Eletricidade e eletromagnetismo

Correntes alternadas I-10

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Equação geral da corrente senoidal |Valor eficaz |

Equação geral da corrente senoidal(Topo pág | Fim pág)

A característica básica de uma corrente alternada é a sua variação, normalmente periódica, com o tempo.

No circuito simples da Figura 01, uma fonte de corrente alternada CA alimenta uma carga genérica (são também usuais as iniciais inglesas AC).

Assim, a tensão e a corrente na carga são funções do tempo, v(t) e i(t) respectivamente (é também usual a notação com dispensa da indicação do tempo, ou seja, v e i simplesmente).

Fig 01

Em circuitos de corrente contínua, é comum simbolizar a carga com um resistor. No caso de CA, dispositivos que armazenam energia como capacitores e indutores têm comportamentos distintos.

No circuito da figura, o símbolo indica uma carga genérica, podendo ser qualquer combinação de resistores, capacitores e indutores.

A corrente alternada mais simples (e usada na prática) é denominada senoidal porque é expressa matematicamente pela função seno.

Em (a) da Figura 02, o gráfico padrão da função sen x para o intervalo 0 < x < 4π.

Entretanto, a formulação mais genérica deve ser

sen(x + φ) #A.1#

Onde φ é o ângulo de fase. Representa um deslocamento angular em relação à origem. Assim, em (a) da figura ocorre φ = 0 e, em (b) da mesma figura, φ > 0.

Fig 02

Segundo relações trigonométricas,

#B.1#

Conclui-se, portanto, que a corrente alternada também pode ser representada pela função co-seno. Nesta série de páginas, ambas as funções podem ser usadas.

Para a adequada representação de tensão e corrente senoidais, segundo a formulação básica do movimento periódico, o ângulo x das igualdades anteriores deve ser igual à velocidade angular (ω) multiplicada pelo tempo (t).

E a função seno (que só varia entre −1 e +1) deve ser multiplicada por um valor indicativo da amplitude ou valor de pico.

Quanto ao ângulo de fase, é comum considerar zero para uma grandeza (tensão, por exemplo) e φ para a outra. Assim, o ângulo φ é a diferença de fase entre corrente e tensão.

Fig 03

Portanto, tensão (v) e corrente (i) senoidais podem ser escritas conforme equações abaixo.

#C.1#

#C.2#

v, i: valores instantâneos. Equivalem às notações v(t) e i(t) respectivamente.Vp, Ip: valores de pico.ω: velocidade angular (unidade SI: rad/s).t: tempo (s).φ: ângulo de fase (rad).

A freqüência (f) é relacionada com a velocidade angular (ω) pela igualdade

#D.1#

Unidade SI da freqüência: hertz Hz, equivalente a 1/s.

O período T é o tempo para um ciclo completo, ou seja, ωT = 2 π. Portanto,

#D.2#

Obs: a velocidade angular (ω) é também denominada frequência angular, em conformidade com a relação #D.1# (é simplesmente a frequência multiplicada pelo fator 2π). Poderia ter a mesma unidade da frequência, uma vez que ângulo é uma grandeza adimensional. Entretanto, para evitar ambiguidades, usa-se quase sempre a unidade rad/s. Em vários estudos, é preferível o uso de ω no lugar de f para eliminar a repetição excessiva do fator 2π.

Valor eficaz(Topo pág | Fim pág)

À primeira vista, pode-se imaginar que a corrente ou tensão em um circuito de corrente alternada são adequadamente especificadas pelos seus valores de pico e demais parâmetros conforme fórmulas do tópico anterior. Entretanto, em muitos casos, é mais interessante uma referência para comparação com corrente contínua.

Em (a) e em (b) da Figura 01, o mesmo resistor R é alimentado com corrente alternada e com corrente contínua, respectivamente.

Para o circuito CC, a potência dissipada é

P = R ICC2 #A.1#

Na corrente alternada, a fórmula acima indica a potência instantânea, que é, evidentemente, variável. Assim, para efeito de comparação, deve ser usada uma integração ao longo de um ciclo (período T), pois ele se repete.

Fig 01

Valor eficaz Ief de uma corrente alternada é o valor de uma corrente contínua

que resulta na mesma dissipação de potência no resistor R. Assim, ao longo de um intervalo de tempo (um período T, por exemplo), a energia fornecida deve ser a mesma.

Considerando que energia é dada pela integração do produto da potência por intervalos de tempo,

#B.1#

R pode ser eliminado em ambos os lados por ser constante. No lado esquerdo, a corrente Ief é supostamente contínua e, portanto, também constante. Assim, a integral nesse lado é facilmente resolvida. Fazendo isso e isolando a corrente,

#B.2#

A fórmula acima corresponde à definição matemática de valor médio quadrático da função i(t). Por isso, o valor eficaz também é assim denominado, de forma mais comum com a sigla rms (do inglês root mean square).

Na igualdade acima, a corrente i(t) pode ser substituída pela relação #C.2# do tópico anterior, aplicando-se também #D.2# do mesmo tópico para expressão de ω em termos do período T. Omitindo o desenvolvimento matemático, o resultado é o valor eficaz da corrente senoidal em função do valor de pico:

#B.3#

Em termos de tensão, a potência dissipada no circuito CC é dada por:

P = (1/R) VCC2 #C.1#

Método similar ao anterior da corrente pode ser usado para o valor eficaz ou rms da tensão. Para o caso senoidal, a tensão eficaz é dada por fórmula semelhante à da corrente:

#C.2#

Valores eficazes para correntes e tensões não senoidais podem ser calculados (ou medidos), mas as fórmulas #B.3# e #C.2# não são, evidentemente, válidas nesses casos.

Na prática (e em muitos desenvolvimentos teóricos), correntes e tensões alternadas são quase sempre referidas por seus valores eficazes. Amperímetros e voltímetros comuns indicam correntes e tensões eficazes. Entretanto, os aparelhos mais simples só servem para a forma senoidal. No caso de correntes ou tensões não senoidais, há tipos mais sofisticados, denominados true rms.

Potência em corrente alternada(Topo pág | Fim pág)

Seja, conforme Figura 01, uma fonte de corrente alternada senoidal que alimenta uma carga qualquer. Segundo página anterior, as expressões da tensão e da corrente em função do tempo são:

#A.1#

#A.2#

O parâmetro φ indica uma situação genérica, pois tensão e corrente não precisam necessariamente estar na mesma fase.

Fig 01

Segundo fórmulas da eletricidade, a potência é dada pelo produto da tensão pela corrente:

#B.1#

Evidentemente, a fórmula acima indica uma potência instantânea, uma vez que tensão e corrente variam com o tempo. Entretanto, na maioria dos casos, deseja-se saber a potência média em um ciclo, que simplifica os cálculos e permite fáceis comparações e estudos.

Aplicando a relação matemática para o valor médio de uma função,

#B.2#

Na relação acima, T é o período (tempo de um ciclo), que, conforme já visto, é calculado em função da frequência angular ω:

#B.3#

Com um pequeno trabalho e uso de relações trigonométricas e de integração, a equação #B.2# pode ser resolvida, chegando-se a:

#C.1#

Conforme página anterior, tensão e corrente eficazes são dadas por:

#D.1#

#D.2#

Combinando essas relações com #C.1#, o resultado é a fórmula da potência:

#E.1#

O cosseno do ângulo de defasagem entre tensão e corrente - cos φ - é denominado fator de potência da carga. Portanto, a potência dissipada em uma carga em corrente alternada pode inclusive ser nula se a diferença de fase é π/2 (cos φ = 0).

O resultado #E.1# mostra outra conveniência do uso de valores eficazes de tensão e corrente: não há necessidade da divisão por 2 de #C.1#. A relação fica similar à fórmula para corrente contínua, com o acréscimo do fator de potência.

Vale notar que, se a carga é um resistor R, a tensão é simplesmente v(t) = R i(t). Não há diferença de fase e cos φ = 1. Assim, a potência na carga resistiva é o produto da tensão eficaz pela corrente eficaz.

Reatância capacitiva(Topo pág | Fim pág)

No circuito da Figura 01, uma tensão supostamente senoidal é aplicada a um capacitor C. Segundo relações básicas da eletricidade, a carga elétrica q de um capacitor é igual ao produto da sua capacitância C pela tensão entre os terminais:

q = C v #A.1#

Fig 01

Derivando em relação ao tempo, dq/dt = C dv/dt. Mas, de acordo com a definição de corrente elétrica (i), dq/dt = i. Portanto,

#A.2#

A tensão aplicada é supostamente senoidal. Assim, conforme já visto,

#B.1#

Substituindo em #A.2#,

#B.2#

Aplicando a igualdade trigonométrica cos x = sen(x + π/2),

#C.1#

Comparando a igualdade acima com #B.1#, conclui-se que, no capacitor, a corrente é adiantada de π/2 (90°) em relação à tensão.

Desde que essa igualdade representa uma corrente senoidal, o fator que multiplica a função seno é a corrente de pico:

#C.2#

Assim, a tensão de pico pode ser dada em função da corrente de pico:

#C.3#

Comparando essa igualdade com a proporcionalidade entre tensão e corrente da lei de Ohm (V = R I), conclui-se que o termo 1/(ωC) deve ter dimensão de resistência elétrica, funcionando como uma espécie de resistência do capacitor à corrente alternada. Ele é denominado reatância capacitiva XC do capacitor:

#D.1#

Substituindo em #C.3#,

#D.2#

Relação similar vale para valores eficazes porque eles são a simples divisão dos de pico pela raiz quadrada de 2. Vale também notar que, num resistor ideal, a resistência R só depende da configuração física. Num capacitor, mesmo ideal, a reatância capacitiva depende da configuração física (capacitância C) e da frequência (ω) da corrente alternada aplicada.

Reatância indutiva(Topo pág | Fim pág)

No caso do indutor (Figura 01 abaixo), a relação básica é tensão proporcional à variação da corrente com o tempo. O fator de proporcionalidade é a indutância L.

#A.1#

Para facilitar o desenvolvimento matemático, supõe-se a aplicação de uma corrente com ângulo de fase −π/2.

#B.1#

Fig 01

Substituindo o valor de i na igualdade #A.1#,

#B.2#

Considerando a identidade trigonométrica, cos x = sen(x + π/2),

#C.1#

Dessa relação e de #B.1#, pode-se concluir que, no indutor, a corrente é atrasada de π/2 (90°) em relação à tensão.

De forma similar à da reatância capacitiva do tópico anterior, define-se para o indutor uma grandeza de dimensão de resistência elétrica, denominada reatância indutiva XL:

#D.1#

E, para o indutor, a tensão de pico é igual ao produto da reatância indutiva pela corrente de pico, de forma semelhante à lei de Ohm para resistores:

#D.2#

A relação acima também vale para valores eficazes. E a reatância indutiva depende da configuração física do indutor (indutância L) e da frequência da corrente aplicada (ω). Entretanto, ao contrário da reatância capacitiva, ela aumenta com o aumento da frequência.

Filtro RL

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No circuito da Figura 01, a série RL é alimentada com uma tensão supostamente senoidal vi. Deseja-se saber a tensão sobre o resistor vo em função da tensão de entrada e dos valores R e L.

De acordo com a lei das tensões de Kirchhoff,

vi = vR + vL = R i + L di/dt #A.1#.

Se a tensão de entrada vi é senoidal, a corrente i também deve ser, Assim, ela

tem a formulação:

i = Ip sen ωt. E a derivada em relação ao tempo é di/dt = ω Ip cos ωt.Substituindo em #A.1#,

Fig 01

vi = R Ip sen ωt + ω L Ip cos ωt #B.1#.

Mas vi é a tensão alternada de uma fonte senoidal. Portanto,

vi = Vp sen(ωt + φ) #B.2#, onde φ é o ângulo de fase entre tensão e corrente.

Usando relações trigonométricas,

vi = Vp cos φ sen ωt + Vp sen φ cos ωt #C.1#.

Substituindo em #B.1#,

R Ip sen ωt + ω L Ip cos ωt = Vp cos φ sen ωt + Vp sen φ cos ωt #C.2#.

Pode-se supor que os coeficientes de sen ωt e de cos ωt são iguais para ambos os lados. Então,

R Ip = Vp cos φ #D.1#.

ω L Ip = Vp sen φ #D.2#. Dividindo ambas, tan φ = ω L / R #D.3#.

Elevando #D.1# ao quadrado e reagrupando, Vp2 = R2 Ip2 / cos2φ #E.1#.

Agora, é aplicada a igualdade trigonométrica 1 + tan2φ = 1 / cos2φ #E.2#. Substituindo em #E.1#,

Vp2 = R2 Ip2 (1 + tan2φ) = R2 Ip2 ( 1 + ω2 L2 / R2 ) = Ip2 (R2 + ω2 L2). Ou

Vp = Ip √ (R2 + ω2 L2) #E.3# Substituindo em #B.2#,.

vi = Ip √ (R2 + ω2 L2) sen(ωt + φ) #F.1#, onde tan φ = ω L / R #F.2#.

Fig 02

A tensão de saída é a tensão no resistor

vo = vR= R i = R Ip sen ωt #G.1#.

Portanto, o valor de pico da tensão de saída é

Vop = R Ip #G.2#.

Para a entrada, conforme #F.1#,

Vip = Ip √ (R2 + ω2 L2) #G.3#.

E a relação entre ambas é

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (ω L/ R)2 ] #H.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (2 π f L/ R)2 ] #H.2#.

O gráfico da Figura 02 dá exemplo típico da variação de Vop / Vip com a freqüência f de acordo com a igualdade anterior (demais parâmetros, L e R, foram arbitrados). A característica notável é a diminuição da tensão de saída com o aumento da freqüência. Por isso, o circuito é também denominado filtro passa-baixas.

Filtro RC

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No circuito da Figura 01 deste tópico, há um capacitor em série com um resistor. É alimentado por uma fonte de corrente alternada senoidal vi e a tensão de saída vo é a tensão no resistor.

vi = Vp sen(ωt + φ) #A.1#.

Conforme a lei das tensões de Kirchhoff, a soma das tensões em um laço é nula. Assim, a tensão da fonte deve ser igual à tensão no resistor mais a tensão no capacitor.

Das relações de eletricidade, para o capacitor: q = C v, onde q é a carga elétrica e C a capacitância.

Portanto, vi = q/C + R i. Ou Vp sen(ωt + φ) = q/C + R i #A.2#.

Derivando em relação ao tempo t e lembrando que a corrente é dada por i = dq/dt,

Fig 01

ω Vp cos(ωt + φ) = R di/dt + (1/C) i #A.3#.

Para a corrente alternada,

i = Ip sen ωt #B.1#.

Portanto, di/dt = ω Ip cos ωt #B.2#. Substituindo esse valor em #A.3#,

ω Vp cos(ωt + φ) = R ω Ip cos ωt + (Ip/C) sen ωt #B.3#.

Usa-se agora a identidade trigonométrica

cos(ωt + φ) = cos ωt cos φ − sen ωt sen φ #C.1#. Substituindo,

ω Vp cos ωt cos φ − ω Vp sen ωt sen φ = R ω Ip cos ωt + (Ip/C) sen ωt.

(ω Vp cos φ − R ω Ip) cos ωt − [ω Vp sen φ + (Ip/C)] sen ωt = 0 #D.1#.

Para ωt = 0, cos ωt = 1 e sen ωt = 0. Assim,

ω Vp cos φ = R ω Ip #D.2#.

Para ωt = π/2, cos ωt = 0 e sen ωt = 1. Assim,

ω Vp sen φ = − (Ip/C) #D.3#.

Dividindo as igualdades,

sen φ / cos φ = − (Ip/C) / R ω Ip. Portanto, tan φ = − 1 / (R ω C) #D.4#.

Simplificando e elevando ao quadrado a igualdade #D.2#,

Vp2 cos2φ = R2 Ip2 #D.5#.

Usando a identidade trigonométrica cos2φ = 1 / (1 + tan2φ) #E.1# e substituindo em #D.5#,

Fig 02

Vp2 / [ 1 + (1/R ω C)2 ] = R2 Ip2.

Ip2 = Vp2 / [ R2 + (1/ωC)2 ].

Ip = Vp / √ [ R2 + (1/ωC)2 ] #E.2#. Ou

Vp = Ip √ [ R2 + (1/ωC)2 ] #E.3#.

Substituindo esse valor em #A.1#,

vi = { Ip √ [R2 + (1/ωC)2] } sen(ωt + φ) #F.1#.

A tensão da saída é vo = vR = R i = R Ip sen ωt #F.2#.

Dividindo os valores de pico de #F.1# e #F.2#,

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (1/RωC)2 ] #G.1#.

Substituindo ω por 2 π f,

Vop / Vip = 1 / √ [ 1 + (1/R 2 π f C)2 ] #G.2#.

A Figura 02 dá um gráfico típico da variação de Vop / Vip com a freqüência e

demais parâmetros (R e C) arbitrados. O circuito atenua as freqüências mais baixas e, por isso, é também denominado filtro passa-altas.

Integrador e diferenciador

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O circuito da Figura 01 abaixo é o circuito do tópico Filtro RC. A tensão de saída é

vo = R i = R Ip sen ωt = R { Vp / √ [ R2 + (1/ωC)2 ] } sen ωt #A.1#, de acordo com igualdades deduzidas no mesmo tópico. Simplificando,

Fig 01

vo = Vp / √ [ 1 + (1/RωC)2 ] sen ωt #A.2#.

Supõe-se agora que a freqüência (e, portanto, a velocidade angular ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é pequeno,

RωC << 1 #B.1#.

Nessa condição, a igualdade anterior (#A.2#) pode ser escrita na forma aproximada

vo ≈ Vp RωC sen ωt #B.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #C.1#.

Considerando a hipótese #B.1#, φ ≈ − π/2 #C.2#.

A tensão de entrada é vi = Vp sen(ωt + φ) #C.3#.

vi = Vp sen(ωt − π/2) = Vp cos ωt #C.4#.

Se tomada a derivada de vi em relação ao tempo, o resultado é

dvi/dt = − Vpω sen ωt #C.5#.

Da igualdade anterior #B.2#, conclui-se facilmente que

vo ≈ − RC dvi/dt #D.1#.

Ou seja, na aproximação considerada, o circuito atua como um diferenciador.

Analisa-se agora a tensão no capacitor vC.

Da relação básica do capacitor, a carga elétrica é q = C vC. Mas a corrente é dada por i = dq/dt. Portanto,

i = C dvC/dt #E.1#.

A tensão é obtida pela integração da expressão acima:

vC = ∫ (1/C) i dt = (1/C) ∫ i dt = (1/C) ∫ Ip sen ωt dt = − ( Ip / ωC ) cos ωt #E.2#.

Segundo #E.2# do tópico Filtro RC,

Ip = Vp / √ [ R2 + (1/ωC)2 ].

Substituindo esse valor de Ip em #E.2# deste tópico,

vC = − { Vp / √ [R2 + (1/ωC)2] / ωC } cos ωt = − { Vp / R √ [1 + (1/RωC)2] / ωC } cos ωt #E.3#.

Neste caso, supõe-se que a freqüência (e, portanto, ω) de operação e os valores de R e C são tais que o produto RωC é muito grande,

RωC >> 1 #F.1#.

E a igualdade anterior é escrita de forma aproximada:

vC ≈ − [ Vp / (RωC) ] cos ωt #F.2#.

