Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Prof. Dr. Andr Paulo TschiptschinDepartamento de Engenharia Metalrgica e de Materiais

Mtodo de Elementos Finitos

A anlise por elementos finitos um mtodo numrico utilizado em computadores, para resolver problemas de engenharia.

Montam-se funes de interpolao para reduzir o comportamento de um campo infinito de pontos para um nmero finito de pontos.

A interconectividade desses pontos definida por elementos finitos que preenchem a geometria do componente a ser estudado.

A genialidade do mtodo consiste no fato de que possibilita a soluo sistemtica de problemas com boa aproximao das solues analticas e dos resultados experimentalmente observados.

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais09/06/2011 2

Problemas de engenharia que podem ser resolvidos pelo mtodo dos elementos finitos

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais3

PROBLEMA INCGNITA CONDIES DE CONTORNO

Estrutural Deslocamento Tenso e deslocamento

Trmico Temperatura Fluxo de calor, conveco ou radiao

Eltrico Voltagem Fonte de corrente

Magntico Fora eletromotriz Campo magntico

Escoamento de fludos Presso, velocidade Velocidade

Difuso Concentrao mssica Fluxo dos componentes

Corroso Taxa de consumo de anodo

Potencial eltrico

Proapgao de trincas Liberao de energia de deformao

Tenso

Aproximao de soluo baseado no princpio do trabalho virtual

O mtodo de Raleigh-Ritz um mtodo aproximado de resoluo de problemas, baseado no princpio do trabalho virtual.

O princpio do trabalho virtual afirma que a energia potencial total de um sistema elstico mnima quando o sistema est em equilbrio.

A energia potencial total a soma da energia potencial gravitacional e da energia de deformao elstica.

O mtodo de Raleigh-Ritz reduz um meio contnuo com infinitos graus de liberdade a um sistema com um nmero finito de graus de liberdade (DOF degree of freedom).

Entre o conjunto de funes diferenciveis que satisfazem a condio limite, escolhe-se as funes que minimizam uma certa integral.

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais4

Graus de liberdade (DOF)

Em mecnica, graus de liberdade (degrees of freedom - DOF) so os conjuntos de deslocamentos e/ou rotaes independentes que especificam completamente a posio deslocada ou deformada e a orientao do corpo ou do sistema.

Uma partcula que se move em trs dimenses no espao tem trs componentes de deslocamento translacional como graus de liberdade (DOF), enquanto um corpo rgido tem no mximo seis graus de liberdade incluindo as trs rotaes.

Translao corresponde a movimento sem rotao e a rotao o movimento angular em torno de um eixo.

Fundamentos do mtodo dos elementos finitos

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais6

O mtodo torna isso possvel, baseando-se na hiptese de que os deslocamentos no meio contnuo so funo de um nmero finito de coeficientes indeterminados, que devem ser determinados.

O problema passa a ser a determinao destes coeficientes. Por exemplo:

P

y

x

=

l

xsenAy

Viga simplesmente apoiada sob ao de uma carga P localizada no meio.

Condies de contorno para resoluo do problema

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais7

P

y

x

=

Mtodo de Raleigh-Ritz

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Conformao Mecnica8

A soluo do problema consiste em encontrar uma expresso para a energia potencial do sistema em termos de A, a constante da equao que descreve a deformao da viga.

Para isso, deve-se diferenciar a funo y do deslocamento com relao a A e igualar a zero. Em outras palavras, trata-se de encontrar a geometria que resulta em um valor mnimo de energia potencial total, dada por:

sendo:

a energia potencial total

a energia de deformao elstica

a energia potencial gravitacional

+= UV

V

U

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Mtodo de Raleigh-Ritz

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Conformao Mecnica9

dxdxydEIU =222

)/(2/1

A energia elstica pode ser descrita por:

Sendo:

o mdulo de Young ou rigidez do material

o mdulo da seo ou rigidez geomtrica (momento de inrcia)

A energia potencial no centro da viga :

P a fora aplicada

A a mxima deflexo da viga

)( AP =

I

E

U

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Mtodo de Raleigh-Ritz

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Conformao Mecnica10

)/()/()2(

)/()2(

0])2/[(//

0/

43

43

324

LxsenEIPLy

eEIPLA

PALEIAdAddAdV

dAdV

=

=

==

=

portanto:

e:

Diferenciando a equao da energia total V com relao a A e igualando a zero

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Mtodo de Raleigh-Ritz

09/06/2011 11

As solues encontradas fornecem valores de deflexo 3% diferentes da soluo analtica; entretanto os valores mximos de tenso so 19% maiores.

Uma melhor aproximao pode ser obtida se acrescentarmos mais um grau de liberdade:

e usando:

obtm-se:

As solues encontradas fornecem agora, valores de deflexo 1% diferentes da soluo analtica, e valores mximos de tenso 8% maiores.

