Elementos de Aeroacustica

Ano Lectivo 2006/07

F. J. P. Lau

2 de Marco de 2007

Conteudo

1 Ondas Sonoras 1-11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-11.2 Medidas subjectivas do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-31.3 Equacoes de Conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-41.4 Velocidade da Perturbacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-71.5 Determinacao da velocidade do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-71.6 Estudo energetico da Perturbacao acustica

Uni-Dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-8

2 Ondas Tri-Dimensionais 2-12.1 Onda Plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-32.2 Onda Esferica centrada na Origem do Referencial . . . . . . . . . . 2-32.3 Som gerado por Bolha a pulsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-62.4 Som gerado por Esfera a vibrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-82.5 Ondas Bi-Dimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-10

3 Ondas em Tubeiras 3-13.1 Tubeiras de Seccao Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-33.2 Tubeiras de Seccao Variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3-4

4 Superfıcies de Descontinuidade 4-14.1 Propagacao do Som pelas Paredes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-24.2 Ondas Oblıquas numa Superfıcie Flexıvel . . . . . . . . . . . . . . . 4-34.3 Refraccao do Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-4

4.3.1 Ondas Evanescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5

5 Teoria dos Raios Sonoros 5-15.1 Lei de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-45.2 Propagacao do Som na Agua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-55.3 Propagacao do Som na Atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-8

6 Camaras de Reverberacao 6-16.1 Tubos de Orgao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-1

6.1.1 Tubo de Rijke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-26.2 Ressoador de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-26.3 Acustica de Edifıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-4

6.3.1 Tempo de Reverberacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6-6

1

7 Som Aerodinamico 7-17.1 Fontes Sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-17.2 Distribuicao de fontes monopolares e dipolares . . . . . . . . . . . . 7-47.3 Monopolo e Dipolos pontuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-57.4 Exemplos de Fontes Acusticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-6

7.4.1 Ruıdo de combustao (Combustion Noise) . . . . . . . . . . . 7-77.4.2 Geracao de som por“criacao linear”de materia ou por forcas

externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-87.5 Som Aerodinamico: Analogia Acustica de Lighthill . . . . . . . . . 7-9

7.5.1 Ruıdo de Jacto (Jet Noise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-117.6 O Som de corpos no escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7-13

8 O Campo Sonoro de Fontes em Movimento 8-18.1 Frequencia do Som Ouvido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-3

8.1.1 Solucao exacta de τ ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-48.2 Coordenadas do Emissor e do Receptor . . . . . . . . . . . . . . . . 8-48.3 Fonte Supersonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-5

8.3.1 Campo sonoro de uma fonte pontual em movimento:adicao pontual de massa e/ou forca pontual . . . . . . . . . 8-5

Bibliografia 8-7

A Simplificacao de I0(s) 1-1

2

Lista de Figuras

1-1 Escala dBA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-45-1 Variacao das Propriedades do Oceano Atlantico Sul com a profundi-

dade: Temperatura (azul), Salinidade (verde) e Pressao (vermelho)1. 5-65-2 Oceano Atlantico Sul: correccao a velocidade do som (esquerda) de-

vido a variacao da Temperatura (azul), Salinidade (verde) e Pressao(vermelho); Variacao da velocidade do som (direita) com a profun-didade1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-7

5-3 Influencias da atmosfera na propagacao do som2. . . . . . . . . . . . 5-95-4 Altitude geometrica vs. temperatura, pressao, densidade e veloci-

dade do som3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5-10

Lista de Tabelas

1-1 Nıveis de ruıdo (dB) de varios aparelhos e situacoes do meio urbano. 1-3

3

1 Ondas Sonoras

1.1 Introducao

A investigacao em Acustica foi desenvolvida inicialmente por Helmholtz e Ray-leigh no seculo XIX, embora a Acustica musical tenha sido estudada muito antes,desde os gregos. Se bem que tenha havido um estudo aprofundado em temastao variados como as vibracoes de cordas ou orgaos de musica, os sons analisadoseram quase sempre agradaveis ao ouvido. Ja no seculo XX, Gutin, Lighthill, e maistarde Ffowcs-Williams e Hawkings (entre tantos outros) investigaram problemasem Acustica tendo como objectivo a reducao de sons desagradaveis – o ruıdo.

Com o advento de novos estilos de vida, em que maquinas geradoras de ruıdose encontram por toda a parte (computadores com as suas ventoinhas, sistemas deventilacao central, trafego nas cidades e aeroportos, para nomear apenas algunsdos ruıdos que nos rodeiam diariamente), o estudo do ruıdo tornou-se o campode maior interesse, tanto para a industria como para o meio academico. Emborao campo de estudo da Acustica abranja as altas (ultrasons) e baixas frequencias(infrasons), assim como o estudo de vibracoes estruturais, o ambito desta cadeiradiz respeito a propagacao de ondas acusticas em meios contınuos, como a Atmosferae os Oceanos; neste caso, a Acustica pode ser considerada um ramo da Mecanicade Fluidos.

A propagacao de ondas sonoras corresponde a compressoes e/ou rarefaccoes naoestacionarias do meio. O ruıdo, definido como som detectado pelo ouvido humano,apresenta uma gama de variacao dos 20 Hz aos 20 KHz, sendo o ouvido humanomais sensıvel a sons emitidos nas frequencias compreendidas entre 1 kHz e 5 kHz.Se a gama e extensa ao nıvel das frequencias, e ainda maior quando se trata dapotencia: uma pessoa a falar produz sons com uma potencia de 10−5 watt; ja umaviao ao aterrar pode facilmente causar ruıdos urbanos na gama dos 105 watt. Paralidar com tal gama de valores, criou-se uma unidade logarıtmica para o Nıvel dePressao Sonora (Sound Pressure Level – SPL) : o bel, trabalhando-se em decimasde bel: decibel (dB):

SPL (em dB) = 10 log

(p2

p2ref

)= 20 log

(p

pref

)(1-1)

Convencionou-se um valor de pressao de referencia, que representa limite de audi-cao humana para um som com 1000 Hz de frequencia: pref = 2 × 10−5N/m2. Aequacao (1-1) pode ser assim dada por

SPL = 20 log(p) + 94 dB (1-2)

para som a propagar-se no ar.

1-1

O som criado por instrumentos musicais ou altifalantes, o denominado ruıdoproduzido por avioes e helicopteros em voo ou por sistemas de ventilacao, saoexemplos tıpicos de geracao do som por uma superfıcie em vibracao e/ou um es-coamento. Os mecanismos de geracao do som incluem os movimentos turbulentosdum fluido, as vibracoes de estruturas e a interaccao de escoamentos com a fuse-lagem, as asas e as pas das helices de avioes. No caso especıfico dos avioes e doshelicopteros (ou de outro aparelho propulsionado por helices ou rotores), o somproduzido pelas pas em movimento domina o ruıdo das outras componentes doaparelho (asas e fuselagem), se a velocidade das pontas das pas for elevada.

O estudo do som gerado aerodinamicamente realizado nos ultimos cinquentaanos tem tido como principal objectivo reduzir o ruıdo produzido pelos avioes,por forma a torna-lo aceitavel para as pessoas que vivem nas vizinhancas dosaeroportos. Os primeiros avioes a jacto produziam um ruıdo superior em 10 a 20 dBao dos avioes a helice, quer a aterragem quer a descolagem. O mesmo nao aconteceno interior: o nıvel de ruıdo na zona de passageiros de um aviao a jacto e em geralmenor que no interior dos avioes a helice, variando com a posicao relativamenteaos helices ou motores a jacto. Ao contrario dos motores a jacto, a ausencia deum superfıcie em volta das pas leva a que o som seja emitido directamente para afuselagem. Em particular nos motores montados nas asas, a distancia a fuselagem etao pequena que ate em velocidades de voo moderadas se podem encontrar pressoestıpicas de 140 dB, na vizinhanca das pas. A comparacao entre os ruıdos criadospor avioes, helicopteros e outros meios de transporte, e ruıdos quotidianos (Tabela1.1) permite avaliar a importancia do ruıdo aeronautico na qualidade de vida doHomem moderno.

O ruıdo pode causar a fadiga de materiais, para valores acima de 150 dB, queocorrem em estruturas proximas de motores a jacto ou de foguete; por exemplo ossatelites sao certificados relativamente a fadiga acustica, que pode ocorrer duranteo lancamento. Nıveis sonoros muito mais baixos (mas acima de 60 dB) duranteperıodos prolongados podem afectar a eficiencia e a saude das pessoas que viveme trabalham nas proximidades de zonas de ruıdo intenso: complexos industriais ouareas de trafego elevado (auto-estradas ou aeroportos). Estudos medicos realizadosem populacoes residentes nas areas proximas dos aeroportos indicam que o ruıdoda descolagem dos avioes a jacto pode causar perturbacoes de saude tais comosubidas dos nıveis de pressao arterial e hormonais, associadas ao stress: intensida-des sonoras acima de 55 dB sao suficientemente elevadas para causarem irritacao,comportamento agressivo e perturbacoes no sono; uma exposicao contınua a ruı-dos de 65 dB pode causar hipertensao; e ruıdo superior a 75 dB pode levar a umaumento dos nıveis de stress e frequencia cardıaca.

As previsoes mais recentes indicam que o trafego aereo duplicara o valor actualno ano 2015. A medida que o volume de trafego aumenta, e preciso reduzir o ruıdo

1-2

Pressao Sonora (dB) Exemplo(ref. 20 µ Pa)

140 A 3 m de de um motor a jacto130 Limite de dor120 Concerto de rock110 Mota a acelerar (a 5 m)100 Martelo pneumatico (a 2 m)90 Ambiente de fabrica80 Aspirador70 Trafego urbano60 Dialogo entre duas pessoas50 Restaurante (em silencio)

40 Area residencial a noite30 Cinema vazio20 Barulho de folhas de arvore10 Respiracao humana (a 3 m)0 Limite de audicao humana

Tabela 1-1: Nıveis de ruıdo (dB) de varios aparelhos e situacoes do meio urbano.

provocado por cada descolagem e aterragem, por forma que a exposicao totalao ruıdo das populacoes residentes proximo de aeroportos nao aumente. Umaforma de tornar um aviao mais silencioso na descolagem consiste em limitar opeso (atraves da reducao do numero de passageiros ou de combustıvel), o queimplica o uso de menor potencia nos motores e menor velocidade. Contudo essasmedidas diminuem a rentabilidade dos voos (mais paragens de abastecimento emenos passageiros), o que levou os grandes construtores como a Boeing e a Airbusa competir tambem na reducao de ruıdo dos avioes. Na concepcao de um novoaviao ou helicoptero, o estudo do ruıdo produzido pelas varias pecas da fuselageme dos motores tornou-se vital para assegurar a eficiencia e viabilidade do aviao e asatisfacao das normas de certificacao.

1.2 Medidas subjectivas do Som

O ouvido humano reage de forma diferente aos sons, consoante a sua frequenciae intensidade; da mesma forma, um som contınuo pode-se tornar menos incomo-dativo do que um som intermitente ou esporadico. O nıvel de ruıdo torna-se destaforma uma medida subjectiva, que depende do ouvinte. Para medir o incomodocausado por um fenomeno acustico numa dada populacao, torna-se necessario afec-tar o nıvel de pressao sonora de um factor que tenha em conta a sensibilidade doouvido humano. Das varias escalas que foram criadas, destacam-se:

1-3

• dBA - A-weighting decibel. A escala dBA indica a percepcao que o ouvidohumano tem aos sons: frequencias abaixo dos 200 Hz tem muito menos pesodo que as restantes. Estatisticamente, a escala dBA segue a resposta emfrequencia do ouvido humano ao som (figura 1-1).

Figura 1-1: Escala dBA

• PNdB - Perceived Noise Decibel. A escala PNdB e utilizada frequentementepara medir ruıdo aeronautico, dado que entra em conta com a presenca desons intermitentes e de alta frequencia, tıpicos de uma aeronave, que sepodem tornar muito desagradaveis. Tipicamente, PndB ≈ dBA + 12 dB –16 dB.

• EPNdB - Effective Perceived Noise Decibel. A escala EPNdB representa umaevolucao da escala PNdB, onde tanto a duracao do evento como a presenca desons constituıdos por uma unica frequencia (extremamente incomodativos)sao tidos em conta.

1.3 Equacoes de Conservacao

O meio gasoso e lıquido e considerado na Mecanica dos Fluidos como um meiocontınuo, onde se pode definir um ”elemento de volume de fluido”, de dimensoesmuito superiores as das moleculas constituintes do meio, mas ainda assim inferioresas dimensoes das variaveis dos problemas considerados. O movimento do meio edescrito atraves das equacoes de conservacao de massa, momento e de energia doelemento de volume. Como os numeros de Reynolds envolvidos sao geralmentemuito elevados (da ordem de 108 para som na Atmosfera), considera-se o meiocomo invıscido.

Dado que as perturbacoes induzidas no meio por uma onda sonora sao muitopequenas, podemos considerar a presenca do campo sonoro no meio como uma

1-4

perturbacao linear. As consequencias desta aproximacao sao muito importantes evantajosas, dado que se passam a utilizar apenas aproximacoes de primeira ordemna maioria dos problemas, ou seja, o produto de duas perturbacoes e desprezado etodas as equacoes que descrevem o movimento sao lineares. Conclui-se desta formaque nao existe interaccao entre ondas sonoras distintas: os seus campos sonorossao simplesmente adicionados, para obter o campo sonoro total.

A alteracao provocada num meio em repouso (~U = 0) pela perturbacao sonorae caracterizada por perturbacoes na velocidade, pressao e densidade do meio:

Velocidade : ~ut(~x, t) = ~U + ~u(~x, t),

Pressao : pt(~x, t) = p0 + p(~x, t),

Densidade : ρt(~x, t) = ρ0 + ρ(~x, t).

Considerem-se ondas uni-dimensionais ou planas, em que u, p e ρ sao funcoesde uma unica variavel espacial

u, p, ρ = u, p, ρ(x, t).

Como a pressao nao varia em y ou z, a velocidade da perturbacao apresenta apenasuma componente em x,

~u(x, t) = (u(x, t), 0, 0). (1-3)

Para um elemento de volume de comprimento δx e dimensoes transversais (em ye z) unitarias, a diferenca entre o fluido que sai e o que entra tem de ser devida avariacao de massa

∂ρ

∂tδx = [(ρ0 + ρ)u] (x, t)− [(ρ0 + ρ)u] (x + δx, t) (1-4)

Dado que o produto das duas perturbacoes e desprezavel, ρu ≈ 0,

∂ρ

∂tδx = ρ0 [u(x, t)− u(x + δx, t)] , (1-5)

obtemos desta forma a 1a equacao constitutiva da Acustica, a Equacao da Con-servacao da Massa linearizada:

∂ρ

∂t+ ρ0

∂u

∂x= 0. (1-6)

Considerando as forcas externas aplicadas no elemento de volume e aplicandoa 2a Lei de Newton, temos a 2a equacao constitutiva, a Equacao do Momentolinearizada:

ρ0∂u

∂t= −∇p = −p(x + δx, t)− p(x, t)

δx⇔ ρ0

∂u

∂t+

∂p

∂x= 0. (1-7)

1-5

Ao diferenciar (1-6) (1-24) em ordem ao tempo e (1-7) em ordem a coordenada x,obtemos a Equacao de Onda Linearizada, que envolve as variaveis de perturbacaoρ e p:

∂2ρ/∂t2 + ρ0∂2u/∂x∂t = 0

ρ0∂2u/∂x∂t + ∂2p/∂x2 = 0

⇒ ∂2ρ

∂t2− ∂2p

∂x2= 0.

Admitindo que o processo e adiabatico (i.e. que nao existe dissipacao termica nemviscosa), a pressao pode ser considerada apenas funcao da densidade, pt ≈ pt(ρt),pelo que podemos expandir a relacao:

pt ≈ p0 + (ρt − ρ0)dp

dρt

⇒ p = pt − p0 = ρdp

dρt

. (1-8)

De um modo geral, um aumento de pressao traduz-se num aumento de densidade,dpt(ρ0)/dρt > 0, pelo que e legıtimo introduzir a definicao da Velocidade do Som,

c2 =dpt(ρ0)

dρt

, (1-9)

o que nos permite estabelecer a relacao entre a pressao e a densidade para umaonda plana, p = c2ρ, e definir a equacao de onda para uma onda plana:

∂2p

∂t2− c2 ∂2p

∂x2= 0, (1-10)

cuja solucao geral e dada pela expressao

p(x, t) = f(x− ct) + g(x + ct), (1-11)

constituida por perturbacoes que se deslocam para a direita a velocidade +c (f(x−ct)) e −c (g(x+ct)). Se admitirmos que f e g sao funcoes harmonicas de frequenciaω, temos a expressao

p(x, t) = Aeiω(t−x/c) + Beiω(t+x/c), (1-12)

onde a solucao fısica e dada pela sua parte real, como habitualmente.Neste momento, convem relembrar algumas definicoes comuns em Mecanica de

Ondas, e que serao utilizadas frequentemente:

Frequencia (rad/s): ω = 2π/T,

Comprimento de Onda (m): λ = 2πc/ω,

Numero de Onda: k = ω/c = 2π/λ,

Velocidade de Fase: c = ω/k.

1-6

Recorrendo ao numero de onda, a solucao geral para a pressao sonora de umaperturbacao acustica plana pode ser dada por

p(x, t) = Aei(ωt−kx) + Bei(ωt+kx). (1-13)

1.4 Velocidade da Perturbacao

Considere-se uma onda plana que se propaga para a direita, ou seja, no sentidopositivo do eixo x, p = f(x− ct). Da solucao da equacao de onda (1-10), temos

p = c2ρ ⇔ ρ = p/c2 = c−2f(x− ct). (1-14)

Derivando em ordem ao tempo, obtemos a expressao

∂ρ

∂t=

1

c2

∂f

∂t(x− ct) =

1

c2

∂X

∂t

df

dX(X) =

−1

c

df

dX(X), (1-15)

onde X = x − ct. Da equacao de conservacao da massa (1-6), obtemos final-mente uma expressao para a velocidade com que as moleculas do meio vibram, napassagem da onda sonora:

∂u

∂x=

1

ρ0c

df

dX(X) =

1

ρ0c

df

dx(x− ct)

∂x

∂X=

1

ρ0c

df

dx(x− ct)

⇒∫

∂u

∂xdx =

1

ρ0c

∫∂u

∂x(x− ct)dx ⇒ u(x, t) =

1

ρ0cf(x− ct) (1-16)

Podemos concluir tambem que a pressao esta relacionada com a velocidade pelaexpressao p = ρ0cu; da mesma forma, se a onda se propaga para a esquerda p =g(x + ct), temos p = −ρ0cu. A grandeza que relaciona a pressao com a velocidadeda-se o nome de Impedancia Acustica, ρ0c, sendo um indicador da resistencia queo meio oferece ao movimento, quando se aplica uma dada pressao.

