Universidade Federal do Rio Grande do Sul Escola de Engenharia

Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil

Anlise Numrica de Vigas Mistas pelo Mtodo dos Elementos Finitos

Jorge Luis Palomino Tamayo

Porto Alegre 2011

ii

JORGE LUIS PALOMINO TAMAYO

ANLISE NUMRICA DE VIGAS MISTAS PELO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Dissertao apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Sul,

como parte dos requisitos para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia

Porto Alegre

2011

CIP - Catalogao na Publicao

Elaborada pelo Sistema de Gerao Automtica de Ficha Catalogrfica da UFRGS com osdados fornecidos pelo(a) autor(a).

Tamayo, Jorge Luis Palomino Anlise Numrica de Vigas Mistas pelo Mtodo dosElementos Finitos / Jorge Luis Palomino Tamayo. --2011. xvi, 147 f.

Orientador: Incio Benvegnu Morsch. Coorientador: Armando Miguel Awruch.

Dissertao (Mestrado) -- Universidade Federal doRio Grande do Sul, Escola de Engenharia, Programa dePs-Graduao em Engenharia Civil, Porto Alegre, BR-RS, 2011.

1. Vigas mistas. 2. Elementos finitos. 3.Concreto armado. 4. Estruturas de ao. I. Morsch,Incio Benvegnu , orient. II. Awruch, ArmandoMiguel, coorient. III. Ttulo.

iii

JORGE LUIS PALOMINO TAMAYO

ANLISE NUMRICA DE VIGAS MISTAS PELO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Esta dissertao de mestrado foi julgada adequada para a obteno do ttulo de MESTRE EM

ENGENHARIA, rea de Estruturas, e aprovada em sua forma final pelo professor orientador

e pelo Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio

Grande do Sul.

Porto Alegre, 25 de maro de 2011

Prof. Incio Benvegnu Morsch Prof. Armando M. AwruchDr. PPGEC/UFRGS Dr. COPPE/UFRJ

Orientador Co-orientador

Prof. Luiz Carlos Pinto da Silva Filho Coordenador do PPGEC/UFRGS

BANCA EXAMINADORA

Profa. Virginia Maria Rosito dAvila (UFRGS) Dra. PPGEC / UFRGS

Prof. Herbert Martins Gomes (UFRGS) Dr. PROMEC / UFRGS

Prof. Pedro Colmar Gonalves da Silva Vellasco (UERJ) PhD. pela Imperial College of Science Technology and Medicine

University of London (UK)

iv

Dedico este trabalho a minha esposa, meus pais e meus irmos pela compreenso durante o perodo de seu

desenvolvimento.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeo a Deus por brindar o conhecimento e a sabedoria necessria para culminar esta

dissertao.

Agradeo Coordenao de Aperfeioamento de Pessoal de Ensino Superior - CAPES pela

bolsa de estudos que possibilitou a minha total dedicao aos meus estudos para alcanar um

dos objetivos importantes de minha vida.

Ao Professor Incio Benvegnu Morsch, pelas orientaes e disponibilidade que sempre

mostrou durante a realizao deste trabalho e a amizade brindada.

Agradeo especialmente ao Professor Armando M. Awruch, pelas orientaes brindadas e

pelo apoio recebido para que minha estada na UFRGS seja a melhor possvel.

Ao Professor Victor Sanchez Moya, Director do Instituto de Pesquisas da Universidade

Nacional de Engenharia (UNI), pelo apoio para que meus estudos na UFRGS fossem

possveis.

Aos professores do Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil - PPGEC/UFRGS pelos

conhecimentos brindados. Um agradecimento especial aos professores: Eduardo Bittencourt,

Virginia M. R. dAvila e Joo Massuero.

Aos professores Graziano Leoni, Nofal Mostafa e Hong Hao, pelos comentrios e respostas a

minhas dvidas.

Aos colegas e amigos da ps-graduao, Paulo, Carla, Vitor, Claudia, Paula, Marcelo e

Dbora pela convivncia agradvel.

Agradeo aos meus pais Jorge e Elena, e meus irmos Martin, Carlos e Elena do Rosrio pelo

apoio constante e conselhos para a realizao deste trabalho.

Agradeo a minha esposa Karena pelo apoio brindado e por todo seu amor. Por sempre estar

conmigo sem preguntas em todo momento.

vi

RESUMO

PALOMINO, T.J. Anlise Numrica de Vigas Mistas pelo Mtodo dos Elementos Finitos. Dissertao (Mestrado em Engenharia Civil) Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil, UFRGS, Porto Alegre.

O emprego das vigas mistas na atualidade uma das opes atrativas para a

construo de pontes e das lajes dos andares de prdios. A obteno das melhores

caractersticas individuais em resistncia e rigidez dos materiais envolvidos aproveitada

neste tipo de estruturas. O presente trabalho visa formulao de um modelo matemtico e

sua implementao numrica atravs de um cdigo computacional capaz de representar com

confiabilidade este tipo de estruturas para cargas de curta durao. Assim utilizada a teoria

de plasticidade associada com um algoritmo de retorno explcito para o concreto e o ao

estrutural, sendo inserido estes procedimentos dentro de um processo incremental iterativo

baseado num critrio de convergncia de foras ou deslocamentos. Para a modelagem da laje

de concreto desenvolvido o elemento finito quadriltero de casca degenerada de oito ns,

que considera as tenses de corte fora do plano, usando a teoria de Reissner-Mindlin. O

fenmeno de travamento por cortante, caracterstico neste tipo de elemento finito,

solucionado usando uma regra de integrao reduzida e uma modificao do fator de forma

aplicado s tenses de corte. Para a modelagem da viga de ao foi implementado um elemento

de casca polidrica produto do acoplamento das rigidezes do elemento de placa delgada e de

membrana proposto por Batoz & Tahar (1982) e Ibrahimbegovic et al. (1990),

respectivamente. Os conectores de corte so modelados mediante elementos de barra

tridimensional viga-coluna que unem os planos mdios da laje de concreto e mesa superior da

viga de ao nas posies reais dos conectores de corte de acordo com os relatrios

experimentais para os exemplos estudados. A compatibilidade nas rotaes e deslocamentos

axiais no conector conseguida mediante a incluso de valores muito grandes nas rigidezes

correspondentes. O trabalho em conjunto dos trs elementos desenvolvidos, laje de concreto,

viga de ao e conectores, possibilita a abordagem de qualquer estrutura complexa do tipo viga

mista. A validao do modelo numrico proposto demonstrada atravs dos exemplos de

aplicao testados.

Palavras-chave: vigas mistas; elementos finitos; concreto armado; estruturas de ao.

vii

ABSTRACT

PALOMINO,T.J. Numerical Analysis of Composite Beams by the Finite Element Method. Dissertao (Mestrado em Engenharia Civil) Programa de Ps-Graduao em Engenharia Civil, UFRGS, Porto Alegre.

Currently, composite sections are one of the more attractive options to be used for

bridge and building floors construction. The reason is that the best individual characteristics

in strength and stiffness of the involved materials are obtained for these structures.

Formulation of a mathematical model and its numerical implementation for a reliable

simulation of these structures for short time analysis is the main objective of the present work.

An associated theory of plasticity and an explicit return algorithm for concrete and steel

materials are used, being these procedures part of the well known incremental iterative

procedure based on criteria of unbalanced forces or displacements. The quadrilateral

degenerated shell element of eight nodes, which considers out of plane shear stresses in

accordance with Reissner-Mindlin theory was developed to modeling the concrete slab. The

shear locking phenomena for these elements was avoided with a reduced integration rule and

by using a modified shape factor for shear stresses. For modeling the steel beam, a plane shell

element, which is originated by the assemble of the plate element and membrane element

proposed by Batoz & Tahar (1982) and Ibrahimbegovic et al. (1990) was formulated. The

shear stud connectors were modeled trough a three-dimensional bar element, which joint the

middle plane of the concrete slab and the middle plane of the top steel flange of the steel

beam representing the actual positions of the connectors, according to the experimental works

for the examples studied here. These three elements, working simultaneously allow to model

any complex structure of composite section. The validation of the numerical model is

demonstrated with the aid of several examples.

