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682 $ 50

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JOSE RODRIGUES/ DIDACTICA EDITORA

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tsBN-972-650-076-1

3000 exemplares - Outubro de l991

O DIDÁCTICA EDITORAAv. llha da Madeira, 26-A - 1400 LISBOA

DlsTRlBUlçÃO: PLÁTANO EDITORA, SA

LISBOA: Rua Joáo Ortigáo Ramos, 29-B - a 74 9894 1500 LISBOACENÍRO: Estrada Nacional n.o I 365 - a 20945 Pedrulha - 3000 COIMBRANORTE: Alicerce Editora, Lda. - R. GuerraJunqueiro,456 a 699979 - 4100 PORTO

ELECTROTECNIA - CORRENTE ALTERNADA

JOSÉ RODRIGUES

JOSÉ RODRIGUES E ZÉ MARIA

AGUINALDO A.,MARIA

GABINETE GRÁFICO DA DIDÁCTICA EDITORA

FOTOCOMPOGRAFICA

PERES . Artes GráficasVenda Nova - Amadoraóep. Legal n.o 49705/91

INDICE

I - GENERALIDADES

1 - Necessidade da corrente alternada

2 - Formas de corrente eléctrica

3 - Grandezas características da corrente alternada 11

4 - O osciloscópio 12

5 - Efeitos da corrente alternada 13

II- CORRENÏE ALTERNADA SINUSOIDAL

1 - Produção de corrente alternada sinusoidal 16

2 - Çaracterísticas da corrente alternada sinusoidal 1B

2.1 - Amplitude máxima 1B

2.2 - Valor médio .18

2.3 - Valor eficaz '19

Problemas 21

3 - Representação matemática e vectorial da c.a. sinusoidal 22

3.1 - Construção de uma sinusóide 22

3.2 - Representação matemática

3.3 - Soma de duas correntes sinusoidais com a mesma Írequência

3.4 - Representaçáo vectorial de uma c.a. sinusoidal 27

Problemas

3.5 - DesÍasamento entre duas correntes da mesma Írequência 29

Problemas 31

III - CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA

'| - Resistência 34

2 - Bobinas

2.1 - Cornportamento 36

2.2 - Reaclància indutiva .71

Problemas 39

3 - Potências activa e aparente

4 - Factor de potência

5 - Potências. Estudo teórico 45

5.1 - Potência instantânea 45

5.2 - Potência reactiva 48

6 - Circuito RL série 49

Problemas

7 - Condensadores 59

7.1 - Descrição 59

7.2 - Comportamento em c.c

7.3 - Capacidade dos condensadores 62

Problemas OJ

7.4 - Analogia hidráulica 64

7.5 - Velocidade da carga e descarga 64

7.6 - Capacidade de um condensador plano

7.7 - Tensão de ruptura 66

Problemas 67

7.8 - Associação de condensadores

7.8.1 - Associaçáo em série 68

Problemas

7.8.2 - Associação em Paralelo 71

Problemas IJ

7.8.3 - Associação mista 74

Problemas 74

7.9 - Energia armazenada no campo eléctrico de um condensador AE

Problemas

7.1O - CompoÌlamento em c.a. Circuito capacitivo puro 76

Problemas 79

7.11 - Tipos de condensadores 82

7.12 - Aplicação dos condensadores

7.13 - VeriÍicação dos condensadores com o multimetro

8 - Circuito RC série 87

Problemas 89

9 - Circuito RLC série 91

Problemas

Problemas

95

10 - Ressonância em circuitos série

I

11 - Circuito RLC paralelo 105

Problemas 108

12 - Ressonância em circuitos paralelos 1.10

Problemas 112

13 - Método de Boucherot 113

Problemas 118

IV - ENERGIA REACTIVA

1 - lntroduçáo 120

2 - lnconvenientes da energia reactiva 121

3 - Compensaçáo do Íactor de potência 124

3.1 - Por meio de condensadores 124

Problemas 129

3.2 - Pot meio de motores síncronos 130

V - SISTEMAS ÏRIFASICOS

1 - Produçáo de tensoes trifásicas 132

1.1 - Alternador trifásico 132

.l .2 - Representação matemática e vectorial de um sistema de Í.e.me tensões triÍásicas 133

1.3 - Ligação do alternador em estrela 134

1.4 - Tensões simples e compostas 136

2 - Ligaçoes dos receptores triÍásicos 138

2.1 - Ligaçáo em estrela 139

2.1 .1 - Ligação em estrela equilibrada 139

2.1 .2 - Ligação em estrela desequilibrada 141

Problemas 146

2.2 - Ligaçâo em triângulo 150

2.2.1 - Triângulo equilibrado 150

2.2.2 - Triângulo desequilibrado 152

Problemas 153

3 - Vantagens dos sistemas trifásicos 155

4 Potências dos sistemas trifásicos 156

4.1 - Cálculo tcb

4.2 - Medida de potências 158

4,3 - Problemas 159

4.4 - Método de Boucherot 163

Problemas 164

4.5 - Compensaçáo do Íactor de potência 165

Problemas 166

Soluções dos problemas

167Tabela

I

wm#ffihff\fr-Jcffiffi4ruK

&dJ

ffig.dJ

fP*\*/l

tr NECESSIDADE DA CORRENTE ALTERNADA:

No início do uso da Electricidade utilizava-se apenas a corrente contínua. À medidaque os consumos de energia eléctrica aumentavam, especialmente Íora dos cen-tros produtores, começou a colocar-se o problema do seu transporte por meio de

linhas eléctricas.Sendo a potência eléctrica dada por P : Ul, temos que, para uma dada tensão,

a potência é proporcional à intensidade de corrente. Assim, para grandes potências

as linhas são percorridas por correntes elevadas, o que implica grandes secçoespara os condutores.

Cedo se começou a pensar na hipótese de utilizar tensoes mais elevadas com

o fim de transportar potências cada vez mais elevadas com correntes reduzidas.Assim para transportar a potência de 1 MW consideremos estas duas possibi-

lidades:

u :220vl :45454

Ut:

220 kv : 220 000 v4,545 A

Porém náo é possível baixar a tensáo contínua de 22O kV de modo a poder ser

utilizada nas instalaçÕes industriais e domésticas. Começou entáo a produzir-se aenergia eléctrica sob a forma de corrente alternada, dado que há a possibilidade de

modiÍicar a Sua tensáo (aumentar ou baixar) por meio de Transformadores.Além disso:

- Os geradores de corrente alternada (Alternadores) são mais simples e têm

melhor rendimento que os de corrente contínua'

- Os motores de corrente alternada são mais económicos e têm construçãomais simples que os motores de corrente contínua'

- A corrente alternada pode transformar-se Íacilmente em corrente contínuapor meio de Rectificadores.

l

1

t

GENERALIDADES 9

tr FoRMAS DE coRRENTE ELÉcrRlcA:

1." - CoRRENTE coNríNua:

Como se viu é uma corrente que circula sempre no mesmo sentido com uma inten-

sidade constante. Representa-se por meio de uma recta paralela ao eixo dos tem-pos (Íig. 1).

Fig. 1

Corrente contínua.

2.O - CORRENTE UNIDIRECCIONAL:

A corrente unidireccional é uma corrente com sentido invariável (no caso da Íig. 1 é

Sempre de A para B) mas cujo valor ao longo do tempo náo é necessariamenteconstante. Assim a polaridade dos terminais da Íonte de alimentação e do receptormantém-se ao longo do tempo.

Na fig. 2 temos dois exemplos destas correntes. A corrente contínua é uma

corrente unidireccional.

83,Ânr", uni d ireccionais'

3." - CORRENTE DE SENTIDO VARIÁVEL:

E uma corrente que muda de sentido (Íig. 3), tanto pode percorrer o receptor de Apara B como de B para A. A polaridade dos terminais da Íonte de alimentaçáo e do

receptor muda ao longo do tempo.Normalmente convenciona-se que um dos sentidos é positivo e o outro nega-

tivo.

Fig. 3Corrente desentìdovariável.

+ ---

1O ELECTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

4.O _ CORRENTE ALTERNADA:

E uma corrente de sentido variável com as seguintes propriedades:

- é periódica dado que o sentido da corrente muda, sucessivamente, em in-tervalos de tempo iguais.

- o valor médio da intensidade é nulo, o que resulta de a corrente, quer nosentido positivo quer no negativo, passar sucessivamente pelos mesmos va-lores de intensidade.

Como exemplos mostramos a corrente quadrada (fig. a), a corrente da fig. 5 ea corrente sinusoidal (fig. 6).

Fig. 4 - Corrente quadrada Fig. 5 - Corrente alternada

Uma alternância ou semi-onda é o conjunto de valores assumidos pela cor-rente ou tensão eléctricas num mesmo sentido. Temos assim alternâncias positivase negativas.

Ao conjunto de uma alternância positiva e de uma negativa consecutivas cha-mamos ciclo ou onda.

O valor tomado,em cada instante, de uma corrente ou tensáo, designa-se porvalor instantâneo e representa-se por letra minúscula, i, u.

5.O - CORRENTE ALTERNADA SINUSOIDAL:

E uma corrente alternada cujo valor é uma funçáo sinusoidal do tempo. O gráÍicoque a representa é uma curva denominada sinusóide (fig. 6).

Fig. 6Correntealternadasinusoidal.

Esta é a corrente alternada mais importante, dado que toda a energia eléctricaé produzida sob esta forma. Por outro lado todas as outras correntes alternadas,nomeadamente as utilizadas em Electronica, podem considerar-se como sobrepo-sição de correntes sinusoidais, o que Íacilita o seu estudo.

I

GENERALIDADES 11

G RANDEZAS CARACTERISTICASDA CORRENTE ALTERNADA:

1.o - PERíODO (T):

E o tempo que duram duas alternâncias, uma positiva e outra negativa, ou seja, otempo de um ciclo.

Sendo o período um tempo, expressa-se em segundos (s) e representa-sepor T.

Em Portugal a tensão e a corrente da rede pública têm um período de:

T:0,02s

Assim em cada segundo a corrente descreve:

1

50 ciclos0,02

pelo que muda de sentido 2.50:100 vezes por segundo.

2.o - FREQUÊNC|A (f):

E o número de ciclos efectuados pela corrente ou tensão durante um segundo.Para calcular a frequência basta dividir um segundo pela duração de um

período:

ffill:ï;,Assim para T : O,O2 s teremos:

1f : _ :5OHz0,02

A unidade em que se mede a frequência denominava-se ciclos por segundo(c/s). Actualmente prefere-se a designação de Hertz (Hz) (Heinrich Rudolf Hertz,engenheiro electrotécnico alemáo 18S7-1894).

Um Hz é a frequência de uma corrente cujo período é um segundo.

Como múltiplos do Hz temos:

- o kilohertz - 1 kïz : 1 000 Hz

- o Megaherïz - 1 MHz : 106 Hz

- o Gigahertz - 1 GHz : 10e Hz

- o Terahertz - 1 THz : 1012 Hz

12 ELECTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

As Írequências utilizadas são muito distintas conÍorme o domínio de aplicaçãoda corrente alternada:

- Produção, transporte e distribuiçãode energia 50 Hz na Europa e 60 Hz nos E.U.A.

- Aviação e motores de alta veloci-dade 400 Hz

- Electroacústica 16 H2...16 kHz

- Ultra-sons 20 kH2...100 kHz

- Rádio e Televisão 100 kHz...1 GHz

- Radar e micro-ondas acima de '1 GHz

- Ondas luminosas 300 TH2...700 THz

tr o oscrLoscoPro:

No estudo das correntes alternadas utiliza-se muito um aparelho denominado Osci-loscópio no qual se podem ver as curvas das tensoes eléctricas (fig. 7).

Fig.7 - OsciloscóPio'

Este aparelho tem como base de funcionamento um tubo de raios catódicosanálogo ao de uma televisáo, e permite também medir o valor das correntes, dastensÕes e das respectivas frequências.

GENERALIDADES 13

tr EFEITOS DA CORRENTE ALTERNADA:

Tal como em corrente contínua, para cada valor instantâneo da corrente alternada(c.a.) produzem-se efeitos análogos. No entanto alguns manifestam-se de modo

diferente dada a mudança periódica do sentido.

1.O _ EFEITOS TÉRMICOS:

O eÍeito de Joule é independente do sentido da corrente eléctrica, pois os choquesdos electroes com os átomos libertam calor quer estes se desloquem num sentidoou noutro. Assim os irradiadores aquecem e as lâmpadas acendem com c.a. tal

como com corrente contínua (c.c.).Apesar de a libertação de calor variar ao longo do tempo anulando-se duas

vezes por período, a inércia térmica dos corpos faz com que as variaçÕes de tem-peratura sejam mais atenuadas que as variações de corrente.

Para frequências inferiores a 25 Hz a temperatura das lâmpadas varia dema-siado lentamente tornando-se perceptível, pela nossa vista, a consequente varia-

ção de brilho (cintilação). Para frequências superiores a 25Hzjá náo sáo percep-

tíveis as cintilaçoes da luz.

2.O - EFEITOS QUÍMICOS:

A c.a. tal como a c.c. decompoe os electrólitos, mas náo separa os elementosconstituintes. De Íacto os ioes orientam-se alternadamente para os dois eléctrodos,cuja polaridade se inverte periodicamente.

Assim a c.a. não é adequada para aplicaçóes electroquímicas, tais como: gal-vqnoplastia, galvanostegia e carga de acumuladores.

;. c.a.

Fig. B - Etectrótìse da água.

rur: símbolo de c.a. sinusoidal.

Na Íig. 8 temos a electrólise da água acidulada. Com corrente contínua aparecenum eléctrodo um volume de Oxigénio e no outro dois volumes de Hidrogénio. Comc.a., em cada eléctrodo aparece um volume igual de uma mistura de Hidrogénio eOxigénio que constitui um gás explosivo.


3.O _ EFEITOS ELECTROMAGNETICOS:

a) Colocando uma agulha magnética sob um fio percorrido por uma c.a. (50 Hz)esta não se desvia dado que a sua inércia mecânica é muito elevada para quepermita inverter 50 vezes por segundo a sua posiçáo conforme o sentido daslinhas de força.

Utilizando uma bobina com núcleo de ferro (fig. 9) a atracção é evidente-mente maior e a agulha vibra um pouco.

W(+)Fig. 9 - A agulha magnéticavibra.

b) Numa bobina o núcleo de Íerro é atraído por esta tanto em c.c. como em c.a.(Íig. 10). Colocando um objecto de ferro, uma colher por exemplo, encostado aonúcleo este vai vibrar dado que o campo magnético e a consequente atracçãose anulam 100 vezes por segundo.

Fig. 10 - A colher vibra

c) As variaçÕes de fluxo produzidas pela c.a. dão origem a perdas por Histerese epor correntes de Foucault nos núcleos.

Por outro lado há Íenómenos de auto-induçáo e de induçáo que sáo utili-zados em motores, geradores e transÍormadores.

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tr PRoDUçÃo oe c.A. stNUSotDAL:

Vamos dar uma ideia do funcionamento de um gerador que produz corrente alter-nada sinusoidal e que se denomina Alternadoi (Íig. 1ii. lv'o rotor (parte interiorrotativa) há um electroíman alimentado com c.c. e que produz um póio norte e umpólo sul. No estátor (parte exterior que é estática) há bobinas onde se induzemf.e.m. sinusoidais quando o rótor roda.

Em 1, o pólo norte começa a afastar-se com velocidade constante, pelo que acorrente induzida cria um pólo sul para evitar esse afastamento. euando o'pólànorte vai da posição 1 para a 2, a f.e.m. induzida aumenta dado que as variaçõesde fluxo sáo cada vez mais rápidas. Em 2 a f.e.m. é máxima, começando depois adiminuir à medida que o rótor se aproxima da posição 3. Notar que entretanto opólo sul se aproxima da bobina, induzindo nesta um pólo sul que o tenta repelir.

Na posição 3 a f.e.m. é nula pois que o pólo sul se vai afasïar da bobina indu-zindo nesta um pólo norte, isto é, há uma inversão do sentido da Í.e.m.

Na posiçáo 4 a f.e.m. é máxima, mas de sentido contrário à da posição 2.Voltando o rótor à posição I completou-se uma volta e a Í.e.m. descreveu um ciclocompleto.

Se o rótor fizer so rotaçoes por segundo então a Írequência da Í.e.m. será de50 Hz.

Fig. 11er-oaução de corrente atternada.)

CORRENTE ALTERNADA SINUSOIDAL 17

"\

@1-ã


@ cARAcrenÍsncÀs DA c.A. stNUSotDAL:

2.1 - Amplitude máxima:

Também designada por valor máximo, é o valor instantâneo mais elevado obtidopela grandeza em causa: corrente, tensão ou Í.e.m.. Este valor representa-se porU., I,n ou Er. Há amplitudes máxirnas positivas e negativas. Neste caso temosl': 5A (Íig. 12):

Fig. 12Amplitude máximade uma corrente sinusoídal.

2.2 r Valor médio:

1.O - VALOR ALGÉBRrcO MÉDIO:

Sendo as alternâncias de um período simétricas, o valor algébrico médio de umacorrente sinusoidal é nulo para um número inteiro de períodos.

2.O - VALOR AR|TMÉÏCO UÉOIO:

lnteressa por vezes conhecer o valor médio de apenas uma alternância. O valorarÍtmético médio l."o de uma corrente sinusoidal durante uma alternância é o valorque uma corrente contínua deverá ter para transportar no mesmo tempo a mesmaquantidade de electricidade (fig. 13).

A relaçáo entre l.* e l. é a seguinte:

Fig. lsValor médio da correntedurante uma alternância.ou no caso de tensÕes:


2.3 - Valor elicaz:

1.o - DEFtNtçÃo:

considere-se uma resistência (fig. 1a) à qual se aplica uma tensáo alternada sinu-

soidal. o calor desenvolvido na çsistência ao longo de um certo tempo é o mesmo'

quer a corrente seja alternada sínusoidal quer seja unidireccional, conÍorme o grá-

Íico mostra (fig. 15 B e C).

i>

Fig. 14

Fig. 15

Entáo deve haver uma c.c. que produza o mesmo calor que a corrente unidi-reccional, ao fim de igual tempo. A este valor chamamos Valor Eficaz e repre-senta-se por L

Assim o valor eÍicaz de uma corrente alterna é a intensidade de uma correntecontínua que nas mesmas condiçÕes (mesma resistência e mesmo tempo) produz

o mesmo efeito calorífico que a corrente alternada considerada.No caso da corrente alternada sinusoidal o valor eÍicaz é /ã menor que o valor

máximo:

Como vantagem na consideração deste valor, lemos que, ao escolher a secçãodos condutores quanto ao aquecimento, basta termos uma só tabela de intensida-des máximas admissíveis servindo para c.c. e para c.a. Se nos reÍeríssemos cons-tantemente ao valor máximo da c.a., teríamos de ter uma tabela para cada tipo decorrente. Por outro lado os aparelhos de medida dáo-nos a indicação dos valoreseÍicazes.

2A ELECTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

Quando se indica um valor de uma corrente e não se especiÍica, considera-sequeéovaloreÍicaz.

Qual será a relação entre o valor eficaz e o valor máximo para uma correntequadrada /onda quadrada, fig. 16)?

Fig. 16 - Valor eficaz de uma onda quadrada.

E evidente que é igual a 1 porque o valor da c.c. que, nas mesmas condiçoes,produz o mesmo calor é igual ao valor máximo da onda quadrada:

l:l-- l-:1'l

Concluímos que a relação entre I e lp depende da forma da onda, ou seja, daforma da curva da corrente.

Para as tensÕes também se define o valor eÍicaz. Este é o valor da tensáocontínua que, aplicada a uma resistência, a Íaz percorrer pela corrente eficaz dese-jada.

Temos. analogamente:

Quando dizemos que a tensão da rede é de 220 V estamos a indicar o valorelicaz.

Assim, ligando um aquecedor com resistência de 22 Q a uma tensão alternadasinusoidal de 220 V, obtém-se a mesma dissipaçáo de calor que ligando a umatensâo contínua de 220 Y.

lntensidade da corrente contínualntensidade eticaz da c.a.

, u 220-l- -: -:104

R22

- Amplitude máxima da tensão alternadaU, : U \/T : 220.\/tr: 310 V

- Amplitude máxima da corrente alternadaI, I fZ : 10'\/E : 14,1 A


2.O _ PROBLEMAS:

I - Com soluçáo:

1 - Uma linha de transporte de energia em corrente alternada está construídapara transportá-la a uma tensão de 220 kV. Calcule o valor máximo da tensáo.

Solução:

U :22OkY U^:220rt:3í0kVE este valor máximo da tensão que temos de ter em conta para a consl.r r-rçáo

dos isoladores.

2 - Uma lâmpada de néon, ligada aquando a tensão alcança 155 Vacender esta lâmpada.

Solução:rr _ u, 155u -

- -

- - 110VV2 v2

ll - Para resolver:

1 - As tensÕes utilizadas para a distribuição da energia eléctrica em Baixa Ten-são são 220 V e 380 V. Determine os valores máximos destas tensoes.

- Calcule o valor eÍicaz de uma corrente sinusoidal cujo valor máximo é 14,1 A.

- Um voltímetro ligado a um circuito de corrente alternada indica a tensáo de127 V. Determine o valor máximo da tensão.

- Uma corrente alternada sinusoidal, circulando numa resistência R desenvolveuma potência de 100 W por efeito de Joule. Se a resistência R Íor percorridapor uma corrente contínua de 5 A a potência desenvolvida terá o mesmovalor. Determine o valor eÍicaz da corrente sinusoidal.

um circuito de corrente contínua, acendeCalcule a tensáo alterna necessária para

2

3


l3l REeREsENTAçÃo MArEMÁïcA E vEcroRtALDA C.A. SINUSOIDAL:

3.1. - Construção de uma sinusóide:

Fig. 17 - Construção de uma sinusóide.

Vamos construir a curva que representa uma c.a. sinusoidal cujo valor máximo é 3A e frequência 50 Hz.

Escolhe-se uma escala para o eixo dos tempos e outra para o eixo das inten-sidades:

6cm <> T : 0,02 s1cm<>14

Traçam-se os eixos dos tempos e o das intensidades (Íig. 17). A esquerdaconstrói-se uma circunferência com raio de 3 cm correspondente a 3 A. Seguida-mente traça-se um vector radial na posição 1.

A medida que este vector roda no sentido indicado (contrário aos ponteiros deum relógio) a sua projecçáo vertical dá-nos o valor da intensidade de corrente noinstante considerado.

Consideramos sucessivas posiçoes do vector, neste caso 12, e transpomos assuas projecçÕes para os pontos do eixo dos tempos correspondentes. Unindo ospontos obtidos traçamos a sinusóide.

Quando o vector regressa à posiçáo inicial a sinusoide completou um ciclo.Sendo o valor da frequência, 50 Hz, o vector deverá rodar a uma velocidade tal

que Íaça 50 voltas em cada segundo.


3.2. - Representação matemática:

1.o - EOUAçÁO DE UMA CORRENTE SINUSOIDAL:

Para cada posição do vector (Íig. 17 A), o seno do ângulo que este Íaz com o eixohorizontal é igual a:

BAsen(D:'õB

em que OB : l. e BA é o valorinstantâneo da corrente.

Portanto temos:

iSen Q : --;-

l-

Fig. 17-A

2.O _ VELOCIDADE ANGULAR - PULSAÇÃO:

O vector roda com uma velocidade uniÍorme varrendo um ângulo de 2 n radianosem cada volta, isto é, em cada período.

A sua velOcidade angular ot, ou seja, o número de radianos varridos por se-gundo obtém-se do seguinte modo:

em T segundos é varrido um ângulo de 2n radianosem 'l segundo é varrido um ângulo de ol radianos

12 n em radlr"r,lo em radls

logo:

Como T , resulta que:

n em rad

em Hz

em radls

A velocidade angular também se denomina pulsaçãoNo caso da rede portuguesa é f : 50 Hz, pelo que:

_1f

lj2n(I):-

1

T

a : 2n.50 : 100 n : 314 radls


Podemos agora expressar o ângulo g em função do tempo:

2 n radianos são varridos em T segundosg radianos são varridos em t segundos

loqo: o : 2' .tT

A equação da corrente sinusoidal tomará a forma:

Na tabela seguinte mostra-se a correspondência entre os tempos, os ângulos eos valores da corrente em função do valor máximo.

No gráÍico índicam-se os correspondentes pontos na curva da corrente.

t TTT3TÌ6424'0T

12TI

(l)t n n 3n znãVnzON6

n4

sen (t)t o ,v 0,5 ,+,'1\o.v-rzo" \/T,Ti : l- sen ott

Fig. 18Curvai:/..senott

3.o - GENERALTZAç^O DA EQUAÇÃO:

Nem sempre as correntes sào nulas na origem dos tempos. Vamos representaruma corrente tal que l, : 4A (f : 50Hz) que no instante t : o tem um valormáximo positivo (fig. 18).


Para que a projecção vertical do vector no instante zero seja máxiqa este temde Íazer um ângulo de + 90o 6nn'1com o eixo horizontal.

Fig. 19 - Fase igual a +90o

o'ottís)

ESCALASBcm<>T:0,02s1cm<>1A

i(A)

4

Assim, no instante t : 0 temos g :soide será.

i -4sen(1O0nt+ !l

, pelo que a equação da sinu-

ESCALAS8cm<>T-0,02s1cm<>14

n!_'2

Genericamente a e.1uação é da Íorma

4.O - FASE:

Ao ângulo formado pelo vector, no instante t : 0, e a origem da contagem dosângulos chama-se Íase.

Assim a Íase da corrente anteriormente representada é + -| n Íase da cor-rente representada na fig. 17 é O.

No caso de a corrente começar por um máximo negativo a fase é - +(fig. 20) e a equação é:

i:4'sen(ot - !l

o

-2.

Fig. 20 - Fase igual a -90"

op2 t(s)


3.3 - Soma de duas correntes sinusoidaiscom a mesma frequência

1.O - PROBLEMA:

Em muitas situaçÕes é necessário fazer a soma de duas ou mais correntes sinu-soidais com a mesma frequência, como seja no caso de dois receptores ligados emparalelo.

Conhecendo as correntes i, e i, queremos determinar i.

Fig. 21 - Soma de dudsco rrentes sinu soid ais.

Em cada instante é: i : ir + iz {A corrente i ficará bem definida por:

- frequência f.

- valor máximo l- ou o valor eficaz l.

- Íase.

A frequência é a mesma das correntes i, e ir. Podemos determinar o valor dasoutras grandezas graÍicamente.

2.o - soluÇÃo cRÁprca:

Considere-se para exemplo que as correntes sáo as anteriormente representadas(Íis 22)

ir:3sen(100nt)ir- 4sen(100"t * fl

Fig 22 - Soma gráfica e vectorial deg randezas slnusoldais.

