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Elementos de Álgebra Linear

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Elementos de lgebra Linear Elementos de lgebra Linear Elementos de lgebra Linear Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto Elementos de lgebra Linear - Antonio Faria Neto2MATRIZES E SUAS OPERAES 1.0Definies Aseguirserapresentado,deformabemobjetiva,umconjuntodeconceitoselementares que so fundamentais construo da teoria de matrizes . 1.1Definio de Matriz Chama-se de matriz ordemm n ( l-se, m por n ), ao arranjo retangular dem n ( produto entremen),elementosdispostosemmlinhasencolunas.Comoexemplo,considereamatrizA representada a seguir : 11 12 121 22 21 2nnm m mna a aa a aAa a a ( ( (= ( (

1.2Representao dos Elementos de uma Matriz Cada elemento da matriz A afetado por dois ndices : ija ija 1.3Representao de uma Matriz A matriz A pode ser representada, abreviadamente, por: [ ] ( ),1, , 1, ,1, , 1, ,m n mn ij ijmnmn mni m i mA A A A a aj n j n = = ( = = = = = = = Indica a coluna qual pertence o elemento Indica a linha qual pertence o elemento Elementos de lgebra Linear - Antonio Faria Neto3Exemplo 1.1:Represente a seguinte matriz: 2 3,tal que ij ijA a a i j ( = = + 11 2111 12 1312 2221 22 2313 231 1 2 2 1 32 3 4onde 1 2 3 e2 2 4 logo 3 4 51 3 4 2 3 5a aa a aA a a Aa a aa a= + = = + = (( = = + = = + = = (( = + = = + = 1.4Ordem de uma Matriz o nmero de linhas (m) versus o nmero de colunas (n) de uma matriz, isto ,m n (l-se m por n). Representa-se, entre outras formas, por :( ) , m nA ou mnA 1.5Matriz Retangular uma matriz na qual o nmero de linhas (m) difere do nmero de colunas (n), isto ,m n . 1.6Matriz Quadrada uma matriz na qual o nmero de linhas (m) e colunas (n) igual, isto ,m n = . Neste caso, costuma-se dizer, por simplicidade, que se trata de uma matriz de ordem m ou ordem n. Exemplo: As matrizes a seguir so exemplos de matrizes quadradas 2 21 23 4A (= ( uma matriz quadrada de ordem 2 3 31 2 34 5 67 8 9B ( (= ( ( uma matriz quadrada de ordem 3 1.7Matriz Coluna ou Vetor Coluna Elementos de lgebra Linear - Antonio Faria Neto4 toda matriz de ordem1 m , isto , 121 mmaaAa ( ( (= ( (

1.8Matriz Linha ou Vetor Linha toda matriz de ordem 1 n , isto ,[ ]1 1 2 n nA a a a= 1.9Diagonal Principal Numamatrizquadrada ijA a( = ,deordemn,adiagonalprincipalformadapelos elementosija , tais quei j = . 11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a aAa a a ( ( (= ( (

Peloexpostoacima,torna-seevidentequeesteconceitovlidosomenteparamatrizes quadradas. 1.10Diagonal Secundria Numamatrizquadrada ijA a( = ,deordemn,adiagonalsecundriaformadapelos elementos ija , tais que1 i j n + = + . ( )( ) ( )( )11 12 121 2 2 13 3 2 3 11 1nn nn n nn nn nna a aa a aAa a aa a a ( ( (= ( ( (

Elementos de lgebra Linear - Antonio Faria Neto52.0Matrizes Especiais I Existemmatrizes,queporsuascaractersticasparticulares,soconsideradasnotveis,e, portanto, merecem um destaque especial. 2.1Matriz Diagonal uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal so todos nulos, isto : tal que 0 para ij ijn nA a a i j ( = = 11220 00 00 0nnaaAa ( ( (= ( (

2.2Matriz Escalar Trata-se de um caso particular de matriz diagonal. uma matriz onde todos os elementos da diagonal principal so iguais entre si. Isto : 0 tal que ij ijn ni jA a ae i j ( = = =, onde e representa um escalar qualquer. 0 00 00 0eeAe ( ( (= ( (

2.3Matriz Identidade Elementos de lgebra Linear - Antonio Faria Neto6A matriz identidade uma matriz escalar onde todos os elementos da diagonal principal so iguais a um. A matriz identidade se representa da seguinte forma:Iou nI . Isto : 0 tal que 1n ij ijn ni jI I Ii j ( = = = 1 0 00 1 00 0 1I ( ( (= ( (

A matriz identidade representa o elemento neutro da multiplicao da lgebra matricial, isto ,qualquermatrizmultiplicadapelamatrizidentidade,dimensionalmentecompatvel,resulta sempre na mesma matriz. Sendo A uma matriz qualquer, tem-se que: AI IA A = = OndeIamatrizidentidadecomadimensocompatvelpararealizaraoperaode multiplicao que ser explicada posteriormente. Exemplo : Construir as matrizes identidades de ordem 2, 3 e 4 21 00 1I (= ( ; 31 0 00 1 00 0 1I ( (= ( ( ; 41 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1I ( ( (= ( ( 2.4Matriz Triangular Superior uma matriz quadradaem que os elementos abaixo da diagonal principal so todos nulos. Isto : Elementos de lgebra Linear - Antonio Faria Neto7 tal que0, i>jij ijn nA a a ( = = 11 12 122 200 0nnnna a aa aAa ( ( (= ( (

2.4Matriz Triangular Inferior umamatrizquadradaemqueoselementosacimadadiagonalprincipalsotodosnulos. Isto : tal que0, i II. 0A I = III.Se A for uma matriz invertvel, ento se define as potncias inteiras negativas: ( )1 1 1 1nnA A A A A = = 5.2Propriedades da Potenciao Considerando-se A uma matriz quadrada invertvel, r e sinteirosno-nulosekumescalar qualquer, verificam-se as seguintes propriedades: I. r s r sA A A+ =II. ( )sr rsA A=III.Se A for invertvel, ento 1A tambm ser, portanto ( )11A A=IV.Se A for invertvel ento rA tambm ser, portanto ( ) ( )11rrA A=V.( )111kA Ak| |= |\ 5.3Matriz Peridica Dada uma matriz quadrada A, diz-se que A uma matriz peridica se: nA A = ( ) 2 n

