ELEMENTOS DE MÁQUINAS (SEM 0241) - ltc.eesc.usp.br... ELEMENTOS DE MÁQUINAS (SEM 0241) Notas de Aulas v.2015 Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, ... 1 2

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – REVISÃO – Aula 03 – Notas de aula São Carlos

ELEMENTOS DE MÁQUINAS (SEM 0241)

Notas de Aulas v.2015

Elementos de Máquina (SEM 0241) – MASSAROPPI E, LIRANI J, CARVALHO J, FORTULAN CA (2015)

Aula 03 – Resistência dos Materiais – revisão

Professores: Ernesto Massaroppi Junior Jonas de Carvalho Carlos Alberto Fortulan


Aula 03 – Resistência dos materiais - revisãoO estudo e aplicação de MecSol teve início com Galileu (início do sec XVII)

carregamentos de vigas e eixos. Notável progresso foi feito pelos franceses (Saint –

Venant, Poisson, Lamé, Navier, Coulomb e Cauchy) (final do sec. XIX), com os

experimentos denominados Resistência dos Materiais. Posterior avanço derivou na

teoria da elasticidade e teoria da plasticidade.

O equilíbrio de um corpo requer um balanço de forças que evite que o corpo translade ou


tenha aceleração ao longo de um reta ou curva e o balanço de momentos para evitar

que o corpo tenha translação.ΣF=0 � ΣFx=0; ΣFy=0; ΣFz=0

ΣM0=0 � ΣMx=0; ΣMy=0; ΣMz=0

O sistema de forças internas necessário para

manter a parte isolada em equilíbrio consiste

de uma força axial, uma de cisalhamento, um

momento fletor e um conjugado (torque)


3.1- Esforços solicitantes

Pz - Força normal

Px , Py - Forças cortantes

Mfx, Mfy – Momentos de flexão

P1

l1

P2

l3

P3

Pz

S


=−−

=+

=−

0

0

0

21

4

3

PPP

PP

PP

z

y

x

fx fy

Mt – Momento de torção

Condições de equilíbrio na seção S:

=−

=+

=++

0.

0.

0..

33

13

2432

LPM

LPM

LPLPM

t

fy

fx

Mfy

P4

l2

MfxMt

Pz

PyPx


Condições de equilíbrio


Condições de equilíbrio


Representação Simb. Tipo da Reaçãono plano no Espaço

Restrição de Liberdade

Transversal 1 2

Articulado

Mancal

1 1

Rolo 1(2)

1Livr

e


Pendularou corda 1 1

Blo

quea

do

2 3

2 3

3 6

Articulado

Engastado

Transversal e Longitudinal


3.2 - Reações vinculares - Diagramas M, N, Q

Indeterminado (móvel) , hipostáticoDeterminado , isostáticoSuperdeterminado , hiperestático

�Sistemas móveis : Não suportam carga (Exceções - corda pendurada);�Sistemas hiperestáticos : Cálculos mais difíceis (Uso de elementos finitos);�Sistemas isostáticos : Normais.

� Regime elástico

Determinação estática


Condiçõesde

equilíbrio

REAÇÕESVINCULARES

DIAGRAMASM, N, Q

τσ ,

Tensões Principais 321 ,, σσσ

γβα ,,0

0

0

=

=

=

∑∑∑

M

F

F

y

x

Direções Principais


3 equações 3 incógnitas

( 2 ) e ( 3 ) :

1

21

21

2

1

1

2

1 ..

1

10. P

LL

LRP

L

LRP

L

LRR AYAYAYAY +

=→

+

=→=−+

(3) 00

(2) 00

(1) 0

21

1

2

=−⇒=

=−+⇒=

=⇒=

∑∑∑

LRLRM

PRRF

PRF

BYAY

BYAYy

AXx

x

y

P2

P1

L1 L2

AB

RAX

RAY

RBX

RBY =0


1

12

11

1

2

1

2

1 ..