.-\ ESCALAS8cm<>T:0,02s1cm<>24----------------- 5

-----------4

3

2

1

i>


Para cada instante t Íazemos a somaalgébrica das intensidades correspondentesobtendo-se a curva de i. Assim, por exemplo, temos:

li.:+2.1 At'emt,' lir:+2,8Ali :+4.9A

li' : + 2,1 A

"rt, liz:_ 2,8A

l, : - o,7A

->,)

O valor máximo é l. : 54.

Procuremos o vector ique serviria para construir esta sinusóide. E um vectorde 2,5 cm de comprimento que rodando simultaneamente com It e l, nos permite

obter a soma de i., com ir. A sua fase é + 53" (+ 0,3 n) pelo que a equação de i é:

i:5sen(100nt+0,3n)Cra este vector é a soma dos outros dois:

o que se verifica pela regra do paralelogramo.COmO apenas precisamos de conhecer l. e <p, em vez de traçarmos a sinu-

sóide de i basta-nos somar os dois vectores para que esta ïique bem deÍinida.

3.4 - Representação vectorial de uma c.a. sinusoidal;

1.O _ POSSIBILIDADE:

O problema anterior conduz-nos a uma representaçáo simpliÍicada das correntes

sinusoidais por meio de vectores designados Vectores de Fresnel (Augustin, Íísico

francês: -1788-1827).Deste modo passaremos a representar qualquer grandeza sinusoidal: corrente,

tensáo ou Í.e.m. por meio de um vector que ajuda a construir a respectiva sinu-

sóide, quando este se encontra no instante t : 0.

Na prática, como nos interessam principalmente os valores eÍicazes, o com-primentO dO vector Será proporcional a estes valores e não aos máximos.

2.O - PROBLEMAS:

| - Com solução:

Considere as seguintes correntes que percorrem dois receptores em paralelo:

ir : 6 y2sen (100 n, - +)iz:4 Vãsen(100nt* -*)2'

Faça a sua representação vectorial.Determine o vector da corrente total i que percorre o circuito e indique o seu

valor eficaz e fase.Escreva a equaçáo da corrente i.

Determine as diferenças: ir - i, e it, - i,

a)b)

c)d)

28 ËLECTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

Solução:

a)ESCALA:1cm<>1A

ï<>5,3cm---l:5,3Ae:+1Oo:ffr"O

c)

d)

i:5,3\'ãsen(10Ont+ {f =+10'

Dado que a subtracçáo é uma somacom o simétrico, temos que:

ESCALA:1cm<>2A Fig. 24

Concluímos que i, - i, e i, - i, sáo duascorrentes em oposição de Íase, pelo que es-tão representadas por dois vectores simétri-cos:

i., - ir: A,T \/2_sen (1OO n t - 0,3 n)i2 - i1 : 8,7 \/2 sen (100 n t + 0,7 n)

1 - Considere duas tensÕes Ur : 6V e U, : 6y alternadas sinusoidais(50 Hz)cujas fases são respectivamente + 45" e - 60o.a) Escreva as equaçÕes que as representam.b) Faça a sua representação vectorial.c) Determine vectorialmente a soma das tensões e escreva a sua equaçáo.d) Determine as diferenças: u1 - uz ê uz - ur.

2 - Duas correntes alternadas sinusoidais lt : 4 A e l, : 5 A têm respectiva-mente como fases 180o e 0" (50 Hz).a) Faça a sua representação vectorial.b) Escreva a equação da soma das correntes.c) Determine vectorialmente a diferença ir_ i,, e escreva a equação que a

representa.

T,

b) Fig.23

ii - i2: i1 + (- i2)

l,'- ç: Ì* t- D

-1,

ll - Para resolver:


3.5 - Desfasarnento entre duas correntesda mesma frequência:

1.'- CASO GERAL:

Como já foi referido duas correntes eléctricas (ou quaisquer outras grandezas sinu-

soidais) i., e i, com a mesma frequência podem anular-se em instantes diÍerentes, o

que implica que os seus máximos náo sejam simultâneos. Representêmo-las pelas

duas equações:

iz : lz^ sen rot ir : lr- sen (ot + <P)

Tracemos os vectores e as sinusóides correspondentes (fig. 25):

Fig. 25 - Desfasamento entreduas grandezassinusoidais com amesma frequência.

Afirma-se que as correntes estão desfasadas dado que os respectivosmáximos e zeros não são simultâneos.

A cOrrente i., está em avanço em relaçáo a i, porque o seu primeiro máximopositivo é anterior, no tempo, ao de ir.

Analogamente se diz que i, está em atraso em relação â ir. - +

EStas cOnclusoes podem ser obtidas observando oS vectores l' e lr. De facto

Iiesta avançado em relaçáo a f no sentido de rotaçáo utilizado.lnteressa-nos agora estabelecer como se indica o desfasamento entre duas

grandezas sinusoidais:

- o desfasamento da corrente i, em relaçáo a i, é a diferença entre a fase

de i., e a fase de ir. Neste caso é:

ç-0:+Q

- O desÍasamento da corrente i, em relaçáo a i, é a diferença entre a Íasede i. e a Íase de i,:

0-tP:-A

T,


Portanto o sinal do desfasamento depende da grandeza de reÍerênÇia.De uma forma mais práÌica o desÍasamento da corrente i, em relação à corrente

i, é o ângulo orientado do vector ilpara Ç1tig. zO1.

lnversamente o desfasamento de i, em relação a i., é o ângulo orientaclo de fpara lfitis zzy

Fig. 26Desfasamentoentre i1 e ir.

Fig. 27Desfasamentoentrei,eit

O desfasamento é positivo se o ângulo é orientado no sentido dos ângulospositivos, e negativo se orientado no sentido dos ângulos negativos.

Na prática os desÍasamentos sáo medidos em ângulos dado que se utilizam osvectores de Fresnel para representar as correntes. No entanto quando utilizamosas sinusóides os desfasamentos podem ser dados em tempos.

Assim, para um desÍasamento g, o tempo to correspondente ao seu varrimentopode obter-se assim:

Em ls são varridos a : 2n f rad,num tempo to é varrido um ângulo rp

logo, to: + -ffito é o desÍasamento em tempo das duas correntes, e corresponde ao tempo

que medeia entre os máximos e os zeros das correntes i, e i, (Íig. 25).

2.O _ CASOS TíPICOS DE DESFASAMENTO:

a) Em fase:

As duas grandezas anulam-se e assumem os valores máximos ao mesmotempo. Os vectores respectivos têm a mesma direcçáo e sentido (Íig. 28).

(^)

.*'-


b) Em quadratura:

Quando uma grandeza está num máximo a outra é nula e vice-versa. Os vec-tores correspondentes fazem um ângulo de 90o (n/2).

Na Íig. 29 temos a tensáo u, em quadralura e atraso em relação a u'. O mesmoé dizer que u1 está em quadratura e avanço em relaçáo a u2.

(.')

.õ

Fig. 29 lensoes em quadratura.

c) Em oposição:

As grandezas anulam-se ao mesmo tempo, mas quando uma está num máximopositivo a outra está num máximo negativo. Assim os vectores têm a mesma direc-

ção mas sentidos diferentes, lazem um ângulo de 180" (n) (Íig. 30).

q

a),---\e

'l\e2

Á

E2E1

Fig. 30 - F.e.m. em oposiçao de fase.

3.O _ PROBLEMAS

l- Com solução:

Considere duas correntes eléctricas de 50 Hz, tais que l, : 6 A e l, : B A. Paracada uma das seguintes situaçóes faça a representação vectorial e matemática dascorrentes:

s2 ELEcrRorEcNrA 'IRRENT;

ALTERNADA

a) i, e i, em fase tendo i, fase nula.b) i', em quadratura e avanço em relaçáo a i, tendo i, fase nula.c) i.' em quadratura e atraso em relação a i, tendo i, Íase nula.d) i, e i, em oposiçáo de fase tendo i, fase nula.

Solução:

a) Vamos utilizar a escala: 1 cm < > 2 A

a-Fig. 31

T Oo l', : u 1ã sen (100 n t)

llr: e \ãsen (1oo n t)

In

rad2b)

n rad

2

lr:6Vãsen(10Ont+

lz:8Vãsen(10Ont)

n

-)2

n2

Fig. 32

c)

IFig 33

d)

lr:6Vãsen(1O0nt-

lz:8Vãsen(1O0nt)

g:180": nrad lt': UVãsen(1O0nt)llr:612sen(1OOnt+

/--\Y,

_Fis.s4

n)

ll - Para resolver

Considere duas tensÕes sinusoidais de 50 Hz tais que Ur : 3 V e U, : 5 V. Repre-sente vectorialmente e matematicamente estas tensoes nas seguintes situaçoes.

a) u, e u2 em Íase tendo u, fase de 90'.b) u, em quadratura e atraso em relação a u, tendo esta - 45. de fase.c) u2 em quadratura e avanço em relaçáo a u, tendo esta 90o de Íase.d) u, e u2 em oposição de fase tendo u, Íase nula.e) u, avançada de 45" em relação a u2 com fase de 90..

dm.íf\

mNmrlltsúl'ïd

%KJMüq'l

á-[..&eNM(vm

ffi&J

Kru(f?üt-lmnát\\"/mOK#3

tr RESrsrÊNCtA:

1.'- RELAçÃo eurne rerusÔes E coRRENTES:

Aplicando uma tensão alternada sinusoidal u a urna resistência R, esta será per-

corrida por uma corrente i também alternada sinusoidal, mantendo-se a relaçãoque estudámos na Lei de Ohm em corrente contínua:

i : u em valores instantâneos.

,tt. - !' em valores máximos.R

t : U em valores eficazes.R

A tensão e a corrente estão em fase, o que pode ser verificado por meio de um

Osciloscópio.

2.O _EXPERIENCIA:

Consideremos o circuito da fig. 35:

Fig. 35Circuitocom resistência.

R:50.Ct

CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA 35

Os aparelhos indicam os seguintes valores:

os quais confirmam a Lei de Ohm:

U:100Vl:24P:2OOW

100 :2 A50

3.O _ DIAGRAMA VECTORIAL:

Na fig. 37 representam-se as sinusóides de u e de i. Na fig. 36 temos o diagramavectorial do circuito, onde estão representados os vectores das grandezas eléc-tricas: tensÕes e correntes.

ESCALAS:

ì"

,UR

1cm<>0,541cm<>20V

Y =< [iü =0" I

Fig 36 - Diagrama vectorial.

Na prática interessa-nos sempre reÍerir o desfasamento rp entre a corrente deum circuito e a tensão aplicada. No caso de uma resistência é evidentemente:

4." _ POTÊNCIA:

o wattímetro indica 200 w de potência, o que é de esperar, pois a Íórmula dapotência em corrente contínua é:

P : Hl2: 50.22:aOOWe mantém-se em c.a., representando I o valor eficaz da corrente.

U

Fig. 37 - Gráfico de u e i


tr BoBINAS:

2.1- Comportamento:

1." - ExPEBtÊNclA:

O circuito da Íig. 38 tem duas lâmpadas L.t e L, de 3,5 V respectivamente em série

com um reostato e com uma bobtna com núcleo de Íerro Íechado.

I

U=4ry-

a)

b)

Fig. 38

Apliquemos uma tensáo contínua suÍiciente para que L, acenda e regulemos a

resistência do reostato de modo a que L' e L, tenham o mesmo brilho, o que

acontece quando a resistência deste for igual à resistência Ro da bobina.

Aplicando tensão alternada sinusoidal de igual valor observamos que a lâm-

pada L, se apaga enquanto Ll mantém o seu brilho.

ConCluímos assim que o ramo de L, Íaz maior oposição à passagem da cor-

rente alterna que o ram6 de L'. Para explicar este factO realizemos uma se-gunda experiência.

U:Í=

2.O _ EXPERIÊNCIA:

Consideremos o seguinte circuito (fig. 39) que inclui a bobina da experiência ante-

rior cuja resistência é Rb : 10 O e vejamos o seu comportamento com c'c' e c'a'

,,.J""1 Ro:1oo

Fig. 39


a) Tensáo contínua:

Se aplicarmos à bobina uma tensáo contínua de 220 V ela é percorrida por umacorrente cuja intensidade é:

220 :22 A10

o que é excessivo, provocando um aquecimento demasiado elevado que dete-riora o isolamento das espiras e leva o fio condutor à Íusão.

b) Tensáo alternada sinusoidal:

Vamos agora aplicar a esta bobina uma tensão de 220 V mas alternada sinu-

soidal (50H2) e vejamos o que acontece.Os aparelhos de medida indicam os seguintes valores: lU : 22O V

It:rnlp:

'o *

VemOs já que a corrente é agora muito menor do que quando aplicámos tensão

contínua. Tal deve-se ao facto de haver uma oposição mais elevada à pas-

sagem da corrente.Essa oposição calcula-se do seguinte modo:

oposiçáo : :22OQ

Portanto, além dos í0 O da resistência da bobina, há mais qualquer coisa aÍazer uma oposiçáo muito mais elevada sendo praticamente R desprezávelem facedela. Como explicar este facto?

2.2 * Reactância lndutiva ou lndutância:

1." _ EXISTÊNCIA:

Sendo a corrente, que percorre a bobina, alternada sinusoidal, a lndução Ma-gnética B e o Fluxo O estão sempre avariar e a trocar de sentido de acordo com a

fig. 40, o que Íaz aparecer uma f.e.m. auto-induçáo sinusoidal, a qual tende a

contrariar a causa que lhe deu origem.A oposição feita, pela f.e.m. de auto-indução de uma bobina, à passagem da

corrente alternada chama-se Reactância lndutiva ou Indutância. Esta exprime-

.URb

u _220l1


-se em ohm (a) tal como a resistência, pois trata-se também de uma oposição àpassagem da corrente. Representa-se por X..

Fig. 40 - A induçao depende daintensidade e sentido da corrente.

2.O - DE QUE DEPENDE A REACTÂNCIA INDUTIVA DE UMA BOBINA?

a) lnfluência da Írequência da corrente:E de prever que xL dependa da Írequência, pois que, por exemplo, quanto maiselevada esta for mais rápida é a variação da corrente assim como do respectivofluxo, e portanto mais elevada é a f.e.m. de auto-indução e a oposição porela Íeita:

De facto aplicando à bobina anterior uma tensão de 22O V mas com outra fre-quência, verificamos a proporcionalidade directa entre X' e f.

b) lnfluência do coeÍiciente de auto-induçáo da bobina:

Quanto mais elevado for L maior é a amplitude da variação do Íluxo na bobina(8,: Li) e portanto mais elevada é a f.e.m. de auto-indução e, como se podever na sua expressão acima.Nas experiências anteriores, abrindo o núcleo da bobina a intensidade de cor-rente aumenta dado que L e e e portanto X. diminuem.Assim, X,_ e L são directamente proporcionais, sendo:

As bobinas com L elevado têm X. elevado, podendo então a resistência serdesprezável. Neste caso, as bobinas dizem-se puras.

, AiL- At

J-ll-


3.O _ PROBLEMAS:

| - Com soluçáo:

Determine a reactância indutiva de uma bobina com coeÍiciente de auto-induçáo de

1 H para as frequências de 25, 50 Hz e 1 kHz.

Solução:

L : 1 H I : 25Hz- Xr- : 2.3,14.25.1 : 157Of : 50 Hz - XL : 2.3,14.50.1 : 314 of : 1k Hz- X, :2.3,14.1000.1 :6280 O:6,28 kQ

Concluímos assim que uma bobina pode ter valores muito diÍerentes de opost-

ção à passagem da corrente consoante a Írequência desta.

ll - Para resolver:

1 - Numa bobina, com coeficiente de auto-induçáo de 0,5 H, passa uma correntede 3 kHz de Írequência. Determine a reactância indutiva da bobina.

2 - Determine a frequência da corrente que percorre as espiras de uma bobinacom coeficiente de auto-indução de 0,2 H sabendo que apresenta uma reac-tância indutiva de 950 Q.

3 - Calcule o coeficiente de auto-indução de uma bobina que sendo percorrida poruma corrente de 10 kHz apresenta uma reactância de 125 Q.

4 - Uma bobina tem a reactância de 300 O quando percorrida por uma corrente de'50 Hz. Determine a sua reactância quando for percorrida por uma corrente de1,5 kHz.


4.O _ DESFASAMENTO ENTRE A CORRENTE E A TENSÃO:

A f.e.m. de auto-induçáo, além da oposição à passagem da corrente, provoca umatraso desta em relação à tensão, de tal modo que as duas grandezas Íicam emquadratura. Este facto pode também ser visualizado num Osciloscópio e pode serdemonstrado teoricamente:

Assim consideremos que a bobina é pura, ou seja, não tem resistência (fig. 41)e apliquemos-lhe uma tensão a. sinusoidal:

ês: f.e.m. do gerador.

u : tensão aos terminais do circuito.

e : f.e.m. de auto-indução da bobina.

Fig. 41

temos a sinusóide da corrente. Pela Lei de Faraday é:No gráfico da fig. 42

, aiô--tAt

url,e

A f.e.m. de auto-induçáo produzida pelas variaçoes de corrente tende a opor-sea estas variaçÕes:

a) Do instante t : 0 até t : T/4, isto é, no 1.o quarto de período, a correnteaumenta com sentido positivo. A Í.e.m. de auto-indução e tem um sentido talque a corrente que produziria, devendo opor-se a este aumento, teria um sen-tido negativo, ou seja, contrário ao da corrente que percorre o circuito.

Como inicialmente a corrente aumenta mais rapidamente que depois, af.e.m. e é mais elevada no início do intervalo de tempo considerado.

I

,"J

b)

c)

d)


De t : Tl4 alé T/2 a intensidade de corrente começa a diminuir, pelo que af.e.m. e tem o mesmo sentido desta para tentar evitar essa diminuição.

DeTl2 alé 3T/4 a corrente aumenta mas em sentido negativo. A f.e.m. e tem

um sentido inverso (neste caso positivo) para contrariar o aumento da corrente.

De 3T/4até T a corrente diminui até anular-se e a f.e.m. e tem o mesmo sentido

desta para tentar evitar essa diminuição.Apliquemos a Lei das Malhas ao circuito anterior:

en*e:0ês:U será: u*e:0

donde: ffio que significa que u e e são simétricas, têm sentidos contrários, pelo que na

Íig. 42 o sentido positivo de e é inverso do indicado'Concluímos, deste modo, que u e e estão em oposiçáo de fase (Íig. 42), isto é'

em cada instante e opÕe-se à tensão aplicada u.

Assim, e é uma f.c.e.m.. Há aqui uma aparente contradição, se u e e têm omesmo valor absoluto então a corrente deveria ser nula! Se a corrente se anulasse

a f.e.m. deixava de existir e então passaria a haver corrente. O valor da corrente

resulta de um equilíbrio dependente em última análise do valor da tensão aplicada

e da reactância indutiva.O desfasamento entre a corrente e a tensáo é:

Este resultado é de certo modo previsível atendendo ao comportamento das

bobinas em c.c. quando são ligadas e desligadas. Em ambos oS casos a corrente

toma valores com um certo atraso em relaçáo à tensáo, de tal modo que, quando

esta é aplicada, a corrente é nula e, quando u se anula, a corrente mantém algum

tempo o seu valor anterior.

5.O - DIAGRAMA VECTORIAL:

O diagrama vectorial de um circuito com uma bobina pura é:

emqueW

Fig 43 - Diagrama vectorial.

42 ELECTROTECNIA CARRENTE ALTERNADA

6.O _ PROBLEMAS:

l-ComA uma bobina pura com a reactância de 100 Q à frequência de 50 Hz é aplicadauma tensáo de 50 V (50H2). Determine a intensidade da corrente que a percorre.

.u50l- :l : ii::0.54xL 100

ll - Para resolver:

1 - Calcule a intensidade que percorre uma bobina pura com L : 1 H quandosubmetida à tensão de 220 V (50H2).

2 - Uma bobina pura é percorrida por uma corrente de 2 A quando se lhe aplicaa tensão de220 V. Determine a frequência da tensão sabendo que L:0,2 H.

3 - Numa bobina pura com L : 0,007 H circula uma corrente sinusoidal com ovalor máximo de '14,1 A. Determine a tensáo aos terminais da bobina sa-bendo que a Írequência da corrente é de 50 Hz.


tr PorÊNctAS AcnvA E APARENTE

1." _ ESTUDO EXPERIMENTAL:

Na experiência da fig. 39 o Wattímetro indicou P : 10 W. Esta é a potência

que eÍectivamente é consumida no circuito, dissipada na resistência da bobina(Rb : 10 O) Por eÍeito de Joule'

Temos que:

Por outro lado:

P: Rl2:10.12:10WUl:220'1:22O>P -W

A potência consumida ó inferior ao produto da tensáo U pela corrente I (valores

eÍicazes).Se a bobina não tivesse resistência, náo se consumia alguma potência

(P : 0 W), apesar de a bobina ser percorrida por corrente.Entáo qual é a função da corrente neste circuito? Ela vai criar o campo magné-

tico na bobina. Este aspecto será aprofundado no estudo da potência instantânea.lnserindo uma resistência (100 O por exemplo) em série com a bobina na expe-

riência anterior, a potência consumida aumentava apesar de a corrente baixar (por

se ter aumentado a oposição à corrente). De facto no circuito surge mais um com-ponente consumidor de energia.

A partir destes factos consideramos as seguintes potências:

2." - POTÊNC|A ACTTVA OU REAL (P):

E a potência que é efectivamente consumida num circuito. Mede-se por meio deum Wattímetro em W.

3.o - POTENCIA APARENTE (S):

E a potência que aparentemente se consome num circuito em corrente alternada,atendendo à tensão e intensidade de corrente que o percorre.

Esta potència representa-se por S e exprime-se na unidade: Volt. Ampère (VA)para se distinguir da potência activa.

A potència aparente é dada pela expressáo:

Na bobina anterior a potência activa é inferior à potência aparente. Esta repre-Senta o máximo valor de potência que pode ser consumida com a tensão e cor-rente dadas.


4.O _ CASOS PARTICULARES:

Analisemos os valores relativos destas potências para cada tipo de circuito.

a) Circuito com resistência pura:

E um circuito com resistência cujo coeficiente de auto-indução é desprezável.Também é designado por circuito resistivo puro.A potência activa é dada por:

b) Circuito com bobinas:

- Bobina pura: sendo uma bobina sem resistência (R : 0e), a potência acti-va é nula:

P:Rl2:0.12:0w

O circuito.é percorrido por corrente mas não consome energia (potência).

Bobina com resistência: Como vimos é sempre a potência activa menor que apotência aparente:

tr FAcroR DE PorÊNCtA:

1.o - DEF|N|ÇÃO:

Na prática interessa-nos saber a razâo entre a potência activa e a potência apa-rente, a que chamamos factor de potência. Este representa a razão entre a po-tência consumida e a máxima potência que poderia ser consumida com a correntedada.

P:Rl2:Ul :S

WA potência activa é igual à potência aparente.


Como veremos mais adiante (no estudo do circuito RL), este factor é, matema-

tiCamente, o CO-Seno dO ângulo I de desfasamento entre a corrente e a tensão,

pelo que se representa por:

donde tiramos que:

2.o - VALORES típtCOS:

Para cada tipo de circuito o Íactor de potência diÍere:

-Resistênciapura P:S + Pcosq: S

0cosQ: S

0<cosrp<1

:1

:0- Bobina pura .......... P : 0 +

- Bobina com resistência ..... 0 < P < S +

tr PorÊNctAS - ESruDo rEoRtco:

5.1 - Potència instantânea:

1.o - DEF!N|ÇÃO:

Considere-se um circuito ao qual se aplicou uma tensão u : U. sen ot e que épercorrido pela corrente i : I, sen (tot + <p).

A potência dissipada em cada instante, a potência instantânea, é igual aoproduto de u por i.

Seguidamente vamos Íazer o gráÍico da potência instantânea p para cada tipode circuito. Assim, para cada instante, multiplicam-se os valores respectivos de u ede i entrando em linha de conta com o sinal algébrico correspondente ao sentidodas grandezas.

III


2.O _ RESISTÊNCIA:

Na fig. 44 construímos a sinusóide da potência instantânea p correspondente auma tensão e correntes com os seguintes valores máximos:

(vl

U-'l-

Fig. 44 - Potência instantânea com u e i em fase

De t : O aTl2, u e isáo positivas pelo que p também é.De Tl2 a T as grandezas sáo negativas pelo que p continua positiva.O facto de p ser positiva significa que o circuito está a receber energia, estando

neste caso a consumi-la na resistência.Há instantes em que'p : 0 nos quais a resistência não recebe potência (ener-

gia) e há instantes em que ela é máxima. Na prática apenas nos interessa o valormédio desta potência, que corresponde no gráfico ao valor médio da sinusóide dep e vale:

potênciamédia: ui'' -Víu-'NÌt: 2!l :ut222

U.:40Vlt:3A

U, l, 40x322Na fig. 44 temos que: :60w


Esta potência média é a potência activa que os Wattímetros indicam.Pela deÍinição de corrente eficaz sabe-se que é:

P:Rl2:Ul :$+cosQ:1o que conÍirma o que já se estudou.

3.O - BOBINA PURA:

Na fig. 45 temos a curva da potência instantânea, tendo u e i os mesmos valoresmáximos considerados para a resistência. Agora estas grandezas estão em qua-dratura com a corrente em atraso, pelo que é ç : + n /2.

Fig. 45 - Curva da potêncìa instantânea com u e i em quadralura : e ,n2

De t : 0 a Tl4 e de T/2 a3T/4a tensáo e a correntepeloquepénegativa.

De Tl4 aTl2 e de 3Tl4 a T as grandezas têm sinais

têm sinais contrários

iguais, pelo que p épositiva.

Assim, a potência instantânea é alternadamente positiva e negativa. A potênciade um receptor é negativa quando este fornece energia à fonte de alimentação(gerador).

Logo a bobina ou recebe energia (P > 0) ou fornece alternadamente, sendo amédia nula, isto é, a energia recebida é igual à energia devolvida, pelo que não édissipada.

Ao longo de cada período a bobina náo consome energia e portanto o Wattí-metro indica potência nula.

P:OW


5.2 - Potência Reactiva:

Apesar de náo ser consumida, esta energia circula no circuito traduzindo-se numacorrente eléctrica.

Mas qual é a utilidade desta energia (potência) que oscila entre o gerador e abobina sem ser dissipada (consumida)?

E esta energia que se armazena na bobina sob a forma de um campo magné-tico. Como se estudou, a expressáo que dá esta energia é:

QUando i aumenta, i2 também aumenta, pelo que a energia é armazenada.

Quando i diminui, i2 diminui e a energia é devolvida ao gerador.A potência correspondente à energia oscilante, que neste caso é magnetizante,

designa-se por Potência Reactiva. Representa-se por Q e a partir da expressãoanterior demonstra-se que o seu valor é dado por:

X,_ em O

lemAQ em VAr

A unidade em que se exprime a potência reactiva e o Volt. Ampère-reactivo e

é medida por aparelhos denominados Varímetros.A quantidade de energia que oscila ao Íim de um certo tempo, energia reac-

tiva, é medida pelos Contadores de Energia Reactiva.