Se n for o menor nmero inteiro para o qual a igualdade acima se verifica, ento diz que A uma matriz peridica de perodo1 n . n fatores n fatores Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto26Exemplo : Dada a matriz 2 31 2A (= ( , Calcular a) 2A22 3 2 3 1 01 2 1 2 0 1A (((= = ((( b) 3A3 21 0 2 3 2 30 1 1 2 1 2A AA (((= = = ((( c) 14A( )714 2 7A A I I = = = d) 21A ( )1020 1 20 1 2 10A A A A A I A I A A+= = = = = 5.4Matriz Idempotente uma matriz peridica cujo perodo um. Isto : 2 2 3 nA A A A A A = = = = = Exemplo: Um caso clssico de matriz idempotente a matriz identidade 2 2 3 nI I I I I I I I = = = = = = 5.5Matriz Nihilpotente Dada uma matriz quadrada A, se existir um inteiro positivo p, tal que: [ ] 0pA =diz-se que A uma matriz nihilpotente. Se p for o menor inteiro para o qual a igualdade acima se verifica, ento, A uma matriz nihilpotente de ndice p. Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto27Exemplo: Dada a matriz 2 14 2A(= ( , calcular a) 2A22 4 2 4 0 01 2 1 2 0 0A AA (((= = = ((( Portanto, a matriz A uma matriz nihilpotente de ndice p. 6.0Equaes Matriciais Sosemelhantessequaesalgbricaslineares,comadiferenadequeasvariveise demais elementos das equaes so matrizes. A soluo dessas equaes consiste em isolar a matriz varivel, usando prioritariamente as propriedades da matriz inversa. A fim de ilustrar o que foi dito, considereaequaomatricialformadapelasmatrizesA,BeC,quesomatrizesquadradas,de mesma ordem e invertveis: AX ABC = Solucionar essa equao significa isolar a matriz-varivel X . Para isso, deve-se lanar mo das propriedades da multiplicao entre matrizes e das definies, j apresentadas, de matriz inversa e matriz identidade. Da seguinte maneira: ( ) ( )1 11 1A AX A ABCA AX A ABCIX IBCX BC ==== Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto287.0Exerccios 1Represente cada uma das matrizes a)( )2 2 tal que1i jij ijA a a+ ( = = b) 2 20 se tal que2 se se iji jA a i j i jj i j= ( = + > < 2Determinar os valores de x e y a) 3 8 3 7 8 31 5 2 1 1 2x yx y+ ((= (( b) 222 4 2 28 2 4 2x xx x ( (= (( + c) 22 225 6 000 6 8x xx x ( += ( + d) 2227 13 03 4 1x xIx x ( += ( 3Dadas as matrizes 1 32 23 1A ( (= ( ( , 1 20 11 3B ( (= ( ( e 1 2 11 2 3C(= ( , determinar a)A B + b)A B c)3Ad) 14Ce)2 3 2tA B C + f) tC B + g) t tC A B + + 4Determine a matriz A, tal que : 1 2 1 02 23 4 0 1A ((+ = (( 5Determine as matrizes A e B, tais que : 1 2 2 1e 3 4 1 3A B A B((+ = = (( 6Dadas as matrizes 1 23 45 6A ( (= ( ( e0 1 32 0 4B (= ( , efetuar, se possvel : a)AB b)B A c) t tA B d) t tB A e)( )tAB 7Dada a matriz 4 53 4A (= ( , determinar : Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto29a) 0A b) 1A c) 2A d) 3A e) 20A f) 37A 8Resolver as seguintes equaes matriciais, supondo que todas as matrizes envolvidas sejam quadradas, de mesma ordem e invertveis. Considerar X a matriz incgnita. a)ADX AB = b) tAX AB = c) 2 2ACXB ACXB =d) 1A XA BC= 9Dadas as equaes 2 3 x x yry x y = = = + 52x x yry x y = = = + Escrevacadaumdosconjuntosdeequaescomoequaesmatriciais.Usandoanotao abreviada de matriz escrevarem funo der , lembrando-se de que xry (= ( . Explicitexeyem funo de x e y usando a multiplicao de matriz. 10DuasempresasE1eE2estoplanejandocomprartrsprodutosA,BeC,pormem quantidadesdiferentes,conformeilustradonatabela1.Existemdoisfornecedoresdistintos paraosprodutosF1eF2,praticandopreosdiferentesparaosprodutos,conforme apresentadonatabela2.Deseja-sesaberqualfornecedordeveserescolhidoparacada empresa para que o custo total de aquisio seja mnimo. Tabela 1 - Quantidade de produtos a ser adquirida por cada empresa PRODUTOS ABC EMPRESAAS E17411 E2 596 Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto30FORNECEDORES F1F2 PRODUTOS A1,001,50 B4,003,00 C1,002,00 Tabela 2 Preos dos produtos praticados pelos fornecedores 11(lgebra Linear David Poole) Uma fbrica produz trs produtos A, B e C, e os envia para armazenamentoemdoisdepsitos.Onmerodeunidadesenviadasdecadaprodutopara cada depsito dado pela matriz abaixo : 200 75150 100100 125A ( (= ( ( Ocustoderemessadecadaprodutoporcaminho:$1,50porprodutoA,$1,00por produto B e $ 2,00 por produto C. Os custos unitrios para o transporte por trem so : $ 1,75 porprodutoA,$1,50porprodutoBe$1,00porprodutoC.Organizeessescustosemuma matrizBeuseessamatrizparamostrarcomoafbricapodecompararoscustosde transporte (por caminho e por trem), de seus produtos para cada um dos dois depsitos. 12(lgebraLinearDavidPoole)Emrelaoaoexerccioanterior,suponhaqueocusto unitrio de distribuio dos produtos para as lojas seja o mesmo para todos os produtos, mas variedependendododepsitoporcausadasdistnciasenvolvidas.Custa$0,75para distribuirumaunidadedodepsito1e$1,00paradistribuirumaunidadedodepsito2. OrganizeessescustosemumamatrizCeuseamultiplicaodematrizesparacalcularo custo total de distribuio de cada produto. DEPSITO 2 DEPSITO 1 PRODUTO A PRODUTO B PRODUTO C Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto31DETERMINANTES Osdeterminantessoentesmatemticosdegrandeimportncianoclculodesistemas lineareseinversodematrizes.Inclusive,comoservistoposteriormente,paraumadadamatriz quadrada, o seu determinante diferente de zero determina a possibilidade de inverso desta matriz. Da,talvez,aorigemdonomedeterminante.Nodecorrerdestecaptuloseroapresentados definieseumconjuntodepropriedadespertinentesaosdeterminantes.Estetexto,nomostrao desenvolvimentohistricodotema,eserapresentadodamaneira,queseacredita,sermaisfcil para o aluno compreender os conceitos fundamentais e suas aplicaes prticas, portanto procurou-se evitar o uso de notaes indicias e smbolos de permutao, o que pode ser 1.4Definies Antes de se iniciar o estudo dos determinantes propriamente ditos, faz-se necessrio algumas definies preliminares. 1.5A funo determinante Odeterminanteumtipodefunoqueassociaumnmerorealaumamatrizquadrada. Portanto, no faz sentido falar em determinante de matrizes retangulares. 1.6Classe de uma permutao Considere trs elementos a, b e c.O nmero total de permutaes possveis paraesses trs elementos3! 6 = .Dentretodasaspermutaespossveis,destaca-seumaquedenominada permutao principal, que aquela em que os elementos em sua seqncia natural, ou seja: a, b, c. Diz-sequedoiselementosdeumapermutaoformamumainversoseestoemordem inversa ordem da permutao principal. Assim, a seqncia a, c, b uma permutao na qual os termos c e b formam uma inverso. Uma permutao se diz de classe par ou mpar, conforme apresente um nmero par ou mpar de inverses, respectivamente. Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto32Exemplo : Considere a seguinte seqncia : 1,2 e 3. Determinar o nmero de permutaes possveis e todas as permutaes pares e mpares. Primeiramente,v-sequeaseqnciadadaformadapor3elementos,portantoonmero total de permutaes 3! = 6 As permutaes pares so aquelas em que os elementos aparecem na seguinte ordem : 1,2,32,3,13,1,2 As permutaes mpares so aquelas em que os elementos aparecem na seguinte ordem : 1,3,23,2,12,1,3 1.7Termo principal e termo secundrio de um determinante DadaumamatrizquadradadeordemAdeordemn,d-seonomedetermoprincipaldo determinantedeAaoprodutodoselementosdadiagonalprincipal.Enquantoqueaoprodutodos elementos da diagonal secundria d-se o nome de termo secundrio. 1.8Ordem de um determinante Chama-se de ordem de um determinante a ordem da matriz qual o mesmo corresponde. 12 3 + 12 3 - Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto331.9Representao de um determinante Seja A a matriz quadrada de ordem n11 12 121 22 21 2nnm m mna a aa a aAa a a ( ( (= ( (