1

10. P

LL

LRP

L

LRPR

L

LR BYBYBYAY +

=→

+

=→=−+

Convenção de sinal :+ tração- Compressão

+ sentido horário- sentido anti-horário

+ tração no lado inferior (desenha-se diagrama do lado tracionado)

RAYRBYP1

Q

RAYL1=RBYL2

+

M

+

-

NP2


Pl

y

x

l =1 , P=1000

P

A

B

A

B

R2X - A =0

R2Y - P - B = 0

Isostático

l l

2ll


R2xR1y

R1x

R2y

R2Y - P - B = 0

-R2Y - R2X .2 +P .2 = 0

A + R1X = 0

B + R1Y = 0

-R1X .1 + R1Y .1 = 0

6 equações e 6 incógnitas

R2Y = 4000 A = B3

R2X = 1000 R1X = R1Y = -10003 3


N

Q

+

+ +

-

-

-R1Y

+A

-B = -R2Y + P

-R2Y

+

+

- -

-

+ +P-B

-R1X


M

-R1X

-R2X

-

++

-

-B . l

-R1X . l-B . l

-B . l = -( P . l - R2X . 2 l )

-( P . l -R2X . l )

-P . l

+

R2X . l

-

-


3.3- Tensão normal

S

Pn =σ

Estado uniaxial de tensão

[ N/m2][ MPa ]

P P

P

σn


Sistema de unidades:• Cuidado!• Dê preferência ao S.I. (MKS)• Pode-se usar unidades de maior sensibilidade para engenharia (Kgf/mm2).


3.4 - Tensão normal oriunda de momento fletor

R

• Flexão pura (só Momento fletor)

• Seções planas permanecem planas após flexão

• Raio de curvatura R para cada ponto

HIPÓTESES:

OO

dφA


dx

R

O

dφ

LN

dφ

dx

R

v

dφ

A Acréscimo em dx

v

A

dφ

θ.RS =

Arco = raio x ângulo

dx

dv

l

l ϕε

.=

∆=

mas

ϕdRdx .=

ϕϕ

εd

d

R

v= v

R

1 =ε⇒ v∝ε ⇒

Lei de Hooke εσ E = ⇒ vER

σ .1

=

LN

ε

LN

σ

+

-


• Num elemento de área

∫ ==S

dAF 0.σ

∫ ∫ ∫=== dAvR

EdA

R

vEvdAvM ...

.... 2σ

• Não há força normal na seção devida à flexão

dAdF .σ=

∫∫ =⇒=S

0. 0..

dAvdAR

vE

LN passa pelo CG na flexão simples⇒

. dAdF σ= e dAvvdFdM ... σ==

vL.N.

dA

dMdA

v


∫ ∫ ∫S S

J

SRR

321

Segundo momento de área ou momento de inércia de área

σ m a xf

fm a x

M

WW

J

v= = c o m

Wf = Módulo de resistência à flexão

σmax

J

vM max

vR

E σ=

v

JM .σ=⇒vE

R σ .

1= ⇒

J

vM .=σ⇒


a) Seções simples

yL.Nh

by

x

Seções simples Tabelas de J ´s

2

2

32

2

22

3. .. .

h

hS

h

h

X

ybdyybdSyJ

−−

∫ ∫ ===

12

.3 hbJ Y =

12

. 3hbJ X =

Determinação de J de seções


Seções simples Tabelas de J ´s


c) Seções compostasc1) Teorema dos eixos paralelos ou de Steiner

dSyJJ XX .2+=′

OBS: x-x da figura pode não ser L.N. !

No exemplo acima:

x xa

b

c

ccca

ccbbba

bbaaxx hbhh

hbhbhh

hbhbJ ..2212

1....

2212

1..

12

1..

2

3

2

33

+++

+++=−

y

S

x

'x


OBS: x-x da figura pode não ser L.N. !

c2) Soma de J’s

b1

h1

.2

∫=S

X dSyJ ( ) ( ) ( ) ...

2121

∫∫∫ +=± SSSS

dxxfdxxfdxxf

∑= iJJ

e

12

..2 11

I

hbJJ totalperfil −=

Referidos ao mesmo eixo !

JJ .2

1=

4

128

dJ

π=

x


3.6- Tensão normal resultante de força normal e momento fletor

Princípio da superposição:

• Efeito de carregamento complexo é a soma de efeitos

de carregamentos simples.

• Válido para pequenas deformações em regime

elástico

MMP fyfx

≡l

P

P

M = P . l

P

P


xJ

My

J

M

S

P

Y

fy

X

fxX .. ++=σ

T

fy

T

X

fxZTtração x

Jy

My

J

M

S

P..max ++==− σσ

0.. =++ CyBxA

LN

⊕

-

T

C

Máxima tração

Máxima compressão

CG

Impondo σ = 0 :

(Equação da LN)

LN não passa pelo CG !


