Elementos Finitos

Elementos Finitos

Tatiana Leone da Cunha Lara Alves de Oliveira Soares

Orientadores: Eduardo Gomes Dutra do Carmo Webe Joo Mansur

1 1

, ,

2

2 ;

2

2

2

2

2

1

coord[0], ., coord[15]

Nop[0][0] = 0

Nop[0][1] = 1

Nop[0][2] = 8

(do global para o local)

Nop[2][0] = 2

Nop[2][1] = 3

Nop[2][2] = 10

Nop[2][3] = 11

20 2

21 3

1 1

Polinmio de Lagrange nas coordenadas locais () ou naturais

Grau N

1 1

Linear

Grau 1

Quadrtico

Grau 2

Cbico

Grau 3

........

, , . , , 2, . ,

1; 1;2

11 1 1

N 1 = intervalos

1 1 2 1

1 1 2 1 3 1 . . . 1 1

.

Para L = 0,1,....,N ;

1

0, ;

0, 1, ,

Nmero de pontos L + 1;

Nmero de intervalos L + 1;

K pontos por intervalo;

Nop [e][1] , l = 0, 1, ..., N

Nop [e][0] = e

Nop [e][1] = e + 1

Nop [e][2] = L + eK + 1

Nop [e][3] = L + eK + 2 . . . Nop[e][i] = L + eK + (i 1) . . . Nop[e][K + 1] = L + eK + (K + 1 1) = L + eK + k = L + (e + 1)K

Coord [0][0] = x0

Coord [1][0] = x1 . . . Coord [i][0] = xi . . . Coord [L][0] = xL

0 0

1

.

.

. . . .

,,,

,,

1

, : , ,

, : , , ||

1

, ; ,

;

2. .

2 .

2

2, , 0

2

0

2 0

2 2

1 2

2.

2

,

Definio: Duas funes em , so ditas iguais quase em toda parte, ou

equivalentes, ou indistinguveis, se e somente se: 0

,

/

1

i. , 0

ii. , ,

iii. , 0

iv.

, , ,

| | || ||

| |

0

0

,,,

, ; e,

,

| |

Problema

Encontrar e ,,, que melhor aproxima na distncia , dada pela

equao 1.

,

resduo

, ,

(L = 9)

Nop [7][0] = 7

Nop [7][1] = 8

,

/

,

/

;

,

0, , 2

Minimizando , obtm-se:

0, , 1

0, , 1

,

0

1

1

2

0

1 2

Equao para 1, 2

1, , 2

Equao para um ponto vrtice interior

0 1

11 0

2 1

2

0

, ,

, ,

0

2

2

, ,

2

2

, ,

,

0

,

,

,

, ,

, , 0

0, , 1

0 0, , 1

0, , 1

, 0, , 1

0 00

0 ,0

0

0

0

,

,

,

,

, ,

,

,

, ,

0

0 0

0

0

,

,

,

,

,

0,

Soluo prescrita no n 0 no n

i sendo o n considerado

,

0, , 1 0

Controle para condies de contorno

0

1

2

3

0, , 1

0

0 0

0

0 1

0 0

1

0

0

0

1

1

0

,, , 1

60 7

61 10

602 11

63 12

5 5 6 0

2 10

0

1 2

65

0 /5

2 10

0

65

0

10 125 2 10

125

25

65

5

65

0

65

0 /10 125

25/10

125

0

65

5

65

0

0 /10

125

25/10

125

0 0 1

6

5 10 125

565

25/10

125

65

0

0 /10

125

25/10

125

0 0 1

1 6

5 10 125

565

25/

10.125

0 --[Varia i=0, NTPO-1

1--[Varia j=0, NPTO-1

0

Fim da variao 1

0

Fim da variao 0

1--[Varia el=0, NtotalElem

2--[Varia ipto=0, NptoElem[el]

3--[Varia jpto=0, NptoElem[el]

A [ipto] [jpto] =

M Nop[el] [ipto] Nop[el] [jpto]

A [ipto] [jpto] +

M Nop[el] [ipto] Nop[el] [jpto]

Fim da variao 3

B[ipto] =

b Nop[el] [ipto]

Fim da variao 2

Fim da variao 1

Matriz lgica de controle para implementar Solver operando com elementos no nulos da matriz

1 NcolNZeroDirDiago[NgrausLiberdade]

NgrausLiberadeNmero de Incgnitas por n x Nmero de Ns

2 NLinDepAbaixDiag[NgrausLiberdade]

ApontadorDirCol[eldiag][elcol]

eldiag = 0, ... , (NgrausLiberade-1)

elcol = 0, ... , (NcolNoZeroDirDiag[eldiag]-1)

