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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (6a) ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (6a) Ricardo Ram´ ırez Facultad de F´ ısica, Pontificia Universidad Cat ´ olica, Chile 1er. Semestre 2008 Ricardo Ram´ ırez Facultad de F´ ısica, Pontificia Universidad Cat ´ olica, Chile

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ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO FIZ 1300 FIS 1532 (6a)

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOFIZ 1300 FIS 1532 (6a)

Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

1er. Semestre 2008

Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile

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Corriente electrica

CORRIENTE ELECTRICA

Corriente electrica implica carga en movimiento. Existen muchas formas decorriente electrica, pero vamos a considerar por ahora aquella producida poruna baterıa. Una baterıa es un dispositivo que tiene dos extremosconductores (bornes) y es capaz de mantener una diferencia de potenciaconstante entre ellos. De esta forma si conectamos un conductor entre elloslos electrones del conductor se moveran dentro de el, desde el bornenegativo hacia el borne positivo de la baterıa.

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Corriente electrica

DEFINICION DE CORRIENTE ELECTRICALa corriente electrica se define como la cantidad de carga electrica que pasaa traves de un plano como el plano A de la figura, por unidad de tiempo:

i =dqdt

Bateria

A B

+ −

C

Notese que la corriente que pasa por A es la misma que pasa por B y por C.

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Corriente electrica

UNIDAD DE CORRIENTE ELECTRICALa unidad de corriente electrica es de la definicion 1 [C/seg] y se llama 1Ampere. La corriente es un escalar pero tiene signo. Por ejemplo lascorrientes de la figura tienen el mismo valor absoluto, pero transportanportadores de cargas del mismo signo en sentidos opuestos, entonces

i1 = −i2

+q

+qi

i

1

2

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Corriente electrica

Sin embargo en la figura siguiente, de nuevo las corrientes tienen el mismovalor absoluto, pero transportan portadores de cargas de distinto signo ensentidos opuestos. Entonces

i1 = i2

−q

+qi

i

1

2

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Corriente electrica

CONVENCIONPor convencion las corrientes se dibujan en la direccion en que se moverıanlos portadores positivos, aun cuando los verdaderos portadores sonnegativos y se mueven en la direccion opuesta.

Bateria

+ −

−eelectrones

Bateria

+ −

+e

Convencion

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Corriente electrica

CORRIENTE EN JUNTURASCuando un cable conductor que lleva una corriente electrica se bifurca endos ramas la suma de las corrientes en las ramas es igual a la corrienteoriginal. Esto es consequencia de la conservacion de la carga electrica.

i1 = i2 + i3

ii

i

1

2

3

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Densidad de corriente

DENSIDAD DE CORRIENTEMuchas veces queremos estudiarel flujo de carga en un punto de-terminado de conductor. Para estoes muy conveniente el concepto dedensidad de corriente. Un portadorde carga positiva se movera en unpunto cualquiera segun la direcciondel campo electrico en es punto.

dAJ

Entonces definimos la densidad de corriente como un vector en la direccionde ~E y con una magnitud J igual a la corriente por unidad de area en esepunto. Ası la corriente que atraviesa un elemento de area dA es igual a~J · d~A donde d~A es un vector perpendicular a ese elemento de area.

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Densidad de corriente

VELOCIDAD DE DERIVALos electrones en un conductor semueven aleatoriamente debido a sumovimiento termico. Sin embargo,en presencia de un campo electri-co tenderan a moverse en direccionopuesta al campo con una velocidadllamada de deriva vd .

+ JE vd

Si tenemos un conductor de seccion A como el de la figura en la que se muestran porconvencion portadores positivos en un numero n por unidad de volumen, en el largo Ldel conductor hay una carga:

Q = nALe

La corriente en este ejemplo se puede escribir como:

i =

ZA

~J · d~A = JA

La carga Q = nALe atravesara la seccion A en el tiempo

t =Lvd

→ i =Qt

= nAevd → ~J = ne~vd

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Densidad de corriente

EJEMPLOUn cable conductor de radio R = 2 mm, lleva una densidad de corriente J.Calcule la corriente total en la porcion del cable entre R/2 y R, en los casosen que:a) La densidad de corriente es J = 50000 A/m2 uniformemente distribuıda atraves de una seccion transversal del cable.b) La densidad de corriente vale J = ar 2, en que a = 7 × 1011 A/m4

R/2

R

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Resistencia electrica

RESISTENCIA ELECTRICA

Al aplicar una diferencia de potencial en los extremos de una barra,por esta pasa una corriente electrica cuyo valor depende de lanaturaleza de la barra. Si la barra es de cobre pasa una corrientemuy grande pero si se trata de un material aislador, como el vidrio lacorriente es ınfima, casi nula. La propiedad que caracteriza losdistintos materiales se llama resistencia y se define por:

R =VI

La unidad de resistencia es 1 Ohm o 1 Ω y es igual a

1 Ω = 1 V/A

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Resistencia electrica

RESISTIVIDAD ELECTRICASin embargo el valor de la resistencia electrica depende no solo delmaterial sino tambien de la forma y tamano del objeto y de la formaen que se aplique la diferencia de potencial.Por esto es necesaria una cantidad que solo dependa del material.Esta cantidad se llama resistividad y se define por