Key-words: composite beams; finite elements; reinforced concrete; steel structures.

viii

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1: Superfcie de escoamento definida no espao das tenses principais....................10

Figura 2.2: Representao unidimensional do diagrama tenso-extenso dos diferentes

modelos usados para o concreto ............................................................................13

Figura 2.3: Configuraes admitidas para o concreto fissurado ..............................................14

Figura 2.4: Definio do referencial da fissura ........................................................................16

Figura 2.5: Diagrama de reteno de tenses para o concreto fissurado..................................18

Figura 2.6: Diagrama tenso-extenso para o ao a) trilinear b) bilinear.................................19

Figura 2.7: a) Elemento tridimensional slido quadrtico b) Elemento de casca degenerada 21

Figura 2.8: Sistemas de coordenadas a) global e nodal b) sistema de coordenadas local,

material e curvilneo ..............................................................................................22

Figura 2.9: Deslocamento num ponto da normal no n k .......................................................25

Figura 2.10: Sistema de eixos para a definio das deformaes ............................................26

Figura 2.11: Definio da coordenada curvilnea do elemento de cabo de protenso .............31

Figura 2.12: Malha de elementos finitos usada para a laje retangular engastada.....................37

Figura 2.13: Variao do deslocamento central normalizado com a espessura da laje............37

Figura 3.1: Critrio de escoamento em trao e compresso para o ao..................................45

Figura 3.2: Elemento quadriltero com grau de liberdade rotacional ......................................47

Figura 3.3: Elemento quadriltero da placa..............................................................................51

Figura 4.1: Elemento de barra viga-coluna tridimensional para a modelagem do conector ....60

Figura 4.2: Conector de corte tpico antes e depois da deformao .........................................61

Figura 4.3: Curvas fora-deslocamento para os conectores de corte usados no experimento de

Chapman & Barakrishanan (1964) ........................................................................68

Figura 4.4 Ajuste das curvas fora-deslocamento com o modelo exponencial proposto por

Yam & Chapman (1972) .......................................................................................68

Figura 5.1: a) Elementos que conformam a viga mista b) Elemento de viga mista montado ..75

Figura 5.2: Construo da matriz de rigidez de um elemento finito de seo mista ................76

Figura 6.1: Geometria e armadura na placas de Peter (1966) ..................................................78

Figura 6.2: Idealizao da placa com o mtodo dos elementos finitos ....................................79

Figura 6.3: Comparao das curvas cargas -deslocamento longitudinal..................................79

Figura 6.4: Comparao das curvas cargas-deslocamento longitudinal...................................80

Figura 6.5: Variao do deslocamento transversal com o ngulo de reforo para um nvel de

carga de 343 KN ....................................................................................................81

ix

Figura 6.6: Geometria das placas .............................................................................................83

Figura 6.7: Idealizao das placas em elementos finitos..........................................................83

Figura 6.8: Diagramas para o espcime B7..............................................................................85

Figura 6.9: Diagramas para o espcime B10............................................................................86

Figura 6.10: Geometria e seo transversal das vigas A-3 e B-3 .............................................88

Figura 6.11: Curvas numricas e experimentais para a viga A-3.............................................90

Figura 6.12: Curvas numricas e experimentais para a viga B-3 .............................................90

Figura 6.13: Geometria e modelo de elementos finitos para as placas.....................................93

Figura 6.14: Comparao das curvas experimental e numrica para a placa S1 para a deflexo

no centro da placa ..................................................................................................94

Figura 6.15: Comparao das curvas experimental e numrica para a placa S2 para a deflexo

no centro da placa ..................................................................................................94

Figura 6.16: Comparao das curvas experimental e numrica para a placa S3 para a deflexo

no centro da placa ..................................................................................................95

Figura 6.17: Configurao de fissurao para uma carga de 11.4 kN......................................96

Figura 6.18: Configurao de fissurao para uma carga de 15 kN.........................................96

Figura 6.19: Configurao de fissurao para uma carga de 35.4 kN......................................97

Figura 6.20: Configurao de fissurao para uma carga de 55.2 kN......................................97

Figura 6.21: Geometria, reforo e idealizao em elementos finitos da placa de Mcniece .....98

Figura 6.22: Deslocamento vertical no n 3 para apoio livre.................................................100

Figura 6.23: Deslocamento vertical no n 3 para apoio fixo..................................................100

Figura 6.24: Geometria e condies de carga da coluna ........................................................101

Figura 6.25: Curva fora-deslocamento na seo intermdiaria. ...........................................102

Figura 6.26: Geometria da viga e malha de elementos finitos ...............................................103

Figura 6.27: Curva carga-deslocamento na seo extrema no engastada.............................104

Figura 6.28: Geometria da placa ............................................................................................105

Figura 6.29: Curva carga-deslocamento vertical no ponto A.................................................106

Figura 6.30: Geometria da casca cilndrica ............................................................................107

Figura 6.31: Curva-carga deslocamento vertical no ponto A.................................................107

Figura 6.32: Seo transversal da viga mista e foras aplicadas num extremo......................108

Figura 6.33: Malha de elementos finitos para a viga em estudo ............................................109

Figura 6.34: a) Tenses x na face superior da laje de concreto obtidas com o presente modelo numrico b) Mesmas tenses obtidas com o programa comercial ANSYS ........110

x

Figura 6.35: a) Tenses y na face superior da laje de concreto obtidas com o presente modelo numrico b) Mesmas tenses obtidas com o programa comercial ANSYS

.............................................................................................................................111

Figura 6.36: a) Tenses xy na face superior da laje de concreto obtidas com o presente modelo numrico b) Mesmas tenses obtidas com o programa comercial ANSYS

.............................................................................................................................112

Figura 6.37: Vista Lateral da viga mista U4...........................................................................114

Figura 6.38: Seo Transversal da viga mista U4 ..................................................................114

Figura 6.39: Malha de elementos finitos utilizada (malha 1) .................................................115

Figura 6.40: Malha de elementos finitos utilizada (malha 2) .................................................115

Figura 6.41: Curva carga-deslocamento vertical na seo central obtidas com as malhas 1 e 2

.............................................................................................................................116

Figura 6.42: Curva carga-deslocamento vertical na seo central .........................................117

Figura 6.43: Vista lateral da viga mista E1 ............................................................................118

Figura 6.44: Seo transversal da viga mista E1 ....................................................................118

Figura 6.45: Malha de elementos finitos utilizada no modelo numrico da viga E1 .............120

Figura 6.46: Curva fora-deslocamento vertical para a seo central da viga E1..................120

Figura 6.47: Vista lateral da viga mista CTB4 .......................................................................121

Figura 6.48: Sees transversais da viga mista CTB4 ...........................................................122

Figura 6.49: Malha de elementos finitos utilizada para a viga mista CTB4 ..........................123

Figura 6.50: Curva fora-deslocamento vertical para a seo central da viga CTB4 ............124

Figura C.7.1: Diagrama de fluxo do programa principal .......................................................143

Figura C.7.2: Esquerda) diagrama de fluxo rotina de ensamblaje da matriz de rigidez global

Direita) Diagrama de fluxo da montagem do vetor de foras globais

desbalanceadas .................................................................................................144

Figura C.7.3: Esquerda) Diagrama de fluxo para o clculo da matriz de rigidez do elemento

de casca polidrica Direita) Diagrama de fluxo para o clculo do vetor de foras

globais do mesmo elemento finito....................................................................146

Figura C.7.4: Esquerda) Diagrama de fluxo para o clculo da matriz de rigidez do elemento

de casca degenerada Direita) Diagrama de fluxo para o clculo do vetor de

foras globais do mesmo elemento finito. ........................................................147

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 5.1: Graus de liberdade globais e ns na estrutura .......................................................76

Tabela 5.2: Estrutura de dados de liberdade do elemento ........................................................76

Tabela 6.1: Parmetros para o problema ..................................................................................78

Tabela 6.2: Parmetros para o problema ..................................................................................82

Tabela 6.3: Propriedades do material para os espcimes .........................................................82

Tabela 6.4: Comparao dos momentos de fissurao e momentos de escoamento................83

Tabela 6.5: Parmetros para o problema da viga A-3 ..............................................................87

Tabela 6.6: Parmetros para o problema da viga B-3...............................................................87

Tabela 6.7: Comparao das cargas de colapso .......................................................................89

Tabela 6.8: Parmetros para o problema das placas.................................................................92

Tabela 6.9: Comparao das cargas de colapso .......................................................................92

Tabela 6.10: Parmetros para o problema da placa ..................................................................99

Tabela 6.11: Parmetros para o problema da coluna..............................................................102

Tabela 6.12: Parmetros para o problema da viga engastada.................................................103

Tabela 6.13: Parmetros para o problema da placa apoiada...................................................105

Tabela 6.14: Parmetros para o problema da casca cilndrica................................................106

Tabela 6.15: Comparao dos deslocamentos no n carregado .............................................109

Tabela 6.16: Parmetros para a viga U4.................................................................................113

Tabela 6.17: Parmetros para a viga E1 .................................................................................119

Tabela 6.18: Parmetros para a viga CTB4............................................................................122

xii

SUMRIO

AGRADECIMENTOS........................................................................................ v

RESUMO ............................................................................................................ vi

ABSTRACT .......................................................................................................vii

LISTA DE FIGURAS ......................................................................................viii

LISTA DE TABELAS........................................................................................ xi

CAPTULO 1

INTRODUO ................................................................................................... 1

1.1 OBJETIVOS .................................................................................................................1

1.2 JUSTIFICATIVA .........................................................................................................1

1.3 REVISO BIBLIOGRFICA ....................................................................................2

1.4 BREVE DESCRIO DO CONTEDO DA DISSERTAO..............................6

CAPTULO 2

SIMULAO NUMRICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO

ARMADO E PROTENDIDO............................................................................. 8

2.1 MODELO PARA O CONCRETO EM COMPRESSO .........................................8

2.1.1 Critrio de Escoamento ..............................................................................................8

2.1.2 Lei de Escoamento .....................................................................................................9

2.1.3 Lei de Endurecimento...............................................................................................11

2.1.4 Critrio de Esmagamento .........................................................................................12

2.2 MODELO PARA O CONCRETO EM TRAO ..................................................13

2.2.1 Critrio de Fissurao...............................................................................................13

