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Elementos Finitos - Parametrização de elementos

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Documento mostrando a parametrização de elementos triangulares e quadrangulares com diferentes número de nós, e métodos de se encontrar a matriz B e L

Text of Elementos Finitos - Parametrização de elementos

  • MTODOS NUMRICOS EM

    ENGENHARIA

    O Mtodo dos Elementos Finitos

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    APLICAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AOS SLIDOS.

    O prximo passo passar a soluo de problemas planos, superfcies curvas

    e slidos tridimensionais.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    A primeira tarefa estabelecer elementos geomtricos que permitam aproximar

    as superfcies curvas ou planas de slidos e seus contornos.

    Utilizam-se figuras geomtricas simples para aproximar contornos, salincias e

    reentrncias. Os tringulos e retngulos planos e curvos so os utilizados, o

    refinamento das redes possvel aumentando o nmero de ns nos contornos

    ou reduzindo as dimenses dos elementos.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    EXEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS.

    Os tringulos abaixo so usados para aproximar pobremente uma superfcie.

    fcil notar que se fossem os tringulos de seis ns a representao da

    geometria seria melhor. Nos dois casos os elementos so tridimensionais e

    poderiam ser do tipo membrana fina ou espessos.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    De acordo com as funes interpoladoras utilizadas teremos as famlias de

    elementos finitos. Veremos a seguir que as funes interpoladoras do campo de

    deslocamentos usuais para os tringulos de trs ns so:

    yxyxu 210),(

    yxyxv 210),(

    Observe que geometria (coordenadas dos pontos nodais) e deslocamentos

    esto associados aos mesmos pontos (vrtices) do contorno do tringulo.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Famlia dos elementos ISOPARAMTRICOS: Os pontos nodais que definem a

    geometria do elemento so interpolados pelas mesmas funes e so os

    mesmos pontos que para os quais se determinam os deslocamentos.

    Elementos Triangulares Isoparamtricos.

    2

    54

    2

    3210),( yxyxyxyxu

    2

    54

    2

    3210),( yxyxyxyxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Famlia dos elementos Isoparamtricos LAGRANGEANOS.

    Como vimos anteriormente, as funes interpoladoras para os elementos

    triangulares contm todos os termos do polinmio intepolador.

    O mesmo no ocorre para os elementos retangulares, estes compem a

    famlia dos Lagrangeanos com polinmios interpoladores copostos pala

    seguinte regra:

    2

    8

    2

    7

    22

    6

    2

    5

    2

    43210),( yxyyxyxxxyyxyxu

    xyyxyxu 3210),(

    xyyxyxv 3210),(

    2

    8

    2

    7

    22

    6

    2

    5

    2

    43210),( yxyyxyxxxyyxyxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Famlia dos elementos Isoparamtricos SERENDIPITY.

    O termo Serendipity uma referncia a um conto infantil

    Persa Os trs prncipes de Serendip, que conta as

    aventuras de trs prncipes do Ceilo, atual Sri Lanka,

    que viviam fazendo descobertas inesperadas, cujos

    resultados eles no estavam procurando realmente.

    Graas s suas capacidade de observao e

    sagacidade, descobriam acidentalmente a soluo

    para dilemas impensados. Essa caracterstica tornava-

    os especiais e importantes, no apenas por terem um

    dom especial, mas por terem a mente aberta para as

    mltiplas possibilidades.

    (Vaz, L.E.; Mtodo dos Elementos Finitos em Anlise de Estruturas, Ed.

    Campus, Elsevier, 2011.)

    http://www.recantodasletras.com.br/ensaios/2461955

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Os elementos Serendipity tem pontos nodais apenas em seus contornos, isso

    reduz a dimenso da matriz de rigidez desses elementos. possvel, atravs

    da condensao esttica, transformar o elemento Lagrangeano em elemento

    com ns apenas nos contornos, ainda assim no se tratar de elemento

    Serendipity.

    2

    7

    2

    6

    2

    5

    2

    43210),( yxyyxxxyyxyxu

    2

    7

    2

    6

    2

    5

    2

    43210),( yxyyxxxyyxyxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    As famlias de elementos descritos anteriormente estendem-se ao caso dos

    slidos. Neste caso o mais simples o TETRAEDRO de quatro ns.