5.O - BOBINA COM RESISTÊNCIA:

Na fig. 46 traçou-se a curva da potência instantânea para uma bobina à qual seaplicou uma tensão u sendo a bobina percorrida por uma corrente i. O desÍasa-

mento entre a corrente e a tensáo é ç : + -i.Há zOnas em que é positiva e outras em que é negativa, mas o receptor recebe

mais energia do que fornece, pelo que o circuito está a consumir energia (potência

activa).Repare-se que o valor médio da sinusÓide de p é positivo e inferior a Ul. Já

tínhamos visto que é igual a:

P:Ul cosg: : 42,4 Wlz2

40312 \/2

cos(*+):+s: ul: 4o'3 :60 vA

2

Q:2nÍL12

t__


Fig. 46 - Curva de potência instantânea com ç : + -+4ui

(v)(n)(W

Oontinuamos a ter energia oscilante à qual corresponde,a potência reactivadada por:

Q : Xrl2

E crRcurro Rr sÉRre:

1." - DESCRçÃO:

É um circuito formado por uma bobina com resistência não desprezável ou entãopor uma bobina pura em série com uma resistência pura (figs. 47 e 48):

-+Bobina com resistência

#-Bobina pura em série comresistência pura.

potênciamédia

Fig. 47


Assim, consideremos o seguinte circuito, ao qual se aplica uma tensáo alter-nada u:

Fig. 48 - Circuito RL séile.

A oposição à passagem da corrente alternada é o efeito combinado deR com X..

2.O _ DIAGRAMA VECTORIAL DA CORRENTE E DAS TENSOES:

Sendo a corrente uma grandeza comum aos dois componentes, vamos marcar ovector Ì-com fase 0, embora pudéssemos arbitrar outra fase. O que nos interessa,na prática, é a posição relativa dos vectores (Íig. 49).

Fig. 49 - Diagrama vectorial.

Sgguidamente marcam-se os vectores das tensões na resistência Ç e na bo-bina Ú., tendo em atenção qg" 4 está em fase com o vector Il" ú em quadra-tura e avanço em relação a l.

Somando os dois vectores (Regra do Paralelogramo) obtém-se a tensáo totalaplicada ao circuito, pois que:

u : uB + uL (valores instantâneos)

d: G * ú (vectorialmente)

I

pelo que:

il1 -+

UR UL

Do diagrama temos que

Podemos já observar que o desfasamento entre a corrente e a tensão é positivo(q > 0) e que a corrente está em atraso como era de esperar dado que o circuito éindutivo, embora náo puro.


3.O _ TRÉNGULO DAS TENSÓES:

Os três vectores das tensões, Ú, f. e d.- format um triângulo (fig. 5O)' Aplicando-

-lhe o Teorema de Pitágoras obtemos:

Fig. 50 - Triângulo dasterÌsoes.

expressão que nos permite calcular cadauma das tensoes a partir das outras.

4.O _TRIÂNGULO DAS IMPEDÂNCIAS:

Dividindo cada uma das tensÕes pela corrente I obtemos o seguinte triângulo se-melhante ao anterior (Íig. 51):

Un: Rl

Ur : Xrl

u: zl

Fig. 51Triângulo dasimpedâncias.

f=n

Dividindo ü" pot I obtém-se o valor da resistência R. Da divisão de Ú. por I

obtém-se a ròactância indutiva X..O quociente de Ú por I dá-nos a oposição total do circuito à passagem da

corrente e que denominamos lmpedância deste circuito:

5.O _ IMPEDANCIA:

E a oposição total feita por um circuito à passagem da corrente alternada. Também

se mede em Ohm (Q) e representa-se por Z.Assim dizemos que a impedância de uma bobina pura é igual à sua reactância

indutiva Xr. Numa resistência pura a impedância é a resistência R.

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo anterior temos:

22:R2+X?-

Como se poderia pensar à primeira vista, a impedância não é igual à soma de

R com X.. A soma é vectorial.


6.O _ TRIÂNGULO DAS POTÊNCIAS:

Se multiplicarmos cada,lado do Triângulo das Tensões por l, ou multiplicarmoscada lado do Triângulo das lmpedâncias por 12, obtemos o Triângulo das Potên-cias (fig. 52):

Q: Xr-13

Fig. 52 - Triângulo das potências Fig. 53 - Esquema do fluxo de potências.

Nele temos a Potência Activa P, a Potência Reactiva Q e a Potência Apa-rente S relacionadas do seguinte modo:

Sendo a potência aparente igual à soma vectorial de P com Q pode afirmar-seque representa o conjunto das duas potências referidas (figs. 52 e 53).

7.o - oBTENçÃO DE FORMULAS:

A partir dos triângulos estudados (fig. 54) obtêm-se variadas fórmulas que relacio-nam as grandezas em jogo num circuito RL série:

XL

URP

Fig. 54 - Triângulo das impedâncras, fensoes e potências

Já anteriormente verificámos que:

U:Zl--+l: U

z

Ur:Xrl

Un: Rl

P:Unl :Rl .l:Rl2

Q:uLl:Xrl.l:Xr12

s: u.t: z.t2

Tensões Potências


Determinemos sen g, cos g e tg g em cada um dos triângulos:

a) sene:+---->

RcosQ: Z +

tga: +U.SenQ: Li ;

OSenQ: S

Pcos9: S

.OIg9: p

Xt: Z 'sen Q

R : Z.cos g

cos Q

-P:S.cosq-P:Ulcosg

b)

c)

-V!-UB

tgq:= -Us-U

Sendo g > 0, sen e e tg rp são positivos, pelo que Q também é. Dado esteresultado, na prática é comum dizer-se que um circuito indutivo consomeenergia reactiva (potência reactiva), o que, como foi demonstrado, não é ver-dade. Na realidade, o facto de existir a bobina faz com que passe a circular energiaentre esta e o gerador, o que exige mais corrente em circulaçáo. No entanto pas-

saremos a utilizar a linguagem prática não esquecendo o real signiÍicado das aÍir-maçÕes.

Temos múltiplas fórmulas para calcular as grandezas, sendo contudo algumasdelas mais utilizadas que outras porque sáo universais, ou seja, têm aplicação em

todos os circuitos. Todas elas se obtêm facilmente a partir dos triângulos, daí aimportância destes.

Repare-se que, nestes, na horizontal estáo as grandezas relacionadas com R,

na vertical as relacionadas com X' e como hipotenusas as grandezas totais do

circuito.

8.O _ CASOS PARTICULARES DOS TRIÂNGULOS:

a) Resistência pura:

No triângulo das impedâncias sendo: Xr- : 0--- Z : R

9:0--->coStP:

o triângulo fica reduzido a um lado (fig. 55):

R:Tz


como é evidente, pois que apenas R provoca queda de tensão.O triângulo das potências será:

D-Ct-u

pois que náo há potência reactiva a circular.

c) Bobina pura:

Também conhecido por circuito indutivo puro. O seu triângulo das impedân-cias ficará reduzido a:

O triângulo das tensoes ficará:

U:U"

Z: Xt

No triângulo das tensões temos que:

U:U.

Fig. s6

z

pois apenas a bobina se opõe à tensáo aplicada.O triângulo das potências será:

S:Q

pois náo se consumindo potência activa,aparente.

a potência reactiva é igual à potência

9.O - CONSEQUÊNCIAS PRÁTICAS:

a) Medição do coeÍiciente de auto-induçáo:

Numa bobina com resistência, Íaz-se o diagrama vectorial mas as tensÕes U" eU. são fictícias, servem para facilitar o estudo mas não se podem medir separada-mente no laboratório.

Assim para determinar L temos de conhecer a reactância indutiva X. e a resis-tência R, pelo que seguimos o seguinte método:

- Medição em c.c. - Aplicamos uma tensão contínua à bobina, na qual apenasa resistência se vai opor. Medimos a tensão U e a corrente I e calculamos R:

D_ uIt

-I

- Mediçáo em c.a. - Aplicamos tensão alternada à bobina e esta é percorridapor uma corrente limitada pela impedância Z. Medimos U e I e calculamos Z:

U

I


- Cálculo - Conhecendo a frequência f, sabemos o) : 2n f. Teremos:

22:R2+Xl-Xr:fZr-R,

ZeRemQ

cr: em radls

LemH

b) Queda de tensáo nas linhas de transporte de energia:

Numa linha de transpode para corrente alternada, além da resistência dos con-dutores, há que considerar a reactância indutiva e a reactância capacitiva (cap. lll,7-10) destes. Esta última é desprezável para linhas curtas (linhas até 100km decomprimento).

A queda de tensão ao longo da linha é deste modo mais elevada do que emcorrente contínua.

c) Aplicaçóes dos circuitos RL série:

- Produção de campos magnéticos alternados - Nas máquinas eléctricas decorrente alternada e em diversa aparelhagem utilizam-se bobinas (electroíma-nes) para a produção dos referidos campos.

- Limitação de correntes alternadas: Dado que as reactâncias indutivas seopóem à passagem da corrente alternada sem consumirem energia, são utili-zadas com vantagem como resistências adicionais em c.a. Normalmente sáoconstruídas tendo uma resistência cerca de 10 vezes menor que a reactância.

Como exemplo de aplicação temos o balastro ligado em série com as lâm-padas Íluorescentes com a Íunção de limitar a descarga eléctrica através do gás,pois que esta tende a aumentar progressivamente elevando-se a temperatura, oque conduz à destruiçáo da ampola (fig. 57):

Fig. 57Lìmitaçao da intensidadeda descarga num gás.

U:22OY

Se utilizássemos uma resistência em vez da bobina, a potência consumidaseria elevada e na maior parte dos casos superior à potência da lâmpada.

Calculemos o coeficiente de auto-indução L da bobina de um balastro para umalâmpada de 40 W sabendo que para bom Íuncionamento desta a tensão aos seusterminais deve ser de 102 V com uma corrente de 0,44 A.

,1 :1f z, -E

W

URur


191,7V- 1O2V -

Fig. 58

O sistema é um circuito RL série. Para o cálculo de L desprezamos a resistência da bobina. Segundo o diagrama vectorial é:

: 194,9 V:\37996U :220VUn:102Vf :50H2| :0,44A

U,:VÚã--Úã :r zzo,-:1@X, : U. 194,0- | 04;-4/,3Qr- XL : 1,41H443

0r 2n50

Empregando uma resistência para limitar a corrente, a tensáo aos seus termi-nais Uu está em Íase com a tensão U" na lâmpada e terá o valor:

U : Un * Uy---+ Uu : U - Un : 220 - 102 : 118V

O valor da resistência é: Ru : Yu : ]'.t : 268,2 QI 0,44

A potência consumida por Ru é: P : Ru . 12 : 268,2 .0,442 : 52 Wvalor este superior à potência da lâmpada.

Os balastros utilizados nas lâmpadas de 40 W consomem 10 W (por efeito deJoule e perdas no núcleo), daí a sua vantagem. Por outro lado o balastro Íacilita oarranque da lâmpada.

1O.O _ PROBLEMAS

l- Com soluçáo:

Considere o seguinte circuito RL série ao qual se aplica uma tensão alternadasinusoidal de 10 V com f : 50 Hz:

--ú;* --T;-Fig. 59 - Circuito RL série


a) Calcule a lmpedância do circuito e a intensidade da corrente que o percorre.

b) Determine as tensões aos terminais da resistência e da bobina.

c) Construa o diagrama vectorial da corrente e das tensoes.d) lndique e justifique se o circuito é indutivo puro, resistivo puro ou apenas indu-

tivo. JustiÍique.e) Calcule as potências activa, aparente e reactiva do circuito.Í) Calcule o Íactor de potência do circuito.g) Determine o coeÍiciente de auto-indução da bobina.

Solução:

a) 7 : 1@ + Xl :Y4z I 3z :1225:59t_ u _ 1o:zl uLz5

Fig. 60

UR

b)

c)

d)

e)

Un:Rl:4'2:8VU1 :X1l :3.2:6VESCALAS:'corrente : 1 cm < > 1 A

tensões : 1 cm <> 2V

O circuito é indutivo porque tem a corrente em atraso em relação à tensãosendoQ:*37o.

P:Rl2:4.22:16W ouP : Ul cos e : 10.2.0,8: 16 W

R 4-:o.sCoS<P: Z : -S

s:ut :10.2:2ov[

A potência reactiva pode ser calculada de várias Íormas:

52: p2 + e2- e : /gz - pa :f,/@ - lA, :N144: + 12 VArQ:Xrl2:3.22:+12VArQ: Ul sen g :20.2.0,6: * 12 VAr

seno: -IL : 3 :o.e'25Q : P.tg I : 16.0,75 : + 12 VAr

toro: -Ir-: 3 :0.75R4

cosg: P _ 16:o.gs20

s) Xr-: 111L:2Ír f L- L: =X',2nÍL :9,6 mH

2-3,14.50: 0,009 6 H


ll - Para resolver:

1-Uma bobina tem uma resistência de 100 Q e um coeficiente de auto-induçãode 1,5 H.

a) Determine a intensidade da corrente e a potência consumida quando seaplica a tensáo de 22O V (50 Hz).

b) Resolva a alínea a) para a Írequência de 10 kHz.

2 - A intensidade da corrente na bobina de um electroíman é de 4 A. A resistênciaé de 16 O e a reactância da bobina é de 12 O.

a) Detemine a leitura de um voltímetro aos terminais da bobina.b) Construa o diagrama vectorial do circuito.c) Calcule o factor de potência.

3 - Qual é a frequência a que uma bobina com L : 2 H e resistência de 200 Q teráa impedância de 2 500 Q?

4 - Considere o seguinte circuito no qual se fizeram as medidas indicadas.

a) Determine a resistência e a reactância do circuito.b) Calcule as tensÕes aos terminais da resistência e da bobina.c) Construa o diagrama vectorial da corrente e das tensoes.d) lndique e jus,tifique a nalureza do circuito.e) Calcule a potência reactiva e o factor de potência.

Fig. 61

5 - Ao ligar uma bobina com núcleo de aço a uma rede de 220 V , a intensidade dacorrente é igual a 0,5 A. Depois de extrair o núcleo, a intensidade da correntena bobina aumenta para 8 A. A Írequência da corrente alternada é f : 50 Hz ea resistência é de 4 O. Determine os coeficientes de auto-induçáo da bobinacom e sem núcleo.

6 - Duas bobinas b, e b, estão ligadas em série. As suas resistências e coefi-cientes de auto-induçáo são respectivamente: r, : 10 O, Lr:0,05 H erz: 6 O, Le : 0,03 H. Aplica-se uma tensão de 110 V (50 Hz) ao circuito.Determine:

a) A intensidade da corrente no circuito.b) As tensoes aos terminais de cada bobina.c) O Íactor de potência.d) As potências activa, reactiva e aparente.


7 - Determine o valor da tensão de 25 Hz que se deve aplicar a uma bobina com

L: 1 H e r: 100 Q paraque esta seja percorrida poruma intensidade de3 A.

I - Deseja-Se que o Íactor de potência de um circuito seja igual a 0,85 à Írequên-cia de 50 Hz. Este é constituído por uma resistência de 300 O em série comuma bobina pura. Determine o valor do coeÍiciente de auto-indução que a

bobina deve ter.

9 - Para determinar o coeficiente de auto-indução de uma bobina eÍectuaram-seos seguintes ensaios:

- corrente contínua: U: 12 V ; | : 0,2 A

- corrente alternada: U : 220 V (50 Hz) ; | : 0,5 A

Determine o coeficiente de auto-indução da bobina.

tr coNDENSADoRES

7.1 - Descriçáo:

Um condensador é um componente eléctrico constituído por duas superfícies con-dutoras, as armaduras, separadas por um meio isolante designado dieléctrico(fis. 62).

í)ìts VfrFig. 62 - Condensador

símbolo

Os materiais mais utilizados nas armaduras são: o alumínio, o latão, o cobre, oestanho, etc. Como dieléctricos utilizam-se as seguintes substâncias isolantes: oar, o plástico, a mica, o papel, a porcelana.


7.2- Comportamento em corrente contínua

1.'- EXPERIÊNCIA _ CARGA DO CONDENSADOR:

No esquema da fig. 63 temos um condensador em série com um GalvanómetrÒ:

Fig. 63 - (a)

ACarga

+ i:ooI\\e

O@@A

o/

u/oo@

@ooooo

@o@ooo

oo-o

**+1, I ll, ali ruU-U*B

de um condensador. (b) Condensador carregado.

Apliquemos uma tensão contínua ao condensador. Verificamos que momenta-neamente passa uma corrente eléctrica (a), indicada pelo Galvanómetro, e quedepois se anula (b).

Na fig. 64 explica-se o fenómeno observado. lnicialmente as armaduras do con-densador estão electricamente neutras (a) (em cada uma o número de protões éigual ao número de electroes). Ao aplicar-se a tensão U, os electroes são obri-gados a circular (b), pelo que um elevado número de electrões da armadura Apassa para a armadura B atravessando a bateria, correspondendo a uma correnteeléctrica de sentido contrário (sentido convencional) indicada pelo Galvanómetro(fis. 63).

A armadura B começa a ter excesso de electroes Íicando com potencial nega-tivo enquanto A Íica com um potencial positivo, pelo que há uma diÍerença depotencial U" entre A e B que vai aumentando rapidamente (fig. 6a b).

Quando a tensão U" no condensador Íor igual à tensáo aplicada U, deixa dehaver corrente eléctrica (C) (fig. 64 c). O dieléctrico encontra-se assim sujeito a um

U=Uc

cFig. 64 - Carga do condensador

ooo@@@A @o

oooBoeo/


campo eléctrico (ou seja, no espaço entre as armaduras podem maniÍestar-se

Íorças de atracção ou repulsáo sobre cargas eléctricas que eventualmente aí apa-

reçam).As armaduras ficam deste modo com cargas eléctricas, pelo que se diz que o

condensador está carregado, sendo estas cargas iguais mas de sinais contrários

(+oe-Q).A Carga Q do condensador é a quantidade de electricidade (cargas eléctricas)

existente numa das armaduras.A corrente eléctrica, momentânea, observada ao carregar o condensador cha-

mamos corrente de carga do condensador (Íig. 65)'

Retirando do circuito o condensador carregado, ele permanece asslm longo

tempo (náo fica para sempre dado que não. há dieléctricos com resistência infinita)

com a carga armazenada.

2." _ EXPERIÊNCIA _ DESCARGA DO CONDENSADOR:

Tendo o condensador carregado, ligamos as armaduras entre si mantendo o Gal-

vanómetro (fig. 66):

lr.=ot Fig. 66

Descarga deum condensador

Os electroes em excesso na armadura B desloca,m-se rapidamente (a) para aarmadura A até que estas fiquem neutras, implicando que a tensão U" se anula,desaparecendo o campo eléctrico. Diz-se entáo que o condensador se descar-regou (Q : 0) (b).

b


Define-se agora a corrente de descarga do condensador (fig. 70) como sendoa circulação momentânea de electrões que anula as cargas eléctricas das arma-duras.

Fig. 67Corrente de descarga

Esta corrente é máxima de início e vai decrescendo até se anular tal como acorrente de carga, sendo as curuas precisamente iguais.

7.3- Capacidade dos condensadores

1." - DEF|N|ÇÃO:

Para um condensador, a carga deste é directamente proporcional à tensão apli-cada às armaduras:

Q:X.UQ em Coulomb (C)

UemV

Aplicando uma tensáo contínua a dois condensadores diÍerentes, estes ficarãocom cargas diferentes, o que pode ser observado pelas diferentes correntes decarga.

Diz-se assim que um deles tem maior capacidade (C) que o outro, ou seja,armazena maior quantidade de cargas eléctricas que o outro para uma dadatensáo aplicada.

Assim a capacidade dos condensadores é a propriedade que esses têm depoderem armazenar maior ou menor quantidade de electricidade. Então, para umadada tensão U, a capacidade C é directamente proporcional à carga Q do con-densador.

2.o - RELAçÃO ENTRE Q, C e U:

Assim é: W re em cw hn;


Matematicamente a capacidade de um condensador e a razâo constante entre

a carga que este armazena e a tensão aos seus terminais, pelo que e igual à carga

armazenada quando lhe é aplicada uma tensáo de 1 V:

U:1U -ww3." _ UNIDADE DE CAPACIDADE:

A capacidade de um condensador ó expressa em Farad (F) (físico e químico

inglês:1791-1867).1 F é a capacidade de um condensador que submetido à tensão de 1 V arma-

zena a carga de 1 Coulomb.Esta unidade é muito grande em relação aos valores de capacidade dos con-

densadores mais utilizados, pelo que se utilizam submúltiplos, tais como:

- o microÍarad- (UF) - 1 PrF : 10-6 F

-o nanoÍarad- (nF) - 1 nF : 10 eF

- o Picofarad - (PF) - 1 PF : 10 12 F

4.O _ PROBLEMAS:

l- Com solução.

Calcule a carga de um condensador de 10 prF quando ligado à tensão contínua de

220 V.

Soluçào:Q : CU : 10-5 .22O: 2,2 . 1O-3 C :

: 2,2 mC10 prF : 10 . 10-6 : 10-5 F

220 VC:U:

ll - Para resolver:

1 - Determine a capacidade de um condensador que submetido a uma tensão

contínua de 380 V armazena a carga de 0,005 C.

2 - Determine a carga eléctrica de um condensador de 2 pF quando a tensão

entre as suas armaduras é igual a 220 V.

3 - A carga eléctrica de um condensador de 2 pF é igual a 0,000 I C.

Calcurle a tensáo no condensador.

membrana


7.4 - Analogia Hidráulica:

Um condensador pode ser comparado com o seguinte circuito hidráulico (fig. 68).

Fig. 68 - Cìrcurto hidráulicoanálogo a um condensador.

A pressão p aplicada ao êmbolo (pistão) equivale à tensáo U aplicada ao con-densador, enquanto o caudal (m3/s) equivale à corrente eléctrica a (i : O / t). Na

explicação seguinte indica-se entre parêntesis a analogia correspondente entre asgrandezas.' Ao aplicar uma força constante ao êmbolo num dado sentido, há um desloca-mento de água (corrente de carga) mais elevado de início. A membrana, sendoelástica deforma-se armazenando energia elástica (energia electrostática) até que

a pressão da membrana (U") seja igual à pressão exercida no êmbolo (U). Atinge--se um equilíbrio em que não há deslocamento de água.

Quanto mais elevada for a pressão aplicada maior é a deÍormaçáo da mem-brana, pelo que maior ó o caudal até se atingir o equilíbrio.

Para a mesma pressáo p aplicada, a amplitude de deÍormação da membranadepende da sua elasticidade (capacidade). Assim, quanto mais elástica for a mem-brana maior é a quantidade de água (cargas eléctrtcas) que circula até se atingir o

equilíbrio.

7.5- Velocidade da carga e descarga

Se nas experiências anteriores inserirmos uma resistência R em série com o con-

densador (fig. 69), a carga e descarga seráo mais demoradas'Assim, por exemplo, na descarga, à tensáo do condensador opóe-se uma maior

resistência tomando agora a corrente valores inÍeriores.

Fig. 69U.=U Carga e des.carga- de um condensador

em serie comuma resistência.


Deste modo, para se transportar a mesma quantidade de cargas (de uma ar-madura para a outra) com menor intensidade de corrente, é necessário maistempo, pois a intensidade é dada pela relação:

Q:i.t

Fig. 70 Curva da corrente dedescarga docondensador sobre R.

z:RC

Na fig. 70 temos a corrente de descarga correspondente. Sendo o tempo realde carga e descarga de certo modo impreciso (ver gráfico), na prática deÍine-se otempo r (lê-se tau) definido pela tangente à curva na origem destas e que sedenomina constante de tempo. Demonstra-se que é:

Em muitas aplicaçÕes dos condensadores, em paralelo com estes há uma re-sistência. Quando o circuito é interrompido o condensador descarrega-se sobreesta evitando o perigo de electrocussáo da pessoa que eventualmente o toque.

Na anterior analogia hidráulica é evidente que o tempo que se demora a atingiro equilíbrio depende dos atritos no circuito: atritos no êmbolo e nas paredes dostubos (resistência). Por outro lado, quanto maior for a deformação maior é a quan-tidade de água que se desloca, demorando mais tempo.

7.6- Capacidade de um condensador plano:

A capacidade de um condensador com as armaduras planas é directamente pro-porcional à área das armacjuras S e inversamente proporcionais à espessura d dodieléctrico (distância que separa as armaduras):

te em F/m

ls "' ',lo".'lCemr

lRemOlcemrl-"r.


e é uma grandeza que depende das caracterÍsticas do dieléctrico e denomina--se permitividade ou constante dieléctrica.

A constante dieléctrica do vazio é:

eo : 8,85 pF/m

Normalmente refere-se a constante dieléctrica de um material em relação a eopelo que se deÍine a constante dieléctrica relativa e.:

Na tabela seguinte apontam-se os valores das constantes dieléctricas relativaspara os isolantes mais'usados:

Material Constante dieléctrica relativaof

Rigidez dieléctricaK (kV/mm)

ArMicaPapelPorcelanaVidroBaquelite

1

82,5656

3,260I

101510

Pretende-se normalmente ter uma capacidade elevada num espaço reduzido,pelo que a espessura do dieléctrico deve ser pequena.

Por outro lado a espessura do dieléctrico está condicionada pela tensão má-xima a que o condensador vai ser utilizado.

7.7 - Tensão de ruptura

1.'- DEF|NIÇÁO:

Aplicando a um condensador tensões cada vez mais elevadas atinge-se um valorque Íaz saltar um arco eléctrico (Íaísca) entre as armaduras perfurando o dieléc-trico. Consequentemente este fica deteriorado e passa a comportar-se como umaresistência.

A tensão mínima referida necessária para se dar a perfuração do dieléctricochamamos tensáo de ruptura ou tensão disruptiva Uo.

Assim a tensão normal de utilização do condensador (tensão nominal) deve serinferior a este valor.

A tensão de ruptura corresponde à pressão que Íaria rebentar a membrana nocircuito hidráulico utilizado para analogia.


2.O _ RIGIDEZ DIELECTRICA:

Cada substância isolante (dieléctrico) é caraterizada pela sua tensáo de disrupçãoreferida à espessura unitária (metro) e que se designa por rigidez dieléctrica (K).

Esta exprime-se em V/m.Na prática utiliza-se muito a unidade kV/mm. Na tabela anterior indicam-se os

valores de K para algumas substâncias. Na maior parte delas há uma proporcio-nalidade entre a tensão de disrupçáo Uo e a espessura d:

3.O _ VALORES INDICADOS NOS CONDENSADORES:

Os condensadores têm normalmente indicados os valores da capacidade (e suatolerância) e da tensáo de trabalho ou tensão norpinal.