2.2.2 Modulo de Elasticidade Transversal para o Concreto Fissurado .............................17

xiii

2.2.3 Diagrama de Reteno de Tenses de Trao ..........................................................17

2.3 MODELO CONSTITUTIVO PARA O AO..........................................................19

2.4 CONCRETO PROTENDIDO ...................................................................................20

2.5 FUNDAMENTOS DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS........................20

2.5.1 Sistemas de Coordenadas .........................................................................................21 2.5.1.1 Sistema de Coordenadas Global ......................................................................................................... 21 2.5.1.2 Sistema de Coordenadas Nodal .......................................................................................................... 21 2.5.1.3 Sistema de Coordenadas Curvilneas ................................................................................................. 23 2.5.1.4 Sistema de Coordenadas Local........................................................................................................... 23 2.5.2 Geometria e Campo de Deslocamentos....................................................................24

2.5.3 Definio das Deformaes......................................................................................26

2.5.4 Definio das Tenses ..............................................................................................30

2.5.5 Formulao para o Concreto Protendido ..................................................................30 2.5.5.1 Perdas de Protendido .......................................................................................................................... 32 2.5.5.2 Foras Nodais Equivalentes e Matriz de Rigidez ............................................................................... 33 2.5.6 Elemento de Casca Quadrtico.................................................................................35

2.5.7 Modelo de Camadas .................................................................................................38

2.5.8 Matriz de Rigidez e Vetor de Foras Nodais Equivalentes ......................................38 2.5.8.1 Clculo das Foras de Superfcie ....................................................................................................... 39

2.6 ALGORITMO NUMRICO.....................................................................................40

CAPTULO 3

SIMULAO NUMRICA DE PEAS ESTRUTURAIS DE AO.......... 44

3.1 MODELO PARA A ANLISE ELASTOPLSTICA DO AO...........................44

3.1.1 Critrio de Escoamento ............................................................................................44

3.1.2 Lei de Escoamento e Lei de Endurecimento ............................................................45

3.2 FORMULAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS..........................46

3.2.1 Contribuio da Membrana do Elemento de Casca Plana........................................46

3.2.2 Contribuio da Flexo do Elemento de Casca Plana ..............................................50

3.2.3 Matriz de Rigidez de Acoplamento Membrana-Flexo ...........................................57

3.2.4 Montagem da Matriz de Rigidez do Elemento.........................................................58

xiv

CAPTULO 4

CONECTORES................................................................................................. 60

4.1 DESCRIO ..............................................................................................................60

4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DO ELEMENTO..............................................................61

4.3 EQUAO CONSTITUTIVA..................................................................................67

CAPTULO 5

MONTAGEM .................................................................................................... 71

5.1 DESCRIO ..............................................................................................................71

5.2 ARRANJO PARA OS GRAUS DE LIBERDADE DO N....................................71

5.3 DESIGNAO DE CDIGOS DOS GRAUS DE LIBERDADE DO N ...........72

5.4 TABELA DE DISTRIBUIO DOS GRAUS DE LIBERDADE DO N...........72

5.5 TABELA DE MAPEAMENTO DOS GRAUS DE LIBERDADE DO N NO

SISTEMA DE EQUAES GLOBAL ....................................................................73

5.6 DESIGNAO DOS GRAUS DE LIBERDADE DO ELEMENTO.....................73

5.7 PROCEDIMENTO DE MONTAGEM E SOLUO DO SISTEMA DE

EQUAES LINEARES ..........................................................................................74

5.8 EXEMPLO DE APLICAO ..................................................................................75

CAPTULO 6

APLICACES................................................................................................... 77

6.1 APLICAES EM CONCRETO ARMADO .........................................................77

6.1.1 Placas de Concreto Armado de Peter (1966)............................................................77 6.1.1.1 Aspectos Gerais.................................................................................................................................. 77 6.1.1.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais .................................................................. 77 6.1.1.3 Modelo de elementos finitos .............................................................................................................. 78 6.1.1.4 Resultados .......................................................................................................................................... 79

xv

6.1.2 Placas de Concreto Armado de Crdenas e Sozen (1968)........................................82 6.1.2.1 Aspectos Gerais.................................................................................................................................. 82 6.1.2.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais .................................................................. 82 6.1.2.3 Modelo de elementos finitos .............................................................................................................. 82 6.1.2.4 Resultados .......................................................................................................................................... 83 6.1.3 Viga de Concreto Armado de Bresler e Scordelis (1963) ........................................87 6.1.3.1 Aspectos Gerais.................................................................................................................................. 87 6.1.3.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais .................................................................. 87 6.1.3.3 Modelo de elementos finitos .............................................................................................................. 88 6.1.3.4 Resultados .......................................................................................................................................... 89 6.1.4 Placa de Duddeck et al. (1976).................................................................................91 6.1.4.1 Aspectos Gerais.................................................................................................................................. 91 6.1.4.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais .................................................................. 91 6.1.4.3 Modelo de elementos finitos .............................................................................................................. 91 6.1.4.4 Resultados .......................................................................................................................................... 92 6.1.5 Placa de Jofriet & Mcniece (1971) ...........................................................................98 6.1.5.1 Aspectos Gerais.................................................................................................................................. 98 6.1.5.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais .................................................................. 98 6.1.5.3 Discretizao em elementos finitos .................................................................................................... 99 6.1.5.4 Resultados .......................................................................................................................................... 99 6.1.6 Coluna de Aroni (1968)..........................................................................................101 6.1.6.1 Aspectos Gerais................................................................................................................................ 101 6.1.6.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais ................................................................ 101 6.1.6.3 Discretizao em elementos finitos .................................................................................................. 102 6.1.6.4 Resultados ........................................................................................................................................ 102

6.2 APLICAES EM AO ESTRUTURAL ............................................................103

6.2.1 Viga engastada num extremo e livre no outro........................................................103

6.2.2 Placa quadrada........................................................................................................104

6.2.3 Casca Cilndrica......................................................................................................106

6.3 APLICAES DE VIGAS MISTAS DE AO .....................................................108

6.3.1 Anlise elstica de viga mista.................................................................................108 6.3.1.1 Aspectos Gerais................................................................................................................................ 108 6.3.1.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais ................................................................ 108 6.3.1.3 Modelo de elementos finitos ............................................................................................................ 108 6.3.1.4 Resultados da anlise elstica........................................................................................................... 109 6.3.2 Viga mista U4 testada por Chapman & Balakrishnan (1964) ................................113 6.3.2.1 Aspectos Gerais................................................................................................................................ 113

xvi

6.3.2.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais ................................................................ 113 6.3.2.3 Modelo de elementos finitos ............................................................................................................ 114 6.3.2.4 Resultados da anlise plstica .......................................................................................................... 116 6.3.3 Viga mista E1 testada por Chapman & Balakrishnan (1964).................................117 6.3.3.1 Aspectos Gerais................................................................................................................................ 117 6.3.3.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais ................................................................ 117 6.3.3.3 Modelo de elementos finitos ............................................................................................................ 118 6.3.3.4 Resultados da anlise plstica .......................................................................................................... 119 6.3.4 Viga mista CTB4 testada por Ansourian (1960) ....................................................121 6.3.4.1 Aspectos Gerais................................................................................................................................ 121 6.3.4.2 Caractersticas geomtricas e propriedades dos materiais ................................................................ 121 6.3.4.3 Modelo de elementos finitos ............................................................................................................ 121 6.3.4.4 Resultados da anlise plstica .......................................................................................................... 123

CAPTULO 7

CONCLUSES E RECOMENDAES..................................................... 125

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS.......................................................... 130

APNDICE A

A.1 Expresses para o clculo da matriz de deformao do ao protendido.............138

APNDICE B

B.1 Expresses para o clculo da matriz de deformao do elemento de concreto

(no-linearidade geomtrica) ...................................................................................141

APNDICE C

C.1 Diagramas de fluxos do modelo numrico implementado ....................................143

1

CAPTULO 1

INTRODUO 1 INTRODUO

1.1 OBJETIVOS

O presente trabalho tem como objetivo apresentar um modelo numrico de elementos

finitos que permita representar adequadamente o comportamento de estruturas tipo vigas

mistas no regime elstico, de servio e colapso para cargas de curta durao, considerando a

no linearidade fsica dos materiais envolvidos.

Para conseguir este objetivo necessrio atingir objetivos parciais desde o ponto de vista

da implementao numrica. Assim, necessrio desenvolver individualmente a formulao

de cada uma das partes que formam a viga mista, ademais de escolher com certeza os tipos de

elementos finitos para a modelagem da laje de concreto, viga de ao e conectores de corte.

1.2 JUSTIFICATIVA

Na atualidade as vigas de seo mista apresentam uma soluo estrutural atrativa na

construo. O uso destas estruturas em pontes e edificaes permite, em vrios casos, a

reduo dos custos e a otimizao do comportamento estrutural. A principal justificativa para

o uso deste tipo de estruturas devido ao bom desempenho que apresentam para resistir

cargas de trao e compresso e ao peso adequado obtido.

bem conhecido que o concreto resiste tenses altas em compresso, sendo frgil em

trao, e o ao um material dctil e adequado para resistir cargas em trao e compresso.

Portanto resulta ideal utilizar ambos materiais e aproveitar suas propriedades individuais em

forma conjunta.

2

Existem vrios mtodos de anlise, que so usados para modelar estes tipos de estruturas,

como o mtodo da banda finita, diferenas finitas e o mtodo dos elementos finitos. Embora,

os xitos com as aproximaes usando elementos finitos unidimensionais tipo viga-coluna,

existem situaes onde os estados de tenses biaxiais no plano da laje de concreto so

significativos e uma representao bidimensional da laje deve ser considerada (Ver Macorini

et al., 2006). A existncia de distribuies no uniformes das deformaes na interface da laje

e da viga de ao, fornece o fenmeno bem conhecido na literatura como shear lag, que

complexo de modelar, inclusive no campo elstico. As consideraes acima justificam a

modelagem tridimensional deste tipo de estruturas.