Exemplo:

1 2 0 0 3 0 3 0 0 15 0 0 7 0 0 5 0 . . . 0 0 1 0 0

NcolNoZeroDirDiag[5] = 2

Diagonal[5] = 15

ApontadorDircol[5] [0] = 7


ApontadorAbaixo[eldiag][elLin]

eldiag = 0, ... , (NgrausLiberade-1)

ellin = 0, ... , (NlinDepAbaixDiag[eldiag]-1)

Exemplo:

1 0 2 0 1

1 0 2 3 4

0 0 13 0 0 5 7

0 0 0 14 0 1 0

0 0 0 0 15 1 1 0

0 0 0 1 0 16 0 1

0 0 0 0 0 0

0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 0

Diagonal[2] = 0


NlinDepAbaixDiag[2] = 0




Diagonal[4] = 14


NlinDepAbaixDiag[4] = 2


ApontadorAbaixoLin[4] [0] = 1

ApontadorAbaixoLin[4] [1] = 2

Algoritmo para moldar o nmero de graus de liberdade

1--[Varia ipto = 0, (NumTotalPtoMalha-1)

2--[Varia igl = 0, (NumGLporN-1)

IP IP+1

LigaGL [IP] [0] = ipto

LigaGL [IP] [1] = igl

LigaInvGL [ipto] [igl] = IP

Fim da variao 2

Fim da variao 1

NtotalGrauLib = IP

Path de um nso elementos que contm o n

NelemContemPto[pto]

Pto = 0, ... (NumTotalPtoMalha-1)

1--[Varia ipto = 0, (NumTotalPtoMalha-1)

NelemContemPto[pto] = 0

Aux[pto] = -1

Fim da variao 1

2--[Varia elem = 0, (NtotalElem-1)

3--[Varia jpto = 0, NptoElem[elem]

NelemContemPto[Nop[elem] [jpto]]

NelemContemPto[Nop[elem] [jpto]]+1

Fim da variao 3

Fim da variao2

Exemplo:

Pto=0

NelemContemPto[0] = NelemContemPto[Nop[0] [0]]

0+1=1

Pto=1


0+1=1


1+1=1

....

ElemContemPto[pto] [OrdemElem]

OrdemElem = 0, ... , (NelemContemPto[pto]-1)

4--[Varia elem = 0, (NtotalElem1)

5--[Varia jpto = 0, (NptoElem[elem]-1)

Aux[Nop[elem] [jpto]=

Aux[Nop[elem] [jpto]]+1

PathPto[Nop[elem] [jpto]] [Aux[Nop[elem] [jpto]]] = elem

Fim da variao 5

Fim da variao 4

6--[Varia ig = 0, (NtotalGrauLib-1)

NcolNaoZeroDirDiag[ig] = 0

NlinDepAbaixDiag[ig] = 0

Aux[ig] = -1

Aux0[ig] = 0

Fim da variao 6

7--[Varia ig = 0, (NtotalGrauLib -1)

jpto = LigaGL[ig][0]

igl = LigaGL[ig][1]

8--[Varia jg = igl +1, (NumGlporNo -1)

NcolNaoZeroDirDiag[ig]=

NcolNaoZeroDirDiag[ig] +1

NlinDepAbaixDiag[ig]=

NlinDepAbaixDiag[ig]+1

Fim da variao 8

9--[Varia ordem = 0, (NelemContemPto[jpto] -1)

elem = PathPto[jpto] [ordem]

10--[Varia lpto = 0, (NptoElem[elem] -1)

Kpto = Nop[elem] [lpto]

11--[Se (Kpto > jpto e Aux[Kpto] = 0). Faa

12--[Varia lg = 0, (NumGLporNo -1)

NcolNaoZeroDirDiag[ig]=

NcolNaoZeroDirDiag[ig] +1

NlinDepAbaixDiag[ig]=

NlinDepAbaixDiag[ig] +1

Aux0[Kpto]=1

12a--[Varia ig=0, (NtotalGrauLib -1)

Aux0[ig] = 0

Fim da variao 12a

Fim da variao 12

Fim do teste 11

Fim da variao 10

Fim da variao 9

Fim da variao 7

13--[Varia ig = 0, (NtotalGrauLib -1)

jpto = LigaGL[ig][0]

igl = Liga[ig][1]

14--[Varia jg = igl +1, (NumGLporNo 1)

