Elementos Finitos

MTODOS NUMRICOS EM
ENGENHARIA
O Mtodo dos Elementos Finitos

Mtodos Numricos em Engenharia
APLICAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AOS SLIDOS.
O prximo passo passar a soluo de problemas planos, superfcies curvas
e slidos tridimensionais.

A primeira tarefa estabelecer elementos geomtricos que permitam aproximar
as superfcies curvas ou planas de slidos e seus contornos.
Utilizam-se figuras geomtricas simples para aproximar contornos, salincias e
reentrncias. Os tringulos e retngulos planos e curvos so os utilizados, o
refinamento das redes possvel aumentando o nmero de ns nos contornos
ou reduzindo as dimenses dos elementos.

EXEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS.
Os tringulos abaixo so usados para aproximar pobremente uma superfcie.
fcil notar que se fossem os tringulos de seis ns a representao da
geometria seria melhor. Nos dois casos os elementos so tridimensionais e
poderiam ser do tipo membrana fina ou espessos.

De acordo com as funes interpoladoras utilizadas teremos as famlias de
elementos finitos. Veremos a seguir que as funes interpoladoras do campo de
deslocamentos usuais para os tringulos de trs ns so:
yxyxu 210),(
yxyxv 210),(
Observe que geometria (coordenadas dos pontos nodais) e deslocamentos
esto associados aos mesmos pontos (vrtices) do contorno do tringulo.

Famlia dos elementos ISOPARAMTRICOS: Os pontos nodais que definem a
geometria do elemento so interpolados pelas mesmas funes e so os
mesmos pontos que para os quais se determinam os deslocamentos.
Elementos Triangulares Isoparamtricos.
2
54
2
3210),( yxyxyxyxu
2
54
2
3210),( yxyxyxyxv

Famlia dos elementos Isoparamtricos LAGRANGEANOS.
Como vimos anteriormente, as funes interpoladoras para os elementos
triangulares contm todos os termos do polinmio intepolador.
O mesmo no ocorre para os elementos retangulares, estes compem a
famlia dos Lagrangeanos com polinmios interpoladores copostos pala
seguinte regra:
2
8
2
7
22
6
2
5
2
43210),( yxyyxyxxxyyxyxu
xyyxyxu 3210),(
xyyxyxv 3210),(
2
8
2
7
22
6
2
5
2
43210),( yxyyxyxxxyyxyxv

Famlia dos elementos Isoparamtricos SERENDIPITY.
O termo Serendipity uma referncia a um conto infantil
Persa Os trs prncipes de Serendip, que conta as
aventuras de trs prncipes do Ceilo, atual Sri Lanka,
que viviam fazendo descobertas inesperadas, cujos
resultados eles no estavam procurando realmente.
Graas s suas capacidade de observao e
sagacidade, descobriam acidentalmente a soluo
para dilemas impensados. Essa caracterstica tornava-
os especiais e importantes, no apenas por terem um
dom especial, mas por terem a mente aberta para as
mltiplas possibilidades.
(Vaz, L.E.; Mtodo dos Elementos Finitos em Anlise de Estruturas, Ed.
Campus, Elsevier, 2011.)
http://www.recantodasletras.com.br/ensaios/2461955

Os elementos Serendipity tem pontos nodais apenas em seus contornos, isso
reduz a dimenso da matriz de rigidez desses elementos. possvel, atravs
da condensao esttica, transformar o elemento Lagrangeano em elemento
com ns apenas nos contornos, ainda assim no se tratar de elemento
Serendipity.
2
7
2
6
2
5
2
43210),( yxyyxxxyyxyxu
2
7
2
6
2
5
2
43210),( yxyyxxxyyxyxv

As famlias de elementos descritos anteriormente estendem-se ao caso dos
slidos. Neste caso o mais simples o TETRAEDRO de quatro ns.
Famlia dos slidos LAGRANGEANOS:
Famlia dos slidos SERENDIPITY:
Elementos SUPERPARAMTRICOS: Nmero de pontos a definir a forma
maior que o nmero de pontos para os quais se determinar o valor da
grandeza em estudo.
Elementos SUBPARAMTRICOS: Nmero de pontos a definir a forma
menor que o nmero de pontos para os quais se determinar o valor da
grandeza em estudo.

