 10× m111,3 10×

11- A temperatura do filamento de uma lâmpada incandescente de é . (a) Supondo que o filamento se comporte como um corpo negro, determine o comprimento de onda

W40 K3300máxλ no ponto de máximo da

distribuição espectral. (b) Supondo que máxλ seja uma boa aproximação para o valor médio do comprimento de onda dos fótons emitidos pela lâmpada, determine o número de fótons produzidos por segundo pela lâmpada. (c) Se um observador está olhando para a lâmpada a de distância, quantos fótons penetram por segundo nos olhos do observador, sabendo-se que o diâmetro da pupila humana é, aproximadamente, .

m5mm5

12- Um radiador de cavidade a tem um orifício de de diâmetro feito em sua parede. Ache a potência irradiada através do orifício no intervalo de comprimentos de onda entre a . Resp.:

. (Sugestão: Use o fato que

K6000 mm0,10nm550 nm551

W7,53 ( )T TR R551

550

dλ λ= ∫ é, aproximadamente, a área de um retângulo estreito no

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gráfico ( )TR λ λ× , de largura nm551 550 1λΔ = − = . Encontre a altura do retângulo ( )TR λ , com

( ) nm550 551 / 2 550,5λ = + = , usando a fórmula de Planck)

13- Utilizando a relação ( )ε

ε−

=Bk T

B

ePk T

mostre que ( )0

ε ε ε ε∞

= =∫ BP d k T . Mostre também que o ponto de

máximo da função ( )Pε ε ocorre para Bk Tε = . 14- Na determinação clássica da energia média total de cada modo da radiação no interior de uma cavidade ressonante, adotou-se a lei da eqüipartição da energia. De acordo com essa lei, moléculas de um gás que se movem em equilíbrio térmico a uma temperatura T , a energia cinética média por grau de liberdade da molécula é 12 Bk T . Essa lei poderia ser aplicada ao problema do corpo negro desde que se adotasse um modelo mecânico de

oscilador harmônico para as partículas que compõe as paredes da cavidade, como se fossem pequenos sistemas massa – molas, de modo que a energia potencial também deveria se incluída na determinação da energia total. A vibração dessas partículas, por conseqüência da temperatura, daria origem as vibrações dos campos elétricos associados às ondas eletromagnéticas transversais. Baseado nesse modelo mecânico, conclui-se que a energia média total por grau de liberdade deveria ser , isto é, o dobro da energia cinética média que se esperaria para cada partícula oscilante. Considerando-se que a energia total de um oscilador harmônico simples é

Bk T

mv kx21 12 2

+ 2 , onde k é a constante elástica da mola, m é a massa da partícula, v sua velocidade e

sua posição em cada instante de tempo, mostre que essa energia total é o dobro da energia cinética média. x x t= 0 cosω

15- Obtenha a lei do deslocamento de Wien, máxT

32,898 10λ − K m= × × , a partir da função distribuição

espectral de um corpo negro obtida por Planck ( ) 5

8 11λ

πρ λλ

=−BT hc k T

hce

. (Sugestão: faça a substituição de

variável λ

=B

hcxk T

, e reescreva a função distribuição na forma ( ) ( ) ( )5

4 3

2πρ λ = B

T

k Tg x

h c, onde ( ) x

xg x

e

5

1=

−

descreve a forma universal do espectro de um corpo negro para qualquer temperatura. Encontre o valor máxx para

o qual a função é máxima, derivando-a em relação à g xb g x e igualando a zero. Use esse valor na equação

λ=máx

máx B

hcxk T

e obtenha o resultado procurado).

16- Suponha que a radiação de uma cavidade de corpo negro a está sendo examinada através de um filtro passa banda de

K5000nm2λΔ = centrado no comprimento de onda máxλ , do pico do espectro. Se o orifício da

cavidade é um círculo de raio r , encontre a potência cm1= P transmitida pelo filtro. (Sugestão: Usualmente, a

potência irradiada seria calculada por ( )nm

T T

nm

R R581

579

dλ λ= ∫ multiplicada pela área do orifício. Entretanto, λΔ é

pequeno o suficiente para permitir uma aproximação do tipo ( )T TR área abaixo da curva R máxλ λ= ≈ Δ , em

que máxλ pode ser calculado utilizando-se a lei do deslocamento de Wien). Resp.: . P W25,3≈

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