A literatura sobre o tema ampla a nvel internacional, no obstante at a presente data

existem poucos trabalhos desenvolvidos no Brasil, que utilizem uma ferramenta

computacional particular para fazer uma modelagem tridimensional deste tipo de estruturas,

considerando a interao parcial na interface laje-viga (a grande maioria dos autores

empregam programas comerciais). Neste trabalho espera-se contribuir ao estudo do tema

atravs do desenvolvimento de um programa computacional de anlise.

1.3 REVISO BIBLIOGRFICA

A modelagem deste tipo de estrutura complexa devido a vrias de suas caractersticas

presentes, tais como a flexibilidade na interface laje-viga, o comportamento complexo do

concreto (principalmente quando existe fissurao) e o comportamento dos conectores de

corte. Pode-se considerar, dentro da anlise deste tipo de estruturas, uma anlise at o colapso

ou para cargas de servio de curta ou longa durao (embora este ltimo aspecto no seja

tratado no presente trabalho).

Os primeiros elementos finitos usados para modelar este tipo de estrutura estavam

baseados na teoria e hiptese de Euler-Bernoulli para modelos de barra uniaxiais, sendo

utilizada a teoria de placas delgadas de Kirchhoff para as partes que forem modeladas com

elementos de casca. No caso das anlises numricas, onde a laje de concreto modelada com

elementos de casca, sempre desejvel conhecer as tenses de corte fora do plano da laje,

embora estes valores sejam muito pequenos, na maioria destas estruturas. Assim, nestes

ltimos anos, existe uma maior tendncia ao uso de elementos de casca baseados na teoria de

Reissner-Mindlin (placa grossa), que em conjunto com algum procedimento numrico evita o

problema de travamento (ou locking, na terminologia em ingls) devido ao cortante.

3

Tambm so usados elementos finitos de propsito gerais que permitem considerar ambas

teorias simultaneamente (utilizando-se para placas delgadas e espessas).

Um dos primeiros modelos numricos desenvolvidos no tema foi proposto por Yam &

Chapman (1968) para vigas mistas simplesmente apoiadas e Yam & Chapman (1972) para

vigas mistas continuas, nos quais considera-se a interao parcial na interface. Logo, Hirst &

Yeo (1979) utilizaram elementos finitos bidimensionais planos para a modelagem da viga de

ao e a laje de concreto. Neste modelo o deslizamento relativo existente na interface laje-viga

(conhecido na literatura inglesa como slip) considerado tambm atravs de elementos

planos com propriedades equivalentes aos conectores. Por outro lado, Razaqpur & Nofal

(1988) desenvolveram um elemento de barra tridimensional para modelar o comportamento

no-linear dos conectores de corte na interface. No modelo computacional a viga de ao e a

laje de concreto foram modeladas com elementos finitos de cascas polidricas de placa

delgada considerando a no linearidade fsica dos materiais envolvidos. A anlise foi

realizada at o colapso da estrutura.

Posteriormente, foram desenvolvidos modelos numricos mais elaborados, os quais

podem-se classificar de acordo ao tipo de elemento finito adotado para a laje, para a viga e

para os conectores de corte. Dentro dos modelos mais simples, nos quais a viga e a laje so

modeladas por elementos viga-coluna conectados em forma flexvel mediante molas, esto os

denominados modelos unidimensionais. Tm-se as formulaes propostas por Salari et al.

(1998), Gattesco (1999), Faella et al. (2002), DallAsta & Zona (2002), Ranzi et al. (2004),

DallAsta & Zona (2004a, 2004b), Ranzi el al. (2006), Ranzi & Zona (2007), Ranzi &

Bradford (2007), Batista et al. (2007), Sandeep et al. (2007), Sakr & Sakla (2008), Ranzi &

Bradford (2009), Queiroz et al. (2009), Quang et al. (2009) e Amilton et al. (2009). Os

modelos de Gara et al. (2009), Ranzi & Bradford (2005), Gara et al. (2009) e Jiang et al.

(2009), so adequados para anlises em longa durao considerando o fenmeno denominado

na terminologia em ingls como shear lag na laje e a interao parcial na interface.

Existem tambm modelos nos quais a laje de concreto modelada com um elemento

finito de casca polidrica e a viga de ao mediante um elemento viga-coluna tridimensional

unido por conexes rgidas ou flexveis. Dentro destes modelos podem-se citar os trabalhos de

Sapountzakis & Katsikadelis (2003) e de Macorini et al. (2006). Neste ltimo trabalho, os

autores apresentam um modelo tridimensional com anlises para cargas de servio e colapso.

O objetivo principal deles avaliar a formulao proposta por alguns cdigos de projeto para

4

o clculo da largura efetiva neste tipo de seces. Outros estudos so dirigidos ao clculo da

largura efetiva em condies de servio e no campo inelstico de curta durao, como os

trabalhos de Amadio & Fragiacomo (2002), Castro et al. (2007) e o trabalho de Amadio et al.

(2004).

Dentro dos modelos mais complexos, que so totalmente tridimensionais, tem-se os

trabalhos de Brockenbrough (1986) e Bishara et al. (1993) que apresentam tcnicas de

modelagem de pontes de seo mista para o calculo de fatores de distribuo de cargas. Fu &

Lu (2003) apresentam um modelo para anlise de curta durao em carga de servio. A laje de

concreto modelada com elementos de casca, as mesas da viga de ao so modeladas com

elementos de placa e a alma com elementos de tenso plana.

Em Chung & Sotelino (2006) so apresentados tcnicas de modelagem de pontes de

seo mista utilizando uma serie de combinaes para os diferentes elementos da estrutura

usando o programa comercial ABAQUS. A laje testada considerando elementos de cascas

polidricas baseados na teoria de placa grossa ou elementos slidos tridimensionais e a viga

de ao modelada totalmente com elementos de casca polidrica de placa delgada ou

considerando, alternativamente, elementos unidimensionais tipo viga-coluna, sendo que a

conexo realizada com enlaces rgidos (conhecido na literatura inglesa como Multipoint

Constrains). A analise efetuada at o colapso da estrutura.

Outros investigadores apresentam modelos tridimensionais complexos para a anlise at

o colapso da estrutura, usando tambm programas comerciais, como por exemplo, ANSYS ou

ABAQUS, como realizado nos trabalhos de Pitanga (2004), Lam & El-lobody (2005), Liang

et al. (2005), Kirchhof & Neto (2005), Barth & Wu (2006), Queiroz et al. (2007), David

(2007) e Zheng et al. (2009). Thevendran et al. (1999) desenvolveram um modelo numrico

em ABAQUS para analisar estruturas mistas curvas em planta at cargas de colapso. A laje e

a viga foram modeladas com elementos de casca de placa grossa e delgada, respectivamente.

Sendo, estes elementos conectados com elementos de barra rgida. Baskar et al. (2002)

pesquisou a resistncia ultima de vigas mistas em momento negativo usando o programa

ABAQUS.

Em Sebastian & Mc-Conel (2002), Sebastian (2003) e Sebastian (2005) descreve-se um

programa de elementos finitos particular para modelar vigas mistas, onde so utilizadas molas

axiais com relaes empricas de deslocamento relativo e fora para modelar em forma

5

discreta os conectores de corte. Um modelo cinemtico foi proposto por Fabbrocino et al.

(2000) para analisar vigas mistas continuas com interao parcial. Huang et al. (1999)

tambm descreve um programa de elementos finitos para analisar vigas mistas submetidas ao

fogo com interao parcial. Nesse trabalho, a laje de concreto modelada com elementos de

placa grossa, sendo os demais elementos modelados com elementos de barra. A anlise foi

feita at o colapso da estrutura. Em Oliveira (2007) so desenvolvidos os programas

particulares denominados Grecon e PAEST3D para a modelagem de pisos mistos

semicontinuos de ao-concreto.

Existem tambm modelos analticos que fornecem solues fechadas que sirvem de

comparao para os modelos numricos. Em Bradford & Gilbert (1992) estuda-se um modelo

terico para a resposta no tempo para vigas mistas simplesmente apoiadas considerando a

interao na interfase. Sobrinho (2002) fornece expresses para o calculo de deflexes em

vigas mistas biapoiadas em condies de servio para anlise de curta ou longa durao. Em

Catai (2005) so apresentadas expresses analticas para o calculo das tenses na seo

transversal de vigas mistas para carregamentos de curta ou longa durao. Ranzi & Bradford

(2007) fornecen solues fechadas para o comportamento de vigas mistas com interao

parcial em temperaturas elevadas. Considerem-se tambm os trabalhos de Girhammar &

Gopu (1993) e Xu & Wu (2007).

Alm dos elementos usados para a viga e a laje, existe na literatura propostas de

elementos de interface para a conexo horizontal deformvel, como a apresentada nos

trabalhos de Razaqpur & Nofal (1988), Huang et al. (1999), Tristo (2002), Izzudin (2003),

Silva (2006), Valente (2007) e Silva et al. (2009).

Recentemente Zona & Ranzi (2011) apresentam modelos uniaxiais com interao parcial.