CHAPA: Elemento bidimensional plano, simtrico com relao ao seu plano
mdio, dimenses de mesma ordem de grandeza nesse plano ambas muito
maiores que sua espessura, com carregamento cuja resultante deve
obrigatoriamente estar contida no plano mdio.
Os tringulos sero, geralmente, de trs, seis e dez ns, e os quadrilteros de
quatro, oito ou nove ns. Observa-se no entanto que as possibilidades vo
muito alm destas.
Nos limitaremos ao estudo das CHAPAS PLANAS discretizadas com
elementos triangulares.

FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL
)()()( uWuUu Sabemos que esse funcional dado por:
com U() energia de deformao e W()=ext o potencial das aes dados
em funo do campo de deslocamentos (x,y).
Consideraremos agora o caso plano (estado plano de tenses):
yxx
Ex
yxu
1),(
xyy
Ey
yxv
1),(
xyxyxy
GEy
yxu
x
yxv
112),(),(
chyx tll

ENERGIA DE DEFORMAO U:
vol
xyxyyyxx
vol
dVdVuU 2
10
onde: u0 a energia de deformao especfica e:
xx E yy E xyxy G
Componentes nos estados planos:
de tenso: ;xyyxt xyyxt
de deformao: ;xyzyxt xyzyxt
vol
x dVE
Uxyy
222
)1(2
1
2
assim teremos:

O primeiro elemento finito que se apresenta o tringulo de trs ns, ou CST
(de Constant Strain Triangle), os parmetros nodais considerados para cada
n sero seus deslocamentos horizontais e verticais.
As funes aproximadoras para os deslocamentos nodais linear em x e y,
por isso suas derivadas, que representaro as deformaes, resultam
constantes.
~),(1),(
2
1
0
210 yxfyxyxyxu
~
),(1),(
2
1
0
210 yxfyxyxyxv

Agrupando e ordenando os coeficientes obtemos o seguinte:
2
1
0
2
1
0
33
33
22
22
11
11
3
3
2
2
1
1
1000
0001
1000
0001
1000
0001
yx
yx
yx
yx
yx
yx
v
u
v
u
v
u
u n
nu
v
u
v
u
v
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
A
1
3
3
2
2
1
1
123123
211332
122131132332
123123
211332
122131132332
2
1
0
2
1
0
000
000
000
000
000
000
2
1
com: 2312311332212 yxyxyxyxyxyxA

Reescrevendo na forma matricial os deslocamentos u(x,y) e v(x,y):
3
2
1
123123
211332
122131132332
3
1
0
11),(
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
yxyxyxu
3
2
1
123123
211332
122131132332
3
1
0
11),(
v
v
v
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
yxyxyxv
Devemos escrever as derivadas: x
yxv
y
yxu
y
yxv
x
yxu
),(;
),(;
),(;
),(
;),(
x
yxux
y
yxvy
),(
y
yxu
x
yxvxy
),(),(Lembrando que: e

3
2
1
211332
3
2
1
123123
211332
122131132332
010),(
u
u
u
yyyyyy
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
x
yxu
3
2
1
123123
3
2
1
123123
211332
122131132332
100),(
u
u
u
xxxxxx
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
y
yxu
3
2
1
211332
3
2
1
123123
211332
122131132332
010),(
v
v
v
yyyyyy
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
x
yxv
Calculando as derivadas:
3
2
1
123123
3
2
1
123123
211332
122131132332
100),(
v
v
v
xxxxxx
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
y
yxv

Escreveremos o campo de deformaes (x,y) em funo de uma matriz L, de
operadores em derivadas parciais, multiplicado pelos deslocamentos u.
Luyxv
yxu
xy
y
x
xyxv
yyxu
yyxv
xyxu
xy
y
x
),(
),(0
0
),(),(
),(
),(
Voltando a expresso da ENERGIA DE DEFORMAO U:
vol
t
vol
t
vol
xyxyyyxx dVDdVdVU 2
1
2
1
2
1
Lembrando que: Dtt Lei de Hooke para os estados planos de tenso e D tensor constitutivo.