O determinante da matriz A pode ser representado das seguintes maneiras: ( )11 12 121 22 21 2detnnm m mna a aa a aA Aa a a= =

O determinante no matriz, mas por causa da semelhana entre esses dois entes, costuma-se falar em falar em linhas e colunas do determinante. 1.10Clculo de um determinante Calcula-seodeterminantedeumamatrizatravsdasomaalgbricadosprodutosquese obtmefetuandotodasaspermutaesdossegundosndicesdotermoprincipal,fixadosos primeirosndicesefazendo-seprecederosprodutospelosinal(+)ou(-),conformeaclasseda permutao dos segundos ndices, seja par ou mpar, respectivamente. Para tornar mais claro o procedimento descrito acima, este ser exemplificado para o caso de determinantes de ordem 2 e ordem 3. 1.11Determinante de ordem 2 Seja A uma matriz quadrada de ordem 2, e seu respectivo determinante : 11 1221 22a aAa a| |= |\ ( )11 1221 22deta aAa a=O termo principal deste determinante : 11 22aa Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto34O termo principal, segundo a definio 1.2, a permutao principal dos segundos ndices. Existe uma outra permutao para os segundos ndices, a saber: 12 21a aObserva-se que a permutao acima de classe mpar. Portanto, aplicando o procedimento descrito em 1.6, o determinante da matriz A pode ser calculado como segue: ( )11 22 12 21det A aa a a = O determinante acima pode ser interpretado como sendo a diferena entre o termo principal eotermosecundriodamatrizA.Istosugereaseguinterepresentaomnemnicaparaoclculo dos determinantes de segunda ordem: ( )11 1211 22 12 2121 22deta aA aa aaa a= = Na representao acima, as setas indicam os fatores que formam os termos do determinante, ao passo que o sinal na ponta da seta aquele que deve preceder os respectivos termos. Exemplo: Calcular o determinante da matriz A, abaixo : 1 23 4A (= ( ( )1 2det 1 4 2 3 4 6 23 4A = = = = 1.8Determinante de ordem 3 Considere uma matriz quadrada A de ordem 3 e seu respectivo determinante: 11 12 1321 22 2331 32 33a a aA a a aa a a| | |= | |\ ( )11 12 1321 22 2331 32 33deta a aA a a aa a a=O termo principal desse determinante o produto dos elementos da diagonal principal: 11 22 33aa a+ - - + Elementos de lgebra Linear Antonio Faria Neto35O termo principal a permutao principal dos segundos ndices dos elementos que o constitui. Porm h outras permutaes dos segundos itens, quais sejam : 12 23 31a a a13 21 32aa aque so permutaes de classe par, e tambm as permutaes de classe mpar : 13 22 31aa a11 23 32aa a12 21 33a a aPortanto, o determinante da matriz A pode ser escrito da seguinte maneira: ( )11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det A aa a aa a aa a aa a aa a a a a = + + Deformaanlogaaodeterminantedesegundaordem,tambmexisteumarepresentao mnemnica deste determinante, que denominada de regra prtica de Sarrus. ( )11 12 13 11 1221 22 23 21 2231 32 33 31 32deta a a a aA a a a a aa a a a a= ( )11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det A aa a aa a aa a aa a aa a a a a = + + Comopodeservistonailustraoacima,aregradeSarrusconsisteemsereplicarasduas primeirascolunasdodeterminante,traarsetasparalelasdiagonalprincipalesetasparalelas diagonalsecundriadodeterminante.Assetas,deformaanlogaaocasodesegundaordem, determinam os fatores constituintes de cada termo do determinante. Os termos formados segundo a orientaodassetasparalelasdiagonalprincipalsoprecedidospelosinal+,enquantoque aqueles, orientados pelas setas da diagonal secundria so precedidos pelo sinal -. Exemplo : calcular o determinante da matriz A abaixo : 1 2 33 2 11 3 2A ( (= ( ( +++ --- Continuao ... ( )1 2 3 1 2det 3 2 1 3 2 1 2 2 2 1 1 3 3 3 3 2 1 1 1 3 2 3 2 121 3 2 1 3A = = + + = 2.0Expanso do Determinante em Co-fatores e o Teorema de Laplace Noexistenenhumdispositivoprticoparasoluodedeterminantesdeordemsuperiora trs.Demodoqueparasolucion-los,deve-seaplicaroprocedimentodescritoem1.6,cuja aplicaotorna-semaistrabalhosaemaissusceptvelaerros,quantomaiorforaordemdo determinanteemquesto.Umaalternativa,quepodesimplificaroproblema,aexpansodo determinanteemco-fatores.Trata-sedeumatcnicaquepodeserusadadeformarecursiva,que transformaumdeterminantenumasomadeoutrosdeterminantes,deordeminferior,pr-multiplicados por um determinado fator. Antesdescreveressatcnicafaz-senecessrioaapresentaodealgunsconceitose definies. 2.1O determinante menor Omenorumdeterminantequeseassociaacadaumdoselementosdeumamatriz quadrada.Considerando-seumamatrizquadradaA,odeterminantemenordoelemento ija ,ou simplesmente o menor de ija , que representado por ijM , definido como sendo o determinante da sub-matrizquesobraquandoseeliminaai-simalinhaeaj-simacolunadamatrizA.Como exemploconsidereamatrizA3,paraaqualserocalculadososmenoresdealgunsdeseus elementos. 11 12 1321 22 2331 32 33a a aA a a aa a a| | |= | |\ +++ --- 37 O menor do elemento 11a 11 12 1322 2311 21 22 2332 3331 32 33a a aa aM a a aa aa a a= = O menor do elemento 12a 11 12 1321 2312 21 22 2331 3331 32 33a a aa aM a a aa aa a a= = O menor do elemento 13a 11 12 1321 2212 21 22 2331 3231 32 33a a aa aM a a aa aa a a= = O menor do elemento 21a 11 12 1312 1321 21 22 2332 3331 32 33a a aa aM a a aa aa a a= = O menor do elemento 22a 11 12 1311 1321 21 22 2331 3331 32 33a a aa aM a a aa aa a a= =