1.5 Determinacao da velocidade do Som

A atmosfera terrestre pode ser considerada em 1a aproximacao como um gasideal, cuja equacao de estado e dada por

p = ρRT, (1-17)

1-7

onde T e a temperatura absoluta e R e a constante especıfica do gas (R = 286.73J/kg k para a atmosfera ao nıvel do mar). Considerando que o processo e isentro-pico, temos a relacao

p

ρν=

p0

ρν0

(1-18)

onde ν e a razao das capacidades de calor especıfico, ν = Cp/CV = 1.402 para aatmosfera. Atraves da definicao da velocidade do som (1-9), e possıvel obter umaestimativa do seu valor

c2 =dp

dρ(ρ0) = νρν−1

0

p0

ρν0

= νp0

ρ0

= νRT ⇒ c ≈ 343.m/s (1-19)

onde se considerou T = 293 K (≈ 20oC) para a temperatura a superfıcie da Terra.O valor deduzido encontra-se bastante proximo do valor experimental, o que atestaa boa precisao das aproximacoes consideradas. A dependencia da velocidade dosom na Temperatura e a responsavel pelas suas enormes variacoes na Atmosfera:a ocorrencia em dias muitos frios de temperaturas mais baixas na superfıcie do quea altas altitudes leva a que o barulho de trafego seja ouvido a maiores distanciasdo que num dia quente de verao (como sera explicado na capıtulo 5).

As previsoes teoricas para a velocidade do som em lıquidos sao mais complexas.Por exemplo, a velocidade do som nos Oceanos depende de inumeros factores, taiscomo a pressao, temperatura e salinidade. Para efeitos de calculos e salvo indicacaoem contrario, vamos tomar os valores c = 340 m/s para o ar e c = 1450 m/s paraa agua.

1.6 Estudo energetico da Perturbacao acusticaUni-Dimensional

Ao substituir na Equacao de Conservacao da Massa,

∂ρ

∂t+ ρ0

∂u

∂x= 0 ⇒ c2ρ

∂ρ

∂t+ ρ0c

2ρ∂u

∂x= 0, (1-20)

as relacoes ρ∂ρ/∂t = ∂ρ2/2∂t e p = c2ρ, e possıvel obter a expressao

c2

ρ0

1

2

∂ρ2

∂t+ p

∂u

∂x= 0. (1-21)

Pelo mesmo raciocınio, temos da equacao do momento,

uρ0∂u

∂t+ u

∂p

∂x= 0 ⇔ 1

2ρ0

∂u2

∂t+ u

∂p

∂x= 0. (1-22)

1-8

Adicionando as duas equacoes, vem

∂

∂t

(1

2ρ0u

2 +1

2

c2

ρ0

ρ2

)+

∂

∂x(pu) = 0. (1-23)

Ao integrar esta ultima equacao no volume de comprimento l e seccao transversalA, temos finalmente a igualdade

∂

∂t

∫ xo+l

x0

A

(1

2ρ0u

2 +1

2

c2

ρ0

ρ2

)dx = A [pu(x0, t)− pu(x0 + l, t)] , (1-24)

onde e possıvel identificar os termos respeitantes a energia cinetica e potencial,devidas a passagem da onda sonora no meio:

Energia cinetica: ek =1

2ρ0u

2,

Energia potencial de compressao: ep =1

2

c2ρ2

ρ0

.

Para uma dada massa de gas, ρV e constante, pelo que

d(ρV ) = ρ0dV + V0dρ = 0 ⇒ dV = −V0

ρ0

dρ

⇒ −∫

pdV =V0

ρ0

∫pdρ =

V0

ρ0

c2

∫ρdρ =

V0c2

ρ0

1

2ρ2.

Deste modo, o trabalho efectuado pela pressao (exercida pela onda acustica aocomprimir o fluido), e dado pela Energia Potencial de Compressao:

ep =1

2

c2ρ2

ρ0

. (1-25)

Em conclusao, o membro esquerdo de (1-24) corresponde a variacao da energiacinetica e potencial; o membro direito corresponde a variacao do trabalho efectuadopela pressao p no exterior da superfıcie do volume:

∂

∂t(ek + ep) = −∂I

∂x, (1-26)

onde se introduziu a definicao de Intensidade acustica, I = pu, que nos indicaa quantidade de energia acustica que atravessa uma dada area unitaria (tendo

1-9

unidades de Watt / m2). A onda sonora passa a poder ser caracterizada pela suaenergia, definindo-se o Nıvel de Intensidade sonora (em dB) pela expressao

IL = 10 log10

(I

10−12W/m2

)(1-27)

onde I e o valor medio da intensidade acustica da onda.Considerem-se ondas planas uni-dimensionais a propagarem-se para a direita:

u = p/ρ0c = c2ρ/(ρc) = cρ/ρ0

⇒ ek =1

2ρ0u

2 =1

2

c2ρ2

ρ0

= ep (1-28)

Em conclusao, ek = ep para ondas planas uni-dimensionais. Alem disso,

I = pu =p2

ρ0c=

c4ρ2

ρ0c= c(ek + ep) ⇒ I = ce (1-29)

onde e = ek + ep = 2ek = 2ep representa a energia total da onda sonora.Deste modo, para uma onda que se mova para a direita,

∂

∂t(ek + ep) = −∂I

∂x⇔ ∂e

∂t+ c

∂e

∂x= 0 ⇒ e = f(x− ct) (1-30)

pelo que se conclui que a energia de uma onda plana uni-dimensional se propagaa velocidade da onda, c.

1-10

2 Ondas Tri-Dimensionais

Consideremos uma onda acustica que se possa mover em qualquer direccao,

~v(~x, t) = (v1(~x, t), v2(~x, t), v3(~x, t)) ≡ vi(~x, t)~ei

(2-1)

Para um dado elemento de volume δV , delimitado pela superfıcie S, a variacao demassa e devida ao fluxo de massa que atravessa a superfıcie:∫

∂ρ

∂tdV =−

∫ρ0~v · ~ndS = −

∫ρ0∇~vdV (2-2)

(2-3)

⇒∂ρ

∂t+ ρ0∇~v = 0 ⇔ ∂ρ

∂t+ ρ0

∂vi

∂xi. (2-4)

Da mesma forma, da equacao do momento (1-7) sabemos que o momento variacom a forca aplicada pelo fluido que rodeia o elemento de volume:

ρ0∂~v

∂tδV = −∇pδV ⇔ ρ0

∂~v

∂t= −∇p ⇔ ρ0

∂vi

∂t+

∂p

∂xi

= 0. (2-5)

Atraves das duas equacoes, temos

∂2ρ

∂t2−∇2p = 0, (2-6)

onde

∇2p = ∇(∇p) ≡ ∂2p

∂x2+

∂2p

∂y2+

∂2p

∂z2≡ ∂2p

∂xi∂xi. (2-7)

Sabendo que p = c2ρ para ondas planas, obtemos a Equacao de Onda a tresdimensoes

1

c2

∂2p

∂t2−∇2p = 0. (2-8)

Ao calcular o rotacional da Equacao do momento (1-7), verificamos que

ρ0∂

∂t(∇× ~v) +∇×∇p = 0 ⇔ ∂

∂t(∇× ~v) = 0 ⇒ ∇× ~v = const. (2-9)

Dado que o fluido estava em repouso inicialmente, o escoamento e irrotacional:∇×~v = 0, o que pode ser explicado pelo facto das forcas externas (devidas apenasao gradiente de pressao) actuarem no centro de massa do elemento de volume, naoinduzindo deste modo rotacao (ou vorticidade). Sempre que o rotacional de um

2-1

campo de vectores e nulo, e possıvel definir uma funcao que dependa apenas dascoordenadas, para a qual

~v = ∇ϕ ⇔ vi =∂ϕ

∂xi⇒(

ρ0∂ϕ

∂t+ p

)= 0 ⇒ ρ0

∂ϕ

∂t+ p = const. (2-10)

Como ϕ pode ser definida a menos de uma funcao do tempo, podemos definir aconstante como zero,

p = −ρ0∂ϕ

∂t, (2-11)

tendo-se finalmente a nova equacao de onda, para a funcao ϕ:

1

c2

∂2ϕ

∂t2−∇2ϕ = 0. (2-12)

Ao multiplicar esta equacao por (ρ0/c2)(∂ϕ/∂t),

ρ0

c2

∂ϕ

∂t

{∂2ϕ

∂t2− c2∇2ϕ

}= 0 (2-13)

e tendo em conta as relacoes,

∂ϕ

∂t

ρ0

c2

∂2ϕ

∂t2=

∂

∂t

{1

2

ρ0

c2

(∂ϕ

∂t

)2}

=∂

∂t

{p2

2ρ0c2

}(2-14)

ρ0

c2

∂ϕ

∂tc2∇2ϕ =ρ0

∂ϕ

∂t

∂2ϕ

∂xi∂xi=

∂

∂xi

{ρ0

∂ϕ

∂t

∂ϕ

∂xi

}− ρ0

∂2ϕ

∂t∂xi

∂ϕ

∂xi

=− ∂

∂xi(pvi)− ∂

∂t

(1

2ρ0v

2

)(2-15)

e possıvel escrever a nova Equacao da Energia

∂

∂t

{1

2

p2

ρ0c 2+

1

2ρ0v

2

}+

∂

∂xi

{pvi}

= 0 ⇔ ∂

∂tep + ek = −∂I i

∂xi= −∇~I, (2-16)

com a intensidade acustica definida a tres dimensoes por I = p ·~v; o vector intensi-dade acustica define a taxa com que a energia atravessa uma dada seccao de areaunitaria, transversal a direccao do vector.

2-2

2.1 Onda Plana

Uma solucao possıvel da Equacao de Onda consiste na onda plana propagando-se numa dada direccao:

p(xi, t) = f(xi − ct) + g(xi + ct), (2-17)

ou, da mesma forma,p(xi, t) = Aei(ωt−kxi), (2-18)

sendo k o numero de onda, k = ω/c. De uma forma geral, podemos dizer que uma

onda plana que se propague na direccao ~k e dada por

p(~x, t) = Aei(ωt−~k·~x) (2-19)

com o vector de onda ~k definido por

~k = (k1, k2, k3); (2-20)

|k|2 = ω2/c2. (2-21)

2.2 Onda Esferica centrada na Origem do Referencial

Considere-se uma solucao da Equacao de Onda que dependa apenas da distan-cia radial e do tempo

p = p(r, t); ~v = ~v(r, t). (2-22)

Uma vez que o gradiente de pressao existe na direccao radial, a velocidade dofluido so pode existir tambem segundo essa mesma direccao, pelo que passamos autilizar

~v(r, t) = u(r, t)~er. (2-23)

A partir deste momento, torna-se conveniente utilizar as equacoes em coordenadasesfericas, onde o Laplaciano e dado por

∇2p =1

r2

∂

∂r

(r2∂p

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂p

∂θ

)+

1

r2 sin2 θ

∂2p

∂ϕ2. (2-24)

Como p so depende da coordenada radial r,

∇2p =1

r2

∂

∂r

(r2∂p

∂r

), (2-25)

2-3

a equacao de onda e dada por

1

c2

∂2p

∂t2−∇2p = 0 ⇔ 1

c2

∂2p

∂t2− 1

r2

∂

∂r

(r2∂p

∂r

)= 0

⇔ r2

c2

∂2p

∂t2− ∂

∂r

(r2∂p

∂r

)= 0

⇔ r2

c2

∂2p

∂t2− 2r

∂p

∂r− r2∂2p

∂t2= 0

⇔ r

{r

c2

∂2p

∂t2− 2

∂p

∂r− r

∂2p

∂r2

}= 0. (2-26)

Tendo em conta as seguintes relacoes,

1

c2

∂2

∂t2(rp) =

r

c2

∂2p

∂t2+

p

c2

∂2r

∂t2+ 2

∂r

∂t

∂p

∂t=

r

c2

∂2p

∂t2, (2-27)

∂2

∂r2(rp) = p

∂2r

∂r2+ r

∂2p

∂r2+ 2

∂r

∂r

∂p

∂r= r

∂2p

∂r2+ 2

∂p

∂r, (2-28)

a equacao de onda pode ser dada pela expressao

r

{1

c2

∂2

∂t2(rp)− ∂2

∂r2(rp)

}= 0, (2-29)

pelo que a solucao geral e dada por

rp(r, t) = f(r− ct)+g(r + ct) ⇒ p(r, t) =f(r − ct)

r︸ ︷︷ ︸Onda que radia

para o infinito

+g(r + ct)

r.︸ ︷︷ ︸

Onda que converge

para a origem

(2-30)

A solucao g(r + ct)/r e excluıda, pois trata-se de uma onda que foi criada noinfinito, tendo sido criada muito antes; tal viola o

Principio da Causalidade: a informacao acerca da actividade deuma fonte nao pode estar contida em ondas anteriores ao tempo pre-sente.

Este princıpio pode ser traduzido matematicamente pela Condicao de Radiacao:num espaco sem fronteiras, apenas as solucoes da equacao de onda,

∂2p

∂t2− c2∇2p = 0, (2-31)

2-4

que consistam exclusivamente de ondas que radiem para fora, podem ter significadofısico; Sommerfeld especificou que o limite

limr→∞

r

{∂p

∂t+ c

∂p

∂r

}= 0, (2-32)

seja observado para todas as solucoes da Equacao de Onda. Temos entao que asolucao, para uma onda com propagacao esferica e de frequencia ω, e dada apenaspelo termo que radia para o infinito

p = Aeiω(t−r/c)

r, (2-33)

onde A e complexo. Atraves da componente radial da equacao do momento (1-7),e possıvel obter a expressao para a velocidade:

ρ0∂~v

∂t= −∇p ⇔ ρ

∂u

∂t= −∂p

∂r= i

ω

cA

eiω(t−r/c)

r+ A

eiω(t−r/c)

r2

= A

{iω

cr+

1

r2

}eiω(t−r/c)

⇒ u(r, t) =A

iωρ0

{iω

cr+

1

r2

}eiω(t−r/c)

=A

reiω(t−r/c)e−iφ

√1 + (c/ωr)2

ρ0c

=

√1 + (c/ωr)2

ρ0cp

(r, t− φ

ω

), (2-34)

com tan φ = c/ωr. Podemos deste modo concluir que a velocidade e a pressao daperturbacao sonora nao se encontram em fase. Em geral, p/u � ρ0c. Para grandesdistancias da origem, r � c/ω,

limr→∞

tan φ = 0 ⇒ φ = 0. (2-35)

p/r → ρ0c, (2-36)

ou seja, a pressao e a velocidade estao praticamente em fase e a onda esfericacomporta-se como uma onda plana.

2-5

2.3 Som gerado por Bolha a pulsar

Considere-se a presenca de um volume esferico vazio num meio homogeneo,e.g. uma bolha de ar num lıquido. Qualquer alteracao do meio, como por exemplovariacoes de pressao na vizinhanca da bolha, provoca uma reaccao desta com oobjectivo de manter a pressao inicial na sua superfıcie; ou seja, a bolha expande-see contrai-se, num movimento de pulsacao, criando uma nova perturbacao: umaonda sonora.

Admitindo que nao existe variacao de pressao na superfıcie de uma esfera deraio a, a pressao criada pelo meio, pa(t), e compensada pela pressao criada pelopulsar da esfera, p(r = a, t),

pa(t) + p(a, t) = 0 ⇒ pa(t) = −f(a− ct)/a

⇒ p(r, t) = f(r − ct)/r = f(r − ct + a− a)/r

= f(a− (t− (r − a)/c))/r

= −apa(t− (r − a)/c)/r. (2-37)

Da equacao do momento, temos segundo a direccao radial,

ρ0∂u

∂t= −∂p

∂r(2-38)

= − a

r2pa

(t− r − a

c

)+

a

r

∂pa

∂r

(t− r − a

c

)(2-39)

Se considerarmos uma dada harmonica da pressao e da velocidade,

p(r, t) = p(r)eiωt; u(r, t) = u(r)eiωt, (2-40)

onde p(r) e u(r) sao as amplitudes complexas, a derivada temporal e equivalenteao produto da funcao pelo factor iω

iωρ0ueiωt = − a

r2pae

iωt−iω(r−a)/c +a

rciωpae

iωt−iω(r−a)/c (2-41)

⇔ iωρ0u = −{

1 +iωr

c

a

r2

}e−iω(r−a)/cpa, (2-42)

com p(a, t) = −pa(t) ⇒ p(a)eiωt = −paeiωt ⇒ p(a) = −pa. Para r = a, temos

u = ua e

iωρ0ua =

{1 +

iωa

c

}1

ap(a) ⇒ p(a) =

iaωρ0

1 + iωa/cua. (2-43)

A pressao da onda sonora criada pelo pulsar da esfera e dada finalmente pelaexpressao

p(r) =a

rp(a)e−iω(r−a)/c =

a

r

iωa/c

1 + iωa/cρ0cuae

−iω(r−a)/c. (2-44)

2-6

A Impedancia de Radiacao e definida pelo quociente das amplitudes da pressaoe da velocidade da onda acustica, Z = p/u, sendo dada em relacao a ImpedanciaAcustica: Z/ρ0c.

No caso anterior, das ondas esfericas,

Z =p(a)

u(a)= ρ0c

iωa/c

1 + iωa/c= ρ0c

1 + ic/ωa

1 + (c/ωa)2(2-45)

Verificamos facilmente que a onda sonora criada pelo pulsar da esfera tem umcomportamento semelhante ao da onda plana quando c/ωa tende para zero. Surgeassim a definicao de Numero de Helmoltz : ωa/c = 2πa/cT = 2πa/λ, que relacionao comprimento da onda sonora emitida, λ, com a dimensao da fonte a. Conside-remos os casos limites do Numero de Helmoltz:

• ωa/c � 1 (ou a � λ)

Neste caso, a esfera e suficientemente grande para ser designada por nao-compacta: Z ≈ ρ0c:

p(r, t) ≈ ρ0cua

(t− r − a

c

)(2-46)

Em conclusao, a onda acustica comporta-se como uma onda plana.

• ωa/c � 1 (ou a � λ)

A esfera designa-se por fonte compacta. O campo na vizinhanca da fonte naose comporta como uma onda plana:

ωa/c � 1 ⇒p(r) ≈ iωa2

rρ0uae

−iω(r−a)/c (2-47)

⇒p(r, t) =iωa

cρ0c u(r, t) (2-48)

Apenas uma pequena fraccao (ωa/c) da pressao e produzida, em relacao aoque seria gerado pelo mesmo movimento de superfıcie, no caso de uma esferanao-compacta. Deduz-se desta forma que altifalantes de dimensoes pequenassao pouco eficientes; a sua resposta aumenta com a frequencia.

O Numero de Helmoltz e um bom indicador de quao compacta e a fonte: quantomenos compacta for a fonte, mais o campo sonoro criado se aproxima a um camposonoro de ondas planas.

