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Elementos Finitos - Parametrização de elementos

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Documento mostrando a parametrização de elementos triangulares e quadrangulares com diferentes número de nós, e métodos de se encontrar a matriz B e L

Text of Elementos Finitos - Parametrização de elementos

  • MTODOS NUMRICOS EM

    ENGENHARIA

    O Mtodo dos Elementos Finitos

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    APLICAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AOS SLIDOS.

    O prximo passo passar a soluo de problemas planos, superfcies curvas

    e slidos tridimensionais.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    A primeira tarefa estabelecer elementos geomtricos que permitam aproximar

    as superfcies curvas ou planas de slidos e seus contornos.

    Utilizam-se figuras geomtricas simples para aproximar contornos, salincias e

    reentrncias. Os tringulos e retngulos planos e curvos so os utilizados, o

    refinamento das redes possvel aumentando o nmero de ns nos contornos

    ou reduzindo as dimenses dos elementos.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    EXEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS.

    Os tringulos abaixo so usados para aproximar pobremente uma superfcie.

    fcil notar que se fossem os tringulos de seis ns a representao da

    geometria seria melhor. Nos dois casos os elementos so tridimensionais e

    poderiam ser do tipo membrana fina ou espessos.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    De acordo com as funes interpoladoras utilizadas teremos as famlias de

    elementos finitos. Veremos a seguir que as funes interpoladoras do campo de

    deslocamentos usuais para os tringulos de trs ns so:

    yxyxu 210),(

    yxyxv 210),(

    Observe que geometria (coordenadas dos pontos nodais) e deslocamentos

    esto associados aos mesmos pontos (vrtices) do contorno do tringulo.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Famlia dos elementos ISOPARAMTRICOS: Os pontos nodais que definem a

    geometria do elemento so interpolados pelas mesmas funes e so os

    mesmos pontos que para os quais se determinam os deslocamentos.

    Elementos Triangulares Isoparamtricos.

    2

    54

    2

    3210),( yxyxyxyxu

    2

    54

    2

    3210),( yxyxyxyxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Famlia dos elementos Isoparamtricos LAGRANGEANOS.

    Como vimos anteriormente, as funes interpoladoras para os elementos

    triangulares contm todos os termos do polinmio intepolador.

    O mesmo no ocorre para os elementos retangulares, estes compem a

    famlia dos Lagrangeanos com polinmios interpoladores copostos pala

    seguinte regra:

    2

    8

    2

    7

    22

    6

    2

    5

    2

    43210),( yxyyxyxxxyyxyxu

    xyyxyxu 3210),(

    xyyxyxv 3210),(

    2

    8

    2

    7

    22

    6

    2

    5

    2

    43210),( yxyyxyxxxyyxyxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Famlia dos elementos Isoparamtricos SERENDIPITY.

    O termo Serendipity uma referncia a um conto infantil

    Persa Os trs prncipes de Serendip, que conta as

    aventuras de trs prncipes do Ceilo, atual Sri Lanka,

    que viviam fazendo descobertas inesperadas, cujos

    resultados eles no estavam procurando realmente.

    Graas s suas capacidade de observao e

    sagacidade, descobriam acidentalmente a soluo

    para dilemas impensados. Essa caracterstica tornava-

    os especiais e importantes, no apenas por terem um

    dom especial, mas por terem a mente aberta para as

    mltiplas possibilidades.

    (Vaz, L.E.; Mtodo dos Elementos Finitos em Anlise de Estruturas, Ed.

    Campus, Elsevier, 2011.)

    http://www.recantodasletras.com.br/ensaios/2461955

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Os elementos Serendipity tem pontos nodais apenas em seus contornos, isso

    reduz a dimenso da matriz de rigidez desses elementos. possvel, atravs

    da condensao esttica, transformar o elemento Lagrangeano em elemento

    com ns apenas nos contornos, ainda assim no se tratar de elemento

    Serendipity.

    2

    7

    2

    6

    2

    5

    2

    43210),( yxyyxxxyyxyxu

    2

    7

    2

    6

    2

    5

    2

    43210),( yxyyxxxyyxyxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    As famlias de elementos descritos anteriormente estendem-se ao caso dos

    slidos. Neste caso o mais simples o TETRAEDRO de quatro ns.

    Famlia dos slidos LAGRANGEANOS:

    Famlia dos slidos SERENDIPITY:

    Elementos SUPERPARAMTRICOS: Nmero de pontos a definir a forma

    maior que o nmero de pontos para os quais se determinar o valor da

    grandeza em estudo.