O menor do elemento 33a 11 12 1311 1221 21 22 2321 2231 32 33a a aa aM a a aa aa a a= = 2.2O co-fator Cada elemento de uma matriz quadrada possui um co-fator, que representado por ijC , e 38 calculado segundo a seguinte definio : ( ) 1i jij ijC M+= onde ijMrepresenta o menor correspondente ao elemento ija 2.3O teorema de Laplace O matemtico francs Laplace demonstrou que o determinante de uma matriz quadrada de ordemn,( ) 2 n ,igualsomadosprodutosdoselementosdeumafila(linhaoucoluna), qualquer pelos respectivos co-fatores. Assim,paratornarmaisclarooteoremadeLaplace,considereumamatrizquadradaAde ordem n: 11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a aAa a a ( ( (= ( (

seja calcular o determinante de A ( )11 12 121 22 21 2detnnn n nna a aa a aAa a a=

o determinante dessa matriz pode ser calculado usando o teorema acima. Portanto, considere a expanso desse determinante em co-fatores em sua primeira linha: ( )11 11 12 12 1 1detn nA a C a C a C = + + + ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 111 11 12 12 1 1det 1 1 1nn nA a M a M a M+ + += + + + ( ) ( ) ( ) ( )22 2 21 2 21 2 11 1 1 2 111 12 12 1 1 1det 1 1 1n n nnnn nn n nn n nna a a a a aA a a aa a a a a a+ + += + + +

39 Nota: Emborasepossaexpandirodeterminanteemco-fatoresporqualquerfila,conformeestabeleceo teoremadeLaplace,convenientequeseescolhaaquelaquepossuaomaiornmerodezeros, visando facilitar os clculos. Exemplo: Calcular o determinante abaixo empregando o teorema de Laplace 1 2 3 45 0 0 21 1 3 24 3 2 1D =Por convenincia, o teorema de Laplace ser desenvolvido a partir da segunda linha: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 2 3 2 42 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 35 1 1 3 2 0 1 1 3 2 0 1 1 1 2 2 1 1 1 33 2 1 4 2 1 4 3 1 4 3 2D+ + + += + + + ( )2 3 4 1 2 35 1 3 2 2 1 1 3 5 15 2 10 953 2 1 4 3 2D = + = + = 3.0Propriedades dos Determinantes Os determinantes obedecem a um conjunto de propriedades, cuja aplicao pode simplificar significativamenteoseuclculo.Aseguirseroapresentadasalgumasdaspropriedadesmais significativas dos determinantes. 3.1Determinante de uma matriz transposta SejaAumamatrizquadradadeordemn,eAtasuamatriztransposta.Pode-sedemonstrar que: ( ) ( )det detTA A = 40 Exemplo: Calcular o determinante das matrizesA e AT

1 2 34 5 63 2 3A ( (= ( ( ( ) ( )1 2 3det 4 5 6 15 36 24 45 24 12 75 81 63 2 3A = = + + + + = = 1 4 32 5 23 6 3TA ( (= ( ( ( ) ( )1 4 3det 2 5 2 15 24 36 45 12 24 63 6 3TA = = + + + + = 3.2Casos notveis em que os determinantes so nulos Existem quatro condies notveis, para que um determinante seja nulo: O determinante nulo quando possui uma fila (linha ou coluna), inteira de zeros; O determinante nulo quando possui duas filas paralelas (duas colunas ou duas linhas), iguais; Odeterminantenuloquandopossuiduasfilasparalelas(duascolunasouduaslinhas), proporcionais; O determinante nulo quando uma fila a combinao linear de duas ou mais filas paralelas. Exemplo: Calcular o determinante das matrizes A, B e C 1 2 34 5 60 0 0A ( (= ( ( ( ) ( )1 2 3det 4 5 6 1 5 0 2 6 0 3 4 0 3 5 0 2 4 0 6 0 1 00 0 0A = = + + + + = 1 2 33 2 13 2 1B ( (= ( ( ( ) ( )1 2 3det 3 2 1 1 2 1 2 1 3 3 3 2 3 2 3 1 2 1 2 3 1 03 2 1B = = + + + + = 41 1 2 33 2 12 4 6B ( (= ( ( ( ) ( )1 2 3det 3 2 1 1 2 6 2 1 2 3 3 4 3 2 2 1 4 1 6 2 3 02 4 6B = = + + + + = 3.3Uma fila de um determinante multiplicada por uma constante real Pode-se demonstrar queo produto de uma fila de um determinante por uma constante real, equivale ao produto do determinante por essa constante. Isto , para uma constante real k, tem-se: 11 12 1 1 11 12 1 1 11 12 1 121 22 2 2 21 22 2 2 21 22 2 21 12 1 12 1 121 2 21j n j n j nj n j n j ni ij in i ij in i ij inn n nj nn n nj nna a a a a a ka a a a a aa a a a a a ka a a a a akka ka ka ka a a ka a a a a aa a a a an a ka a= = 1 2 n n nj nna a a a 3.4Determinante de uma matriz multiplicada por uma constante real Uma matriz multiplicada por uma constante equivalente a uma matriz onde todos os elementos estejam multiplicados por esta constante, como ilustrado a seguir, para uma matriz A e uma constante real k: 11 12 121 22 21 2nnn n nna a aa a aAa a a ( ( (= ( (

11 12 1 11 12 121 22 2 21 22 21 2 1 2n nn nn n nn n n nna a a ka ka kaa a a ka ka kakA ka a a ka ka ka (( (( ((= = (( (( Assim, pode-se escrever: ( )11 12 121 22 21 2detnnn n nnka ka kaka ka kakAka ka ka=

Observa-se que todas as filas (linhas ou colunas) esto multiplicadas por k. Lanando mo da propriedade anterior, pode-se escrever que: 42 ( )11 12 1 11 12 1 11 12 121 22 2 21 22 2 21 22 21 2 1 2 1 2detn n nn n nn n nn n n nn n n nnka ka ka a a a a a aka ka ka ka ka ka a a akA k k kka ka ka ka ka ka ka ka ka= = =

( )11 12 1 11 12 121 22 2 21 22 21 2 1 2detn nn n nn n nn n n nna a a a a aa a a a a akA k k k ka a a a a a= = Portanto, ( ) ( ) det detnkA k A = Exemplo: Calcular o determinante da matriz A e da matriz 3A 1 23 4A (= ( ( )1 2det 4 6 23 4A = = = 3 639 12A (= ( ( )3 6det 3 36 54 189 12A = = = Observe que:( ) ( ) ( )2det 3 3 det 9 2 18 A A = = = 3.5Determinante de matrizes triangulares ou matriz diagonal Seja A uma matriz quadrada de ordem n . Se A for uma matriz triangular, superior ou inferior, ou ainda, uma matriz diagonal, seu determinante pode ser calculado multiplicando-se apenas os elementos da diagonal principal. 11 12 1 11 1122 2 21 22 2211 22 331 20 0 0 00 0 0 00 0 0 0nnnnmn m m mn mna a a a aa a a a aa a a aa a a a a= = =

