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Elementos finitos: estudo de caso

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elementos finitos 1. Elementos lineares.Solução de EDO por elementos finitos e estudo de caso.Comparações com solução analítica. Utilização de matlab e mathcad.

Text of Elementos finitos: estudo de caso

  • ELEMENTOS FINITOS

    Resumo

    Ser apresentado um desenvolvimento matemtico para o problema da equao

    diferencial proposta bsica, incluindo a estratgia para desenvolvimento do cdigo

    computacional e validao. A seguir, nos demais projetos (proposta avanada e trelia 2D)

    sero apresentados apenas os cdigos, levando em conta que a ideia para o

    desenvolvimento matemtico da soluo equao diferencial pelo mtodo dos elementos

    finitos similar.

    1. Equao diferencial proposta bsica

    1. Descrio do problema

    Ser resolvido o seguinte problema:

    Ou seja, uma EDO de ordem 2 da forma descrita acima, onde os dados de entrada

    sero os valores dos coeficientes A, B e C (nmeros reais), atravs de um cdigo onde ser

    utiliza a a formulao fraca para soluo em MEF por n elementos 1D com funo de

    aproximao linear ou quadrtica. Posteriormente ser realizada a comparao entre

    o mtodo aproximado e a soluo exata para validao da soluo aproximada.

    Desenho elemento linear ns 1 ,2 e 3

    2. Desenvolvimento e soluo para elementos lineares e quadrticos com condies de

    contorno especificadas

    2.1 Desenvolvimento matemtico forma fraca da declarao integral

    A funo y(x) ser aproximada por uma funo u , sendo assim, um resduo R

    surgir por conta da aproximao realizada:

    u

    u

    Resta-se ainda esclarecer qual funo aproximada, u(x), ser utilizada em questo.

    Para soluo pelo mtodo dos elementos finitos, tal funo de aproximao dever ter o

    valor da funo exata y(xi) nos pontos (ns) do elemento, e, entre estes, ser realizada

    uma aproximao por uma funo polinomial. Ou seja:

    u

    Onde as funes N1, N2 e N3 so as chamadas funes e forma do elemento de tal

    maneira que:

    u u u u

  • Assim, para que isso ocorra, necessrio que:

    { se se

    Ou seja, , e

    .

    Generalizando, ( ) { se i se i

    Para que a funo de aproximao u(x) seja linear, temos que as funes de forma

    devero ser:

    Garantindo, desta maneira, que: e . E assim, a

    funo de aproximao u(x) ser ento:

    u

    Onde e correspondem aos valores da funo exata nos ns 1 e 2 do elemento, ou seja

    y( e y( , satisfazendo o descrito em (4). Algumas simplificaes tambm podem ser

    feitas nas funes de forma, uma vez que no caso um elemento com aproximao linear

    (com apenas dois ns internos), tem-se que (comprimento do elemento).

    Utilizando-se agora do conceito dos resduos ponderados (minimizando o resduo ao

    longo do domnio), temos a integrao a ser resolvida:

    Onde w a funo peso (weighted function), que, resolvida pelo mtodo de Gallerkin, ser

    a prpria funo de forma em cada ponto. Ou seja:

    aller in u

    e su stituin o em resulta em

    u

    u

    Ou seja:

    O que resulta em duas equaes:

  • E, substituindo os valores de Ni e R em (10), chegamos forma forte da declarao

    integral:

    u

    (

    u

    u ) para i

    Sabemos que:

    u

    Ou seja, na verdade temos duas equaes (i=1 e i=2), formando, assim, um sistema de

    equaes a ser resolvido para as incgnitas e .

    A questo ainda a se apontar : a integral acima (forma forte) no gerar bons resultados

    para a nossa aproximao. O motivo, neste caso, fica claro ao analisar o primeiro termo do

    resduo:

    . Ora, se a nossa funo de aproximao linear, claro que a derivada

    segunda desta funo zero. Sendo assim, este termo desaparecer na integral, para

    qualquer valor de A, o que faz com que parte da fsica do problema seja perdido.

    Conclui-se, de antemo, que a funo de aproximao linear no gerar bons resultados

    caso seja utilizada a forma forte da declarao integral.

    Para funo de aproximao u(x) quadrtica, temos as seguintes funes de forma:

    Que sero funes quadrticas, que, quando substitudas em (2), resultaro em uma

    funo aproximada do tipo u(x)=ax+bx+c (onde a, b e c sero termos de , , , ,

    e ), e, ao mesmo tempo, satisfazendo o descrito em (3). Vale ressaltar que todas estas

    condies esto sendo resolvidas para um elemento. Algumas simplificaes tambm

    podem ser feitas na equao acima (equao 4), uma vez que (comprimento

    do elemento) e

    (ponto no centro do elemento).