2-7

2.4 Som gerado por Esfera a vibrar

Considere-se agora uma esfera rıgida de raio a, a mover-se ao longo do eixox, num movimento oscilatorio de pequena amplitude em torno da origem. Avelocidade radial de um ponto da superfıcie que faca um angulo θ com o eixox e dada por

ur = U cos θeiωt. (2-49)

E possıvel demonstrar que a solucao

p(r, t) = A cos θ∂

∂r

{eiω(t−r/c)

r

}, (2-50)

descreve a onda criada pelo movimento da esfera, que apresenta num dado instantevelocidade ur. Da equacao do momento (1-7) na direccao radial, temos

ρ0∂u

∂t+

∂p

∂r= 0 ⇔iωρ0u = −∂p

∂r= −A cos θ

∂2

∂r2

{eiω(t−r/c)

r

}(2-51)

⇒u = −A cos θ

iωρ0

{2

r3+

2iω

cr2− ω2

c2r

}eiω(t−r/c). (2-52)

Para r = a, u = ur = U cos θeiωt; deste modo

U cos θeiωt = −A cos θ

iωρ0

{2

r3+

2iω

cr2− ω2

c2r

}eiω(t−r/c)

⇒ A =−iωρ0Ua3eiωa/c

2(1 + iωa/c)− ω2a2/c2(2-53)

Obtem-se finalmente a expressao da pressao, dada por

p(r, θ, t) =−iωρ0Ua3 cos θ

2(1 + iωa/c)− ω2a2/c2

∂

∂r

{eiω(t−(r−a)/c)

r

}(2-54)

=−iωρ0Ua3 cos θ

2(1 + iωa/c)− ω2a2/c2

(− iω

cr− 1

r2

)eiω(t−(r−a)/c) (2-55)

Mais uma vez, a ordem de grandeza do Numero de Helmoltz caracteriza o tipo deonda emitida:

2-8

• Esfera compacta: ωa/c � 1

A expressao (2-54) pode ser aproximada por

p(r, θ, t) ≈ −ω2a2

2c2ρ0cU cos θ

a

r

(1− ic

ωr

)eiω(t−r/c). (2-56)

No campo situado na vizinhanca da esfera (near field), a onda e muito poucoinfluenciada pela velocidade do som (ou seja, pelas caracterısticas do meio),pelo que a seguinte aproximacao pode ser efectuada

c

ωr=

λ

2πr� 1 : e−iωr/c ≈ 1− iωr

c− ω2r2

2c2, (2-57)

tendo-se a nova expressao para a pressao

p(r, θ, t) ≈ 1

2iωρ0

a3

r2U cos θ

(1− iωr

c− ω2r2

2c2

)eiωt. (2-58)

Para distancias muito superiores ao comprimento de onda (far field), temos

c

ωr=

λ

2πr� 1 :

(1− ic

ωr

)≈ 1, (2-59)

obtendo-se

p(r, θ, t) ≈ −ω2a2

2c2ρ0cU cos θ

a

reiω(t−r/c). (2-60)

Neste caso, a pressao ja se encontra em fase com a velocidade.

• Esfera nao-compacta: ωa/c � 1

Para o caso em que o comprimento de onda e muito inferior a dimensao daesfera, temos a aproximacao

p(r, θ, t) = − iωρ0Ua3 cos θ

−ω2a2/c2

∂

∂r

{eiω(t−(r−a)/c)

r

}(2-61)

= − iρ0Uc2 cos θ

ωr

(iωa

c+

1

r

)eiω(t−(r−a)/c) (2-62)

≈ ρ0cU cos θa

reiω(t−(r−a)/c). (2-63)

Mais uma vez se conclui que a esfera nao-compacta radia som com grande eficiencia.

2-9

2.5 Ondas Bi-Dimensionais

Para finalizar este capıtulo, vamos estudar a solucao de onda em que todas asgrandezas consideradas apresentam simetria axial em torno de uma dada direccao,tomada como eixo z – ondas cilındricas :

p = p(r, t); ~u = ~u(r, t). (2-64)

Em coordenadas cilındricas (r, θ, t),

∇2p =∂2p

∂r2+

1

r

∂p

∂r+

1

r2

∂2p

∂θ2+

∂2p

∂z2=

∂2p

∂r2+

1

r

∂p

∂r, (2-65)

pelo que a equacao de onda e dada por

∂2p

∂r2+

1

r

∂p

∂r− 1

c2

∂2p

∂t2= 0. (2-66)

Para uma onda com frequencia ω, p = Ae−iωtf(r), temos

Ae−iωt ∂2f

∂r2+ A

e−iωt

r

∂f

∂r+ A

ω2

c2f = 0 ⇔ r2∂2f

∂r2+ r

∂f

∂r+ k2rrf = 0. (2-67)

A solucao da equacao diferencial (2-67) e a funcao de Hankel de 1a especie, f(r) =

H(1)0 (kr) = J0(kr) + iY0(kr), tendo-se

p(r, t) = Ae−iωtH(1)0 (kr). (2-68)

Para grandes distancias, pode ser utilizada a formula assimptotica

p(r, t) ∼ A

√2

π

eikr−iωt−iπ/4

√kr

(2-69)

A amplitude da pressao diminui inversamente com a raiz da distancia r, ou seja,a intensidade acustica diminui com a distancia r, em contraponto com a ondaesferica, que diminui com o quadrado da distancia r2. Tenhamos em conta quenuma onda sonora que apresente propagacao cilındrica, a energia distribui-se pelasuperfıcie de um cilindro de raio r e altura h (cuja area e dada por 2πrh), enquantoque numa onda esferica a energia tem de cobrir a superfıcie de uma esfera de raior (de area 4πr2). Deste modo, a onda cilındrica consegue-se ouvir a muito maioresdistancias. Como se vera mais tarde, as ondas sonoras nos Oceanos podem apre-sentar uma distribuicao energetica cilındrica, razao pela qual se podem detectarnos Estados Unidos explosoes subaquaticas que tenham ocorrido na costa europeiae as baleias conseguem comunicar a grandes distancias.

2-10

3 Ondas em Tubeiras

A propagacao do som em tubeiras e um topico de investigacao com inumerasaplicacoes no quotidiano. Dos sistemas de amplificacao musical ao estudo de escapede gases em automoveis e em motores a jacto, a lista de fenomenos fısicos quepodem ser modelados por este tipo de teoria e extenso. Se o comprimento deonda excede as dimensoes da seccao da tubeira, podem-se desprezar os modostransversais, existindo apenas propagacao longitudinal. No caso de uma tubeiracom uma seccao aproximada de um metro (d0 = 1 m), a condicao de propagacaolongitudinal traduz-se num comprimento de onda λ0 ≥ 1m, o que corresponde afrequencias bastante baixas f0 = c0/λ0 ≤ 340Hz, na parte inferior da gama defrequencias da audicao humana: 20Hz ≤ f ≤ 20kHz. Para uma tubeira maisestreita λ1 ≥ d1 = 0.1m, grande parte do espectro audıvel (f1 ≤ 3.4kHz) jacorresponde a propagacao longitudinal.

Considere-se uma tubeira de seccao pequena, onde existe uma zona de transicao(considerada instantanea) de area A1 para area A2 . Ao considerar propagacao uni-dimensional, a equacao de onda e dada pela equacao ja apresentada (1-10),

1

c2

∂p

∂t2− ∂2p

∂x2= 0 ⇒ p(x, t) = f(x− ct) + g(x + ct). (3-1)

Para cada lado da juncao de transicao, a pressao da onda sonora e dada por:px<0 = Ieiω(t−r/c)︸ ︷︷ ︸

Onda Incidente

+ Reiω(t+r/c)︸ ︷︷ ︸Onda Reflectida

px>0 = Teiω(t−r/c)︸ ︷︷ ︸Onda Transmitida

(3-2)

Da equacao de conservacao da massa (1-6), temos em x = 0

ρ0A1u1 = ρ0A2u2 ⇒ ρ0A1

ρ0c(I −R) = ρ0

A2

ρ0cT ⇔ A1(I −R) = A2T. (3-3)

Como a transicao e instantanea, admite-se que nao existe absorcao de energia, peloque o fluxo de energia se mantem:

A1p1u1 = A2p2u2. (3-4)

Dado que A1u1 = A2u2,p1 = p2 ⇔ I + R = T (3-5)

Das duas equacoes(3-3,3-5), temos

R =A1 − A2

A1 + A2

I; T =2A1

A1 + A2

I. (3-6)

3-1

A perda de potencia sonora devida ao som reflectido pode ser dada pela expressao

LT = 10 log10

(Potencia Incidente

Potencia Transmitida

)⇒ LT = 10 log10

(A1I

2

A2T 2

)= 10 log10

((A1 + A2)

2

4A1A2

). (3-7)

Note-se que a perda por transmissao apresenta simetria em A1 e A2, ou seja, aperda por transmissao e identica, quer o som venha da esquerda ou da direita.

Exemplo 1. Camara de Expansao (Silenciador)

Considere-se o caso mais simples de silenciador (”panela de escape”), constituidopor duas tubeiras estreitas de area A1 ligadas por uma tubeira de maior seccao A2

e comprimento l. A pressao sonora nas tres regioes da tubeira pode ser dada por

p(x, t) =

Ieiω(t−r/c) + Reiω(t+r/c) se x < 0

Beiω(t−r/c) + Ceiω(t+r/c) se 0 < x < l

Teiω(t−r/c) se x > l

(3-8)

Aplicando as equacoes de continuidade de massa (3-3) e de energia (3-5) nas duastransicoes, temos:

x = 0 :

{A1(I −R) = A2(B − C)

I + R = B + C(3-9)

x = l :

{A1Te−iωl/c = A2(Be−iωl/c − Ceiωl/c)

Te−iωl/c = Be−iωl/c + Ceiωl/c(3-10)

das quais se obtem as relacoes para as amplitudes das ondas reflectida e transmi-tida:

R =(A1/A2 − A2/A1)i sin(ωl/c)

2 cos(ωl/c) + i(A1/A2 + A2/A1) sin(ωl/c)I (3-11)

(3-12)

T =2eiωl/c

2 cos(ωl/c) + i(A1/A2 + A2/A1) sin(ωl/c)I. (3-13)

Verifica-se facilmente que |R|2 + |T |2 = |I|2, ou seja, o silenciador nao diminui aenergia acustica do sistema; para o efeito, sera necessario utilizar material absor-vente de som, que converta energia acustica em vibracoes mecanicas e calor.

3-2

A perda de potencia sonora por transmissao e dada por

LT = 10 log10

[|I|2

|T |2

]= 10 log10

[1 +

1

4

(A1

A2

− A2

A1

)2

sin2

(ωl

c

)]. (3-14)

sendo maxima quando

sin

(ωl

c

)= ±1 ⇒ ω =

πc

2l,

3πc

2l,

5πc

2l, . . . (3-15)

e mınima (nula) para

sin

(ωl

c

)= 0 ⇒ ω =

πc

l,

2πc

l,

3πc

l, . . . (3-16)

Em termos de comprimentos de onda, temos:

• Perda de transmissao maxima: λ = 4l, 4l/3, 4l/5,...

• Perda de transmissao nula: λ = 2l, l, 2l/3,...

Verifica-se uma boa concordancia da teoria com os dados experimentais, que soapresenta divergencia para as altas frequencias e para tubeiras com A2 elevados,onde λ ∼ D2, ou seja, quando ja nao se pode considerar a propagacao como uni-dimensional. Observa-se igualmente que a geometria da tubeira nao e relevante,desde que as dimensoes das zonas de transicao sejam muito inferiores ao compri-mento de onda considerado.

3.1 Tubeiras de Seccao Quadrada

Consideremos uma tubeira de seccao quadrada e a solucao da equacao de ondadada em funcoes separaveis,

p(~x, t) = f(x1)g(x2)h(x3)eiωt. (3-17)

Ao substituir na equacao de onda (1-10), temos

∇2p− 1

c2

∂2p

∂t2=

f ′′(x1)

f(x1)+

g′′(x2)

g(x1)+

h′′(x3)

h(x3)− ω2

c2= 0 (3-18)

⇒ f ′′(x1)

f(x1)= const = −α2

1 ⇒ f(x1) = A1 cos(α1x1) + B1 sin(α1x1) (3-19)

⇒ g′′(x2)

g(x2)= const = −α2

2 ⇒ g(x2) = A2 cos(α2x2) + B2 sin(α2x2). (3-20)

3-3

Admitindo que as paredes sao rıgidas, a velocidade e zero para x1, x2 = 0, a:

ρ0∂u

∂x+

∂p

∂x= 0 ⇒

∂f∂x1

= 0 em x1 = 0, a

∂g∂x2

= 0 em x2 = 0, a

⇒

B1 = 0; α1 = mπ/a

B2 = 0; α2 = nπ/a(3-21)

obtendo-se as solucoes:

f(x1) = A1 cos(mπx1

a

); f(x2) = A2 cos

(nπx2

a

). (3-22)

Falta apenas resolver a equacao de onda para a variavel x3:

d2h

dx22

+

(ω2

c2− π2

a2(m2 + n2)

)h = 0 ⇒ h(x3) = Am,ne

−ikm,nx3 +Bm,neikm,nx3 (3-23)

onde se definiu a Relacao de Dispersao,

km,n =

√ω2

c2− π2

a2(m2 + n2). (3-24)

Deste modo, a solucao para a pressao sonora e dada pela expressao

p(~x) = cos(mπx1

a

)cos(nπx2

a

) [Am,ne

−ikm,nx3 + Bm,neikm,nx3

]. (3-25)

Atraves da relacao de dispersao (3-24), podemos concluir que a onda plana (m =0 = n) se propaga sempre, pois k0,0 = |ω/c| e sempre real. As restantes ondas so sepropagam se km,n for real, ou seja ω > cπ/a ⇔ 2a > λ. Quando o comprimento deonda e muito superior as dimensoes da tubeira, λ � a, apenas temos propagacao deondas planas segundo x3 (propagacao unidimensional). Conclui-se deste modo quea aproximacao de propagacao unidimensional para comprimentos de onda muitosuperiores as dimensoes da tubeira e valida, apresentado bons resultados quandocomparada com dados experimentais; e por isso frequentemente utilizada.

3.2 Tubeiras de Seccao Variavel

Considere-se uma tubeira cılindrica rıgida, cuja area A da seccao transversalvaria com o eixo longitudinal x. Se o diametro da tubeira e pequeno em relacaoao comprimento de onda e a escala de variacao da area da seccao da tubeira,podemos desprezar o movimento das partıculas do meio perpendicular ao eixo x,face ao movimento longitudinal; ou seja, admite-se movimento unidimensional e apressao, densidade e velocidade das partıculas do meio sao funcao de x apenas:

p = p(x); ρ = ρ(x); u = u(x) (3-26)

3-4

Para obter a nova equacao de onda temos novamente de recorrer as equacoes deconservacao do momento (1-7),

ρ0∂u

∂t+

∂p

∂x= 0 (3-27)

e da massa (1-6), onde nao se pode retirar a variavel A (area) da derivada (poresta nao ser constante neste caso),

A∂ρ

∂t+ ρ0

∂

∂x(uA) = 0. (3-28)

Ao derivar as duas equacoes em ordem ao tempo e a coordenada x, A∂2ρ∂t2

+ ρ0∂2

∂t∂x(uA) = 0

ρ0∂∂x

(A∂u

∂t

)+ ∂

∂x

(A ∂p

∂x

)= 0

⇔

Ac2

∂2p∂t2

+ ρ0∂2

∂t∂x(uA) = 0

ρ0∂2

∂x∂t(Au) + ∂

∂x

(A ∂p

∂x

)= 0

(3-29)

e possıvel obter a Equacao de Onda Modificada:

A

c2

∂2p

∂t2− ∂

∂x

(A

∂p

∂x

)= 0 (3-30)

Exemplo 2. Tubeira de Seccao Exponencial

Considere-se a tubeira com area A(x) = A0eαx. Ao substituir em (3-30), temos

a solucao de onda

A

c2

∂2p

∂t2=

∂

∂x

(A

∂p

∂x

)⇔ A0

eαx

c2

∂2p

∂t2= αA0e

αx ∂p

∂x+ A0e

αx (3-31)

(3-32)

⇔ 1

c2

∂2p

∂t2= α

∂p

∂x+

∂2p

∂x2(3-33)

(3-34)

⇒ p(x, t) = e−αx/2{Aei(ωt−kx) + Bei(ωt+kx)

}, (3-35)

ondek =

√(ω/c)2 − α2/4. (3-36)

E assim possıvel estabelecer as seguintes conclusoes:

• Para ω > αc/2, o numero de onda e sempre positivo, pelo que as ondaspropagam-se em todos os casos, decaindo em amplitude e−αx/2 com x.

3-5

• Para ω < αc/2, temos (ω/c)2 − α2/4 < 0, ou seja, k e imaginario:

k = i√

(α2/4− ω/c)2 = ik (3-37)

pelo que a pressao sonora passa a ser dada por

p(x, t) = e−αx/2eiωt{

Aekx + Be−kx}

. (3-38)

Dado nao existir relacao entre x e t, as ondas nao se propagam: uma ondacom frequencia superior a frequencia de corte ωc = αc/2 nao se conseguepropagar ao longo da tubeira.

3-6

4 Superfıcies de Descontinuidade

Quando uma onda sonora atravessa uma superfıcie de separacao de dois meios,de densidades ρ0 e ρ1 e velocidades do som c0 e c1, separados por uma interfaceplana em x = 0, parte da energia acustica e reflectida, sendo a restante transmitidapara o novo meio.

Considere-se uma onda incidente na perpendicular. Por continuidade, tanto apressao como a velocidade das partıculas tem de ser igual nos dois lados da super-fıcie; para o efeito, a frequencia da onda incidente tem de ser igual as frequenciasdas ondas reflectida e transmitida. Note-se contudo que os comprimentos de ondanao serao iguais, devido as velocidades do som de cada meio: λ0 = 2πc0/ω 6=2πc1/ω = λ1.

Os coeficientes de reflexao e transmissao sao assim dados por:I + R = T

Iρ0c0

− Rρ0c0

= Tρ1c1

⇒

R = ρ1c1−ρ0c0

ρ1c1+ρ0c0I

T = 2ρ1c1ρ1c1+ρ0c0

I

(4-1)

Como seria de esperar, a soma do fluxo de energia das ondas reflectida e transmitidacoincide com o fluxo de enrgia da onda incidente,

R2

ρ0c0

+T 2

ρ1c1

=(ρ1c1 − ρ0c0)

2I2

(ρ1c1 + ρ0c0)2ρ0c0

+4ρ2

1c21I

2

ρ1c1 + ρ0c0)2ρ1c1

=I2

ρ0c0

. (4-2)

Exemplo 3. Reflexao por um meio com alta ou baixa impedancia

No caso de ondas sonoras aereas a incidirem na superfıcie da agua, onde

ρ0c0 � ρ1c1 ⇔ 1.2× 340 � 103 × 1450 (4-3)

temos R ≈ I; T ≈ 2I. Se analisarmos a energia de cada onda,

R2

ρ0c0

≈ I2

ρ0c0

, (4-4)

T 2

ρ1c1

≈ 0, (4-5)

e facil constatar que a energia acustica e praticamente toda reflectida.O mesmo se passa na situacao oposta, quando ondas sonoras que se propaguem

na agua incidem na superfıcie de contacto com o ar; neste caso, ρ0c0 � ρ1c1, peloque T ≈ 0. Mais uma vez temos reflexao total da energia acustica.