A capacidade dos condensadores pode ser indicada por traÇos coloridos respei-tando um código.

A tensão de trabalho ou nominal é o valor máximo que o condensador suportacontinuamente sob certas condiçoes de temperatura.

4.'_ POBLEMAS:

| - Com solução:

Determine a capacidade e a tensáo de disrupção de um condensador com dieléc-trico de papel com a espessura de 0,1 mm e cujas armaduras de alumínio têm2 cm de largura e um comprimento de 0,5 m (estão enroladas).

Solução:

E,:2,5 (ver tabela) C : r, ro -S- :2,5.8,85 . 10-12 10' :d 104

èo-

d-S:K-

B,B5 pFlm : 8,85 . 10-12F/m

0,1 mm : 10-am

2'102'0,5:102m28 kV/mm

: 22,125. 10 10 F : 2,21 nF

: Kd:8.0,1 :0,8kV:800V

ud

ud


ll - Para resolver:

1 - Calcule a capacidade de um condensador de mica cujas armaduras têm aárea de 15 cm2 cada e a distância entre estas é de O,O2 cm.

2 - Um condensador com dieléctrico de papel tem uma capacidade de 50 pF.Determine a capacidade deste condensador quando o dieléctrico de papel ésubstituído por mica.

3 - Determine a área que cada armadura de um condensador deve ter para que asua capacidade seja de 400 pF. O dieléctrico é de porcelana com a espessurade 0,02 cm.

4 - Calcule a espessura de ar que deve haver entre as armaduras de um conden-sador para que a sua capacidade seja de 500 pF. Cada armadura tem a âreade 10 cm2.

7.8- Associação de condensadores

7.8.1 - Associação em série

1.' - CAPACIDADE EQUIVALENTE:

Considere-se dois condensadores com capacidade C, e C, ligados em série e de-terminemos a capacidade total resultante, ou seja, a capacidade de um conden-sador equivalente ao conjunto. Apliquemos à associaçáo uma tensáo U (fig. 71):++

Fig 71Condensadores em série (A).Con d en sador eq u ivatente ( B).A


Os dois condensadores carregam-se simultaneamente sendo a corrente de car-ga comum. Sendo Q.' e Q, as quantidades de electricidade armazenadas respec-tivamente por C' e C, será:

Qr:i't- Qr:Qz:Q

Qz:i'tConcluímos que as cargas armazenadas nos condensadores sáo iguais (Q).

Esta conclusão pode tirar-se, também, observando a fig.71. A carga negativa daarmadura inferior de C, anula a carga positiva da armadura superior de C. dadoque estão ligadas, pelo que a carga total é igual a Q., e a Qr.

Sendo C., e C, diferentes é de prever que as tensoes U' e U, aos seus terminaissejam diÍerentes:

Q':C'U'Q2: C' U'

Q:C,U,:C,U2

Um condensador equivalente a esta associação terá uma capacidade C, talque, quando se lhe aplicar uma tensáo U, armazena uma carga Q com uma cor-rente de carga de igual valor e duração:

Q:i.t; Q:CU

Pela Lei das Malhas é:

'U:Ur+Uzpelo que, substituindo os valores das tensões, teremos:

U- Qt,u.c,

OO.O,: : :' + -2 sendo Q,:Qr:qcclc2

: _q.c2*,''

e sera

Dividindo ambos os membros por Q virá:

Generalizando, se em vez de 2 condensadores tivermos um número qualquer nserá:

Concluímos que, associando os condensadores em série, a capacidade resul-tante é inÍerior à de qualquer deles.


2." - ANALOGIA HIDRAULICA:

Na figura temos agora duas membranas no mesmo circuito. A pressão exercida noêmbolo obriga a água a deslocar-se levando as membranas a deÍormarem-se. Estavai ser menor do que se houvesse apenas uma e é igual nas duas. A quantidadede água deslocada é idêntica para as duas e para o conjunto (Q, : Q, : q;.

Frg 72Membranasem série.

3.o - uTtLtzAçAo:

Recorre-se a este tipo de associaçáo para permitir a aplicação de condensadoresem circuitos que possuam uma tensão superior à que é indicacia em cada con-densador.

Assim, por exemplo, 4 condensadores para 1000 V e de 2 pF ligados em sériesão equivalentes a um condensador de 4000 V e de 0,5 pF.

Deve evitar-Se â âsSociação em série de condensadores da mesma tensão ecapacidades diÍerentes dado que recebendo todos a mesma carga a tensâo totaldistribui-se na razâo inversa das capacidades podendo algum deles ficar com umasobretensáo que o daniÍique.

4.O - PROBLEMAS:

| - Com solução:

Temos 3 condenbadores iguais com capacidade de 12 VF e tensoes máximas de500 V. Determine:

a) A capacidade total quando associados em série.b) A tensão mais elevada que pode ser aplicada ao agrupamento.

Solução:

C,:C,-Cg:10prFU,:Ur-Ug:500V

1*1--C2 C3

1*c1

12

3

a)1:,C

_-]HHF12fF 12lF 12ltF Fig.73

1_1_1-1:3c12121212

4uF

b) U : Ur + U2 + Ug : 500 + 500 + 500 : 1500V


ll- Para resolver:

1 - Três condensadores com capacidades de 125 pF, 250 pF e 500 pF estãoligados em série. Determine:

a) A capacidade total.b) A carga armazenada quando se aplica a tensão de 1 000 V ao grupo.

c) As tensoes aos terminais de cada condensador.

2 - Calcule a capacidade total de cinco condensadores iguais ligados em sériesabendo que cada um tem a capacidade de 1 000 nF.

3 - A capacidade de cada um dos condensadores ligados em série é igual a400 pF. A capacidade total é 50 pF. Determine o número de condensadoresassociados.

4-A capacidade total de uma associação de dois condensadores é de 1nF. Sa-bendo que a capacidade de um dos condensadores é de 2 500 pF, determinea capacidade do outro.

7.8.2 - Associação em paralelo


Considerem-se 2 condensadores com capacidades C' e C, ligados em parelelo eapliquemos ao conjunto uma tensão U (fig. 7a):

Fig. 74Condensadoresem paìalelo.

Os condensadores serão percorridos respectivamente pelas correntes de carga

i,, e i, cuja soma é a corrente i total debitada pela fonte.

As quantidades de electricidade armazenadas nos condensadores são:

Qr:ir't, e Qr:iz'tzA quantidade de electricidade total Q armazenada neste conjunto é:

Q:Qr+Qz


em que: Q':CrQ,: C,

Substituindo valores teremos:

Q:C,'U+Cr.UQ:(C,+Cr) .U

Assim a capacidade C total é dada por:

U

U

Generalizando para o caso de n condensadores será:

A capacidade total de um conjunto de condensadores em paralelo é superior àcapacidade de qualquer deles. Este resultado é Íisicamente previsível. Assim con-sideremos que os 2 condensadores são iguais. Então as armaduras destes têm amesma secção e os dieléctricos a mesma espessura. Estando as respectivas ar-maduras electricamente ligadas, elas correspondem a uma única armadura comsuperfície dupla, pelo que a capacidade do conjunto também é dupla, ou seja, igualà soma das capacidades dos condensadores.

2." - ANALOG'A HIDRÁULICA:

ConÍorme a Íig. 75 com uma dada pressáo no êmbolo, a quantidade de água des-locada é dupla, pelo que para se ter uma só membrana em vez destas, ela terá deter uma elasticidade dupla em relação à elasticidade de cada uma.

Fig. 75 - Membranas em paralelo (A).

Circuito equivalente (B).

3.'- UTILIZAÇAO:

Este tipo de agrupamento de condensadores é utilizado quando se pretende umadeterminada capacidade e não temos à disposiçáo o condensador correspondente.


Assim, se tivermos condensadores com as seguintes capacidades: 5 pF, 5 pF e

8 gF e necessitarmos de uma capacidade de 1B pF, podemos associar em paralelo

2 condensadores de 5 gF e um de B pF. A tensão nominal de cada um deve serigual ou superior à tensão a que vão ser utilizados.

4." - PROBLEMAS:

| - Com soluçáo:

Considerem-se dois condensadores com capacidade de 4 pF e 6 pF e tensões

mínimas respectivamente de 500V e 1000V. Determine:

a) A capacidade total quando ligados em paralelo.b) A tensão mais elevada que pode ser aplicada ao conjunto'

Solução:

C, :cz:ur:uz:a) c

b) u

4pF6pF500 v1000v Fig. 76

C.+Cr:4+6:10pF500 v

ll - Para resolver.

1 - Dois condensadores com as capacidades de 5 e 10 gF estão ligados emparalelo. Determine:

a) A capacidade total.b) A carga armazenada quando se aplica a tensão de 500 V.

c) A carga armazenada por cada condensador.

2 - Determine a capacidade total de quatro condensadores iguais com a capaci-dade de 2 nF quando ligados em paralelo.

3 - A capacidade de cada um dos condensadores ligados em paralelo é igual a300 pF. A capacidade total é de 2100 pF. Determine o número de condensa-dores associados.

4 - Dois condensadores estão ligados em paralelo. A capacidade de um deles éde 50 pF e a capacidade total é de 50,004 ;rF. Determine a capacidade dooutro condensador em pF.

úh


7.8.3 - Associaçáo mista:


E o agrupamento em que há condensadores em paralelo e em série. Não há ummétodo genérico a seguir para determinar a capacidade total. Consideremos o se-guinte exemplo:

2." - PROBLEMAS:

l- Com solução:

1 - No esquema abaixo indicado, os condensadores têm as seguintes capaci-dades:

lC' : 3 PrF

lcr:3uFlc. : tz pr Fig.77

Assocração mista decondensadores.

Determine a capacidade total do agrupamento.

Solução:

Primeiramente determinemos a capacidade do paralelo de C' com Cr:

C.,':Cr+Cr:3+3:6PF

Fig.78

Agora determinemos a capacidade C equivalente à associaçáo em série de C,.,com C.:

1_1 1c-c*-c.1_1,1 3c: 6 - 12:12

12T-c: =4LrF


ll - Para resolver:

1 - Considere a seguinte associação de condensadores, em que:

Cr: Cr: 4 LtF i Cs : 3 UF ; C+ : 6 UF

Determine a capacidade total do agrupamento.

Fiq.79

f-iF-,

Hrl-2 - Considere o seguinte agrupamento de condensadores e calcule a capacidade

total. As capacidades de cada componente sáo

Cr : 6 pF ; C, : 5 pF ; Ca : ZOpF ---r--l_^^ I -TÇz

. "'T tr'Fig. 80

7.9- Energia armazenada no campo eléctricodos condensadores

1.'_ EXPRESSÁO:

Demonstra-se que a energia armazenada no campo eléctrico de um condensador

- energia electrostática - é dada por:

lCemF

lo"'clu"'vlw "' -t

Quando o condensador se descarrega sobre uma resistência esta energia

transforma-se em energia calorífica por eÍeito de Joule.

2.O _ ANALOGIA HIDRÁUUCA:

No circuito hidráulico a energia é acumulada na membrana sob a forma de energia

elástica e é devolvida quando se deixa o êmbolo livre.


3." _ PROBLEMAS:

| - Com solução:

Determine a energia armazenada por um condensador de 10 prF quando se lheaplica uma tensão contínua de 220 V.

Solução:

c: 10 uF: 10.106: 10 5F

u:220v

ll- Para resolver:

Determine a energia armazenada por um condensador de 20 nF quando se lheaplica uma tensão contínua de 1 kV.

i

7.10- Comportamento em corrente alternada

- circuito capacitivo puro:

1.'_ EXPERIÊNCIA:

Vimos que quando se aplica uma tensão contínua a um condensador, passado otempo de descarga, este comporta=se como uma resistência infinita (devida aodieléctrico) pelo que a corrente é nula.

Apliquemos uma tensão alternada sinusoidal de 220 V (50 Hz) a um conden-sador de 10 pF segundo o esquema da fig. 81:

w: 1 cu.2

w : -f . 1o-5 . z2o2 : 0,242 J2

c=1oyFFig. 81Condensadorem c.a.

Os valores indicados pelos aparelhos inseridos no circuito sáo os seguintes:

IP:OWlu: zzovIt:o.ogn

CIRCUTTOS EM CORRENTE ALTERNADA 77

Verificamos que o circuito é percorrido por uma corrente alternada sinusoidal devalor limitado, pelo que a oposição à passagem da corrente não é inÍinita. A cor-rente náo atravessa o dieléctrico, os electrões passam de uma armadura a outrapelo resto do circuito atravessando o gerador.

2.o - REACTÂNC|A CAPAC|TATIVA OU CAPACTTÂNG|A - X":

Se na experiência anterior aplicarmos ao condensador a tensão de 110 V a inten-sidade de corrente passa a ser de 0,345 A, ou seja, metade do valor obtido quandose aplicou ?20 V.

Há assim uma oposição constante, por parte do condensador, à passagem dacorrente alternada e que designamos por Reactância Capacitiva ou Gapacitân-cia X" e que se expressa em Ohm (ç):

2200,69

110

valor médio de i

Fig.82lnfluência delemieXç.

A - Maiorfrequência

B - Menorfrequência

X^: U'l =319Q

0,345

3.o - DE QUE DEPENDE X"?

a) lnfluência da Írequência - VeriÍicaçáo experimental:

Aplicando uma tensão de 220 V com frequência de 100 Hz ao condensador acorrente passará a ter uma intensidade de 1,38 A, pelo que:

X. : -Y- : 220 :1b9.sa" | 1,38

ou seja, X" reduziu-se a metade.

Concluímos que há uma proporcionalidade inversa entre X" e f.

b) Explicação teórica:

Esta inÍluência da frequência é previsível. Consideremos que se aplica uma ondaquadrada ao condensador (fig. 82) e tracemos o gáfico desta e da corrente.

l,ul i,u


Quanto mais rápida Íor a inversão da polaridade mais elevado é o valor médioda corrente dado que esta não chega a atingir valores reduzidos.

Assim para uma Írequência elevada a corrente tem um valor elevado.lnversamente sendo a frequência baixa a corrente tem tempo de descer a va-

lores reduzidos antes de se inverter a tensão pelo que o seu valor médio é baixo.Com tensáo alternada sinusoidal os fenomenos sáo análogos.

c) lnfluência da capacidade - Verificação experimental:

Apliquemos uma tensáo de 220 V (50 Hz) a um condensador de 5 pF A inten-sidade da corrente terá um valor de 0,345 A pelo que:

x. _ u _ 220:ffi8o" | 0,345

ou seja, a reactância do condensador de 5 prF é dupla da do condensador de1O uF.

Concluímos que há uma proporcionalidade inversa entre X" e C.

d) Explicaçáo teórica:

Analogamento à alínea b) vamos aplicar uma onda quadrada a um condensador(fig. 83). Quanto mais elevada for a capacidade mais elevado é o valor médio dacorrente (mantendo-se a frequência) pois que esta mantém-se em valor elevadodurante mais tempo como se pode ver pela Íigura.

Fig. 83lnfluência deCemieXs.A -- Capacidade

mais elevadaB - Capacidade

menor

Este raciocínio é válido desde que os condensadores estejam em condiçóesidênticas, ou seja, as resistências dos circuitos têm de ser iguais (eventualmentenulas) dado que as correntes de carga e de descarga dependem delas (r : RC).

Com tensão alternada sinusoidal o raciocínio seria análogo.

e) Analogia hidráulica:

Aplicando uma pressão alternada ao êmbolo do circuito considerado, a água circu-larâ ora num sentido ora noutro (corrente alternada) pelo que a membrana sofredeformações num sentido ou noutro.

A amplitude de deÍormaçáo da membrana, e consequentemente a quantidadede água que circula, depende da elasticidade (capacidade) e da frequência do mo-vimento do pistão.


Assim, por exemplo, quanto mais elástica ê a membrana, maior é a quantidadede água que se desloca (quantidade de electricidade) e portanto o caudal (correnteeléctrica) até a pressão ser equilibrada.

f) Expressão de X":

A reactância capacitiva calcula-se pela seguinte expressão:

como: a:2nlX"emO

f emHz

CemFo; em radls

g) Problemas:

l- Com solução:

Considere um condensador com a capacidade de 2;rF. Determine:

a) A reactância capacitiva para a frequência de 50 Hz.b) A intensidade de corrente que o percorre quando se lhe aplica uma tensáo

de2V (1 kHz).

Solução:

a) X": ,klC:2vF:2.106Flu:zvl, : t kHz: 1tr Hz

2 n 50 .2'10 6

106 :1600o200 n

103 :Boob)X^: 1 -2 nfC

.u2x" g0

2 n. 103 .2'10 6 4 n

:0,025 A: 25 mA


ll- Para resolver:

1 - Calcule a reactância capacitiva de um condensador de 0,25 gF, para as fre-

quências de2k{z e 1 MHz.

2 - Um condensador tem a capacidade de 20 pF. Determine para a Írequência de

50 Hz:a) A reactância caPacitiva.Oj A intensidade de corrente que o percorre quando se lhe aplica a tensão

de 220 Y.

3 - Determine a capacidade de um condensador cuja reactância é 230 O para a

frequência de 50 Hz.

4.O _ DESFASAMENTO ENTRE A CORRENTEE A TENSÃO NO CONDENSADOR:

Considere-se a fig. 84 em que se mostra um condensador ao qual se aplica uma

tensão alternada sinusoidal.Desde t : 0 a T/4 a tensão aumenta, pelo que o condensador se carrega

progressivamente com uma corrente de carga de sentido positivo (de A para B).-Oe Í14 aTl2 a tensão decresce desde o valor máximo ale zerc, pelo que o

condensador se descarrega com uma corrente em sentido negativo (de B para A)'

De 3T/4 a T o condenóador carrega-se novamente mas com polaridade contrá-

ria dado que a tensáo aumenta até um máximo negativo'

t=lrrftÍ

frh""dh'lffih, ^dh"i=oll

^Í;ì,

Fig. 84 - Desfasamento da corrente em relaçaoà tensão, num condensador.


De3T/4 a T a tensão diminui e o condensador volta a descarregar-se.O primeiro máximo positivo da corrente é anterior, no tempo, ao respectivo má-

ximo da tensão e, além clisso, os máximos de uma grandeza coincidem com os

zeros da outra e vice-versa.COnclui-se assim que num condensador a corrente está em quadratura e

avanço em relaçâo à tensão, o que pode ser observado num osciloscópio.

O diagrama vectorial de um condensador puro (sem resistência) é o seguinte:

O desfasamento entre a corrente e atensão é negativo e igual a: Fig. 85

Diagramavectorial.Circuitocapacitivopuro-

5.O - POTÊNCIAS:

a) Interpretação de resultados experimentais:

Na experiência anterior o Wattímetro indicou P : 0 W. De Íacto não há algumaresistência onde se possa dissipar energia.

Por outro lado o circuito é percorrido por uma corrente eléctrica o que signiÍicaque há circulação de energia. Qual a sua funçáo?

A energia eléctrica e armazenada no condensador sob a Íorma de um campo

elécrico (W : -l CU,) No entanto ela não é consumida dado que é devolvida,2ao gerador quando se dá a descarga.

b) lnterpretaçáo gráfica. Potência instantânea:

Tracemos a curva da potência instantânea a parlir das sinusóides da corrente e datensão.

uttu)

t {s}


O valor médio da potência é nulo pelo que: P : 0 W.A energia oscilante corresponde a potência reactiva.

c) Potência Reactiva:

Analogamente ao caso da reactância indutiva, a potência reactiva é dada por:

Esta formula pode obter-se a pariir da expressáo mais geral:

Q:Ul sene

Como.q:- +-sen(-

Vem: Q:-Ul+ Q:-X"12

U:X"l

Sendo Q" negativa é vulgar dizer-se que os condensadores fornecem potênciareactiva, embora náo seja verdade, como se sabe.

d) Analogia hidráulica:

Desprezando os atritos (resistência eléctrica) não há dissipação de energia no cir-cuito hidráulico (P : 0).

A energia é alternadamente acumulada na membrana sob a forma de energiaelástica e depois devolvida obrigando o êmbolo a recuar. Contudo há circulação deágua e todo o circuito deve ser dimensionado para atender a quantidade de águacirculante por unidade de tempo (potência reactiva).

7.11 - Tipos de condensadores

Há condensadores de várias formas e tipos segundo o material utilizado comodieléctrico. Os mais utilizados sáo:

PapelMicaCerâmicaArOleoElectrolíticoslntegrados

t ):-12

CONDENSADORES


a) Condensadores de papel:

Sáo constituídos por duas folhas de alumínio separadas por meio de uma folha depapel (0,01 mm de espessura) impregnado com resinas, cêras, óleos, etc. (fig. 87 A).

folha de papelfolha de alumínio Fig. 87

Condensadorde papel.

O conjunto é enrolado de modo a ser contido num pequeno invólucro isolantecom a forma paralelipipédica ou cilíndrica (fig. 87 B).

Apresentam capacidades pequenas da ordem de décimos de prF, valores estesque podem ser indicados por meio de um código de cores. Para as mesmas di-mensÕes os condensadores de papel têm a vantagem de terem maior capacidadeque os condensadores de mica e cerâmica, Por outro lado têm perdas elevadasquando utilizados em altas frequências.

Estas perdas nos condensadores devem-se a que sempre há electroes queatravessam o dieléctrico com diÍiculdade, dissipando-se energia por efeito de Joule.

b) Gondensadores de mica:

Sáo constituídos por Íolhas de mica (0,2 mm de espessura) metalizadas (prata, porexemplo) num lado e sobrepostas (Íig. 88 A).

Fig. 88Condensadorde mica.

Ligando as folhas alternadamente entre si aumenta-se a superfície das arma-duras e portanto a capacidade.

A gama de capacidades é inferior à dos condensadores de papel.

Estes condensadores têm uma capacidade muio estável quando sujeitos a va-riaçoes de temperatura sendo aplicados em circuitos de altas Írequências.

Na Íig. 88 B temos o aspecto exterior destes condensadores que também têmum código de cores para a indicação da capacidade.

O papel e a mica começam a ser substituídos por matérias plásticas tais comoo mylar.

GB

BA

âmica

Ãl-()

HwA


c) Condensadores cerâmicos:

O dieléctrico é de porcelana que tem uma elevada constante dieléctrica relativa.Normalmente têm uma forma achatada (Íig. 89 A e B) ou cilíndrica (fig. 89 C)

podendo ter a capacidade indicada por um código de cores.

metaldepositado

BC' Fig. 89 - Condensador de cerâmica. .

As capacidades são baixas, mas fabricam-se para tensÕes elevadas (4 kV porexemplo ern circuitos de televisáo).

d) Condensadores de ar:

O dieléctrico é o ar. São utilizados principalmente quando se deseja um conden-sador de capacidade variável. lsto acontece na sintonizaçáo da frequência doemissor desejado, nos receptores de rádio.

Normalmente sáo constituídos por uma armadura constituída por um grupo deplacas Íixas e outra por um grupo de placas moveis (fig.90) que podem rodar 180oem torno de um eixo veftical.

+símbolo

Fig. 90 - Condensador variável

terminal

CIRCUITOS EM CORRENTE ALTÊRNADA 85

Quando as placas estão em frente umas das outras a capacidade é máxima, e

é mínima quando náo há superfícies em frente umas das outras'As capacidades são pequenas pois não é prático ter condensadores de ar de

elevadas capacidades dado que eo é reduzido, o que implica dimensoes elevadas.

e) Condensadores em banho de óleo:

Utilizarn-se em baixa e alta tensão para correcção do factor de potência das insta-lações (capítulo lV).

Fig. 91Condensadorem banho de oleo.

Í) Condensadores electrolíticos:

São constituídos por Íolhas de alumínio separadas por um papel embebidoelectrólito (ácido bórico, amónia, água, etc.) (fig. 92 A).

papel impregnadocom electrólito

alumínio comóxido de alumínio

alumínio(eléctrodo auxiliar)

Fig. 92Condensadorelectrolítico.


Quando se aplica uma tensáo contínua ao condensador, na armadura positivaÍorma-se uma fina camada de oxido de alumínio. E este óxido que constituirá odieléctrico, enquanto o papel e a armadura adjacente constituem a armadura.

Estes condensadores só podem ser utilizados em correntes unidireccionais coma polaridade indicada pelos sinais + (ânodo) e - (cátodo).

A espessura do dieléctrico é de 0,2 gm o que permite obter elevadas capaci-dades com volumes reduzidos (de alguns ;rF até milhares de prF. A tensão de usoé limitada a cerca de 450 V.

Estes condensadores têm correntes de fuga (correntes através do dieléctrico)relativamente elevadas o que implica perdas.

A sua capacidade varia bastante com a temperatura.

g) Condensadores em circuitos integrados:

São condensadores microscopicos de pequenas capacidades estabelecidos nasplacas de silício dos circuitos integrados e Íeitos à base de semicondutores.

7.12- Aplicação dos condensadores

Já Íoram indicadas algumas utilizaçÕes dos condensadores. ReÍeriremos mais al-gumas:

a) Concepção de Íiltros para electronica como sejam os filtros utilizados nas colu-nas de som para separar as frequências para os vários altiÍalantes de agudos,médios e graves.

b) Filtragem de ruÍdos (interÍerências em receptores de rádio) produzidos por faís-cas em contactos, escovas de motores e geradores de c.c..

O condensador reduz o aparecimento de faíscas na interrupção de circuitos(especialmente os indutivos) dado que a energia magnética destes vai carregaro condensador e seguidamente este descarrega-se sobre o circuito. Destemodo a energia dissipa-se por efeito de Joule no circuito e náo nos contactosdo interruptor.

Nos automoveis deve colocar-se um condensador em todos os equipamen-tos que produzam faíscas: dínamo, platinados, motor do limpa-vidros, motor dearranque, etc., para reduzir as interferências no rádio.

Nos arrancadores das lâmpadas fluorescentes também há um condensadorem paralelo com o bimetal.

c) Funcionamento do "flash. electronico utilizado em fotografia, em que há umadescarga rapida (conÍrolada electronicamente) de um condensador sobre o fila-mento da lâmpada.


7.13 - Verificaçáo dos condensadorescom o multímetro

Para verrficar o estado de um condensador este deve estar desligado do circuito.No Multímetro liga-se a escala de mediçáo de resistências (Ohmímetro). A ten-

são da pilha deste origina a carga do condensador, pelo que o ponteiro deflecterapidamente, regressando depois ao ponto de resistência inÍinita.

A descarga pode ser observada com o MultÍmetro ligado como AmperÍmetro dec.c.. Podem dar-se quatro casos:

a) O ponteiro deflectiu e depois marca resistência inÍinita. O condensador estábom.

b) O ponteiro dá a indicaçáo de uma resistência Íinita. lsso significa que há umagrande corrente de Íugas devido a per{uraçáo do dieléctrico, pelo que o con-densador está deteriorado.