Exemplo: Calcular o determinante das matrizes A, B e C 43 1 2 30 4 50 0 6A ( (= ( ( ( ) ( )1 2 3det 0 4 5 1 4 6 2 5 0 3 0 0 3 4 0 5 0 1 6 2 0 240 0 6A = = + + + + = 1 0 04 2 05 6 3B ( (= ( ( ( ) ( )1 0 0det 4 2 0 1 2 3 0 0 5 0 4 6 5 2 0 6 0 1 3 4 0 65 6 3B = = + + + + = 4 0 00 5 00 0 6C ( (= ( ( ( )4 0 0det 0 5 0 4 5 6 1200 0 6C = = = 3.6Inverso de linhas ou colunas O sinal de um determinante se inverte sempre que se permutam duas de suas linhas, ou duas de suas colunas. Exemplo: Calcular os determinantes abaixo ( )1 2 23 4 5 1 4 4 2 5 2 2 3 3 2 4 2 3 5 1 4 3 2 12 3 4= + + + + = Permutando a primeira e a terceira linha ( )2 3 43 4 5 2 4 2 3 5 1 4 3 2 1 4 4 2 5 2 2 3 3 11 2 2= + + + + =Permutando a primeira e a terceira coluna do primeiro determinante ( )2 2 15 4 3 2 4 2 2 3 4 1 5 3 4 4 1 3 3 2 2 5 2 14 3 2= + + + + = 44 3.7O determinante de uma multiplicao de matrizes - Teorema de Binet O determinante de um produto de matrizes o produto dos determinantes. Isto , sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem n, ento: ( ) ( ) ( ) det det det AB A B = Exemplo: Calcular o determinante das matrizes A, B e AB 5 67 1A (= ( ( )5 6det 5 42 377 1A = = = 2 34 1B (= ( ( )2 3det 104 1B = = 5 6 2 3 34 217 1 4 1 18 22AB (((= = ((( ( )34 21det 37018 22AB = = Logo, verifica-se que( ) ( ) ( ) det det det AB A B = 3.8O determinante da soma de matrizes Odeterminantedasomadematrizesnoasomadosdeterminantes.Contudo,existeum caso em que isto pode ser verdade. Considere as matrizes A e B. 11 12 1 121 22 2 21 121 2j nj ni ij inn n nj nna a a aa a a aAa a a aa a a a ( ( ( (=( ( ( ( ( 11 12 1 121 22 2 21 121 2j nj ni ij inn n nj nna a a aa a a aBb b b ba a a a ( ( ( (=( ( ( ( ( 45 Repare que as matrizes A e B so iguais a menos da i-sima linha. Considere agora a matrizC,ondesuai-simalinhaasomadai-simalinhadamatrizAcomai-simalinhada matriz B, conforme mostrado abaixo: 11 12 1 121 22 2 21 1 12 21 2j nj ni i i ij ij in inn n nj nna a a aa a a aCa b a b a b a ba a a a ( ( ( (=(+ + + + ( ( ( ( Pode-sedemonstrarqueodeterminantedamatrizCasomadosdeterminantesdas matrizes A e B. Isto : ( ) ( ) ( ) det det det C A B = + Exemplo : Calcular o determinante das matrizes A, B e C( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 24 3 21 2 3det 1 3 3 2 2 1 2 4 2 1 3 2 2 2 1 3 4 2 11AA( (= ( ( ( = + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 21 1 21 2 3det 1 1 3 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 3 1 2 3BB( (= ( ( ( = + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 25 4 41 2 3det 1 4 3 2 4 1 2 5 2 1 4 2 2 4 1 3 5 2 14CC( (= ( ( ( = + + + + = Pode-se observar que a segunda linha da matriz C a soma da segunda linha das matrizes A e B, portanto ( ) ( ) ( ) det det det C A B = + 46 4.0O DETERMINANTE E A MATRIZ INVERSA Emboraataquinosetenhadiscutidomtodosdeobtenodamatrizinversa,convm salientarqueacondionecessriaesuficienteparaqueumamatrizpossuainversaqueseu determinante no seja nulo. Quando uma matriz quadrada possui determinante nulo, diz-se que esta matriz uma matriz singular. 5.0O TEOREMA DE JACOBI Como visto anteriormente a aplicao do teorema de Laplace em uma fila de um determinante, fica facilitada quanto maior for o nmero de zeros nesta fila. O teorema de Jacobi apresenta uma propriedade que permite que sejam introduzidos zeros em uma fila qualquer de um determinante. O teorema de Jacobi estabelece que um determinante no se altera quando se adiciona a uma fila qualquer, uma outra fila paralela previamente multiplicada por uma constante.Para facilitar a aplicao do mtodo, numeram-se seqencialmente as linhas do determinante, conforme ilustrado a seguir: 11 12 1 121 22 2 21 2nnn n nn na a a La a a La a a L

Aoperaodesubstituiodeumalinhapelasuasomacomoutralinhapreviamente multiplicada por uma constante ser representada da seguinte maneira: i i jL L kL +Anotaoacimaindicaquealinhaisersubstitudapelasomadelaprpriacomlinhaj previamente multiplicada por k. Exemplo: Calcular o determinante da matriz A aplicando o teorema de Jacobi 1 3 2 42 3 4 23 2 1 34 3 2 1A ( ( (= ( ( portanto,( )1 3 2 42 3 4 2det3 2 1 34 3 2 1A = 47 continuao.... 2 2 13 3 14 4 11 3 2 42 2 3 4 23 3 2 1 34 4 3 2 1L L LL L LL L L