Segundo relação #D.4# do tópico mencionado, tan φ = − 1 / (R ω C) #G.1#.

Portanto, na hipótese #F.1#, φ ≈ 0 #G.2#.

Pela definição de tensão alternada, a tensão de entrada é

vi = Vp sen(ωt + φ) ≈ Vp sen ωt porque φ ≈ 0 #G.3#.

Da igualdade anterior #F.2#, pode-se concluir que, neste caso, vale

vC ≈ (1/RC) ∫ vi dt #H.1#.

Portanto, o circuito funciona como um integrador nas condições mencionadas, para tensão de saída tomada sobre o capacitor.

Correntes não senoidais

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Quando a forma da corrente elétrica não é senoidal pura, a análise exige em geral o conceito de Série de Fourier. A página desse link dá algumas informações sobre a matéria.

De modo resumido, pode-se dizer que um sinal periódico qualquer pode ser considerado uma soma de senóides: a primeira, de freqüência mais baixa, é denominada fundamental e as seguintes, de freqüências múltiplas inteiras da fundamental, são denominadas harmônicas.

Este tópico dá exemplos de cálculo do valor eficaz de alguns tipos usuais de correntes não senoidais.

Fig 01

Forma quadrada

Para esse tipo de sinal, representado graficamente na Figura 01, não há necessidade de cálculo especial.

Lembrar que o valor eficaz é calculado pela dissipação de potência em um resistor.

Mas a potência dissipada em um resistor independe do sentido da corrente. Desde que, no sinal quadrado, a corrente tem valor absoluto constante e igual a Ip (só o sentido varia), ele pode ser considerado contínuo para efeito de dissipação de potência. Então,

Ie = Ip #A.1#.

Fig 02

Forma dente de serra

Considerando um ciclo a parte linear entre o menor valor e o maior valor,

i = ( (2 Ip t ) / T ) − Ip = Ip (−1 + 2t/T) #B.1#.

Nessa fórmula, supõe-se tempo inicial nulo, t = 0, no ponto de menor valor.

O valor eficaz é a corrente contínua Ie que dissipa a mesma potência média da corrente i em um resistor genérico de valor R:

(1/T) ∫0,T R Ie2 dt = (1/T) ∫0,T R i2 dt.

Resolvendo a primeira integral e simplificando,

Ie2 = (1/T) ∫0,T i2 dt #C.1#.

Aplicando essa fórmula genérica para o valor de i conforme #B.1#,

Ie2 = (1/T) ∫0,T Ip (−1 + 2t/T)2 dt.

Ie2 = (1/T) Ip2 { ∫0,T dt − (4/T) ∫0,T t dt + (4/T2) ∫0,T t2 dt } = (1/T) Ip2 { T − 2 T + 4 T / 3 } = Ip2 / 3.

Portanto, valor eficaz para a dente de serra da Figura 02:

Ie = Ip / √ 3 #D.1#.

Fig 03

Forma meia senóide

Série de Fourier para essa forma de onda:

i =+ (2 Ip / π)− (4 Ip / 3π) cos 2ωt− (4 Ip / 15π) cos 4ωt − … #E.1#.

Desde que a contribuição de cada componente para a potência não depende das demais,

(Ie)2 = (Ie0)2 + (Ie1)2 + (Ie2)2 + …

Pode-se observar que apenas o componente fundamental (0) e a primeira harmônica (1) são significativos, sendo as demais de pequeno valor. Resolvendo de acordo com a fórmula anterior, chega-se a

Ie ≈ (2 Ip ) / (π) + (2 √ 2 Ip ) / (3π) #F.1#.

Notar que essa corrente tem um componente DC (primeiro termo do lado direito de #E.1#, 2 Ip /π) e que a sua contribuição está considerada no valor eficaz.

Representação complexa para tensão e corrente senoidais

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Em páginas anteriores pode ser visto que a análise de circuitos de corrente alternada com o uso de funções trigonométricas implica equações diferenciais trabalhosas e certa dificuldade de visualização, mesmo nos casos mais simples.

Seja uma tensão senoidal genérica dada pela função co-seno e ângulo de fase (φ) nulo:

v = Vp cos ωt #A.1#.

Seja agora uma tensão fictícia representada pela função seno com os mesmos

parâmetros e multiplicada por um fator a qualquer:

a Vp sen ωt #A.2#. Desde que co-seno e seno diferem apenas no deslocamento angular, pode-se supor que a resposta do circuito será na mesma proporção da anterior (#A.1#).

Considerando o princípio da superposição, pode-se também imaginar que essas duas parcelas podem ser somadas e, no resultado, a parcela correspondente a #A.1# pode ser recuperada:

Vp cos ωt + a Vp sen ωt #A.3#. Se ao fator a é atribuída a unidade imaginária (j = √−1), a expressão torna-se um número complexo, que pode ser dado em

forma exponencial segundo a relação de Euler:

V = Vp cos ωt + j Vp sen ωt = Vp ejωt #A.4#.

Portanto, a tensão original v (de #A.1#) é a parte real (Re) do número complexo acima, ou seja,

v = Re[ V ] = Re[ Vp ejωt ] #A.5#.

Para a corrente senoidal, o procedimento é similar. Neste caso, é considerado um ângulo de fase φ. A tabela abaixo dá o resumo para ambas.

Forma trigonométrica Forma complexa exponencial

Tensão v = Vp cos ωt V = Vp ejωt #B.1#

Corrente i = Ip cos (ωt + φ) I = Ip ej(ωt + φ) #C.1#

Notar que a suposição de fase nula para tensão e φ para corrente é apenas uma questão de simplicidade. Podem ser perfeitamente considerados valores genéricos para cada (φv e φi, por exemplo).

A vantagem da representação complexa é evidente: operações como multiplicação, divisão, derivação e integração são significativamente mais simples com números complexos na forma exponencial.

Mais informações sobre números complexos podem ser consultadas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Impedância complexa

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Na forma complexa da corrente alternada senoidal, o parâmetro equivalente à resistência dos circuitos de corrente contínua é denominado impedância complexa Z e é definido como:

Z = V / I #A.1#.

Considerando as formulações do tópico anterior, V = Vp ejωt e I = Ip ej(ωt + φ), a divisão dos números complexos resulta em

Z = (Vp / Ip) e−jφ #A.2#.

Notar que a impedância tem a mesma dimensão da resistência elétrica e que não é dependente do tempo. Nos próximos itens, fórmulas de impedância para os elementos básicos de circuito.

Fig 01

Resistor

Para um resistor de valor R percorrido por uma corrente I, a tensão é simplesmente

V = R I. Portanto, a impedância é

Z = V / I = R I / I = R #B.1#.

De acordo com a teoria dos números complexos, eles podem ser escritos em coordenadas retangulares na forma:

a + j b, onde a é a parte real e b, a imaginária, que são representadas nos eixos horizontal e vertical respectivamente.

Para maior clareza, pode-se dizer então que a impedância complexa do resistor é

ZR = R + j 0 #B.2#.

Ou seja, é um número complexo com a parte imaginária nula. Graficamente, números complexos podem ser indicados por vetores de componentes iguais às suas partes reais e imaginárias. Ver Figura 01 para esse caso.

Fig 02

Indutor

Seja uma corrente senoidal na forma complexa de acordo com o tópico anterior:

I = Ip ej(ωt + φ). A soma no expoente pode ser separada:

I = Ip ej φ ej ωt. Se essa corrente circula em um indutor de indutância L, a tensão no mesmo, segundo relações da eletricidade, é dada por:

V = L dI/dt = j ω L Ip ej φ ej ωt. E a impedância é ZL = V/I = L dI/dt = j ω L Ip ej φ ej

ωt / [Ip ej φ ej ωt].

Simplificando, ZL = j ω L #C.1#. Ou, para maior clareza,

ZL = 0 + j ω L #C.2#.

Portanto, a impedância complexa de um indutor é um número complexo com a parte real nula e a parte imaginária igual a ωL, que é a sua reatância indutiva XL, conforme visto em página anterior. Representação gráfica na Figura 02.

Fig 03

Capacitor

No caso do capacitor, a relação entre tensão e corrente pode ser indicada pela fórmula dada na página Correntes alternadas I-30:

I = C dV/dt.

A tensão complexa, V = Vp ejωt, pode ser introduzida nessa fórmula:

I = j ω C Vp ejωt. E a impedância é ZC = V/I = 1 / (j ω C) = − j / (ω C) #D.1#. De forma mais clara,

ZC = 0 − j / (ω C) #D.2#.

Ou seja, a impedância complexa para o capacitor é um número complexo com a

parte real nula e a parte imaginária igual a −1 / (ω C), que é o negativo da sua reatância capacitiva XC. Ver Figura 03.

Fig 04

Caso genérico

Para um circuito qualquer, composto por resistores, indutores e capacitores, é lícito supor que a impedância seja dada por:

Z = R + j X #E.1#. Onde,

R é o resultado da combinação das resistências e X é o resultado da combinação de reatâncias indutivas e capacitivas.

A Figura 04 dá a representação gráfica para esse caso. O valor de X pode ser positivo ou negativo, dependendo da predominância de indutores ou de capacitores.

A igualdade acima (#E.1#) equivale á forma exponencial de #A.2#, Z = (Vp / Ip) e−jφ.

Considerando, sem negrito, Z = Vp / Ip, tem-se

Z = Z e−jφ = R + j X #F.1#.

De acordo com relações de números complexos,

Z2 = R2 + X2 #F.2#.

φ = tan−1 X / R #F.3#. Esse ângulo equivale à diferença de fase entre corrente e tensão.

Impedância complexa (cont)

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Na página anterior foram dados os conceitos e desenvolvidas fórmulas para os elementos básicos de circuitos. A tabela #A.1# é um resumo dos resultados obtidos nessa página.

#A.1# Z retang Z exp

Resistor R + j 0 R

Indutor 0 + j ω L ω L ejπ/2

Capacitor 0 − j / (ω C) [ 1/(ω C) ] e−jπ/2

Além do formato em coordenadas retangulares, há uma coluna para o formato exponencial, que pode ser facilmente deduzido a partir dos conceitos de números complexos.

Mais informações sobre números complexos podem ser vistas nas páginas Matemática IB e Calculadora complexa deste site.

Fig 01

Associações de impedâncias

Com o uso das leis de Kirchhoff, é possível deduzir facilmente que agrupamentos em paralelo e em série de impedâncias têm o mesmo comportamento dos de resistências.

Na associação em paralelo conforme (a) da Figura 01, a impedância equivalente é:

(1/Zeq) = (1/Z1) + (1/Z2) + … + (1/Zn) #B.1#.

Para associação em série conforme (b) da figura, Zeq = Z1 + Z2 + … + Zn #B.2#.

Fasores

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Na página anterior foram vistas representações complexas considerando, por simplicidade, ângulo de fase nulo para tensão e qualquer φ para a corrente. Assim, na forma trigonométrica,

v = Vp cos ωt.i = Ip cos (ωt + φ).

Entretanto, no caso mais genérico, deve ser considerado ângulos de fase para ambas. Supondo x uma grandeza que pode ser tanto tensão quanto corrente, a forma senoidal é dada por:

x = Xp cos (ωt + φ).

Na representação complexa exponencial,

X = Xp ej(ωt + φ) #A.1#. A soma do expoente pode ser separada:

X = Xp ejφ ejωt #A.2#.

Na relação acima, pode-se notar que o termo ejωt é a parte dependente do tempo. Na grande maioria das análises de circuitos CA, há uma freqüência (e, por conseqüência, velocidade angular ω) única para todos os componentes. Seja o exemplo abaixo.

Um laço de circuito tem as tensões V1, V2 e V3 tais que V1 = V2 + V3. Usando a forma #A.2#,

V1p ejφ1 ejωt = V2p ejφ

2 ejωt + V3p ejφ3 ejωt.

Assim, esse termo é repetido em todas as parcelas das equações e pode ser suprimido. E a representação complexa da grandeza (tensão ou corrente) fica ainda mais simples:

X = Xp ejφ #B.1#.

Essa forma é denominada fasor para a grandeza X. Portanto, o fasor acima contém apenas informação do valor de pico Xp e do ângulo de fase φ.

É praxe distinguir o fasor através do uso de coordenadas polares com o sinal de ângulo, aqui indicado pela seqüência "/_". Normalmente são usados valores eficazes em lugar dos valores de pico. Unidades de ângulo podem ser graus ou radianos.

• Tensão: Vp/√2 /_φ #C.1#. Exemplo: 120 /_−30° volts.

• Corrente: Ip/√2 /_φ #C.2#. Exemplo: 10 /_π/2 ampères.

Desde que os fasores não têm a variável tempo, os vetores que indicam os números complexos são estáticos e permitem a fácil visualização gráfica das intensidades de tensões e correntes e diferenças de fases entre elas.

Exemplo: Teorema de Thévenin

Com o uso de impedâncias complexas, pode ser aplicado a circuitos AC de forma similar à dos circuitos CC (ver Circuitos elétricos I-80: Correntes contínuas): um circuito de dois terminais de saída como o da Figura 01 equivale à forma simples da Figura 02 com:

Vth = Vab (tensão com os terminais abertos).Zth = Vth / Icc, onde Icc é a corrente com os terminais em curto.

Nesta análise são usados conceitos e fórmulas, dados na série sobre correntes contínuas, que também são válidos para circuitos AC, como leis de Kirchhoff e divisores de tensão.

Sejam dados os valores numéricos para a Figura 01 (é também usual indicar as impedâncias complexas em coordenadas polares):

Fig 01

V = 12 V /_ 0 rad.Z1 = 3 Ω /_ 0,5 rad.Z2 = 2 Ω /_ 0,5 rad.Z3 = 3 Ω /_ 0,5 rad.

Sem carga entre os terminais a e b, não há corrente em Z2. Portanto, a tensão é definida pelo divisor de tensão formado por Z1 e Z3.

Vth = V Z3 / (Z1 + Z3) = (12 /_ 0) (3 /_ 0,5) / [ (3 /_ 0,5) + (3 /_ 0,5) ] = 6 V /_ 0 rad.

Fig 02

Com os terminais em curto, a fonte alimenta Z1 em série com a associação paralela Z2 e Z3.

Z2 || Z3 = (Z2 Z3) / (Z2 + Z3).

Z2 || Z3 = (6 /_ 1) / (5 /_ 0,5) = (1,2 /_ 0,5).

Calculando a associação em série, Z1 + (Z2 || Z3) = (4,2 Ω /_ 0,5 rad).

E a corrente na fonte é dada por

I = V / [ Z1 + (Z2 || Z3) ] = (12 /_ 0) / (4,2 /_ 0,5) = (2,8571 /_ −0,5).

Mas essa é a corrente na fonte. Com os terminais em curto, a corrente que passa por eles é a corrente em Z2, que fica em paralelo com Z3. Portanto,

Icc = I Z3 / (Z2 + Z3) = I / (1 + Z2/Z3 ).

Icc = (2,8571 /_ −0,5) / [ (1 /_ 0) + (2 /_ 0,5)/(3 /_ 0,5) ] = (1,7143 /_ −0,5).

Zth = Vth / Icc = (6 /_ 0) / (1,7143 /_ −0,5) = 3,5 Ω /_ 0,5 rad.

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Exemplo 01:

Determinar a corrente do circuito da Figura 01, considerando os parâmetros informados.

Solução:

Figura 01

A tensão da fonte AC é

V = 5 V 0º.

Freqüência f = 120 Hz. Portanto, velocidade (ou freqüência) angular é dada por:

ω = 2 π f ≈ 753,6 rad/s.

Cada elemento tem sua impedância, conforme Figura 02.

Figura 02

Z1 = 5 + j 0.

Z2 = 0 + j ω L ≈ 0 + j 3,77.

Z3 = 0 − j / (ωC) ≈ 0 − j 132,7.

Z4 = 10 + j 0.

Z = ∑ Zi ≈ 15 − j 128,9.

Convertendo para coordenadas polares, Z ≈ 129,8 −83º.

Corrente

I =V=

5 0º≈ 0,0385 83º .

Z 129,8 −83º

Exemplo 02 (fonte: prova PF 1997, com adaptações): são dados os valores para o circuito da Figura 03.

R = 40 ohms.L = 10 henrys.C = 0,02 farad.v(t) = 800 cos 5t volts.

A corrente estacionária nesse circuito é:

(a) i = cos 5t + 2 sen 5t.(b) i = 10 (cos 5t + sen 5t).(c) i = [exp(−2t)] (sen 5t).

(d) i = [exp(−3t)] (10 sen 5t − 4 cos 5t).

Solução:

A partir do valor dado, v(t) = 800 cos 5t, são deduzidos:

ω = 5 rad/s.V = 800 V 0°.

Figura 03

As impedâncias são calculadas:

ZR = 40 + j 0.ZL = 0 + j ω L = 0 + j 5 10 = 0 + j 50.ZC = 0 − j / (ωC) = 0 − j / (5 0,02) = 0 − j 10.

A impedância total é

Z = Σ Zi = 40 + j 40. Determinando as coordenadas polares,

r = √(402 + 402) = 40 √2φ = tan−1 (40/40) = 45°

Portanto, Z = 40 √2 45°

E a corrente é dada por

I =V=

800 0°= 10 √2 −45°

Z 40 √2 45°

Na forma trigonométrica, considerando o valor de ω anterior, a corrente é

i(t) = 10 √2 cos(5t − 45).

Para uma solução em conformidade com alternativas apresentadas, deve-se usar a relação matemática:

M cos(ωt + φ) = A cos(ωt) − B sen(ωt). Onde:A = M cos φ

B = M sen φ

Calculando para o valor de i(t) anterior,

A = 10 √2 cos(− 45°) = 10 √2 √2 / 2 = 10B = 10 √2 sen(− 45°) = 10 √2 (− √2 / 2) = −10

Substituindo esses valores,

i(t) = 10 √2 cos(5t − 45) = 10 cos 5t + 10 sen 5t = 10 (cos 5t + sen 5t).

Resposta: Alternativa (b).

Notar que, numa prova real, a questão pode ser respondida sem todos esses cálculos. Nas alternativas (c) e (d), em razão das exponenciais, as amplitudes diminuem com o tempo e elas não podem ser correntes estacionárias. Verificando rapidamente que a diferença entre as reatâncias indutiva e capacitiva é 40 e que a resistência também é 40, conclui-se que a impedância complexa deve ter um ângulo de 45º. Assim, a corrente será defasada desse valor e, segundo a relação matemática anterior, isso só pode ocorrer se os coeficientes do seno e do co-seno forem iguais, o que é atendido pela alternativa (b).

Exemplo 03 (fonte: Inmetro 2007, com adaptações):

O circuito elétrico abaixo é alimentado por uma fonte de tensão senoidal cuja freqüência angular é igual a ω. Considerando que esse circuito funcione em regime permanente, julgue os itens subseqüentes.

110) Caso a freqüência angular da tensão seja igual a 20 rad/s, a impedância equivalente nos terminais da fonte, nessa freqüência angular, será composta de uma resistência igual a 10 Ω e de uma reatância indutiva também de valor igual a 10 Ω.

Figura 01

As impedâncias são:

ZR = 10 + j 0ZL = 0 + j ω 0,5

Se ω = 10 rad/s, os módulos das impedâncias são:

ZR = 10 Ω e ZL = 10 Ω , que são, respectivamente, a resistência e a reatância indutiva. Resposta: Certo.