Porém nos condensadores electrolíticos a indicação de uma resistênciafinita pode não significar que esteja deteriorado.

c) O ponteiro indica resistência nula. Praticamente há um curto-circuito entre asarmaduras.

d) O ponteiro não sofre qualquer deflecçáo durante a carga do condensador.O condensador pode estar deteriorado ou náo.

Se a capacidade Íor muito pequena pode acontecer que o ponteiro náo semova (mesmo no campo de medida menor) dado que a corrente de carga é

reduzida. No entanto na descarga este poderá mover-se dado que as escalasde corrente (pA) são mais sensíveis. Em caso contrário o condensador estádeteriorado.

@ crncutro Rc sÉRtE

1." - DESCRTÇÃO:

E um circuito constituído por uma resistência em série com um condensador. Con-sideremos o seguinte circuito ao qual se aplica uma tensão alternada sinusoidal u:

Fig. 93Circuito RC serie

A oposição à passagem da corrente alternada é o efeito conjunto de R com X"

BB ELECTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

2.O _ DIAGRAMA VECTORIAL:

Na fig. 94 temos o diagrama vectorial deste circuito

Fig. 94Diagrama vectorìal

Note-se que o vector Tãa corrente está em quadratura e avanço em relaçáo ao

vector Ú" Ou tensão no condensador.Somando oS vectores Ú" cot Ú" obtem-se o vector Ú da tensáo aplicada ao

circuito, dado que:

U:Un*ucú: ü" * Ú.

O desfasamento entre a corrente e a tensão é negativo (q < 0). A corrente

está em avanço em relação à tensão, pelo que o circuito se diz capacitivo (embora

não puro).

3.O - TRIÂNGULOS DAS IMPEDÂNCIAS,DAS TENSÓCS E DAS POTÊNCIAS:

Analogamente ao descrito para o circuito RL série, constroem-se os seguintestriângulos:

Fig. 95 - Triângulos das impedâncras, Íensôes e potências.

4." _ FORMULAS:

Todas as Íórmulas para este circuito são análogas às do circuito RL série, diÍerindo

apenas as seguintes:

Sendo q < 0, o sen q e tg q são negativos.


5.O - PROBLEMAS:

l- Com solução:

Ao seguinte circuito aplicou-se uma tensáo alternada sinusoidal de 50 Hz. A partirdas leituras dos aparelhos resolva as seguintes questoes:

Fig. 96

a) Calcule a impedância do circuito.b) Determine a resistência e a reactância capacitiva.c) Determine as tensoes aos terminais da resistência e do condensador.d) Construa o diagrama vectorial da corrente e das tensões.e) lndique e justifique se o circuito é indutivo, capacitivo ou resistivo.f) Calcule as potências aparente e reactiva.g) Determine o factor de potência do circuito.h) Calcule a capacidade do condensador.

Soluçáo:

a) z: 15c)u _ 30_t2

P _3612 22

b) P:Fì12-R: :9Q Fig.97

x, : lz" - R, : \/í3 - g, - \/144 = 12 Ç)

Un : Rl :9x2: 18 V

U":X"l :12x2:24V

ESCALAS: Correntes: .l cm < > 1 ATensões:1cm<>6V u.

O circuito é capacitivo dado que a corrente está em avanço em relação àtensáo,sendoe:-53o.

c)

d)

e)


2::60

--{.Z

Í) sO

:ur -30:Ssenesenq:

v1^t - 2 nÍc -

60 VA( 0,8) : - 48 VAr

12:_ o.a

15

s)

h)

cosQ:

= 0,000 265 F : 265 gF2.3,14 50.12

ll - Para resolver:

1 - Um condensador está ligado em série com uma resistência de 80 Q. O circuitoé percorrido por uma corrente de 2 A quando se lhe aplica a tensáo de 200 V(50 Hz).

a) Determine a impedância do circuito.b) Calcule a reactância e a capacidade do condensador.c) Calcule a tensáo no condensador.d) Determine o factor de potência e a potência activa.e) Determine a energia consumida ao fim de uma hora.f) Construa o diagrama vectorial da corrente e das tensoes.

2-Um circuito é constituído por um condensador com a reactância de 160 o(50 Hz) em série com uma resistência de 120 o. Aplica-se ao circuito umatensão de 100 V (50 Hz).

a) Determine as tensoes aos terminais de cada componente.b) Construa o diagrama vectorial.c) lndique e justifique a natureza do circuito.d) Calcule as potências activa, aparente e reactiva.e) Determine o factor de potência.Í) Qual seria a indicação de um Wattímetro se retirássemos a resistência

do circuito? Justifique.

3 - um circuito formado por um condensador de 150 a (50 Hz) em série com umaresistência de 200 Q consome a potência de 200 w quando se lhe aplica umatensão com a frequência de 50 Hz.

a) Determine a intensidade que percorre o circuito e a tensão aos termi-nais dos componentes.

b) Calcule a tensáo aplicada ao circuito.c) Calcule o factor de potência.d) Determine as potências aparente e reactiva.e) Construa o diagrama vectorial da corrente e das tensòes.

P

S: 36:o.s

60

r.* 1 -2 nÍX"


p crncurro Rlc sÉnte

1." - DESCRTÇAO:

Consideremos um circuito com resistência e reactâncias indutiva e capacitiva(fig. 9B). Na prática todos os circuitos têm estes elementos embora alguns dosrespectivos valores possam ser muito pequenos em relaçáo aos outros e portantodesprezáveis. De facto há sempre campos magnéticos e campos eléctricos (dois

condutores constituem um condensador sendo o dieléctrico o respectivo isolamentoe o ar) ainda que possam ser pouco intensos.

I+

--t4-* --T;-* a;Fig. 98Circuito RLC serìe

A resistência R poderá incluir a resistência de outros elementos como seja dabobina.

Aplicando uma tensáo alternada sinusoidal ao circuito este será percorrido poruma corrente alternada sinusoidal.

2.? _ EXPERIENCIA:

lnicialmente temos um circuito RC série constituído por uma resistência de 100 O eum condensador de 10 UF (Xc : 319 O para f: 50 Hz).

ffiËïr'+eïu=22oJ 4=318r:

I

t=uo ".i I

Fig. 99Os elelfos de Xç e X.

sào contrários.

Aplicando uma tensão de 22O V, este é percorrido por uma corrente de 0,66 A.lnserindo em série uma bobina com 1 200 espiras (com núcleo de ferro fe-

chado) é de esperar que a impedância do circuito aumente. No entanto tal não severifica.


Observa-se que a corrente aumenta para 1,45 A, pelo que a impedânciadiminuiu.

concluímos que os efeitos do condensador e da bobina sáo opostos. o mesmose pode concluir a partir do triângulo das impedâncias.

3.O - DIAGRAMA VECTORIAL:

Considerámos a corrente com fase nula.Seguidamente marcámos os vectores ú", Ú'e U" das tensoes tendo em atenção que es-tas estão respectivamente em fase, em qua-dratura e avanço e em quadratura e atrasoem relação à correnie.

Pela Lei das Malhas temos que:

U.f U"

U:UR+UL+ucú:úr+úr+ú"

Assim somando ü. cor Ú. (como estão em oposiçáo de fase subtraem-se osseus comprimentos) e com Ú" obtém-se o vector Úda tensão total:

Como é de esperar verificamos que é:

U< U*+ UL+ Uc e U<U" + (U.- U")

O diagrama vectorial corresponde a um circuito indutivo pois que a correnteestá em atraso em relação à tensão.

4.O - CASOS PARTICULARES:

Podemos ter três situaçÕes conforme os valores relativos das tensoes na bobina eno condensador:

a) U,_ > U" - Circuito indutivoXr>X"

E o caso apresentado na fig. 100.

U" > U. - Circuito capacitivo:X".,) X.

b)


i

Fig. í03

Gircuito capacitivo:

RUREr,_, ll_nlï*,nlï,,

Fig.. 104

Circuito resistivo puro:

c) Ur_ : Uc - Circuito resistivo puro:Xr- : Xc

Este caso será aprofundadono estudo da Ressonância.

5.O _ TRIANGU'LOS:

a) Circuito indutivo:

Fig. 102

Fig. 105


Os efeitos de X" e X' anulam-se, pelo que apenas R faz oposição à passagemda corrente.

6." _ FORMULAS:

a) lmpedância:

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo das lmpedâncias obtemos:

b) Potências Reactivas:

A potência reactiva da bobina

Qr_ : Xr 12

A potência reactiva do condensador é:

Qc:-Xc12A potência reactiva total Q é a soma das potências reactivas dos vários com-

ponentes, como se pode observar no triângulo das Potências:

Q pode também ser calculada por meio de:

emque: senq e tgQ: ttot.

atendendo ao triângulo das lmpedâncias.Nestas expressoes, quando X" > X,_, e, sen g e tg e sáo negativos.Vemos assim que a potência reactiva total é agora menor, pois que o seu valor

é dado pela diferença dos valores absolutos de e,_ e e". Como interpretar esteresultado?

Como se sabe a energia reactiva é máxirna na bobina quando a corrente émáxima, enquanto no condensador ela é máxima quando U. é máxima.

u" e i estão em quadratura, ou seja, os máximos de uma grandeza sáo simul-tâneos com os zeros da outra, pelo que a energia reactiva oscila entre a bobina e ocondensador. Esta ora cria o campo magnético na bobina, ora cria o campo eléc-trico no condensador.

22:R2 +(X, -X.)2


Sendo X. e X" diferentes, o excesso de energia reactiva necessária vem dogerador (fig. 106), ou seja, oscila entre o gerador e os componentes do circuito.Mas como é que a energia reactiva oscilante entre a bobina e o condensador aíapareceu?

Fig. 106Esquema dofluxo de potências.

Quando se liga o circuito há uma sobreintensidade correspondente à energiareactiva que vai ser armazenada pelo conjunto bobina-condensador. Ao desligar ocircuito paite desta energia é dissipada por eÍeito de Joule no arco que salta nointerruptor enquanto a restante fica armazenada no condensador.

7."_ PROBLEMAS:

| - Com solução:

Considere o seguinte circuito ao qual se aplica uma tensáo alternada sinusoidal(50 Hz).

R=6O O Xt=22O O ,,Xc=300 Offfru=2oovi Ilr

Fig. 107

a) Determine a impedância e a corrente que percorre o circuito.b) Determine as tensões aos terminais dos componentes.c) Construa o diagrama vectorial da corrente e das tensÕes.d) lndique e justifique se o circuito é indutivo, capacitivo ou resistivo.e) calcule o Íactor de potência e as potências: aparente, activa e reactiva

Solução:

a) Z:t-

vR2+U-Z

(X, - X.)'200 _2A100

:y 602 + (220 -300;z

:100()


b) Un:Rl :60.2:120V'UL:Xrl:220'2:440Y

Uc : Xcl : 300.2 : 600 v

Repare-se que podem aparecer tensõesmais elevadas que a tensão aplicada, o

que pode ter os seus Perigos.

6o : 0.6100

c)

d)

ESCALAS Corrente- 1cm <>24Tensões -.1 cm < > 10 V

O circuito é capacitivo dado que a correnteestá em avanço em relação à tensão, sendo(P : -53'.

ur+ u.

e) cosQ- R-z

s:ul:2o0.2:400v4P = S. cos q : 400. 0,6 : 240WQ : s. sen e - 4oo' (- 0,8) : - 32ovAr

x,-x^ =-80:_o.asen9: --7- 1OO

UL

Fig. 108

4oo vA {Fis. 10e IDistribuiçào (de potências.

+88OVArr---i zoo

- -32OVAr r VAr

Também podemos calcular Q pelos seguintes processos:

Qr : X,- ' 12 : 220 '22 : + 880 VAr

Qc : - X. lz = - 300'22 : _ 1200VAr

Q : QL + Qc : 800 - 1 200 : - 320VAr

Em termos de linguagem prática diremos que este circuito está a fornecer(produzir) energia reactiva.


ll- Para resolver:

1- Considere o seguinte circuito ao qual se aplica uma tensáo de 150 V (50 Hz):

Fig. 1 10

a) Determine a intensidade da corrente que percorre o circuito.b) Determine as tensoes aos terminais de cada componente.c) Construa o diagrama vectorial da corrente e das tensoes.d) lndique e justifique a natureza do circuito.e) Calcule o Íactor de potência e as potências aparente, activa e reactiva.

2 - Ao seguinte circuito aplica-se uma tensão alternada sinusoidal de 50 Hz.Tendo em conta as leituras dos aparelhos resolva as seguintes questoes:

Fig. 111

a) Determine a impedância do circuito e o valor das reactâncias.b) Construa o diagrama vectorial da corrente e das tensoes.c) lndique e justifique a natureza do circuito.d) Calcule as potências aparente e reactiva.e) Determine o factor de potência do circuito.

3-Considere um circuito RLC série em que R : 10 O, XL : 100 O e Xc : 100 Opara a frequência de 50 Hz. Aplica-se-lhe uma tensáo de 20 V (50H2).

a) Determine a impedância e a intensidade da corrente que percorre ocircuito.

b) Calcule as tensoes aos terminais dos vários componentes.c) Construa o diagrama vectorial do circuito.d) lndique e justifique a natureza do circuito.e) Calcule as potências aparente, activa e reactiva.Í) Determine o factor de potência do circuito.


RESSONÂNCIAEM CIRCUITOS SÉRIE:

r.'- tNTRoouÇÃo - oerrrurÇÃo:

Genericamente diz-se que um certo meio está em ressonância quando nele severificam oscilaçoes (vibraçóes) de amplitude relativamenÌe elevada.

2." _ EXEMPLOS DE FENOMENOS DE RESSONÂNCIA:

a) Se uma ponte sobre um rio for percorrida por colunas de militares em marcha,há vibraçÕes de estrutura de betáo (ainda que de alguns milímetros de ampli-tude). Estas oscilaçoes na vertical podem sucessivamente aumentar de am-plitude se a Íorça efectuada pelo assentamento simultâneo do pé dos militarescoincidir com as flexóes para baixo. Deste modo a fonte poderá partir-se.

Dizemos então que a ponte se quebrou dado que entrou em RessonânciaMecânica.

b) O Frequencímetro (de lâminas vibrantes), aparelho que mede a frequência dascorrentes alternadas funciona com base no Íenómeno de Ressonância(fig 1 12)

O aparelho tem um electroíman ligado em paralelo com o circuito de que se

quer medir a frequência.Sob os polos do electroíman estão dispostas várias lâminas metálicas (de

material ferromagnético) com espessuras variadas e fixadas pela base num Su-

porte.Como se sabe a corrente alternada cria um campo magnético alternado que

Fig. 112

c)

d)


Ìende a atrair as lâminas, mas quando esta se anula náo há atracção. Uma daslâminas tem uma flexibilidade tal que entra em vibraçáo de grande amplitude,ou seja entra em ressonância, pois que ora é atraída ora a atracção se anula eela volta à posição inicial.

Se a frequência variar, passa a ser outra lâmina que vibra. Sobre as lâminascoloca-se a escala das frequências correspondentes, ou seja, das frequênciaspróprias de ressonância (fig. 113).

Fig. 113 f :50 Hz.

Estamos já a ver que, tendo os altiÍalantes uma parte movel (bobina e cone) quevibra consoante a corrente que percorre a bobina, pode haver uma frequênciaque leve este à ressonância. De facto muitos altifalantes entram em ressonânciapara Írequências da ordem de 30 Hz (a que correspondem sons graves) vibran-do com uma amplitude exagerada em relaçáo à amplitude de corrente (e por.tanto ao som que se deseja) o que se lraduz numa Íorte distorsão sonora.

Nos circuitos RLC série (assim como nos circuitos paralelo, como veremos)podem entrar em ressonância, isto é, a corrente eléctrica alternada passa a terelevadas amplitudes correspondentes a deslocamentos de grande amplitudedos electroes ao longo dos condutores.

3.O _ OCORRÊNCIA DE RESSONÂNCIANUM CIRCUIÏO RLC SÉNIE:

a) Experiência:

Apliquemos uma tensão alternada sinusoidal de 20 V (50H2) a um circuito consti'tuído por uma resistência de 10 O (esta resistência poderá ser eventualmente aresistência da bobina), uma bobina com L : 1 H e um condensador de capacidadevariável.

114- 2nÍL- 2.3.14 50.1-314c)

Vamos variar a capacidade do condensador e medimos os valores da corrente i

e das tensoes uL e uc, os quais anotamos no quadro seguinte:

,J

"1

20U=21

50

FigXL

1OO ELECTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

c(uF)

xc(o)

XL

(o)I

(A)uc

(v)UL

(v)

Uz:-' (o)

6 531 314 0,09 48 28 217

7 455 314 0,14 64 44 141

I 398 314 0.24 96 75 85

9 354 314 0,49 173 154 41

9,5 335 314 0,87 291 273 23

10,1 314 314 2 628 628 10

10,5 303 314 1,33 403 418 15

11 289 314 0,74 214 232 27

12 26s 314 0,40 106 126 50

13 245 314 0,29 71 91 70

b) Conclusóes:

Há um valor de capacidade C : 10,1 gF para o qual a corrente toma um valorelevado I : 2 A, ou seja, entra em ressonância. Tal deve-se ao facto de para estevalor de C, X" ser igual a X.- anulando-se os seus efeitos, ficando apenas a re-sistência a fazer oposição à corrente (Z : R), pelo que a impedância é mínima(z : 10 Q).

A medida que a capacidade se afasta do valor 10,1 ;rF a corrente diminui dadoque a impedância aumenta pois que X. e X" já não são iguais sendo a sua dife-rença diferente de zero.

Na situação de ressonância U. e U" sáo iguais e têm valores elevados muito

superiores à tensão aplicada, neste caso +: 3lvezes, o que pode serperigoso, como veremos. 20

Se a resistência do circuito fosse nula então na ressonância a corrente seriainfinita. Tal não se verifica na prática dado que a bobina tem sempre resistênciaainda que reduzida.


4.O _ INFLUÊNCIA DA FREQUÊNCIA NO COMPORTAMENTO DO CIRCUITO:

Para cada circuito RLC há uma frequência de tensão que o leva à ressonância. E afrequência fo que faz Xr: Xc e que se denomina frequência de ressonância. Oseu valor pode ser calculado do seguinte modo:

2nf^L- 1

qni"rLC:1nÍ"cÍ2 1

'o-- 4rÉLC

Para este valor fo a corrente atinge um valor máximo assim como as tensões nabobina e no condensador.

Na fig. 115 temos o gráÍico da variação das reactâncias capacitiva e indutivacom a frequência.

Na fig. 116 temos o gráfico da variação da impedância do circuito com afrequência.

X"X.o

Fig. 115Varìação dasreactâncias coma frequência.

xc

X.= X.

Na fig. 117 observa-se a variaçáo do valor da intensidade da corrente com afrequência para dois valores de resistência diferentes.

Quanto mais elevada for a resistência menor é a acuidade da curva. lnversa-mente, quanto menor for a resistência, mais elevada é a acuidade da curva.

Fig. 117Varìação dacorrente coma frequência.


5.O _ POTÊNCIAS:

Na situaçáo de ressonância, dado que X. : Xc, âs potências reactivas da bobina edo condensador são iguais ern vglores absolutos, pelo que a potência reactiva totalé nula.

No entanto há oscilaçoes de energia reactiva entre os dois componentes tendo--se esta energia deslocado paralá quando o circuito foi ligado. O factor de potênciaé evidentemente igual à 1.

6.O _ PROBLEMAS:

l- Com solução:

Considere um circuito RLC serie com R : 100 O, L : 0,5 H e C : 10 prF.

a) Determine a frequência que leva este circuito à ressonância.b) Calcule as tensoes aos terminais da bobina e do condensador quando se lhe

aplica uma tensão de 200 V com a frequência de ressonância.c) Determine a potência reactiva nas condiçoes da alínea a).

Soluçáo:

a) f. : ---l-=- 6,28 v 05. 10. 10* 6,28.2,24 . 10-3: 71,4 Hz

b) Xc: Xt:2 nÍ L: 2.3,14.71,4.0,5:224,2Qz: R: 100 c)

l: u _ 2oo _2Az 100

Uc : U, : XLL :224,2- 2: 448,4V

c) Q=S.seng:0VAr9:0o+sen9:0


ll- Para resolver:

1 - Uma bobina com a resistência de 50 Q e coeÍiciente de auto-indução de 0,3 Hestá submetida à tensáo de 220 V (50H2). Determine:

a) A intensidade da corrente que percorre a bobina.b) A capacidade de um condensador que colocado em série leva o circuito

à ressonância.c) Na situaçáo da alínea b) calcule as tensóes aos terminais da bobina e

do condensador.d) As potências activa, reactiva e aparente na ressonância.

2 - Pretende-se construir uma bobina para um filtro que à Írequência de 100 kHztenha a impedância de 12560 O. Sendo a resistência da bobina de 100 Qdetermine:

a) O coeficiente de auto-indução que a bobina deve ter.b) A capacidade do condensador que se deve associar em série para que

a impedância à frequência de 20 kHz seja mínima (100 O).

7." - INCONVENIENTES DA RESSONÂNCIA NOS CIRCUITOS SÉRIE:

Nas instalaçÕes de distribuição de energia e nas instalaçoes industriais evita-se asituaçáo de ressonância dado que se produzem sobretensÕes elevadas perigosaspara as pessoas e para os materiais (podem provocar a perfuração dos isolamen-tos nomeadamente das máquinas eléctricas).

8.o - APLTCAçÓES DA RESSONÂNC|A NOS C|RCU|TOS SÉRre:

a) Sintonizaçâo de receptores de rádio e de televisão:

Aproveita-se o Íacto de nestes circuitos a impedância ser mínima para uma dadafrequência.

Cada emissora transmite ondas electromagnéticas com uma dada Írequência. Aantena (Íig. 118) dos rádios e televisoes chegam as ondas de várias emissoras.

.l - Antena.

2 - Bobinas com núcleo de Íerro.3 - Condensador de sintonização4 - Díodo para desmodulaçâo.5 - Auscultadores. Fig. 1 18

Sintonizaçàode receptoresde rádio.

3I I'l

-xr

I

' lr.-t)'tl

Y


Para se seleccionar a emissora desejada utiliza-se um circuito RLC série comum condensador variável. Na bobina deste circuito é induzida uma f.e.m. devido àsvariaçÕes de Íluxo produzidas pela bobina ligada à antena. Actuando no botão desintonização variamos a capacidade C de tal modo que para uma dada frequênciado emissor quando for X' : Xc então circulará uma corrente de intensidade ele-vada, pelo que U. será elevada e Íará circular uma corrente pelo resto do circuito.

Na bobina induzem-se também f.e.m. com frequência de outras emissoras,simplesmente para elas a impedância do circuito é táo elevada que as correntesrespectivas são quase nulas.

A resistência da bobina deve ser pequena comparada com X,- e X" na resso-nância para que a curva de variação de I com f seja o mais aguda possível, o queimplica que o circuito só é percorrido por correntes da frequência da emissora de-sejada. Diz-se então que o circuito é muito selectivo evitando a sobreposiçáo deemissoras.

O esquema apresentado na figura é um esquema muito simples de um receptorvulgarmente designado por galena.

b) Realizaçáo de filtros de Írequências:

Em determinados casos há necessidade de num circuito separar, atenuar ou atécortar correntes de determinadas frequências. Para tal utilizam-se circuitos sériecom vários componentes podendo ser associados em paralelo com outros. Apro-veita-se deste modo a propriedade que estes circuitos têm de a sua impedânciavariar com a Írequência das correntes.

Aos circuitos com estas funçóes dá-se o nome de filtros. Nas figuras seguintestemos os esquemas de vários tipos de filtros e o gráfico da tensào aos seus ter-minais em função da frequência, quando estes filtros estáo ligados a um circuito decarga.

ru,KFig 120Filtro passa-alto.Só deixa passar asa,ltas frequências.

Utilizam-se Íiltros para a separação de Írequências para os vários altiÍalantes deuma coluna de som. Um só altiÍalante náo pode reproduzir Íielmente os sons cor-respondentes às correntes de frequências variadas que lhe chegam. Estas vão de16 Hz a 20 k{z.

Fig. 1 19Filtro passa-baixo.So deixa passar asbaixas frequências.


'r',,rrJ'o',.r"'ourou. Ff "1 /ìso derxa passar uma I I 1,, I / \determìnada faixadefrequèncìa _r Tf =l / \=, o[---í

m,,ï_l_ i_l ( ./-T --rl "l-r-

Assim podem utilizar-se 2,3,4 ou mais altifalantes trabalhando cada um numaÍaixa de frequências para o qual foi construído.

Na Íig. 123 apresenta-se um circuito para uma coluna de 25 W com 3 altifalan-tes: graves, médios e agudos. lndicam-se as frequências de separação entre osvários altiÍalantes.

Fig 123Separaçào defrequêncrasnuma colunade som com3 altifalantes.

graves médios agudos

zo ooo 1(62)

fl crncurro RLc PARALELo

1." - DESCRTÇÃO:

Sáo circuitos com resistência,bobina e condensador ligadosem paralelo como se indica na Fis. 124

Íig. 124. circuitoRLC paralelo.

Fig 122Filtro pára-banda.Corta uma determìnadafaìxa de frequência.

I

Consideraremos que a bobina e o condensador são puros.


2." - COMPORTAMENTO _ DIAGRAMA VECTORIAL:

Apliquemos ao circuito da Íig. 124 uma tensão u alternada sinusoidal. Este serápercorrido por uma corrente total i e cada um dos componentes será respectiva-mente percorrido por i*, i., e i".

Pela Lei dos Nos é:

r- .l

In -f

Construamos o Diagrama Vectorialdeste circuito. Sendo a tensão u comum atodos os elementos, vamos tomá-la comfase nula S3guidamente rnarcamos osvectores 1", l. e l" tendo em atençáo osdesfasamentos das correntes, que repre-sentam, em relaçáo à tensão.

Somando os vectores das correntesparcnis obtém-se o vector da corrente to-tal I

No caso representado o circuito é indu-tivo.

_ TRIANGULO DAS CORRENTES:

diagrama vectorial anterior temos um triângulo de correntes:

Deste triângulo podemos tirar as seguintes relaçóes:

12 : l2n t (lL lò'Frg 126T ri àn g u lo d as correntes.

circuito obtém-se por meio de

4.O _ CASOS PARTICULARES:

a) X'- < X" - Circuito indutivo:

A condição X,- < X" implica que l. > l. pelo que o diagrama vectorial será o daÍig. 125.

tLllc

Ìin E

t:

r:

3."

No

impedância do

W


b) X" < XL - Circuito capacitivo:

A condiçáo X" < X.- determina que l" > l,-

pelo que o diagrama vectorial é:

Fig. 127Diagrama vectorial

- cìrcuito capacitivo

c) XL : X" Circuito resistivo puro:

Sendo Xr_ : Xc temos lr_ : lc pelo quea soma de i. com i" é nula dado que estáoem oposiçào de fase.

Fig 128

':g[il1"':"::f,i,ilpuro.