O trabalho deles mostra a importncia da incluso da deformao ao corte na viga de ao e a

laje de concreto, especialmente, quando a falha na viga mista uma falha ao corte da laje ou

da viga de ao. A no considerao da deformao ao corte leva a resultados muito diferentes

aos obtidos quando estas deformaes so includas na formulao, como no caso dos

elementos de barra baseados nas hipteses de Timoshenko. Xu & Wu (2007) apresentam

tambm expresses analticas, que confirmam o fato importante de considerar as deformaes

por corte na laje de concreto e a viga de ao, quando a razo comprimento/altura da viga

mista pequena.

6

1.4 BREVE DESCRIO DO CONTEDO DA DISSERTAO

O presente trabalho organizado da seguinte maneira: no captulo dois apresentada a

teoria de plasticidade associada, destinada a estabelecer os critrios de escoamento, ruptura e

fissurao do modelo de concreto armado e protendido de acordo ao critrio modificado de

Ducker-Prager proposto por Figueiras (1983). Posteriormente desenvolvida a formulao do

elemento finito quadriltero de casca degenerada de oito ns proposto por Ahmad et al.

(1970). Graas a sua formulao Lagrangiana atualizada possvel realizar anlises

incorporando os efeitos de no-linearidade geomtrica e fsica com maior facilidade.

Tambm, so apresentados procedimentos numricos para a soluo dos problemas com estas

no linearidades por um mtodo incremental iterativo baseado num critrio de convergncia

de foras.

Seguindo o mesmo estilo do captulo anterior, no captulo trs apresentada tambm a

teoria de plasticidade associada ao critrio de Von Mises para o ao estrutural. A formulao

do elemento finito de casca polidrica baseada na teoria de placas delgadas de Kirchhoff

desenvolvida, sendo apenas considerado a no-linearidade fsica do material para o presente

elemento finito.

No captulo quatro desenvolvida a formulao do elemento finito de barra

tridimensional para a modelagem do conector de corte. A partir das matrizes de rigidez

propostas na literatura existente, considerada uma matriz de rigidez para este elemento, a

qual utilizada no presente trabalho e implementada no cdigo computacional desenvolvido.

Tambm so apresentadas curvas experimentais para o modelo constitutivo do conector de

corte, sendo feita uma descripo do algoritmo numrico utilizado para a atualizao das

foras nodais no conector e de sua matriz de rigidez.

O captulo cinco apresenta o processo de montagem da matriz de rigidez da estrutura

utilizado no cdigo computacional para tratar com elementos finitos de diferente nmero de

ns e diferentes nmeros de graus de liberdade por n, como os descritos nos captulos

anteriores e desenvolvidos nesse trabalho. So feitas as definies necessrias com respeito ao

arranjo dos graus de liberdade em cada elemento. A soluo tipo banda utilizada para

armazenar a matriz de rigidez global da estrutura.

No captulo seis so reunidos os exemplos de aplicao que demonstram a efetividade

das ferramentas implementadas. Primeiramente so apresentadas aplicaes que comprovam

7

o funcionamento individual do elemento finito de casca degenerada para a laje de concreto.

Elas compreendem anlises estticas no lineares de vigas e placas com camadas ao longo da

espessura. Posteriormente so apresentadas trs aplicaes para testar o funcionamento do

elemento finito de casca polidrica para a viga de ao. Estas aplicaes testam

individualmente os possveis estados de tenso que pode estar submetida uma estrutura, sendo

eles o comportamento s de membrana, o de flexo fora do plano e a ao conjunta destas.

Finalmente so apresentados quatro exemplos de aplicao de vigas mistas. O primeiro deles

um teste no campo elstico para verificar o clculo dos deslocamentos e as tenses na

estrutura. Os trs ltimos exemplos so usados constantemente na literatura para verificar o

comportamento e eficcia do modelo numrico no campo inelstico. Nestes exemplos o

cdigo computacional testado para verificar o comportamento complexo em regies de

momento positivo e negativo, assim como s altas no linearidades fsicas que acontecem nos

materiais envolvidos devido fissurao e escoamento do concreto, o escoamento da viga de

ao e dos conectores de corte.

8

CAPTULO 2

SIMULAO NUMRICA DE ESTRUTURAS DE

CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO 2 SIMULAO NUMERICA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO

2.1 MODELO PARA O CONCRETO EM COMPRESSO

Para modelar o concreto em compresso utiliza-se a teoria de plasticidade associada que

permite uma idealizao eficaz do comportamento no-linear do concreto. No

estabelecimento das relaes constitutivas de tipos incrementais, associados ao modelo elasto-

plstico com endurecimento no linear preciso conhecer as seguintes leis: (i) a lei que

estabelece a condio de escoamento; (ii) a lei de escoamento plstico e (iii) a lei de

endurecimento.

2.1.1 Critrio de Escoamento

O critrio de escoamento elasto-plstico associado definio de duas superfcies de

escoamento que dividem os diversos comportamentos do modelo de concreto considerado,

sendo elas as seguintes: (i) a superfcie de escoamento inicial, que determina o incio da

deformao plstica; e (ii) a superfcie de escoamento limite que separa o estado com

endurecimento no linear e o estado com comportamento elasto-plstico perfeito.

No presente trabalho considerado que ambas superfcies de escoamento so definidas

em base aos invariantes de tenses, 1I e 2J (onde 1I o primeiro invariante do tensor de

tenses e 2J o segundo invariante do tensor das tenses desviadoras), sendo expressas pela

funo de escoamento )( 2,1 JIf que corresponde a uma variao do critrio de Drucker-Prager

(Ver Figueiras, 1983 e Ver Cervera et al., 1987) sendo definida pela equao (2.1), que

associada ao critrio de tenso mxima para o concreto em trao, define o espao de tenses

permitidas para o concreto.

9

( ) oIJJIf =+= 21122,1 3)( o 355.0= ; 355.1= (2.1)

Na equao anterior, o a tenso efetiva equivalente considerada como a tenso de compresso de um ensaio uniaxial, e so parmetros do material obtidos por ajuste da equao (2.1) a partir dos resultados experimentais de Kupfer et al. (1969). Assim, para caso

particular em que 0= e 0.1= recupera-se a condio bem conhecida para metais de Von Mises. A equao (2.1) pode-se expressar em termos das componentes das tenses no plano

estrutural da seguinte maneira:

( ) ( )[ ] ( ){ } oyxoyzxzxyyxyxf =++++++= 2122222 355.03355.1)( (2.2)

Quando a superfcie de escoamento inicial atingida e a carga incrementada, o

processo elasto-plstico inicia-se com a subseqente expanso das superfcies de acordo com

a lei de endurecimento adotada. Depois que atingida a superfcie limite de escoamento,

comea o comportamento elasto-plstico perfeito at que a condio de fratura do concreto

em compresso seja verificada. Para detectar esta condio de fratura considerada

adicionalmente uma condio de esmagamento baseada em um critrio de deformaes.

Na Figura 2.1 apresenta-se a representao em duas dimenses do critrio de escoamento

no espao das tenses principais ( 1 , 2 ). Como explicado anteriormente com o carregamento progressivo do material, vo sendo criadas sucessivas superfcies de carga no

espao das tenses que definem a nova condio de escoamento do material. Na Figura 2.1,

cf a tenso media da resistncia compresso uniaxial do concreto.

2.1.2 Lei de Escoamento

A lei de escoamento plstica relaciona os incrementos de deformaes plsticas com o

vetor das componentes das tenses a que o material est sujeito. A teoria de plasticidade

associada considera que estes incrementos esto na mesma direco que a derivada da funo

de escoamento definida pela equao (2.2). O incremento da deformao plstica definido

pela equao (2.3).

ij

pij

fdd

= )( (2.3)

10

Na equao anterior, d a constante de proporcionalidade que determina a magnitude do incremento da deformao plstica e o gradiente ijf )( define sua direco perpendicular superfcie de escoamento atual. A funo de tenses )(f a condio de escoamento ou a funo de carga atual subseqente no modelo com endurecimento de

deformao. As derivadas da funo de escoamento, as quais definem o vetor de fluxo

plstico { }a para a presente superfcie de escoamento, so expressas nas equaes (2.4) e (2.5). Nestas equaes 1775.0=c , sendo e constantes dos materiais, definidas previamente na equao (2.1).