Substituindo as expresses conhecidas teremos:
nvol
ttn
vol
tt
vol
tudVLFDLFudVuLDLudVDU
21
2
1
2
1
com F, dado por:
123123
211332
122131132332
123123
211332
122131132332
000
000
000
000
000
000
1000
0001
2
1
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
yx
yx
AF
),(0),(0),(0
0),(0),(0),(
2
1
321
321
yxNyxNyxN
yxNyxNyxN
AF
onde: N1(x,y), N2(x,y) e N3(x,y) so as funes interpoladoras.

yA
xxx
A
yy
A
yxyxyxN
2
)(
2
)(
2
)(),( 233223321
As funes interpoladoras e suas derivadas so dadas por:
yA
xxx
A
yy
A
yxyxyxN
2
)(
2
)(
2
)(),( 311331132
yA
xxx
A
yy
A
yxyxyxN
2
)(
2
)(
2
)(),( 122112213
A
yy
x
yxN
2
)(),( 321
A
xx
y
yxN
2
)(),( 231
A
yy
x
yxN
2
)(),( 132
A
xx
y
yxN
2
)(),( 312
A
yy
x
yxN
2
)(),( 213
A
xx
y
yxN
2
)(),( 123

Aplicando o operador de derivadas parciais L, temos:
),(0),(0),(0
0),(0),(0),(0
0
321
321
yxNyxNyxN
yxNyxNyxN
xy
y
x
LFB
x
yxN
y
yxN
x
yxN
y
yxN
x
yxN
y
yxN
y
yxN
y
yxN
y
yxNx
yxN
x
yxN
x
yxN
LFB
),(),(),(),(),(),(
),(0
),(0
),(0
0),(
0),(
0),(
332211
321
321

211213313223
123123
211332
000
000
2
1
yyxxyyxxyyxx
xxxxxx
yyyyyy
AB
Substituindo os valores na matriz B, obtm-se:
Por fim fazemos: nvol
ttn udVBDBuU
21
com: vol
t
local DBdVBk
Considerando a espessura da chapa pequena e valendo t, fazemos:
)( DBBtAADBBtdADBBtk ttrea
t
local
Podemos adotar uma espessura unitria e escrever:
)( DBBAk tlocal

Desenvolvendo os termos chegamos a:
211213313223
123123
211332
2112
1221
1331
3113
3223
2332
2
000
000
00
02
02
0
0
0
0
0
0
2
1
yyxxyyxxyyxx
xxxxxx
yyyyyy
yyxx
xxyy
yyxx
xxyy
yyxx
xxyy
AAklocal
211213313223
123123
211332
2112
1221
1331
3113
3223
2332
000
000
00
02
02
0
0
0
0
0
0
4
1
yyxxyyxxyyxx
xxxxxx
yyyyyy
yyxx
xxyy
yyxx
xxyy
yyxx
xxyy
Aklocal
onde e so as constantes de Lam dadas por:
211
E
12
EG

A matriz de rigidez do elemento ser dada por:
Para facilitar a leitura adotamos as seguintes relaes:
213132321 ;; yyWyyWyyW
123312231 ;; xxVxxVxxV
)2( M L N
24
1P
AK

POTENCIAL DAS AES W:
dpFudpuWttnt
FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL :
dVpFuudVBDBuWU ttnn
vol
ttn
2
1
onde:
y
x
p
pp

Minimizando o funcional Energia Potencial Total:
0
dVpFuudVBDBuWU ttnn
vol
ttn
0
local
n
local
ntn
vol
t fukdVpFudVBDB
local
n
local fuk
Neste caso, a ordem das matrizes e vetores ser: 161666
localn
local fuk
A montagem da matriz de rigidez global K e do vetor das cargas nodais
equivalentes f da estrutura segue as mesmas estratgias utilizadas para o
elemento de viga.