111) Caso a amplitude da tensão da fonte seja igual a 100 V e a freqüência angular seja finita e diferente de zero, circulará pelo circuito corrente cuja fase estará sempre adiantada em relação à fase da tensão.

A impedância total é Z = ZR + ZL = 10 + j ω 0,5. Em termos de fasor,

Z = Z φ, onde:Z = √[102 + (ω 0,5)2]φ = tan−1 (ω 0,5 / 10)

Considerando, por exemplo, a tensão da fonte V α, a corrente será:

I =

V

=

V α

= (V/Z) (α−φ)

, de acordo com as regras para divisão de números complexos.

ZZ φ

Considerando que φ é positivo porque ω é sempre positivo, o ângulo de fase da corrente será menor que o da tensão e, portanto, ela estará atrasada. Resposta: Errado.

Notar que essa condição não depende de um valor particular da tensão, como pode sugerir o enunciado do problema.

112) A relação entre a magnitude da tensão da fonte e a magnitude da corrente no circuito varia linearmente com a freqüência da fonte.

Nas igualdades anteriores, pode-se notar que o módulo da impedância não tem relação linear com a freqüência angular ω. Resposta: Errado.

Potência complexa

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Algumas informações sobre potência em corrente alternada foram dadas na página Correntes alternadas I-20. Aqui estuda-se o caso mais genérico, considerando as representações complexas de tensão e corrente e o conceito de impedância complexa.

Conforme já visto, a impedância complexa Z é, para os circuitos CA, a grandeza equivalente à resistência (R) dos circuitos CC.

A impedância é um número complexo na forma

Z = R + j X #A.1#. Onde a parte real R significa o resultado das resistências elétricas do elemento e a parte imaginária X é a reatância resultante de indutores e capacitores que existirem.

Nos circuitos CC, a potência pode ser calculada pelo produto da resistência pelo quadrado da corrente. Para AC, é então lógico definir uma potência igual ao produto da impedância pelo quadrado da corrente. Neste caso, devem ser usados valores eficazes porque, conforme informado na citada página, evita a divisão por 2, que seria necessária para valores de pico.

Fig 01

Essa grandeza é denominada potência complexa S e pode ser calculada por

S = Z Ief2 = (R + j X) Ief

2 #B.1#.

Segundo a teoria, o produto de um número complexo pelo seu conjugado é o quadrado do módulo. Para o caso da corrente,

Ief2 = Ief Ief*. Da definição de impedância, Vef = Z Ief. Assim, Z Ief

2 = Z Ief Ief* = Vef Ief*. Substituindo em #B.1#, chega-se à fórmula mais comum para a potência complexa:

S = Vef Ief* #C.1#.

Voltando à igualdade #B.1#, a potência complexa pode ser escrita como:

S = P + j Q #D.1#. Onde

P = R Ief2 #D.2#.

Q = X Ief2 #D.3#.

A parcela P corresponde à energia por unidade de tempo efetivamente dissipada na carga, devido a resistências elétricas ou quedas de tensão. Por isso, é denominada potência ativa.

Fig 02

Com uso das fórmulas trigonométricas para tensão e corrente, é possível demonstrar que a parcela Q tem valor médio nulo, correspondendo a trocas de energia entre fonte e carga, em razão de reatâncias indutivas e capacitivas. Por isso, é denominada potência reativa.

Segundo teoria dos números complexos, é possível relacionar #D.1# conforme Figura 02.

O módulo S da potência complexa é denominado potência aparente, valendo a relação

S = √(P2 + Q2) = Vef Ief #E.1#.

Na prática, de acordo com a fórmula acima, a potência aparente pode ser facilmente obtida a partir dos valores medidos de tensão e corrente.

Conforme #B.1#, a potência complexa equivale à impedância multiplicada por um número real (Ief

2). Assim, o ângulo φ corresponde à diferença de fase entre corrente e tensão. O co-seno do mesmo, cos φ, é denominado fator de potência da carga:

cos φ = P / S #E.2#.

Em circuitos reais, é desejável que o fator de potência seja o mais próximo possível da unidade, a fim de evitar superdimensionamento de redes e equipamentos e perdas de energia. É um dos parâmetros mais importantes em instalações de corrente alternada.

A praxe estabeleceu nomes diferenciados para unidades conforme tabela a seguir.

Potência Aparente Ativa Reativa

Unidade volt-ampère wattvolt-ampère

reativo

Símbolo VA W VAR

Valores de instalações práticas costumam estar na faixa de múltiplos como

KVA, kW, kVAR, etc. Observar que volt-ampère (VA), volt-ampère reativo (VAR) e watt (W) são fisicamente a mesma unidade. A diferença é apenas de nome.

Potência complexa: exemplo de cálculo

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No circuito da Figura 01, uma fonte de tensão senoidal Vs em série com uma resistência Rs alimenta uma carga composta por uma resistência R em paralelo com um indutor L. São dados os valores:

Vs = 110 V /_ 0 rad.Rs = 5 Ω.R = 10 Ω.XL = 5 Ω.

Analisar a potência complexa do circuito conforme figura e do circuito sem o indutor na carga (Figura 02).

A impedância da carga Z é calculada da mesma forma que resistências em paralelo (lembrar que a impedância de L é j XL):

1 / Z = 1 / R + 1 / (j XL). Rearranjando a igualdade,

Z = (R j XL) / (R + j XL) = J 50 / (10 + j 5) ≈ (50 /_ 1,57) / (11,18 /_ 0,463) ≈ 4,472 Ω /_ 1,107 rad.

Em coordenadas retangulares, Z ≈ 2,00 + j 4,00.

Fig 01

Rs e Z formam um divisor de tensão para V e ela pode ser facilmente calculada:

V = Vs Z / (Rs + Z).

V = (110 /_ 0) (4,472 /_ 1,107) / (5 + 2,00 + j 4,00).

V ≈ (110 /_ 0) (4,472 /_ 1,107) / (8,062 /_ 0,519).

V ≈ 61,02 /_ 0,588.

E a corrente I é dada por I = V / Z = (61,02 /_ 0,588) / (4,472 /_ 1,107) ≈ 13,64 A /_ −0,519 rad.

Notar o ângulo negativo da corrente, significando que ela é atrasada em relação à tensão Vs (110 V /_ 0 rad), conforme esperado para um conjunto com componentes indutivos.

A potência complexa na carga é dada pela fórmula já vista:

S = V I* = (61,02 /_ 0,588) (13,64 /_ 0,519).

S ≈ (832,3 /_ 1,107) ≈ (372 + j 744) VA. Portanto,

Potência aparente = √(3722 + 7442) ≈ 832 VA.

Potência ativa = 372 W.

Potência reativa = 744 VAR.

Fator de potência: cos φ = 372 / 832 ≈ 0,45.

A potência complexa fornecida pela fonte é

Ss = Vs I* = (110 /_ 0) (13,64 /_ 0,519) ≈ (1500 /_ 0,519) ≈ (1302 + j 744) VA. Portanto,

Potência aparente = √(13022 + 7442) ≈ 1500 VA.

Potência ativa ≈ 1302 W.

Potência reativa ≈ 744 VAR.

Fator de potência: cos φ = 1302 / 1500 ≈ 0,87.

Então, a real transferência de potências pode ser considerada a relação percentual entre potências ativas da carga e da fonte:

100 372 / 1302 ≈ 29 %.

Fig 02

Na Figura 02, o mesmo circuito anterior sem o indutor. O cálculo é feito considerando os mesmos valores de tensão e resistências.

Z = R = (10 /_ 0).

I = Vs / (Rs + Z) = (110 /_ 0) / (15 /_ 0) ≈ 7,33 /_ 0.

V = I Z = (7,33 /_ 0) (10 /_ 0) ≈ 73,3 /_ 0.

S = V I* = (73,3 /_ 0) (7,33 /_ 0) ≈ (537 /_ 0) = (537 + j 0) VA.

Ss = Vs I* = (110 /_ 0) (7,33 /_ 0) ≈ (806 /_ 0) = (806 + j 0) VA.

Relação percentual entre potências ativas 100 537 / 806 ≈ 67%.

Comparando com o resultado anterior, nota-se que a transferência de potência é significativamente maior quando a parte reativa da carga é eliminada.

Grande parte das cargas práticas são indutivas como motores e transformadores. Capacitores em paralelo e adequadamente dimensionados podem contrabalançar a indutância porque as reatâncias indutiva e capacitiva têm sinais opostos.

Esse é o princípio da correção do fator de potência em instalações elétricas. Se a parte reativa da impedância é anulada, ocorre S = P. Assim, cos φ = 1 e a potência transferida é máxima.

Máxima transferência de potência

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No tópico anterior, foi dado um exemplo de cálculo da potência ativa transmitida da fonte para a carga. Neste tópico, considera-se uma situação genérica conforme Figura 01:

Uma fonte ideal Vs em série com uma impedância Zs, que alimenta uma carga de impedância Z.

Fig 01

Em módulo, a corrente é dada por

Ief = Vs ef / |Zs + Z|.

A potência ativa na carga é

P = Ief2 R = R Vs ef

2 / |Zs + Z|2 #A.1#.

As impedâncias complexas são,

Zs = Rs + j Xs #A.2#.

Z = R + j X #A.3#.

A soma delas é dada por

Zs + Z = (Rs + R) + j (Xs + X).

E o módulo da soma é

|Zs + Z|2 = (Rs + R)2 + (Xs + X)2.

Substituindo na igualdade #A.1#,

P = R Vs ef2 / [ (Rs + R)2 + (Xs + X )2] #B.1#.

Para determinar o máximo valor dessa potência em relação aos parâmetros de resistências e reatâncias, deve-se usar derivadas parciais para cada e igualar a zero. Mas, no caso das reatâncias, desde que elas podem ser negativas, nota-se facilmente que o valor máximo ocorre com

Fig 02

(Xs + X) = 0 ou

Xs = − X #B.2#.

No caso das resistências, precisa-se desenvolver as derivadas porque elas não podem ser negativas.

A igualdade #B.1# pode ser reagrupada para

P = Vs ef2 / [ (1/R) (Rs + R)2 + (1/R) (Xs + X )2].

Desde que o valor máximo é procurado, pode-se considerar a condição #B.2# e a relação fica reduzida a

P' = Vs ef2 / [Rs

2/R + 2 Rs + R], que deve ser máximo.

Pode-se derivar toda a expressão acima. Entretanto, é mais fácil usar apenas o denominador, que deve ser mínimo para valor máximo de P, isto é,

[Rs2/R + 2 Rs + R] #C.1# deve ser mínimo.

Neste caso, a derivada deve ser nula.

∂ [Rs2/R + 2 Rs + R] / ∂R = −Rs

2/R2 + 1 = 0.

A solução dessa equação é

R = ± Rs.

Para saber qual solução indica valor mínimo, deve-se usar a segunda derivada

∂2 [Rs2/R + 2 Rs + R] / ∂R2 = 2 Rs

2/R3.

Ela deve ser positiva para valor mínimo, o que confirma a realidade física, porque resistências não são negativas.

Se #C.1# é mínimo, a potência é máxima com

R = Rs #C.2#.

Aplicando as condições #B.2# e #C.2# às igualdades #A.2# e #A.3#, conclui-se facilmente que, para máxima transferência de potência, a impedância da carga deve ser igual ao conjugado complexo da impedância da fonte:

Z = Zs* #D.1#.

Aplicando essa condição a #A.1#, o valor da potência máxima transferida é

Pmax = Vs ef2 / (4 R) #D.2#. Com R = Rs.

Na prática pode-se dizer que, na condição de máxima transferência de potência, o circuito da Figura 01 deve ser equivalente ao da Figura 02 com Rs = R e Xs = − X. Uma reatância deve ser capacitiva e a outra, indutiva devido à oposição de sinais. E isso forma um circuito ressonante em série, tema que é tratado em páginas posteriores.

Capacitor para correção do fator de potência

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No exemplo da página anterior, a transferência de potência ativa é prejudicada pela ação de cargas reativas, isto é, indutores e/ou capacitores.

Na mesma página pode ser visto que o fator de potência é um parâmetro conveniente para avaliar essa transferência porque é dado pela razão entre a potência ativa e a potência aparente. Equivale ao co-seno do ângulo de defasagem entre tensão e corrente. Assim, o seu valor absoluto é sempre menor ou igual a 1. Fator de potência unitário significa potência reativa nula e, portanto, máxima transferência entre fonte e carga.

Nas instalações práticas, a maioria das cargas reativas são indutivas (motores, transformadores). Cargas capacitivas podem ocorrer em casos especiais. Portanto, o que se procura normalmente é um capacitor para contrabalançar a reatância indutiva da carga e, com isso, elevar o fator de potência para 1 ou valor próximo.

A Figura 01 mostra uma situação típica de duas cargas reativas. É comum a especificação das mesmas pela potência ativa e fator de potência (além da tensão, é claro). Supõe-se que sejam dados:

Fig 01

Vef = 500 V.Velocidade angular ω = 377 rad/s ou f ≈ 60 Hz.

P1 = 48 kW.cos φ1 = 0,60 (indutivo).

P2 = 24 kW.cos φ2 = 0,96 (capacitivo).

Com esses dados, deseja-se determinar o capacitor C para que o fator de potência resultante seja unitário.

Inicialmente considera-se que não há o capacitor C no circuito. Nessa condição, a potência complexa do conjunto das duas cargas, S12, é igual à soma das

potências de cada. Desde que se trata de números complexos, as partes reais (P) e imaginárias (Q) devem ser somadas.

Fig 02

|S1| = P1 / |cos φ1| = 48 / 0,60 = 80 kVA.

Q1 = √ (|S1|2 - P12) = √ (802 - 482) = 64 kVAR.

|S2| = P2 / |cos φ2| = 24 / 0,96 = 25 kVA.

Q2 = √ (|S2|2 - P22) = √ (252 - 242) = −7 kVAR.

A potência reativa Q2 deve ter sinal negativo porque a carga 2 é capacitiva conforme dados iniciais.

P12 = P1 + P2 = 48 + 24 = 72 kW.

Q12 = Q1 + Q2 = 64 - 7 = 57 kVAR.

|S12| = √ (P122 + Q12

2) ≈ 91,8 KVA.

Portanto, o fator de potência do conjunto é dado por

cos φ12 = P12 / |S12| = 72 / 91,8 ≈ 0,784.

Uma representação gráfica aproximada e sem escala é exibida na Figura 02 (a).

Para tornar unitário o fator de potência do conjunto, a potência reativa QC do capacitor C deve ser o negativo da potência reativa Q12 do conjunto das duas cargas:

QC = − Q12 = − 57 kVAR. Ver Figura 02 (b) e (c). Assim, o capacitor fica dimensionado em termos de potência reativa, o que é comercialmente usual para esses casos.

Fig 03

A corrente do capacitor IC pode ser determinada por:

IC_ef = − QC / Vef = 57000 / 500 = 114 A.

Do conceito de impedância, V = Z I. Para o capacitor, Z = XC = 1 / ωC. Portanto,

500 = (1 / 377 C) 114. Ou seja, C ≈ 605 μF.

Para trabalhar com fasores, deve ser usada a notação complexa. Considera-se:

Vef = 500 + j 0.

As potências complexas nas cargas são formuladas com uso de valores já calculados:

S1 = P1 + j Q1 = 48000 + j 64000.

S2 = P2 + j Q2 = 24000 − j 7000.

Da definição de potência complexa, S = Vef Ief*, os valores das correntes são:

I1_ef* = (48000 + j 64000) / (500 + j 0) = 96 + j 128.

I1_ef = 96 − j 128.

I2_ef* = (24000 − j 7000) / (500 + j 0) = 48 − j 14.

I2_ef = 48 + j 14.

A corrente I12 é a soma de ambas:

I12_ef = I1_ef + I2_ef = 144 − j 114. Graficamente essa soma é dada, sem escalas, na Figura 03 (a).

Para fator de potência unitário, deve-se anular a parte complexa de I12. Portanto, a corrente no capacitor deve ser:

IC = 0 + j 114. E o resultado pode ser visto, de forma aproximada e sem escalas, na Figura 03 (b).

Circuitos RLC - Introdução

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Circuitos formados pela combinação, em série ou em paralelo, de resistor, indutor e capacitor apresentam a peculiaridade da ressonância e, por isso, têm importantes aplicações práticas. Na sua análise, pode-se resumir as impedâncias de cada componente conforme conceitos e deduções vistas em páginas anteriores:

• A impedância do resistor é dada por R, isto é, a sua resistência. Um número real, portanto.

• A impedância do indutor é dada por j ω L, onde j é a unidade imaginária (√ −1), ω é a velocidade angular e L a sua indutância. É, portanto, um número imaginário puro. A expressão ω L é denominada reatância indutiva (XL).

• A impedância do capacitor é dada por − j / (ω C), onde j e ω são conforme item anterior e C é a sua capacitância. É também um número imaginário puro. A expressão 1 / ω C é denominada reatância capacitiva (XC).

Com a associação desses componentes em série ou em paralelo, pode-se calcular a impedância equivalente, que deve ser um número complexo, isto é, formado por uma parte real e outra imaginária.

O parâmetro ω (velocidade angular) é empregado por razões de simplicidade. Nas especificações práticas de correntes alternadas, é usada quase sempre a freqüência f, que pode ser convertida pela simples relação ω = 2 π f.

Circuito RLC série

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Este circuito pode ser analisado pela aplicação da segunda lei de Kirchhoff:

v = Ri + L di/dt + q/C.

Deve-se, portanto, procurar uma solução para a equação acima.

Fig 01

Mas a equação diferencial demanda sempre algum trabalho para resolver.

Com o conceito de impedância complexa, somam-se simplesmente as impedâncias de cada componente, como se fosse uma associação em série de resistores.

Z = R + j ω L − j / ω C = R + j (ω L − 1 / ω C) #A.1#.

Pode-se também escrever

Z = R + j (XL − XC) #A.2#, considerando as identidades já vistas nesta página e em páginas anteriores:

XL = ωL.XC = 1/ωC.

Graficamente, a impedância é representada conforme Figura 02.

Fig 02

O módulo de Z é dado por:

Z = √ (R2 + X2) = √ [ R2 + (ωL − 1/ωC)2 ] #B.1#.

E o ângulo de defasagem é

φ = tan−1 X/R = tan−1 (ωL − 1/ωC) / R #B.2#.

Na forma exponencial, valem as igualdades já vistas em páginas anteriores:

Corrente I = Ip ejωt.Tensão V = Vp ej(ωt + φ).Impedância Z = Z ejφ.

Isso está perfeitamente de acordo com a igualdade básica da impedância, V = Z I, porque

Z I = Z Ip ejωt ejφ = Z Ip ej(ωt + φ) = Vp ej(ωt + φ) = V.

Portanto, Ip = Vp / Z = Vp / √ [ R2 + (ωL − 1/ωC)2 ] #C.1#.

Fórmula idêntica seria obtida pela resolução da equação diferencial do início deste tópico.

Volta-se agora à fórmula anterior (#B.1#) do módulo (ou valor absoluto) da impedância:

Fig 03

Z = √ [ R2 + (ωL − 1/ωC)2 ]. É suposto que os valores de R, L e C são constantes.