C

B

O 2 2 5

+ 3 0 0

1 3 0

A

M f xM f y

[ N . m ]

Notar que os momentos Mfx e Mfy (como na figura acima) e as tensões normais

devidas a eles estão em planos diferentes, normais entre si (como na figura abaixo).


A

B

C

D

σNO

σFx

σFy

As tensões normais entretanto tem a mesma direção e portanto podem ser somadas.


fyfxZxMyMP ..

++=σ Para σ = 0 � Equação da LN

⊕

-

C

T

b

b2

x

y

1bmxy +=

2bmxy +=

bmxy +=m

xy −=

LN

b1


Pontos de tração e compressão máximas:

Y

fy

X

fxZ

JJS

P++=σ

...fx

XZ

Y

X

fx

fy

M

J

S

Px

J

J

M

My −

−=

Para σ = 0 � Equação da LN

−=

−=

⇒+=

fx

Z

fx

fy

MS

JPb

M

Mm

bxmy

.

. .

.

1

222

=+

−=

rxy

xm

y22

2

.1

rxxm

=+

−m

rx

11

22

+=

2

22

1 m

ry

+=⇒


( ) : temos, ...1

como

resultante momento

. ..

1

1

. ..

1

1

22

22,

2

22

2

2

2

2

22,

2

22

2

2

2

2

++=

→+=

+±=

+=

−+

=

+±=

+=

−+

=

fyfxZ

fyfxR

fyfx

fx

CT

fyfx

fx

fx

fy

fxfy

fy

CT

fxfy

fy

fy

fx

xMyMJS

P

MMM

MM

rMyr

MM

Mr

M

My

MM

rMxr

MM

Mr

M

Mx

σ


para

= =

ou .

..

..

...

1

222

2222

⇒>

+=+=

+=

++=

++

++=

f

RZ

f

f

RZTR

ZT

R

RZ

R

fyfxZT

fyfx

fy

fy

fyfx

fx

fxZ

T

W

M

S

P

r

JW

W

M

S

PM

J

r

S

P

M

M

J

r

S

P

M

MM

J

r

S

P

MM

rMM

MM

rMM

JS

P

σσ

σ

σ

módulo de resistência à flexão

só tração ou só compressão


3.7- Tensão de cisalhamento

a) Cisalhamento puro (“corte”)

S

Qm =τ

Q

Q


• distribuição de τ não é uniforme sobre a seção transversal

• despreza-se flexão e normalQ

admadmm admσττ .60.0 a 55.0

)(=≤

admadmmadm

σττ .80.0)(

=≤

⇒

⇒

Fadiga

Estático


b) Cisalhamento em flexão (efeito Q)

∫ =S

dQdS.τ

MS = Momento estáticoda seçãoJb

MQ S

.

.=τ

↑

↑↓

↓τdS

τdQ

τ

b

b.1- em uma viga de seção retangular


∫ ==2 22

2. .

h

y

h

y

S

P

ybdSyMh / 2

yP

b

Mb

yb h y

hS

y

h

= = −

2 81

22 22 2

..

..


MS = A - B . y2 • Quadrática em y• Depende da forma da seção

τ

τ m a x

** A tensão de cisalhamento devido a cortante será máxima na linha neutra

(y=0) e nula na fibra externa (y=h/2), o inverso do que é observado nas

tensões normais devido a flexão, raramente um estado de tensão originará

situação de tensão no interior pior que o verificado nas fibras externas.


• Depende da forma da seção

medhb

Q

h

y

hb

Qτττ .

2

3

..

2

3 ,

.21.

..

2

3max

2

retang ==

−=

τ m a x


SX

y

y

XX

X

M

MJ

MdSy

J

MT

dTdzdx

...

..

1

==

=

∫

τ

b.2- em uma eixo de seção circular


( ) S

S

S

SXdXX

XdXXX

SdXX

dXX

MdzJ

Qy

MJ

Qdz

MJ

dxQdTxdzdx

dxQdM

MJ

MMTTdT

MJ

MT

.1

.

..

..

..

:s temo. como

.

.

=

=

==

=

−=−=∴

=

++

++

τ

τ

τ


( )

( )

−=

−=

==

−===

==

∫

∫∫

Θ

Θ

2

2

22

4

44

222

1..3

41.

2.

.

2

.

64

.

22.

2...