4-1

4.1 Propagacao do Som pelas Paredes

Quando a superfıcie de descontinuidade e constituıda por uma parede, de mate-rial incompressıvel e massa m por unidade de area, e necessario assegurar condicoesde continuidade ao nıvel da velocidade (toda a parede vibra de igual modo),

x < 0 : u = (I −R)eiωt

ρ0c0

x > 0 : u = Teiωt

ρ0c0

u0− = u0+ ⇔ I −R = T. (4-6)

Qualquer variacao de velocidade tem de ser assegurada por uma diferenca de pres-soes em cada lado da parede:

x < 0 : p1 = (I + R)eiωt, (4-7)

x > 0 : p2 = Teiωt. (4-8)

Atraves da 2a Lei de Newton, temos a equacao

F = p1−p2 = m∂u

∂t⇔ (I +R−T )eiωt = miω

Teiωt

ρ0c0

⇒ I +R−T = mimT

ρ0c0

. (4-9)

O sistema das duas equacoes permite a deducao dos coeficientes de reflexao e detransmissao:

I −R = T

I + R− T = miωT/ρ0c0

⇒

R = iωm

2ρ0c0+iωmI

T = 2ρ0c02ρ0c0+iωm

I.

(4-10)

A energia transmitida atraves da parede e dada pela expressao

|T |2

ρ0c0

=4ρ2

0c20

4ρ20c

20 + ω2m2︸ ︷︷ ︸

Coef. de transmissao

de energia

· |I|2

ρ0c0

. (4-11)

O coeficiente de transmissao de energia e muito pequeno para altas frequencias,ωm � ρ0c0 (a maior parte das ondas de altas frequencias sao reflectidas pelasparedes), sendo praticamente unitario para baixas frequencias. Conclui-se assimque o som de baixas frequencias passa facilmente atraves de paredes macicas, sendoo de altas frequencias impedido eficazmente.

4-2

4.2 Ondas Oblıquas numa Superfıcie Flexıvel

Considere-se uma onda sonora incidente, a fazer um angulo θ com a normal asuperfıcie, segundo a direccao X. Neste caso, a pressao sonora passa a ser dadapor

p = Ieiω(t−X/c), (4-12)

onde X = x cos θ + y sin θ; ou seja,

p = Ieiω(t−x cos θ/c−y sin θ/c). (4-13)

Na superfıcie x = 0, temosP = Ieiω(t−y sin θ/c). (4-14)

A onda incidente na superfıcie vai produzir uma onda reflectida, que faz umangulo θ′ com a normal a superfıcie, Reiω(t+x cos θ′/c−y sin θ′/c. A pressao na superfıciee dada pela soma das pressoes das ondas incidente e reflectida.

p = Ieiω(t−y sin θ′/c)+Reiω(t−y sin θ′/c)

(4-15)

Do mesmo modo, podemos calcular a velocidade da superfıcie, atraves da somadas componentes normais a superfıcie das velocidades das duas ondas:

I cos θeiω(t−y sin θ/c) −Reiω(t−y sin θ′/c), (4-16)

tendo-se

u =1

ρ0c

[Ieiω(t−y sin θ/c) cos θ −Reiω(t−y sin θ/c) cos θ′

]. (4-17)

Uma forma muito simples de caracterizar uma superfıcie flexıvel consiste emadmitir que o movimento da superfıcie esta relacionado linearmente com a pressao,P ≡ Zu, onde u e a velocidade normal da superfıcie e Z e a Impedancia da superfıcie,determinada pelas propriedades mecanicas do material:

Superfıcie leve e flexıvel: p = 0 ⇒ Z = 0

Superfıcie pesada e rıgida: u = 0 ⇒ 1Z = 0.

Da equacao da superfıcie, temos

P = Zu ⇔ Ieiω(t−y sin θ/c) + Reiω(t−y sin θ′/c) =

Z

ρ0c

{cos θIeiω(t−y sin θ/c) cos θ′Reiω(t−y sin θ′/c)

}. (4-18)

4-3

Para que esta equacao seja valida para todos os valores de y, temos de assegurarque θ = θ′, ou seja, as ondas reflectidas fazem o mesmo angulo com a normal, queas ondas incidentes. Deste modo, o coeficiente de reflexao e dado por

R =Z− ρ0c/ cos θ

Z + ρ0c/ cos θI. (4-19)

Para uma superfıcie flexıvel (Z ≈ 0), temos R ∼ −I, ou seja, as ondas incidentee reflectida anulam-se: nao temos som na vizinhanca da superfıcie. Para umasuperfıcie rıgida (Z � 0), R ∼ I e a onda e totalmente reflectida. As conclusoesanteriores nao sao validas quando cos θ = 0; neste caso, R ∼ −I (independen-temente do tipo de superfıcie): ondas sonoras que viajem paralelamente a umasuperfıcie sofrem uma grande atenuacao.

4.3 Refraccao do Som

Consideremos agora o caso de uma onda incidente oblıqua numa superfıcie dedescontinuidade entre dois meios de densidades (ρ0, ρ1) e velocidades do som (c0,c1) diferentes. Como no caso anterior, a onda reflectida apresenta o mesmo anguloθ com a normal, pelo que a pressao total e dada por

p = Ieiω(t−x cos θ/c0−y sin θ/c0) + Reiω(t+x cos θ/c0−y sin θ/c0). (4-20)

A onda transmitida apresenta um angulo φ com a normal da superfıcie, de valordesconhecido:

p = Teiω(t−x cos φ/c1−y sin φ/c1). (4-21)

Por continuidade da velocidade das partıculas ao longo da superfıcie, os argumentosdas exponenciais tem necessariamente de ser os mesmos, obtendo-se assim uma dasleis fundamentais da acustica, a Lei de Snell :

eiω(t−y sin θ/c0) = eiω(t−y sin φ/c1) ⇒ sin θ

c0

=sin φ

c1

. (4-22)

O valor maximo de φ corresponde a uma onda incidente paralela a superfıcie,tendo-se

θ = 90o ⇒ φmax = sin−1(c1/c0). (4-23)

Por outro lado, so existe onda transmitida se | sin φ| < 1, definindo-se desta formao Angulo crıtico de incidencia, θc:

sin θ 6 c0/c1 ⇒ θc = sin−1(c0/c1). (4-24)

Para valores de θ superiores ao angulo critico, θ > θc, as ondas incidentes saoreflectidas no interior da superfıcie; este caso sera analisado mais tarde. Nos casosem que θ < θc, existe sempre onda transmitida. Pelas condicoes de continuidadena superfıcie,

4-4

• Pressao: I + R = T

• Componente normal da velocidade: Iρ0c0

cos θ − Rρ0c0

cos θ = Tρ1c1

cos φ,

e possıvel determinar os coeficientes de reflexao e transmissao:

R =ρ1c1/ cos φ− ρ0c0/ cos θ

ρ1c1/ cos φ + ρ0c0/ cos θI, (4-25)

T =2ρ1c1/ cos φ

ρ1c1/ cos φ + ρ0c0/ cos θI. (4-26)

Tendo em conta as energias incidente (A0|I|2/ρ0c0) e reflectida (A0|R|2/ρ0c0) econstatando que A0/ cos θ = A1/ cos φ, temos A1 = A0 cos φ/ cos θ; a soma dosfluxos de energia das ondas transmitidas e reflectida e igual ao fluxo da ondaincidente

A0|R|2

ρ0c0

+ A1|T |2

ρ1c1

= A0

{|R|2

ρ0c0

+cos φ

cos θ

|T |2

ρ1c1

}= A0

|I|2

ρ0c0

(4-27)

ou seja, mais uma vez nao existe energia absorvida pela superfıcie.

4.3.1 Ondas Evanescentes

No caso em que ondas incidentes sao reflectidas no interior da superfıcie, θ >θc ⇔ c1 > c0/ sin θ, as ondas tem de satisfazer para θ & 0 a equacao

1

c21

∂2p

∂t2=

∂2p

∂x2+

∂2p

∂y2. (4-28)

Dado que estas ondas sao produzidas pela onda incidente, as suas frequenciascoincidem necessariamente; como a pressao na superfıcie devido as ondas incidentee reflectida e dada por

p = (I + R)eiω(t−y sin θ/c0) (4-29)

vamos procurar uma solucao na forma p = f(x)eiω(t−y/U), onde U e a velocidade daonda na superfıcie U = c0/ sin θ. Ao substituir esta ultima expressao na equacaode onda (4-28),

∂2f

∂x2+

ω2

c21

(1− c2

1

U2

)f = 0, (4-30)

constatamos que existem dois tipos de solucao:

1. U > c1 — Velocidade da onda na superfıcie supersonica

Se U > c1 a solucao e dada por

f = Seiβx + Te−iβx (4-31)

4-5

onde

β =ω

c1

(1− c2

1

U2

)1/2

. (4-32)

A onda sonora propaga-se dentro do material, numa direccao que faz umangulo φ com a normal; uma onda que viaje para a direita sera dada por

p = Teiω

“t−y/u−(x/c1)

√1−c21/U2

”. (4-33)

2. U < c1 — Velocidade da onda na superfıcie subsonica

Neste caso a solucao e real, com variacao exponencial

f = Seγx + Te−γx (4-34)

onde

γ =ω

c1

√c21

U2− 1. (4-35)

A onda propaga-se ao longo da superfıcie de descontinuidade (com direccaode propagacao paralela a esta), mas a sua amplitude decai em profundidade.Como a solucao tem de ser finita para x � 0, apenas a solucao e−γx temsignificado fısico:

f = Se−γx ⇒ p = Teiω(t−y/U)−γx. (4-36)

A este tipo de ondas da-se o nome de Ondas Evanescentes. Podemos en-contrar este tipo de ondas no nosso dia a dia: e o caso das ondas do mar,em que a velocidade de propagacao da onda e muito inferior a velocidadedo som na agua e em que o movimento a superfıcie decai rapidamente coma profundidade; tambem se utiliza este fenomeno nos auscultadores de umwalkman, para os sons de baixa frequencia.

4-6

5 Teoria dos Raios Sonoros

Quando uma onda sonora se propaga num meio em que a velocidade do somnao e constante (caso da atmosfera com gradientes de temperatura elevados ouventos fortes), observa-se a sua refraccao ao longo do meio. A trajectoria e dadapor linhas curvas, as quais se da o nome de Raios sonoros. A onda sonora podecontinuar a ser caracterizada por uma onda plana,

p(~r, t) = Ieiω(t−~k·~r), (5-1)

desde que o vector de onda ~k dependa do meio, tanto ao nıvel da sua direccao esentido, como da sua amplitude |~k| = ω/c. Os raios sonoros passam a ser definidoscomo curvas tangentes ao vector de onda em cada ponto.

A teoria dos raios sonoros pode ser aplicada desde que a velocidade do sompossa ser considerada constante ao longo de um comprimento de onda. Se tomar-mos L como a escala em que a velocidade do som nao varia, temos L � λ = c/f :a teoria dos raios sonoros e valida para altas frequencias.

Consideremos a equacao de conservacao da massa (1-6), a duas dimensoes,onde se considerou que a velocidade do som e a densidade media dependiam dascoordenadas,

∂ρt

∂t= −∇(ρt~v) =

∂

∂x(ρ0u)− ∂

∂y(ρ0v). (5-2)

A velocidade das partıculas e dada vectorialmente por ~v = u~ex + v~ey. A densidadede um elemento de fluıdo compressıvel pode variar devido a alteracoes na pressao(com a passagem da onda), mas tambem devido a entrada de fluido com densidademedia diferente (devido a hipotese de compressibilidade):

ρt = ρt(x, y, t) ⇒dρt =∂ρt

∂tdt +

∂ρt

∂xdx +

∂ρt

∂ydy

⇔dρt

dt=

∂ρt

∂t+

∂ρ0

∂xu +

∂ρ0

∂yv

⇔∂pt

∂t+

∂ρ0

∂xu +

∂ρ0

∂yv =

dρt

dpt

∂pt

∂t

Deste modo, temos a nova equacao de conservacao da massa:

1

c2

∂pt

∂t− ∂ρ0

∂xu− ∂ρ0

∂yv =

∂ρt

∂t= − ∂

∂x(ρ0u)− ∂

∂y(ρ0v)

⇒ 1

c2

∂pt

∂t= ρ0

∂u

∂x− ρ0

∂v

∂y(5-3)

5-1

Atraves das equacoes do momento nas direccoes x e y,

ρ0∂u

∂t= −∂p

∂x; ρ0

∂v

∂t= −∂p

∂y(5-4)

e possıvel obter a nova equacao de onda

1

c2

∂2p

∂t2= −ρ0

∂

∂x

(ρ−1

0

∂p

∂x

)+ ρ0

∂

∂y

(ρ−1

0

∂p

∂y

). (5-5)

A solucao pode ser dada atraves de uma serie de potencias da frequencia,

p(x, y, t) = eiω(t−τ(x,y))

∞∑n=0

(1

iω

)n

In(x, y) (5-6)

onde a grandeza de cada termo da serie diminui com ω−n; ou seja, torna-se apenasnecessario considerar os primeiros termos da serie, na aproximacao a altas frequen-cias. Ao termo τ(x, y) da-se o nome de Funcao de Fase. Para um dado instante,a frente de onda e dada pela superfıcie definida por τ(x, y) = t, onde a fase econstante. Os raios sonoros representam as curvas normais a frente de onda, emcada ponto.

Consideremos um dado raio, caracterizado parametricamente por x = X(s),y = Y (s), onde s e a distancia percorrida ao longo do raio. A tangente ao raio emcada ponto e sempre perpendicular a frente de onda, sendo portanto paralela aogradiente da funcao de fase,(

dX

ds,dY

ds

)= η(x, y)∇τ =

∇τ

|∇τ |(5-7)

onde se assumiu que o vector tangente e unitario.Para a determinacao da solucao da equacao de onda (5-5), temos em conta as

derivadas:

∂2p

∂t2= (iω)2eiω(t−τ)

∞∑n=0

(iω)−nIn (5-8)

∂p

∂x= eiω(t−τ)

∞∑n=0

(iω)−n

{−iω

∂τ

∂xIn +

∂In

∂x

}, (5-9)

assim como o seguinte desenvolvimento:

ρ0∂

∂x

(1

ρ0

∂p

∂x

)= eiω(t−τ)

∞∑n=0

(iω)−n

[(iω)2 ∂τ

∂x

2

In

−iω

{ρ0

∂

∂x

(1

ρ0

∂τ

∂xIn

)+

∂τ

∂x

∂In

∂x+ ρ0

∂

∂x

(1

ρ0

∂In

∂x

)}]. (5-10)

5-2

A equacao de onda pode assim ser dada pela expressao:

∞∑n=0

(iω)−n

[(iω)2

{(∂τ

∂x

)2

+

(∂τ

∂y

)2

− 1

c2

}In

− iω

{ρ0

∂

∂x

(1

ρ0

∂τ

∂xIn

)+ ρ0

∂

∂y

(1

ρ0

∂τ

∂yIn

)+

∂τ

∂x

∂In

∂x+

∂τ

∂y

∂In

∂y

}

+ ρ0∂

∂x

(1

ρ0

∂In

∂x

)+ ρ0

∂

∂y

(1

ρ0

∂In

∂y

)]= 0. (5-11)

De modo que esta equacao diferencial seja verificada para qualquer ω, os coefici-entes das potencias de ω tem de se anular:(

∂τ

∂x

)2

+

(∂τ

∂y

)2

− 1

c2= 0 (5-12)

ρ0∂

∂x

(1

ρ0

∂τ

∂xIn

)+ ρ0

∂

∂y

(1

ρ0

∂τ

∂yIn

)+

∂τ

∂x

∂In

∂x+

∂τ

∂y

∂In

∂y= 0. (5-13)

A equacao (5-12) e designada por Equacao da Eikonal e determina a superfıcieda frente de onda e a trajectoria do raio sonoro. A segunda equacao (5-13) vaiser resolvida apenas para ω = 0, ja que os coeficientes I1/ω, I2/ω

2, . . . tendemrapidamente para zero, em altas frequencias:

2

(∂τ

∂x

∂I0

∂x

∂τ

∂y

∂I0

∂y

)+ I0

[∂2τ

∂x2+

∂2τ

∂y2+ ρ0

∂τ

∂x

∂

∂x

(1

ρ0

)+ ρ0

∂τ

∂y

∂

∂y

(1

ρ0

)]= 0. (5-14)

Tendo em conta que

∂τ

∂x

∂

∂x+

∂τ

∂y

∂

∂y= |∇τ |∂X

∂s

∂

∂x+ |∇τ |∂Y

∂s

∂

∂y(5-15)

=1

c

(|∇τ |∂X

∂s

∂

∂x+ |∇τ |∂Y

∂s

∂

∂y

)=

1

c

∂

∂s, (5-16)

temos a equacao

2

c

∂I0

∂s+ I0

[∇2τ +

ρ0

c

∂

∂s

(1

ρ0

)]= 0 ⇒

⇒I0(s) = I0(s0) exp

[−1

2

∫ s

s0

{c∇2τ + ρ0

∂

∂s

(1

ρ0

)}ds

],

(5-17)

5-3

onde mais uma vez s e a distancia percorrida ao longo do raio. E possıvel demons-trar (vide Anexo A) que a equacao acima dada simplifica-se na expressao:

I0(s) = I0(S0)

[ρ0(s)c(s)

∆A(s)

∆A(s0)

ρ0(s0)c(s0)

]⇒ I2

0 (s)A(s)

ρ0(s)c(s)= const. (5-18)

Como p2 ≡ I20 ,

p2(s)A(s)

ρ0(s)c(s)= const. ⇔ p(s)u(s)A(s) = const. (5-19)

onde se usou a expressao p = ρ0cu. Acabamos de demonstrar que a intensidadeacustica da onda se mantem constante; conclui-se tambem que a pressao sonoraaumenta numa zona em que os raios sonoros sejam convergentes; se os raios diver-girem, temos uma diminuicao da pressao sonora.

5.1 Lei de Snell

Consideremos que a velocidade do som so varia numa dada direccao c = c(x);tendo em conta que(

dX

ds,dY

ds

)=∇τ

|∇τ |⇒ dY

ds=

1[(∂τ∂x

)2+(

∂τ∂y

)2]1/2

∂τ

∂y(5-20)

⇔ dY

ds= c

∂τ

∂y⇔ 1

c

dY

ds=

∂τ

∂y, (5-21)

e que

d

ds

∂τ

∂y=

(∂X

∂s

∂

∂x+

∂Y

∂s

∂

∂y

)∂τ

∂y

= c

(∂X

∂s

∂

∂x+

∂Y

∂s

∂

∂y

)∂τ

∂y

= c

{∂τ

∂x

∂

∂y

(∂τ

∂x

)+

∂τ

∂y

∂

∂y

(∂τ

∂y

)}=

c

2

{(∂τ

∂x

)2

+

(∂τ

∂y

)2}

=c

2

∂

∂y

(1

c2

)= 0,

(5-22)

temosdY

ds

(1

c

dY

ds

)= 0 ⇒ 1

c

dY

ds= const. (5-23)

5-4

Como dY/ds = sin θ, obtemos a Lei de Snell, ja deduzida em (4.3):

sin θ

c= const (ao longo do raio). (5-24)

As equacoes (5-19) e (5-24) constituem as equacoes principais da Teoria dos raiossonoros. Atraves desta teoria e facil concluir:

• Um raio a propagar-se numa zona em que a velocidade do som aumenta, ecurvado para fora dessa mesma zona. O raio acaba por ser reflectido (se naoencontrar nenhum obstaculo), para c ≤ c0/ sin θ0.