Se a freqüência (e, portanto, ω) é muito baixa, a impedância deve ser alta porque 1/ωC é alto. Se ela é muito alta, a impedância deve ser também alta, porque ωL é alto. E, naturalmente, deve haver um valor de ω para o qual a impedância é mínima, o que ocorre quando

ωL − 1/ωC = 0.

Nessa condição, a impedância é igual a R, ou seja, o circuito opera como se fosse apenas o resistor. É a denominada ressonância do circuito. A freqüência correspondente, isto é, a freqüência de ressonância, pode ser facilmente determinada pela igualdade anterior:

ωL − 1/ωC = 0 ou

ω0 = 1 / √ (LC) #D.1#. Desde que ω = 2 π f,

f0 = 1 / [ 2 π √ (LC) ] #D.2#.

Da relação entre tensão de pico e corrente de pico (#C.1#) conclui-se que, mantida a primeira constante, a variação da corrente ocorre de forma contrária à variação da impedância, ou seja, a corrente é máxima na ressonância. O gráfico da Figura 03 dá uma curva típica para o circuito.

Exemplo de cálculo: sejam os seguintes valores para o circuito:

v = 12 V.R = 1,2 102 Ω.C = 1,0 10−7 F.L = 4,0 10−1 H

De acordo com a fórmula anterior, a freqüência de ressonância é

f ≈ 796 Hz e a correspondente freqüência angular,

ω = 5000 rad/s.

E a corrente do circuito na ressonância é

I = V/R = 12 / 1,2 102 = 0,1 A.

A tensão no capacitor é o produto corrente x impedância:

VC = I Z = I XC = I (1/ωC) = 10−1 / (5,0 103 1,0 10−7) = 200 V.

Analogamente no indutor:

VL = I Z = I XL = I ωL = 10−1 5,0 103 4,0 10−1 = 200 V.

As duas tensões são idênticas e, como estão defasadas entre si de 90 − (−90) = 180º, anulam-se mutuamente.

Notar entretanto que, individualmente, a tensão no indutor e no capacitor é muitas vezes superior à tensão aplicada no circuito. Assim, esses componentes devem ser especificados para suportar essa tensão e as pessoas devem ter cuidado (e conhecimento) ao trabalhar com circuitos elétricos.

Circuito RLC série - Fator de qualidade e largura de banda

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No tópico anterior, foi desenvolvida a fórmula da freqüência ressonância de um circuito RLC série:

f0 = 1 / [ 2 π √ (LC) ] #A.1#.

No trabalho com fórmulas, elas ficam mais simples com o uso da velocidade angular de ressonância em vez de freqüência:

Fig 01

ω0 = 1 / √ LC #A.2#.

Por isso, aqui é adotado esse parâmetro, lembrando que a relação com a freqüência é a simples proporção

ω0 = 2 π f0.

Nota-se que o valor da velocidade angular de ressonância não depende da resistência R. Mas isso não significa que outras características do circuito sejam desconexas do valor de R.

O fator de qualidade Q de um circuito RLC série é a relação entre a reatância indutiva de ressonância e o valor da resistência:

Q = XL0 / R = ω0 L / R = (1/R) √ (L/C) #B.1#.

A Figura 01 mostra curvas da variação da intensidade de corrente com a freqüência nas proximidades da ressonância para valores de R distintos (mantidos os demais parâmetros) de modo a resultar em valores de Q diferentes. Quanto maior o valor de R (menor Q), mais achatada é a curva.

Por atenuarem sinais que se afastam da ressonância, circuitos deste tipo são amplamente empregados quando se deseja uma separação ou seleção de sinais, como sintonizadores e filtros. Portanto, o fator Q é uma medida da seletividade do circuito e o seu valor deve ser definido de acordo com a aplicação.

Fig 02

Na realidade, o fator Q está ligado à largura de banda B (bandwidth, em inglês) do circuito, que é definida pela faixa de freqüências cuja potência é maior ou igual à metade da potência máxima, que, por sua vez, é a potência dissipada na freqüência de ressonância.

A Figura 02 dá uma curva típica de um circuito RLC conforme equação da corrente vista em página anterior. Trabalha-se com velocidade angular ω em vez de freqüência f para simplificar as fórmulas conforme já mencionado.

A corrente máxima é a da ressonância I0 = Vp / R porque, nessa situação, a impedância é puramente resistiva.

Desde que a potência é proporcional ao quadrado da corrente, metade da potência máxima equivale á máxima corrente dividida por √ 2. Então, a largura de banda é definida pelos valores ω1 e ω2 tais que

I1 = I2 = I0/ √ 2 = Vp / (R √ 2).

De acordo com #C.1# da página anterior,

Ip = Vp / √ [ R2 + (ωL − 1/ωC)2 ].

Substituindo o valor anterior da corrente,

Vp / √ [R2 + (ωL − 1/ωC)2] = Vp / (R √ 2) = Vp / √ (2 R2). Simplificando,

(ωL − 1/ωC)2 = R2. A solução dessa equação é simples e aqui não é desenvolvida. Notar, entretanto, que ela admite 4 soluções e que se deve desprezar as de valores negativos porque não têm sentido prático. O resultado final é

ω2,1 = √ [ (R/2L)2 + (1/LC) ] ± (R/2L) #C.1#.

Portanto, a largura de banda é dada por

B = ω2 − ω1 = R / L #D.1#.

Combinando a igualdade acima com #B.1#, chega-se à fórmula do fator de qualidade em função da velocidade angular de ressonância e da largura de banda:

Q = ω0 / B #E.1#.

Circuito básico RLC paralelo

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No circuito RLC série visto em página anterior, supõe-se implicitamente uma fonte de tensão de referência e calcula-se a corrente circulante. No arranjo paralelo básico da Figura 01, é suposta uma corrente de referência fornecida pela fonte e o comportamento da tensão V é o parâmetro a determinar.

Desde que os elementos estão em paralelo, a impedância resultante é calculada de forma idêntica à de uma associação paralela de resistências.

1/Z = A = 1/R + 1/(jωL) + 1/(−j/ωC).

A = 1/R + j (ωC − 1/ωL). O módulo da A é dado por:

Fig 01

A = √ [ (1/R)2 + (ωC − 1/ωL)2 ].

E o ângulo

φA = tan−1 [ (ωC − 1/ωL)/(1/R) ].

φA = tan−1 [ R (ωC − 1/ωL) ].

Sendo Z o inverso de A, na forma exponencial ocorre

Z = 1/A = (1/A) ej(−φA). Então, o módulo da impedância é

Z = 1 / √ [ (1/R)2 + (ωC - 1/ωL)2 ] #A.1#.

E o ângulo de defasagem φ = − tan−1 [ R (ωC − 1/ωL) ] #A.2#.

Fig 02

Da relação V = Z I, obtém-se a tensão de pico em termos da corrente de pico da fonte

Vp = Ip / √ [ (1/R)2 + (ωC − 1/ωL)2 ] #B.1#.

Portanto, a tensão é máxima quando (ωC − 1/ωL) é nulo, isto é, o circuito se encontra em ressonância (ver gráfico da Figura 02).

Da igualdade (ωC − 1/ωL) = 0 é deduzida a velocidade angular de ressonância:

ω0 = 1 / √ LC #B.2#.

Notar que é a mesma fórmula do circuito RLC série. E a freqüência de ressonância é

f0 = ω0 / 2 π = 1 / (2 π √ LC) #C.1#.

Os mesmos conceitos de largura de banda e fator de qualidade, vistos no tópico anterior para o circuito em série, são aplicáveis. O desenvolvimento matemático é similar e aqui não é dado. Os resultados são:

ω2,1 = √ [ (1/2RC)2 + (1/LC) ] ± (1/2RC) #D.1#.

Largura de banda B = ω2 − ω1 = 1/RC #E.1#.

Fator de qualidade Q = ω0 / B = R √ (C/L) #F.1#.

Correntes trifásicas - Introdução

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Segundo teoria do eletromagnetismo, uma tensão alternada de velocidade angular ω pode ser produzida por uma espira (ou bobina de N espiras) que gira com mesma velocidade angular em um campo magnético uniforme. Naturalmente, a recíproca também é verdadeira, isto é, a bobina pode estar fixa e o campo magnético, girante.

Fig 01

Seja um arranjo conforme (a) da Figura 01: um ímã permanente gira com velocidade angular constante ω no interior de um anel circular de material magnético. Em torno do anel, há três bobinas idênticas deslocadas de 120° uma da outra.

Nessa situação, em cada bobina são induzidas tensões alternadas de mesma

amplitude e mesma velocidade angular (ou mesma freqüência).

Eletricamente, podem ser vistas como três fontes de tensão CA, como em (b) da figura.

Entretanto, devido ao deslocamento angular de 120° das bobinas, as tensões geradas têm idênticas diferenças de fase. Considerando fase nula a tensão vA, pode-se escrever as relações básicas:

Fig 02

vA = Vp cos (ωt).vB = Vp cos (ωt − 120).vC = Vp cos (ωt − 240) #A.1#.

Onde Vp é o valor de pico (é também usual a designação de valor máximo Vm).

As tensões geradas têm, portanto, a forma de senóides de mesma amplitude e deslocadas de 120° no eixo horizontal conforme representação gráfica em (a) da Figura 02.

Considerando V o valor eficaz, isto é, V = Vp/√2, a representação com fasores das tensões geradas é:

VA = V /_ 0° VB = V /_ −120° VC = V /_ −240° #B.1#

Em termos de vetores, os fasores acima são representados na Figura 02 (b). Pode-se facilmente deduzir que a soma dessas tensões é nula em cada instante.

VA + VB + VC = 0.

A seqüência de fases é definida pela ordem de passagem das tensões pelo valor de pico. No exemplo dado, a seqüência ABC (que também pode ser BCA e CAB) é denominada seqüência direta (ou positiva) porque os valores

máximos ocorrem nessa ordem. O contrário ACB (que também pode ser CBA ou BAC) é denominado seqüência inversa (ou negativa).

Aqui foi apresentado, portanto, o processo básico de produção de tensões (e, por conseqüência, correntes) alternadas trifásicas.

A geração e a distribuição de energia elétrica é feita quase sempre com correntes alternadas por motivos bem conhecidos. Máquinas (geradores e motores) são mais simples e os níveis de tensões e correntes podem ser facilmente ajustados por meio de transformadores de forma a minimizar as perdas de transmissão.

O uso de correntes trifásicas em vez de uma fase simples torna o sistema ainda melhor. A quantidade (massa) total de material condutor é menor para a mesma potência transmitida por uma corrente monofásica. Motores trifásicos têm torque de partida não nulo, dispensando dispositivos especiais como capacitores. A potência instantânea entregue pelas três fases é constante. Esses são provavelmente os aspectos determinantes para o uso de sistemas de geração e distribuição trifásicos.

Conforme já comentado, pode-se considerar o gerador trifásico um conjunto de três fontes com diferenças de fase de 120° entre si. Por outro lado, pode-se também supor que as cargas trifásicas sejam equivalentes a três cargas simples. Genericamente, três impedâncias. Nos próximos tópicos são examinadas as configurações básicas dos circuitos trifásicos comuns.

Obs: salvo indicação em contrário, os sistemas são presumidamente simétricos e equilibrados, isto é, as tensões de cada fase têm o mesmo valor de pico e mesma diferença de fase (120°) e as impedâncias de carga para cada fase são iguais. Os condutores são supostamente ideais, sem resistências elétricas, indutâncias ou capacitâncias.

Circuito trifásico em estrela ou Y

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No circuito em estrela (ou Y) as fontes de cada fase (e impedâncias da carga) são conectadas a um nó comum denominado neutro, resultando em um arranjo físico que lembra o seu nome. A Figura 01 dá o exemplo da ligação em Y de fontes e cargas.

O ponto comum é denominado neutro (N e N'). Desde que o circuito é supostamente simétrico e equilibrado, pode-se em princípio deduzir que o potencial de ambos é igual e, portanto, não há corrente entre eles. Assim, a ligação dos pontos neutros é teoricamente desnecessária.

Nos circuitos trifásicos são comuns as designações:

• Tensões ou correntes de fase são as tensões entre terminais dos elementos (fontes ou cargas) ou as correntes que circulam por eles.

• Tensões ou correntes de linha são as tensões entre os condutores de interligações ou as correntes que circulam por eles.

A tabela abaixo mostra os símbolos aqui usados para a ligação Y-Y da Figura 01.

Fonte - Valores de fase Valores de linha Carga - Valores de fase

Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente

VAN IAN VAB IA VA'N' IA'N'

VBN IBN VBC IB VB'N' IB'N'

VCN ICN VCA IC VC'N' IC'N'

Observar que são usados símbolos em negrito, significando tensões e correntes complexas ou fasores. Embora, devido ao sistema equilibrado, tensões ou correntes eficazes sejam as mesmas para cada fase, na notação complexa elas são diferentes porque há uma diferença de fase de 120°.

De acordo com os conceitos dados na página anterior, considerando V o valor eficaz comum, as tensões das fontes são:

VAN = V /_ 0° VBN = V /_ −120° VCN = V /_ 120° #A.1#

As tensões acima são, evidentemente, as tensões aplicadas às respectivas impedâncias de carga.

Fig 01

As tensões de linha são calculadas pelas somas:

VAB = VAN + VNB #B.1#.VBC = VBN + VNC #B.2#.

VCA = VCN + VNA #B.3#.

Consideram-se as relações:

VNB = − VBN #C.1#.VNC = − VCN #C.2#.VNA = − VAN #C.3#.

Substituindo, nas relações acima, os valores dados em #A.1#, chega-se aos resultados:

Fig 02

VAB = √3 V /_ 30° #D.1#.VBC = √3 V /_ −90° #D.2#.VCA = √3 V /_ 150° #D.3#.

Comparando com os valores de #A.1#, pode-se escrever a relação prática usual para circuitos em estrela:

tensão de linha = √3 tensão de fase #E.1#.

Entretanto, essa relação só vale para valores eficazes ou de pico.

A Figura 02 mostra as somas gráficas para os resultados anteriores (#D.1#, #D.2# e #D.3#). As tensões de linha são deslocadas de 30° em relação às de fase.

O arranjo do circuito permite concluir que as correntes de linha são iguais às respectivas correntes de fase. Com as relações #A.1#, pode-se montar a tabela abaixo.

IA = (V /_ 0°) / Z IB = (V /_ −120°) / Z IC = (V /_ 120°) / Z #F.1#

A corrente do neutro pode ser calculada por

IN = IA + IB + IC = [ (V /_ 0°) + (V /_ −120°) + (V /_ 120°) ] / Z.

Mas a soma entre os colchetes é a soma das tensões das fontes (#A.1#), que é nula conforme visto na página anterior. Assim, IN = 0, confirmando a suposição do início deste tópico.

Circuito trifásico em triângulo ou Δ

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A Figura 01 dá exemplo do arranjo básico, cuja forma geométrica justifica o nome. Os conceitos de tensões e correntes de fase e de linha são os mesmos já informados para a configuração Y em página anterior. A tabela abaixo dá os símbolos usados para o circuito em estudo.

Fonte - Valores de fase Valores de linha Carga - Valores de fase

Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente

VAB IAB VAB IA VA'B' IA'B'

VBC IBC VBC IB VB'C' IB'C'

VCA ICA VCA IC VC'A' IC'A'

Segundo hipótese já mencionada, o circuito é considerado simétrico e equilibrado, sendo V o valor eficaz comum para as tensões das fontes. Portanto, em termos de fasores, as tensões de fase são:

VAB = V /_ 0° VBC = V /_ −120° VCA = V /_ 120° #A.1#

Observa-se claramente que, nesta configuração, as tensões de linha são iguais às respectivas tensões de fase.

As correntes de linha são determinadas com a aplicação da lei das correntes de Kirchhoff em cada nó de um lado (fonte, por exemplo):

Fig 01

IA = IAB − ICA #B.1#.IB = IBC − IAB #B.2#.IC = ICA − IBC #B.3#.

São consideradas as relações:

IAB = VAB / Z #C.1#.IBC = VBC / Z #C.2#.ICA = VCA / Z #C.3#.

Substituindo esses valores nas igualdades anteriores e usando as tensões de fase dadas em #A.1#, os resultados das operações dos números complexos para as correntes de linha são:

Fig 02

IA = (√3 V /_ −30°) / Z #D.1#.IB = (√3 V /_ −150°) / Z #D.2#.IC = (√3 V /_ 90°) / Z #D.3#.

Substituindo os valores de #A.1# nas igualdades #C.1# a #C.3# das correntes de fase,

IAB = (V /_ 0°) / Z #E.1#.IBC = (V /_ −120°) Z #E.2#.ICA = (V /_ 120°) Z #E.3#.

Portanto, na ligação triângulo ou delta, as correntes de linha são deslocadas de −30° em relação às correntes de fase. Isso pode ser observado na soma gráfica para as correntes de linha conforme Figura 02.

Comparando as igualdades #D.1# a #D.3# com #E.1# a #E.3#, pode-se dizer que um sistema trifásico simétrico e equilibrado em ligação delta apresenta, em termos de valores eficazes ou de pico,

corrente de linha = √3 corrente de fase.

As tensões de linha são idênticas às respectivas tensões de fase conforme já mencionado.

Potência em sistemas trifásicos

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Seja um circuito monofásico com tensão e corrente dadas por:

v(t) = Vp cos (ωt) #A.1#.i(t) = Ip cos (ωt + θ) #A.2#.

Sejam os valores eficazes:

V = Vp / √2 #B.1#.I = Ip / √2 #B.2#.

Substituindo,

v(t) = √2 V cos (ωt) #C.1#.i(t) = √2 I cos (ωt + θ) #C.2#.

A potência instantânea é calculada por:

P(t) = i(t) v(t) = 2 V I cos (ωt) cos (ωt + θ) #D.1#.

Aplicando a identidade trigonométrica cos a cos b = (1/2) cos(a − b) + (1/2) cos(a + b),

P(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + θ) #E.1#.

Considera-se agora um sistema trifásico equilibrado. As tensões de fase são:

Va = V /_ 0° Vb = V /_ −120° Vc = V /_ 120° #F.1#

Na forma trigonométrica,

va(t) = Vp cos(ωt + 0) vb(t) = Vp cos(ωt − 120) vc(t) = Vp cos(ωt + 120)#F.2

#

Desde que o circuito é equilibrado, a mesma impedância Z está em cada fase. Assim, deve ser considerado o mesmo ângulo θ para as correntes:

ia(t) = Ip cos(ωt + 0 + θ)

ib(t) = Ip cos(ωt − 120 + θ)

ic(t) = Ip cos(ωt + 120 + θ)

#F.2#

Considerando as igualdades #A.1# e #A.2#, pode-se calcular a potência instantânea P(t) para cada fase segundo #E.1#. Notar que o termo (ωt) equivale a:

(ωt + 0) para fase a.(ωt − 120) para fase b.(ωt + 120) para fase c.

Pa(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + θ).Pb(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt − 240 + θ).Pb(t) = V I cos(θ) + V I cos(2ωt + 240 + θ).

A potência instantânea total é a soma das parcelas acima:

P(t) = 3 V I cos θ + V I [ cos(2ωt + θ) + cos(2ωt − 240 + θ) + cos(2ωt + 240 + θ) ] #G.1#.