5.O _ POTENCIAS:

a) Potência activa:

A potência activa pode calcular-se por meio de:

#ffiou então pela Íormula genérica:

b) Potência reactiva:

A potência reactiva pode calcular-se a partir das potências de cada componente:

QL:XLlí

Qc: - Xcl'?c

ou então pelas seguintes fórmulas genéricas:

1OB ELECTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

6.O _ PROBLEMAS:

l- Com solução:

Considere o seguinte circuito ao qual se aplica uma tensão alternada (SOHz) comu-200v.

u=200v XC:2OOnf=SO Hz

Fig. 129

a) Determine o valor das correntes parciais e da corrente total.b) Calcule a impedância do circuito.c) Construa o seu diagrama vectorial.d) lndique e justifique a natureza do circuito.e) Calcule o factor de potência.f ) Calcule as potências aparente e activa.g) Determine as potências reactivas de cada cornponenÌe e a total

Solução:

a) ln: -g: 4Ig :4AR50

V lÊ + (1. - tc),

.l4TF-z:\/2s : 5 A

u _ 200 _4AxL 50

t-t-lr:

lc:

a_L_

:14

:40O

200xc 2oo

u 200

- :

-b)

c)

ESCALAS: correntes: 1 cm < > 1 AtensÕes: 1cm<>40V

:50í)

CIRCUITOS EM CORRENTE ALTERNADA

O circuito é indutivo porque a corrente está em atraso em relação àtensão.

e) cosQ: : 0,8

s : Ut : 200.5 : 1000vA : 1 kvAP : s.cos g : 103.0,8 : 800 W

Qr : Xr l? : 50 .42 : 800 VAr

Qc : - X" lâ : 200.12 : - 200 VAr

Q : QL + Qc : 800 - 200 :600 VAr ou

cosq:0,8-tg<p-0,75Q : P.tg q : 800.0,7s : 600 VAr

ll - Para resolver:

1 - Montam-se em paralelo uma resistência pura de 50 O, uma bobina pura de3,2 H e uma capacidade de 12,8 pF. Aplica-se ao circuito a tensão de 120 V(50H2).

a) Determine as correntes parciais e a corrente total.b) Calcule a impedância do circuito.c) Construa o diagrama vectorial da tensão e das correntes.d) lndique e justifique a natureza do circuito.e) Determine o factor de potência.f ) Calcule as potências aparente, activa e reactiva.

2 - Considere o seguinte circuito. Perante os valores indicados pelos aparelhosresolva as seguintes questÕes:

Determine a impedância do circuito.Determine a resistência e a reactância da bobina.Calcule a corrente que percorre o condensador.

lr:4t5

s)

a)b)c)

Fig. 131

-110 ELECTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

d) Qual deverá ser a indicação do wattímetro?e) Determine a potência reactiva e o factor de potência.Í) Construa o diagrama vectorial.

3 - Um condensador de 30 nF está ligado em paralelo com uma resistència de1 kO. O circuito está submetido à tensáo de 220 V (50H2).

a) Determine a corrente em cada componente.b) Calcule a impedância do circuito.c) Determine as potências activa, reactiva e aparente do circuito.

RESSONÂNCIAEM CIRCUITOS PARALELOS:

1." _ CIRCUITO TAMPAO IDEAL:

a) Descrição:

Um circuito tampão ideal (fig. 132) é cons-tituído por uma bobina pura em paralelocom um condensador puro (sem correntesde fuga).

Frg 132Circuitotampaoideal.

b) Comportamento:

Para uma tensáo com Írequência Í" tal que X. : Xc ou seja:

as correntes i. e i" sáo iguais pelo que a corrente total ié nula (fig. 133) sendo aimpedância do circuito inÍinita.

lr-

Fig. 133 Frg 134 - Ressonâncìa

Estando i,- e i. em oposição de fase tudo se passa como se circulasse entre abobina e o condensador apenas uma corrente com valor igual a i,- ou i" (fig. 134).

i-iLlic:0f: ì,: r l"': o


Diz-se então que o circuito está em Ressonância pois que há uma sobreinten-sidade no paralelo da bobina com o condensador enquanto no resto do circuito acorrente é nula.

Para qualquer tensáo de frequência fo as reactâncias sáo diferentes pelo que acorrente total i deixa de ser nula.

2.O _ CIRCUITO TAMPÃO REAL:

a) Constituição:

Na prática os condensadores são quase puros mas as bobinas tôm sempre resis-tência ainda que reduzida. Deste modo apenas é possível construir o circuito tam-pão real, ou seja, uma bobina com resistência em paralelo com um condensador(Íig. 135):

Fig 135Cìrcuìtotampàoreal.

b) Comportamento:

Para a frequência fo que tazX,: Xc (Íig. 136) as correntes têm praticamente o

mesmo valor mas náo estão completamente em oposiçáo de fase com a tensáo Uaplicada.

Este circuito não oferece uma impedância infinita à corrente de modo a que

esta se anula mas atenua-a bastante.

3.o - APLTCAçAO DOS CTRCUITOS TAMPAO:

Estes circuitos aplicam-se na sua forma mais sim-ples em circuitos electrónicos, percorridos simulta-neamente por corrente de várias frequências (ex.:ampliÍicadores usados em cadeias de alta fideli-dade), quando se deseja eliminar a corrente comuma determinada frequência fo. Basta que para foo circuito entre em ressonância, como vimos.

XL

Fig. 136 - Diagrama vectorial - ressonância.

112 ELECTROÏECNIA CORRENTE ALTERNADA

Um exemplo de aplicaçáo é o dos amplificadores de som. Quando os discostêm os sulcos já deteriorados produz-se um ruído característico que se junta aoruído devido à electricidade estática. Estes ruídos podem corresponder a correntescom Írequências da ordem de 7 kHz. Assim os amplificadores têm um botão quepermite ligar um Íiltro com a função de cortar esta frequência indesejada.

4.O - PROBLEMAS:

| - Com solução:

1 - Um circuito tampáo está submetido à tensáo de 6 V (lkHz). A bobina tem umcoeficiente de auto-indução de 0,5 mH.

a) Determine o valor da capacidade do condensador para que o circuitotenha impedância inÍinita à Írequência da tensáo aplicada.

b) Calcule as correntes em cada componente na situaçáo da alínea ante-rior.

Soluçáo:

a) Xr- :Xc:/\v-

2 ntL : 2 n. 1 000.0,5. 10 3 : 3,14 O

XL : 3,14 Q11

2Ì-íX; :2 n ' TOOO. 3J4: o'ooo o5 F : 5o uF

-l: 6 :1.e1 AxL 3,14 r'

lr : 1,91 A

b) lr:

lc:

ll r:ria:a.rriÌir*w

resolver:

1 - Pretende-se construir um circuito tampão, com uma bobina pura de 'l H, paraa frequência de 20 kHz.

a) Determine a capacrdade do condensador.b) Calcule a intensidade que percorre cada componente com U :220 V.c) Determine a potência reactiva.d) lndique e justifique a natureza do circuito.


@ nneroDo DE BoucHERor

1.'- TNTRODUÇAO:

Na prática os receptores são ligados em paralelo Íicando todos submetidos à

tensão da rede (isto desprezando as quedas de tensáo). Por sua vez os receptorespoderão ser constituídos por circuitos mais ou menos complexos, pelo que a utili-

zaçâo de diagramas vectoriais pode não ser prática nem rigorosa.

2.o - PRTNCíP|O:

Este método utiliza aS regras da soma de potências. Assim, tendo vários recep-

tores, determinamos a soma das potências activas por um lado e das potências

reactivas por outro para achar as potências totais P e Q da instalaçáo. Com as

potências totais determina-se a potência aparente de todo o circuito S por meio de:

S:fpn+O,,-i. ì:.i.:.

Sendo: S : Ul há duas hipóteses:

3.o - EXEMPLOS DE APLTCAÇAO:

| - Com solução.

1 - Dois motores M, e M, estão ligados em paralelo sob uma tensáo de U : 220 V(50H2). Sabendo as correntes que estes absorvem e os respectivos Íactoresde potência: lr : 20 A, cos Qr : 0,8 ê lz : 30 A, cos Qz : 0,7, cal-cule a corrente total e o Íactor de potência total.

l<11 r12l<504

ConhecendoUpodedeterminar-seacorrentetotall'ffi

Conhecendoacorrentelpodedeterminar-seatensáo,M

a)

b)

Ftg 137 Esquema unifilar


Soluçáo:

A partir da tabela, no fim do livro, temos:

cos gr : 0,8- tg gr : 0,75 ; cos ez : O,7- tg g, : 1,02

P:Ul.cosgPt : 22O. 20. 0,8 : 3520 W : 3,52 kW

Pz : 22O.30 -0,7 : 462OW : 4,62 kW

Qr : 3,52 .O,75 : 2,64 kVAr

Qz: 4,62 . 1,02 : 4,71 kYArQ: P'tg q

Agrupemos as potências deste modo:

A potência aparente é:

S : Vtp, F AÊ :V9,14, .r 7,95,

A corrente total é:

t= s _10970 49.86Au 220

O Íactor de potência do conjunto é:

cos.o- P - 8'14:o-74' s 10.97

: 10,97 kVA

2 - Uma Íábrica absorve uma corrente de 300 A de intensidade com uma ten-sáo de 10 000 V (50H2) e com um factor de potência igual a 0,8. A linha que aalimentâ tem uma resistência de 1 O e uma reactância indutiva de 2 A. Calculea tensão no início da linha e o Íactor de potência do conjunto linha-instalaçãoda fábrica.

El' (kw) Qftvar)

Mí

M2

3,52

4,62

2,U

4,71

Total 8,14 7,35


Solução:

a) Primeiramente vamos utilizar o processo gráÍico para mostrar as suas diÍi-culdades. Marcamos os vectores da tensáo U, no Íim da linha (tensão àentrada da fábrica) e da corrente atendendo ao desfasamento desta (cos g: 0,8 - g : +- 37" - circuito indutivo):

,tl

Fig. 138

Seguidamente m.arcam-se os vectores das quedas de tensÕes resistiva e indu-tiva na linha, Rl e {1, etectuando-se depois a soma das três tensÕes para obter atensáo Úì no início da linha.

Y:+37"RT

X,_Ï

Fig 139 - Diagrama vectorialESCALAS:

Corrente: 1cm<>1ATensÕes:1cm<>1000V

Atendendo à escala do diagrama, o vector { representa uma tensão igual a:

Ur:10600v:10,6kvO desÍasamento da corrente em relação à tensáo Ú, é:

I : t- 38,5o

a que corresponCe um factor de potência;

cos Q : 0,782

E evidente que é difÍcil obter deste modo uma grande precisão dado que asquedas de tensáo são muito reduzidas em relaçâo às tensoes de serviço, como sepretende. Assim preferiremos o Método de Boucherot, que vamos aplicar seguida-mente.

b) Determinemos as potências da linha:

Pr : Rl2 : '1 3002 : 90 000 kW : 90 kWQ : XLl2 :23002: 180000 VAr: i80 kVAr

U.,

Un:Rl:300VUr:Xrl:600V

Fábrica

ì


As potências da instalação da fábrica sáo:

cosQ:0,8-tgtP:0,75P: Ul .cose:10000 300 0,8:24oo000W:2400kWQ: P.tg q: 24oo'0,75:1800 kvAr

Dr íkw) Cl (r.vrr)

Linha

lnstalação

90

2 400

180

1 800

Total 2 490 1 980

A potência aparente é:

$ :1Pz i- Qz :y24902 r- 19802: 3181 kVA

A tensáo U, no início da linha é:

O Íactor.de potência do conjunto é:

s 3181u,- -'t300

P ?49O:0.782cos9: S -ãrar

3 - Uma instalação industrial funciona com uma tensão de 22O V. E constituídapor:

- um motor com a potência útil de 20 kW com um rendimento de 90% ecos (p : 0'85'

- 100 lâmpadas de 65 W de potência com cos Q : 0,5.

a) Calcule a corrente absorvida pelo motor.b) Calcule a corrente absorvida pelo conjunto das lâmpadas.c) A corrente total.d) O Íactor de potência da instalação.


I---------:---.-

I

u=22oyY

: # :22,2kw

___l__ _ 22200 : 118.7 AU . cos g 220 .0,85

Pu:20kWrì : 90%

COS Q : 0,85

Fig. 140

Pr:65Wcos (p : 0,5

P : 100 Pr : 100 x 65:6500 W

t_ P _ 6500 :59AU .cos e 220 .0,5

P (kw) Q (kvArl

Motor

Lâmpadas

22,2

6;5

13,8

3,25

fotal 28,7 17,05

Qr,, : P . tg q : 22,2. 0,62: 13,8 kVAr

Qr : 6,5 x 0,5 : 3,25 kVAr

S = VP, + eB :\/29,7, + 1l,os, : 33,36 kVA

t_ s _ 33360:151.6Au 220

cose: +: #k:o,BG

118 ELÉCTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

ll- Para resolver:

1 - Numa instalação de força motriz, alimentada pela rede de 220 V (50H2)temos dois motores com as seguintes características:

M1 M2

Potência útil (kW)

Rendimento (%)

cos Q

30

82

0,66

20

85

o,75

Determine:

a) A corrente absorvida por cada motor.b) A corrente total quando os motores Íuncionam simultaneamente.c) O factor de potência gtobat.

2 - uma linha com a tensão de 30 kV alimenta uma fábrica que consome a potên-cia de 480 kW com um Íactor de potência de 0,8. A linha tem a resistência de2 Q e a reactância indutiva de 4 O.

Determine:

a) A tensão necessária no início da linha para que à entrada da fábrica setenham 30 kv quando a Íábrica está a consumir a potência indicada.

b) O factor de potência global.

3 - Uma instalação fabril funciona com a tensão de 220 V (50H2) e é constituídapor:

- 5 motores com a potência útil de 7 kW, rendimento de 85% e cos e : 0,7.

- 40 lâmpadas de 65 W de potência e cos A : 0,5.

Determine:

a) A corrente absorvida pelos 5 motores.b) A intensidade total absorvida pelas lâmpadas.c) A corrente total da instalaçáo.d) O factor de potência da instalaçáo.e) A capacidade dó um condensador que eleve para 0,92 o Íactor de potencia

da instalação quando estáo apenas as lâmpadas a Íuncionar.f) Qual a capacidade de um condensador que se deve associar ao da alínea

anterior para que o Íactor de potência se mantenha em 0,92 quando todosos aparelhos funcionam simultaneamente?

smh*uL&r(wE

áxr[

$uIJ.J

x"t-!-l

f rr.rrnoouçÃo

1.'- CONTAGEM DA ENERGIA:

Nas instalaçoes de consumo de energia eléctrica o fornecedor de enegia instala umContador de Energia Eléctrica (activa). Particularmente nas instalaçÕes industriaisó ainda instalado um Contador de Energia Reactiva. Esta energia não é consumidamas oscila entre o gerador e o consumidor. No entanto poderá em determinadoscasos ter de ser paga, como veremos.

Conhecendo, ao fim de um certo intervalo de tempo (1.mês) a Energia Activa Wconsumida e a Energia Reactiva W,, pode calcular-se o factor de potência médioao longo desse intervalo:

Sendo a Energia Aparente:

e:

2." _ EXEMPLO DE CÁLCULO:

Numa instalação industrial as leituras dos contadoresmês são.

W : 10 000 kW'h

W, : 6 000 kVAr' h

Determine o factor de potência médio nesse mês.

ao fim de um determinado

ENERGIA REACTIVA 121

Soluçãcl:

cosQ :-4méd. ,rW + Wl

10' : 0,96vflcr,F +lo:tõãf

3.O - CORRENTES ACTIVA E REACTIVA:

Nafig.l4.ltemosodiagramavectorialdeumreceptorindutivo:

Fig. 141

Correntesactiva e reactiva.

O vector Ípode decompor-se em dois vectores: f,em Íase com o vector Údatensào. e lf,em quadratura com esta'-

À õorfjonente da corrente em Íase com a tensão denomina-se por corrente

activa:

A componente darente reactiva.

corrente em quadratura com a tensão designa-se por cor-

Deste modo as fÓrmulas das potências podem tomar outro aspecto:

lP - Ul cosq = U'1"

lo ul 'sen e = u'1,

o que nos leva a afirmar que a corrente activa é a que corresponde à energia

.consumida (energra activa) e a corrente reactiva corresponde à energia que oscila

entre o gerador e o receptor (energia reactiva)'

INCONVENIENTESDA ENERGIA REACTIVA

Considere-se duas fábricas que consomem a mesma potência: P : 1 MW :1 000 oo0 w com idêntica tensão u : 10 kv : 10 oo0 v, mas com factores de

potência diferentes: cos qí : 1 e cos Q2 : 0,4'


Durante um mesmo tempo de funcionamento terão consumido a mesma ener-gia. Contudo a entidade fornecedora desta energia não poderá considerar domesmo modo estes dois consumidores.

SendoP:Ul .cosetemos:

l.: ,, P, : 19t :1ooA' Ul .cos er 104 . .l

;-_ P, : 106 :250A't l)r.cos g2 101 .0.4 - 4!v F

Para a mesma potência, a segunda lnstalaçáo absorve uma corrente l, : 2,5 1.,.

Este excesso de corrente traduz uma circulaçáo de Energia Reactiva que não emedida pelos Contadores de Energia Activa e que portanto não é contabilizada.

A existência de baixos Íactores de potência nas instalaçÕes deve-se aos recep-tores indutivos: motores, lâmpadas de descarga (fluorescentes por ex.), máquinasde soldar, etc. Normalmente não há receptores capacitivos.

Assim, como vimos, é vulgar dizer-se que a instalação consome energia reac-tiva, o que na realidade significa que há uma circulação de energia qul não éconsumida e que se traduz numa corrente que ocupa a rede.

Esta corrente em excesso (ou a energia reactiva a ela associada) tem váriosinvonvenientes que passamos a descrever:

a) Para o produtor de energia:

Um Alternador (gerador de corrente alternada utilizado nas centrais hidroeléctricase térmicas) é principalmente caracterizado pela sua tensáo U e pela máxima inten-sidade I (condicionada pela secçáo dos condutores das suas bobinas), isto é, pelasua potência aparente S : Ul.

Podemos já concluir que estando o Alternador a debitar a corrente máxima apotência activa que ele está a produzir dependerá do cos rp da instalação con-sumidora.

Assim se os utilizadores tiverem um baixo cos e isto implica que para umacefta potência a Íornecer, o Alternador terá de ser construído para uma potênciasuperior, sendo, portanto, de maior volume e assim mais caro.

Além disso este não irá ser utilizado perto do máximo da sua potência, pelo queo seu rendimento é baixo (haverá mais perdas). Por ou,tro lado, nessas circuns-tâncias a Regulaçáo da Tensão aos terminais do Alternador será mais diÍícil.

O Transformador elevador de tensão e toda a aparelhagem necessária têm deser dimensionados para maiores intensidades.

Temos assim que o produtor de energia exigirá que os utilizadores elevem oÍactor de potência das suas instalaçoes ou que paguem uma quantia consoante aenergia reactiva que circula, como veremos.


b) Para o transportador e o distribuidor de energia:

Se uma linha, dimensionada para uma certa potência aparente S : Ul, vai alimen-tar instalaçÕes com Íactores de potência baixos, implica que o investimento feito vaiser mal aproveitado pois que Íornecerá energia activa aquém da sua capacidade econsequentemente a entidade receberá uma quantia baixa mesmo com a linha aplena carga (l : 1.r,.).

Por outro lado, com a mesma linha poder-se-iam alimentar mais instalaçoesdesde que para as mesmas potências activas os respectivos factores de potênciaÍossem superiores.

Quanto mais elevada é a intensidade de corrente que percorre uma linha, maio-res são as quedas de tensão e as perdas por efeito de Joule, o calibre dos orgãosde manobra e de protecção assim como a potência dos transformadores abaixa-dores de tensão das SubestaçÕes e dos Postos de TransformaÇão.

c) Para o utilizador de energia:

Ao utilizador (consumidor) também interessa que o factor de potência da sua insta-lação seja elevado pois, caso contrário, por exemplo numa fábrica, o Transfor-mador terá de ter uma potência aparente superior sendo portanto mais caro.

Para uma dada secção dos condutores de alimentaçáo dos receptores haverámaiores quedas de tensão e perdas de enegia (que sáo contadas e contabilizadas).Poder-se-á nessa situação aumentar a secção dos condutores, o que aumenta ocusto da instalação.

A aparelhagem de manobra e de protecçáo terá de ser prevista para intensi-dades superiores.

Se o utilizador quer suportar os inconvenientes pelos quais é responsávelentão o produtor e o distribuidor podem penalizá-lo.

Assim, em caso de baixos cos g, o consumidor paga a energia reacliva a partirde um certo limite. E uma espécie de multa ou de aluguer da ocupação da linha,conÍorme o ponto de vista.

Em Portugal a E.D.P. estabelece que a energia reactiva consumida não deveexceder 315 da energia activa. Cada kVAr. h a mais será pago a uma taxa de1/3 do custo do kWh.

Deste modo admite-se um certo consumo de energia reactiva sem ser pago.Temos que.

Q : P.tg rp

W,:Q.t:P tgq.tW,:W tg<p

: P .t.tg IW,<3/5.W - tgq<

A esta tangente corresponde um

cos q : 0,857

e um ângulo de desfasamento:

g -- 31"

9: o.o5

Íactor de potência de:


coMPENSAçÃODO FACTOR DE POTÊNCIA:

3.1 - Por meio de condensadores:1.'_ POSSIBILIDADE:

Utilizando condensadores em paralelo podemos elevar o factor de potência de umreceptor ou de uma instalaçáo mais vasta e complexa fig. 143. No diagrama se-guinte observa-se que a corrente tem uma Qeterminada componente reactiva iemquadratura e atraso em relação à tensáo U(fig. 142).

coloquemos um condensador em paralelo com o receptor que absorva umacorrente l" de intensidade igual a componente reactiva i]Oe ilOeste modo, estandoas duas em oposiçáo de fase a sua soma é nula, pelo que a corrente total['é igualapenas à componente activaÇ que está em Íase com a tensáo

" " rn"nor'qr""il

U

Fig. 142 - Diagrama vectorial. Fig. 143 - Compensaçâo do factor de potèncìa

No conjunto o sistema fica resistivo puro com: cos e : 1 e absorvendo umacorrente menor. Em termos de potências, o sistema deixa de absorver potênciareactiva (O : 0). A potência reactiva necessária à bobina é cedida pelo conden-sador, ou melhor. há troca de energia reactiva entre o condensador e a bobinanuma constante oscilação, nào sendo necessário haver trocas com o,gerador.

Dizemos assim que compensámos o Íactor de potência da instalaçáó, o que setraduziu numa elevação deste. Esta compensação pode ser total, como se exem-plificou, ou parcial quando o cos e do conjunto não chega a 1.

Nem sempre é Íácil ter o Íactor de potência com um valor conveniente dado quea potência fornecida pelos motores nem sempre é constante.

A entidade fornecedora não autoriza que por sobre-compensaçâo tËr l,Ì "instalação fique capacitiva (fornecendo energia reactiva) pois que poderiâm apa-

rece sobretensões nas linhas como podemos ver no esquema serguinte (fig. 144)em que temos uma linha com a sua resistência e a sua reactância indutiva.

I,-.è


No caso A da fig. 145, circuito indutivo, observa-se que na linha há uma quedade tensão (U, < U,). No caso B, circuito capacitivo, a tensáo no fim da linha poderáser superior à tensào no início da linha, o que pode ser problemático.

R, : resisÍéncia totatda linha.

XLt = reactância ++R,.t x..lltl

Ireactância I

ìndutiva totat U.da lìnha

I.,l

Fig. 144 - Linha de alimentaçao de uma instalaçao consumidora

ABFig 145 - Circuito indutivo (A). Circuito capacitìvo (B).

Se a instalação passar a ser capacitiva a corrente será superior ao valor obtidoquando a compensação é total (o que só traz desvantagens). Na fig. .,l46 mostra-sea variação da corrente total i, com o Íactor de potênciá.

Fig. 146Variação da correntecomocosgsendoa potência constante.

A equipagem mÓvel dos Contadores de Energia Reactiva roda num sentidoquando o circuito é indutivo e roda no outro quando este é capacitivo. No entantohá uma lingueta que impede o movimento quando a instalação é capacitiva.

Ur>Ut

o,s q8 o,7 o,o o.s cos L/

126 ELECTROTEENIA CORRENTE ALTERNADA

2.o - TTPOS DE COMPENSAÇÃO:

Podemos agrupar os receptores de várias maneiras para fazer a compensação docos g:

a) Gompensação individual:

Cada receptor indutivo leva um condensador. Utiliza-se principalmente para o casode motores de grande potência (Íig. 147) e de lâmpadas de descarga.

Fig. 147Compensaçãoindivìdual.

E o processo mais caro dado que o custo de dois condensadores com capa-cidade C é mais elevado do que o de um condensador corn capacidade equivalente2G, ou seja, quanto menor for a capacidade de um condensador mais elevado é ocusto de cada unidade de capacidade (F).

b) Compensaçáo por grupos:

Por questÕes económicas ou condiçÕes de serviço podem agrupar-se os recepto-res em grupos sendô cada um destes compensado (Íig. 1a8).

Fig. 148Compensaçãopor grupos.


c) Compensação central ou global:

Quando há muitos receptores de potência diferente e de funcionamento var:iável,pode haver vantagem em Íazer uma compensação centralizada que, tendo a des-vantagem de as correntes elevadas continuarem a circular nos cabos de alimenta-ção das máquinas (com as consequentes perdas), tem por outro lado a vantagemde a sua manutenção ser fácil, pois que os condensadores estão todos juntos.

Neste caso, para manter o factor de potência num valor conveniente é neces-sário um sistema automático que ligue e desligue os condensadores por gruposconsoante a energia reactiva que está a ser consumida (detectada por urrì "Íêlé"varimétrico). Além disso são necessários fusíveis para protecção destes condensa-dores de elevada capacidade assim como as respectivas resistências de descarga.

Este sistema é normalmente colocado nas proximidades da instalaçáo de ma-nobra principal de baixa tensão (Íig. 1a9).

Fig 149Compensaçaoglobal.

3.O - CÁLCULO DA CAPACIDADE DOS CONDENSADORES

| - Com solução:

Vamos descrever o cálculo necessário por meio de um exemplo.Queremos elevar de 0,7 para 0,8 o factor de potência de uma instalação, que

consome 50 kw a uma tensão de 22o v (50H2). Assim varìos calcular a capa-cidade do condensador necessário para tal.

Designaremos por cos ei e Q, respectivamente o factor de potência e a potên-cia reactiva da instalaçáo na situação inicial, ou seja, antes de estar compensada.

Designaremos por cos gr e Q, respectivamente o factor de potència e a potên-cia reactiva da instalaçáo na situação final, isto é, já compensada.

