MTODOS NUMRICOS EM
ENGENHARIA
O Mtodo dos Elementos Finitos
Mtodos Numricos em Engenharia
APLICAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AOS SLIDOS.
O prximo passo passar a soluo de problemas planos, superfcies curvas
e slidos tridimensionais.
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A primeira tarefa estabelecer elementos geomtricos que permitam aproximar
as superfcies curvas ou planas de slidos e seus contornos.
Utilizam-se figuras geomtricas simples para aproximar contornos, salincias e
reentrncias. Os tringulos e retngulos planos e curvos so os utilizados, o
refinamento das redes possvel aumentando o nmero de ns nos contornos
ou reduzindo as dimenses dos elementos.
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EXEMPLOS DE ELEMENTOS FINITOS.
Os tringulos abaixo so usados para aproximar pobremente uma superfcie.
fcil notar que se fossem os tringulos de seis ns a representao da
geometria seria melhor. Nos dois casos os elementos so tridimensionais e
poderiam ser do tipo membrana fina ou espessos.
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De acordo com as funes interpoladoras utilizadas teremos as famlias de
elementos finitos. Veremos a seguir que as funes interpoladoras do campo de
deslocamentos usuais para os tringulos de trs ns so:
yxyxu 210),(
yxyxv 210),(
Observe que geometria (coordenadas dos pontos nodais) e deslocamentos
esto associados aos mesmos pontos (vrtices) do contorno do tringulo.
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Famlia dos elementos ISOPARAMTRICOS: Os pontos nodais que definem a
geometria do elemento so interpolados pelas mesmas funes e so os
mesmos pontos que para os quais se determinam os deslocamentos.
Elementos Triangulares Isoparamtricos.
2
54
2
3210),( yxyxyxyxu
2
54
2
3210),( yxyxyxyxv
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Famlia dos elementos Isoparamtricos LAGRANGEANOS.
Como vimos anteriormente, as funes interpoladoras para os elementos
triangulares contm todos os termos do polinmio intepolador.
O mesmo no ocorre para os elementos retangulares, estes compem a
famlia dos Lagrangeanos com polinmios interpoladores copostos pala
seguinte regra:
2
8
2
7
22
6
2
5
2
43210),( yxyyxyxxxyyxyxu
xyyxyxu 3210),(
xyyxyxv 3210),(
2
8
2
7
22
6
2
5
2
43210),( yxyyxyxxxyyxyxv
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Famlia dos elementos Isoparamtricos SERENDIPITY.
O termo Serendipity uma referncia a um conto infantil
Persa Os trs prncipes de Serendip, que conta as
aventuras de trs prncipes do Ceilo, atual Sri Lanka,
que viviam fazendo descobertas inesperadas, cujos
resultados eles no estavam procurando realmente.
Graas s suas capacidade de observao e
sagacidade, descobriam acidentalmente a soluo
para dilemas impensados. Essa caracterstica tornava-
os especiais e importantes, no apenas por terem um
dom especial, mas por terem a mente aberta para as
mltiplas possibilidades.
(Vaz, L.E.; Mtodo dos Elementos Finitos em Anlise de Estruturas, Ed.
Campus, Elsevier, 2011.)
http://www.recantodasletras.com.br/ensaios/2461955
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Os elementos Serendipity tem pontos nodais apenas em seus contornos, isso
reduz a dimenso da matriz de rigidez desses elementos. possvel, atravs
da condensao esttica, transformar o elemento Lagrangeano em elemento
com ns apenas nos contornos, ainda assim no se tratar de elemento
Serendipity.
2
7
2
6
2
5
2
43210),( yxyyxxxyyxyxu
2
7
2
6
2
5
2
43210),( yxyyxxxyyxyxv
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As famlias de elementos descritos anteriormente estendem-se ao caso dos
slidos. Neste caso o mais simples o TETRAEDRO de quatro ns.
Famlia dos slidos LAGRANGEANOS:
Famlia dos slidos SERENDIPITY:
Elementos SUPERPARAMTRICOS: Nmero de pontos a definir a forma
maior que o nmero de pontos para os quais se determinar o valor da
grandeza em estudo.