Para a expressão entre colchetes, faz-se α = 2ωt + θ. Assim, ela é igual a

cos(α) + cos(α − 240) + cos(α + 240).

Segundo relações trigonométricas,

cos(α − 240) = cos α cos 240 + sen α sen 240.cos(α + 240) = cos α cos 240 − sen α sen 240.

Substituindo, cos(α) + cos α cos 240 + sen α sen 240 + cos α cos 240 − sen α sen 240 == cos(α) + 2 cos α cos 240 = cos(α) + 2 cos α (−0,5) = 0.

Portanto, a igualdade #G.1# fica reduzida a

P(t) = 3 V I cos θ #H.1#.

Conclui-se então que, no sistema trifásico simétrico e equilibrado, a potência instantânea é constante, não depende do tempo.

A tabela abaixo é repetição da anterior (#F.1#) com introdução da notação exponencial.

Va = V /_ 0° Vb = V /_ −120° Vc = V /_ 120° #I.1#

Va = V ej(0) Vb = V ej(−120) Vc = V ej(120) #I.2#

Para as correntes, o procedimento é similar, devendo ser considerado o ângulo θ de defasagem. Há também uma linha para o complemento complexo.

Ia = I /_ 0° + θ Ib = I /_ −120° + θ Ic = I /_ 120° + θ #J.1#

Ia = I ej(0 + θ) Ib = I ej(−120 + θ) Ic = I ej(120 + θ) #J.2#

Ia* = I ej(0 − θ) Ib* = I ej(120 − θ) Ic* = I ej(−120 − θ) #J.3#

A potência complexa de um circuito CA é S = V I*. Para as três fases, usando os valores das tabelas acima, o resultado da soma é

S = Sa + Sb + Sc = 3 V I ejφ.

Obs: φ = 0 − θ (diferença de fase entre tensão e corrente).

Portanto, a potência aparente de um sistema trifásico é

S = 3 V I #K.1#. Onde V e I são os valores eficazes de tensão e corrente de fase.

Entretanto, medições práticas são feitas em geral para tensões e correntes de linha. Para a ligação Y, já visto que a corrente de linha é igual à de fase e que a tensão de linha é igual à de fase multiplicada por √3. Para a ligação Δ, a tensão de linha é igual à de fase e a corrente de linha é igual à de fase multiplicada por √3.

Então, se considerados parâmetros de linha para #K.1#, haverá sempre uma divisão por √3 para ambas as situações. E a potência aparente fica

S = √3 V I #K.2#. Onde V e I são os valores eficazes de tensão e corrente de linha.

Consideram-se as relações da potência complexa,

S = V I* = V I cos φ + j V I sen φ = P + j Q. Onde P é potência ativa e Q é potência reativa.

Combinando com #K.2#, obtém-se, conforme tabela abaixo, as fórmulas de potência para circuitos trifásicos.

Potência aparente Potência ativa Potência reativa

S = √3 V I P = √3 V I cos φ Q = √3 V I sen φ #L.1#

Para circuito simétrico e equilibrado. Onde V e I são valores eficazes de tensão e corrente de linha. O ângulo φ é a diferença de fase entre tensão e corrente. Portanto, cos φ é o fator de potência.

Exemplo: uma rede trifásica simétrica de tensão de linha 173 V (valor eficaz) alimenta uma carga trifásica em Y com impedância 10 Ω /_ 20° por fase. Determinar os valores de potência conforme tabela acima.

Tensão de fase = 173 / √3 ≈ 100 V.

Corrente de fase = 100 / 10 = 10 A = corrente de linha.

Fator de potência cos φ = cos 20° ≈ 0,94. E sen φ ≈ 0,34.

Potência aparente S = √3 173 10 ≈ 3 kVA.

Potência ativa P = √3 173 10 0,94 ≈ 2,82 kW.

Potência reativa Q = √3 173 10 0,34 ≈ 1,02 kVAR.

Correntes transitórias I-10

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Circuito RC |Exemplo de circuito RLC paralelo |

Índices

Ciência dos materiais

Eletricidade e eletromagnetismo

Eletrônica digitalEletrônica em

geralFluidos, calor, frio,

etcInformáticaMatemática

Mecânica teóricaResistência dos

materiaisTemas técnicos

diversosTemas diversos

Termodinâmica / transmissão de

calor

Circuito RC| Topo pág | Fim pág |

No circuito RC da Figura 01, é suposto que, inicialmente, a chave está na posição desligada e que não há nenhuma carga no capacitor.

Se a chave é comutada para a posição ligada, pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o laço de circuito que é formado:

V + Ri +q= 0 #A.1#

C

Derivando a equação em relação ao tempo (lembrar que dV/dt = 0 porque V, tensão da bateria, é constante),

Figura 01

Rdi

+1 dq

= 0 #A.2#dt C dt

Mas, por definição, corrente elétrica é i = dq/dt. Substituindo e rearranjando,

di= −

1dt #A.3#

i RC

Integrando ambos os lados,∫di

= −1

∫dt #B.1#. A solução é:i RC

ln i = −1t + c #B.2#. Onde c é uma constante.

RC

Pode-se escrever a solução na forma exponencial:

i = e[(−1/RC) t + c] = ec e(−1/RC) t = k e(−1/RC) t #C.1#. Onde

k = ec #C.2#.

No instante t = 0, a corrente é supostamente i = V/R porque o capacitor está

completamente descarregado. Fazendo t = 0 na equação anterior, conclui-se que

k = V/R #C.3#. E o resultado final é

i =Ve(−1/RC) t #D.1#

R

Figura 02

Para o capacitor, q = C vC. Assim,

vC =1q #E.1#

C

Da relação

i =dq

, tem-se

q = ∫ i dt #E.2#dt

Substituindo vC = 1 ∫0,t i dt#E.3#

, C

Com o valor de i dado por #D.1#,

vC =1

∫0,t

Ve(−1/RC) t dt =

V(RC) [e(−1/RC) t]0,t #E.4#

C R RC

Portanto, vC = V [1 − e(−1/RC) t] #F.1#.

O produto RC nas equações #D.1# e #F.1# tem dimensão de tempo e é denominado constante de tempo do circuito. Curvas típicas das variações de i e vC para essas equações são dadas na Figura 02.

Uma vez ligada a chave, a corrente no circuito (i) tende para zero e a tensão no capacitor (vC) tende para a tensão da bateria V. A velocidade da variação depende da constante de tempo RC.

Exemplo de circuito RLC paralelo| Topo pág | Fim pág |

Este tópico é uma questão de prova (Inmetro 2007, com adaptações) e demonstra apenas a solução para os quesitos (respostas tipo certo / errado).

O circuito a seguir é excitado por uma fonte de corrente independente i(t), com valor constante no tempo, que é colocada em operação a partir do instante t = 0 s. Nesse instante, o indutor e o capacitor não armazenam energia.

Com base nas informações acima, julgue os itens a seguir.

107) A equação diferencial a seguir descreve corretamente o circuito.

i(t) = iL(t) + 2diL(t)

+ 2d2iL(t)

dt dt2

Figura 01

No circuito observa-se que a mesma tensão v(t) está presente em cada elemento.

De acordo com a relação básica para o indutor,

v(t) = LdiL(t)

= 2diL(t)

dt dt

A corrente no resistor é

iR(t) =v(t)

= 2diL(t)

R dt

A relação básica do capacitor é q(t) = C v(t). Derivando em relação ao tempo e

considerando a definição de corrente elétrica, i = dq/dt,

iC(t) =dq

= Cdv(t)

= 2d2iL(t)

dt dt dt2

Segundo a lei das correntes de Kirchhoff,

i(t) = iR(t) + iL(t) + iC(t).

Substituindo os valores, chega-se à equação inicial. Portanto, resposta: Certo.

108) Em regime permanente, a tensão no capacitor é nula.

Desde que a resistência elétrica de um indutor ideal é nula, em regime permanente a tensão é nula porque não há variação de corrente. Então, a tensão no capacitor (que é a mesma) também é nula. Resposta: Certo.

109) Suponha que no tempo t = ∞ a chave em série com a fonte de corrente seja aberta. A partir desse instante, o indutor e o capacitor terão, ambos, energia armazenada nula.

Essa questão pode ser esclarecida com as fórmulas do eletromagnetismo para energia armazenada no indutor WL e no capacitor WC.

WL =1L i2

2

WC =1C v2

2

No tempo infinito, a tensão será nula, mas a corrente não. Assim, a energia armazenada no indutor não será nula. Resposta: Errado.

Circuitos elétricos I-10: Correntes contínuas

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Circuito e parâmetros básicos |

Circuito e parâmetros básicos

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Circuitos elétricos podem ser entendidos como aplicações práticas para os fenômenos da eletricidade, cujos conceitos básicos podem ser vistos na página Eletricidade I-10 e posteriores.

A Figura 01 deste tópico apresenta um circuito dos mais simples, que tem como finalidade a análise das grandezas elétricas fundamentais.

O gerador elétrico G é um dispositivo que usa energia de alguma forma

(mecânica, química, etc) para aumentar o potencial elétrico das cargas elétricas que o atravessam. Assim, entre seus terminais (b e a), há uma diferença de potencial ou tensão elétrica V. Essa grandeza é definida pela relação entre o trabalho necessário para produzir a diferença de potencial e a carga elétrica.

A definição correta deve usar grandezas infinitesimais. Assim,

V = dW / dq #A.1#. Onde:

V: diferença de potencial (unidade no Sistema Internacional: volt, símbolo V).W: trabalho (unidade SI: joule, símbolo J).q: carga elétrica (unidade SI: coulomb, símbolo C).

A diferença de potencial produzida por geradores elétricos é comumente denominada força eletromotriz (fem).

Se os terminais do gerador estiverem conectados por um meio físico que permita o fluxo de cargas elétricas (condutor), haverá uma corrente elétrica circulando do terminal de maior potencial para o de menor.

Fig 01

A corrente elétrica é definida pela quantidade de cargas elétricas que percorrem o meio condutor por unidade de tempo, ou seja,

i = dq / dt #B.1#. Onde:

i: corrente elétrica (unidade SI: ampère A).q: carga elétrica (unidade SI: coulomb C).t: tempo (unidade SI: segundo s).

A corrente elétrica não é uma grandeza vetorial, como pode ser visto da definição acima. Entretanto, em circuitos, é usual a indicação com uma seta no sentido convencional, isto é, o sentido deslocamento de cargas elétricas positivas.

Se o sentido da corrente elétrica é sempre o mesmo, ela é denominada corrente contínua. É usual o emprego da sigla CC (ou DC, do inglês). Caso contrário, é denominada corrente alternada (CA ou AC, do inglês).

Se um meio condutor não oferece nenhuma oposição à passagem de cargas elétricas (condutor ideal), não pode haver diferença de potencial entre dois pontos seus, uma vez que nenhum trabalho é necessário para movimentar as cargas.

Nos circuitos, linhas contínuas indicam condutores ideais. Portanto, na Figura 01, os pontos b e c têm o mesmo potencial elétrico, bem como os pontos d e a (é claro que condutores ideais não existem na prática, mas, em muitos casos, a oposição é tão pequena que eles podem ser assim considerados).

Um dispositivo que oferece oposição à passagem de cargas elétricas provoca uma redução de potencial elétrico na direção da corrente elétrica que o percorre. No circuito em estudo, isso é dado pelo dispositivo entre os pontos c e d (também denominado carga do gerador). Desde que está diretamente conectado aos terminais do gerador, conclui-se que esse dispositivo produz uma queda de potencial igual à força eletromotriz do gerador.

A grandeza relacionada com a oposição à passagem de corrente elétrica é denominada resistência elétrica, que é definida por:

R = V / i #C.1#. Onde:

R: resistência elétrica (unidade SI: ohm Ω).V: tensão elétrica (unidade SI: volt V).i: corrente elétrica (unidade SI: ampère A).

Fig 02

Potência em circuitos elétricos

Na Figura 01, W1 é a energia que o gerador usa, durante determinado intervalo de tempo, para elevar o potencial das cargas elétricas. Nesse mesmo intervalo, o dispositivo de resistência R deve fornecer uma quantidade W2 de energia (em forma de calor, por exemplo), uma vez que as cargas elétricas têm o seu potencial reduzido.

Numa hipotética situação ideal, sem perdas de transformação, deve-se ter W1 = W2 para satisfazer aos princípios da Termodinâmica. Numa situação real, desde

que esses princípios continuam válidos, deve-se considerar as parcelas de perdas.

Potência é uma grandeza física dada pela relação entre energia e tempo P = dW / dt. Multiplicando e dividindo por uma quantidade infinitesimal de carga elétrica dq, chega-se a P = (dW / dq) (dq / dt). As expressões entre parênteses são as definições dadas de diferença de potencial e corrente elétricas. Portanto, a potência elétrica de um dispositivo é calculada pelo produto da tensão entre seus terminais pela corrente que circula:

P = V i #D.1#. Onde:

P: potência (unidade SI: watt W).V: tensão elétrica (unidade SI: volt V).i: corrente elétrica (unidade SI: ampère A).

Notar que esse produto é a potência elétrica do gerador (e também da carga R). Se, por exemplo, ele for do tipo eletromecânico, a potência mecânica é maior devido a perdas de transformação da energia mecânica em energia elétrica. Seria igual numa situação ideal de eficiência unitária. Quanto à carga, se ela for apenas para aquecimento, pode-se dizer que a potência de aquecimento é igual à potência elétrica. Se for para alguma outra transformação energética (motor, por exemplo), a potência de saída é menor devido a perdas de transformação.

Considerando a definição anterior de resistência (#C.1#), a substituição de V na igualdade acima resulta em

P = R i2 #D.2#.

E a substituição de i implica

P = ( 1/R ) V2 #D.3#.

Exemplo: um dispositivo de resistência 10 ohms é percorrido por uma corrente de 2 ampères. Determinar a potência dissipada bem como a tensão entre seus terminais.

Segundo #D.2#, P = R i2 = 10 22 = 40 W. De #C.1#, V = R i = 10 2 = 20 V.

Lei de Ohm, resistência, resistividade, …

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No tópico anterior, foi dada a definição de resistência elétrica de um elemento de circuito:

R = V / i #A.1#. Onde:

R: resistência elétrica (unidade SI: ohm Ω).V: tensão entre os terminais (unidade SI: volt V).

i: corrente que circula pelo elemento (unidade SI: ampère A).

O físico alemão Georg Ohm (1787-1854) verificou experimentalmente que, para materiais metálicos sob temperatura constante, a resistência elétrica é também constante, fenômeno que ficou, em justa homenagem, conhecido como lei de Ohm.

A igualdade anterior pode ser reagrupada para:

Fig 01

V = R i #A.2#.

Portanto, em um elemento de material que obedece à lei de Ohm, a tensão é proporcional à corrente. E o gráfico da variação é uma reta conforme exemplo da Figura 01 (a).

Deve-se notar que nem todos os elementos de circuitos têm esse comportamento. Válvulas termiônicas e semicondutores não seguem, em geral, a lei de Ohm. Portanto, a variação tensão x corrente desses componentes não é linear.

Resistor é um elemento de circuito construído especificamente para apresentar uma determinada resistência entre seus terminais, comportando-se de acordo com a lei de Ohm. Símbolo usual conforme (b) da Figura 01. Portanto, um resistor de valor R, ao ser percorrido por uma corrente i, apresenta uma diferença de potencial V = R i entre seus terminais.

Resistência é uma propriedade do elemento, que depende do material, da temperatura e da sua geometria. Exemplo: a resistência de um pedaço de fio metálico depende do metal, do comprimento, da área da seção transversal (bitola) e da temperatura.

Verifica-se experimentalmente que a resistência de um condutor de seção transversal constante e de material que obedece à lei de Ohm é dada por:

Material ρ 10−8 Ω m α 10−5 1/ºC

Aço 18 300

Alumínio 2,8 390

Carbono 3500 −50

Cobre 1,7 390

Manganina 44 1

Níquel 7,8 600

Prata 1,6 380

Tungstênio 5,6 450

R = ρ ℓ / S #B.1#. Onde:

R: resistência em Ω.ℓ: comprimento em m.S: área da seção em m².

O fator de proporcionalidade ρ é denominado resistividade, que depende do material e da temperatura.

A unidade de ρ é ohm-metro (Ω m).

A resistividade é, portanto, uma característica do material. Valores típicos (a 20ºC) para alguns são dados na tabela acima. O parâmetro α é o coeficiente de temperatura para a resistividade de acordo com a relação:

α = ( Δρ / ρ ) / ΔT #B.2#. Onde ΔT é a variação de temperatura em ºC ou K.

Exemplo: para o cobre e ΔT = 1ºC, tem-se Δρ / ρ = α ΔT = 390 10−5 1. Em termos percentuais, 100 Δρ / ρ = 100 390 10−5 = 0,39. Portanto, para cada ºC de aumento de temperatura, a resistividade do cobre aumenta 0,39%.

No caso de resistores, é desejável que a variação da resistência com a temperatura seja a menor possível. A manganina é uma liga de 84% de cobre, 12% de manganês e 4% de níquel. Devido ao baixo coeficiente de temperatura, é usada em certos tipos de resistores de alta precisão.

Algumas vezes, é conveniente o uso de grandezas inversas da resistência e da resistividade. A condutância de um elemento é o inverso da sua resistência:

G = 1 / R #C.1#. Onde:

G: condutância (unidade SI: siemens S, também denominada mho).R: resistência (unidade SI: ohm Ω).

Portanto, a igualdade anterior #A.1# pode ser escrita da forma

V = i / G #C.2#.

Condutividade de um material é o inverso da sua resistividade:

γ = 1 / ρ #D.1#. Onde:

γ: condutividade (unidade SI: siemens por metro S/m).ρ: resistividade (unidade SI: ohm metro Ω m).

E a igualdade #B.1# pode ser escrita como R = ( 1 / λ ) ℓ / S #D.2#.

Exemplo: uma barra de carvão de seção quadrada 1 x 1 cm tem comprimento de 80 cm. Determinar a resistência entre as extremidades.

Conforme tabela anterior, ρ = 3500 10−8 Ω m para o carvão. Conforme #B.1#, R = 3500 10−8 Ω m 80 10−2 m / ( 10−2 m 10−2 m ) = 0,28 Ω.

Elementos ativos e passivos

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Os elementos de circuitos elétricos são classificados em ativos e passivos de acordo com o sentido da transformação energética.

Fig 01

Elementos ativos são os que fornecem energia ao circuito e, portanto, a potência é positiva.

Elementos passivos são os que recebem energia do circuito e, portanto, a potência dissipada é negativa.

A convenção de correntes e sinais é dada na Figura 01 deste tópico.

+: terminal de maior potencial elétrico.−: terminal de menor potencial elétrico.

Nos elementos ativos, a corrente circula do menor para o maior potencial e, nos elementos passivos, ela circula do maior para o menor potencial.

Exemplo típico de elemento passivo são resistores, mas podem ser também elementos que armazenam energia, como capacitores e indutores.

Elementos ativos são basicamente geradores de energia elétrica. Na prática, o termo gerador é usado para dispositivos que convertem energia mecânica em elétrica. De forma genérica, o termo fonte é mais usual, significando dispositivos que fornecem energia ao circuito, como geradores eletromecânicos, químicos (baterias) ou mesmo circuitos elétricos ou eletrônicos específicos para converter tensões / correntes de um circuito (em geral uma rede de distribuição) para outro.