/fc

0.2

0.6

1.0

-0.2

-0.2

0.2 0.6 1.0

12=1

/fc2

supeficie de escoamento

inicial

supeficie de carga

compresso

trao

supeficie de escoamento limite

Figura 2.1: Superfcie de escoamento definida no espao das tenses principais

{ }

=

yzxzxyyx

T fffffa (2.4)

( ) ( )[ ] yxx cccfa +++== 221 22 (2.5a)( ) ( )[ ] xyy cccfa +++== 222 22 (2.5b)

11

xyxyfa 63 =

= (2.5c)

xzxzfa 64 =

= (2.5d)

yzyzfa 65 =

= (2.5e)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2122222222 322 yzxzxyyxyx ccc +++++++= (2.5f)

O valor do multiplicador plstico d obtido em detalhe nos trabalhos de Hinton & Owen (1980) e Povoas & Martins (1986), sendo igual:

{ } [ ]{ } [ ]{ }{ } daDaH

Dad TT

+= (2.5g)

onde [ ]D a matriz de elasticidade do material, H a declividade local da curva deformao plstica e tenso uniaxial definida na equao (2.7) e { }d o vetor de deformaes totais. Por outro lado, a relao constitutiva elasto-plstica pode ser expressa em forma diferencial

como:

{ } [ ] { } dDd ep= (2.5h)

sendo, { }d o vetor incremental de tenses e [ ]epD a matriz elasto-plstica, definida como:

[ ] [ ] [ ]{ }{ } [ ]{ } [ ]{ }aDaHDaaDDD T

T

ep += (2.5i)

2.1.3 Lei de Endurecimento

A lei de endurecimento define o movimento da superfcie de escoamento conforme a

deformao plstica aumenta. Considerando o concreto como um material com

endurecimento isotrpico, a evoluo da superfcie de escoamento expressa mediante a

relao:

( ) ( ) 0)(, == kfkF Y (2.6)

12

onde ( )f a funo de escoamento definida anteriormente e )(kY representa a tenso de escoamento relacionada ao parmetro de endurecimento k . Para a presente formulao, o

parmetro k corresponde deformao plstica efetiva p . A deformao plstica efetiva p calculada utilizando a hiptese de endurecimento do trabalho (Ver Hinton & Owen ,1980),

sendo p igual ao multiplicar plstico d definido pela equao (2.5g).

A definio da tenso e da deformao plstica efetiva permite extrapolar a partir de um

espao multiaxial a um caso uniaxial. Utiliza-se a funo de escoamento para o clculo da

tenso efetiva, enquanto a deformao plstica efetiva como estabelecido acima calculada a

partir do conceito de trabalho plstico. Assim, estabelecido o clculo dos parmetros efetivos,

precisa-se estabelecer uma relao uniaxial, que defina o incremento da tenso efetiva. Nesta

etapa utiliza-se a equao parablica empregada por Figueiras & Povoas (1994), e que vem

dada pela equao:

+++

++==

2/122

2)(

pooopoocpY EH (2.7)

onde cE o mdulo de elasticidade longitudinal inicial, o representa a deformao total correspondente a cf que a tenso de fratura do concreto em compresso e p a deformao plstica efetiva, sendo que um fator igual a 0.96. Na Figura 2.2 mostrada a representao unidimensional do modelo elasto-plstico perfeito e do modelo com

endurecimento no linear. O comportamento em trao com critrio de tenso mxima (onde

tf a resistncia trao mxima do concreto), que ser explicado depois, tambm

apresentado.

2.1.4 Critrio de Esmagamento

O critrio de esmagamento do concreto em compresso para um estado multiaxial de

tenses considerado simplesmente convertendo o critrio de escoamento descrito em termos

das tenses diretamente em deformaes de acordo com Figueiras & Povoas (1994). Onde

1I e 2J so os invariantes das deformaes e u a deformao total ltima extrapolada dos resultados dos ensaios uniaxiais.

2123 uIJ =+ (2.8)

13

ft

0.3fc

fc

U

esmagamento

carga-descarga

curva de amolecimento

criterio de tensomxima

modeloelasto-plstico

perfeito

modelo com endurecimento

no linear

Figura 2.2: Representao unidimensional do diagrama tenso-extenso dos diferentes modelos usados para o concreto

A condio de escoamento expressa em termos das componentes de deformao como:

( ) ( )[ ] ( ) 222222 355.075.0355.1 uyxuyzxzxyyxyx =++++++

(2.9)

Quando u alcana um valor especificado como a deformao ltima, o material perde todas suas caractersticas de rigidez e resistncia.

2.2 MODELO PARA O CONCRETO EM TRAO

2.2.1 Critrio de Fissurao

No presente trabalho, o concreto em trao idealizado com base no conceito de

fissurao distribuda. Basicamente, este tipo de aproximao considera a fissurao

distribuda na zona de influncia associada ao ponto representativo do material. Neste modelo

necessita-se apenas que se atualize a relao tenso-deformao aps a ocorrncia da

fissurao, sem necessidade de modificar a malha de elementos finitos original.

14

O critrio de fissurao formulado considerando o critrio de tenso mxima que

define a superfcie de fratura por trao do concreto. Desta maneira, excedida a tenso de

fratura do concreto pela tenso principal mxima instalada no ponto em considerao, admite-

se a formao de uma fissura na direco perpendicular referida tenso principal,

transformando-se posteriormente o concreto num material orttropo com os eixos de

ortotropia coincidentes com as direes das tenses principais.

No presente modelo permitida a formao de duas fissuras mutuamente ortogonais para

cada ponto do material, mantendo-se a respectiva direco fixa ao longo do processo de carga,

independente das modificaes ocorridas nas direes das tenses principais. Admitem-se as

diferentes configuraes de fissurao ilustradas na Figura 2.3 (Ver Povoas, 1991 e Ver

Povoas & Martins, 1986) e que so estabelecidas com base no valor da extenso instalada

segundo a direco do plano que contem a fissura (o fechamento da fissura associado a

valores negativos da extenso).

(a) no fissurado

(b) fissurao simples; fissura inicial aberta

(c) fissura inicial fechada

(d) fissurao dupla; fissuras abertas

(e) fissura inicial fechada; fissura nova aberta

(g) fissuras fechadas

(f) fissura inicial aberta; fissura nova fechada

Figura 2.3: Configuraes admitidas para o concreto fissurado

As relaes constitutivas formuladas para o concreto fissurado so estabelecidas no

referencial local ),,( ztn definido a partir do ngulo cr , que define a orientao das fissuras

15

(Ver Figura 2.4). Estas relaes so expressas em termos de tenses e deformacoes totais e

podem ser representadas genericamente por:

[ ] [ ] [ ]crcrcr D =

(2.10)

ou, explicitando, por:

=

zt

zn

nt

t

n

tz

nz

nt

tttn

ntnn

zt

zn

nt

t

n

GG

GEEEE

000000000000000000

(2.11)

onde os mdulos de elasticidade indicados, E e G , tomam valores variveis de acordo com a

configurao de fissurao instalada. Tomando como referncia as configuraes indicadas na

Figura 2.3, tem-se:

Concreto no fissurado (configuraes (a), (c) e (g)):

21 vE

EE cttnn == , 21 vvE

EE ctnnt == , )1(2 vE

GG cnt +== e GG zn )65(= (2.12a)

Concreto com a fissura inicial aberta (configuraes (b) e (f)):

0=== tnntnn EEE , ctt EE = , GG zt )65(= , GGG nznnt == com n definido nas equaes (2.16) e (2.17)

(2.12b)

Concreto com a segunda fissura aberta (configuraes (e)):

0=== tnnttt EEE , cnn EE = , GG zn )65(= , GGG tztnt == com n definido nas equaes (2.16) e (2.17)

(2.12c)

Concreto com as duas fissuras abertas (configuraes (d)):

0==== tttnnttt EEEE , GG ntnt 21= com ),( tnnt MIN = , GG nzn = e

GG tzt =

(2.12d)

16

x

xyy

x

y

x'

xy

xyxy

y'

y'x'

xx'

12

21

cr

X

Y

n

t

1

2

2

1

cr

X

Y

n

t

x' > ft > y' ; cr = xx' x' < ft < y' ; cr = xx'-/2

Figura 2.4: Definio do referencial da fissura

As relaes indicadas definem a matriz constitutiva, [ ]crD , a ser considerada na determinao da contribuio do concreto fissurado para a formao da matriz de rigidez da

estrutura. Aps torna-se necessria a transformao dos eixos de referencia da fissura ),,( ztn para o referencial local ),,( zyx atravs da relao usual:

[ ] [ ] [ ][ ]TDTD crT= (2.13)

onde a matriz de transformao [ ]T vem definida por:

[ ]

=

zt

zn

nt

t

n

cssc

scscscsccsscsc

T

000000

00220000

22

22

22

(2.14)

com,

17

crsens = e crc cos= (2.15)

2.2.2 Modulo de Elasticidade Transversal para o Concreto Fissurado

A engrenamento que se estabelece entre as faces das fissuras, bem como na presena de

armaduras, a rigidez ao corte e flexo das armaduras que as atravessam, so fenmenos que

contribuem de forma significativa para a capacidade evidenciada pelo concreto fissurado na

conduo de foras de corte. Testes experimentais indicam que a largura da fissura um fator

determinante, na quantificao da rigidez ao corte a atribuir ao concreto fissurado. A soluo

adotada no modelo de fissurao considera uma reduo gradual daquele mdulo definida

atravs do coeficiente de reteno da rigidez ao corte, n , includo nas relaes (2.12). Expressando este coeficiente em termos da extenso aparente de trao normal ao plano da

fissura n e adotando a aproximao linear usada por Figueiras (1983), tem-se:

=

sr

nn

125.0 para srn < (2.16)

com,

0=n para srn (2.17)

O valor de sr para objetivos prticos toma os valores entre (0.003-0.005). Finalmente , na hiptese de se verificar o fechamento total da fissura, admite-se a ocorrncia de um

contacto perfeito entre as respectivas superfcies de fratura, repondo-se, em conseqncia, o

mdulo de elasticidade transversal, G , inicialmente estabelecido para o concreto no

fissurado.