1 3 2 40 3 0 60 7 5 90 9 6 15 Aplicando o teorema de Laplace na primeira coluna, resulta ( ) ( )3 0 6det 1 7 5 9 225 252 270 162 477 432 459 6 15A = = = + = 48 6.0EXERCCIOS 1Calcular os seguintes determinantes de ordem 2 : a) 5 73 8b) 2 24 5 c) coscosx senxsenx x 2Calcular os seguintes determinantes de ordem 3 : a) 3 2 12 1 62 2 3 b) 2 3 40 5 12 5 3 c) 2 0 01 2 34 5 0d) x x xx y yx y z 3Resolva em, as seguintes equaes : a) (PUC) 334 1 1 5 log 91 2 1x x = b) (Manoel Paiva)( )4 2 31 2 1 0 0 25 3 4senx x = < 4Calcular os determinantes abaixo pelo teorema de Laplace : a) 5 2 0 36 2 3 01 1 1 40 0 1 2b) 1 2 0 34 3 2 10 2 3 40 1 2 3c) 1 1 1 22 3 1 11 1 2 23 3 3 1d) 0 0 0 11 2 3 44 3 2 11 1 2 2 5Considere as matrizes Ae B abaixo. Sabendo-se que o determinante de A igua a 32,qual o determinante de B. 1 2 3 42 3 4 51 3 2 52 1 2 3A( ( (= ( ( 1 2 1 22 3 3 13 4 2 24 5 5 3B ( ( (= ( ( 49 6(Faap-SP)DadoqueAumamatrizquadradadeordem3,talque( ) det 5 A = ,ento calcular( ) det 2A . 7Calcular o determinante das matrizes a) 1 0 0 02 2 0 03 3 3 01 2 3 4 ( ( ( ( ( ( b) 4I 8(U. F. Viosa) Calcular a soma das razes da equao 25 4 10 1 3 500 0 3 2 90 0 0 8xxx=+ 8(Mackenzie)Calcular o determinante da matriz A de ordem 8, tal que 20ijpara i japara i j = < 9(ManoelPaiva)Aumamatrizquadradadeordem3,talque( ) det 0 A e 22 0 A A = , onde 0 representa a matriz nula de ordem 3. Calcular o determinante de A. 10(ManoelPaiva)AeBsomatrizesquadradasdeordemntaisque( ) det 5 A = eAB I = . Calcular o determinante de B. 11(ITA)Qumamatrizquadradadeordem4,talque( ) det 0 Q e 3 22 0 Q Q = ,onde0 representa a matriz nula de ordem 4. Calcular o determinante de Q. 12(UFPE)SejaMumamatrizinvertveltalque( )1det96M = .Determinarodeterminanteda matriz inversa de M. 50 13(UFCE)SejaMumamatrizquadrada.Multiplicando-seporumalinhadeM,obtm-se uma matriz A. Dividindo-se por (0), uma coluna de A, obtm-se uma matriz B. Calcular o determinante de B. 14Obtenha( ) x x , de modo que a matrizes sejam invertvel. a) (Manoel Paiva) 2 13Ax (= ( b) (UFAC) 1 2 13 04 0 2x ( ( ( ( 15(Manoel Paiva) Verificar quais matrizes possuem inversa a) 2 54 8A (= ( b) 1 2 11 3 11 7 3A( (= ( ( c) 1 2 10 1 42 1 1A ( (= ( ( 16Calcule os determinantes abaixo empregando o teorema de Jacobi a) (Manoel Paiva)1 3 2 42 8 6 84 15 9 201 4 2 5b)(Fuvest SP)1 1 1 11 2 2 21 2 3 31 2 3 4

c)(Manoel Paiva)1 3 2 13 10 8 15 16 11 11 3 5 2d)(Fatec-SP) x a a ax x a ax x x ax x x x 51 SISTEMAS LINEARES 1.0Equaes Lineares So todas as equaes da forma : 1 1 2 2 n na x a x a x b + + + = onde 1 2, , ,nx x xso incgnitas ou variveis; 1 2, , ,na a aso constantes reais chamadas de coeficientes da equao; b o termo independente. 1.1Solues de uma equao linear Soosvaloresassumidospelasvariveisquesatisfazemaequao.Essesvaloresso denominados razes daequao. Em outras palavras, soluo de umaequao linear todanupla de nmeros( )1 2, , ,n tal que : 1 1 2 20n na a a b + + + = 2.0Sistema de Equaes Lineares um conjunto de equaes lineares simultneas nas mesmas incgnitas. 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b+ + + = + + + =+ + + =

onde ix so as incgnitas do sistema; ija so os coeficientes do sistema; ib so os termos independentes. 52 2.1Soluo de um sistema linear a soluo comum a todas as equaes do sistema. 3.0Equaes Lineares Homogneas So todas as equaes lineares cujo termo independente igual a zero: 1 1 2 20n na x a x a x + + + = Toda equao linear homognea admite pelo menos uma soluo, que chamada de soluo trivial e constitui-se na nupla: ( )1 20, 0, , 0nx x x = = = As demais solues, se houverem, so chamadas de solues prprias. 4.0Sistema de Equaes Homogneas todo sistema de equaes lineares cujos termos independentes so todos nulos : 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 2000n nn nm m mn na x a x a xa x a x a xa x a x a x+ + + = + + + =+ + + =