A partir da tabela respectiva temos:

cos Qi : 0,7 -cos QÍ : 0,8 -tg g'tg Q'

: 1,02: 0,75


As potências reactivas são:

- Sem o condensador:

Q, : P ,tO 9r : 50 1,02 = 51 kVAr

- Com o condensador:

Qr = P.tg tPt : 50 0,75 : 37,5 kVAr

A potência reactiva que o condensador tem de ser capaz de trocar (fornecer)com a instalação é igual à diferença das potências atrás ealculadas:

Q. : Qi - Qr : 51 - 37,5 : 13,5 kVAr

Vejamos como calcular a capacidade do condensador que sob uma tensão de220 V produz uma potência reactiva de 13,5 kVAr:

Sabemos que:

Q" : X" ll mas como: I : U

x"teremos:

Qc:Xc +:i comoX"=

o' : --Lt^r a : u2trlc donde se tira que:

Substituindo os valores vem:r\ 13 500 : 0,000 888 3 F : 888,3 UF

2202 .314

Calculemos os valores da correnle absorvida antes e depois da compensação:

P _ 50 000 : g24.7 AU . cos rp, 22O'0,7

P _ 50000:iE4.1 AU .cos <p, 22O .0,8

1 u"t,roC

l, :

lr:


ll - Para resolver

1 - Um motor alimentado pela rede de 220 V (50H2) tem a potência útil de 15 kW, 'um rendimento de &7% e um factor de potência de 0,75.

Determine:

a) A intensidade absorvida pelo motor.b) A capacidade de um condensador que eleve o factor de potência para

0,92.c) A intensidade que percorre a linha depois de ligado o condensador.

2 - Uma instalação alimentada pela rede de 220 V (50H2) é constituída por:

- 50 lâmpadas de 75 W (incandescência).

- 10 irradiadores de 1500 W.2 motores com a potência útil de 5 kW, rendimento de 80% e

cos Q : 0'7'

Determine:

a) A intensidade absorvida pelos motores.b) A intensidade total absorvida quando todos os aparelhos funcionam si-

multaneamente.c) A capacidade de um condensador que eleve para 0,9 o factor de potên-

cia dos dois motores.

3 - Numa instalação fabril alimentada a 220 V (50H2) os aparelhos do QuadroGeral de Entrada indicam os seguintes valores:

- Voltímetro: 220 Y.

- Amperímetro: 50 A.

- Wattímetro: 6,6 kW

Determine:

a) O factor de potência da instalação.b) A capacidade de um condensador que eleve para 0,86 o factor de po-

tência da instalaçáo.


3.2 - Por meio de motores síncronos

Os Alternadores podem trabalhar como motores, absoruendo energia eléctrica darede a que está ligada. Este motor, denominado motor síncrono (tem velocidadeconstante), tem a particularidade de quando sobreexcitado (corrente no rotor supe-rior à normal), a corrente absorvida ficar em avanço em relaçáo à tensão tal comoacontece nos condensadores. Deste modo o motor comporta-se como um conden-sador dinâmico com a vantagem de ter capacidade variável mas com a desvanta-gem de ser caro e de ter perdas por atritos.

Assim este motor pode ser utilizado na compensação do factor de potência deuma instalação, dizendo-se que funciona como compensador síncrono.

Na Barragem do Castelo do Bode os Alternadores Íuncionam durante o diacomo geradores. mas durante a noite, dado que os consumos sáo menores, corta--se o fluxo cie água às turbinas e os Alternadores passam a trabalhar como com-pensadores síncronos para compensar a energia reactiva (indutiva) que circula naslinhas, de modo a limitar as correntes.

ffitr

ãr á$ Ì*

fTl enoouçÃo oe rerusoes- TRIFASICAS:

1.1 - Alternador trifásico

Anteriormente descrevemos a produção de corrente alternada sinusoidal por meiode um Alternador. Consideremos agora gue esse gerador tem 3 bobinas, idênticase independentes, dispostas simetricamente no estátor, isto é, formando ângulos de120" entre si (Íig. 150).

Fig. 150Produção de trêsf.e.m. por meio deum AlternadorTrifásico.

Quando o rÓtor roda, induz-se em cada bobina uma f.e.m. alternada sinusoidal.Estas f.e.m. têm igual amplitude máxima e estão desfasadas de 12oo umas dasoutras, ou seja, de 1/3 de período.

SISTEMAS TRIFASICOS 133

Na fig. 151 apresenta-se o gráfico das f.e.m. er, e2 e e3.

Fig. 151 - Gráfico das 3 f.e.m.que constituem um sistema trifásico.

Assim este Alternador designa-se por Alternador TriÍásico dado que produztrês tensões alternadas com fases diferentes. O Alternador que apenas produz umatensão designa-se por Alternador Monofásico.

12- Representação matemática e vectorial de um sistema def.e.m. e tensões trifásicas:

Estando as três grandezas desfasadas de 1/3 de perÍodo, representam-se em va-lores instantâneos pelas expressões seguintes:

e., : yT E, sen cot

er: yE E, sen (olt -?-n13',

er: yZ E. sen (ot -+)Analogamente para as tensoes correspondentes a estas f.e.m. é:

u., : \,8 U, sen cot

u": yã U, sen (olt -3-n13',

us : VZ U. sen (ort -3-n13'Frg. 152Iensoestrifásìcas.

Vectorialmenteteremos para as tensões (Íig. 152)


1.3 - Ligação do alternador em estrela:

Consideremos as três bobinas, do Alternador descrito, a alimentarem três recepto-res idênticos, um em cada fase (Íig. 153).

Fig 153Alimentaçãoindependentede 3 receptorespor meio das3 bobinas deum AlternadorTrifásico.

Sentido dacorrente de:

0.7 cm .:5cm.

Fig 154Gráfìco dascorrentes quepercorrem os3 receptores.

Assim são necessários 6 Íios para ligar os receptores aos geradores, três Íiosde ida (partindo dos terminais U,V e W) e três fios de retorno (ligados aos termi-naisX,YeZ).

Tendo os três receptores (por exemplo lâmpadas) a mesma impedância (sis-tema equilibrado) estes são percorridos por três correntes i,, i, e i. com idênticovalor eticaz mas desfasadas de 120" (Íig. 154 e Íig. 155).

No caso da fig. 154 temos l, : lz: 13 : -1q-fz

Fig 155Os recepÍores sãopercorridos por trescorrentes des/asadasde 12O'

>54>T

UaXVaYW aZ

XaUYaVZaW

i,

ESCALAS

SISTËMAS TRIFÁSICOS 135

No gráfico da Íig. 154 verificamos que em qualquer instante a soma da inten-sidade das três correntes é nula. Particularmente no instante t, indicado i, e i. têma intensidade de 5 A e i, de 10 A mas em sentido contrário como se indica nafig. 156.

Vejamos o que acontece se reunirmos os três terminais X, Y e Z num ponto Ndesignado por ponto neutro (Íig. 157) e substituirmos os três condutores de re-torno apenas por um condutor conhecido por condutor neutro ou Íio neutro.

Fig. 157A corrente nocondutor neutro énula em qualquerinstante. No instanteti as col'rentestêm os valoresindicados.

i,:10 A--..--.----->

1

I

(, 104l<-

J

<-5A

Fig. 156lntensidades decorrente nosreceptores noinstante 11.

Fig. 158 - A soma das trescorrentes é nula, peloque iN - 0.

O condutor neutro não será percorrido porcorrente (1" : O) pois que, como vimos, a somadas três correntes é nula, o que também sepode verificar vectorialmente (fig. 158).

A soma de três vectores iguais e desfasadosde 120' é um vector nulo.

ir:5A#


Temos deste mod'o (fig. 159) uma distribuição de energia eléctrica por meio dequatro Íios, sendo três designados por fios de fase, activos ou simplesmentefases em ilnguagem prática. As três fases designam-se pelos algarismos 1, 2 e 3ou pelas letras R, S e T.

o condutor neutro está normalmente ligado à Terra, pelo que se encontra aopotencial zero.

Fig. 159Produçao edistribuiçao deenergia eléctricapor meio de 4 fios

1.4 - Tensoes simples e compostas

Num sistema trifásico temos a distinguir as tensoes simples e as compostas.

Fig. 160U1, U2 e U, sáo tensóes slmpies.Urz, Uzg e U31 são tensões compostas

u""l

R

c

T

N

J,1,,

V

N

1." _ TENSOES SIMPLES:

A tensão entre cada fio de fase e o neutro designa-se por tensáo(Íig. 160) ou tensáo de fase.

No sistema da Íig. 160 temos assim três tensoes simples:

simples

Fig. 161Diagrama vectorialdas três fensõesslrnp/es.

lU,I_l


Nas Redes de Distribuiçáo de Baixa Tensão e portanto nas instalaçoes eléc-tricas mais usuais as tensÕes simples têm o valor nominal de:

Ur : Uz - Us: 220V

Na Íig 161 temos a representação vectorial das tensoes simples.

2.O - TENSOES COMPOSTAS:

As tensoes compostas ou tensoes entre fases sáo as tensoes entre os condu-tores de fase.

Assim temos três tensóes compostas (fig. 160):

- Tensáo entre a fase 1 e a fase 2. u.,r: u, -- Tensão entre a fase 2 e a fase 3: ur. : u, -- Tensáo entre a fase 3 e a fase 1: u., : u. -

As tensÕes compostas são iguais à diÍerença entre as tensÕes simples dasÍases a que se reÍerem. Vectorialmente temos:

q,:q-ú,ú,.: ú, ú.

Ú.':Ú.-Ú,

A soma das três tensÕes compostas é nula:

Vamos agora fazer a representação vectorial das tensoes compostas., partindodos vectores das tensÕes simples. ryq fig 162 determinámos o vector Ú,, a partirda soma de Ú, com o simétrico de Ú, -

u2

u3

u1

Fig. 162Determinaçãográfica deUrz.

Fig. 16sSisÍema deÍésÍensoescompostas.


Fazendo o mesmo paraÚrre d., obtemos três vectores de iguar comprimento edesfasados de 120" formando um sistema triÍásico (fig. 163).

Estes vectores também podem ser representados como se indica na fig. 164.As tensÕes simples e compostas podem ser facilmente representadas de outro

modo (fig. 165).

Fig. 165 - Representaçào dastensoes slmples e composÍas.

Demonstra-se que o comprimento dos vectores das tensoes compostas évezes superior ao das tensoes simples. Assim é:

De facto, por exemplo, nas Redes Eléctricas de Baixa Tensão, as tensoes com-postas medem 380 V : Vg . 220 V.

Normalmente, nestas redes, indicam-se as tensoes do seguinte modo:220/380 V.

Nas Redes de Transporte de Alta e Media Tensóes apenas se indica o valordas tensoes compostas. Asim quando se escreve que uma linha tem tensões de220 kV ou 30 kV, etc. estamos a indicar os valores eÍicazes das tensÕes com-postas.

LIGAçOES DOS RECEPTORESTRIFASICOS:

Os receptores triÍásicos são formados por três elementos idênticos ou não (recep-tores monofásicos) que podem ser ligados de duas maneiras: em estrela (símboloÂ) ou em triângulo (símbolo n).

Vamos tazer o estudo de cada caso tendo como base algumas experiências.

V'


2.1 - Ligação em estrela:

Esta ligação já foi considerada na fig. 157 mas vamos agora analisar melhor o seucomportamento.

Podemos ter dois casos:

- Os receptores monoÍásicos têm a mesma impedância e o sistema diz-seequilibrado (estrela equilibrada).

- Os receptores têm impedâncias diÍerentes e o sistema é desequilibrado (es-trela desequilibrada).

2.1.1- Ligação em estrela equilibrada:

1.'_COM NEUTRO:

a) Experiência:

Segundo a fig. 166 liguemos em estrela três lâmpadas de 200 W (220 V). Cadalâmpada Íica sujeita à tensão simples de 220 V.

Fig. 166Estrela equilibradacom neutro.


l, :lz:ls:0,9Alr.r : 0

Sendo as três rntensidads iguais (pois as impedâncias também o sáo) a cor-rente no neutro é nula-


b) Caso geral:

A estrela pode ser constituída por quaisquer receptores idênticos. Assim generica-mente seja Z a impedância e cos g o Íactor de potência de cada um dos trêsreceptores monoÍásicos idênticos (Íig. 167).

Fig. 167Montagemem estrelaequílibrada.

Os receptor:es ficam sujeitos à tensão simples respectiva sendo percorridos porcorrentes que têm o mesmo valor eficaz I : lr : lz : ls. Estas estáo igualmentedesÍasadas de um ângulo <p das respectivas tensÕes (Íig. 168).

Fig. 168Sistemas deÍensóes ecorrentesttifásicas.

Sendo a corrente no neutro nula, é de esperar que, se o retirarmos, não hajaalteração no Íuncionamento dos receptores.

2." _ SEM NEUTRO:

Se na experiência da fig. 167 retirarmos o Íio neutro, as lâmpadas continuam aÍuncionar com igual luminosidade.

SISTEMAS TRIFASICOS'141

Concluímos assim'que no caso de um re-ceptor triÍásico equilibrado, o fio neutro é dis-pensável. De facto cada uma das linhas de fasetaz de retorno em relaçáo às outras duas.

Há motores trifásicos cujas bobinas estão li-gadas em estrela. Assim na alimentação do mo-tor basta levar-lhe as três fases, dispensando--se o neutro (fig. 169).

1

2

3

Fig. 169 - Ligaçáo de ummotor trifásico.Não é necessário o neutro.

2.1.2 - Ligação em estrela desequilibrada:

1.O _ COM NEUTRO:

a) Experiência:

Na montagem da fig. 170 vamos ligar receptores com diÍerentes impedâncias àstrês fases:

Fase 1: '1 lâmpada de 200 W.Fase 2: 2 lâmpadas de 200 W em paralelo.Fase 3: 1 lâmpada de 100 W.


:0,94; lr:1,94: 1,2 A

ls : 0,45 A

Fig. 170


construamos o diagrama vectorial das tensÕes e das correntes (fig. 171).

ESCALAS:1cm<>55V1cm<>0,54

Fig. 1'71Determinaçàográfica da correnteno neutro.

/ug u2

Sendo os receptores resistivos, logo cos g : 1 e e : Oo, traçam-se os vectoresdas correntes em fase com as reSpectivas tensÕes.

Para obter a corrente no neutro, basta somar os vectores das três correntes:

pors que

Verificamos que a corrente no neutro não é nula, pelo que se o suprimirmoshaverá modificação no funcionamento do sistema.

b) Caso geral:

A partir do conhecimento das tensóes simples e das impedâncias calculamos asintensidades das correntes pela Lei de Ohrn sendo cada fase independente dasoutras.

Assim é:

t,- -U.,-:t"- Ut :t.: U.'21'Zr'23

ou genericamente:

Conhecendo os desfasamentos pode depois construir-se o diagrama vectorial.


c) Caso particular:

Um caso particular de desequilíbrio é o de apenas haver dois receptores, ou ha-vendo três receptores uma das linhas de Íase Íoi cortada acidentalmente (ou não).

Suponhamos que na experiência da fig. 170 cortamos a linha da fase 3. As

outras fases continuam a funcionar sem perturbação.Apenas o valor da corrente do neutro se altera dado que agora é igual à soma

de duas correntes I, e l, (fig. 172 e 173).

Fig. 172 - Estrela desequilibrada

I,----------->

Fig. 173 - A corrente no neutroé igual à soma de \ com 1".

2.O _ SEM NEUTRO:

a) Experiência:

Consideremos a montagem seguinte em que temos (fig. 174)

Fig. 174Montagemem estreladesequilibrada

- Fase 1: 2 lâmpadas de 200 W em série:

- Fase 2: 2làmpadas de 200 W em série.

- Fase 3: 1 lâmpada de 100 W em série com uma de 100 W



lr : 0,64A lz : 0,64A lg : 0,3 A ln : 0,35A

Se suprimirmos o fio neutro observam-se alteraçoes no Íuncionamento das lâm-padas. Os aparelhos passam a indicar os seguintes valores:

lr : 0,6 A lz : 0,6 A ls : 0,33 A

Na fase 3 a luminosidade das lâmpadas aumenta enquantonas fases 1 e 2 diminui. lsto deve-se ao facto de a soma das três correntes ter dese obrigatoriamente nula atendendo à Lei dos Nós.

Medindo as tensões simples obtemos os valores:

ur : 208 V Uz : 2O8V Us : 272V

Concluímos que há Íases, e portanto receptores, que ficam com sobretensão(fase 3) e outras que ficam com tensões inferiores ao normal (fases 1 e 2).

Fig. 175 A e C * estrela com neutro.B e D - estrela sem neutro.

u,,

1cm<>66,66V1cm<>0,254

Por esta razão colocámos, em cada fase, duas lâmpadas em série. Pois nocaso de apenas se ter uma lâmpada, por exemplo na fase 3, o seu filamento Íun-diria ao suprimir-se o Íio neutro devido à sobretensão.

ú. u,


Vectorialmente temos que as tensoes compostas se mantêm (fig. 125 A e B)enquanto o ponto comum N' dos receptores deixa de estar ao potencial do neutro.

Neste caso há uma diÍerença de potencial de 57 V entre esse ponto comum e ofio neutro (fig. 175 B).

Conforme as figuras 175 B e D mostram, as tensões simples e as correntesdeixam estar igualmente desÍasadas de 120'.

Para determinar analiticamente as correntes e as tensÕes numa situação destastemos de recorrer à aplicaçáo das Leis de Kirchhoff. No entanto não aprofunda-remos este caso.

Se cortarmos o fio de fase 3, nas outras fases a luminosidade das lâmpadasdiminui (fig. 176).

I

lu=gs vt

Fig. 176Cortando umafase, a luminosìdadedas lâmpadasdìminui.

Tal compreende-se dado que as quatro lâmpadas ficam em série sujeitas àtensão composta Urz : 380 V. Cada lâmpada fica com a tensão de 380/4 : 95 Vinferior a 50% da tensão normal de funcionamento (22OV).

Se ligarmos agora o fio neutro, a luminosidade das lâmpadas aumentará, poiscada fase Íicará sujeita à tensão de 220 V e as correntes l, e l. escoar-se-áo pelofio neutro.

b) Caso geral:

Para o caso de os receptores terem natureza diversa, todas as consideraçoes fei-tas se mantêm, à parte os desÍasamentos das correntes em relaçáo às tensões.

c) Conclusão:

Concluímos assim que quando a estrela está desequilibrada é indispensável a liga-ção do fio neutro.

Mesmo nos casos em que provisoriamente a estrela está equilibrada náo sedeve cortar o neutro dado que se faltar uma Íase (por fusão de um fusÍvel, porexemplo) estabelece-se o desequilíbrio das tensões.

Um exemplo de receptor triÍásico ligado em estrela desequilibrada é o fogãoeléctrico. Este tem resistências para o forno e para os aquecedores de disco. Estasresistências estão distribuídas pelas três Íases mas não têm todas o mesmo valorde resistência. Além disso náo estão sempre todas ligadas, pelo que é necessáriolevar o fio neutro ao aparelho. Assim, além dos três.fios de fase, temos ainda o fioneutro e o fio de terra.


2.1.3 - Problemas:

l- Com solução.

1 - Numa linha trifásica a tensão composta é de 30 kV. Determine a tensãosimples.

Solução:

u":u.: 17,32 kV

2 - Numa instalação alimentada por uma rede de 220/380 V temos quatro lâmpa-das em paralelo ligadas entre cada Íio de fase e o fio neutro.

a) Determine a intensidade da corrente que percorre cada linha.b) Determine a intensidade da corrente no neutro.c) Construa o diagrama vectorial das tensÕes e das correntes.d) Determine graÍicamente a intensidade das correntes em cada fase e

no neutro quando se desliga uma lâmpada na fase 1 e três lâmpa-das na fase 3.

Solução:

a) 1

'100 w

Fig. 177

Estamos em presença de uma montagem em estrela equilibrada.

- Potências por fase:

P : 4.100 : 400 W

- Correntes nas linhas (ou nas fases):

tr : tz - ts : --E- : g : 1,82 Au, 22O

v5 u.

-g-\,6

30

Vs

N

3

2

d)

b) lN : 0 dado que i, : iz: ig

c)ESCALAS:1cm<>55V

1cm<>14

SISTEMASTRIFASICOS 147

'''. >i ','>.tn : \l i + i.tt,,.11.. "+.çr<

,' ?:! .,' r 1i;'- ;., '' 3^ -n "í.7' - ""' ' - ì

"'t,b)- l--rí :n ì{ê

Assim teremosa seguinte distribuição de cargas:

Fase 1: Pr : 3'100 : 300 WFase 2: Pr: 4 '100 : 400 WFase 3: Pg : 1 '100 : 100 W

- Correntes nas Íases, U9

. P. 300t.:'' u, 220

: 1,82 A

: 0,45 A

t'tti

,II

lz:

la:

_tz_ _ 400u2 220

P" 100

u3 22O

ï

A corrente I'u no Íio neutrodetermina-se graficamente (Íig. 179).

ESCALA: 1cm<>0,54

iru:i,+i2+i3

(tem o comprimento de 2,4 cma que corresponde lx = 1,2 A

3 - Numa instalação ligada à rede de 220/380 V um receptor de 22 O de resis-

tência está ligado êntre a fase 1 e o neutro, enquanto outro de 44 O está

ligado entre a fase 2 e o neutro.a) Determine as intensidades nas fases e no neutro'

b) Tendo sido cortado o fio neutro, determine a intensidade da corrente na

linha e a tensão aos terminais de cada receptor'


Solução:

a) Correntes nas fases:

f,: J-: 220:1oA'R,22, u" 220f-: ---:-Z- : --- :54'Rr44

u,=22OVl

rNl trr\'\E44oJ

l2

Fig. 180

Vamos determinar lr:

ESCALA: 1cm<>2,5A

it:i,+i,

ftem o comprimento de 3,5 cm,a que corresponde lru : 8,75 A

Fig. tet

b) Ao suprimir o Íio neutro os dois receptores ficam em série e sujeitos à tensáocomposta Urz : 380 V

- Corrente na linha:

l_ u.,, _ 380 _R1+R2 22+44

- TensÕes nos receptores:

Ur, Rr.l : 22. 5,8 : 127,6 V

U*, U,, - Ur, - 380 - 126,7 : 252,4 V

O receptor da fase 1 Íica sujeito a uma tensão inÍerior enquanto o receptor dafase 2 fica com uma sobretensão podendo daniÍicar-se.

380 : 5.8 A66


ll - Para resolver:

1 - Um motor trifásico ligado em estrela é alimentado a partir de uma rede com220/380 V por meio dos três Íios de Íase.

Determine a tensáo em cada uma das fases do motor.

2 - Um fogáo eléctrico triÍásico (fig. 182) tem as seguintes potências máximas porfase: (220/380 V):

- Fase 1: forno de 2 500 W (R,).

- Fase 2. l placa dè 1000 W (Rr) e outra de 1500 W (R.).

- Fase 3: 1 placa de 2 000 W (Ro).

Fig. 182Esquema deligaÇoes num fogãoeléctrìco.

Em todas as questoes que se seguem considere que os receptores estáofuncionar à sua potência máxima.

a) Determine a intensidade da corrente que percorre cada fase.b) Determine a intensidade da corrente no neutro.c) Construa o diagrama vectorial das tensÕes e das correntes.d) Determine graÍicamente a intensidade das correntes em cada fase e no

neutro quando apenas Íuncionam o Íorno e a placa de 2 000 W.

3 - Uma habitaçáo está alimentada por 3 fases e o neutro (220/38OV). Num dadomomento apenas estão ligados dois receptores, um em cada fase: um irra-diador com a potência de 1 500 W (220V) e uma televisáo consumindo 220W.

a) Determine as intensidades das correntes nas Íases e no neutro.b) Construa o diagrama vectorial das tensÕes e das correntes.c) Tendo-se cortado o Íio neutro calcule a intensidade da corrente nas

linhas e as tensÕes nos receptores.d) Tire conclusoes.

RSTNT

t-.-.-.-. -. -.-. -.-.-.-. J


2.2- Ligação em triângulo:

Nesta ligação os receptores sáo ligados uns a seguir aos outros sendo os pontos

comuns ligqdos aos fios de fase (fig. 185).

2.2"1 - Triângulo equilibrado:

1.'_ EXPERIÊNCIA:

Considere-se a montagem da figura seguinte em que temos em cada Íase duas

lâmpadas 200 W (220V) em série.

Fig. 183Triângulo equilibrado.


- Correntes nos receptores ou correntes nas fases:

l.,z : lzs - lgr : 0,92 A

- Correntes na linha:

l, : lz : ls : 1,6 A

VeriÍica-se que as intensidades das correntes nas linhas sáo 1.''ívezes maiselevadas que as correntes nas fases:

Esta relação só se verifica quando a montagem é simétrica (carga equilibrada).


2.O _ CASO GERAL:

No caso geral cada receptor está sujeito a uma tensáo composta. Pode determinar--se a intensidade em cada fase dividindo a tensáo composta pela impedância res-peotiva, pois que oS receptores funcionam independentemente uns dos outros.

As intensidades das correntes nas linhas determinam-se a partir da relaçáoanteriormente referida.

Fig. 184 - Ligaçoes em triângulo.

Para a construção do diagrama vectorial traçam-se os vectores das tensÕes

compostas e seguidamente os vectores das correntes nas Íases atendendo aosseus desÍasamentos (fig. 187).

Os vectores das correntes nas linhas determinam-se de acordo com a Lei dosNós. De acordo com os sentidos indicados na fig. 184 temos que:

RST

li, + i., : i,,Nó1

Ill, : 1,, - 1.,

li, + irr: ir"Nó2 I Ntos

li,: i", - i,, l'.:"_,::

Fig. 185Diagramavectorial das tensoese das correntes.

Os Alternadores também podem ter as suas fases ligadas em triângulo. A maiorparte dos motores trifásicos têm as suas bobinas ligadas em triângulo,


2.2.2 - Triângulo desequilibrado:

1.'- EXPERIÊNCIA:

Consideremos a montagem da fig. 183 constituída pelos seguintes componentes

Fase 1: 2làmpadas de 200 W em série.Fase 2: 2 lâmpadas de 200 W em série.Fase 3: 2 lâmpadas de 100 W em série.


-.Conentes nas Íases;lrz : 0,92 Alzg : 0,92 Algr : 0,46 A

lr:1,2Alz:1,6Als:1'2A- Correntes nas linhas:

Agora a relação entre as correntes nas linhas e as correntes nas Íases varia defase para fase. Como é de esperar verifica-se uma assimetria nas intensidades dascorrentes.

ESCALAS: 1cm<>0,5A1cm<>66.66V

2.'_CASO GERAL:

A intensidade em cada fase determina-sepelo quociente da respectiva tensão com-posta pela impedância.

As intensidades das correntes nas li-nhas determinam-se graficamente aplican-do a Lei dos Nós.

Na fig. 186 temos o diagrama vectorialcorrespondente à montagem da experiên-cia anterior.