2.2.3 Diagrama de Reteno de Tenses de Trao

A aderncia que se estabelece entre o concreto e a armadura responsvel pela

capacidade de reteno das tenses normais de trao atribuda ao concreto fissurado (Ver

Gilbert & Warner, 1978). Este efeito modelado indiretamente atravs da relao

estabelecida entre as componentes normais dos estados de tenso e de deformao

coincidentes com a direco do plano da fissura, que ilustrada pelo diagrama representado

na Figura 2.5a. A adoo do diagrama mostrado restringe-se naturalmente a regies da

estrutura onde a interao entre o concreto e a armadura permite mobilizar o mecanismo de

aderncia que fundamenta a adoo do diagrama (Ver Povoas 1991).

18

Em estruturas de concreto simples ou onde o concreto encontra-se fora da zona da

influncia da armadura, o diagrama ilustrado substitudo por um diagrama tenso-extenso

definido com base num critrio energtico de propagao de fissuras que assegure a

objetividade da soluo relativamente malha de elementos finitos utilizada (Ver Figura

2.5b). Basicamente, a aproximao referida considera como parmetros caractersticos do

material a energia de fratura, fG , e a forma do ramo descendente includo no diagrama de

tenso-extenso normal de trao.

Na Figura 2.5 tf a resistncia mxima trao do concreto, cE o mdulo de

elasticidade do concreto, ct a deformao correspondente mxima trao tf . Na Figura 2.5a, tm a mxima deformao em funo do grau do mecanismo de aderncia considerado entre o concreto e a armadura, tomando para um valor entre 0.5-0.7. Na Figura 2.5b, o valor de tm calculado em funo da energia de fratura fG e a espessura da pea de concreto h (Ver Povoas, 1991).

ct tm

ft

ct

ft

tmft

Gf / h

a) b)

Ec Ec

dd

dd i

ii i

i = d d i

i i

i = tm i-( ) tmft i < i < d

i = 0 i > tm

19

2.3 MODELO CONSTITUTIVO PARA O AO

Nas estruturas de concreto estrutural, as barras de ao resistem fundamentalmente s

foras axiais. Deste modo, faz-se necessrio s considerar modelos uniaxiais para descrever o

comportamento do material. No modelo computacional desenvolvido, implementou-se um

diagrama tenso-extenso bi-linear ou tri-linear para o ao convencional ou protendido (Ver

Figura 2.6) conforme vrios cdigos de projeto. Na Figura 2.6, sE o modulo elstico do

ao, sE a inclinao no segundo tramo da curva e sE a inclinao no terceiro tramo. A descarga pode acontecer, seguindo a inclinao inicial sE da curva (Ver Hinton & Owen,

1984).

s1

fs2

fs1

s2Es

Es'

Es''=0

s1

fs1

Es

Es'

a) b)

Figura 2.6: Diagrama tenso-extenso para o ao a) trilinear b) bilinear

O calculo do incremento da tenso axial do ao conseguida a partir das tenses atuantes

no sistema local do ponto de integrao correspondente. Isto , mediante uma transformao

das tenses atuantes neste sistema coordenado para o sistema material (armaduras

distribuidas). No caso dos cabos de protenso, a formulao prpia deste elemento permite

obter direitamente o valor da tenso axial no cabo. Obtidos estes incrementos de tenses,

utilizado um algoritmo preditor-corretor elasto-plstico que permite corrigir as tenses para

satisfacer as equaes constitutivas mostradas na Figura 2.6. importante estabelecer que a

forma do diagrama de ao adoptado influi na resposta da estrutura, sendo esta resposta

geralmente representada por curvas deslocamento-fora, como as apresentadas no exemplos

de concreto armado no captulo seis

20

2.4 CONCRETO PROTENDIDO

A fissurao no concreto em trao pode acontecer na laje das vigas mistas especialmente

nas zonas de apoio ou momento negativo. Com a finalidade de eliminar tal fissurao utiliza-

se o concreto protendido nestas zonas. Assim, o modelo numrico desenvolvido requer

modelar a ao da protenso.

Dependendo do modo da transferncia da tenso ao cabo, necessrio fazer a distino

entre elementos pr-tensionados e ps-tensionados e a considerao das perdas respectivas. O

presente modelo numrico incorpora estas duas tcnicas considerando aderncia perfeita entre

o cabo de protenso e o concreto da laje.

A modelagem dos cabos feita de modo discreto, distinto da armadura convencional. Os

elementos de trelia utilizados para representar os cabos de protenso encontram-se

incorporados no elemento finito de concreto. O tratamento numrico similar ao das

armaduras convencionais, sendo que a diferena est principalmente no clculo de aes

nodais equivalentes devido s tenses instaladas nos cabos de protenso. Assim, consideram-

se estas ltimas aes conjuntamente com as cargas de peso prprio da estrutura no incio do

processo incremental iterativo elasto-plstico.

2.5 FUNDAMENTOS DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

A Figura 2.7 mostra um elemento de slido tridimensional baseado num campo de

deslocamentos quadrtico. A Figura 2.7 e a Figura 2.8a ilustram o elemento de casca

degenerado. Na Figura 2.8b observam-se os sistemas de coordenadas local, material e

curvilneas. Duas suposies bsicas so consideradas no processo de desenvolvimento. Em

primeiro lugar, supe-se que em camadas grossas, normais superfcie, permanecem

praticamente retas depois da deformao. Em segundo lugar, a energia de deformao

correspondente componente da tenso perpendicular superfcie mdia do elemento finito

no considerada.

Cinco graus de liberdade so especificados em cada ponto nodal que corresponde aos trs

deslocamentos e s duas rotaes da normal em cada n. A definio da independncia

rotacional e dos deslocamentos dos graus de liberdade permite a considerao das

21

componentes transversais da tenso de corte. Esta aproximao equivale a usar a teoria geral

de cascas e se reduz hiptese de Reissner & Mindlin aplicados a placas.

superficie mdianormal

a) b)

Figura 2.7: a) Elemento tridimensional slido quadrtico b) Elemento de casca degenerada

2.5.1 Sistemas de Coordenadas

Na formulao dos elementos finitos de casca degenerados, diferentes sistemas de

coordenadas devem ser definidos.

2.5.1.1 Sistema de Coordenadas Global

Este sistema selecionado em forma arbitrria em relao geometria da estrutura

definida no espao. As coordenadas e deslocamentos dos ns, a matriz de rigidez global e

vetor de foras aplicadas so referidos a este sistema. A seguinte notao utilizada:

ix )3,1( =i ; zxyxxx === 321 ,, iu )3,1( =i ; wuvuuu === 321 ,,

{ }ix )3,1( =i um vetor unitrio na direo ix (2.18)

2.5.1.2 Sistema de Coordenadas Nodal

O sistema de coordenadas nodal definido em cada n do elemento finito com origem na

superfcie de referncia, que na presente formulao corresponde superfcie mdia (Ver

22

Figura 2.8a). O vetor { } kV 3 obtido desde as coordenadas nodais da superfcie superior e inferior do n k .

V2K

V1K

V3K

2K

1Kcamada j

X Y

Z

sistema coordenado

sistema coordenadonodal k

x'

y'1

direo dasfibras de reforo SUPERFICIE = CONSTANTE

camada j

x'

z'

a)

b)

Figura 2.8: Sistemas de coordenadas a) global e nodal b) sistema de coordenadas local, material e curvilneo

{ } { } { }{ } { }infsupinfsup

3kk

kkk

xx

xxV

= , { } [ ]Tkkkk zyxx = (2.19)

onde o vetor { } kV 1 perpendicular ao vetor unitrio { } kV 3 e paralelo ao plano global xz

{ } [ ][ ]TxkzkTx

kzk

kVV

VVV

33

331

0

0

= (2.20)

Se o vetor { } kV 3 esta na direco y ( 0.033 == zkxk VV ) tem-se

23

{ } [ ][ ]TykTy

kk

V

VV

00

00

3

31

= (na direco x ) (2.21)

onde os sobrescritos so referidos s componentes dos vetores no sistema de coordenadas

global. O vetor { } kV 2 perpendicular ao plano definido pelos vetores { } kV 1 e { } kV 3 , ou seja que

{ } { } { } kkk VxVV 132 =

(2.22)

2.5.1.3 Sistema de Coordenadas Curvilneas

Neste sistema , representam as coordenadas curvilneas no plano mdio do elemento degenerado e a coordenada linear na direco da espessura. Presume-se que , e variam entre -1 e +1 nas respectivas faces do elemento. Deve-se notar que a direco aproximadamente perpendicular superfcie mdia do elemento (Ver Figura 2.8b).

2.5.1.4 Sistema de Coordenadas Local

Este sistema cartesiano se define nos pontos de integrao onde as tenses e as

deformaes so calculadas (Ver Figura 2.8b). A direco 3x (ou z ) perpendicular superfcie constante , sendo obtida pelo produto vetorial das direes e .

{ }

==

z

y

x

x

z

y

x

xz 3 (2.23)

A direco 1x (ou x ) pode ser considerada como tangente direco no ponto de integrao.

{ } Tzyxxx

== 1 (2.24)

24

Defina-se a direco 2x (ou y ) como o produto vetorial das direes 3x e 1x .

{ } { } { }132 xxxxy == (2.25)

Este sistema de coordenadas local varia ao longo da espessura do elemento, dependendo

da curvatura da casca e da espessura varivel. A matriz de cossenos de direco [ ] relaciona a transformao entre o sistema de coordenadas local e global e se define como:

[ ] { } { } { }[ ]zyx = (2.26)

onde { }x ,{ }y e { }z correspondem aos vetores unitrios nas direes dos eixos x , y e z respectivamente.