Assimcomoasequaeslineareshomogneas,todosistemahomogneotambmpossui pelomenosumasoluo,asoluotrivial,easdemaissolues,seexistirem,sochamadasde solues prprias. 5.0Classificao dos Sistemas quanto Soluo Ossistemaslinearespodemserclassificadosquantoexistncia,ouno,desoluo,e tambm quanto a multiplicidade das solues, quando estas forem possveis. O diagrama a seguir ilustra a forma de classificao dos sistemas. 53 Tambm possvel dar uma interpretao geomtrica para a soluo de sistemas lineares de at trs equaes e trs incgnitas. 5.1Interpretao geomtrica da soluo de sistemas de duas equaes e duas incgnitas Emumsistemadeduasequaeseduasincgnitas,cadaequaorepresentaumaretaea soluodessesistemabuscaforneceropontoondeessasretasseinterceptaro,podendoocorrer uma das trs situaes descritas abaixo : O sistema possui uma nica soluo Neste caso as retas so concorrentes e a soluo do sistema o ponto de interseco dessas retas. SISTEMA COMPATVEL (possvel) INCOMPATVEL (impossvel) DETERMINADO (uma nica soluo) INDETERMINADO (vrias solues) (no admite solues) Classificao dos sistemas lineares quanto sua soluo x y P(x , y) r s 11 1221 22::r a x a ys a x a y+ + 54 O sistema indeterminado Osistemaserindeterminadoequivaleadizerqueosistemapossuiinfinitassolues.Em termos geomtricos isto significa que as reatas que constituem o sistema so coincidentes, havendo portanto, infinitos pontos de interseco. O sistema impossvel Quando o sistema no possui solues, significa que as retas que o constituem so paralelas, e portanto, jamais se interceptam 6.0Sistemas Equivalentes Diz-se que dois sistemas linearesAe Aso equivalentes quando admitem a mesma soluo. Indica-se queAe Aso equivalentes porA A . x y r s x y r s 11 1221 22::r a x a ys a x a y+ + 11 1221 22::r a x a ys a x a y+ + 55 6.1Propriedades dos sistemas equivalentes Considere os sistemas linearesA,A e A. Pode-se afirmar que esto sujeitos s seguintes propriedades : IPropriedade reflexiva :A A IIPropriedade da simetria :A A A A IIIPropriedade transitiva : ; A A A A A A 7.0Operaes Elementares e Sistemas Equivalentes Umsistemalinearpodesertransformadoemoutrosistemalinearequivalentequandose aplica sobre ele um conjunto de operaes denominadas operaes elementares, a saber : IPermutao de duas equaes; IIMultiplicao de uma equao por um nmero real diferente de zero; IIISubstituiodeumaequaoporsuasomacomoutraequaopreviamente multiplicada por um nmero real diferente de zero. A transformao de um sistema em outro equivalente, particularmente til quando este ltimo se apresenta sob uma forma mais conveniente para a sua soluo, como por exemplo, a forma escalonada. 8.0Sistema Linear Escalonado todo sistema linear que se apresenta da seguinte forma : ITodas as equaes apresentam as incgnitas numa mesma ordem; IIEm cada equao existe pelo menos um coeficiente, de alguma incgnita, no-nulo; IIIExisteumaordemparaasequaestalqueonmerodecoeficientesnulosque precedem o primeiro coeficiente no-nulo, de cada equao, aumenta de uma equao para outra. A seguir apresenta-se um sistema na forma escalonada : 56 11 1 12 2 13 3 11 22 2 23 3 21 2 33 3 300 0a x a x a x bx a x a x bx x a x b+ + = + + =+ + =0e 0ij ia b 9.0Resoluo de um Sistema Linear Escalonado Existemdoistiposdesistemaslinearesescalonados:aquelescujonmerodeequaes igual ao nmero de incgnitas, e aqueles em que o nmero de equaes menor do que o nmero deincgnitas.Aseguirserapresentadooprocessoderesoluodecadaumdessesdoistiposde sistemas. 9.1Sistema linear com nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas Considere o seguinte sistema escalonado : 11 1 12 2 13 3 11 22 2 23 3 21 2 33 3 300 0a x a x a x bx a x a x bx x a x b+ + = + + =+ + = Todosistemadessetipopossveledeterminado.Resolve-seosistemaapartirdaltima equaoataprimeira,substituindo-seoresultadodecadaumadasequaesnaequao imediatamente anterior. 9.2Sistema linear com nmero de equaes menor que o nmero de incgnitas Considere o seguinte sistema escalonado : 11 1 12 2 13 3 11 22 2 23 3 20a x a x a x bx a x a x b+ + = + + = Todosistemalinearescalonadocujonmerodeequaesformenorqueonmerode incgnitas ser sempre um sistema classificado como possvel e indeterminado. Pelo menos uma das variveis desse tipo de sistema ser sempre considerada como varivel livreouvarivelarbitrriadosistema.Onmerodevariveislivresdeumsistemadepende, 57 obviamentedonmerototaldevariveis.Emgeral,escolhe-secomovariveislivresasltimas variveis das equaes. A varivel livre, como o prprio nome sugere, pode assumir qualquer valor. Para cada valor assumido pela varivel livre obtm-se uma soluo para o sistema. Portanto, o conjunto soluo do sistema explicitado em funo das variveis livres do sistema. Sistemasdessanaturezapossuemumgraudeindeterminao,queoprprionmerode variveis livres desse sistema. 10.0Forma Escalonada Reduzida por Linha de um Sistema Linear Umsistemalinearditoestarnaformaescalonadareduzidaporlinha,ousimplesmente forma escalonada reduzida, se, e somente se : ISeoscoeficientesdeumalinhanoconsistiremapenasdezeros(0)eoprimeiro coeficiente no-nulo da linha for um (1). Chama-se este coeficiente de piv; IISeexistiremlinhasconstitudassomentedezeros,elasseroagrupadasnasltimas posies; IIIEm quaisquer duas linhas sucessivas que no consistam somente dezeros, o piv da linha inferior ocorre mais direita que o piv da linha superior; IVCada coluna que contm um piv possui zero nas posies abaixo e acima deste. Abaixo, sero ilustrados trs sistemas lineares na forma escalonada reduzida por linha, cada qual com a sua respectiva classificao quanto soluo e sua multiplicidade. 10.1Sistema linear possvel e determinado apresentado na forma escalonada reduzida por linha Repara-senestesistemaqueoconjuntosoluoformadopelostermos independentes : 1 2 3 11 2 3 21 2 3 31 0 00 1 00 0 1x x x bx x x bx x x b+ + = + + =+ + = 58 ( ) ( ) ( ) { }31 2 3, , | , , , , S xyz xyz b b b = = 10.2Sistema linear possvel e indeterminado apresentado na forma escalonada reduzida por linha Percebe-senestesistemaanecessidadequeoconjuntosoluoficaemfunodeuma varivel, isto , da varivelarbitrria. 1 2 3 14 4 11 2 3 24 4 21 2 3 34 4 31 0 00 1 00 0 1x x x a x bx x x a x bx x x a x b+ + + = + + + =+ + + = Percebe-sequeasoluodosistemaacimadevaficaremfunodavarivel 4x .Assim,o conjunto soluo desse sistema ser : ( ) ( ) ( ) { }41 14 4 2 24 4 3 34 4 4, , , | , , , , , , S xyzw xyzw b a x b a x b a x x = = 10.3Sistema linear impossvel apresentado na forma escalonada reduzida por linha Estetipodesistemaapresentainconsistnciaemumadesuasequaes,comoilustradoa seguir : 1 2 31 2 31 2 31 0 0 00 1 0 00 0 0 1x x xx x xx x x+ + = + + =+ + = 11.0Soluo de Sistemas Lineares aplicando Operaes Elementares s linhas do Sistema Asoperaeselementaresdescritasanteriormentenoitem7.0podemseraplicadasaum sistemavisandotransform-loemsistemaequivalenteapresentadonaformaescalonadaouna formaescalonadareduzidaporlinha.Oconjuntodeoperaesquetransformaumsistemaparaa forma escalonada constitui-se em um mtodo denominado Mtodo de Eliminao de Gauss. J o conjuntodeoperaesquetransformaumsistemaparaasuaformaescalonadareduzidaporlinha recebe o nome de Mtodo de Eliminao de Gauss-Jordan. 59 12.0Mtodo de Gauss-Jordan Estemtodoconsisteemseaplicarasoperaeselementaresparatransformarumsistema linear qualquer na sua forma escalonada reduzida por linha. Este mtodo ser apresentado por intermdio de um exemplo. Exemplo :Escalonarosistemaabaixonasuaformareduzidaporlinha,edoseuconjunto soluo 2 4 225 15 20x yx y+ = = Inicialmente numera-se as equaes do sistema : 2 4 225 15 20x yx y+ = = Pode-se simplificar o sistema acima dividindo-se a primeira linha por 2 e a segunda linha por 5. Tal procedimento representa-se da seguinte forma : 2 4 225 15 20x yx y+ = = 0 1 2 111 3 4x yx y+ = = Oprximopassoserzerarocoeficientedexnasegundaequao.Istopodeserconseguido substituindo-se a segunda equao por sua soma com a primeira equao previamente multiplicada por -1. Essa operao pode ser representada da seguinte forma : 1 2 111 3 4x yx y+ = =

1 2 110 5 15x yx y+ = = Nesta etapa o sistema j est mais prximo de sua forma escalonada reduzida por linha, contudo necessrio substituir o coeficiente dey da segunda equao por 1.Isso pode ser feito dividindo-se toda a segunda equao por 5, conforme indicado abaixo : L1 L2 L1 L1/2 L2 L2/5 L2 L2-L1 60 Exemplo : (continuao) 1 2 110 5 15x yx y+ = = 1 2 110 1 3x yx y+ = + = Paraqueoprocessosejaconcludonecessriosubstituirocoeficientedeydaprimeiraequao por 0. Pode-se fazer isso substituindo-se a primeira equao por soma com a segunda previamente multiplicada por 2, conforme esquematizado abaixo : 1 2 110 1 3x yx y+ = + =