...1

...1

.

r

y

r

Q

r

yr

r

Qy

rdJ

yr

J

Qy

J

Qdry

J

Qy

dydzydzJ

QdSy

dzJ

Q

r

y

r

y

r

y

r

y

ππτ

ππ

τ

τ

para seção circular:


−=

2

. 1.

.32

2

.

r

y

rrrr

my ττ

ππ

2max.3

4

r

Q

πτ =


Observações:

1. τ não é distribuído uniformemente e depende da forma da seção

2. Para ,( l = vão) τmax é 2% a 5% de σflexão

desprezível ! Se a teoria apresentada não vale !

5>h

l

3<l


desprezível ! Se a teoria apresentada não vale !

3. Em alguns casos somente se preocupa com τ na flexão.

Ex: colagem, rebites

4. Se a seção não é simétrica em relação a Py ,Q não se aplica no C.G. mas no

centro de torção T da seção.

3<h

l


Momento de Inércia de Torção (Polar) : J ou J

3.8- Tensão de cisalhamento devido ao Momento Torçor

( )

max

max ;

1.2

.

y

JW

W

M

EG

G

tt

t

t ==

+=

=

τ

υ

γτ

• Distribuição de τ não é linear em geral• empenamento (warp) em seções não-circulares

Mt

γ


Momento de Inércia de Torção (Polar) : JT ou JZ

r

dS

x

y

∫=s

p dsrJ 2 CG O quando 222 ≡+= yxrmas

∫ ∫ ∫+== dSydSxdSrJ p .. 222

XYP JJJ +=⇒

∫=S

P dSrJ .2drrdS ..2 π=No caso do círculo : com

4

.2...22

0

42

∫ ==S

d

P

rdrrrJ ππ

32

. 4dJ P

π=⇒

Como YXP JJJ += eYX JJ =

64

. 4dJ círculo

π=

⇒

O


a) Seções circulares• Distribuição linear

16

. ,

32

. 34 dW

dJJJJ tYXpt

ππ==+==

b) Seções retangulares

2ou

2

12

.

12

.max

33 bhy

bhhbJt =+=

ττ

ymax = r

η τ.


• Nas faces: parábolas p/ h < 3bparábola achatada p/ h > 3b

Nieman) 3.1 (Ex tab. tabelados , ,

.menor face

..

.. , maior face

321

max1max

3

3

2

2max

→

=

=

==

ηηη

τητ

η

ητ

menor

t

t

t

t

hbJ

hbWW

M

•no inferior : não-linear

η τ.max

τmax


c) Seções compostas

( )

max

2

3

21

3

1

maxmax

.........3

1

.

b

JW

lblbJ

bJ

M

tt

t

t

t

=

++≅

τ

d) Tubos de paredes finas • Distribuição cte ao longo da espessura

τ

l1 ,b1

l2 ,b2

l3 ,b3

τ

τ

τ


• Distribuição cte ao longo da espessura

τµ

maxt

min

M

S s=

2. .

S µ = área interna do esqueleto

smin = espessura mínima

JS

s

W S sti

i

t min= =∑

42

2.. .

µµµ ;

τ

Si

ui

Esqueleto


Convenção de Sinal

x

y

AB

Tanto o plano de saída (direita) comoo de entrada (esquerda) giram nosentido horário (olhando de frentepara plano), portanto, momento torçorpositivo.



t

t

JG

lM

.

. 0=θ

Ângulo de torção

rigidezdemóduloG

áreadepolarmomentosegundoJ

radianosemtorçãodeângulo

t

,

,

,θ

Potência (P) = Quantidade de energia / Unidade de tempo (P=Mt/ω ; P=F.υ)


)/(

)(

srad

WPM t ϖ

=)(

)(

60

21

s

radrpm

π=

WHP 6,7461 =

n

NM t 7130=

rpmemrotaçãon

KWempotênciaN

mNemtorçormomentoMonden

NM tt

=

=

== .:,9450

rpmemrotaçãon

HPempotênciaN

mNemtorçormomentoMonde t

=

=

= .:


3.9- Tensão equivalente e tensão admissível

Peçareal

Modelo matemático

cálculosYZXZXY

ZYX

τττ

σσσ

,,

,,

critério de


Se σeq ≤ σadm a peça não romperá !