Montagem do VETOR DE CARGAS NODAIS EQUIVALENTES:
dpFft
x
),(0),(0),(0
0),(0),(0),(
2
1
321
321
yxNyxNyxN
yxNyxNyxN
AF
onde:
y
x
p
pp

FORMULAO PARAMETRIZADA
31
11
l
23
22
l
e
o mesmo elemento CST com funes interpoladoras lineares:
yxyxu 210),(
yxyxv 210),(
12
31
11
l
1
2
23
22
l
e

Observe que: qrp
3 e "' 223131 elelq
e que: 23113131 )()(' eyyexxel
23213223 )()(" eyyexxel
Escrevendo a posio de P na forma paramtrica obtemos:
23221322231113112313 eyyexxeyyexxeyexp

Mas: 21 eyexp
e assim,
3223113 xxxxxx 3223113 yyyyyy
3212211 1 xxxx 3212211 1 yyyy
Observe que ligando o ponto P aos vrtices do tringulo, formamos trs novos
tringulos cujas reas so dadas por:
223122
1hlA 11231
2
1hlA
Sabemos que a rea do tringulo :
1232312
1
2
1hlhlA

Obviamente, a rea total deve ser dada por: 321 AAAA
E observando que: 1
123
11231
212
1
hl
hl
A
A2
2; A
A
Dividindo por A esquerda e a direita a primeira expresso, temos:
3213
213211
A
A
A
A
A
A
A
A
Com isso podemos reescrever as expresses de x e y anteriores:
332211 xxxx
332211 yyyy

Escrevendo os deslocamentos nodais na forma do vetor un temos:
nn
yx
yx
yx
yx
yx
yx
v
u
v
u
v
u
u
2
1
0
2
1
0
33
33
22
22
11
11
3
3
2
2
1
1
1000
0001
1000
0001
1000
0001
nu
v
u
v
u
v
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
A
1
3
3
2
2
1
1
123123
211332
122131132332
123123
211332
122131132332
2
1
0
2
1
0
000
000
000
000
000
000
2
1
com: 2312311332212 yxyxyxyxyxyxA

Observe-se que:
31221213311233202
1uyxyxuyxyxuyxyx
A
32121313212
1uyyuyyuyy
A
31223112322
1uxxuxxuxx
A
31221213311233202
1vyxyxvyxyxvyxyx
A
32121313212
1vyyvyyvyy
A
31223112322
1vxxvxxvxx
A

yuxxyuxxyuxxxuyyxuyyxuyyuyxyxuyxyxuyxyxA
yxu 3122311233212131323122121331123322
1),(
Substituindo sucessivamente os valores dos e nas expresses de u e v,
teremos:
yvxxyvxxyvxxxvyyxvyyxvyyvyxyxvyxyxvyxyxA
yxv 3122311233212131323122121331123322
1),(
Agrupando e colocando em evidncia os parmetros de deslocamentos nodais
podemos escrever:
3212211212331311311232332322
1),( uyxyxxyyxxyyxuyxxyyxyxxyyxuyxxyyxyxxyyx
Ayxu
3212211212331311311232332322
1),( vyxyxxyyxxyyxvyxxyyxyxxyyxvyxxyyxyxxyyx
Ayxv
Os termos entre parnteses correspondem as reas dos tringulos A1, A2 e A3
que tem por vrtice o ponto P de coordenadas genricas x, y.
3322112
1),( uAuAuA
Ayxu 332211
2
1),( vAvAvA
Ayxv

Desta forma, podemos escrever os deslocamentos u e v em funo dos
parmetros :
332211),( uuuyxu
332211),( vvvyxv
e os i por: yxxxyyyxyxAA
A)()(
2
123322332
11
yxxxyyyxyxAA
A)()(
2
131133113
22
yxxxyyyxyxAA
A)()(
2
112211221
33
com isso podemos escrever o termo genrico i:
3,2,1,,;)()(2
1 kjiyxxxyyyxyx
Ajkkjjkkji