Se cortarmos um dos fios de fase nãohá perturbação no Íuncionamento dos re-ceptores que ficam alimentados.

Concluímos que nas montagens emestrela com neutro ou em triângulo osreceptores monoÍásicos Íuncionam in-dependentemente uns dos outros.

: lt2 * l3r

: izs - ir": isr - izs

l2

Fig. 186 - Determìnação gráficadas correntes nas linhas: lr, l, e I..


2.2.3 - Problemas:

l- Com solução:

1 - A uma rede de 22Ol38O V ligam-se em triângulo três receptores idênticos coma impedância de 95 Q e cos g : 0,7 indutivo.

a) Calcule a corrente em cada receptor e o seu desÍasamento com a ten-são correspondente.

b) Determine a corrente nas linhas.c) Construa o diagrama vectorial das tensões e das correntes.

Solução:

a):95ít

Correntes em cada fase ou receptor tf = O,7 inO'

lr: I,z:leg:lsr, u. 390l. - -u'295 Fig. 187

Desfasamento:

cosQ:0,7ind-q:b) Correntes nas linhas:

t,:tz:'._ifr,.,o

6,93 A

c) Pela lei dos Nós é:

r1-t12-t31i-i_it2 - 123 t12

l-r13 - r31 t23

ESCALAS:1cm<>Z5V1cm<>2A

l1

154 ELECTROTECNÍA CORRENTE ALTERNADA

2 - Numa montagem em triângulo ligada à rede de?2l/MV temos três recepto-res óhmicos de 380 O, 190 O e 100 O.

a) Determine as correntes nos receptores.b) Construa o diagrama vectorial das tensões e das correntes.c) Determine a intensidade das correntes nas linhas.

Solução:

a) l.^ : -U*2,,,

_ 380380

ESCALAS: 1cm<>75V'l cm<>14

c) Os comprimentos dos vectores2,65 cm e 5,15 cm. Assim temos:.

It:4,44lz : 2,65 Al. : 5,15 A

:380n

Fig. 189

U,,

Fig. 19O

t." : -UrL :4r

1". = Utt -

2",

=14

380 _2A190

380 : s.s a100

b)

ir: ir, - i.t

i2:i2s-i,

i.:i.,-ir.

ilÌ r,-'" Ç sáo

t,

ft",\l"s

respectivamente 4,4 cm,


ll - Para resolver:

1 - Um motor trifásico tem as suas bobinas ligadas em triângulo à rede de22Ol38O V. Num dado momento do seu funcionamento a impedância de cadafase é de 100 O e com cos q : 0,6 indutivo.

a) Determine a corrente em cada fase do motor e o seu desÍasamento emrelação à tensão correspondente.

b) Determine a intensidade das correntes nas linhas.c) Construa o diagrama vectorial das tensóes e das correntes.

2 - Três receptores com a resistência de 100 O, 150 O e 200 O estáo ligados emtriângulo à rede de 2201380 Y.

a) Determine a intensidade das correntes nos receptores.b) Construa o diagrama vectorial das tensÕes e das correntes.c) Determine as correntes nas linhas.d) Resolva as alíneas anteriores para o caso de o receptor de 150 O estar

desligado.

VANTAGENS . I

DOS SISTEMAS TRIFASICOS:

Apresentam-se seguidamente algumas das vantagens dos sistemas triÍásicos emrelação aos monofásicos:

1.o - Considerando dois Alternadores, um monoÍásico e outro trifásico, de igualvolume e preço, o segundo tem uma potência superior em 50% aproxi-madamente em relação ao primeiro. Tal deve-se ao facto de haver ummaior aproveitamento da periferia do estator, isto e, há mais bobinas quesáo sede de forças electromotrizes induzidas.

2." - Para transportar uma dada quantidade de energia bastam três fios emtrifásico, enquanto em monofásico seria necessário seis fios de igual sec-

ção ou dois com secção tripla.

3.o - O sistema trifásico permite a utilização dos motores assíncronos trifásicosque são aparelhos simples, robustos e económicos.

l156 ELECTROTECNIA CORRENTE ALTERNADA

POTÊNCIADOS SISTEMAS TRIFÁSICOS

4.1 - Cálculo:

1.'_CASO GERAL:

Quer a carga seja equilibrada ou náo calculam-se as potências consumidas emcada Íase e somam-se.

Assim somam-se as potências activas aritmeticamente:

As potências reactivas somam-se algebricamente:

No caso de sistemas equilibrados pode utilizar-se uma Íórmula que seguida-mente se apresenta.

2.O - ESTRELA EQUILIBRADA, COM OU SEM NEUTRO:

Tendo todos os receptores a mesma impedância Z, o mesmo cos e e estandosujeitos à mesma tensão U., são percorridos por correntes com a mesma intensi-dade l, pelo que as potências são iguais:

P,:P.-Ps:U.l cosg

A potência total é:

P:Pr+Pr+Ps:3U.lcosg

Substituindo U, por

U"emVI emAP emW

Repare-se que I designa a corrente na Íase que neste caso é igual à correntena linha.

_Ul_\6-

I

Ih.--___ _ _ I

SISTEMASTRIFASICOS 157

3.O - TRIÂNGULO EQUILIBRADO:

Os receptores com idêntica impedância e cos e estão agora sujeitos à tensãocomposta U" sendo percorridos por cgrrentes com a mesma intensidade. Assim aspotências por Íase são iguais:

P,:Pr-Ps:U"l,cos<p

I, designa a corrente na Íase, ou seja, no receptor.A potência total é:

P:3U"1'costP

Mas como l, : -l^-t' é a corrente na linha) Íica.v3'

P:3U" !coso"Vs

U"emVlemAPemW

Como se vê, esta fórmula serve para os dois tipos de montagem referidos re-presentando I sempre a corrente na linha.

4.O - POTÊNCIAS APARENTE E REACTIVA:

Analogamente temos para a potência aparente

U" enr VlemAS emVA

U.emVlemAO em VAr

A potência reactiva é dada por:


4.2- Medida de potências:

1." _ CIRCUITO EQUILIBRADO:

Pode medir-se a potência numa das Íases e multiplicá-la pelo Íactor três.

2.O _ CIRCUITO DESEQUILIBRADO:

Pode medir-se as três potências que seguidamente se somam. Utilizam-se tam-bém Wattímetros trifásicos.

3.O - MÉTODO DOS DoIS WATríMETRoS:

a) Descriçáo:

A potência num sistema trifásico sem neutro, equilibrado ou não, pode ser medidapor meio de dois Wattímetros. Estes são ligados em duas fases. As bobinas vol-timétricas são ligadas entre essas fases e a restante (Íig. 191).

Fig. 191 - Método dosdois wattímetros.

b) lnterpretação das leituras:.2

l- Caso geral:

Três situaçoes podem ocorrer: 3

1 - Os ponteiros dos dois wattímetros desviam-se no sentido das escalas. Entáo apotência total é dada por:

P:P,+P,

2 - Os dois ponteiros deslocam-se para fora da escala. lnvertem-se as ligaçÕesdas bobinas amperimétricas. Entáo os ponteiros deslocar-se-ão no sentido daescala e a potência será dada por:

p:p,+p,

3 - Um dos ponteiros desvia-se para fora da escala. Trocam-se as ligações dabobina amperimétrica e a potência é dada pelo modulo da diferença das po-tências indicadas:

P:lP,-Prl:lPr-P,l


ll - Sistemas equilibrados:

Quando as cargas estão equilibradas podemos tirar Íacilmente algumas conclusoesimportantes com base nas indicaçoes dos dois wattímetros. Assim se:

1 - Pr : Pr, as cargas sáo resistivas puras: g : 0", cos e : 1.

2-P, + Pr, as cargas são indutivas com q < 60', cos <p > 0,5.

3 - Pr ou P2 : 0, as cargas são indutivas com g : 60o, cos rp : 9,5.

4 - P, ou P, < 0, temos cargas indutivas com q > 60o, cos g < 0,5, sendoneste caso a potência trifásica dada pelo modulo da diferença:

e :ln' - e'l

Com os valores indicados pelos dois aparelhos é ainda possÍvel calcular osseguintes valores:

- O ângulo de desfasamento g a partir do cos rp.

- A potência reactiva. Q : t,3 (P, - Pr)

4.3 - Problemas:

| - Com solução.

1 - Os elementos aquecedores de um forno ligados em triângulo absorvem umacorrente de 20 A na linha. Determine:

a) A potência do forno sabendo que a tensão da rede é 22Ol3gO V.b) A intensidade que percorre cada resistência.

Solução:

a) P=1,5U"lcos<pP : v6.380.20. 1 : 13 163 w- 13,2 kw

b) ":+:#:11,5A


2 - Um motor trifásico tem as seguintes características nominais indicadas nachapa:

- Potência útil - 15 Cv

- Tensão - 380 V

- Factor de potência - 0,75

- lntensidade na linha - 24 A

Determine o rendimento do motor.

Solução:

Potência absoruida.

P, : 16 U" lcos a : Vã.380.24.0,75P" : 11 880 W : 11,88 kW

Rendimento

n: &:15'0'735-0.93' P" 11,99

4:93%

3 - Uma instalação de iluminaçáo é constituída por 50 lâmpadas fluorescentes de65 W, cos q : 0,5, igualmente distribuídas pelas três Íases. Cada balastroconsome 13 W.

Determine a intensidade da corrente na linha quando todas as lâmpadasestão acesas, sabendo que a tensáo de alimentação é 220/380 V.

Soluçáo:

Potência por lâmpada:

PL:65+13:78W

Potência total:

P:50.P1:50.78:3900W

Corrente na linha:

t: _ P _ 3900 :11.8AV3 U. cos e V3 .380 0,5

4 - Três resistências de 22 O estáo ligadas a uma rede triÍásica de 220/380 Y.Calcule a potência absorvida quando estão ligadas em estrela e em triângulo.


Solução:

lttLigaçâo em estrela:

Tensáo por resistência (por fase):

u.: -u-. : !q :22oY'v3V3

lntensidade em cada resistência:

,_ u 220r+_ ___ _ -

10A'R22Fig. 192

lntensidade na linha:

l:lr:10A

Potência total:

P : V3 u.l cos <p : V3 . 380 . 10. 1

Ligaçáo em triângulo:

Tensão por resistência:

Uc:380V

lntensidade por Íase:

t. : -%- : lsg : fl.27 AR22

lntensidade na linha:

: 6600 W : 6,6 kW

Fig. 193

| : r,6 t, : f5.tz,zz : 2e,e A

Potência total absorvida:

P:V3U.l cosg

P : Vã 380.29,9. 1 : 19794w : 19,734 kw

Concluímos que na ligação em triângulo a potência absorvida é 3 vezes maiorque em estrela.


ll- Para resolver:

1 - Um motor trifásico é alimentado pela rede de 220/g8O V fornecendo a potênciade 20 kW com um rendimento de 75o/o e cos rp = 0,8b. Determine:

a) A potência activa, reactiva e aparente do motor.b) A corrente na linha.c) A corrente em cada fase sabendo que está ligado em triângulo.

2 - Numa instalação fabril alimentada peta rede de 220l3g0 V osQuadro Geral indicam os seguintes valores:

- Voltímetro ligado entre duas fases: U : 3gO V.

- Amperímetro intercalado numa fase: I : j10 A.

- Wattímetro trifásico: p : Sg kW.

aparelhos do

Determine:

a) o factor de potência da instalação sabendo que as cargas estáo equi-libradas.

b) O consumo ao fim de 8 horas de funcionamento.

3 - Um alternador trifásico, ligado em triângulo, gera tensoes compostas de 400 V.A intensidade máxima admissível pelas bobinas é de 30 A. Determine:

a) A potência aparente do alternador.b) A potência máxima do alternador alimentando receptores puramente re-

sistivos.c) A potência máxima que pode fornecer a uma instalação com cos rp :: 0,7.

4 - Uma linha trifásica com 20 km é constituída por condutores de alumínio de100 mm2 de secçào e transporta uma potência aparente de10 MVA a umatensão de 30 kV (50H2). Determine as perdas por efeito de Joule na linhaà temperatura de 20.C.

Po' (20"C) : 0,029 O .mm2/m


4.4 - Método de Boucherot:

1.O _ EXEMPLO:

Nos sistemas triÍásicos este método emprega-se tal como nos sistemas monoÍá-

sicos.Assim consideremos o seguinte exemplo.Temos dois motores triÍásicos M, e M, ligados à rede de 220/380 v (50H2). As

potências absorvidas sáo:

Pr:10kW;cosgr:0,8Pz: 4 kW ; cos <P, : 0,7

Pretende-se determinar a corrente total na linha de alimentação e o factor depotência global.

Sendo as bobinas dos motores idênticas, estes estão sempre equilibrados(salvo avaria) náo interessando se o motor está ligado em estrela ou em triângulopara os cálculos que se vão efectuar.

cos 92 : 0,7 --- t9 Qz : 1,02

cos tp1 : 0,8 --' t9 Qr : 0,75 i

P (kw) O (kVAr)

M1

M2

'10

4

7,50

4,08

Total 14 11,58

s: V ptTõe :\,le77g -V1e6 + 134 :V330: 18,2 kvA

Como S:Vã'U"t vem:

r : _j_ : lg?99 : 18_?90 :27,6 A' V3 Uc V3.380 660

P 14 : o.77cosq: s : ra,z


2.O - PROBLEMAS:

ll - Para resolver:

1 - Uma instalação trifásica alimentada pelas tensões 220/380 V é constituída por:

- um motor trifásico com a potência útil de 'ls kw, o rendimento de g5%ecosQ:o'75'50 lâmpadas (de incandescência) de 100 W e igualmente distribuídaspelas três Íases.

Determine:

a) A corrente na linha de alimentaçáo do motor.b) A corrente total na linha quando estáo todos os aparelhos em Íuncio-

namento.c) O factor de potência globat na situação da atínea b).

2 - Uma instalação eléctrica alimentada a 22Ol38O V é constituída por dois moto-res M, e M, com as seguintes características:

Pr : 15 kW ; cos e, : 0,7 i n,: 85o/o

Pz: 25 kW ; cos gz: 0,77 ì n,: 90o/o

Determine a corrente na linha quando cada um dos motores funcionasó.calcule a corrente na linha quando os dois motores funcionam simulta-neamente.Determine o factor de potência global na situação da alínea b).

a)

b)

c)

SISTEMA TRIFASICO 165

4.5 - Compensação do factor de potência:

1." _ EXEMPLO:

O cálculo da capacidade dos condensadores é análogo ao efectuado para o casode alimentação monoÍásica.

os condensadores são ligados em triângulo a maior parte das vezes (Íig. 194).

R

s

T

Fig. 194Ligaçãodos condensadoresem triângulo.

Consideremos o seguinte exemplo.Pretende-se determinar a capacidade de cada um dos três condensadores,

montados em triângulo, necessários para elevar para o,g o Íactor de potência deum motor absorvendo a potência de 4 kW com um cos q :0,7.

Solução:

cosQ:0,8-tg9:0,75cos (p : 0,7 --- tg (p : 1,02

Potências reactivas:

- antes da compensação: Q: Ptg e :4.1,02:4,O8 kVAr:4080 VAr

- depois da compensação: Q' : 4.0,75 : 3 kVAr : 3 000 VAr

Os condensadores têm de fornecer a potência:

Qgc: O - O' :4080 - 3000: 1080 vAr

Cada condensador fornecerá:

e": Q." - 1o8o:36ovAr" 3 3 -----'-

A capacidade de cada condensador será:

c - -q- : --t%o,.-: o,ooo oo7 e F : 7,e l.rFU2rrl 38G.


2.O _ PROBLEMAS:

ll- Para resolver:

1 --= Um motor triÍásico com a potência útil de 30 kW tem um rendimento de 85%e um cos g : 0,75 Íuncionando ligado a uma rede de 220/380 V (50H2).Determine:

a) As potências activa, reactiva e aparente do motor.b) Calcule a corrente nas linhas.c) A capacidade de cada um dos três condensadores que ligados em

triângulo elevam o factor de potência para 0,9.d) O 6ovo valor da corrente na linha.

2 - Numa instalação fabril alimentada trifasicamente pela rede de 2201380 V te-mos 16 motores triÍásicos e 100 lâmpadas Íluorescentes igualmente distri-buídas pelas 3 fases. As características dos aparelhos sáo as seguintes:

- 10 motores consomem cada um 5 kW com um cos q : 0,7.

- 6 motores consomem individualmente 7,5 kW com um cos q : 0,74.

- 80 lâmpadas consomem 78 W e outras consomem 51 W com umcos Q : 0,5. As potências já incluem o consumo dos balastros.

Determine:

a) As potências activas e reactivas quando todos os aparelhos estáo em :

funcionamento.b) A corrente na linha e o factor de potência global.c) A capacidade de cada um dos 3 condensadores que se devem ligar em

triângulo para elevar o factor de potência para 0,92.d) O novo valor da corrente na linha.

FUNCÓES TRIGoNoMETRIcAS NATURAIS

Ângulo Ângulo

Graus Radianos seno co-seno Tangente I Graus Radianos seno co-seno Tangente

00

10

20

304"50

60

7o

80

90

100

11012"130140150

16017018"'l go

20"

21"22"23024025"

26"27028"29030"

31032"33'34"350

36037"38039"40"

41"42"43"44"45"

0,000 0,000 1,000 0,000o,o17 0,017 1 ,000 0,0170,035 0,035 0,999 0,0350,052 0,052 0,999 0,0520,070 0,070 0,998 0,0700,087 0,087 0,996 0,088

0,105 0,104 0,994 0,105o,122 0,122 0,992 0,1230,140 0,139 0,990 0,1400,157 0,156 0,988 0,1580,174 0,174 0,985 0,176

0,192 0,1 91 0,982 0,1 940,209 0,208 , 0,978 0,2120,227 0,225 0,974 0,2310,244 0,242 0,970 0,2490,262 0,259 0,966 0,268

0,279 0,276 0,961 0,2870,297 0,292 0,956 0,3060,3't4 0,309 0,951 0,3250,332 0,326 0,946 0,3440,349 0,342 0,940 0,364

0,366 0,358 0,934 0,3840,384 0,375 0,927 0,4040,401 0,391 0,920 0,4240,419 0,407 0,914 0,4450,436 0,423 0,906 0,466

0,454 0,438 0,899 0,4880,471 0,454 0,891 0,5100,489 0,470 0,883 0,5320,506 0,485 0,87s 0,5540,524 0,500 0,866 0,577

0,541 0,515 0,857 0,6010,558 0,530 0,848 0,6250,576 0,545 0,839 0,6490,593 0,559 0,829 0,6740,611 0,574 0,819 0,700

0,628 0,588 0,809 0,7260,646 0,602 0,799 0,7540,663 0,616 0,788 0,7810,681 0,629 0,777 0,8100,698 0,643 0,766 0,839

0,716 0,656 0,755 0,8690,733 0,669 0,743 0,9000,750 0,682 0,731 0,9320,768 0,695 0,719 0,9660,785 0,707 0.707 1,000

0,803 0,719 0,695 1 ,0360,820 0,731 0,682 1,O720,838 0,743 0,669 1,1110,855 0,755 0,656 1,1500,873 0,766 0,643 1,192

0,890 0,777 0,629 1,2350,908 0,788 0,616 1 ,2800,925 0,799 0,602 1,3270,942 0,809 0,588 1,3760,960 0,819 0,574 1 ,428

0,977 0,829 0,559 1,4830,995 0,839 0,545 1,5401,012 0,848 0,530 1,6001 ,030 0,857 0,515 1 ,6641,O47 0,866 0,500 1,732

1,065 0,875 0,485 1,8041,O82 0,883 0,470 1,8811 ,1 00 0,891 0,454 1 ,9631,117 0,899 0,438 2,0501,134 0,906 0,423 2,144

1,152 0,914 0,407 2,2461 ,1 69 0,920 0,391 2,3561,187 0,927 0,375 2,4751,204 0,934 0,358 2,6051,222 0,940 0,342 2,748

1,239 0,946 0,326 2,9041,257 0,951 0,309 3,0781,274 0,956 0,292 3,2711,292 0,961 0,276 3,4871,309 0,966 0,259 3,732

1,326 0,970 0,242 4,0111,344 0,974 0,225 4,3321,361 0,978 0,208 4,7051,379 0,982 0,191 5,1451,396 0,985 0,174 5,671

1,414 0,988 0,156 6,3141 ,431 0,990 0,1 39 7,1 551,449 0,992 0,122 8,1441,466 0,994 0,'t04 9,5141,484 0,996 ' 0,087 11,430

1,501 0,998 0,070 14,3011 ,518 0,999 0,052 19,0811,536 0,999 0,035 28,6361 ,553 1 ,000 0,018 57,2901.571 1,000 0,000 -

46047"48"49"500

51052"530

54"550

56057"580590600

61062063064"650

66067"68069070"

71"72"73074"75"

76077"79"79"900

81082"930

84"850

86087"ggo

890900

soLUçÕES DOS PROBLEMAS

ll-Pás.21:1_ 311 Ve 537Y;2-104; 3 -l7g,6V; 4-54.Pág.28:1-a)u1 :6y'2sen(100n t *Oo , eü2:8\fzsen(100t 1---4-, )

c) u : 6,7 V2 sen (100 n t - -ff)d) u, - uz : ll,2 {2 sen (100 n t * Á2 ) e u, - u, : 1 1.2 rf2 sen ( 100 n t - J!-, )

2 - b) i : y'2 .en 100 n t; c) r, - i, : 9 {2 sen 100 n tPág. 32: a) u, : 3 y'2 sen (100n t + +-)e u2 : 5 y'2 sen (1(Xì n t * L2 )

b) u, : 3rl2 sen (100 n t - oo ) e u2 : 5 y'2 sen (100 'n t - T )

c) u, : 3 y'2 sen (100 n t + --a-2 )e u2 : 5 y'2 sen (100 n t * n)

d) u, : 3y'2 sen (100 n t * n) e uz : Sr[Z sen 100 n te) u, : 3 y'2 sen (100n t + +) eu, : $ ú2 sen(100 r t * L, )

lU - Pág. 39: I -9,42kQ; 2 - 756H2: 3 - 19,9 mH; 4 -9kA.Pâ9.42:1-0,7 A; 2 -87,6H2; 3 -22Y.P,ás.58:1- a)0,46 A;b)4,7 mA.; 2 - a) 80V; c) 0,8; 3 -198,4H2;4 - a) 9 Q e 12 Q; b) 45V e 60V; d) Indutivo; e) 300 VAr e 0,6;

5 - 1,4 H e 87 mH; 6 - a) 3,7 L; b) 68,8 V e 41,4 V; c) 0,54; d) 220W, 343 VAr e,107 VA.

Pâs. 59: 7 - 558 V; 8 - 0,59 H; 9 - 1,39 H.

Pág. 63: I - 13 pF: 2 - 0,44 nC; 3 - 400 V.

Pág. 68: 1 -531 pF; 2 - 160pF; 3 - 15 cm2; 4 - 1,77 pn.Prâg. 71: 1 - a)7I,4pF;b)7l,4nC;c)570V,286Ye143Y: 2-200nF;3 _ 8;4- 1,67nF.

Pá9. 73: 1 - a) 15pF; b) 7,5 mC; c) 2,5 mC e5 mC; 2 - 8nF; 3 - 7; 4 - 4000pF.

P,âs. 75: I - 4 yF; 2 - 10pF.

P,ótg. 76: l0 mJ.Pâg.80:1-320 ae0,64a: 2-a)159,2 A; b) 1,38 A; 3 - 13,8pF.Póg. 90: 1 - a) 100 A; b) 60 Q e 53,1 p F; c) 120 V; d) 0,8 e 320 W; e) 320 Wh.

2 - a) 60 V e 80 V; c) Capacitivo; d) 30 W, 50 VA e *40 VAr; e) 0,6; f) 0.3 - a) 14, 150 V e 200 V; b) 250 V; c) 0,8; d) 250 VA e -150 VAr.

Pág. 97:1 - a) 0,5 A; b) 120 V, 150 V e 60 V; d) Indutivo; e) 0,8, 75 VA, 60 W e 45 VAr;2 - a) 30 Q,6 Q e 30 A; c) Capacitivo; d) 120 VA e -96 VAr; e) 0,6;3 - a) 10 Qe 2A; b) 20 V, 200 V e 200 V; d) Resistivo puro; e) 40 VA, 40W e 0 VAr; f) 1.

Pág. 103: I - a) 2,06 A; b) 33,8 p F; c) 414,5 V; d) 968 W, 0 VAr e 968 VA;2 - a) 20 mH; b) 3,17 nF.

Pâs. 109: I - a) 2,4 A,0,12 4,0,48 Ae2,43 A;b) 49,4 Q; d) Capacitivo; e) 0,99;D 291,6 VA, 288,7 W e -42,8YAr; 2 - a) 18 Q; b) 30 Q e 45 a; c) 12 A; d) 1080 W;e) -1440 VAr e 0,6.

Pós. 110: 3 - a) 0,22 A e 0,002 A; b) 1000 Q; c) 48,4 W, -0,4 VAr e 48,4 VA.

Pás. 112: I - a) 63 pF; b) 1,8 mA; c) 0 VAr; d) Resistivo puro.

Pág. 118: 1 - a) 252 Ae 142,44; b) 393,6 A, c) 0,69; 2 - a) 30,08 kV; b) 0,8;3 - a) 267,4

^;b) 23,6 A; c) 290,4 A; d) 0,69; e) 224,1 p F; fl 1625,3 p F.

lY -Pás. 129:1- a)104,5A;b)521,8pF;c)85,2A'; 2-a)Bl,2A;b)153,44; c)394,8;rF;3 - a) 0,6; b) 317,2 p F.

Y - Pôs. 149: I - 220Y; 2 - a) 11,4 A, ll,4 Ae 9,1 A; b) 2,3 A; c) lt,4 A,9,1A e 10,4 A;3 - a) 6,82 A, 1A e 6,38 A; c) 1,5 A, 48,6 V e 331,4V.

P'áe. 155: 1 - a) 3,8 A e *53,10; b) 6,6 A;2 - a) 3,8 A,2,5 Ae 1,9 A; c) 5 A, 5,5 Ae3,8 A; d) 5 A, 3,8Ae 1,9 A.

Pág. 162: 1- a)26,67kw, 16,53kVAre3l,38kVA;b)47,5A;c)27,4A 2_ a)0,8;b)464kWh;3 - a) 36 kVA; b) 36 kW; c) 25,2 kW; 4 - 0,65 MW.

Pág. 164: 1 - a) 35,7 A; b) 41,6 A; c) 0,82; 2 - a) 38,2 A e 54,7 A; b) 92,8 A; c) 0,74.

Pág. 166: 1 - a) 35,3 kW, 31 kYAr e 47 kVA; b) 71,2A.; c) 103,7 p F; d) 59,4 À;2 - a) 102,26kw, 104,1kVAre 146 kVA; b) 221,2 AeO,7; c) 441,8 p F; d) 168,4 A.

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