    Elementos SUBPARAMTRICOS: Nmero de pontos a definir a forma

    menor que o nmero de pontos para os quais se determinar o valor da

    grandeza em estudo.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    CHAPA: Elemento bidimensional plano, simtrico com relao ao seu plano

    mdio, dimenses de mesma ordem de grandeza nesse plano ambas muito

    maiores que sua espessura, com carregamento cuja resultante deve

    obrigatoriamente estar contida no plano mdio.

    Os tringulos sero, geralmente, de trs, seis e dez ns, e os quadrilteros de

    quatro, oito ou nove ns. Observa-se no entanto que as possibilidades vo

    muito alm destas.

    Nos limitaremos ao estudo das CHAPAS PLANAS discretizadas com

    elementos triangulares.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL

    )()()( uWuUu Sabemos que esse funcional dado por:

    com U() energia de deformao e W()=ext o potencial das aes dados

    em funo do campo de deslocamentos (x,y).

    Consideraremos agora o caso plano (estado plano de tenses):

    yxx

    Ex

    yxu

    1),(

    xyy

    Ey

    yxv

    1),(

    xyxyxy

    GEy

    yxu

    x

    yxv

    112),(),(

    chyx tll

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    ENERGIA DE DEFORMAO U:

    vol

    xyxyyyxx

    vol

    dVdVuU 2

    10

    onde: u0 a energia de deformao especfica e:

    xx E yy E xyxy G

    Componentes nos estados planos:

    de tenso: ;xyyxt xyyxt

    de deformao: ;xyzyxt xyzyxt

    vol

    x dVE

    Uxyy

    222

    )1(2

    1

    2

    assim teremos:

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    O primeiro elemento finito que se apresenta o tringulo de trs ns, ou CST

    (de Constant Strain Triangle), os parmetros nodais considerados para cada

    n sero seus deslocamentos horizontais e verticais.

    As funes aproximadoras para os deslocamentos nodais linear em x e y,

    por isso suas derivadas, que representaro as deformaes, resultam

    constantes.

    ~),(1),(

    2

    1

    0

    210 yxfyxyxyxu

    ~

    ),(1),(

    2

    1

    0

    210 yxfyxyxyxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Agrupando e ordenando os coeficientes obtemos o seguinte:

    2

    1

    0

    2

    1

    0

    33

    33

    22

    22

    11

    11

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    1000

    0001

    1000

    0001

    1000

    0001

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    u n

    nu

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    A

    1

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    123123

    211332

    122131132332

    123123

    211332

    122131132332

    2

    1

    0

    2

    1

    0

    000

    000

    000

    000

    000

    000

    2

    1

    com: 2312311332212 yxyxyxyxyxyxA

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Reescrevendo na forma matricial os deslocamentos u(x,y) e v(x,y):

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    3

    1

    0

    11),(

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    yxyxyxu

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    3

    1

    0

    11),(

    v

    v

    v

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    yxyxyxv

    Devemos escrever as derivadas: x

    yxv

    y

    yxu

    y

    yxv

    x

    yxu

    ),(;

    ),(;

    ),(;

    ),(

    ;),(

    x

    yxux

    y

    yxvy

    ),(

    y

    yxu

    x

    yxvxy

    ),(),(Lembrando que: e

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    3

    2

    1

    211332

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    010),(

    u

    u

    u

    yyyyyy

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    x

    yxu

    3

    2

    1

    123123

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    100),(

    u

    u

    u

    xxxxxx

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    y

    yxu

    3

    2

    1

    211332

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    010),(

    v

    v

    v

    yyyyyy

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    x

    yxv

    Calculando as derivadas:

    3

    2

    1

    123123

    3

    2

    1

    123123

    211332

    122131132332

    100),(

    v

    v

    v

    xxxxxx

    u

    u

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    y

    yxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Escreveremos o campo de deformaes (x,y) em funo de uma matriz L, de

    operadores em derivadas parciais, multiplicado pelos deslocamentos u.