Nesta série de páginas, fontes serão tratadas como blocos únicos de dois terminais, não havendo necessidade de considerar as formas originais de energia

Fontes de tensão e de corrente

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Fonte independente de tensão é um elemento ativo que mantém uma tensão constante entre seus terminais. Assim, a corrente é determinada pelo restante do circuito. Símbolo usual conforme exemplo (a) da Figura 01 (nesse caso, ela mantém 5 V para qualquer corrente).

Fig 01

Naturalmente, essa definição se refere ao caso ideal. Fontes reais sempre apresentam pequenas variações (que podem ser desprezadas na prática) e a estabilidade é válida apenas para uma faixa de corrente.

Baterias são fontes de tensão comuns na prática. Por isso, o símbolo próprio é muitas vezes usado no lugar do anterior. Em (b) da Figura 01, exemplo de uma bateria, que equivale a uma fonte de tensão de 9 V.

Fonte independente de corrente é a que mantém uma corrente constante. A tensão é determinada pelo restante do circuito. Símbolo usual conforme (c) da Figura 01 (nesse exemplo, uma fonte de corrente de 2 A). A seta indica o sentido da corrente e, conforme convenção já vista para elemento ativo, o terminal de maior potencial (+) está no lado indicado por essa seta.

Fontes de correntes práticas são, em geral, implementadas com circuitos eletrônicos. As restrições reais são similares às anteriores, para fontes de tensão.

Fig 02

Fontes dependentes (ou controladas) de tensão ou de corrente operam de forma similar às anteriores, mas o nível da tensão ou corrente mantida depende de uma outra tensão ou de uma outra corrente de algum ponto do circuito.

Nos diagramas, são indicadas com a substituição dos círculos por losangos nos símbolos anteriores.

Considerando apenas a dependência linear, isto é, a relação dada por uma constante de proporcionalidade, são possíveis quatro arranjos conforme Figura 02 (as grandezas de controle são indicadas pelo índice x).

(a) Fonte de tensão controlada por tensão: a tensão mantida é μ vx e o coeficiente μ é denominado ganho de tensão (adimensional).

(b) Fonte de tensão controlada por corrente: a tensão mantida é rm ix, onde rm é dito transresistência (unidade Ω, ohm).

(c) Fonte de corrente controlada por tensão: a corrente mantida é gm vx. O fator gm é denominado transcondutância (unidade S, siemens).

(d) Fonte de corrente controlada por corrente: a corrente mantida é β ix. A constante β é o ganho de corrente (adimensional).

Apesar das limitações práticas impostas pelas capacidades, deve-se notar que fontes de tensão nunca podem operar em curto-circuito. Se isso ocorrer e não houver dispositivo de proteção, a corrente atingirá valores elevados (infinito no caso ideal), podendo danificar a fonte ou o circuito. De forma similar, fontes de corrente não podem operar em aberto, porque, nesse caso, a tensão será levada a níveis altos ou infinito no caso ideal.

Leis de Kirchhoff

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A primeira lei de Kirchhoff, também conhecida como lei das correntes de

Kirchhoff (LCK ou KCL, do inglês), estabelece que a soma algébrica das correntes em qualquer nó é nula:

Fig 01

Σ ii = 0 #A.1#.

Nó é um ponto de conexão de dois ou mais elementos de circuito. É adotada a convenção:

• positivo: corrente que entra no nó.

• negativo: corrente que sai do nó.

Essa lei tem fundamento no princípio da conservação das cargas, isto é, cargas elétricas não podem aparecer ou desaparecer espontaneamente, de forma similar a partículas de um fluxo material.

No exemplo da Figura 01, i1 + i2 − i3 = 0 ou i1 + i2 = i3 (os retângulos são elementos genéricos). Portanto, uma outra forma de expressão da lei é considerar a soma das correntes que entram no nó igual à soma das correntes que saem do nó.

A segunda lei de Kirchhoff, também denominada lei das tensões de Kirchhoff (LTK ou KVL, do inglês), afirma que a soma algébrica das variações de tensão em qualquer laço é nula.

Fig 02

Σ vi = 0 #B.1#.

Laço é qualquer caminho fechado do circuito, que passa apenas uma vez por cada nó. Supõe-se que o laço é percorrido em sentido horário, com a seguinte convenção de sinais:

• positivo: queda de tensão.

• negativo: aumento de tensão.

Desde que tensão (ou potencial) elétrico é dado pela relação entre trabalho e carga elétrica, deduz-se que essa lei é basicamente o princípio da conservação da energia. Se a carga percorre um caminho fechado, o estado inicial é igual ao final e, assim, a variação líquida de energia deve ser nula.

No exemplo da Figura 03, as igualdades para os três laços (A, B e C) são:

Laço A: vR1 + vR2 − vS3 + vR3 − vS1 = 0.

Laço B: vR1 + vS2 − vS1 = 0.

Laço C: vR2 − vS3 + vR3 − vS2 = 0.

De forma similar à anterior, pode-se expressar a lei como a igualdade entre a soma das quedas de tensão e a soma dos aumentos de tensão.

Os elementos passivos (resistores) apresentam quedas de tensão neste caso, de acordo com a convenção já vista para eles (a corrente entra no lado de maior potencial).

Notar que, no laço B, o sinal da tensão em S2 é positivo porque a seta da fonte de corrente indica o lado de maior potencial. Assim, há uma queda de tensão para o sentido convencional do laço.

Observar também que devem ser previstas correntes diferentes para cada trecho de laço entre dois nós consecutivos. Se o resultado para uma corrente for negativo, o seu sentido será oposto ao previsto. Exemplos de cálculo no próximo tópico.

Leis de Kirchhoff - Exemplos numéricos

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No circuito conforme Figura 01 (a) são dados os valores para todos os elementos, com exceção da fonte de corrente S2. Mas é dada a queda de tensão em R4 (24 V).

Fig 01

Determinar o valor de S2, bem como a potência fornecida por cada fonte.

Em (b) da mesma figura, são considerados os laços A e B e as correntes indicadas.

Da relação básica v = R i, tem-se i3 = 24 / R4 = 24 / 8 = 3 A.

Usando-se a LTK para o laço B,

R3 i3 + R4 i3 − vS2 = 0.

7 × 3 + 8 × 3 − vS2 = 0. Portanto, vS2 = 45 V.

Do circuito, vR2 = vS2 = 45 V. Também pode ser calculado: i2 = vR2 / R2 = 45 / 9 = 5 A.

Considerando-se agora a LTK para o laço A, − vS1 + R1 i1 + vR2 = 0. Ou − 25 + 10 i1 + 45 = 0. Portanto, i1 = − 2 A, significando sentido oposto ao previsto.

A LCK no nó M implica i1 = i2 + i5. Portanto, i5 = − 2 − 5 = − 7 A. E a aplicação no nó N resulta em i5 + i4 = i3. Assim, i4 = − (− 7) + 3 = 10 A, que é a corrente da fonte S2.

Potência da fonte S1 = 25 i1 = 25 (− 2) = − 50 W. Potência de S2 = 45 × 10 = 450 W.

Fig 02

Figura 02: neste exemplo, um componente passivo C deve operar com 10 V e 2,5 A.

Os casos (a) e (b) são, respectivamente, opções para fornecer essa condição com fonte de tensão em série com resistência e fonte de corrente em paralelo com resistência. Determinar os valores dessas resistências.

Em (a), só existe um laço e a corrente nesse laço é única. O valor é i = 2,5 A. Aplicando-se a LTK, − 12 + Ra 2,5 + 10 = 0. Portanto, Ra = 0,8 Ω.

Em (b), a aplicação da LCK no nó acima de Rb resulta em 3 − iRb − 2,5 = 0. Portanto, iRb = 0,5 A. E o valor da resistência é dado por Rb = 10 / iRb = 10 / 0,5 = 20 Ω.

Associação de resistores

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Na Figura 01, uma fonte de tensão v é conectada a três resistores em série. Pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff para o laço único do circuito.

Fig 01

− v + R1 i + R2 i + R3 i = 0.

Reagrupando a igualdade,

( R1 + R2 + R3 ) i = v.

A expressão entre parênteses é a resistência equivalente, que faz o mesmo efeito dessa combinação.

Generalizando, pode-se dizer que a resistência equivalente de uma combinação de n resistências em série é dada pela soma:

Req = R1 + R2 + … + Rn #A.1#.

No exemplo da Figura 02, uma fonte de tensão v é conectada a três resistores em paralelo. A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff nos nós a e b permite o resultado:

Fig 02

i = i1 + i2 + i3.

Desde que cada resistor está sob a mesma tensão v, a corrente é a relação entre essa tensão e o valor da sua resistência.

i = v / R1 + v / R2 v / R3. Reagrupando,

v = [ 1 / ( 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 ) ] i.

O termo entre colchetes é a resistência equivalente dessa associação. Generalizando, a resistência equivalente para uma associação de n resistências em paralelo é dada por:

1 / Req = 1 / R1 + 1 / R2 + … + 1 / Rn #B.1#.

Para o caso particular de dois resistores em paralelo, a fórmula abaixo pode ser facilmente deduzida:

Req = R1 R2 / (R1 + R2) #B.2#.

Em várias referências, são usadas duas barras verticais para indicar o resultado aritmético da associação em paralelo. Portanto, na fórmula anterior,

R1 || R2 = Req = R1 R2 / (R1 + R2) #B.3#.

Fig 03

Associações mistas de resistores podem ser, em vários casos, resolvidas em partes.

No exemplo da Figura 03, as etapas são:

Rfg = R5 || R6 (conforme #B.3#).

Reg = R4 + Rfg.

E o resultado final é Rab = R1 + (R3 || Reg) + R2.

Divisor de tensão e divisor de corrente

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Divisor de tensão é um arranjo simples de resistores em série, bastante utilizado em circuitos eletrônicos, para fornecer tensões contínuas inferiores ao valor da tensão da fonte.

Fig 01

No exemplo da Figura 01, a resistência equivalente entre 0 e 3 é dada por:

Req = R1 + R2 + R3.

Portanto, a corrente i é calculada por:

i = v / (R1 + R2 + R3).

Tensão v1 = i R1 = v R1 / (R1 + R2 + R3).

Tensão v2 = i (R1 + R2) = v (R1 + R2) / (R1 + R2 + R3).

Tensão v3 = i (R1 + R2 + R3) = v (R1 + R2 + R3) / (R1 + R2 + R3) = v.

Procedimento similar pode ser feito para qualquer número de resistores. Se o conjunto de resistores em série for substituído por um variável, a saída será ajustável de 0 a v.

Os cálculos acima não consideram a corrente do circuito a alimentar. Assim, os valores reais serão menores que os indicados. Devido à dissipação de energia nos resistores, o arranjo não é adequado para altas potências.

Fig 02

Um divisor de corrente usa uma fonte de corrente e resistores em paralelo conforme exemplo de três resistores da Figura 02 (a).

Conforme visto em tópico anterior, a resistência equivalente dessa associação é

1/Req = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3.

Ou, simbolicamente,

Req = R1 || R2 || R3.

A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff permite a fácil dedução da corrente em cada:

i1 = (Req / R1) i. E de forma similar para as demais. Naturalmente, o cálculo pode ser estendido para qualquer número de resistores.

No caso particular de 2 resistores conforme (b) da Figura 02, a resistência equivalente é Req = R1 R2 / (R1 + R2). Substituindo e simplificando na fórmula anterior,

i1 = i R2 / (R1 + R2) para a primeira corrente e i2 = i R1 / (R1 + R2) para a segunda.

Exemplos de associação de resistores

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No exemplo da Figura 01, é suposto que a formação do circuito se repete continuamente. Considerando o valor de cada resistor 1 Ω, determinar a resistência equivalente entre os pontos a e b.

Fig 01

Seja R a resistência entre a e b. Se o circuito for cortado em CC', a resistência do restante é também R, uma vez que a formação é repetida até o infinito.

Então, a resistência entre a e b (R) é igual à associação de uma resistência de 1 Ω em série com uma associação paralela de 1 Ω com R.

R = 1 + (1 || R) = 1 + 1 × R / (1 + R). Reagrupando e simplificando a igualdade,

R2 − R − 1 = 0. O resultado é a solução positiva dessa equação do segundo grau, R ≈ 1,618 Ω.

Fig 02

Na Figura 02, resistores de 1 Ω são dispostos em um arranjo espacial, nas arestas de um cubo. Determinar a resistência entre vértices opostos (exemplo: a e g).

Provavelmente, o problema pode ser resolvido com a planificação do circuito e a aplicação das leis de Kirchhoff. Mas a simetria do caso sugere um meio mais simples e imediato.

Seja uma corrente de 6 A aplicada entre os vértices a e g.

Desde que os resistores têm o mesmo valor, ela é dividida igualmente nas três arestas que partem de cada vértice: iab = iad = iae = ihg = ifg = icg = 2 A.

Em vértices intermediários (por exemplo, d) a corrente é dividida por dois: idc = idh = iad / 2 = 1 A.

Escolhe-se agora um caminho qualquer entre a e g. Exemplo: ad, dh e hg. E as respectivas correntes já foram deduzidas: iad = 2 A, idh = 1 A e ihg = 2 A.

A queda de tensão entre a e g é a soma das quedas de cada parte:

vag = vad + vdh + vhg = 1 × 2 + 1 × 1 + 1 × 2 = 5 V. Desde que iag = 6 A conforme premissa,

Rag = vag / iag = 5/6 Ω.

Conversão Delta-Y e Y-Delta

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No lado esquerdo da Figura 01, três resistores estão ligados em Δ (ou triângulo). Deseja-se saber os valores para a configuração Y (ou estrela) equivalente.

Fig 01

Então, a resistência entre os pontos A e B deve ser igual à resistência entre a e b:

RAB || (RBC + RCA) = Ra + Rb. E, de forma similar para os demais pares de pontos,

RBC || (RAB + RCA) = Rb + Rc.

RCA || (RAB + RBC) = Rc + Ra.

Expandindo as igualdades anteriores e resolvendo o sistema de equações, o resultado é

Ra = RAB RCA / (RAB + RBC + RCA) #A.1#.

Rb = RAB RBC / (RAB + RBC + RCA) #A.2#.

Rc = RBC RCA / (RAB + RBC + RCA) #A.3#.

Fig 02

Na transformação inversa, isto é, Y-Delta conforme Figura 02, procedimento similar pode ser usado, chegando-se ao resultado:

RAB = (Ra Rb + Rb Rc + Rc Ra) / Rc #B.1#.

RBC = (Ra Rb + Rb Rc + Rc Ra) / Ra #B.1#.

RCA = (Ra Rb + Rb Rc + Rc Ra) / Rb #B.1#.

Essas conversões podem ser bastante úteis para a solução de alguns problemas de análise de circuitos.

Fontes: associações e condições reais

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Fontes de tensão ou de corrente podem ser associadas para formar conjuntos de maior capacidade, mas há restrições que devem ser observadas.

Fig 01

Fontes de tensão em série resultam numa fonte com tensão igual à soma das tensões individuais. No exemplo da Figura 01, a associação (a) é equivalente à fonte (b) com

v = v1 − v2 + v3.

Notar que a soma deve ser algébrica, ou seja, uma fonte em oposição (2 no exemplo) reduz a tensão total.

Associações em série de fontes de tensão são comuns na prática. Baterias são geralmente formadas por células individuais ligadas em série.

A ligação em paralelo de fontes de tensão só é viável se elas forem iguais. Se fontes diferentes forem associadas em paralelo, haverá correntes entre elas e os danos serão inevitáveis.

Fig 02

Fontes de corrente podem ser associadas em paralelo. No exemplo da Figura 02, o conjunto paralelo (a) equivale a uma fonte (b) com

i = i1 − i2 + i3.

De forma similar à fonte de tensão, o elemento invertido reduz a corrente do conjunto.

A ligação em série de fontes de corrente tem restrições semelhantes à ligação em paralelo de fontes de tensão. Só pode ser feita com elementos idênticos.

Fig 03

Fontes reais de tensão e de corrente

Em primeira aproximação (na realidade, há mais diferenças), uma fonte de tensão real pode ser considerada uma fonte ideal de tensão vs em série com uma resistência Rs, denominada resistência interna da fonte. Ver (a) da Figura 03.

Assim, se o circuito a alimentar tem uma resistência equivalente RL, a tensão v é dada por

v = vs − Rs i. Portanto, a tensão diminui com o aumento da corrente.

O gráfico de (b) da mesma figura mostra curvas típicas para as situações descritas:

(1) fonte ideal: tensão constante, independente da corrente.(2) aproximação para fonte real conforme relação anterior: variação linear da tensão.(3) possível característica para uma fonte real: variação não linear.

Notar que uma fonte de tensão ideal teria resistência interna nula. Assim, uma fonte de tensão real deve ter a menor resistência interna possível.

De forma similar, uma fonte de corrente real pode ser considerada aproximadamente igual a uma ideal com uma resistência em paralelo conforme (c) da Figura 03. Então, a corrente na carga é dada por

i = is − v / Rs. Ou seja, a corrente diminui com o aumento da tensão.

O gráfico em (d) da figura exibe curvas similares às anteriores, com as devidas adaptações para correntes.

Uma fonte de corrente ideal teria resistência interna infinita e, portanto, uma fonte real deve ter a maior resistência possível.

Fig 04

Fontes de correntes práticas são mais difíceis de implementar, mas uma aproximação simples é possível. O circuito da Figura 04 é o anterior para a fonte de tensão. Na relação também vista

v = vs − Rs i, pode-se substituir v por RL i. E o resultado após simplificação é:

i = vs / (Rs + RL). Fazendo k = RL / Rs e substituindo, i = vs / [ Rs (1 + k) ].

Assim, se a resistência interna da fonte é muito grande em relação à da carga (Rs >> RL), tem-se k ≈ 0 e a corrente é dada por

i ≈ vs / RL, ou seja, é aproximadamente constante, simulando uma fonte de corrente. Entretanto, a aplicação prática é limitada devido à perda de potência no resistor e à necessidade de tensões altas de vs para operar com circuitos usuais.

Máxima transferência de potência

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Seja, conforme Figura 01, uma fonte de tensão de resistência interna Rs que alimenta uma carga de resistência RL.

A corrente é dada por i = vs / (Rs + RL). E a potência dissipada pela carga é

Fig 01

PL = RL i2 = RL [ vs / (Rs + RL) ]2.

Considerando constantes os parâmetros da fonte, o valor de RL que maximiza a potência acima é dado pela derivada nula.

dPL / dRL = 0.

Omitindo o desenvolvimento matemático, o resultado é RL = Rs. Ou seja, a máxima potência é transferida quando a resistência da carga é igual à resistência interna da fonte de tensão.

Se as resistências são iguais, as potências dissipadas em cada são também idênticas porque são percorridas pela mesma corrente. Deduz-se então que, na condição de máxima potência transferida, a eficiência é 50%.

Princípio da superposição

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Se um sistema físico é linear, o seu comportamento pode ser considerado a soma dos comportamentos individuais de cada componente desse sistema. Esse é o princípio da superposição, que pode ser usado para resolver circuitos elétricos lineares, de forma simples e rápida em muitos casos.