• Um raio a propagar-se numa zona em que a velocidade do som c diminua,e curvado na direccao em que c aumenta, tendendo a sua trajectoria a ficarparalela com a direccao do aumento de c.

5.2 Propagacao do Som na Agua

Os Oceanos cobrem mais do que 70% da superfıcie da Terra. No entanto,sabe-se mais sobre as superfıcies solar e lunar do que sobre as profundezas dosOceanos; tal deve-se principalmente ao facto da luz nao se propagar eficazmentena agua, penetrando apenas alguns quilometros no seu interior. Efectivamente, asondas sonoras propagam-se melhor na agua do que as ondas luminosas, de radioou magneticas. Actualmente, o campo da Acustica Oceanografica encontra-se emfranca expansao, sendo utilizada para detectar explosoes nucleares, terramotos eerupcoes vulcanicas submarinas. O mapeamento da estrutura (e.g. temperatura)dos varios Oceanos, essencial para o estudo do Clima, e tambem efectuado atravesde tecnicas acusticas.

A velocidade do som nos Oceanos varia principalmente com a temperatura e apressao, tendo uma pequena dependencia na salinidade da agua1 (figura 5-1).

A dependencia da velocidade do som em cada uma destas tres variaveis (man-tendo as outras duas constantes), pode ser observada na figura 5-2. A dependenciana salinidade e mınima, aumentando com a temperatura e a pressao. A curva em“c” e caracterıstica da variacao da velocidade do som na agua, apresentando nestecaso um mınimo nos 400 m de profundidade.

A existencia de um valor mınimo da velocidade do som a uma dada profundi-dade vai ter consequencias importantes na propagacao de ondas sonoras. Devidoao aumento da velocidade do som em ambas as direccoes, sinais que sejam emitidosa esta profundidade sao eventualmente reflectidos, ficando confinados num canalsonoro (ou SOFAR channel – SOund Fixing And Ranging channel). A propagacaodos sinais sonoros passa a ser efectuada num cilindro (e nao numa esfera), pelo que

1http://www.soes.soton.ac.uk/teaching/courses/oa631/hydro.html

5-5

Figura 5-1: Variacao das Propriedades do Oceano Atlantico Sul com a profundidade:Temperatura (azul), Salinidade (verde) e Pressao (vermelho)1.

decaem lentamente, podendo ser ouvidos a muito grandes distancias. Pelo mesmoraciocınio, a existencia de um maximo local (devido a anomalias na variacao davelocidade do som, tais como a presenca de correntes), faz com que os raios so-noros sejam reflectidos, nao conseguindo penetrar; tal leva a criacao de zonas desombra, que podem ser muito uteis, nomeadamente para um submarino se protegere nao ser detectado por sonares dos navios a superfıcie.

Exemplo 4. Trajectoria dos raios sonoros nos OceanosConsideremos uma variacao linear e positiva da velocidade do som com a pro-

fundidade (tomada como a variavel x):

c = c0 + c0αx (5-25)

Ao longo de um raio emitido com angulo inicial a superfıcie de θ0, a lei de Snelltem de ser verificada,

sin θ

c=

sin θ0

c0

(5-26)

5-6

Figura 5-2: Oceano Atlantico Sul: correccao a velocidade do som (esquerda) devido avariacao da Temperatura (azul), Salinidade (verde) e Pressao (vermelho); Variacao davelocidade do som (direita) com a profundidade1.

onde

sin θ =dy

ds=

dy

{(dy)2 + (dx)2}1/2=

dy/dx

{(dy/dx)2 + 1}1/2

⇒ dy/dx

{(dy/dx)2 + 1}1/2=

c sin θ0

c0

= (1 + αx) sin θ0 (5-27)

⇒(

dy

dx

)2

=

(dy

dx

)2

sin2 θ0(1 + αx)2 + sin2 θ0(1 + αx)2 (5-28)

⇒ dy

dx= ± sin θ0(1 + αx){

1− sin2 θ0(1 + αx)2}1/2

. (5-29)

5-7

Integrando ao longo da profundidade, temos

y = ±∫ x

0

sin θ0(1 + αx)

{1− sin2 θ0(1 + αx)2}1/2(5-30)

⇒ y =∓1

α sin θ0

{1− sin2 θ0(1 + αx)2

}1/2 ± cos θ0

α sin θ0

. (5-31)

Deste modo, a equacao da trajectoria dos raios sonoros e dada pela equacao qua-dratica

(y − cot θ0/α)2 + (x + 1/α)2 = csc2 θ0/α2, (5-32)

descrevendo um cırculo de raio csc θ0/α e centrado em (−1/α, ± cot θ0/α). O valormaximo em profundidade que o raio atinge e dado por x = (csc θ0 − 1)/α.

5.3 Propagacao do Som na Atmosfera

A propagacao do som na atmosfera e fortemente influenciada pelos gradientesde temperatura, pressao e humidade, assim como pela existencia de ventos2; destemodo, a variacao da velocidade do som 3 com a altitude depende fortemente dasituacao geografica, do clima e inclusivamente da hora. Durante o dia, a tempe-ratura do ar decresce com a altitude (ver figura 5-4), pelo que a velocidade dosom diminui a medida que subimos na troposfera (tipicamente, estabiliza na tro-popausa, por volta dos 10 km); os raios sonoros tem assim tendencia para curvarpara cima, afastando-se da superfıcie terrestre e contribuindo menos para o ruıdo;por vezes, numa noite lımpida e apos um dia muito quente, o chao arrefece maisdepressa do que o ar, tornando a atmosfera proxima do chao mais fria do que amaiores altitudes: os raios sonoros curvam agora na direccao da Terra, provocandoum aumento no ruıdo.

Exemplo 5. Ruıdo criado pela passagem de um AviaoUm observador mede o nıvel de pressao sonora de um aviao a uma altitude de 2

km e uma distancia horizontal de 5 km, tendo obtido o valor de 80 dB. Pretende-secalcular a potencia sonora do aviao:

1. se a velocidade do som for considerada constante;

2. se a velocidade do som diminuir linearmente com a altitude; a razao de2× 10−2 m/s por metro.

2http://www.pa.op.dlr.de/acoustics3http://www.centennialofflight.gov/

5-8

Figura 5-3: Influencias da atmosfera na propagacao do som2.

A pressao da perturbacao acustica medida pelo observador e dada por

80 = 20 log

(prms

2× 10−5N/m2

)⇒ prms = 0.2N/m2. (5-33)

Seja W a potencia total do aviao e (r, θ, φ) um sistema de coordenadas esfericas,centrado no aviao. Assume-se que o aviao e uma fonte omnidireccional e considera-se uma esfera de raio R = ε suficientemente pequeno para que se possa admitir avelocidade do som constante no seu interior. O fluxo total de energia por unidadede area e W/4πε2. No tubo de um raio situado entre (θ0, φ0) e (θ0 + δθ, φ0 + δφ)

W

4πε2εδθε sin θ0δφ =

W

4πsin θ0δθδφ, (5-34)

a energia acustica conserva-se, ou seja, a energia existente no tubo de raio, nomomento da emissao, e a mesma que chega ao observador e a potencia e dada por:

p2rmsA

ρ1c1

=W sin θ0δθδφ

4π⇒ W =

4πp2rmsA

ρ1c1 sin θ0δθδφ, (5-35)

onde A a area do tubo de raio na posicao do observador.

5-9

Figura 5-4: Altitude geometrica vs. temperatura, pressao, densidade e velocidade dosom3.

Estamos agora em condicoes de calcular a potencia sonora do aviao para cadaum dos casos:

1. Velocidade do Som Uniforme

Neste caso, os raios viajam em linha recta, pelo que a area do raio na posicaodo observador e dada simplesmente por A = RδθR sin θ0δφ, onde R e adistancia do aviao ao observador

W =4πp2

rmsRδθR sin θ0δφ

ρ1c1 sin θ0δθδφ=

4πR2

ρ1c1

p2rms = 3.5× 104 Watt. (5-36)

5-10

2. Variacao linear da Velocidade do Som

Considere-se um sistema de coordenadas com origem no aviao e com o eixox na vertical, a apontar para a Terra. Sabendo que c decresce 0.02 m/s pormetro, temos c = c0(1 + αx), com c0 = 343 − 0.02 × 2000m = 303 m/s;α = 0.02/303 = 6.6× 10−5 m−1 Usando a expressao ja obtida (5-32) para atrajectoria de raios sonoros num meio com variacao linear da velocidade dosom, temos

(y − cot θ0/α)2 + (x + 1/α)2 = csc2 θ0/α2

⇔ y2 − 2y cot θ0/α + (x + 1/α)2 = 1/α2.

Para que o raio passe pelo observador (x1, y1) = (2000 m, 5000 m), o seuangulo inicial e dado por

25× 106 − 104 cot θ0/α + (2000 + 1/α)2 = 1/α2 ⇒ θ0 = 59.4o. (5-37)

Resta calcular a area do tubo de raio; para o efeito considera-se novamenteo tubo definido por (θ0, φ0) e (θ0 + δθ, φ0 + δφ), assim como a distancia nahorizontal entre os dois raios na posicao do observador, ∆y1. A perpendicularentre os dois raios e dada por ∆y1 sin β = ∆y1 cos θ1, em que θ1 e dado pelaLei de Snell, sin θ1 = c1 sin θ1/c0 ⇒ θ1 = 77o. A area do tubo e dada assimpor

A = ∆y1 cos θ1y1δφ. (5-38)

Tendo em atencao a distancia ∆y1

∆y1 = y1(θ0 + δθ)− y1(θ0) =dy1

dθδθ, (5-39)

assim como a equacao da trajectoria,

y21 − 2y1 cot θ0/α + (x + 1/α)2 = 1/α (5-40)

⇒ 2y1dy1

θ− 2

y1

θcot θ0/α + 2y1 csc2 θ0/α = 0 (5-41)

⇒ dy1

dθ=

y1 csc2 θ0

cot θ0 − αy1

= 2.6× 104m/rad, (5-42)

temos finalmente a potencia dada por

W =4πp2

rms

ρ1c1 sin θ0δθ0δφ× 2.6× 104δθ cos θ1× 5000δφ = 4.1× 104Watt. (5-43)

Como se pode constatar, a potencia emitida pelo aviao pode ser francamentesuperior ao valor indicado pela hipotese de velocidade do som constante (ouseja, a restricao ao ruıdo do aviao nao tem de ser tao severa).

5-11

6 Camaras de Reverberacao

6.1 Tubos de Orgao

Como ja foi referido anteriormente, no capıtulo 4, o estudo da propagacao dosom em tubeiras tem inumeras aplicacoes, nomeadamente no estudo do escoamentoem motores a jacto. Considere-se que ambas as extremidade de um tubo cilındricose encontram abertas, a pressao atmosferica (o que pode ser utilizado para simularum tubo de orgao). Por continuidade, a perturbacao tera de ser nula nesses pontos;ou seja, p = 0. Uma onda unidimensional que se propague dentro do tunel,p(x, t) = B exp(ıω(t− x/c) + C(ıω(t + x/c)) tera como condicoes fronteira,

x = 0 : p(x = 0) = 0 ⇒ B = −C, (6-1)

x = l : p(x = l) = 0 ⇒ B(e−ıωl/c − eıωl/c

)⇒ sin

(ωl

c

)= 0, (6-2)

obtendo-se as seguintes condicoes:

ω =πc

l;

2πc

l;

3πc

l. . . ⇔ λ =

2πc

ω= 2l; l;

2l

3; . . . (6-3)

Para a frequencia fundamental ω = πc/l, temos a solucao

p = Beıω(t−x/c) −Beıω(t+x/c) = −2ıBEıωt sin(πx/l). (6-4)

A velocidade da perturbacao pode ser deduzida a partir da equacao do momento,

ρ0du

dt+

∂p

∂x= 0 ⇔ u =

2B

ρ0ccos(πx

l

)eıωt. (6-5)

A amplitude B pode ser caracterizada pelo deslocamento η das partıculas do meio(u = ∂η/∂t):

η = − 2Bi

ρ0cωeiωt cos

(πx

l

)⇒ B =

ρ0cωη

2i

e−iωt

cos(πx/l). (6-6)

A pressao da onda sonora e finalmente dada em funcao do deslocamento η:

p = ηρ0πc2

ltan(πx

l

). (6-7)

Conclui-se deste modo que a pressao e o deslocamento se encontram em fase setan(πx/l) > 0 ⇔ 0 < x < l/2; estao em oposicao de fase se l/2 < x < l.

6-1

6.1.1 Tubo de Rijke

Um exemplo classico que exemplifica o modelo atras referido consiste no Tubode Rijke, em que uma grelha aquecida e inserida no interior de um tubo vertical,aberto nas duas extremidades. Se a grelha se situa numa posicao abaixo do meio dotubo, a frequencia fundamental do tubo e excitada, ouvindo-se claramente um somtonal com a mesma frequencia; por outro lado, se a grelha e posicionada acima domeio do tubo, nao se houve som. Este fenomeno foi explicado em 1894, por LordRayleigh: at the natural eigenfrequency the acoustic pressure fluctuations in thelower half of the tube are less than 90 degrees out of phase with the acoustic velocityfluctuations, i.e. with the heat release fluctuations. Therefore, the amplitude ofthe acoustic waves grows until it is limited by non-linear effects.

Admitindo que o processo e adiabatico, as flutuacoes na pressao e na tempera-tura podem-se considerar em fase, ou seja a adicao de calor ao meio durante umaumento na pressao traduz-se num incremento da amplitude das ondas de pres-sao. Num tubo de Rijke, a presenca da fonte de calor aquece o ar envolvente, quesobe pelo tubo. O sentido do deslocamento das partıculas do meio, devido a ondaacustica, e fundamental para a explicacao do fenomeno:

Sentido ascendente: mais ar frio passa pela grela, sendo aquecido;

Sentido descendente: neste caso, temos menos ar frio a passar pela grelha.

Deste modo, a transferencia de calor e maior quando o deslocamento das partıculase ascendente. Para uma onda acustica que se desloque no sentido ascendente,sabemos que a pressao e o deslocamento estao em fase para xg < l/2, ou seja, atransferencia de calor maxima coincide com os maiores valores de pressao da onda,sendo fornecida energia a perturbacao acustica. Dado que as ondas acusticas nointerior do tubo sao estacionarias (devido as condicoes fronteira nas extremidades),a frequencia da onda coincide com a frequencia fundamental do tubo.

O fenomeno que acabamos de descrever tem tido grande atencao por parte dosfabricantes de motores, nomeadamente para caracterizar o Reheat buzz : perturba-coes de pressao na combustao, devidas a presenca de sistema de re-aquecimento(Afterburners) no jacto, que podem inclusivamente provocar danos estruturais.

6.2 Ressoador de Helmholtz

O ressoador de Helmholtz consiste numa camara de volume V , apresentando aentrada um pescoco de muito menor dimensao do que a camara, com comprimentol e area transversal S. Considere-se que a pressoes a entrada do pescoco e dentroda camara sao dadas respectivamente por p1(t) e por p2(t). Seja Q o fluxo de

6-2

massa que entra no ressoador; a variacao de densidade na camara de volume V edada pela equacao de conservacao da massa,

Q = V∂ρ

∂t⇒ ρ2 =

Q

iωV⇒ p2 = c2ρ2 =

c2Q

iωV. (6-8)

A variacao de pressao no pescoco tem de corresponder a variacao do momento nassuas extremidades

∂p

∂x− ρ0

∂u

∂t= 0 ⇒ p1 − p2

l= ρ0

∂u

∂t⇔ p1 − p2 = ρ0l

∂u

∂t. (6-9)

Da equacao da conservacao da massa temos a relacao,

ρ0∂u

∂x+

∂ρ

∂t= 0 ⇒ ρ0

∂u

∂xS +

SQ

V= 0 ⇒ ρ0

0− u

lS +

Q

Sl= 0 ⇒ u =

Q

ρ0S, (6-10)

o que nos permite exprimir a pressao a entrada do ressoador em funcao do fluxode massa que entra no proprio ressoador:

p1−p2 =iωlQ

S⇔ p1 = p2 +

iωlQ

S=

{c2

iωV+

iωl

S

}Q =

{ω2 − c2S

V l

}ilQ

ωS. (6-11)

A pressao p1 tende para zero a frequencia de ressonancia ω =√

c2S/V l. Pertodesta frequencia, pequenas variacoes de pressao podem levar a elevados fluxos demassa. Se aplicarmos a formula obtida (6-11) a um caso tıpico de um ressoadorde volume V = 6.3 × 10−3m3 (20 cm de comprimento e 10 cm de raio), com umpescoco de area S = 3 × 10−2m2 (10 cm de raio) e l = 5 cm de comprimento,temos a frequencia fundamental ω ≈ 1050 rad/s, ou seja f = 167 Hz, na gamados sons audıveis: os ressoadores de Helmholtz sao utilizados para atenuar ruıdo,podendo-se encontrar nas mais variadas situacoes (e.g. panelas de escape dosautomoveis).

