Click here to load reader

Elementos Finitos

  • View
    23

  • Download
    1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Modelando elementos termo-fluídicos e aplicando o método dos elementos finitos

Text of Elementos Finitos

  • MTODOS NUMRICOS EM

    ENGENHARIA

    O Mtodo dos Elementos Finitos

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    APLICAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AOS FLUIDOS.

    Perfil de asa Casco de embarcao

    Foguete

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    A forma mais geral de apresentar o problema considera a soluo de

    escoamentos com alto nmero de Reynolds de fluidos com viscosidade dada

    por e considerados compressveis.

    Inicialmente utilizou-se para simulao numrica de fluidos o MTODO DAS

    DIFERENAS FINITAS e posteriormente o MTODO DOS VOLUMES

    FINITOS com os quais obtm-se resultados teis.

    A aplicao do MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS em fluidos vem desde o

    incio da dcada de 70. Zienkiewicz e Taylor indicam que seu estgio atual de

    desenvolvimento mostra-se eficaz quando comparado aos dois primeiros.

    ),( Tp

    Considera-se FLUIDO COMPRESSVEL aquele cuja densidade varia com a

    presso volumtrica p e/ou com a temperatura T.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Um fluido caracteriza-se por no resistir a esforos tangenciais quando em

    repouso, caso em que apenas tenses hidrostticas so possveis. Nos

    fluidos queremos conhecer a distribuio de velocidades vi em lugar dos

    deslocamentos ui.

    De maneira anloga aos slidos, define-se um tensor taxa de deformao

    atravs da expresso:

    Lvv

    v

    xx

    x

    x

    x

    v

    x

    v

    j

    i

    ij

    j

    i

    i

    j

    j

    iij

    0

    0

    2

    1

    Para um fluido NEWTONIANO (isotrpico e linear) definem-se as constantes

    de viscosidade , que relaciona tenses desviadoras com as velocidades

    desviadoras, e a constante de viscosidade volumtrica .

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Para o fluido NEWTONIANO teremos:

    iiijijiiijijij

    3

    2

    3

    10

    3pkp ii

    ii

    Como no h definio sobre viscosidade volumtrica, fazemos: 03

    pp ii

    Utilizando as expresses acima escrevemos a equao constitutiva:

    pk ijijii

    ijiiij

    iiij

    ijij

    332

    ou: 33

    22 iiijiiijijij k

    de onde vem:

    ppk ijijijiiij

    ijij

    32

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Substituindo as velocidades de deformao vem:

    i

    iij

    i

    j

    j

    iiiij

    ijijx

    v

    x

    v

    x

    v

    3

    2

    32

    Obs: Fluidos NO NEWTONIANOS apresentam viscosidade dependente da

    velocidade o que os torna no lineares.

    Condio para CONSERVAO DA MASSA: 0

    v

    tv

    xt

    T

    i

    i

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Condio para CONSERVAO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO:

    0

    jij

    i

    ij

    i

    jf

    xvv

    xt

    v

    0

    j

    ji

    ij

    ij

    i

    jf

    x

    p

    xvv

    xt

    v

    o termo fj corresponde as foras mssicas.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Observa-se que as variveis nas equaes anteriores so as componentes de

    velocidade vi (3 variveis), a presso p (1 varivel) e a densidade (1 varivel).

    Expandindo as equaes anteriores chega-se a quatro equaes, trs de

    conservao da quantidade de movimento e uma da conservao de massa.

    Falta pelo menos mais uma equao para que o problema seja resolvido.

    033

    2

    2

    1

    1

    v

    xv

    xv

    xt

    Conservao da massa

    0113

    13

    2

    12

    1

    1131

    3

    21

    2

    2

    1

    1

    1

    f

    x

    p

    xxxvv

    xvv

    xv

    xt

    v

    Conservao da quantidade de movimento

    0223

    23

    2

    22

    1

    2132

    3

    2

    2

    2

    21

    1

    2

    f

    x

    p

    xxxvv

    xv

    xvv

    xt

    v

    0333

    33

    2

    32

    1

    312

    3

    3

    32

    2

    31

    1

    3

    f

    x

    p

    xxxv

    xvv

    xvv

    xt

    v

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Para resolver o problema precisamos fazer algumas consideraes:

    1) FLUIDO INCOMPRESSVEL Densidade constante.

    2) Fluido isotrmico e pequena compressibilidade EQUAO DE ESTADO.

    ),( Tp ; caso ideal RT

    p ; R constante universal dos gases.

    A equao que falta para completar o caso mais geral exige as seguintes

    definies:

    a) Energia especfica por unidade de massa e:

    b) Energia total por unidade de massa:

    c) Entalpia:

    d) Transferncia de energia por coduo:

    ),( Tpee

    2

    iivveE

    pehcom

    pE

    vvhH ii

    2

    Tx

    kqi

    i

    OBS: O segundo termo a energia

    cintica por unidade de massa

    k o coeficiente isotrpico

    de conduo de calor

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    3) CONSERVAO DA ENERGIA Soma-se s 4 equaes do caso geral.