    Famlia dos slidos LAGRANGEANOS:

    Famlia dos slidos SERENDIPITY:

    Elementos SUPERPARAMTRICOS: Nmero de pontos a definir a forma

    maior que o nmero de pontos para os quais se determinar o valor da

    grandeza em estudo.

    Elementos SUBPARAMTRICOS: Nmero de pontos a definir a forma

    menor que o nmero de pontos para os quais se determinar o valor da

    grandeza em estudo.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    CHAPA: Elemento bidimensional plano, simtrico com relao ao seu plano

    mdio, dimenses de mesma ordem de grandeza nesse plano ambas muito

    maiores que sua espessura, com carregamento cuja resultante deve

    obrigatoriamente estar contida no plano mdio.

    Os tringulos sero, geralmente, de trs, seis e dez ns, e os quadrilteros de

    quatro, oito ou nove ns. Observa-se no entanto que as possibilidades vo

    muito alm destas.

    Nos limitaremos ao estudo das CHAPAS PLANAS discretizadas com

    elementos triangulares.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL

    )()()( uWuUu Sabemos que esse funcional dado por:

    com U() energia de deformao e W()=ext o potencial das aes dados

    em funo do campo de deslocamentos (x,y).

    Consideraremos agora o caso plano (estado plano de tenses):

    yxx

    Ex

    yxu

    1),(

    xyy

    Ey

    yxv

    1),(

    xyxyxy

    GEy

    yxu

    x

    yxv

    112),(),(

    chyx tll

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    ENERGIA DE DEFORMAO U:

    vol

    xyxyyyxx

    vol

    dVdVuU 2

    10

    onde: u0 a energia de deformao especfica e:

    xx E yy E xyxy G

    Componentes nos estados planos:

    de tenso: ;xyyxt xyyxt

    de deformao: ;xyzyxt xyzyxt

    vol

    x dVE

    Uxyy

    222

    )1(2

    1

    2

    assim teremos:

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    O primeiro elemento finito que se apresenta o tringulo de trs ns, ou CST

    (de Constant Strain Triangle), os parmetros nodais considerados para cada

    n sero seus deslocamentos horizontais e verticais.

    As funes aproximadoras para os deslocamentos nodais linear em x e y,

    por isso suas derivadas, que representaro as deformaes, resultam

    constantes.

    ~),(1),(

    2

    1

    0

    210 yxfyxyxyxu

    ~

    ),(1),(

    2

    1

    0

    210 yxfyxyxyxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Agrupando e ordenando os coeficientes obtemos o seguinte:

    2

    1

    0

    2

    1

    0

    33

    33

    22

    22

    11

    11

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    1000

    0001

    1000

    0001

    1000

    0001

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    u n

    nu

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    A

    1

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    123123

    211332

    122131132332

    123123

    211332

    122131132332

    2

    1

    0

    2

    1

    0

    000

    000

    000

    000

    000

    000

    2

    1

    com: 2312311332212 yxyxyxyxyxyxA

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Reescrevendo na forma matricial os deslocamentos u(x,y) e v(x,y):

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    3

    1

    0

    11),(

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    yxyxyxu

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    3

    1

    0

    11),(

    v

    v

    v

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    yxyxyxv

    Devemos escrever as derivadas: x

    yxv

    y

    yxu

    y

    yxv

    x

    yxu

    ),(;

    ),(;

    ),(;

    ),(

    ;),(

    x

    yxux

    y

    yxvy

    ),(

    y

    yxu

    x

    yxvxy

    ),(),(Lembrando que: e

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    3

    2

    1

    211332

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    010),(

    u

    u

    u

    yyyyyy

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    x

    yxu

    3

    2

    1

    123123

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    100),(

    u

    u

    u

    xxxxxx

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    y

    yxu

    3

    2

    1

    211332

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    010),(

    v

    v

    v

    yyyyyy

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    x

    yxv

    Calculando as derivadas:

    3

    2

    1

    123123

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    100),(

    v

    v

    v

    xxxxxx

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    y

    yxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Escreveremos o campo de deformaes (x,y) em funo de uma matriz L, de

    operadores em derivadas parciais, multiplicado pelos deslocamentos u.

    Luyxv

    yxu

    xy

    y

    x

    xyxv

    yyxu

    yyxv

    xyxu

    xy

    y

    x

    ),(

    ),(0

    0

    ),(),(

    ),(

    ),(

    Voltando a expresso da ENERGIA DE DEFORMAO U:

    vol

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