Exemplo 6. Aplicacao de um Ressoador de Helmholtz numa TubeiraUm ressoador de Helmholtz foi adicionado a uma tubeira circular, na posicao

x = 0. A pressao existente no interior da tubeira, antes e depois do ressoador, edada por:

p =

{Ieiω(t−x/c) + Reiω(t+x/c), x < 0

Teiω(t−x/c), x > 0(6-12)

A entrada do ressoador (x = 0), temos

p1 = (I + R)eiωt = Teiωt. (6-13)

6-3

Pela conservacao do fluxo de massa na zona de entrada do ressoador,

ρ0A(I −R)eiωt

ρ0c= Q + ρ0

ATeiωt

ρ0c⇔ A(I −R)eiωt = cQ + ATeiωt (6-14)

A substituicao de (6-13, 6-14) em (6-11) permite obter a expressao para a amplitudeda onda transmitida,

T =I

1 + 12A

{c

iωV+ iωl

cS

}−1 , (6-15)

o que nos permite escrever a perda de potencia sonora:

LT = 10 log

{|I|2

|T |2

}= 10 log

{1 +

1

4A2

{c

ωV− ωl

cS

}−2}

(6-16)

6.3 Acustica de Edifıcios

Quando estamos a trabalhar com o ruıdo no interior de uma fabrica ou divisaode uma casa, podemos modelar o problema atraves de uma tubeira de seccaoquadrada a× a (em que a representa a largura e altura do espaco considerado) ecomprimento L, terminada em ambas as extremidades por paredes rıgidas. Nestecaso, podemos usar a expressao ja obtida (3-25) para a pressao:

p(~x, t) = cos(mπx1

a

)cos(nπx2

a

) [Am,ne

i(ωt−km,nx3) + Bm,nei(ωt−km,nx3)

]. (6-17)

As condicoes fronteira de velocidade nula nas extremidades (x3 = 0, L),

ρ0∂u

∂x3

+∂p

∂x3

= 0 ⇒ ∂p

∂x3

= 0, (6-18)

permitem definir os coeficientes Am,n, Bm,n e km,n:{−ikm,nAm,n + ikm,nBm,n = 0 em x3 = 0;

−ikm,nAm,ne−ikm,nL + ikm,nBm,ne

ikm,nL = 0 em x3 = L;

⇔

{Am,n = Bm,n;

e−ikm,nL + ikm,n = 0 ⇔ km,nL = 0 ⇒ km,n = qπL

,

tendo-se finalmente a expressao para a pressao no interior da tubeira dada porondas estacionarias,

p(~x, t) =∑m,n,q

Am,n,q cos(mπx1

a

)cos(nπx2

a

)cos(qπx3

a

)eiωt, (6-19)

6-4

onde a relacao de dispersao (3-24) nos permite estabelecer as frequencias de resso-nancia:

ω = cπ

√m2 + n2

a2+

q2

L2. (6-20)

Na presenca de uma fonte sonora no interior da divisao, esta actua como ressoador,reagindo fortemente a sons emitidos na vizinhanca das frequencias de ressonancia.Os sons de alta frequencia (ou mais propriamente, sons com numeros de Helmholtzωa/c elevados) acabam por excitar varios modos de frequencia. O som e reflectidoeternamente pelas paredes, diminuindo apenas devido a absorcao pelas paredes.Nesta altura e oportuno introduzir a definicao de Campo de Reverberacao: campocriado pelos sinais sonoros constantemente reflectidos pelas paredes (e que vaosendo cada vez mais fracos).

O calculo da absorcao sonora e do tempo que demora um campo sonoro aser totalmente absorvido pelas paredes e extremamente importante para definir aqualidade acustica de uma sala. A presenca de objectos, assim como a propriageometria e caracterısticas dos materiais usados numa divisao, pode tornar o cal-culo da absorcao sonora muito complexo; a sua simplificacao e obtida atraves dautilizacao do conceito de Campo Difuso: campo sonoro em que nao existe uma sodireccao para a propagacao sonora e em que os raios sonoros viajam em todas asdireccoes com igual probabilidade. O numero de raios a atingir uma dada paredepor unidade de tempo passa a depender apenas da sua area. Podemos deste mododefinir um Coeficiente de absorcao medio para a divisao com superfıcies S1, S2,. . ., Sn e coeficientes de absorcao α1, α2, . . ., αn, respectivamente:

α =α1S1 + α2S2 . . . αnSn

S1 + S2 + . . . + Sn

. (6-21)

O espaco aberto nao reflecte som, pelo que o seu coeficiente de absorcao e unitario,α = 1. Uma janela aberta de area a = αS absorve tanto som como uma divisao desuperfıcie total S e coeficiente de absorcao medio α. A potencia acustica absorvidapor uma divisao e dada por aI, onde I e a intensidade acustica do som.

Ao nıvel de unidades temos:[S] = m2;[a] = m2 (ou metros sabine).

Exemplo 7. Calculo da Absorcao Acustica de uma DivisaoConsidere-se uma divisao com uma absorcao do som de 10m2. Ao instalar

uma maquina no seu interior, mede-se um SPL de 80 dB. Adicionam-se materiaisacusticos no tecto da divisao, correspondendo a 50m2 de absorcao. Pretende-secalcular o novo nıvel de pressao sonora.

6-5

Para o efeito, sejam I1 e I2 a intensidade acustica antes e depois da alteracao,respectivamente e W a potencia acustica da maquina. Temos entao:

W = a1I1 = a2I2, (6-22)

ou seja,

I2 =a1

a2

I1 ⇔10 log

(I2

p2ref

)=10 log

(I1

p2ref

)+ 10 log

(a1

a2

)(6-23)

=80− 10 log(6) = 72dB. (6-24)

6.3.1 Tempo de Reverberacao

Define-se Tempo de Reverberacao como o intervalo de tempo que decorre entreo instante de interrupcao da fonte sonora e o instante em que o nıvel de pressaosonora diminui 1000 vezes, i.e. de 60 dB (ou decai de 60 dB ate o limite de audicaohumana). Como valores tıpicos de tempo de reverberacao, temos:

- 0.3 s para salas de estar;- 10 s para igrejas e catedrais.

Em divisoes com Tempos de reverberacao muito pequenos, a falta de eco torna osom muito seco e sem profundidade; por outro lado, tempos de reverberacao muitolongos tornam o discurso incoerente.

O calculo do tempo de reverberacao foi efectuado por Sabine em 1898. Parao efeito, assume-se que o campo sonoro criado por qualquer fonte rapidamentese transforma num campo difuso, onde a energia se espalha uniformemente pelasuperfıcie de um dado volume. Tomando eV como a energia acustica da divisao(onde e representa a energia acustica por unidade de volume e V o volume da divi-sao), I como a intensidade acustica incidente nas paredes e aI a energia absorvidapelas mesmas paredes (onde a representa a absorcao total da divisao), a equacaode conservacao de energia e dada por:

Vde

dt= −Ia. (6-25)

Para relacionar I com e, usamos a teoria dos raios sonoros (ou seja, admite-se que os comprimentos de onda do som emitido sao muito menores do que asdimensoes da divisao). Como se admitiu a hipotese de campo difuso, a energiacontida inicialmente num volume infinitesimal δV espalha-se uniformemente peladivisao, podendo ser dada por unidade de area pela expressao eδV/4πr2, em relacaoa esfera de raio r que contenha o volume δV . A medida que a esfera aumenta e

6-6

atinge a superfıcie da parede, a energia incidente na superfıcie e dada por

eδV

4πr2δS cos θ︸ ︷︷ ︸Projeccao

na esfera

(6-26)

onde θ e o angulo que a superfıcie faz com o raio da esfera, no ponto de interseccaoda esfera com a superfıcie. A energia total incidente na superfıcie pode ser calcu-lada pela integracao de (6-26) no hemisferio de raio r = cδt, cuja base e dada pelasuperfıcie da parede:

δE =eδS

4π

∫cos θ

r2δV (6-27)

=eδS

4π

∫ r

0

∫ π/2

0

∫ 2π

0

cos θ

r2r2 sin θdφdθdr (6-28)

=eδS

4πrπ

∣∣∣∣r=cδt

(6-29)

=eδS

4cδt (6-30)

A intensidade acustica e definida como habitualmente, pela energia incidente porunidade de area e por unidade de tempo:

I =δE

δtδS=

ec

4. (6-31)

Deste modo,

Vde

dt= −Ia ⇔ 4V

c

dI

dt= −Ia ⇒ I = I0e

−act/4V . (6-32)

O tempo de reverberacao pode ser assim calculado pela Formula de Sabine:

I/I0 = 10−6 ⇒e−(ac/4V )T = 10−6

⇔T =V

ac× 55.3. (6-33)

Se o tempo de reverberacao for muito longo, pode ser diminuıdo atraves da coloca-cao de cortinas ou paineis absorventes (ou seja, atraves do aumento da absorcao a);aumentar o tempo de reverberacao e muito mais difıcil: pode inclusivamente sernecessario a utilizacao de sistemas electronicos de feedback (atraves da introducaodo sinal sonoro existente na divisao novamente nos altifalantes).

6-7

7 Som Aerodinamico

7.1 Fontes Sonoras

Num Espaco homogeneo sem fronteiras, nenhuma das solucoes ate agora encon-tradas satisfaz as condicoes fronteira: as ondas planas apresentam uma direccaofixa e constante, o que significa que terao sido criadas eventualmente no infinito(tal viola a definicao de espaco infinito, sem fronteiras); as ondas esfericas naoexistem na origem do referencial, apresentando uma singularidade nesse ponto.Prova-se inclusivamente que o silencio (i.e. a ausencia de som) e o unico camposonoro homogeneo num Espaco sem fronteiras, donde se conclui que e necessariaa existencia de algum fenomeno externo a propria onda sonora para a sua criacao.

Analisemos entao a solucao da equacao de onda esferica na origem. Prova-seque na vizinhanca da origem, a equacao de onda se reduz a Equacao de Laplace:

1

c2

∂

∂t2−∇2 = 0 → ∇2 = 0. (7-1)

Aplicando o teorema da divergencia para uma esfera centrada na origem, de raioε, ∫

V

∇2

(f(t− r/c)

r

)dV =

∫S

∂

∂r

(f(t− r/c)

r

)dS

= 4πr2

{−f(t− r/c)

r2+

1

r2

∂

∂rf(t− r/c)

}r=ε

= 4πε2

{−f(t− ε/c)

r2+

1

ε2

∂

∂εf(t− ε/c)

},

(7-2)

e tomando ε → 0, observamos que a equacao de Laplace tende para −4πf(t):∫V

∇2

(f(t− r/c)

r

)dV = −4πf(t) + 4πε

∂

∂εf(t) ≈ −4πf(t), (7-3)

A funcao generalizada δ(~x) reproduz este comportamento, num volume que con-tenha a origem4: ∫

V

δ(~x)dV =

{1, se V inclui a origem;

0, caso contrario.(7-4)

4Procura-se com esta abordagem evitar a introducao de distribuicoes de funcoes (tambemconhecidas por funcoes generalizadas) na demonstracao, para nao introduzir um caracter mate-matico excessivo.

7-1

Deste modo, podemos afirmar∫V

−4πf(t)δ(~x)dV = −4πf(t) ⇒ ∇2

(f(t− r/c)

r

)= −4πf(t)δ(~x). (7-5)

Para um valor qualquer de r, temos(1

c2

∂2

∂t2−∇2

)f(t− r/c)

r= 4πf(t)δ(~x) (7-6)

A unica solucao homogenea desta equacao consiste em f(t) = 0 (solucao nula):o unico campo homogeneo que garante a equacao de onda num espaco infinitoe o campo nulo – ausencia de campo sonoro; tal implica igualmente a ausenciade fonte sonora. Acabamos de concluir que a solucao nao nula da equacao deonda esferica pressupoe a existencia de um termo nao nulo no membro direito daequacao de onda: a fonte sonora; deste modo, passamos a considerar uma fontesonora arbitraria q(~x, t):

1

c2

∂2p(~x, t)

∂t2−∇2p(~x, t) = q(~x, t).︸ ︷︷ ︸

fonte sonora

(7-7)

Na regiao do campo sonoro, q(~x, t) tem de ser nulo, dado que as ondas sonorassatisfazem a equacao de onda homogenea. E apenas na regiao da fonte V , queq(~x, t) e nao nulo. Temos assim duas zonas distintas:

• zona de fonte sonora: q(~x, t) 6= 0;

• zona de campo sonoro: q(~x, t) = 0.

A escolha da fonte e arbitraria, pois o campo sonoro nao determina univocamente afonte sonora que o cria. Para o efeito, considerem-se tres campos sonoros identicos,diferenciados pelo termo da fonte sonora (existente apenas na regiao da fonte).Verifica-se facilmente que a fonte sonora que lhes da origem (ou seja, o membrodireito das tres equacoes de onda) sao distintos:

1. p(~x, t)1

c2

∂2p

∂t2−∇2p = q (7-8)

2. p(~x, t) + q(~x, t) (note-se que q(~x, t) = 0 na zona do campo sonoro)

1

c2

∂2

∂t2(p + q)−∇2(p + q) = q +

1

c2

∂2q

∂t2−∇2q︸ ︷︷ ︸

fonte sonora de p + q

(7-9)

7-2

3. p(~x, t) + f(q)

1

c2

∂2

∂t2(p + f(q))−∇2(p + f(q)) = q +

1

c2

∂2

∂t2f(q)−∇2f(q)︸ ︷︷ ︸

fonte sonora de p + f(q)

(7-10)

donde se conclui que o campo sonoro nao possui toda a informacao necessariaa identificacao da fonte que o cria. Esta conclusao e de extrema importancia:nao vale a pena analisar ou medir exaustivamente o campo sonoro com aparelhosde medicao sofisticados, com o objectivo de identificar a natureza da fonte; epreferıvel tentar compreender o fenomeno fısico responsavel pela sua criacao. Note-se contudo que o campo sonoro criado por uma fonte q(~x, t) e unico.

Consideremos a expressao,

q(~x, t) =

∫V

q(~y, t)δ(~x− ~y)d3~y, (7-11)

que exprime o lado direito da igualdade (7-7) e onde se utilizou as convencoes:

~x: posicao do observador,

~y: posicao de um ponto do Volume V .

Pela equacao de onda na zona da fonte sonora,(1

c2

∂2

∂t2−∇2

)f(t− r/c)

r= 4πf(t)δ(~x), (7-12)

e possıvel escrever(1

c2

∂2

∂t2−∇2

)q(~y, t− |~x− ~y|/c)

|~x− ~y|= 4πf(t)q(~y, t)δ(~x− ~y). (7-13)

Ao integrar esta ultima equacao no volume V (ou seja, em ~y), temos,(1

c2

∂2

∂t2−∇2

)∫V

q(~y, t− |~x− ~y|/c)|~x− ~y|

d3~y

=

∫V

4πq(~y, t)δ(~x− ~y)d3~y

= 4πq(~x, t) = 4π

(1

c2

∂2

∂t2−∇2

)p(~x, t). (7-14)

Conclui-se desta forma que a pressao sonora criada por uma fonte sonora q, situadana posicao ~y e medida por um observador na posicao ~x, e dada por

p(~x, t) =

∫V

q(~y, t− |~x− ~y|/c)4π|~x− ~y|

d3~y. (7-15)

Algumas observacoes podem ser feitas a partir desta ultima expressao:

7-3

1. Cada elemento da fonte sonora, situado na posicao ~y, emite som que aochegar ao observador (situado em ~x) no instante t, tera sido criado no instanteanterior τ ≡ t− |~x− ~y|/c. Surge desta forma a nocao de tempo retardado τ .

2. Sempre que a zona V da fonte sonora e compacta, ou seja, em que as suasdimensoes sao muito menores do que o comprimento de onda do som pro-duzido, podemos fazer a seguinte aproximacao ~x − ~y ≈ ~x, i.e despreza-se adiferenca entre os varios tempos retardados dos elementos da fonte sonora:

p(~x, t) =Q(t− |~x|/c)

4π|~x|(7-16)

onde |~x| � |~y| e

Q(t) =

∫V

q(~x, t)d3~y. (7-17)

7.2 Distribuicao de fontes monopolares e dipolares

Como se constatou anteriormente, o campo sonoro gerado pela distribuicao defontes q(~x, t) e dado pela soma de todas as ondas sonoras criadas por todos oselementos da fonte; as ondas podem-se adicionar ou anular, para cada ponto docampo sonoro, consoante a sua fase e amplitude, criando-se zonas onde o camposonoro pode ser muito fraco.

A distribuicao de fontes monopolares q(~x, t) pode degenerar numa distribuicao

dipolar, se q(~x, t) = −∇~f(~x, t), onde ~f e nula no campo sonoro. Neste caso, asoma instantanea de todos os elementos de q(~x, t)) e zero:

Q(t) =

∫V

q(~x, t)dV = −∫

V

∇~fdV = −∫

S

fn(~x, t)dS = 0 (7-18)

Note-se que no ultimo integral, se considerou um volume V maior do que o volumeda zona da fonte sonora V , pelo que fn = 0 na superfıcie desse volume.

A equacao de onda (7-7) pode ser escrita como

1

c2

∂2p

∂t2−∇2p = q = −∇~f(~x, t) ≡ −∂fi(~x, t)

∂xi

. (7-19)

Da mesma forma que q(~x, t) e solucao da equacao de onda, (7-7),

1

c2

∂2p

∂t2−∇2p = q ⇒ p(~x, t) =

∫V

q(~y, t− |~x− ~y|/c)4π|~x− ~y|

d3~y, (7-20)

7-4

temos tambem, ao diferenciar em ordem a xi:(1

c2

∂2

∂t2−∇2

)∫V

fi(~y, t− |~x− ~y|/c)4π|~x− ~y|

d3~y = fi(~x, t)

⇒(

1

c2

∂2

∂t2−∇2

)∂

∂xi

∫V

fi(~y, t− |~x− ~y|/c)4π|~x− ~y|

d3~y =∂

∂xi

fi(~x, t). (7-21)

A solucao da equacao de onda, para uma distribuicao de fontes dipolar, e assimdada pela expressao:

p(~x, t) = − ∂

∂xi

∫V

fi(~y, t− |~x− ~y|/c)4π|~x− ~y|

d3~y. (7-22)

7.3 Monopolo e Dipolos pontuais

Define-se Monopolo pontual como uma fonte concentrada num ponto q(~x, t) =Q(t)δ(~x), onde Q(t) e designada por Intensidade do monopolo. A pressao sonoracriada pelo monopolo (7-15) passa a ser dada por:

pm(~x, t) =Q(t− r/c)

4πr. (7-23)

Da mesma forma, um Dipolo pontual e caracterizado pela expressao:

q(~x, t) = −∇(

~F (t)δ(~x))

=∂

∂xi

[Fi(t)δ(~x)] , (7-24)

onde ~F (t) e a Intensidade do dipolo e tem uma direccao definida. Um dipolopontual e criado por um par de monopolos pontuais identicos e sinais contrarios,localizados proximo um do outro. Consideremos um monopolo pontual negativosituado em ~x = 0 e outro igual mas de sinal contrario (positivo), em ~x = δ~l. A suasoma e dada por:

−Q(t)δ(~x) + Q(t)δ(~x− δ~l) = −Q(t){

δ(~x)− δ(~x− δ~l )}

= −Q(t)

{∂δ(~x)

∂x1

δl1 +∂δ(~x)

∂x2

δl2 +∂δ(~x)

∂x3

δl3

}= −Q(t)∇

{δ(~x)δ~l

}= −∇

{Q(t)δ(~x)δ~l

}(7-25)

O dipolo pode ser assim dado por ~f(~x) = ~F (t)δ(~x), tendo-se

pd(~x, t) = − ∂

∂xi

[Fi(t− r/c)

4πr

]. (7-26)

7-5

A expressao de pd a uma dada distancia r e angulo θ do eixo do dipolo e dada por:

pd(r, θ, t) = − ∂r

∂xi

∂

∂r

{Fi(t− r/c)

4πr

}= − ∂r

∂xi

{1

4πr

∂Fi(t− r/c)

∂r− 1

4πr2Fi(t− r/c)

}= − ∂

∂xi

√x2 + y2 + z2

{1

4πcr

∂Fi(R)

∂R− 1

4πr2Fi(R)

}com R ≡ t− r/c

=xi

4πr

{1

cr

∂Fi(R)

∂R+

Fi(R)

r2

}.