Em geral, o cálculo é feito com uma fonte independente de cada vez. As demais fontes independentes são removidas segundo os critérios:

Fig 01

• Fonte independente de tensão suprimida = curto circuito.

• Fonte independente de corrente suprimida = circuito aberto.

• Fonte dependente de tensão ou corrente não é suprimida.

No exemplo da Figura 01 (a), que tem apenas fontes independentes, deseja-se saber a corrente através do resistor R3, isto é, iR3. As etapas estão indicadas nos outros circuitos.

(b) Mantida a fonte S1 e suprimidas S2 e S3. Desde que estas últimas são fontes de corrente, os terminais são deixados em aberto.

A corrente em R3 nessa condição é facilmente calculada iR3b = 30/(6+4+2) = 2,5 A.

(c) Mantida S3 e suprimidas S1 e S2. Notar o curto na ausência de S1. Nessa situação, o resistor de 4 Ω e a série (6+2) Ω formam um divisor de corrente de dois elementos para a fonte de corrente de 3 A. Segundo fórmula já vista, iR3c = 3 × 4 / [4 + (6+2)] = 1 A.

(d) Mantida S2 e suprimidas S1 e S3. Ocorre também um divisor de corrente de dois elementos para a fonte de 8 A. Os resistores são 6 Ω e 4+2 = 6 Ω. Desde que são idênticos não há necessidade de fórmula. A corrente é dividida igualmente, mas notar que o sentido é oposto ao das anteriores iR3d = −8/2 = −4 A.

E o resultado final é dado pela soma iR3 = iR3b + iR3c + iR3d = 2,5 + 1 − 4 = − 0,5 A.

Fig 02

O exemplo da Figura 02 (a) é semelhante ao anterior, mas a fonte S2 é dependente, fornecendo uma corrente igual a oito vezes a corrente de R3. Por ser dependente, ela não é suprimida.

(b) Mantida S1 e suprimida S3. Segundo a lei das correntes de Kirchhoff, a corrente que sai do nó n3 é 8 iR3b + iR3b = 9 iR3b. Aplicando-se a lei das tensões de Kirchhoff no laço indicado,

− 30 + 6 9 iR3b + (4+2) iR3b = 0. Ou iR3b = 0,5 A.

(c) Mantida S3 e suprimida S1. A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n3 dá resultado similar ao anterior, 9 iR3c para a corrente que sai. E a mesma lei no nó n1 implica

9 iR3c − 8 iR3c − 3 − iR4c = 0.

Portanto, iR4c = iR3c − 3.

Agora é usada a lei das tensões de Kirchhoff (LTK) no laço indicado.

6 9 iR3c + 4 (iR3c − 3) + 2 iR3c = 0.

A solução dessa equação é iR3c = 0,2 A. E o resultado final, iR3 = iR3b + iR3c = 0,5 + 0,2 = 0,7 A.

Teorema de Thévenin e teorema de Norton

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Seja um circuito genérico X de dois terminais de saída, representado por um retângulo em (a) e em (b) da Figura 01. Esse circuito é supostamente formado por fontes independentes (pelo menos uma), fontes dependentes e resistores.

Fig 01

A tensão de circuito aberto entre terminais, vca, é indicada em (a) da figura.

A corrente de curto-circuito entre terminais, icc, é indicada em (b) da figura.

A resistência de Thévenin desse circuito é dada pela relação entre ambas

Rth = vca / icc #A.1#.

O teorema de Thévenin afirma que esse circuito é equivalente a uma fonte de tensão vca em série com uma resistência Rth, conforme (c) da figura.

O teorema de Norton estabelece que o circuito é equivalente a uma fonte de corrente icc em paralelo com uma resistência Rth, conforme (d) da figura.

As seguintes relações podem ser facilmente deduzidas.

• na equivalência de Thévenin, se a carga drena uma corrente i, a tensão é

dada por

v = vca − Rth i #B.1#.

• na equivalência de Norton, se a carga fixa uma tensão v, a corrente é dada por

i = icc − v / Rth #B.2#.

Fig 02

Os teoremas anteriores podem ser aplicados na solução de alguns problemas de circuitos, que envolvem parâmetros entre dois terminais.

Em muitos casos, é bastante útil a conversão de fontes conforme ilustrado na Figura 02.

A equivalência dos circuitos pode ser facilmente deduzida com os teoremas anteriores e pode ser assim resumida:

• uma fonte de tensão v em série com uma resistência R equivale a uma fonte de corrente i = v/R em paralelo com uma resistência R.

• uma fonte de corrente i em paralelo com uma resistência R equivale a uma fonte de tensão v = R i em série com uma resistência R.

No exemplo da Figura 03 (a), uma fonte de tensão vs alimenta uma resistência de carga RL via divisor de tensão formado por R1 e R2. Dados esses parâmetros, deseja-se saber a tensão e corrente na carga, vRL e iRL.

Notar que a fórmula vista em página anterior para divisor de tensão não considera corrente de carga. Assim, quando se aplica uma resistência real RL, a tensão é menor que a calculada pela fórmula mencionada.

Fig 03

Para a solução com o teorema de Thévenin, consideram-se terminais na resistência RL. Assim, a parte (b) da figura mostra a tensão de circuito aberto, que é calculada pela fórmula do divisor de tensão porque não há corrente:

vca = vs R1 / (R1 + R2).

A corrente de curto-circuito é vista em (c) da figura:

icc = vs / R2.

E a resistência de Thévenin é dada por:

Rth = vca / icc = R1 R2 / (R1 + R2).

A parte (d) da mesma figura mostra o equivalente de Thévenin para o circuito. E a corrente da carga é calculada por:

(Rth + RL) iRL = vca. Substituindo os valores anteriores,

[ R1 R2 / (R1 + R2) + RL ] iRL = vs R1 / (R1 + R2). Portanto, a corrente iRL é calculada a partir dos parâmetros supostamente conhecidos e a tensão é vRL = RL iRL.

Para o exemplo da Figura 04, pede-se determinar os parâmetros de Thévenin em função da tensão vs1, da fonte S1.

Considerando-se os terminais 1 e 2 abertos, a corrente em R1 é calculada com uso da LTK (lei das tensões de Kirchhoff) no laço S1, R1 e R2:

− vs1 + 200 iR1 + vR2 = 0. Portanto, iR1 = (vs1 − vR2) / 200.

A corrente em R2 é iR2 = vR2 / 2000.

A corrente em R3 é calculada com o uso da LTK no laço limitado pelos nós n1, n2, n3 e n4:

Fig 04

− vR2 + 1900 iR3 + 100 iR3 − 98 vR2 = 0.

Portanto, iR3 = 99 vR2 / 2000.

A aplicação da lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n1 implica

iR1 = iR2 + iR3. Substituindo,

(vs1 − vR2) / 200 = vR2 / 2000 + 99 vR2 / 2000. Assim, vR2 = vs1 / 11.

E a tensão de circuito aberto é a soma da queda de tensão em R4 com a tensão de S2. Desde que não há corrente entre 1 e 2, a corrente em R4 é igual à corrente em R3:

vca = 100 iR3 − 98 vR2 = 100 99 vR2 / 2000 − 98 vR2.

vca = − 93,05 vR2 = − 93,05 vs1 / 11 ≈ − 8,46 vs1.

A Figura 04A (a) mostra a situação com os terminais 1 e 2 em curto-circuito. A corrente em R1 tem a mesma expressão anterior:

Fig 04A

iR1 = (vs1 − vR2) / 200.

A corrente em R2 é também iR2 = vR2 / 2000.

A tensão em R3 é a mesma de R2, ou seja, vR2. Portanto, a corrente é

iR3 = vR2 / 1900.

De forma similar à situação anterior, a lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n1 resulta em

iR1 = iR2 + iR3. Substituindo os valores anteriores,

(vs1 − vR2) / 200 = vR2 / 2000 + vR2 / 1900. Resolvendo, vR2 = 190 vs1 / 229.

A corrente em R4 é obtida pela LTK no laço n2, 1, 2 e n3:

100 iR4 − 98 vR2 = 0 ou iR4 = 98 vR2 / 100.

Aplica-se agora a LCK no nó n2: iR3 = iR4 + icc. Substituindo, vR2 / 1900 = 98 vR2 / 100 + icc.

Resolvendo, icc ≈ − 0,98 vR2. Substituindo o valor de vR2, obtém-se icc ≈ − 0,98 190 vs1 / 229 = − 0,813 vs1.

Portanto, o circuito é equivalente a (b) da Figura 04A, com vca ≈ − 8,46 vs1 e

Rth = vca / icc = − 8,46 vs1 / (− 0,813 vs1) ≈ 10,4 Ω.

Amperímetro: princípios e algumas aplicações

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A Figura 01 dá o princípio básico do amperímetro clássico (também denominado instrumento D'Arsonval): uma bobina móvel (que se liga aos bornes com fios flexíveis) é acoplada a um ponteiro que pode girar em torno de um eixo.

Fig 01

Uma mola espiral não indicada na figura atua sobre esse conjunto de forma que, sem corrente, o ponteiro repousa no lado esquerdo da escala.

Desde que a bobina móvel está sob ação de um campo magnético de um ímã permanente, ao passar uma corrente elétrica pela mesma, o campo magnético gerado pela interage com o campo do ímã, girando o conjunto para a direita.

Dos princípios do eletromagnetismo e da mecânica simples, deduz-se que a deflexão é proporcional à corrente que circula pela bobina.

Na prática, esses instrumentos têm construção delicada, tipo mecanismo de relógio, e podem apresentar sensibilidade para correntes pequenas, na faixa de microampères.

Fig 02

Nos esquemas, amperímetros são simbolizados por círculos com a letra A. A Figura 02 (a) dá o circuito básico da medição de corrente com o amperímetro.

Assim, a corrente indicada é

ia = vs / (Rs + RL) #A.1#.

Mas isso seria o caso de um instrumento ideal. Amperímetros reais sempre apresentam uma resistência interna Rm, de forma que o diagrama real é simulado em (b) da figura e a corrente é

ib = vs / (Rs + Rm + RL) #A.2#.

Portanto, ib < ia.

Pode-se então concluir que o amperímetro deve ter a menor resistência interna possível. Em muitos casos práticos, essa resistência é pequena em relação às demais do circuito, de forma que a redução da corrente medida pode ser desprezada.

A bitola do fio da bobina móvel deve ser dimensionada de acordo com a faixa de correntes a medir. Acima de certo valor, é inviável a construção prática das bobinas, de modo que, para correntes mais elevadas, os amperímetros são quase sempre implementados com auxílio de uma resistência de derivação em paralelo ou shunt, do inglês. O seu uso permite ainda a multiplicidade de escalas mediante simples comutação de resistores.

Fig 03

A Figura 03 dá o esquema de um amperímetro real, de resistência interna Rm, com uma resistência de shunt Rp. A lei das correntes de Kirchhoff no nó esquerdo implica

i = im + ip #B.1#

Para o laço A, Rm e Rp, segundo a lei das tensões de Kirchhoff, Rm im = Rp ip #B.2#. Combinando as duas igualdades de forma a eliminar ip,

i = im (1 + Rm / Rp) #B.3#.

Portanto, a corrente real é a corrente medida multiplicada por um fator dependente da relação Rm / Rp. Naturalmente, a escala pode ser confeccionada para leitura direta de acordo com essa relação.

Fig 04

A tensão entre os terminais de um amperímetro real, sem shunt, percorrido por uma corrente im é dada por

v = Rm im #C.1#. Dessa relação conclui-se que um amperímetro pode operar como voltímetro, pois a tensão é proporcional à corrente medida.

A maioria dos valores usuais de tensão exigem resistências maiores que a própria do instrumento (Rm), de forma que voltímetros práticos usam resistências multiplicadoras Rx, conforme indicado na Figura 04.

No esquema dessa figura, a tensão na resistência de carga RL é dada por

vRL = (Rx + Rm) im #C.2#.

Nos voltímetros comuns, as escalas são desenhadas de acordo com o multiplicador usado, para indicação direta da tensão. Comutação de resistores pode ser empregada para proporcionar múltiplas escalas.

Voltando ao circuito da Figura 04, pode-se observar que a corrente de medição im aumenta a queda de tensão em Rs e, por isso, a tensão medida é inferior à tensão real, sem o instrumento. Um voltímetro deve ter, portanto, a maior resistência interna possível. Esse aspecto é importante em circuitos eletrônicos de sinais, onde as correntes são em geral pequenas e o uso de voltímetros inadequados pode resultar em erros significativos.

É comum a especificação da resistência interna de voltímetros em ohms por volt para o fundo de escala. Por exemplo, um voltímetro 0-5 V e 10000 Ω/V apresenta uma resistência de 5×10000 = 50 kΩ.

O símbolo usual de voltímetro é similar ao do amperímetro, com um V no lugar do A no interior do círculo. Nos diagramas comuns, os símbolos abrangem as resistências internas que existirem. Se forem instrumentos ideais, elas serão nulas nos amperímetros e infinitas nos voltímetros.

Um medidor de resistência (ohmímetro) pode ser implementado com um voltímetro de acordo com o circuito básico da Figura 05.

Fig 05

Considerando um voltímetro de elevada resistência interna, a corrente por ele drenada pode ser desprezada e a queda de tensão em R2 é aproximadamente a leitura v:

v ≈ vR2 #D.1#.

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no laço formado por Vs, R2 e R,

− vs + R2 i + R i = 0. Mas a corrente i é dada por i = vR2 / R2 ≈ v / R2 (usando #D.1#). Substituindo e simplificando, o resultado final da igualdade anterior é

R = R2 ( vs / v − 1 ) #D.2#.

A tensão da bateria vs pode ser medida com as pontas de prova em curto-circuito. E o valor da resistência desconhecida R é calculado pela fórmula

acima.

Ohmímetros práticos usam um resistor ajustável R1 para fazer, com as pontas em curto, o valor de vs igual à leitura máxima do voltímetro e a escala é graduada em ohms, em relação a esse valor máximo. Notar que, segundo a fórmula #D.2#, a escala é não linear e inversa, isto é, quanto maior R, menor a leitura.

Observar também que a fórmula #D.2# foi obtida com a aproximação de #D.1#. Desde que não há voltímetros ideais, os ohmímetros práticos usam circuitos para compensar essa aproximação, mas o princípio básico é o mesmo.

Um mesmo instrumento D'Arsonval pode ser combinado com chaves comutadoras e circuitos para executar as funções de amperímetro, voltímetro e ohmímetro. É o conhecido multímetro, de amplo uso em equipamentos eletrônicos.

Análise nodal de circuitos - Introdução

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A análise nodal é um meio sistemático para a solução de circuitos resistivos com fundamento na lei das correntes de Kirchhoff.

Fig 01

O circuito simples da Figura 01 pode ser resolvido com auxílio das fórmulas já vistas para associação de resistores, mas aqui será usado para estudo do método.

O primeiro passo é identificar todos os nós do circuito, que são os pontos de conexão de dois ou mais elementos.

Fig 02

Na praxe dos diagramas, nós de dois elementos não são destacados. A Figura 02 mostra todos eles.

A próxima etapa é a escolha de um nó de referência, que será considerado de potencial nulo, como se fosse ligado à terra.

O nó de referência deve ter o maior número de elementos conectados e, principalmente, o maior número de fontes independentes de tensão.

Todas as tensões serão consideradas relativas ao nó de referência. No circuito em questão, o nó n4 é a escolha natural para a referência conforme indicado na Figura 02.

O problema é resolvido se as tensões nos nós são conhecidas. O nó n4 tem tensão nula por ser referência. O nó n1, por ser de uma fonte de tensão conectada à referência, tem a própria tensão da fonte. Restam então os nós n2 e n3, de tensões desconhecidas v2 e v3, destacados com (*) na Figura 03.

O raciocínio acima permite deduzir que, de forma genérica, o número de nós de tensão desconhecida é n − 1 − m, onde n é o número total e m é o número de fontes de tensão independentes conectadas ao nó de referência.

Fig 03

Uma vez identificados os nós de tensão desconhecida, o próximo passo é indicar as correntes entre nós, lembrando que os seus sentidos e os lados de maior (+) e de menor (−) potencial devem estar de acordo com a convenção já vista para elementos passivos e ativos. Ver Figura 03.

Para facilitar a formulação das equações, é usada condutância no lugar de resistência. Assim,

G1 = 1/R1, G2 = 1/R2, etc.

As correntes indicadas podem ser calculadas em função de diferenças de tensões e condutâncias.

i1 = G1 (vs1 − v2) i2 = G2 v2 i3 = G3 (v2 − v3) i3 = G4 v3

A lei das correntes de Kirchhoff (LCK) no nó n2 implica

i1 = i2 + i3. Substituindo, G1 (vs1 − v2) = G2 v2 + G3 (v2 − v3). Ou, reagrupando,

G1 v2 + G2 v2 + G3 v2 − G3 v3 = G1 vs1. Simplificando, (G1 + G2 + G3) v2 − G3 v3 = G1 vs1 #A.1#.

Aplica-se agora a LCK no nó n3:

i3 = i3. Ou G3 (v2 − v3) = G4 v3. Reagrupando, − G3 v2 + (G3 + G4) v3 = 0 #A.2#.

G1+G2+G3 −G3

−G3 G3+G4

×v2

v3

= G1 vs1

0

#B.1#

As igualdades #A.1# e #A.2# formam um sistema de equações lineares, que pode ser representado em forma de matrizes segundo #B.1# ao lado.

Desde que as condutâncias G1 a G4 e a tensão vs1 são supostamente conhecidas, o sistema pode ser resolvido e a sua solução, v2 e v3, é a solução do circuito.

Fig 04

O primeiro elemento da matriz direita de #B.1# é igual a

vs1 / R1.

No circuito, a fonte vs1 está em série com R1. Segundo a conversão já vista de fontes, isso equivale a uma fonte de corrente vs1 / R1 em paralelo com uma resistência R1.

Então, o circuito é equivalente ao apresentado na Figura 04 ao lado.

Pode-se dizer, portanto, que os elementos da matriz de coluna da direita são as fontes de corrente que entram no nó. O valor é nulo no segundo elemento porque não há fonte para o nó n3 do circuito em estudo.

G11 −G12 … −G1N

−G21 G22 … −G2N

: : :

−GN1 −GN2 … GNN

×v11

v21

:vN1

=is11

is21

:isN1

#D.1#

O sistema anterior pode então ser generalizado para o caso de N nós de tensão desconhecida:

[G] [v] = [is] #C.1#. Onde:

[G]: matriz de condutância. Conforme #D.1#, é uma matriz N×N simétrica tal que

Gii = soma das condutâncias conectadas ao nó i.

Gij = soma das condutâncias entre os nós i e j.

[v]: matriz das tensões. De coluna N×1 tal que vi1 = tensão no nó i.

[is]: matriz de correntes. De coluna N×1 tal que isi1 = soma das fontes de corrente que entram no nó i.

Análise nodal de circuitos - Alguns exemplos

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Este tópico apresenta circuitos que demandam alguma dificuldade de análise em relação ao exemplo simples do tópico introdutório da página anterior.

Fig 01

Circuito com fonte de corrente

No exemplo da Figura 01, os dois nós inferiores equivalem eletricamente a um único, que foi escolhido para referência.

A fonte de corrente is1 é naturalmente considerada na matriz de fontes de corrente conforme visto na página anterior.