    Luyxv

    yxu

    xy

    y

    x

    xyxv

    yyxu

    yyxv

    xyxu

    xy

    y

    x

    ),(

    ),(0

    0

    ),(),(

    ),(

    ),(

    Voltando a expresso da ENERGIA DE DEFORMAO U:

    vol

    t

    vol

    t

    vol

    xyxyyyxx dVDdVdVU 2

    1

    2

    1

    2

    1

    Lembrando que: Dtt Lei de Hooke para os estados planos de tenso e D tensor constitutivo.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Substituindo as expresses conhecidas teremos:

    nvol

    ttn

    vol

    tt

    vol

    tudVLFDLFudVuLDLudVDU

    21

    2

    1

    2

    1

    com F, dado por:

    123123

    211332

    122131132332

    123123

    211332

    122131132332

    000

    000

    000

    000

    000

    000

    1000

    0001

    2

    1

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    yx

    yx

    AF

    ),(0),(0),(0

    0),(0),(0),(

    2

    1

    321

    321

    yxNyxNyxN

    yxNyxNyxN

    AF

    onde: N1(x,y), N2(x,y) e N3(x,y) so as funes interpoladoras.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    yA

    xxx

    A

    yy

    A

    yxyxyxN

    2

    )(

    2

    )(

    2

    )(),( 233223321

    As funes interpoladoras e suas derivadas so dadas por:

    yA

    xxx

    A

    yy

    A

    yxyxyxN

    2

    )(

    2

    )(

    2

    )(),( 311331132

    yA

    xxx

    A

    yy

    A

    yxyxyxN

    2

    )(

    2

    )(

    2

    )(),( 122112213

    A

    yy

    x

    yxN

    2

    )(),( 321

    A

    xx

    y

    yxN

    2

    )(),( 231

    A

    yy

    x

    yxN

    2

    )(),( 132

    A

    xx

    y

    yxN

    2

    )(),( 312

    A

    yy

    x

    yxN

    2

    )(),( 213

    A

    xx

    y

    yxN

    2

    )(),( 123

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Aplicando o operador de derivadas parciais L, temos:

    ),(0),(0),(0

    0),(0),(0),(0

    0

    321

    321

    yxNyxNyxN

    yxNyxNyxN

    xy

    y

    x

    LFB

    x

    yxN

    y

    yxN

    x

    yxN

    y

    yxN

    x

    yxN

    y

    yxN

    y

    yxN

    y

    yxN

    y

    yxNx

    yxN

    x

    yxN

    x

    yxN

    LFB

    ),(),(),(),(),(),(

    ),(0

    ),(0

    ),(0

    0),(

    0),(

    0),(

    332211

    321

    321

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    211213313223

    123123

    211332

    000

    000

    2

    1

    yyxxyyxxyyxx

    xxxxxx

    yyyyyy

    AB

    Substituindo os valores na matriz B, obtm-se:

    Por fim fazemos: nvol

    ttn udVBDBuU

    21

    com: vol

    t

    local DBdVBk

    Considerando a espessura da chapa pequena e valendo t, fazemos:

    )( DBBtAADBBtdADBBtk ttrea

    t

    local

    Podemos adotar uma espessura unitria e escrever:

    )( DBBAk tlocal

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Desenvolvendo os termos chegamos a:

    211213313223

    123123

    211332

    2112

    1221

    1331

    3113

    3223

    2332

    2

    000

    000

    00

    02

    02

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    2

    1

    yyxxyyxxyyxx

    xxxxxx

    yyyyyy

    yyxx

    xxyy

    yyxx

    xxyy

    yyxx

    xxyy

    AAklocal

    211213313223

    123123

    211332

    2112

    1221

    1331

    3113

    3223

    2332

    000

    000

    00

    02

    02

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    4

    1

    yyxxyyxxyyxx

    xxxxxx

    yyyyyy

    yyxx

    xxyy

    yyxx

    xxyy

    yyxx

    xxyy

    Aklocal

    onde e so as constantes de Lam dadas por:

    211

    E

    12

    EG

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    A matriz de rigidez do elemento ser dada por:

    Para facilitar a leitura adotamos as seguintes relaes:

    213132321 ;; yyWyyWyyW

    123312231 ;; xxVxxVxxV

    )2( M L N

    24

    1P

    AK

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    POTENCIAL DAS AES W:

    dpFudpuWttnt

    FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL :

    dVpFuudVBDBuWU ttnn

    vol

    ttn

    2

    1

    onde:

    y

    x

    p

    pp

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Minimizando o funcional Energia Potencial Total:

    0

    dVpFuudVBDBuWU ttnn

    vol

    ttn

    0

    local

    n

    local

    ntn

    vol

    t fukdVpFudVBDB

    local

    n

    local fuk

    Neste caso, a ordem das matrizes e vetores ser: 161666

    localn

    local fuk

    A montagem da matriz de rigidez global K e do vetor das cargas nodais

    equivalentes f da estrutura segue as mesmas estratgias utilizadas para o

    elemento de viga.