1 0 50 1 3x yx y+ = + = Osistemaacimaencontra-senaformaescalonadareduzidaporlinha.Oconjuntosoluodesse sistema obtido diretamente por observao. ( ) ( ) ( ) { }2, | , 5, 3 S xy xy = = Durante o processo de soluo apresentado no exemplo acima, observou-se que : I-Amatrizformadapeloscoeficientesdasvariveisfoitransformadanamatrizidentidade,ao mesmo tempo em que o vetor-coluna formado pelos termos independentes foi transformado na soluo do sistema. II-As variveis, x e y, do sistema no participaram do processo de soluo. 13.0Matriz Aumentada do Sistema Combasenaobservaofinaldoitemanterior,pode-sesimplificararepresentaodeum sistemalinear,escrevendo-onaformadeumanicamatrizquerenatantooscoeficientesdas variveiscomoostermosindependentes.Talmatrizrecebeonomedematrizaumentada(ou ampliada), do sistema. Considere o sistema linear a seguir: 61 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b+ + + = + + + =+ + + =

Sua representao na forma de matriz aumentada ser : 11 12 1 121 22 2 21 2nnm m mn ma a a ba a a ba a a b ( ( ( ( (

Portanto,omtododeeliminaodeGauss-Jordandiscutidoanteriormente,ceveser aplicadomatrizaumentadadosistema.Quandoasub-matrizformadapeloscoeficientesdo sistemafortransformadaemumasub-matrizidentidade,ovetor-colunaformadopelostermos independentesdosistematerosidotransformadosnasoluodesse,conformeesquematizadoa seguir : 11 12 1 121 22 2 21 2nnm m mn ma a a ba a a ba a a b ( ( ( ( (

121 0 00 1 00 0 1msss ( ( ( ( (

Exemplo : Escalone na forma reduzida por linha o sistema linear abaixo 2 3 72 43 3 10x y zx y zx y z+ + = + + =+ + = A matriz aumentada do sistema acima : Mtodo de eliminao de Gauss-Jordan CONJUNTO SOLUO DOSISTEMA 62 Exemplo : (continuao) 1231 2 3 72 1 1 43 3 1 10LLL ( ( ( ( Aplica-se o mtodo de Gauss-Jordan matriz aumentada acima : 2 2 13 3 11 2 3 72 1 1 4 23 3 1 10 3L L LL L L ( ( ( ( 221 2 3 70 3 5 1030 3 8 11LL ( ( ( (

1 1 23 3 21 2 3 725 100 13 330 3 8 11L L LL L L ( ( ( ( + 331 11 03 35 100 13 30 0 3 13LL( ( ( ( ( (

1 1 32 2 311 11 033 355 100 13 3310 0 13L L LL L L +( ( ( ( ( ( 41 0 09250 1 0910 0 13 ( ( ( ( ( ( Portanto, o conjunto soluo deste sistema, fica ( ) ( )( ) { }325 4 1, , | , , , ,9 9 3S xyz xyz = = OmtododeGauss-Jordantambmpermiteidentificarsistemasimpossveis,conforme ilustrado no item 10. Exemplo : Aplicando o mtodo de Gauss-Jordan resolva, se possvel, o sistema abaixo : 63 2 3 22 14 5 5 6x y zx y zx y z+ + = + + =+ + = Exemplo : (continuao) A matriz aumentada desse sistema : 1232 3 1 21 1 2 14 5 5 6LLL ( ( ( (

Antes de se iniciar o processo de escalonamento, observa-se que conveniente permutar as duas primeiras linhas desse sistema, resultando em uma nova matriz aumentada : 1231 1 2 12 3 1 24 5 5 6LLL ( ( ( (

Escalonando o sistema, vem 2 2 13 3 11 1 2 12 3 1 2 24 5 5 6 4L L LL L L ( ( ( (

1 1 23 3 21 1 2 10 1 3 00 1 3 2L L LL L L ( ( ( (

1 0 5 10 1 3 00 0 0 2 ( ( ( (

A ltima linha da matriz acima revela que o sistema dado impossvel, pois : 0 0 0 2 x y z + + =portanto, o conjunto soluo desse sistema ser : {} S= 64 TambmpossvelaplicaromtododeGauss-Jordanparasistemaslineares indeterminados. Exemplo : Aplicando o mtodo de Gauss-Jordan resolva, se possvel, o sistema abaixo : 2 2 4 22 14 5 5 6x y zx y zx y z+ + = + + =+ + = A matriz aumentada desse sistema : 1232 2 4 21 1 2 14 5 5 6LLL ( ( ( (

Pode-se permutar as duas primeiras linhas da matriz acima : 1231 1 2 12 2 4 24 5 5 6LLL ( ( ( (

Escalonando a matriz acima, vem : 12 2 13 3 11 1 2 12 2 4 2 24 5 5 6 4LL L LL L L ( ( ( (

1 1 2 10 0 0 00 1 3 2 ( ( ( (

A linha totalmente preenchida com zeros da matriz acima podes ser removida : 121 1 2 10 1 3 2LL ( (

1 1 221 1 2 10 1 3 2L L LL ( (

65 1 1 221 0 5 10 1 3 2L L LL ( (

Observando-seamatrizacimaconclui-sequeosistemaindeterminado.Portanto,seu conjunto soluo ficar em funo de uma varivel arbitrria, nesse exemplo a varivel z. Exemplo : (continuao) Portanto, o sistema ficaria escrito como : 0 5 10 3 2x y zx y z+ + = + = Logo, o conjunto soluo do sistema fica : ( ) ( ) ( ) { }3, , | , , 1 5 , 2 3 , S xyz xyz z zz = = + Tambm possvel aplicar o mtodo de Gauss-Jordan a sistema cujo nmero de equaes maior que o nmero de variveis. Exemplo : Aplicando o mtodo de Gauss-Jordan resolva, se possvel, o sistema abaixo :

3 14 23 4 0x yx yx y+ = = = A matriz aumentada desse sistema :

1231 3 14 1 23 4 0LLL ( ( ( (

Escalonando a matriz acima, vem : 12 2 13 3 11 3 14 1 2 43 4 0 3LL L LL L L ( ( ( (

3 3 21 3 10 13 20 13 3 L L L ( ( ( (

66 1 3 10 13 20 0 1 ( ( ( (

Portanto, o sistema acima impossvel, logo{} S=14.0Exerccios (ManoelPaiva)Resolva,sepossvel,ossistemasabaixoempregandoomtododeGauss-Jordan a) 5 2 102 3 33 6 5 19x y zx y zx y z+ + = + = + + =b) 2 13 25 3 1x y zx y zx y z + = + = + = c) 3 7 11 62 4 13 3 4x y zx y zx y z+ = + =+ =d) 2 74 3 52 3 2 7x y zx y zx y z+ + = + =+ + = e) 3 2 32 16 5 5 6x y zx y zx y z + = + + =+ + =f) 3 2 42 62 0x y zx y zx y z+ + = + =+ + = g) 3 422 6x yx yx y+ = + = = h) 2 33 6 92 4 6x yx yx y = = =