ρ =EJ

Tiene unidades de [mV/A] = [Ω m].El inverso de ρ se llama conductividad σ y aparece en:

J = σE

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Resistencia electrica

RESISTIVIDAD ELECTRICA DE ALGUNOS MATERIALES

METALESPlata 1.62×10−8 Ω mCobre 1.69×10−8 Ω mFierro 9.8×10−8 Ω mPlatino 10.6×10−8 Ω m

SEMICONDUCTORESSilicio puro 2.5×103 Ω mSilicio, tipo n 8.7×10−4 Ω mSilicio, tipo p 2.8×10−3 Ω m

AISLADORESVidrio 1.0×1014 Ω mCuarzo fundido 1.0×1016 Ω m

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Resistencia electrica

Calculo de la resistencia a partir de la resistividad

Resistencia: propiedad de un objetoResistividad: propiedad del material A

L

i

V

Consideremos una barra de seccion A y longitud L, entonces:De E = V/L y J = i/A, obtenemos

ρ =EJ

=Vi

AL

pero V/i = R, por lo tanto:

R = ρLA

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Resistencia electrica

Variacion con la temperatura La resistividad electrica varıa con latemperatura. La dependencia de la resistividad con la temperatura es distintapara metal que para un semiconductor. El los metales varıa casi linealmentey podemos utilizar la relacion:

ρ− ρo = ρoα(T − To)

donde ρo es la resistividad para T = To y α se llama el coeficiente detemperatura de la resistividad. Por ejemplo para la plata ρo = 1.62 × 10−8 aTo = 20oC y α = 4.1 × 10−3 oK−1.Para los semiconductores dopados el comportamiento es distinto. En estecaso la resistividad disminuye con la temperatura:

ρ = Ae−a/kBT

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Ley de Ohm

LEY DE OHM Existen dispositivos en los cuales existe una relacion linealentre la diferencia de potencial aplicada y la corriente que circula por el. Estees el caso de los resistores (o resistencias) en la cuales esta relacion semantiene sin importar la magnitud o la polaridad del potencial aplicado. Estasituacion se ilustra en la figura de la izquierda, la cual es una expresion de laLEY DE OHM.

I

V

I

V

La figura de la derecha corresponde a un diodo semiconductor.

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Ley de Ohm

La ley de Ohm dice que lacorriente que circula a traves deun dispositivo es proporcional ala diferencia de potencial aplica-da. Esta ley no es valida para to-dos los dispositivos por los cua-les circula corriente, como porejemplo un diodo semiconductorpara el cual la dependencia Vv/s I se muestra en la figura de-recha anterior.’

Georg Ohm 1789–1854

La ley de Ohm expresa que la resistencia del dispositivo es independiente dela magnitud y la polaridad del potencial aplicado. Esto es cierto para losresistores:

V = IR con R constante

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Ley de Ohm

POTENCIA EN CIRCUITOS ELECTRICOSEl trabajo que realiza la baterıa para trasladar un elemento de carga dq atraves de una diferencia de potencial V es:Es decir la potencia entregada por la baterıaal dispositivo es:

dU = Vdq = VIdt

P = IV

Si el dispositivo anterior es una resistenciapara la cual se cumple la ley de Ohm, tene-mos:

P = I2R =V 2

R

V

I

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Ley de Ohm

Metales. Semiconductores.Los semiconductores puros tienen un resistividad muy alta, como se ve en latabla siguiente, para el silicio. Sin embargo puede ser reducida agregandocierto tipo de impurezas

COBRE SILICIODensidad de portadores [m]−3 9×1028 1 × 1016

Resistividad [Ω m] 2 × 10−8 3 × 103

Coeficiente de resistencia [oK−1] 4 × 10−3 −70 × 10−3

Superconductores Tienen la propiedad que laresistividad se hace cero bajo una cierta tem-peratura, llama crıtica. T

ρ

SUPERCONDUCTOR

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Ejemplos

Ejemplo 1 Un alambre de Al de 2.5 mm de diametro se suelda a unalambre de cobre de 1.8 mm de diametro y se hace pasar unacorriente i de 0.017 A. ¿ Cual es la densidad de corriente en amboscables?

JAl =i

AAl=

iπ( dAl

2 )2=

1.7× 10−2

4.9× 10−6 = 3500 A/m2

JCu =i

ACu=

iπ( dCu

2 )2=

1.7× 10−2

2.54× 10−6 = 6700 A/m2

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Ejemplos

¿Cual es la velocidad de deriva en el cobre?

nNA

=densidad

masa molar

masa molar = peso atomico en [g/mol]=64 [g/mol]densidad = 9× 103 Kg/m3, NA = 6.02× 1023 mol−1

Por lo tanto:

n =NA × densidad

M= 8.47× 1028 m−3

yvd = JCu/ne = 1.8 mm/hora

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Ejemplos

Ejemplo 2¿Que largo de cable de cobre de instalacion electrica se necesita para que alconectarlo a una baterıa de 12 V, circulen 10 A por el?

Ejemplo 3¿Cual es la resistencia de una ampolleta de 40 W encendida?Si la resistencia de esta ampolleta apagada y a temperatura ambiente es de24 Ω y suponiendo que el filamento es de tungsteno (α = 4.5 × 10−3 oK−1),¿Puede decir que se cumple la relacion lineal entre la resistencia y latemperatura en este caso?

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