Colocando na forma matricial teremos:
nFu
v
u
v
u
v
u
v
u
3
3
2
2
1
1
321
321
000
000
As deformaes so obtidas aplicando o operador de derivadas parciais j
utilizado anteriormente.
nLFuv
u
xy
y
x
Lu
0
0

nn BuLFu Explicitando operaes: com B dada por:
xyxyxy
yyy
xxx
xy
y
x
B
332211
321
321
321
321000
000
000
0000
0
211213313223
123123
211332
)(
000
000)(
2
1
yyxxyyxxyyxx
xxxxxx
yyyyyy
AB
Novamente considerando a espessura da chapa pequena e valendo t, fazemos:
)( DBBtAADBBtdADBBtk ttrea
t
local

Adotando a espessura unitria recuperamos: )( DBBAk tlocal
Uma modificao pode ser introduzida para aplicao aos estados planos de
deformao (z=0 e z=cte) (Assan, A.E.):
)( yxz
A
t BdADBtE
k ''1
'2
, com D dada por:
00
01'
0'1
'D
onde: 21
'
E
E ,
1' e
2
'1
k
A
tEk
~
'14
'2
assim:
Recupera-se o estado plano de tenses fazendo:
EE ' 'e

Montagem do VETOR DE CARGAS NODAIS EQUIVALENTES:
dpFft
x
n
y
x
y
x
y
x
y
xFp
p
p
p
p
p
p
p
p
3
3
2
2
1
1
321
321
000
000
Admitindo variao linear tambm para a carga distribuda no contorno temos:
321 321 xxxx pppp
321 321 yyyy pppp
onde:
y
x
p
pp

Explicitando o Vetor de Cargas Nodais Equivalentes:
dpFFf nt
x
16
62321
321
263
3
2
2
1
1
3
2
2
2
1
1
000
000
0
0
0
0
0
0
y
x
y
x
y
x
nt
p
p
p
p
p
p
pFF
12
321
321
263
3
2
2
1
1
321
321
0
0
0
0
0
0
yyy
xxxnt
ppp
ppppFF

2
33231
2
33231
23
2
221
23
2
221
1312
2
1
1312
2
1
321
321
321
321
321
321
yyy
xxx
yyy
xxx
yyy
xxx
nt
ppp
ppp
ppp
ppp
ppp
ppp
pFF
Operando chegamos a:
A integral ser executada apenas na parte do contorno de determinado
elemento que se encontre carregado.
dpFFf nt
x

Considere que apenas o lado l23 est carregado, nesse caso teramos:
230
323
l
nt dlpFFf
323 dld
3
2
33231
3
2
33231
323
2
221
323
2
221
31312
2
1
31312
2
1
321
321
321
321
321
321
dppp
dppp
dppp
dppp
dppp
dppp
f
yyy
xxx
yyy
xxx
yyy
xxx

Observe que o carregamento no lado l23 implica em 1=0, portanto:
3
2
333
3
2
333
333
2
3
333
2
3
23
11
11
11
11
0
0
32
32
32
32
dpp
dpp
dpp
dpplf
yy
xx
yy
xx
Resolvendo-se as integrais, obtm-se:
32
32
32
32
3
1
6
13
1
6
16
1
3
16
1
3
10
0
23
yy
xx
yy
xx
pp
pp
pp
pp
lf

Se o carregamento for uniformemente distribudo em uma direo e nulo na
outra, teramos, px1=px2=p e py1=py2=0, ento:
0
0
0
0
2
123
p
plf
Recuperamos as DEFORMAES fazendo:
nLFuv
u
xy
y
x
Lu
0
0

nBu
v
u
v
u
v
u
xyxyxy
yyy
xxx
3
3
2
2
1
1
332211
321
321
000
000
3
3
2
2
1
1
211213313223
123123
211332
)(
000
000)(
2
1
v
u
v
u
v
u
yyxxyyxxyyxx
xxxxxx
yyyyyy
A
Operando obtemos conhecidos os deslocamentos nodais:

Recuperamos as TENSES fazendo:
3
3
2
2
1
1
211213313223
123123
211332
2
)(
000
000)(
00
01'
0'1
'12
'
v
u
v
u
v
u
yyxxyyxxyyxx
xxxxxx
yyyyyy
A
E
xy
y
x
onde: 21
'
E
E ,
1' e
2
'1

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