Modelo matemático

0

,, IIIIII

=τ

σσσ

critério deresistência

Tensão equivalente : σeq

Tensão ideal : σi

Tensão de confronto : σv


a) Estado simples de tensões

Tensão tangencial :

( )( )

( )

==

+==

ααατ

αασ α

.2.cos..

.2cos1..2

cos. 2

senF

senF

A

F

A

F Equaçõesparamétricas

do círculo

α

F

FsenαFcosα

F

F

A

F

τα σα

3.9.1- Estado de tensões

Tensão normal :


Tensão tangencial : ( )

== ααατ α .2..2

cos.. senA

Fsen

A

Fdo círculo

Direção do plano onde atuam σ

αe τ

α

α

τα

2α

σα

σI

σ

τ

Círculo de Mohr


b) Estado duplo de tensões

Equilíbriode

forças

τττ == yxxy

).2cos(.).2(.2

).2(.).2cos(.22

ατασσ

τ

ατασσσσ

σ

α

α

−−

=

+−

++

=

sen

sen

YX

XYYX

σx

σy

σy

σx

τyx

τyx

τxy

τxy

x

y

τxy

τxy

τα

σy

σx

σα

α

dA

dAsin αdAcos α

σσ +


Direção do plano onde atua σx

Direção do plano onde atua σy

σ

τ

°45 α α2

Iσyx σσ −

IIσ

2

yx σσ +

ττ =xy

ττ =− yx

max

2

2

2ττ

σσ=+

− yx

Círculo de Mohryσ


c) Estado triplo de tensõesσ I

σ II

σ III

σ I

σ II

σ III

σ III

IσIIσ σ

τ

IIσ σ

σ

IIIσ

IIIσ Iσ

τ


• Tensões principais

•Tensão tangencial máxima

•Ângulo dos planos principais

•Tensões em um ângulo qualquer

σσ σ σ σ

τI, II =+

±−

+X Y X Y

2 2

22

τσ σ

τm axX Y=

−

+

2

22

tan ( . ).

22

ατ

σ σ=

−X Y

σσ σ σ σ

α

τσ σ

α

X Y, . cos( . )

. sen( . )

=+

+−

=−

I II I II

I II

2 22

22

σ Iσ IIIIIσ

IσIIσ σ


3.9.2. Círculos de Mohr para casos particulares de solicitações

• Barra tracionada

• Pressão hidrostática biaxial

45o

maxτ

σ

τ

Iσ

IσIσ

IIσ

IIσ

F Fσ I σ I

45o

maxτ

τ

III σσ =σ


• Eixo solicitado à torção

• Eixo solicitado à flexo-torção maxIII, ττσ ±=±=

2

2

max

2

2

III,2

; 22

τσ

ττσσ

σ +

=+

±= bbb

IσIIσ

σ

τmaxττ =

τT T

σ I

σ I σ II

σ II

45o 45o


3.9.3. Critérios de resistência

Um componente mecânico, associado em conjunto a outros componentes, tem seucomportamento não tão bem delimitado e podem apresentar falha. São aplicadosCritérios de Resistências que se utilizam de conceitos de segurança para odimensionamento de componentes.

Resistência de uma peçamecânica (projeto)

Resistência da peça fabricada

� material;� tratamento térmico;

� quantidade do lote;� variações no processo;


� tratamento térmico;� processamento.

� variações no processo;� acabamento superficial;� esforços na conformação;� combinações com outros

no conjunto.Utiliza-se de dados de corposde prova � mesmascondições de carregamento,fabricação, acabamento.

Falha

� quebra;� deformação permanente;

A falha depende de:� tipo de tensão (tração, compressão, cisalhamento);� tipo de carregamento (estático, dinâmico).


Pelo círculo de Mohr, para tração pura aplicada lentamente, também há a existência deuma tensão de cisalhamento, cujo valor máximo é a metade da tensão normal.F

F

σ1

σxσ2σ3

ττττ

τ13

σσσσ

Pelo círculo de Mohr, para torção pura aplicada lentamente, também há a presença de

QUAL TENSÃO CAUSOU A FALHA??


Pelo círculo de Mohr, para torção pura aplicada lentamente, também há a presença detensão normal cujo valor máximo é igual a tensão de cisalhamento.