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Montagem do VETOR DE CARGAS NODAIS EQUIVALENTES:

    dpFft

    x

    ),(0),(0),(0

    0),(0),(0),(

    2

    1

    321

    321

    yxNyxNyxN

    yxNyxNyxN

    AF

    onde:

    y

    x

    p

    pp

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    FORMULAO PARAMETRIZADA

    31

    11

    l

    23

    22

    l

    e

    o mesmo elemento CST com funes interpoladoras lineares:

    yxyxu 210),(

    yxyxv 210),(

    12

    31

    11

    l

    1

    2

    23

    22

    l

    e

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Observe que: qrp

    3 e "' 223131 elelq

    e que: 23113131 )()(' eyyexxel

    23213223 )()(" eyyexxel

    Escrevendo a posio de P na forma paramtrica obtemos:

    23221322231113112313 eyyexxeyyexxeyexp

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Mas: 21 eyexp

    e assim,

    3223113 xxxxxx 3223113 yyyyyy

    3212211 1 xxxx 3212211 1 yyyy

    Observe que ligando o ponto P aos vrtices do tringulo, formamos trs novos

    tringulos cujas reas so dadas por:

    223122

    1hlA 11231

    2

    1hlA

    Sabemos que a rea do tringulo :

    1232312

    1

    2

    1hlhlA

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Obviamente, a rea total deve ser dada por: 321 AAAA

    E observando que: 1

    123

    11231

    212

    1

    hl

    hl

    A

    A2

    2; A

    A

    Dividindo por A esquerda e a direita a primeira expresso, temos:

    3213

    213211

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    Com isso podemos reescrever as expresses de x e y anteriores:

    332211 xxxx

    332211 yyyy

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Escrevendo os deslocamentos nodais na forma do vetor un temos:

    nn

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    u

    2

    1

    0

    2

    1

    0

    33

    33

    22

    22

    11

    11

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    1000

    0001

    1000

    0001

    1000

    0001

    nu

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    xxxxxx

    yyyyyy

    yxyxyxyxyxyx

    A

    1

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    123123

    211332

    122131132332

    123123

    211332

    122131132332

    2

    1

    0

    2

    1

    0

    000

    000

    000

    000

    000

    000

    2

    1

    com: 2312311332212 yxyxyxyxyxyxA

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Observe-se que:

    31221213311233202

    1uyxyxuyxyxuyxyx

    A

    32121313212

    1uyyuyyuyy

    A

    31223112322

    1uxxuxxuxx

    A

    31221213311233202

    1vyxyxvyxyxvyxyx

    A

    32121313212

    1vyyvyyvyy

    A

    31223112322

    1vxxvxxvxx

    A

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    yuxxyuxxyuxxxuyyxuyyxuyyuyxyxuyxyxuyxyxA

    yxu 3122311233212131323122121331123322

    1),(

    Substituindo sucessivamente os valores dos e nas expresses de u e v,

    teremos:

    yvxxyvxxyvxxxvyyxvyyxvyyvyxyxvyxyxvyxyxA

    yxv 3122311233212131323122121331123322

    1),(

    Agrupando e colocando em evidncia os parmetros de deslocamentos nodais

    podemos escrever:

    3212211212331311311232332322

    1),( uyxyxxyyxxyyxuyxxyyxyxxyyxuyxxyyxyxxyyx

    Ayxu

    3212211212331311311232332322

    1),( vyxyxxyyxxyyxvyxxyyxyxxyyxvyxxyyxyxxyyx

    Ayxv

    Os termos entre parnteses correspondem as reas dos tringulos A1, A2 e A3

    que tem por vrtice o ponto P de coordenadas genricas x, y.

    3322112

    1),( uAuAuA

    Ayxu 332211

    2

    1),( vAvAvA

    Ayxv

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Desta forma, podemos escrever os deslocamentos u e v em funo dos

    parmetros :

    332211),( uuuyxu

    332211),( vvvyxv

    e os i por: yxxxyyyxyxAA

    A)()(

    2

    123322332

    11

    yxxxyyyxyxAA

    A)()(

    2

    131133113

    22

    yxxxyyyxyxAA

    A)()(

    2

    112211221

    33

    com isso podemos escrever o termo genrico i:

    3,2,1,,;)()(2

    1 kjiyxxxyyyxyx

    Ajkkjjkkji

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Colocando na forma matricial teremos:

    nFu

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    321

    321

    000

    000

    As deformaes so obtidas aplicando o operador de derivadas parciais j

    utilizado anteriormente.