EIPLB

EIPLA

B

V

A

V

LxL

xsenB

L

xsenAy

43

43

27/2

/2

0,0

03

=

=

=

=

Mtodo dos elementos finitos

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais12

O mtodo dos elementos finitos pode ser pensado como uma extenso do mtodo de Raleigh-Ritz, salvo duas grandes diferenas:

As estruturas no mtodo de Raleigh-Ritz so tratadas como um nico elemento. No mtodo dos elementos finitos utilizam-se mltiplos elementos e ns.

No mtodo dos elementos finitos os valores de deslocamentos e rotaes so as variveis (coeficientes indeterminados). um mtodo mais intuitivo. J no mtodo de Raleigh-Ritz as deformaes so as amplitudes de uma funo senoidal e os coeficientes indeterminados so as constantes das equaes.

Mtodo dos elementos finitos

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais13

O meio contnuo dividido em um certo nmero de elementos (tringulos, quadrilteros, tetraedros, etc.). Os deslocamentos internos desses elementos so descritos pelo deslocamentos dos ns por meio de funes de interpolaogeralmente polinomiais.

A partir destas funes obtm-se expresses para a energia que devem ser minimizadas (a fim de obter um conjunto de equaes algbricas). As solues das equaes descrevem os deslocamentos nos ns.

Os valores do deslocamento em cada n so anlogos aos valores do coeficiente Acalculado no exemplo da viga simplesmente apoiada, pelo mtodo de Raleigh-Ritz .

Ao se determinar os deslocamentos em cada n consegue-se determinar os deslocamentos e as tenses em todo o contnuo.

De uma maneira geral os deslocamentos calculados dessa forma so mais precisos que as tenses.

Comparao entre os mtodos de Raleigh-Ritz e de elementos finitos

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais14

MTODO DE RALEIGH-RITZ MTODO DE ELEMENTOS FINITOS

A estrutura tratada como um nica entidade, portanto constituda por um nico elemento ( um contnuo)

A estrutura constituda por mltiplos elementos conectados por ns.

As variveis a serem otimizadas so os coeficientes A, B, C,.... das equaes descritvas do problema.

Os deslocamentos e as rotaes que so as variveis a serem otimizadas

Menos intuitivo. Necessita especificar condies de contorno e restries referentes a amplitude de ondas senoidais.

Mais intuitivo, pois as condies de contorno e as restries so referentes a deslocamentos e rotaes.

Elementos contnuos

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais15

Um elemento tem uma geometria completamente definida por seus ns.

Elementos contnuos de (1) baixo-grau de liberdade; (2) alto grau de liberdade

(1) (2)

Elementos Estruturais

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais16

Tm comportamento que seguem certas hipteses estruturais.

Elementos estruturais: (a) viga, (b) placa, (c) conchas (d) cotovelos

Distores tpicas de elementos de malha

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais17

Tipos de distoro de elementos quadrilteros.

OriginalOriginal

Cisalhamento

Razo de aspecto

Genrico

Problemas lineares e no lineares

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Conformao Mecnica18

Muitos problemas de elementos finitos podem ser resolvidos usando como hipteses a linearizao: o as deformaes so pequenas e o comportamento dos materiais

considerado linearmente elstico. o as solues so em geral rpidas.

Existe um grande nmero de problemas em que as tenses e deslocamentos no so proporcionais s cargas aplicadas. So problemas no lineares.o As solues requerem tcnicas iterativas e recursos computacionais

pesados.

o Problemas que envolvem grandes deformaes, materiais inelsticos,

fluncia, relaxao plstica, histerese, transformaes de fase e

tenses residuais tambm so tratados utilizando o modelamento no

linear. A modelao envolve conhecimentos e modelos que precedem

a modelao por elementos finitos: teoria da plasticidade, modelos de

fluncia, etc.Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais

Soluo do sistema de equaes

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Conformao Mecnica19

Para problemas estruturais estticos, o mtodo dos elementos finitos resulta em um sistema de equaes que podem ser expressas na forma de:

Lei de Hooke

sendo a coluna dos vetores de fora

a coluna dos vetores deslocamento

uma matriz quadrada

O tamanho da matriz quadrada dado pelo produto do nmero de ns pelo nmero de graus de liberdade por n.

[ ] [ ][ ]

[ ][ ][ ]Ku

F

uKF =

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Exemplo

09/06/2011Mtodo de Elementos Finitos Aplicado

Conformao Mecnica20

O mtodo dos elementos finitos emprega elementos interconectados

Uma funo deslocamento encontra-se acoplada a cada elemento finito

Cada elemento encontra-se interconectado atravs de interfaces comuns, atravs de ns

O problema pode ser descrito por uma relao:

Fora = Rigidez x deslocamento

[ ] [ ] [ ]

)/(

)/()/(

/

LuE

KuuLAELuAEF

EAF

=

===

==

=

uKF u

L

F

DMtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais

Aplicao

A1,E1 A2,E2

L1 L2

Modelo correspondente

n1 n2 n3

E1 E2

u1 u2 u3

Exemplo

F

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Analogia com molas

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Analogia com molas para vrios elementos

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Soluo do sistema de equaes

A maior parte dos problemas estruturais tem termos de rigidez agrupados ou formando faixas ao longo da diagonal.