σ1σ2σ3

ττττ

τxy

σσσσ

τxy

Em geral materiais dúcteis submetidos a carregamentos estáticos são limitados pelassuas tensões de cisalhamento, enquanto que os materiais frágeis pela tensãonormal. Lembre que τadm ~0,8 σadm.



a) Descrição alternativa das tensões paraum eixo em torção, b) amostra de pedraarenosa após ensaio de torção

Fonte: POPOV EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. AMORELLI MOC. Ed. Edgard Blücher, 1978.

c)Torção em materiais de baixaresistência ao cisalhamento, quebraperpendicular ao eixo.

Acima: Ferro fundido cinzento, Abaixo: liga de alumínio 2024-T351

Fonte: Dowling NE. Mechanical Behavior ofMaterials. 3ª ed Ed. Pearson Prentice Hall.2007.p.156.


a) Máxima tensão normal

b) Máxima tensão tangencial (Tresca)

Dou I ZV K≤= σσKZ

KZKd

Kd|Kd| >KZ

Iσ

IIσ


b) Máxima tensão tangencial (Tresca)

( ) KV ≤+±= III σσσ

IσIIσ0III =σ

σ

τ

IIσ Iσ σ

τ

Kd

Kd

KZ

KZIσ

KZ < |Kd|

IIσ

Dou I ZV K≤= σσ


b) Máxima tensão tangencial (Tresca), explicada pelo círculo

de Mohr.

σ1

σ2

A

BC

D


τmax

A

σ1 σ2σ1

B

σ2 σ2

C

σ1

σ1D

D

σ2D

σ1D= −σ2D=1/2σ1

σ3σ3


c) Máxima energia de distorção (von Mises)

Elipse inclinada à 45o com semi-eixosK

K

.

. /

2

2 3

A energia total de deformação em uma peça carregada consiste em duas componentes:

uma devido ao carregamento hidrostático que muda seu volume; e outra devido a

distorção que muda sua forma.

A tensão de cisalhamento presente deve-se a parcela da energia de distorção.


( ) ( ) ( )2

IIII

2

IIIII

2

III.2

1σσσσσσσ −+−+−=V

2

IIIII

2

I . σσσσσ +−=V

Estado triplode tensões

Estado duplode tensões

K

K

K

K

Tensão

normal

Tensão de

cisalhamento

Iσ

IIσ

15% (dif.)

73% (dif.)

15% (dif.)

Energia de

distorção






3.9.4. Casos estáticos

a) Tensão equivalente

z

y

x

σ

σ

σtensões principais

321 ,, σσσ ( ) ( ) ( )[ ]2

13

2

32

2

21.2

1σσσσσσσ −+−+−=e

Critério + usado p/ aço energia de distorção (von Mises)

eequivalent

admNσ

σ=segurança) de coef.(b)


3.9.5. Casos de solicitação dinâmica (fadiga)a) Tensão equivalente Critério leva em conta a fadiga do material

( ) ( )

fadiga

fadiga

K

KtKfe

H

H

.lim

.lim

2

max

22

max

=

entalhede coef. = s

...

τ

σ

β

βτβσσ

′

+=

b) Tensão admissível fadigadeteoria →admσ

eequivalentσ


3.9.6- Seleção para o critério de resistência


Fonte: SHIGLEY JE, Projeto de engenharia mecânica, Ed. Bookman, 7ed, 2005


3.9.7. Aplicação dos critérios de resistência

• Eixo submetido à flexo-torção

• Círculo de Mohr

2

2

2

III,22

τσσ

σ +

±= ff

MtMt

Mf MfdA

dA

τfσ

fσ

τ

°45 α α2ττ =xy

maxτ

0=yσ

fx σσ =


Critério de Resistência Tensão de Confronto (σv)

Máx. tensão normal

Máx. tensão tangencial

Máx. energia de distorção22

22

2

2

I

.3

.4

22

τσσ

τσσ

τσσ

σσ

+=

+=

+

+==

fV

fV

ff

V

2

2

max2

τσ

τ +

= fσ

°45 α α2

ττ =yx

fσ


3.10. Referências

• Dowling NE. Mechanical Behavior of Materials. 3ª ed Ed. Pearson Prentice Hall.2007.

• Niemann G. Elementos de Máquinas, vol. I, Editora Edgard Blucher, 1991.

• Popov EP. Introdução à mecânica dos sólidos. Trad. Amorelli, M.O.C. Ed. Edgard Blücher, 1978.

• ShigleyJE, Mitchell LD. Projeto de Engenharia Mecânica, 7th ed., Bookman, Porto Alegre 2005.


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