    0

    Hiiiji

    i

    i

    iii

    i

    i

    qvfvx

    pvxx

    Tk

    xHv

    xt

    E

    d) Fonte de calor interna por unidade de volume: qH

    e) Dissipao devida as tenses: jj

    jij

    i

    jij

    i

    pvx

    vx

    vx

    Feitas as definies, podemos escrever a equao de balano de energia

    por unidade de volume conforme segue:

    ou ainda:

    0

    Hiiiji

    iii

    i

    i

    qvfvxx

    Tk

    xHv

    xt

    E

    Observe que o penltimo termo corresponde ao trabalho realizado pelas

    foras mssicas.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Forma geral das equaes de NAVIER STOKES:

    0

    Q

    x

    G

    x

    F

    t

    U

    i

    i

    i

    i

    com:

    ;

    3

    2

    1

    E

    v

    v

    v

    U

    ;

    33

    22

    11

    1

    i

    ii

    ii

    ii

    i

    Hv

    pvv

    pvv

    pvv

    v

    F

    e

    x

    Tkv

    x

    G

    i

    iij

    i

    i

    i

    i

    i

    3

    2

    1

    Hii qvf

    f

    f

    f

    Q

    3

    2

    1

    0

    e com:

    i

    iij

    i

    j

    j

    iij

    x

    v

    x

    v

    x

    v

    3

    2

    Caso particular sem viscosidade (=0) e sem conduo de calor (k=0):

    Equaes de EULER.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Escoamentos INCOMPRESSVEIS (ou pouco compressveis):

    Hipteses:

    Considera-se que a variao de com a presso p muito pequena e portanto

    se considera constante nas equaes em que ela aparece multiplicada pelas

    velocidades vi.

    Admitiremos que o problema isotrmico.

    Considerando uma pequena compressibilidade: dpK

    d

    onde K o mdulo de compressibilidade.

    ainda podemos fazer: dpc

    d2

    1

    com c velocidade de onda acstica dada por: /Kc

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Neste primeiro caso as equaes de NAVIER-STOKES ficam:

    012

    i

    i

    x

    v

    t

    p

    c 011

    1

    jji

    ij

    ij

    jf

    xx

    pvv

    xt

    v

    Se o escoamento for totalmente incompressvel: c

    011 113

    13

    2

    12

    1

    1131

    3

    21

    2

    2

    1

    1

    1

    f

    x

    p

    xxxvv

    xvv

    xv

    xt

    v

    011 223

    23

    2

    22

    1

    2132

    3

    2

    2

    2

    21

    1

    2

    f

    x

    p

    xxxvv

    xv

    xvv

    xt

    v

    011 333

    33

    2

    32

    1

    312

    3

    3

    32

    2

    31

    1

    3

    f

    x

    p

    xxxv

    xvv

    xvv

    xt

    v

    i

    iij

    i

    j

    j

    iij

    x

    v

    x

    v

    x

    v

    3

    21

    onde a viscosidade cinemtica.

    OBS: A menos dos termos de acelerao convectiva, o problema anlogo ao da elasticidade incompressvel.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Escoamentos INCOMPRESSVEIS e NO VISCOSOS (EULER):

    01 11

    31

    3

    21

    2

    2

    1

    1

    1

    f

    x

    pvv

    xvv

    xv

    xt

    v

    01 22

    32

    3

    2

    2

    2

    21

    1

    2

    f

    x

    pvv

    xv

    xvv

    xt

    v

    01 33

    2

    3

    3

    32

    2

    31

    1

    3

    f

    x

    pv

    xvv

    xvv

    xt

    v

    03

    3

    2

    2

    1

    1

    x

    v

    x

    v

    x

    v

    A soluo numrica fica melhor encaminhada se introduzimos um potencial ,

    escrevendo as velocidades em funo dele:

    ;1

    1x

    v

    ;

    2

    2x

    v

    ou

    xv

    3

    3

    v

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Forma potencial: ESCOAMENTOS INCOMPRESSVEIS e NO VISCOSOS:

    Se existe o potencial ento: 022

    3

    2

    2

    2

    2

    2

    1

    2

    xxx

    O problema de fluxo confinado oferece uma condio de contorno natural

    sobre a velocidade normal a esses contornos:

    n

    nx

    v

    Lembramos que se existe tal funo potencial, devemos ter:

    31

    2

    13

    2

    23

    2

    32

    2

    12

    2

    21

    2

    ;;xxxxxxxxxxxx

    Se existe tal potencial a condio de irrotacionalidade do fluido fornece:

    ;01

    2

    2