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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (8)pauli.fis.puc.cl/~rramirez/E_M/EM_b_clase8.pdfsimilar al campo electrico. La tangente a una l´ ´ınea de campo est a dirigida en´

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  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (8)

    ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOFIZ 1300 FIS 1532 (8)

    Ricardo Ramı́rezFacultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile

    1er. Semestre 2008

    Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile

  • ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (8)

    CAMPO MAGNETICOEn las cercanı́as de un imán o de un electroimán existe un campovectorial llamado Campo magnético ~B. Este campo se puededeterminar por su efecto sobre una carga puntual en movimiento.Se quiere determinar el valor del campo magnético ~B en un punto Pdel espacio. Para esto se lanza una partı́cula cargada con velocidad~v a través del punto P en distintas direcciones pero manteniendo lamagnitud de la velocidad |~v | y se determina la fuerza ~FB sobre lacarga q.

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    Se encuentra que existe un eje tal que si ~v se encuentra en esadirección entonces la fuerza ~FB = 0. Para otras direcciones seencuentra que |~FB| es proporcional sin φ donde φ es el ángulo entreeste eje y ~v .

    vP

    B?

    Linea de fuerza cero

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    La fuerza es proporcional a q y a |~v |. Si la velocidad es perpendicular al ejede fuerza cero, entonces la fuerza FB es máxima, F maxB y definimos el campomagnético B como:

    B =F maxB|q|v

    .Todos estos resultados se pueden resumir en la expresión:

    ~FB = q~v × ~B

    Si además hay un campo eléctrico ~E , la fuerza total sobre la carga q es:

    ~F = q~E + q~v × ~B

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    La unidad MKS para el campo magnético se puede obtener de la definición yes 1 newton por (coulomb-metro/segundo).Esta unidad tiene el nombre de Tesla o T:

    1 T = 1newton

    metro− coulomb/segundo

    1 T = 1N

    AmOtra unidad muy usada es el gauss (G):

    1 T = 104gauss

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    Algunos valores del campo magnético

    Superficie estrella de neutrones 1.×108 TElectroiman poderoso 1.5 TPequeño iman 1.0×10−2 TSuperficie de la Tierra 1.0×10−4 TSala magneticamente aislada 1.0×10−14 T

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    Lı́neas de campo magnéticoEl campo magnético se puede representar por lı́neas de campo en formasimilar al campo eléctrico. La tangente a una lı́nea de campo está dirigida enla dirección del campo magnético en ese punto.

    El campo es más fuerte donde laslı́neas están más juntas.

    La figura muestra las lı́neas de unimán permanente.

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    Corriente de particulas cargadasConsideramos n particulas por unidad de volumen con velocidad vque atraviesan una superficie de area A.

    A

    v dt

    v

    dN = nAvdt qdN/dt = nqvA J = nqv

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    Fuerza sobre un circuito rectilı́neoConsidere un conductor rectilı́neo de sección A que lleva unacorriente I.

    I

    L

    Fuerza sobre los N electrones que se encuentran dentro del volumenAL:

    ~F = N~f = Nq~v × ~B = nALq~v × ~B = nqvA~L× ~B = I~L× ~B

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    FUERZA SOBRE UN ELEMENTO DE CIRCUITOLa expresión anterior la podemos generalizar para un circuito deforma cualquiera. Para esto tomemos un elemento de circuito d~l

    � �� �dl

    dF

    B

    d~F = Id~l × ~B

    FUERZA SOBRE UN CIRCUITO

    ~F =∮

    Id~l × ~B

    dl

    B

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    EJEMPLO 1En el circuito de la figura circula una corriente I en presencia de un campomagnético uniforme perpendicular (saliendo) al plano de la figura. Calcular lafuerza total sobre el circuito.

    B

    IR

    l l

    F = 2IB(R + l)

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    EJEMPLO 2Calcular el torque sobre el circuito de la figura.

    B ✕

    ab

    F F

    FF

    1

    3 3

    1

    BθF4 F2

    Ι n̂Ι

    ~B entra en la figura.