Elementos SUBPARAMTRICOS: Nmero de pontos a definir a forma
menor que o nmero de pontos para os quais se determinar o valor da
grandeza em estudo.
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CHAPA: Elemento bidimensional plano, simtrico com relao ao seu plano
mdio, dimenses de mesma ordem de grandeza nesse plano ambas muito
maiores que sua espessura, com carregamento cuja resultante deve
obrigatoriamente estar contida no plano mdio.
Os tringulos sero, geralmente, de trs, seis e dez ns, e os quadrilteros de
quatro, oito ou nove ns. Observa-se no entanto que as possibilidades vo
muito alm destas.
Nos limitaremos ao estudo das CHAPAS PLANAS discretizadas com
elementos triangulares.
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FUNCIONAL ENERGIA POTENCIAL TOTAL
)()()( uWuUu Sabemos que esse funcional dado por:
com U() energia de deformao e W()=ext o potencial das aes dados
em funo do campo de deslocamentos (x,y).
Consideraremos agora o caso plano (estado plano de tenses):
yxx
Ex
yxu
1),(
xyy
Ey
yxv
1),(
xyxyxy
GEy
yxu
x
yxv
112),(),(
chyx tll
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ENERGIA DE DEFORMAO U:
vol
xyxyyyxx
vol
dVdVuU 2
10
onde: u0 a energia de deformao especfica e:
xx E yy E xyxy G
Componentes nos estados planos:
de tenso: ;xyyxt xyyxt
de deformao: ;xyzyxt xyzyxt
vol
x dVE
Uxyy
222
)1(2
1
2
assim teremos:
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O primeiro elemento finito que se apresenta o tringulo de trs ns, ou CST
(de Constant Strain Triangle), os parmetros nodais considerados para cada
n sero seus deslocamentos horizontais e verticais.
As funes aproximadoras para os deslocamentos nodais linear em x e y,
por isso suas derivadas, que representaro as deformaes, resultam
constantes.
~),(1),(
2
1
0
210 yxfyxyxyxu
~
),(1),(
2
1
0
210 yxfyxyxyxv
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Agrupando e ordenando os coeficientes obtemos o seguinte:
2
1
0
2
1
0
33
33
22
22
11
11
3
3
2
2
1
1
1000
0001
1000
0001
1000
0001
yx
yx
yx
yx
yx
yx
v
u
v
u
v
u
u n
nu
v
u
v
u
v
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
A
1
3
3
2
2
1
1
123123
211332
122131132332
123123
211332
122131132332
2
1
0
2
1
0
000
000
000
000
000
000
2
1
com: 2312311332212 yxyxyxyxyxyxA
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Reescrevendo na forma matricial os deslocamentos u(x,y) e v(x,y):
3
2
1
123123
211332
122131132332
3
1
0
11),(
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
yxyxyxu
3
2
1
123123
211332
122131132332
3
1
0
11),(
v
v
v
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
yxyxyxv
Devemos escrever as derivadas: x
yxv
y
yxu
y
yxv
x
yxu
),(;
),(;
),(;
),(
;),(
x
yxux
y
yxvy
),(
y
yxu
x
yxvxy
),(),(Lembrando que: e
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3
2
1
211332
3
2
1
123123
211332
122131132332
010),(
u
u
u
yyyyyy
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
x
yxu
3
2
1
123123
3
2
1
123123
211332
122131132332
100),(
u
u
u
xxxxxx
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
y
yxu
3
2
1
211332
3
2
1
123123
211332
122131132332
010),(
v
v
v
yyyyyy
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
x
yxv
Calculando as derivadas:
3
2
1
123123
3
2
1
123123
211332
122131132332
100),(
v
v
v
xxxxxx
u
u
u
xxxxxx
yyyyyy
yxyxyxyxyxyx
y
yxv
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Escreveremos o campo de deformaes (x,y) em funo de uma matriz L, de
operadores em derivadas parciais, multiplicado pelos deslocamentos u.
Luyxv
yxu
xy
y
x
xyxv
yyxu
yyxv
xyxu
xy
y
x
),(
),(0
0
),(),(
),(
),(
Voltando a expresso da ENERGIA DE DEFORMAO U:
vol