Matriz de rigidez para molas conectadas em srie

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Soluo do sistema de equaes

Se todos os graus de liberdade so independentes (p.e. uma srie de molas espirais independentes ligadas ao solo) a matriz de rigidez seria diagonal.

Matriz de rigidez para molas independentes

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Anlise no elemento 1

No n 1: u1> 0 e u2= 0 logo

No n 2: u1= 0 e u2= 0 logo

F1= F 1 2 F2 = - F1

u1 u2

Exemplo

2

2

22

21

1

11

1

)()(u

L

EAFeu

L

EAF

=

=

2

2

22

21

1

11

1

)()(u

L

EAFeu

L

EAF

=

=

* =

Entretanto, u1 e u2 podem ser diferentes de zero, logo:

K*u1-K*u2 = F1 e -K*u1+K*u2 = F2

A1*E1/L1 -A1*E1/L1 u1 F1

-A2*E2/L2 A2*E2/L2 u2 F2

Donde:

A1*E1/L1*u1- A1*E1/L1*u2 = F1

- A2*E2/L2*u1+ A2*E2/L2*u2=F2

Matriz de rigidez

u1 u2 u3 u1 u2 u3

k1 -k1 0 0 0 0

K1= -k1 k1 0 k2= 0 k2 -k2

0 0 0 0 -k2 k2

Exemplo

No conjunto dos elementos 1 e 2:

k1 -k1 0

K= K1 + K2 = -k1 k1+k2 -k2

0 -k2 k2

Mas como u3= 0 (viga engastada), temos:

F k1 -k1 u1=

0 -k1 k1+k2 u2

Deformaes: u2=F/k2 e u1=(F/k1)+(F/k2)

Tenses:

s1=E1*e1=E1*(u2-u1)/L1=E1/L1*(-FL1/A1*E1)=-F/A1 (compresso)

s2=E2*e2=E2*(u3-u2)/L2=E2/L2*(-FL2/A2*E2)=-F/A2 (compresso)

*

Exemplo

Simetria

Os problemas de elementos finitos podem ser muito simplificados considerando estruturas contendo elementos de simetria (de translao, rotao, reflexo, etc.). Os recursos computacionais necessrios para resolver um problema podem ser muito reduzidos quando se lana mo da simetria.

Simetria bilateralMtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais

Simetria rotacional

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Axissimetria

Axissimetria um caso particular de simetria rotacional. A axissimetria permite reduzir um problema tridimensional a um bidimensional.

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Simetrias combinadas

Simetria translacional combinada com simetria rotacionalMtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais

Simetria

Quando alm da geometria h simetria de aplicao de carga (e reaes) simples reduzir o problema regio fundamental.

Cargas simtricas. SYMM quer dizer que ux = 0 em toda a seo

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Processo tpico de modelamento por elementos finitos

O modelamento por elementos finitos envolve a definio e a manipulao da da geometria, especificao do material e suas propriedades, gerao da malha de elementos finitos e definio das cargas e deslocamentos que sero aplicados ao componente.

Geometria

Modelo e material

Malha de elementos finitos

Condies de contorno: cargas e deslocamentos

Clculos

Psprocessamento

Interpretao

Oti

miz

ao

est

rutu

ral

Oti

miz

ao

da

mal

ha

Processo tpico de elementos finitos

Pr-processamento

Processamento

Ps-processamento

InterpretaoMtodo de Elementos Finitos Aplicado

Seleo de Materiais

Pr-processamento - propriedades dos materiais

Propriedades dos materiais: constantes ou variveis.

Propriedades variveis em funo do tempo, da temperatura, etc.

Consulta a tabelas ou funes matemticas que definem a variao.

Frequentemente o pr-processamento consome 80% do tempo do modelamento

Definio de problema grande.

Ps-processamento

Os resultados fornecem tabelas com milhares ou milhes de valores numricos

Os valores podem ser descritivos de grandezas escalares, vetoriais ou tensoriais.

O ps-processamento permite a interpretao eficiente desses nmeros.

Mapas de cores, campos de vetores, elipses, etc. Permitem visualizao fcil dos resultados obtidos.

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Tamanho da malha, preciso e tempo de processamento

Um dos problemas fundamentais em anlise por elementos finitos projetaruma malha que seja fina o suficiente para dar boas respostas mas grossa osuficiente para rodar sem necessitar recursos extraordinrios decomputao.

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais

Tamanho da malha, preciso e tempo de processamento

Quando o nmero de ns na malha reduzido os resultados tendem a ser mais imprecisos.

O aumento do nmero de ns e do nmero de graus de liberdade na malha aumenta a preciso.

O aumento do nmero de ns e de graus de liberdade aumenta muito o nmero de equaes e o tempo necessrio para processamento.

O problema pode se tornar intratvel.

UY (m)

Mtodo de Elementos Finitos Aplicado Seleo de Materiais