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    El torque esta dado por:

    τ ′ = 2iaB(

    b2

    )sin θ = iabB sin θ

    Ahora podemos pensar que el circuito esta formado por N vueltas, ental caso, el torque total está dado por:

    τ = Nτ ′ = NiabB sin θ

    En general para un circuito de área A, podemos escribir:

    τ = NiAB sin θ

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    El factor NiA se llama el momento dipolar magnético ~µ que seexpresa como un vector perpendicular al plano del circuito. De estamanera el torque ejercido por B sobre un circuito se puede escribircomo:

    I

    µ

    ~µ = NiAn̂

    ~τ = ~µ× ~B

    B

    µ

    τ

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    GALVANÓMETRO

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    ENERGIA POTENCIAL DE UN DIPOLO MAGNETICOLa energı́a potencial esta dada por el trabajo realizado para girar eldipolo desde su posición de fuerza cero hasta el ángulo θ :

    U =∫ θ

    90oτdθ = µB

    ∫ θ90o

    sin θdθ = −µB cos θ = −~µ · ~B

    Esta es la energı́a potencial de un dipolo magnético ~µ en un campomagnético ~B.

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    EFECTO HALL Metal en presencia de un campo magnético.

    FE

    FE

    FB

    FB

    FB

    +

    +

    +

    +

    I

    v

    vv

    E E

    II

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    (a) (b) (c)

    Campo magnetico hacia dentro

    − −

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    En la figura (a) anterior tenemos un metal por el cual circula una corriente I enpresencia de un campo magnético B perpendicular al plano de la figura y dirigido haciaen interior. Aquı́ se muestra como se deflecta la trayectoria de los electrones cuandose conecta B.En la figura (b) se muestra como seacumula carga negativa en el bordederecho del metal. Ya que el metales neutro, en el borde opuesto apa-rece un carga positiva. La acumula-ción no crece indefinidamente por-que aparece un campo eléctrico pro-ducido por esta misma acumulaciónde cargas.Este es el efecto Hall descubier-to por Edwin Hall en 1879, cuandotenı́a 24 años de edad.La diferencia de potencial entre losbordes del metal VH se expresacomo el campo de Hall: Edwin Hall 1855–1938

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    EH = VH/d

    Este campo se puede obtener por la condición de que no haya más deflección, esdecir que la fuerza neta sobre los electrones sea cero:

    q~EH + q~v × ~B = 0

    De esta manera si podemos medir la densidad de corriente j , ~E y ~B podemosdeterminar la densidad de electrones n mediante j = nev :

    EH = vB =j

    neB → n = jB

    eEH

    En la figura (c) se muestra el mismo efecto, pero en este caso tenemos portadores de

    carga positivos.

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    Frecuencia de ciclotron

    qvB =mv2

    r→ r = mv

    qB→ ω = qB

    m

    q

    F

    v

    B r

    La frecuencia ν = ω/2π no depende de la velocidad de la partı́cula.Esta frecuencia se llama frecuencia de ciclotrón.

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    CICLOTRON

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    Descubrimiento del electron

    V

    E BPC

    Bomba de vacio

    Pantallafluorescente

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    El cátodo C se encuentra a alta temperatura y emite electrones, los que sonacelerados por el campo eléctrico producido por la fuente V y pasan a travésde la pantalla colimadora P.Los campos magnético B y eléctrico E producen una fuerza:

    F = q~E + q~v × ~B

    y desvı́an el haz de electrones. La condición para que la deflección sea iguala cero es:

    E = vB (∗)

    En los experimentos realizados en 1897, J.J.Thomson encontró que:a) Para E = 0 y B = 0 no hay deflección del haz.b) Al aplicar un campo E el haz se deflecta.c) La defleccion vuelve a cero si se cumple (*).

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    Determinación de e/mSi l es el largo de las placas que deflectan el haz, la deflección en la pantallafluorescente vale:

    y =eEl2

    2mv2

    Reemplazando

    v =EB

    podemos determinar la razón entre la carga y masa del electrón:

    em

    =2yEB2l2

    mediante la medición de la deflección y en la pantalla fluorescente.

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    EJEMPLO 3La Tierra se puede considerar como un enorme iman recto, en que elcampo magnético en el ecuador es aproximadamente 5× 10−5 T yva desde el polo sur geogroáfico al polo norte geogroáfico. Sidespreciamos la resistencia del aire, ¿cuál deberı́a ser la velocidadde una partı́cula de 0.1 C y 0.1 g, para que describa una órbitacircular alrededor de la Tierra?

    Ricardo Ramı́rez Facultad de Fı́sica, Pontificia Universidad Católica, Chile