    nLFuv

    u

    xy

    y

    x

    Lu

    0

    0

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    nn BuLFu Explicitando operaes: com B dada por:

    xyxyxy

    yyy

    xxx

    xy

    y

    x

    B

    332211

    321

    321

    321

    321000

    000

    000

    0000

    0

    211213313223

    123123

    211332

    )(

    000

    000)(

    2

    1

    yyxxyyxxyyxx

    xxxxxx

    yyyyyy

    AB

    Novamente considerando a espessura da chapa pequena e valendo t, fazemos:

    )( DBBtAADBBtdADBBtk ttrea

    t

    local

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Adotando a espessura unitria recuperamos: )( DBBAk tlocal

    Uma modificao pode ser introduzida para aplicao aos estados planos de

    deformao (z=0 e z=cte) (Assan, A.E.):

    )( yxz

    A

    t BdADBtE

    k ''1

    '2

    , com D dada por:

    00

    01'

    0'1

    'D

    onde: 21

    '

    E

    E ,

    1' e

    2

    '1

    k

    A

    tEk

    ~

    '14

    '2

    assim:

    Recupera-se o estado plano de tenses fazendo:

    EE ' 'e

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Montagem do VETOR DE CARGAS NODAIS EQUIVALENTES:

    dpFft

    x

    n

    y

    x

    y

    x

    y

    x

    y

    xFp

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    321

    321

    000

    000

    Admitindo variao linear tambm para a carga distribuda no contorno temos:

    321 321 xxxx pppp

    321 321 yyyy pppp

    onde:

    y

    x

    p

    pp

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Explicitando o Vetor de Cargas Nodais Equivalentes:

    dpFFf nt

    x

    16

    62321

    321

    263

    3

    2

    2

    1

    1

    3

    2

    2

    2

    1

    1

    000

    000

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    y

    x

    y

    x

    y

    x

    nt

    p

    p

    p

    p

    p

    p

    pFF

    12

    321

    321

    263

    3

    2

    2

    1

    1

    321

    321

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    yyy

    xxxnt

    ppp

    ppppFF

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    2

    33231

    2

    33231

    23

    2

    221

    23

    2

    221

    1312

    2

    1

    1312

    2

    1

    321

    321

    321

    321

    321

    321

    yyy

    xxx

    yyy

    xxx

    yyy

    xxx

    nt

    ppp

    ppp

    ppp

    ppp

    ppp

    ppp

    pFF

    Operando chegamos a:

    A integral ser executada apenas na parte do contorno de determinado

    elemento que se encontre carregado.

    dpFFf nt

    x

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Considere que apenas o lado l23 est carregado, nesse caso teramos:

    230

    323

    l

    nt dlpFFf

    323 dld

    3

    2

    33231

    3

    2

    33231

    323

    2

    221

    323

    2

    221

    31312

    2

    1

    31312

    2

    1

    321

    321

    321

    321

    321

    321

    dppp

    dppp

    dppp

    dppp

    dppp

    dppp

    f

    yyy

    xxx

    yyy

    xxx

    yyy

    xxx

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Observe que o carregamento no lado l23 implica em 1=0, portanto:

    3

    2

    333

    3

    2

    333

    333

    2

    3

    333

    2

    3

    23

    11

    11

    11

    11

    0

    0

    32

    32

    32

    32

    dpp

    dpp

    dpp

    dpplf

    yy

    xx

    yy

    xx

    Resolvendo-se as integrais, obtm-se:

    32

    32

    32

    32

    3

    1

    6

    13

    1

    6

    16

    1

    3

    16

    1

    3

    10

    0

    23

    yy

    xx

    yy

    xx

    pp

    pp

    pp

    pp

    lf

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Se o carregamento for uniformemente distribudo em uma direo e nulo na

    outra, teramos, px1=px2=p e py1=py2=0, ento:

    0

    0

    0

    0

    2

    123

    p

    plf

    Recuperamos as DEFORMAES fazendo:

    nLFuv

    u

    xy

    y

    x

    Lu

    0

    0

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    nBu

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    xyxyxy

    yyy

    xxx

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    332211

    321

    321

    000

    000

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    211213313223

    123123

    211332

    )(

    000

    000)(

    2

    1

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    yyxxyyxxyyxx

    xxxxxx

    yyyyyy

    A

    Operando obtemos conhecidos os deslocamentos nodais:

  • Mtodos Numricos em Engenharia

    Recuperamos as TENSES fazendo:

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    211213313223

    123123

    211332

    2

    )(

    000

    000)(

    00

    01'

    0'1

    '12

    '

    v

    u

    v

    u

    v

    u

    yyxxyyxxyyxx

    xxxxxx

    yyyyyy

    A

    E

    xy

    y

    x

    onde: 21

    '

    E

    E ,

    1' e

    2

    '1