Aux[ig] = Aux[ig] + 1

ApontadorDirCol[ig] [Aux[ig]]=

LigaInvGL[jpto] [jg]

ApontadorAbaixoLin[ig] [Aux[ig]]=

LigaInvGL[jpto] [jg]

Fim da variao 14

15--[Varia ordem = 0, (NelemContemPto[jpto]-1)

Elem = PathPto[jpto] [ordem]

16--[Varia lpto = 0, (NptoElem[elem]-1)

Kpto = Nop[elem] [lpto]

17--[Se (kpto > jpto e Aux0[Kpto]=0). Faa

18--[Varia lg = 0, (NumGLporNo-1)

Aux[ig] = Aux[ig] + 1

ApontadorDirCol[ig] [Aux[ig]]=

LigaInvGL[kpto] [jg]

ApontadorAbaixoLin[ig] [Aux[ig]]=

LigaInvGL[kpto] [jg]

Aux0[ig] = 1

Fim da variao 18

Fim do teste 17

Fim da variao 16

Fim da variao 15

Fim da variao 13

19--[Varia id = 0, (NtotalGrauLib 1)

TermoIndep[id] = 0.0

MatDiag[id] = 0.0

20--[Varia icol = 0, (NcolNaoZeroDirDiag[id] -1)

MatDirCol[id] [icol] = 0.0

Fim da variao 20

21--[VariaiLin = 0, (NlinDepAbaixDiag[id] -1)

MatAbaixoLin[id] [Nlin] = 0.0

Fim da variao 21

Fim da variao 19

22--[Varia el = 0, (NtotalElem-1)

Ativa CalcMatElem(el, ... , MatEl)

Ativa CalcTermoIndElem(el, ... , TermoIndEl)

23--[Varia jpto = 0, (NptoElem[el] -1

jptoGlob = Nop[el] [jpto]

24--[Varia ig = 0, (NumGLporNo-1)

igrauGlob = LigaInvGL[jptoGlob][ig]

MatDiag[igrauGlob]

MatDiag[igrauGlob]+

MatEl[jpto] [ig] [jpto] [ig]

TermoIndep[igrauGlob]

TermoIndep[igrauGlob]+1

TermoIndEl[jpto] [ig]

25--[Varia Kpto = 0, (NptoElem[el]-1)

KptoGlob = Nop[el] [Kpto]

26--[Varia jg=0, (NelemGLporNo -1)

jgrauGlob = LigaInvGL[KptoGlob] [jg]

27--[Se jgrauGlob . igrauGlob. Faa

28--[Varia iaux=0, (NcolNaoZeroDirDiag[igrauGlob]-1)

29--[Se ApontadorDirCol[igrauGlob] [iaux]=jgrauGlob. Faa

V para 30

Fim do teste 29

Fim da variao 28

30--[MatDirCol[igrauGlob] [iaux]

MatDirCol[igrauGlob][iaux]+

MatEl[jpto][ig][kpto][jp]

31--[Varia iaux = 0, (NlinDepAbaixoDiag[igrauGlob]-1)

32--[Se ApontadorAbaixoLin[igrauGlob][iaux]=jgrauGlob. Faa V para 33

Fim do teste 32

Fim da variao 31

33--[MatAbaixoLin[igrauGlob] [iaux]

MatAbaixoLin[igrauGlob] [iaux]+

MatEl[kpto] [jg] [jpto] [ig]

Fim do teste 27

Fim da variao 26

Fim da variao 25

Fim da variao 24

Fim da variao 23

Fim da variao 22

Integrao Numrica

Integrao de Gauss

1

1

1 1

1 1 1

2 2

1 2

2

2

2

2

2

2

2

1 1

1 0 1

2 1 3 1

1 3 1

3 0.774596669241483 0.555615

0.0 0.888915

0.774596669241483

4 . . .

.

.

.

.

, ,

N pontos de Gauss, integram exatamente um polinmio de grau 2 1

2

2

2

2

mapeamento direto

, , ; 1, ,

~

Mapeamento inverso

, ,

det ~ 0 para todo ento o mapeamento direto inversvel.

:

*

|| , 0, 0

|det |

1 2

1, 11, 1

reas

, , ) = (,

Coordenadas reas

A012 = rea do tringulo 012

A01P = rea do tringulo 01P



1 1

)2L,1L ,0L

, ,L ;2L,1L ,0L

.

1 1

1 1

, *

, *

, |det |

, |det |

, det

,

1 1

1 1

,

0 ,

1 ,

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