    Ser, agora, resolvido a integrao (resduos ponderados averaged weighted residuals):

    Onde w a funo peso (weighted function), que, resolvida pelo mtodo de Gallerkin, ser

    a prpria funo de forma em cada ponto. Ou seja:

    aller in u

    e su stituin o em resulta em

  • u

    u

    u

    Ou seja (equao 9):

    O que resulta em trs equaes:

    E, substituindo os valores de Ni e R em (7), chegamos forma forte da declarao integral:

    u

    u

    u para i

    Desta vez com a funo u(x) sendo uma funo do segundo grau:

    u

    Desta vez temos que o termo da segunda derivada no se anula, sendo assim a fsica do

    problema conservada mesmo sob a soluo com a forma forte da declarao integral.

    Porm o que ocorre que na prtica, os resultados para aproximaes com mais de um

    elemento foram insatisfatrias, pois existe uma descontinuidade nas derivadas de ordem 1

    dos elementos. Assim, a hiptese de resduo ponderado nulo ao longo do conjunto de

    elementos perde a validade quando a condio de continuidade violada nas fronteiras

    (entre elementos). A condio de continuidade implica que para um integrando de ordem

    'n' a funo e todas as derivadas de ordem (n-1) devem ser contnuas (Akin, 1986).

    Rao (1998) define elementos de continuidade C0 como elementos que possuem

    continuidade apenas da varivel de campo (u(x), por exemplo). Os elementos com

    continuidade C1 possuem continuidade da varivel de campo u(x) e de sua primeira

    derivada du/dx. Sendo assim, um elemento cbico, com quatro graus de liberdade

    necessrio para soluo do problema.

    A partir deste ponto, fica claro que vivel utilizar uma alternativa mais simples para a

    declarao integral. Ser utilizada uma estratgia para diminuir a ordem das derivadas do

    integrando (eliminar o termo de ordem 2), e assim, um elemento com continuidade C0

    (linear ou quadrtico) ser suficiente para soluo do problema.

    A estratgia consiste na integrao por partes da forma forte da declarao integral,

    reduzindo a ordem da derivada no integrando.

  • Assim, sendo:

    u

    u

    Aplica-se a integrao por partes com:

    u

    f

    f f f

    vivel, contudo, que seja utilizada a forma fraca da declarao integral. Assim, ao utilizar

    a estratgia de integrao por partes conseguimos reduzir a ordem do operador

    diferencial:

    u

    u

    u

    u

    [ u

    ]

    Sendo:

    u

    u

    A nova declarao integral que contm apenas termos de derivadas de ordem 1, ou seja,

    apenas o requisito de continuidade C0 necessrio agora. Assim, as condies de contorno

    essenciais y(i) e y(f) so aplicadas nova declarao integral (sendo i e f os pontos que

    definem inicio e final do domnio do problema).

    O termo [

    ]

    representa as condies de contorno naturais, e sero introduzidas aps

    a soluo, caso seja necessrio.

    Em resumo, temos que, a partir deste momento, ser utilizada apenas a forma fraca da

    declarao integral, que faz com que possamos usar qualquer tipo de elemento (linear ou

    quadrtico) em EDO's de ordem superiores.

    2.1.1 - Matriz de rigidez para o elemento linear

    Resolvendo agora nosso problema com elemento linear utilizando a formulao fraca,

    temos:

    E uao

    u

    u

  • E uao

    u

    u

    Com:

    u

    u

    E, para o elemento linear, conforme visto anteriormente:

    O que resulta num sistema de equaes de duas incgnitas e . Escrevendo o sistema

    de equaes na forma matricial, denominaremos a matriz dos termos dependentes de

    matriz de rigidez (k - 2x2) e o vetor dos termos independentes de vetor de foras (f -

    2x1), assim, temos que:

    ky=f

    Ou seja:

    (

    ) (

    )

    (

    ) (

    )

    Onde L representa o comprimento do elemento ( ), a coordenada global do primeiro

    n do elemento e a do segundo n. Sendo assim, escrevemos na forma matricial as

    equaes para o elemento linear:

    [

    ] [

    ] [

    ]

    Percebe-se, ento, que o mtodo resulta num sistema de equaes com uma matriz

    simtrica.

    O grande desafio agora trata-se da passagem da matriz e vetores do elemento, descritos

    acima, para termos globais, levando em conta todos os graus de liberdade do domnio em

    questo.

    A estratgia consiste em sobrepor as matrizes dos elementos, levando em conta os ns que

    tem influncia sobre um ou mais elementos. Ou seja, para um problema com 2 elementos

    (total de 3 graus de liberdade) temos:

  • [

    ]

    [