(7-27)

Sabendo que xi · Ai = |~x|| ~A| cos θ = rA cos θ, temos

pd(r, θ, t) =cos θ

4π

{1

cr

∂F (R)

∂R+

F (R)

r2

}. (7-28)

De uma forma sucinta, podemos afirmar:

• A variacao radial do campo sonoro pd tem duas componentes:

– Campo proximo - Near field : varia com o inverso do quadrado da dis-tancia e predomina na vizinhanca da fonte: F (R)/r2;

– Campo longınquo - Far field : varia linearmente com o inverso da dis-tancia e predomina a longa distancia da fonte: (1/cr)(∂F (R)/∂R).

• A θ = 90o nao existe perturbacao, pois estamos a igual distancia dos doispolos (ou seja, os seus campos anulam-se); observa-se deste modo que ocampo sonoro se anula em varios pontos.

De uma forma geral, podemos afirmar que uma fonte dipolar radia com menoreficiencia que uma fonte monopolar.

7.4 Exemplos de Fontes Acusticas

Admite-se a existencia de uma fonte sonora quando os criterios que levaram aequacao de onda homogenea

• Lei de Conservacao do Momento;

• Lei de Conservacao da massa;

• Equacao de Estado: p = p(ρ),

7-6

sao violados:

• Se o meio perturbado e circunscrito por uma superfıcie, vao existir alteracoesda velocidade e pressao do meio, que conduzem a geracao de som (e.g. esferaa pulsar).

• Sempre que existe injeccao de massa no meio.

• Se a Equacao de Estado p = p(ρ) e quebrada, e.g. calor e adicionado aofluido, a uma taxa nao constante.

Passamos a apresentar alguns exemplos de fontes acusticas, assim como a suaeficiencia como geradores de ruıdo.

7.4.1 Ruıdo de combustao (Combustion Noise)

Ao adicionar calor a um fluido, a sua densidade passa a ser funcao nao so dapressao, mas tambem do calor fornecido por unidade de fluido:

ρ = ρ(p, h) ⇒ dρ =∂ρ

∂p

∣∣∣∣h

dp +∂ρ

∂h

∣∣∣∣p

dh ⇔ dρ =1

c2dp +

∂ρ

∂h

∣∣∣∣p

dh (7-29)

Para um gas perfeito ρ = p/RT , ou seja

∂ρ

∂h

∣∣∣∣p

= − p

RT 2

∂T

∂h

∣∣∣∣p

= − p

RT 2Cp

= −ρ0(γ − 1)

c2, (7-30)

tendo-se

dρ =1

c2dp− ρ0(γ − 1)

c2dh (7-31)

Ao introduzir esta relacao na equacao (1-8), temos a nova equacao de onda (naohomogenea):

∂2ρ

∂t2−∇2p = 0 ⇒ 1

c2

∂2p

∂t2−∇2p =

ρ0(γ − 1)

c2

∂2h

∂t2, (7-32)

cuja solucao e dada por

p(~x, t) =ρ0(γ − 1)

4πc2

∂2

∂t2

∫h(~y, t− |~x− ~y|/c)

|~x− ~y|d3~y, (7-33)

donde se conclui que o campo sonoro e criado pela derivada da taxa de adiccao decalor: ”o aquecimento a taxa constante e silencioso.”

7-7

7.4.2 Geracao de som por “criacao linear” de materia ou por forcasexternas

Suponha-se agora que massa e adicionada a taxa m, por unidade de volume,passando a ocupar uma fraccao β de volume unitario do fluido original. A novaequacao de conservacao de massa passa a ser dada por

∂ρ

∂t+ ρ0∇~v = m. (7-34)

Da mesma forma, se temos forcas externas ~f(~x, t) aplicadas no elemento de volumedo fluido, a equacao do momento e

ρ0∂~v

∂t+∇p = ~f. (7-35)

No caso da adicao de massa, a densidade do fluido passa a ser dada pela soma dadensidade do fluido original ρf e da densidade da massa ρm, ρ = βρm + (1− β)ρf .Ao efectuar a segunda derivada em ordem ao tempo, obtemos:

∂ρ

∂t=

∂(βρm)

∂t+

∂ρf

∂t− ∂

∂t(βρf ) = m +

1

c2

∂p

∂t− ∂

∂t(βρf )

⇒ 1

c2

∂2p

∂t2− ∂2ρ

∂t2= −∂m

∂t− ∂2

∂t2(βρ0), (7-36)

onde m = ∂(βρm)/∂t. Esta ultima expressao pode ser expressa por

∂2ρ

∂t2=

1

c2

∂2p

∂t2+

∂m

∂t+ ρ0

∂2β

∂t2. (7-37)

Atraves de (7-34, 7-35, 7-37), temos a nova equacao de onda,

∂2ρ

∂t2−∇2p =

∂m

∂t−∇~f ⇒ 1

c2

∂2p

∂t2−∇2p = ρ0

∂2β

∂t2−∇~f, (7-38)

cuja solucao e dada por

p(~x, t) = ρ0∂2

∂t2

∫V

β(~y, t− |~x− ~y|/c)4π|~x− ~y|

d3~y − ∂

∂xi

∫V

fi(~y, t− |~x− ~y|/c)4π|~x− ~y|

d3~y. (7-39)

Constata-se facilmente que a adicao de massa nao gera som; o volume ocupadopela adicao da nova massa e o responsavel pela criacao de um campo sonoro:massa criada de uma forma muito densa mas pontual nao perturba praticamenteo fluido. Mais uma vez se verifica que alteracoes estacionarias nao geram ruıdo:apenas o deslocamento nao estacionario de volume (provocado por um crescimentoacelerado da adicao de massa) da origem a um campo sonoro, constituindo umafonte monopolar (ou seja, com grande eficiencia sonora). A aplicacao de uma forcaexterna leva a criacao de uma fonte sonora dipolar, logo menos eficaz.

7-8

7.5 Som Aerodinamico: Analogia Acustica de Lighthill

O som gerado pela interaccao da turbulencia com o meio (em repouso ou commuito menor velocidade do que a turbulencia) e definido como Som Aerodinamico.Como exemplos, temos a interaccao da esteira de vortices gerada pela asa de umaviao, ou do jacto de um motor, com o ar. A maior parte dos escoamentos naoestacionarios estudados na Aeronautica sao turbulentos, apresentando Numeros deReynolds elevados.

A radiacao acustica representa uma pequena fraccao da energia envolvida,podendo-se afirmar que a influencia do som produzido no proprio escoamento edesprezavel. Tal e valido para a maioria dos movimentos turbulentos produzidospelo motores a jacto e pelos escoamentos nos avioes; o mesmo nao se pode dizerde fenomenos com nıveis acusticos elevados: no caso do lancamento do foguetaoArianne ou do Space Shuttle, a radiacao sonora e tao elevada que acaba por alteraro proprio escoamento que o gera.

A analogia acustica de Lighthill foi desenvolvida em 1951, com o objectivo deestudar e prever o ruıdo produzido pelos motores a jacto, tecnologia que se en-contrava em franca expansao. No estudo desenvolvido, Lighthill considerou queo som produzido na interaccao de um escoamento turbulento (tal como um jactode um motor de aviao) com o nozzle, e uma pequena componente do movimentototal, podendo desta forma ser desprezada a sua influencia no proprio escoamento.Lighthill definiu a fonte sonora do movimento como sendo a diferenca entre asequacoes exactas que definem o fenomeno (Equacoes de Navier-Stokes) e as apro-ximacoes acusticas.

A equacao exacta da conservacao da massa para um elemento de Volume, edada por

∂ρt

∂t+

∂

∂xi

(ρtuti) = 0. (7-40)

Para a equacao exacta do momento, temos

ρtDuti

Dt= − ∂p

∂xi

+∂τ ij

∂xj

+ Fi, (7-41)

onde ∂p/∂xi e a forca criada pelo gradiente de pressao (provocado pela perturba-cao) na paredes do elemento de Volume, ∂τ ij/∂xj e o tensor das tensoes, e Fi asforcas externas aplicadas no elemento de Volume, tais como forcas gravıticas ouelectromagneticas: no modelo agora considerado Fi ≡ 0. Adicionando a equacaoda massa a esta ultima equacao, temos

ρtDuti

Dt+ uti

(∂ρt

∂t+

∂

∂xi

(ρtuti)

)= − ∂p

∂xi

+∂τij

∂xj

= −∂pij

∂xj

, (7-42)

7-9

com pij = pδij − τij; ou seja,

ρt∂uti

∂t+ ρutj

∂uti

∂xj

+ uti

∂ρt

∂t+ uti

∂

∂xj

(ρtutj) =− ∂pij

∂xj

(7-43)

⇔ ∂

∂t(ρtuti) +

∂

∂xj

(ρtutiutj) =− ∂pij

∂xj

(7-44)

⇔ ∂

∂t(ρtuti) +

∂

∂xj

(pij + ρtutiutj) =0, (7-45)

onde ρtutiutj e o Tensor de Reynolds. Temos entao:

∂

∂xi

∂

∂t(ρtuti) +

∂

∂xi

∂

∂xj

(pij + ρt)utiutj) =0

∂

∂t

∂ρt

∂t+

∂

∂t

∂

∂xi

(ρtuti) =0

⇒

⇒ ∂2ρt

∂t2=

∂2

∂xi∂xj

(ρtutiutj + pij) ⇒

⇒ ∂2ρt

∂t2− c2∇2ρ =

∂2

∂xi∂xj

(ρtutiutj + ppij)− c2∇2ρ. (7-46)

Como c2∇2ρ = c2∂2(ρδij)/∂xi∂xj, temos a Equacao de Lighthill :

∂2ρ

∂t2− c2∇2ρ =

∂2Tij

∂xi∂xj

(7-47)

onde Tij e o Tensor das tensoes de Lighthill :

Tij = ρtutiutj + pij − c2ρδij. (7-48)

Note-se que nenhuma aproximacao foi efectuada na deducao da Equacao de Lighthill.A solucao da Equacao de Lighthill e dada por

ρ(~x, t) =∂2

∂xi∂xj

∫V

Tij(~y, t− |~x− ~y|/c)4πc2|~x− ~y|

dV, (7-49)

donde se conclui que a fonte sonora do Som Aerodinamico e caracterizada poruma distribuicao de fontes quadripolar, ou seja, a turbulencia gera som com umadistribuicao quadripolar. Num escoamento invıscido onde se tenham consideradoaproximacoes lineares:

• ρutiutj ≈ 0

• pij = pδij − τij = pδij

Como p = c2ρ, temos Tij = 0: o Tensor de Lighthill anula-se na ausencia deturbulencia.

7-10

7.5.1 Ruıdo de Jacto (Jet Noise)

Considere-se um escoamento de um jacto com velocidade U e diametro D. Poruma questao de consistencia dimensional, a frequencia caracterıstica do escoamentodevera ser dada por U/D, sendo tambem a frequencia do som gerado. A escalatemporal e D/U ; durante este tempo, o som tera viajado um comprimento de ondaa velocidade do som, ou seja:

λ = cD

M⇒ λ =

D

M⇒ M =

D

λ. (7-50)

O numero de Mach e dado pela razao entre a dimensao da fonte e o comprimentode onda caracterıstico λ (designada tambem por razao de compacticidade - com-pactness ratio). Para um numero de Mach pequeno, λ � D: a regiao da fonte ecompacta e podemos desprezar a diferenca entre os tempos retardados dos varioselementos da fonte sonora. Deste modo:

• ∂/∂xi e equivalente a λ−1 ou M/D,

•∫

dV e equivalente a D3,

• Tij e dimensionalmente equivalente a ρ0U2,

obtendo-se a famosa Lei da Oitava potencia da Velocidade de Lighthill –“A poten-cia acustica do som gerado pelo escoamento turbulento de jactos subsonicos variana proporcao da oitava potencia da velocidade do jacto”:

ρ ∼ ρ0M4 D

|x|⇒ ρ2 ∼ ρ2

0M8 D2

|x|2, para M � 1 (7-51)

Este resultado foi deduzido por Lighthill, tendo sido bem confirmado com re-sultados experimentais posteriores a sua deducao; permitiu inclusive alertar parapotenciais problemas de ruıdo que novas geracoes de motores a jacto mais potentesiriam criar.

A Lei da oitava potencia de Lighthill e valida para numeros de Mach pequenos;sabe-se no entanto que a potencia total do jacto aumenta apenas com o cuboda velocidade do jacto: mesmo que toda a potencia do jacto se transformasseem potencia acustica (ruıdo), nao seria possıvel continuar a variar com a oitavapotencia, a medida que a velocidade aumentasse. De facto, para numeros de Machsupersonicos, a regiao da fonte deixa de ser compacta (D/λ = M � 1 ⇒ D � λ),verificando-se que a estrutura do campo sonora passa a ser dominada por variacoesdo tempo retardado na regiao da fonte.

Para |~x| elevados,

|~x− ~y| = |~x| − ~x · ~y|~x|

+ O

(1

|~x|

)∼ r − yr, (7-52)

7-11

onde r = |~x| e yr = ~y ·~x/|~x| e a componente de ~y na direccao do observador. Destemodo,

ρ(~x, t) =∂2

∂xi∂xj

∫V

Tij(~y, t− |~x− ~y|/c)4πc2|~x− ~y|

dV ≈ 1

4πc2r

∂2

∂r2

∫Trr(~y, τ)dV, (7-53)

com

Trr =xixj

|~x|2Tij − componente de Tij na direccao do observador,

τ = t− r

c+

yr

c− tempo retardado.

A variavel de integracao dV pode ser escrita como dV = dyrSr onde Sr e a super-fıcie yr = const. Como τ = t− r/c + yr/c, temos dyr = cdτ , ou seja

ρ(~x, t) =≈ 1

4πc2r

∂2

∂r2

∫Trr(~y, τ)dSrdτ, (7-54)

onde se definiu ~y = (~ys, yr) = (~ys, c(τ − t) + r)Tendo em conta os seguintes pontos:

• A variacao em yr e da ordem de D/m, enquanto τ varia de D/U ; comoD/M ∼ 0 para jacto supersonico, a variacao em yr e desprezavel no integral;

• O operador ∂/∂r so actua ao longo de yr, pelo que contribui com uma vari-acao da ordem de 1/D;

• ∂/∂r e equivalente a 1/D

•∫

SdS e equivalente a D2;

•∫

τdτ e equivalente a D/U

• Tij e equivalente a ρ0U2,

obtem-se a seguinte dependencia do campo sonora com a velocidade

ρ ∼ ρ0MD

r⇒ ρ2 ∼ ρ2

0M2D2

r2(7-55)

Como o numero de turbilhoes que podem ser ouvidos tambem aumenta com o nu-mero de Mach, conclui-se que a potencia acustica varia com o cubo da velocidade,para jactos supersonicos: ρ2 ∼ M3.

7-12

7.6 O Som de corpos no escoamento

Na presenca de corpos num escoamento, e conveniente transformar os integraisda solucao do campo sonoro (7-47) que correspondem aos volumes ocupados pelointerior dos corpos, em integrais de superfıcie. Este procedimento evita que tenha-mos de estudar o comportamento do campo de tensoes e perturbacoes no interiordos corpos.

Como |~x− ~y|e uma funcao simetrica:

∂

∂xi

|~x− ~y| = 1

2|~x− ~y|−12(xi − yi) =

xi − yi

|~x− ~y|, (7-56)

∂

∂yi

|~x− ~y| = −1

2|~x− ~y|−12(xi − yi) = −xi − yi

|~x− ~y|. (7-57)

Para r = |~x− ~y|, temos

∂

∂xi

|~x− ~y| = − ∂

∂yi

|~x− ~y| ⇔ ∂r

∂xi

= − ∂r

∂yi

⇒ ∂

∂xi

f(r) =∂r

∂xi

∂f

∂r=

∂r

∂yi

∂f

∂r= − ∂

∂yi

f(r). (7-58)

Deste modo,

∂

∂xi

{Tij(~y, t− r/c)

r

}=

∂r

∂xi

{∂Tij

∂r

1

r+ Tij

∂r−1

∂r

}(7-59)

∂

∂yi

{Tij(~y, t− r/c)

r

}=

∂Tij

∂yi

1

r+

∂r

∂xi

{∂Tij

∂r

1

r+ Tij

∂r−1

∂r

}(7-60)

=∂Tij

∂yi

1

r− ∂

∂xi

{Tij(~y, t− r/c)

r

}, (7-61)

obtendo-se a derivada

∂

∂xi

{Tij(~y, t− r/c)

r

}=

∂Tij

∂yi

1

r− ∂

∂yi

{Tij(~y, t− r/c)

r

}. (7-62)

Ao definir ”[]”como a derivada calculada na posicao ~y e no tempo retardado t−r/c,

∂

∂xi

[Tij] ≡∂

∂xi

Tij(~y, t− r/c), (7-63)

7-13

e possıvel escrever (7-62) atraves da expressao:

∂

∂xi

[Tij

r

]=

[1

r

∂Tij

∂yi

]− ∂

∂yi

[Tij

r

](7-64)

=

[1

r

∂(ρtutiutj + pij − c2ρδij)

∂yi

]− ∂

∂yi

[ρtutiutj + pij − c2ρδij

r

](7-65)

=

[1

r

∂(ρtutiutj + pij)

∂yi

]− c2

[1

r

∂ρ

∂yj

]− ∂

∂yi

[(ρtutiutj + pij)

r

]+ c2 ∂

∂yj

[ρr

]. (7-66)

Pela equacao de conservacao do momento,

∂

∂yi

(ρtutiutj + pij) = −∂

∂(ρutj), (7-67)

temos

∂

∂xi

[Tij

r

]= −

[1

r

∂

∂t(ρutj)

]− ∂

∂yi

[ρtutiutj + pij

r

]− c2

{[1

r

∂ρ

∂yj

]− ∂

∂yj

[ρr

]}︸ ︷︷ ︸

≡c2 ∂∂xj

[ ρr ]

(7-68)

= − ∂

∂yj

[ρutiutj + pij

r

]− c2 ∂

∂xj

[ρr

]−[1

r

∂

∂t(ρutj)

](7-69)

⇒ ∂2

∂xi∂xj

[Tij

r

]= − ∂2

∂yj∂xj

[ρutiutj + pij

r

]− c2 ∂

∂xj∂xj

[ρr

]− ∂

∂xj

[1

r

∂

∂t(ρutj)

]. (7-70)

Da mesma forma,

∂

∂xj

[1

r

∂

∂t(ρtutj)

]=

[1

r

∂2

∂yj∂t(ρtutj)

]− ∂

∂yj

[1

r

∂

∂t(ρtutj)

](7-71)

=

[−1

r

∂2ρt

∂t

]− ∂

∂yj

[1

r

∂

∂t(ρtutj)

](7-72)

7-14

pelo que a derivada da integranda de (7-47) e dada por:

∂

∂xi

[Tij

r

]= − ∂2

∂xj∂yj

[ρutiutj + pij

r

]+

∂

∂yi

[ρtutiutj + pij

r

]+

{∂2

∂t2− c2 ∂2

∂xi∂xj

}[ρr

]︸ ︷︷ ︸

=0

, (7-73)

onde o ultimo termo se anula, pois e equivalente a equacao de onda homogenea enao estarmos situados na regiao da fonte sonora (r 6= 0). Ao integrar a segundaderivada do tensor de Lighthill num volume V0 que contenha o corpo,

∂2

∂xi∂xj

∫V0

[Tij

r

]dV = − ∂

∂xj

∫V0

∂

∂yj

[ρtutiutj + pij

r

]dV

+∂

∂t

∫V0

∂

∂yj

[1

rρtutj

]dS, (7-74)

e aplicando o teorema da divergencia, onde ~n e a normal a superfıcie S que encerrao corpo, temos finalmente a expressao para o campo sonoro criado pela presencado corpo no escoamento:

∂2

∂xi∂xj

∫V0

[Tij

r

]dV = − ∂

∂xj

∫S

ni

[ρtutiutj + pij

r

]dS

+∂

∂t

∫S

[ρt

~ut · ~nr

]dS. (7-75)

O campo sonoro situado no interior do corpo corresponde a soma de uma distri-buicao de monopolos e dipolos, situados na superfıcie S do corpo. A intensidadedos monopolos por unidade de area corresponde ao fluxo de massa que atravessaa superfice: ρ~ut ·~n. A intensidade dos dipolos e dada pela pressao distribuıda pelasuperfıcie (ou seja, corresponde a forca que o corpo exerce no meio).