2.5.2 Geometria e Campo de Deslocamentos

As coordenadas globais do par de pontos sobre a superfcie superior e inferior em cada n

so usualmente dados da geometria do elemento. Na formulao isoparamtrica as

coordenadas do ponto dentro do elemento se conseguem mediante a aplicao das funes de

interpolao das coordenadas nodais, mediante a equao (2.27), na qual kN representa as

funes de forma do elemento.

==

+

+=n

kikk

n

kikki xNxNx

1

sup

1

sup

21),(

21),( (2.27)

Tomando em considerao as suposies feitas no processo degenerativo do elemento de

casca, o campo de deslocamentos se define por cinco graus de liberdade da normal. Os trs

deslocamentos do ponto meio midiku e as duas rotaes k1 e k2 (Ver Figura 2.9). Assim, os deslocamentos de um ponto sobre a normal, resultante das duas rotaes mencionadas so

calculados mediante a seguinte equao:

kk h 21 = , kk h 12 = (2.28)

25

X Y

z

V3K

V2K

V1K

2K

1K

1K2K

hPosio deformada

da normal

Normal indeformadano n k

Figura 2.9: Deslocamento num ponto da normal no n k

em que k1 o deslocamento na direco do vetor { } kV 1 e k2 o deslocamento na direco { } kV 2 , sendo h a espessura do elemento no n k . As componentes dos deslocamentos iu so obtidos como:

( ) ( )ikki Vu k 112 = , ( ) ( )ikki Vu k 221 = (2.29)

Na expresso (2.29) a relao linear estabelece que as rotaes incrementais so

pequenas. O campo de deslocamentos do elemento pode-se expressar como:

{ } { }[ ]==

+=n

k k

kkk

kk

n

k

midikki VV

hNuNu

1 2

112

1 2 (2.30)

ou:

==

+

=

nk k

k

zk

yk

xk

zk

yk

xk

kk

n

kmid

k

VVV

VVV

hN

wvu

Nwvu

1 2

1

1

1

1

2

2

2

1 2 (2.31)

A contribuio aos deslocamentos locais do n k vem dada por:

=

k

k

k

k

k

zk

kk

yk

kkk

yk

kk

yk

kkk

xk

kk

xk

kkk

wvu

VhNVhNN

VhNVhNN

VhNVhNN

wvu

2

112

12

12

2200

2200

2200

(2.32)

26

2.5.3 Definio das Deformaes

Para conseguir a hiptese de tenso zero na direco z )0( =z , as componentes de deformao devem ser definidas em termos dos eixos locais (Ver Figura 2.10) ix , onde

zx =3 perpendicular ao plano .

x'

y'

z'

GP

Figura 2.10: Sistema de eixos para a definio das deformaes

O sistema local tambm o sistema mais conveniente para expressar as componentes das

tenses e suas resultantes para a anlise e projeto. As cinco componentes da deformao so:

{ }

+

+

+

=

=

yw

zv

xw

zu

yu

xv

yvxu

zy

zx

yx

y

x

(2.33)

onde u , v e w so as componentes dos deslocamentos no sistema local. Estas derivadas locais so obtidas das derivadas globais dos deslocamentos da seguinte maneira:

27

[ ] [ ]

=

wvu

wvu

wvu

zw

zv

zu

yw

yv

yu

xw

xv

xu

T (2.34)

sendo que [ ] a matriz de transformao definida na equao (2.26). As derivadas dos deslocamentos no sistema global so obtidos fazendo-se:

=

wvu

wvu

wvu

J

zw

zv

zu

yw

yv

yu

xw

xv

xu

1 (2.35)

em que J a matriz jacobiana, que vem expressa por:

=

zyx

zyx

zyx

J (2.36)

sendo sua inversa dada por:

=

zzz

yyy

xxxJ

1 (2.37)

As derivadas dos deslocamentos referidos ao sistema de coordenadas curvilneas so

obtidas pela equao (2.30), enquanto a matriz jacobiana obtida da equao (2.36).

possvel calcular os termos desta matriz em forma explicita da seguinte forma:

=

+

+

= n

kkk

k xxNx

1

infsup

21

21

(2.38a)

28

=

+

+

= n

kkk

k yyNy

1

infsup

21

21

(2.38b)

=

+

+

= n

kkk

k zzNz

1

infsup

21

21

(2.38c)

=

+

+

= n

kkk

k xxNx

1

infsup

21

21

(2.38d)

=

+

+

= n

kkk

k yyNy

1

infsup

21

21

(2.38e)

=

+

+

= n

kkk

k zzNz

1

infsup

21

21

(2.38f)

( )=

= n

k

kkk

xxNx

1

infsup

2 (2.38g)

( )

=

= n

k

kkk

yyNy

1

infsup

2 (2.38h)

( )=

= n

k

kkk

zzNz

1

infsup

2 (2.38i)

A matriz de deformao [ ]cB que relaciona as componentes de deformao no sistema local s variveis nodais do elemento obtida como:

{ } [ ] { } cB=

(2.39)

onde { } definida na equao (2.33), { } o vetor dos deslocamentos nodais { }Tkkwvu 21 e [ ]cB a matriz com cinco linhas e o nmero de colunas iguais ao nmero das variveis nodais do elemento. Para obter os termos da matriz [ ]cB preciso primeiro definir as matrizes auxiliares [ ]A e [ ]G da seguinte maneira:

[ ] [ ] [ ]

==

333231

232221

1312111

AAAAAAAAA

JA T (2.40a)

29

[ ]

=

=

+

+

+

=wvu

Gwvu

yz

xz

xy

y

x

yw

zv

xw

zu

yu

xv

yvxu

0

0

0

00

00

(2.40b)

Assim, transformando o vetor de deslocamentos local ao sistema global possvel obter

os termos da matriz [ ]cB como:

{ } [ ][ ]

=wvu

G T (2.41a)

{ } [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]

++

=k

k

zk

yk

xk

zk

yk

xk

Tkk

kTk

VVV

VVV

CBh

wvu

B2

1

1

1

1

2

2

2

2 (2.41b)

{ } [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]

+=

k

k

k

k

k

zk

yk

xk

zk

yk

xk

Tkk

kTk w

vu

VVV

VVV

CBh

B

2

11

1

1

2

2

2

2,

(2.41c)

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ]

+=zk

yk

xk

zk

yk

xk

Tkk

kTkc

VVV

VVV

CBh

BB

1

1

1

2

2

2

2, , 8...2,1=k

(2.41d)

onde,

=

23

13

12

2

1

00

00000

BBBB

BBB

B

Bk

=

21

31

32

2

3

00

00000

CCCC

CCC

C

Ck (2.42a)

30

12111 ANANB kk

+= 331 ANC k=

22212 ANANB kk

+= 232 ANC k=

32313 ANANB kk

+= 133 ANC k=

(2.42b)

2.5.4 Definio das Tenses

Considerando a hiptese de tenso zero na direco z )0( =z , as cinco componentes de tenso no sistema local so:

{ } [ ]{ }

=

=

D

zy

zx

yx

y

x

(2.43)

onde { } definida na equao (2.33) e [ ]D definida na equao (2.13) para o concreto fissurado e no fissurado.

2.5.5 Formulao para o Concreto Protendido

O modelo do concreto protendido considera que o cabo modelado em forma discreta

dentro do elemento de casca degenerada (Ver Figura 2.11). A geometria do troo de armadura

incorporada pode ser definida a partir das coordenadas globais dos ns que definem o

elemento de cabo unidimensional. Estas coordenadas globais so obtidas a partir das

coordenadas naturais dos mesmos ns do elemento, utlizando a equao (2.27). Nesse

trabalho utilizou-se como dados de entrada ao cdigo computacional as coordendas naturais

dos ns que definen o elemento de cabo em cada elemento finito, embora um algoritmo mais

robusto pode ser implementado siguendo o procedimento proposto no trabalho de Jirousek et

al. (1979) . Assim, a formulao correspondente utilizada apresentada em detalhe no

trabalho de Povoas (1991), Roca & Mari (1993a) e Roca & Mari (1993b).

31

Tomando para origem do vetor de posio )(r de um ponto genrico do elemento de cabo unidimensional submetido a uma fora de protenso oP , a origem do referencial global,

tem-se:

{} { } { }kzjyixxr p )()()()()( ++== (2.44a)

=

=

3

1,

,

,

)()()()(

jjp

jp

jp

j

zyx

Nzyx

(2.44b)

Po

t

X Y

z

sistema coordenado

elemento de cabo

1

2

3

sistema coordenadonodal k

r()

V2K

V1K

V3K

2K

1K

Figura 2.11: Definio da coordenada curvilnea do elemento de cabo de protenso

onde )(jN so as funes de forma comuns do elemento de barra com trs ns (Ver Hinton & Owen, 1977). Levando em conta o vetor tangente unitrio correspondente (Ver Figura

2.11) expresso pelas relaes:

( ){ } ( ){ }( ){ }

vvt = (2.45)

com,

( ){ } {} { } { }kddzj

ddyi

ddxv ++= (2.46a)

32

( ){ } vddz

ddy

ddxv =

+

+

=

21222

(2.46b)

possvel determinar a matriz [ ]pB que relaciona a deformao axial no cabo p com os deslocamentos do elemento finito em que incorporado, como indicado na expresso (2.47).

No apndice A do presente trabalho apresentado o desenvolvimento da matriz de

de