O campo sonoro total passa a ser dado pelas contribuicoes do escoamentoturbulento e do corpo presente no meio:

ρ(~x, t) =1

4πc2

∂2

∂xi∂xj

∫V

[Tij

r

]dV

− 1

4πc2

∂

∂xj

∫S

ni

[ρutiutj + pij

r

]dS

+1

4πc2

∂

∂t

∫S

[ρt

~ut · ~nr

]dS. (7-76)

7-15

Se o corpo e rıgido e esta parado, ~ut · ~n = 0 na superfıcie do corpo, tendo-se

ρ(~x, t) = − 1

4πc2

∂

∂xi

∫S

ni

[pr

]dS. (7-77)

Para um corpo compacto, podemos desprezar a variacao do tempo retardado,obtendo-se a expressao

ρ(~x, t) ∼ − 1

4πc2

∂

∂xi

[∫S

nip

rdS

](7-78)

= − 1

4πc2

∂

∂xi

[Fi

r

](7-79)

onde Fi =∫

SnipdS e a forca total exercida pelo corpo no meio. De um modo

geral, podemos afirmar que todos os corpos rıgidos compactos num escoamentoturbulento geram som devido as forcas nao estacionarias que neles actua. Tipica-mente, a intensidade destas forcas e dada por F ∼ ρ0U

2D2. Atraves da relacaodimensional ∂/∂xi ∼ M/D, podemos escrever

ρ ∼ ρ0M3D

r⇒ ρ2 ∼ ρ2

0M6D2

r2. (7-80)

As forcas que actuam num corpo (e que constituem uma fonte dipolar) geram somde uma forma mais eficiente do que escoamento turbulento de baixo numero deMach (onde ρ2 ∼ M8).

Por outro lado, se o volume do corpo esta a variar no tempo, o terceiro termode (7-76) e agora o dominante, e a geracao de ruıdo e ainda mais eficiente, pois edada por uma distribuicao de monopolos:

ρ(~x, t) ∼ 1

4πc2

∂

∂t

∫S

ρ~ut · ~n

rdS. (7-81)

Para um corpo compacto,

ρ(~x, t) ∼ 1

4πc2

∂

∂t

[Q

r

], (7-82)

onde Q = ρ0

∫S(~ut)ndS e a taxa de fluxo de volume que sai da superfıcie S para o

meio. Neste caso,

ρ ∼ ρ0M2D

r⇒ ρ2 ∼ ρ2

0M4D2

r2. (7-83)

Conclui-se deste modo que a introducao nao estacionaria de volumes num meioconstitui um meio extremamente eficiente de producao de ruıdo: um jacto de arque contenha bolhas a vibrar e muito eficiente ao nıvel acustico (basta pensarna agua a sair das torneiras). Da mesma forma, um escoamento turbulento emcontacto com um corpo gera som muito mais eficientemente do que no espaco livre:basta comparar o acto de soprar para o ar, com o de soprar de encontro ao bordode uma folha de papel...

7-16

8 O Campo Sonoro de Fontes em Movimento

Na Aeronautica, a maior parte do ruıdo e causado por fontes em movimento: nomomento da aterragem ou descolagem, todas as componentes do aviao produzemruıdo; mesmo quando o aviao esta em terra, temos de considerar o barulho causadopelas pas dos helices ou dos motores a pa, a rodar a grande velocidade. Comose vera adiante, o movimento da fonte tem uma influencia consideravel no somproduzido.

Dada uma fonte de intensidade q(~y, t) e o campo sonoro por ela produzido,

p(~x, t) =

∫q(~y, τ)

4π|~x− ~y|d3~y, (8-1)

onde τ e o tempo retardado τ = t−|~x−~y|/c, podemos sempre usar a equivalencia

p(~x, t) ≡∫

q(~y, τ)

4π|~x− ~y|δ(t− τ − |~x− ~y|/c)d3~ydτ. (8-2)

Suponhamos que a fonte e pontual, situada em ~x = ~xs(t),

q(~x, t) = Q(t)δ(~x− ~xs(t)). (8-3)

A pressao sonora passa a ser dada pelo integral:

p(~x, t) =

∫Q(τ)δ(~y − ~xs(τ))δ(t− τ − |~x− ~y|/c)

4π|~x− ~y|d3~ydτ (8-4)

=

∫ +∞

−∞

Q(τ)δ(t− τ − |~x− ~xs(τ)|/c)4π|~x− ~xs(τ)|

dτ, (8-5)

onde se utilizou a propriedade da funcao delta∫

δ(x − x0)f(x)dx ≡ f(x0) parasimplificar o integral. Embora a funcao delta existente na segunda igualdade (8-5)nao seja funcao directa da variavel de integracao τ , continua a poder simplificarconsideravelmente a expressao, dado ter a propriedade:∫ +∞

−∞f(τ)δ(g(τ))dτ =

[f(τ)

|dg/dτ |

]t=τ∗

(8-6)

onde τ ∗ e um zero de g, g(τ ∗) = 0, e onde o lado direito deve ser somado tantasvezes quantos os zeros de g. A demonstracao e imediata:∫ +∞

−∞f(τ)δ(g(τ))dτ =

∫ +∞

−∞f(τ)δ(g(τ))

dτ

dg(τ)dg(τ)

=

{f(τ)

[dg(τ)

d(τ)

]−1}

g(τ)=0

(8-7)

8-1

No caso particular de uma fonte em movimento (8-4), g(τ) = t− τ −|~x−~xs(τ)|/c,sendo a sua derivada dada por

dg

dτ= −1 +

xi − xsi

|~x− ~xs|cdxsi

τ= −1 + Mr ⇒

∣∣∣∣dg

dτ

∣∣∣∣ = |1 − Mr|, (8-8)

onde cMr e a componente da velocidade da fonte na direccao do observador. Ocampo sonoro de uma fonte pontual em movimento (x = xs(t)) e assim dado por

p(~x, t) =Q(τ ∗)

4πr|1−Mr|(8-9)

onde r = |~x − ~xs(τ∗)| e τ ∗ e a solucao de c(t − τ ∗) = |~x − ~xs(τ

∗)|; a expressao(8-9) deve ser somada para todos os valores de τ ∗. Se a fonte esta em repouso,o campo sonoro e omnidireccional; se a fonte apresenta velocidade nao nula, aperturbacao e mais intensa a frente da fonte (onde 1−Mr e menor), do que atras(1−Mr aumenta de valor). Observa-se tambem que uma fonte com movimento naoestacionario emite um campo sonoro nao estacionario, mesmo que a sua intensidadeQ(t) seja constante.

Analisemos de seguida o caso de uma fonte com velocidade constante, na di-reccao x1, encontrando-se na origem para t = 0. Seja Mr = M cos θ, onde θ e oangulo entre a posicao do observador e o eixo x, para cada tempo de emissao τ ∗;neste caso

c(t− τ ∗) ={(x1 − Uτ ∗)2 + x2

2 + x23

}1/2. (8-10)

Se a fonte se encontra na vizinhanca da origem e o observador a grande distancia,as seguintes aproximacoes sao validas

c(t− τ ∗) = |~x|

{1− 2Ux1τ

∗

|~x|2+

U2τ ∗2

|~x|2︸ ︷︷ ︸≈0

}1/2

(8-11)

≈ |~x|{

1− x1

|~x|2Uτ ∗

}1/2

, (8-12)

tendo-se

τ ∗ =t− |~x|/c

1− Ux1/|~x|c. (8-13)

Usando-se a aproximacao cos θ = x1/|~x|, a expressao simplifica-se,

τ ∗ =t− |~x|/c

1−M cos θ. (8-14)

8-2

8.1 Frequencia do Som Ouvido

Podemos relacionar a frequencia do som ouvido pelo observador, com a frequen-cia do som emitido, pela igualdade:

∂p

∂t=

∂τ ∗

∂t

∂

∂τ ∗

{Q(τ ∗)

4πr(1−Mr)

}≈ ∂τ ∗

∂t

∂Q(τ ∗)

∂τ ∗1

4πr(1−Mr). (8-15)

Da relacao c(t− τ ∗) = {(x1 − Uτ ∗)2 + x22 + x2

3}1/2

, temos

1− ∂τ ∗

∂t= − x1 − Uτ ∗

{(x1 − Uτ ∗)2 + x22 + x2

3}1/2

U

c

∂τ ∗

∂τ

= − cos θM∂τ ∗

∂t(8-16)

⇒ ∂τ ∗

∂t=

1

1−M cos θ, (8-17)

ou seja,

∂p

∂t=

1

1−M cos θ

∂Q(τ ∗)

∂τ ∗1

4πr(1−Mr)(8-18)

⇒ 1

p

∂p

∂t=

1

1−M cos θ

∂Q(τ ∗)

∂τ ∗1

Q(τ ∗). (8-19)

Como ∂p/∂t = iωp, podemos estabelecer a seguinte regra:

Frequencia do som medidopelo observador

=1

1−M cos θ× Frequencia do som

emitido pela fonte.(8-20)

O som radiado pela fonte em movimento, com uma frequencia ω, e ouvido peloobservador em ~x com a frequencia ω/(1 − M cos θ). O factor (1 − M cos θ)−1 edesignado por Factor de Doppler. Para uma fonte subsonica (M < 1) que:

• se aproxima do observador: (1−M cos θ)−1 > 1,

• se afasta do observador: (1−M cos θ)−1 < 1.

Se a fonte e supersonica com M = 2 e se encontra a aproximar do observador(cos θ = 1), 1 −M cos θ = −1: o som seria ouvido a mesma frequencia, mas detras para a frente!

8-3

8.1.1 Solucao exacta de τ ∗

Da equacao (8-13) para τ ∗ temos

c(t− τ ∗) ={(x1 − Uτ ∗)2 + x2

2 + x23

}1/2(8-21)

⇔ c2(t2 + τ ∗2 − 2tτ ∗) = (x1 − Uτ∗)2 + x22 + x2

3 (8-22)

⇔ c2(1−M2)τ ∗ − 2c(ct−Mx1)τ∗ + c2t2 − x2

1 − x22 − x3

3 = 0 (8-23)

⇔ τ ∗ =ct−Mx1 ±

√(x1 − Ut)2 + (1−M2)(x2

2 + x23)

c(1−M2). (8-24)

As solucoes de τ ∗ tem de ser reais e anteriores ao tempo do observador, τ ∗ < t. Parauma fonte subsonica, apenas a solucao ”com sinal −”satisfaz as duas condicoes, ouseja: existe apenas um valor de τ ∗ possıvel.

8.2 Coordenadas do Emissor e do Receptor

Consideremos as coordenadas (R, Θ) da posicao da fonte, medidas no tempo tem relacao ao observador:

R ={(x1 − Ut)2 + x2

2 + x23

}1/2; (8-25)

cos Θ = {x1 − Ut}/R. (8-26)

Temos entao:

τ ∗ = t− R

c(1−M2)

{M cos Θ±

√1−M2 sin2 Θ

}(8-27)

Deste modo, e possıvel caracterizar dois tipos de coordenadas da posicao da fonte,em relacao ao observador:

Coordenadas do Emissor (r, θ) coordenadas medidas no tempo τ ∗ em que osom foi emitido: r = c(t− τ ∗).

Coordenadas do Receptor (R, Θ) coordenadas medidas no tempo t em que osom foi recebido: R2 = (x1 − Ut)2 + x2

2 + x23.

A expressao da pressao e dada, nas coordenadas do emissor, pela expressao jadeduzida:

p(~x, t) =Q(τ ∗)

4πr(1−Mr cos θ). (8-28)

Nas coordenadas do receptor, passa a ser dada por

p(~x, t) =1

4πR√

1−M2 sin2 ΘQ

(t−

R(M cos Θ +

√1−M2 sin2 Θ

)c(1−M2)

). (8-29)

8-4

8.3 Fonte Supersonica

Se a velocidade da fonte e supersonica (M > 1), o tempo τ ∗ so assume umvalor real em (8-27) se

1−M2 sin2 θ > 0 ⇔ | sin θ| < 1/M ⇒ |θ| < sin−1(1/M), (8-30)

ou

(x1 − Ut)2 + (1−M2)(x22 + x2

3) > 0 ⇒ Ut− x1 > (M2 − 1)2√

x22 + x2

3. (8-31)

Apenas os observadores localizados dentro de um cone de abertura ± sin− 1(1/M)- Cone de Mach, poderao ouvir o som produzido pela fonte; nesta regiao, ambos osvalores de τ ∗ sao reais e menores do que t, ou seja, som emitido em dois instantesdiferentes τ ∗1 τ ∗2 e ouvido simultaneamente em ~x, no instante t:

τ ∗1,2 =Mx1 − ct±R

c(M2 − 1), (8-32)

com R =√

(Ut− x1)2 − (M2 − 1)(x32 + x2

3). Para estes valores de τ ∗,

r|1−Mr| = r

∣∣∣∣1− M(x1 − Uτ ∗)

r

∣∣∣∣ = |r −M(x1 − Uτ ∗)| = R. (8-33)

A pressao acustica e dada pela soma das duas perturbacoes, correspondentes aosdois tempos τ ∗:

p(~x, t) =1

4πR

{Q

(Mx1 − ct + R

c(M2 − 1)

)+ Q

(Mx1 − ct−R

c(M2 − 1)

)}. (8-34)

Como as duas contribuicoes apresentam frequencias diferentes, vai existir inter-ferencia entre ambas. Se o observador estiver localizado na superfıcie do cone,R = 0, e a pressao apresenta uma singularidade. Obviamente, tal acontece apenasse a fonte for considerada pontual; numa aviao em movimento com as fontes dis-tribuıdas por uma dada regiao, assiste-se a uma concentracao de ondas sonoras nasuperfıcie do cone, que provoca um som muito intenso e de curta duracao: SonicBoom.

8.3.1 Campo sonoro de uma fonte pontual em movimento:adicao pontual de massa e/ou forca pontual

Como exemplo, consideremos as adicoes ao elemento de volume, de fluido dedensidade ρ0 a razao ρ0β(t), assim como de uma forca ~f(t), ambas a velocidade

8-5

~x = ~Ut. As equacoes de conservacao da massa e do momento passam a ser dadasrespectivamente por:

∂ρ

∂t+ ρ0∇~u = ρ0βδ(~x− ~Ut), (8-35)

ρ0∂~u

∂t+∇p = ~fδ(~x− ~Ut). (8-36)

A equacao de onda e dada como habitual, pela duas equacoes de conservacao:

1

c2

∂2p

∂t2−∇2p = ρ

∂

∂t

{βδ(~x− ~Ut)

}− ∂

∂xi

{fiδ(~x− ~Ut)

}. (8-37)

Tal como anteriormente, a presenca de δ(~x − ~Ut) leva a solucao para a pressaosonora:

p(~x, t) = ρ0∂

∂t

[β(τ ∗)

4πr|1−Mr|

]− ∂

∂xi

[fi(τ

∗)

4πr|1−Mr|

]. (8-38)

Sabendo que

c(t− τ ∗) ={(x1 − U1τ

∗)2 + (x2 − U2τ∗)2 + (x3 − U3τ

∗)2}1/2

(8-39)

⇒ ∂τ ∗

∂xi

= − xi − Uiτ∗

cr(1−Mr), (8-40)

temos

p(~x, t) =[ρ0β(τ ∗) + fr(τ

∗)] 1

4πr(1−Mr)|1−Mr|, (8-41)

onde fr(t) e a componente de ~f na direccao do observador, no tempo τ ∗.A existencia de movimento provoca a introducao do factor (1−Mr)

−1, no somcriado pelas duas fontes; note-se tambem que a adicao de massa no elemento defluido leva necessariamente a variacao do seu momento linear, o que implica porsua vez a existencia de forcas externas alem da forca externa ~f(t)) considerada;

dito de outro modo, ~f(τ) apresenta uma contribuicao de β(τ).

8-6

? ? ? ? ? ? ?

8-7

Anexos

8-8

A Simplificacao de I0(s)

Com o objectivo de simplificar a expressao

I0(s) = I0(s0) exp

[−1

2

∫ s

s0

{c∇2τ + ρ0

∂

∂s

(1

ρ0

)}ds

], (A-1)

torna-se mais simples analisar cada um dos termos do integral:

exp

[−1

2

∫ s

s0

∂

∂s

(1

ρ0

)]= exp

[−1

2ln (1/ρ0(s))

∣∣∣∣ss0

]=

[ρ0(s)

ρ0(s0)

]1/2

. (A-2)

Quanto ao termo exp[−∫ s

s0c∇2τds/2], considere-se um raio definido por um tubo

de comprimento δS e area transversal ∆A(s). Seja Σ a sua superfıcie e V o seuvolume. Pelo teorema da divergencia temos

∫∇2τdV =

∫Σn · ∇τdΣ. Sabemos

tambem que ~n e perpendicular a ∇τ nas paredes laterais (ou seja, ~n · ∇τ = 0),sendo dado nas extremidades pela relacao ~n = ±c∇τ ⇒ ~n·∇τ = ±c(∇τ)2 = ±1/c.Temos assim:

∇2τδSδA =∆A(s + δs)

c(s + δs)− ∆A(s)

c(s)=

∂

∂s

(∆A

c

)δs ⇒

⇒ c∇2τδs =c

∆A

∂

∂s

(∆A

c

)δs, (A-3)

pelo que o integral pode ser dado por:

exp

[−1

2

∫ s

s0

c∇2τds

]= exp

[−1

2

∫ s

s0

c

∆A

δ

δs

(∆A

c

)ds

]= exp

[−1

2ln

∆A(s)

c(s)

∣∣∣∣ss0

]

= exp

[−1

2ln

(∆A(s)c(s0)

∆A(s0)c(s)

)]=

(c(s)∆A(s0)

c(s0)∆A(s)

)1/2

.

O termo I0(s) e definido finalmente pela expressao:

I0(s) = I0(S0)

[ρ0(s)c(s)

∆A(s)

∆A(s0)

ρ0(s0)c(s0)

]⇒ I2

0 (s)A(s)

ρ0(s)c(s)= const. (A-4)

1-1