Lembrar que, no conjunto #A.1#, Gs são condutâncias (inversos) das resistências do circuito.

A contribuição da fonte de tensão vs1 é dada pelo termo vs1/R1, ou seja, a conversão em fonte de corrente, conforme mencionado na mesma página.

No caso da fonte de corrente is1, ela está conectada a dois nós desconhecidos v1

e v3. Portanto, sua parcela é positiva em v1 (corrente entrando, is1) e negativa em v3 (corrente saindo, −is1).

G1+G2+G4 −G2 0−G2 G2+G3+G5 −G3

0 −G3 G3+G6

× v1

v2

v

= is1 + vs1/R1

0−is1

3

#A.1#

Fig 02

No exemplo da Figura 02, o nó n3 é claramente o mais favorável para servir de referência.

As fontes de tensão vs1 e vs2 contribuem com as correntes equivalentes 30/6 e 50/5 respectivamente nos nós v1 e v2.

A fonte de corrente is1 atua nesses nós com sinais opostos, de forma similar ao exemplo anterior.

O resultado de #B.1# abaixo é v1 = 30 V e v2 = 40 V.

1/6 + 1/10 + 1/15 −1/10−1/10 1/10 +

1/5

×v1

v2

= 1 + 30/6−1 + 50/5

#B.1#

Circuito com fonte de tensão flutuante em série com resistência

Fig 03

No circuito de exemplo da Figura 03, qualquer seja o nó de referência escolhido, haverá pelo menos uma fonte de tensão não conectada a ele. Fontes de tensão nessa condição são denominadas flutuantes e, evidentemente, precisam ser consideradas no modelo do sistema de equações lineares.

No mesmo circuito, o nó n4 é o mais conveniente para referência, por ser comum a duas fontes de tensão. Resta, portanto, a fonte flutuante vs1.

Fig 03A

Se a fonte flutuante tem uma resistência em série, o melhor caminho é convertê-la em uma fonte de corrente equivalente em paralelo com essa resistência. Assim, o circuito enquadra-se no tipo dos anteriores e pode ser facilmente resolvido.

Na Figura 03A, o circuito é redesenhado com a conversão de vs1 para ivs1 = 48 / 6000 = 0,008 A ou 8 mA.

No sistema de equações #C.1#, os valores em kΩ do circuito estão diretamente considerados, sem multiplicadores. Desde que estão em ambos os lados, os resultados não são afetados.

É importante notar que, no circuito equivalente da Figura 03A, a fonte vs2 atua via R1 em v1 e via R3 em v2, conforme pode ser visto na matriz de correntes.

O resultado do sistema de equações #C.1# abaixo é v1 = 6 V e v2 = 0 V.

1/6 + 1/1 + 1/3 −1/1−1/1 1/4 + 1/2 +

1/1

×v1

v2

= 8 − 24/6 +

15/3−24/4

#C.1#

Circuito com fonte de tensão flutuante sem resistência em série

Fig 04

No circuito de exemplo da Figura 04, se escolhido n4 como referência, a fonte de tensão fica flutuante, mas não há uma resistência em série conectada somente com ela conforme exemplo anterior.

Neste caso, a fonte pode ser considerada um único nó, denominado supernó.

Fig 04A

A Figura 04A reproduz o circuito, com a indicação do supernó v1, formado pelos nós n1 e n5 da figura anterior.

Observar, no sistema de equações #D.1# abaixo, algumas particularidades para o caso:

• as condutâncias entre v1 e v2 são dadas por R1 e R3. Assim, o termo −(1/10 + 1/2) está presente na matriz das condutâncias.

• a fonte vs1 em conjunto com R3 atua como uma fonte de corrente entre v1 e v2. Portanto, os termos +30/2 e −30/2 estão na matriz das correntes (lado direito).

O resultado do sistema de equações #D.1# é v1 = 40 V e v2 = 10 V.

1/10 + 1/5 + 1/2 −(1/10 + 1/2)−(1/10 + 1/2) 1/10 + 1/1 +

1/2

×v1

v2

=1 + 50/5 +

30/27 − 30/2

#D.1#

Análise de circuitos por malhas - Introdução

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Este é um outro método sistemático para análise de circuitos resistivos, similar à análise de nós das páginas anteriores. A diferença é sugerida pelo nome: usa a lei das tensões de Kirchhoff no lugar da lei das correntes.

Fig 01

O procedimento só é aplicavél a circuitos planares.

A Figura 01 mostra um exemplo. Em (a), há um cruzamento sem interligação, indicado por (*). Esse circuito é planar porque ele pode ser redesenhado no plano, como em (b) da figura, de forma a eliminar cruzamentos sem interligação. Caso contrário, o circuito não é planar e não pode ser resolvido por malhas.

Todo circuito elétrico deve ter pelo menos um laço ou caminho fechado, sem o qual não pode haver corrente circulante.

Fig 02

Para estudo inicial do método, será usado o circuito de exemplo da Figura 02, que é o mesmo empregado no método nodal anterior.

Nesse circuito, é possível identificar três caminhos fechados conforme indicação das linhas tracejadas.

Uma malha é considerada um laço que não contém outros. Portanto, no circuito em estudo, apenas m1 e m2 são de interesse.

Uma vez identificadas as malhas de cálculo, o passo seguinte é a indicação de correntes para cada malha.

Fig 03

Segundo a Figura 03, as malhas m1 e m2 têm supostamente as correntes im1 e im2.

É também suposto que as correntes circulam as malhas no sentido horário. Essa convenção é arbitrária, mas, se assim mantida, proporciona uniformidade e facilita a compreensão do método (se o resultado for negativo, o sentido real é oposto).

Agora, pode-se aplicar a lei das tensões de Kirchhoff (LTK) para cada malha, observadas as convenções de sinais para elementos passivos e ativos. É importante notar que, nos ramos comuns a duas malhas, as correntes são

dadas pela soma algébrica das correntes de cada malha.

Malha m1: −vs1 + R1 im1 + R2 (im1 −im2) = 0.

Malha m2: R2 (im2 −im1) + R3 im2 + R4 im2 = 0.

R1+R2 −R2

−R2 R2+R3+R4

× im1

im2

= vs1

0

#A.1#

As igualdades anteriores formam um sistema de equações lineares de duas incógnitas, que pode ser representado em forma de matrizes segundo #A.1#.

Fig 04

Uma vez resolvido esse sistema de equações, as correntes do circuito são facilmente determinadas (ver Figura 04):

i1 = im1.i2 = im1 − im2.i3 = im2.

De forma similar à do método de análise nodal, o sistema de equações lineares pode ser generalizado para N malhas.

R11 −R12 … −R1N

−R21 R22 … −R2N

: : :

−RN1 −RN2 … RNN

×im11

im21

:imN1

=vs11

vs21

:vsN1

#C.1#

[R] [im] = [vs] #B.1#. Onde:

[R]: matriz de resistências. Conforme #C.1#, é uma matriz N×N simétrica tal que:

Rii = soma das resistências na malha i.

Rij = soma das resistências comuns às malhas i e j.

[im]: matriz das correntes. De coluna N×1 tal que imi1 = corrente da malha i.

[vs]: matriz de tensões. De coluna N×1 tal que vsi1 = soma das fontes de tensão na malha i (positivo se corrente da fonte no mesmo sentido da corrente da malha).

Análise de circuitos por malhas - Exemplos

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No exemplo da Figura 01, pede-se determinar as correntes i1, i2 e i2 com o uso do método das malhas.

Fig 01

Este circuito é bastante simples e não oferece maiores dificuldades para montagem do sistema de equações de acordo com o modelo informado na página anterior.

Deve-se notar que a fonte vs2 (9 V) está em ambas as malhas, significando valores de sinais opostos na matriz de tensões.

O resultado do sistema (#A.1#) é im1 = 2 A e im2 = 1 A. Portanto, as correntes do circuito são:

2+3 −3−3 6+3

× im1

im2

=16 − 9

9 − 6

#A.1#

i1 = im1 = 2 A.

i3 = im2 = 1 A.

i2 = i1 − i3 = 1 A.

Circuito com fonte de corrente com resistência em paralelo

Fig 02

No modelo, visto na página anterior, do sistema de equações lineares para análise por malhas, não há parâmetros para fontes de corrente.

O circuito da Figura 02 apresenta a fonte de corrente is1 em paralelo com a resistência R2.

É possível, então, identificar uma malha im3 com corrente predefinida, igual à corrente da fonte (1 A).

Fig 02A

Essa associação equivale a uma fonte de tensão vis1 = R2 is1 = 10 V em série com R2.

A Figura 02A exibe o circuito equivalente, que apresenta fontes apenas de tensão e, por isso, pode ser facilmente resolvido com o sistema de equações

mencionado.

5+10+15 −15−15 6+15

× im1

im2

=10+50

−30

#B.1#

A solução do sistema #B.1# é im1 = 2 A e im2 = 0.

Com esses valores e o anterior im3 = 1 A, as correntes i1, i2, i3, i4 e i5 do circuito original (Figura 02) podem ser calculadas.

Fig 03

Circuito com fonte de corrente compartilhada e resistência em paralelo

No circuito de exemplo da Figura 03, a fonte de corrente is2 e a resistência paralela R5 estão no interior, sugerindo um compartilhamento entre malhas.

Fig 03A

O circuito é redesenhado na Figura 03A para a conversão da fonte, isto é,

vis2 = R5 is2 = 6 × 3 = 18 V.

Similar ao anterior, há uma malha de de corrente predefinida por uma fonte de corrente

im3 = is1 = 7 A.

Deve-se notar, entretanto, que a fonte de corrente is1 (7 A) não pode ser convertida. Neste caso, consideram-se as quedas de tensão em R3 (8 × 7 = 56 V) e em R5 (6 × 7 = 42 V) na matriz de fontes de tensão.

4+2+8 −2−2

2+10+6

× im1

im2

=20+56

18+42

#C.1#

O resultado do sistema #C.1# é

im1 = 6 A.

im2 = 4 A.

Fig 04

Circuito com fontes de corrente compartilhadas por malhas

No circuito de exemplo da Figura 04, a fonte de corrente is2 não pode ser convertida diretamente porque o conjunto em paralelo (série R1 e R2) tem uma ligação central.

Fig 04A

Similar aos circuitos anteriores, essa fonte forma uma malha de corrente predefinida im3 = −1 A.

A malha assim formada pode ser considerada equivalente a duas fontes de mesma corrente conforme Figura 04A.

Nessa configuração, é possível a conversão em fontes de tensão. Ver Figura 04B.

Fig 04B

Resta agora a fonte de corrente is1, que não admite conversão. A solução para esse caso é usar o conceito de supermalha, isto é, uma malha formada por duas que partilham a mesma fonte de corrente.

Na Figura 04B, im1 é a supermalha formada a partir das anteriores (Figura 04A) im1 e im2.

Entretanto, na supermalha, não se pode supor a mesma corrente em toda a sua extensão. Assim, para R2 e R3, a corrente im1 deve ser acrescida de is1. Isso equivale a uma queda de tensão (R2 + R3) is1, que pode ser considerada na matriz de fontes de tensão

2+2+6

× im1 = 10−2−2−(2+6)×2

#D.1#

E o sistema de equações (#D.1#) tem apenas uma variável. O resultado é

im1 = −1 A.

O valor acima vale para a parte à esquerda de is1 na Figura 04B. Para a parte à direita, que corresponde a im2 da Figura 04, ocorre a relação

im2 = im1 + is1 = −1 + 2 = 1 A. Com esses valores e im3 = −1 A, as correntes do circuito podem ser determinadas.

Exemplo de análise: ponte resistiva

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Fig 01

Seja o circuito de ponte de resistores conforme Figura 01 ao lado.

Deseja-se saber a resistência equivalente entre os terminais a e b.

Deve-se notar que essa resistência equivalente não pode, para este caso, ser calculada através de fórmulas de associações de resistores.

A seguir, são demonstrados os cálculos através dos métodos já vistos de análise de nós e de malhas.

Fig 02

Na Figura 02, o circuito anterior é redesenhado para uma disposição mais clara.

A fonte vs mantém essa tensão entre os terminais, de forma que, considerando um deles referência, os nós de tensão desconhecida são v1 e v2.

No quadro abaixo (#A.1#), o sistema de equações lineares, conforme modelo visto em página anterior, para análise nodal desse circuito.

1/2+1/8+1/4 −1/4−1/4

1/3+1/12+1/4

×v1

v2

= vs/2vs/3

#A.1#

A solução de #A.1# é v1 = v2 = (4/5) vs. E a corrente i é calculada por

i = v1/8 + v2/12. Substituindo, i = (25/150) vs. E a resistência Rab = vs/i = 150/25 = 6 Ω.

Fig 03

A Figura 03 apresenta o circuito da ponte para análise por malhas. Neste caso, há uma fonte de corrente is, que forma a malha de corrente definida im3 = is. As malhas a calcular são im1 e im2 conforme indicado.

A malha im3 produz quedas de tensão em R1 e em R4, que são consideradas na matriz de fontes de tensão no sistema de equações #B.1#.

2+3+4 −4−4

12+8+4

× im1

im2

=2 is

8 is

#B.1#

A solução de #B.1# é im1 = im2 = (2/5) is. Assim, a tensão entre a e b é vab = 3 im1

+ 12 im2 = 6 is. Ou Rab = 6 Ω.

A igualdade com o resultado anterior era era naturalmente esperada.

Ponte de Wheatstone

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O circuito do tópico anterior foi inventado por Samuel Christie, cientista inglês, em 1833. Foi aprimorado em 1843 por outro cientista inglês, Charles Wheatstone. Por isso, ficou conhecida com o nome deste último.

A função original do circuito, que permanece até hoje, é a medição de grandezas elétricas.

Fig 01

No circuito da Figura 01, a ponte, alimentada com uma tensão vs, tem os resistores de valores conhecidos R1 e R2. R4 é também conhecido, mas é ajustável com uma escala, de forma que seu valor pode ser lido com precisão. Rx é o resistor cuja resistência se deseja determinar.

O voltímetro V (resistência interna Rm) indica a tensão entre os nós v1 e v2. O resistor R4 é ajustado até essa tensão se tornar nula, ou seja, v1 = v2.

Se a diferença de potencial entre v1 e v2 é nula, a corrente através de Rm também é nula. Assim, na análise de malhas (#B.1# do tópico anterior), deve-se ter im1 = im2 = im.

R1+R2+Rm −Rm

−Rm Rx+R4+Rm

×im

im

= R1 is

R4 is

#A.1#

O sistema de equações #A.1# deste tópico é o #B.1# do tópico anterior com a substituição dos valores numéricos por símbolos e a igualdade de correntes acima.

Isolando im das duas equações,

im = R1 is / (R1 + R2) e im = R4 is / (Rx + R4). Igualando, R1 / (R1 + R2) = R4 / (Rx + R4).

Após simplificação, o resultado é R1 Rx = R2 R4 #B.1#.

Isso significa que, na condição de tensão nula entre v1 e v2, o valor de Rx só depende dos valores dos demais resistores e pode ser facilmente calculado se eles são conhecidos.

A medição com ponte de Wheatstone pode apresentar elevada precisão, uma

vez que o processo é comparativo, não depende da precisão do voltímetro V, que basicamente deve ter sensibilidade adequada para a indicação de zero. Com uso de tensões alternadas, grandezas como capacitância, indutância e impedância podem ser medidas.

Eletricidade I-10

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Carga elétrica |Lei de Coulomb |

É suposto que os conhecimentos sobre a eletricidade tiveram seu início por volta de 600 AC, quando Thales de Mileto (*) verificou que um bastão de âmbar (uma resina fóssil) atritado atraía pequenos fragmentos de palha. E a origem da palavra está no termo grego elektron, que significava âmbar amarelo.

Esta série de páginas procura dar algumas informações sobre os fenômenos da eletricidade e do eletromagnetismo, partindo do conceito básico de carga elétrica.

(*) Filósofo, cientista e matemático grego (624-547 AC presumidos).

Carga elétrica(Topo pág | Fim pág)

As constatações de Mileto foram a base para a hipótese da existência de cargas elétricas, que podem ser de duas espécies: positiva e negativa.

Entre cargas da mesma espécie ocorre uma repulsão e entre espécies diferentes, uma atração conforme exemplos da Figura 01.

O modelo atual supõe que uma porção qualquer de matéria, no seu estado normal, contém a mesma quantidade de cargas positivas e negativas.

Fig 01

Quando, por exemplo, um bastão de vidro é atritado contra um tecido, o trabalho mecânico desfaz esse equilíbrio, transferindo cargas entre as partes. O vidro passa a ter mais cargas positivas e o tecido, mais cargas negativas.

Lei de Coulomb(Topo pág | Fim pág)

A primeira análise quantitativa das forças entre cargas elétricas é creditada ao físico francês Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) no ano de 1785.

Coulomb usou um arranjo conforme Figura 01 deste tópico: uma esfera fixa contém determinada carga elétrica q2. Uma outra esfera com carga elétrica q1 se encontra na extremidade de uma pequena barra mantida em equilíbrio por uma esfera de mesma massa na extremidade oposta. O conjunto é suspenso por um fio fino, de forma que o seu ângulo de rotação depende das forças entre as cargas, que produzem uma torção mecânica no fio.

Coulomb verificou que força de atração ou de repulsão entre dois corpos eletricamente carregados é diretamente proporcional às cargas de cada e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles. Essa lei fundamental teve o nome dado em homenagem ao seu descobridor, isto é, lei de Coulomb.

Fig 01

Há uma clara semelhança com a lei da gravitação de Newton. A diferença é a ocorrência de apenas atração para esta última (o mesmo arranjo de Coulomb, denominado balança de torção, foi usado posteriormente por Henry Cavendish, cientista inglês, para determinar a constante de gravitação. Nesse caso, as dimensões eram maiores, com esferas de chumbo de aproximadamente 159 kg).

Fig 02

Sejam, conforme Figura 02, duas cargas elétricas não necessariamente iguais q1 e q2 separadas por uma distância r. Então a força F de atração (ou repulsão) segundo a lei de Coulomb é

#A.1#

A constante de proporcionalidade da relação acima é dada pelo termo

#A.2#

ε0 é a constante de permissividade elétrica do vácuo, que é o meio aqui considerado. O valor aproximado é

ε0 ≈ 8,85 10−12 C2/(N m2) #A.3#

A razão para expressar a constante de proporcionalidade conforme #A.2# será vista adiante, no estudo de campos elétricos.

A formulação da lei de Coulomb implica a necessidade de uma unidade de carga elétrica. A unidade padrão do Sistema Internacional (SI) é o coulomb, de símbolo C. Considerando o valor anterior da permissividade elétrica, o cálculo segundo #A.1# permite o enunciado:

Carga tal que, se colocada a uma distância de 1 metro de outra carga idêntica no vácuo, repele-a com uma força de 8,98 109 newtons.

Entretanto, a definição oficial não é essa. É usado o conceito, dado em página posterior, de corrente elétrica:

Carga elétrica que passa, durante um segundo, pela seção transversal de um condutor percorrido por uma corrente invariável e igual a um ampère.

Calculando para mais de duas cargas(Topo pág | Fim pág)

Quando são apenas duas cargas, a força entre elas é determinada com uma simples aplicação da Lei de Coulomb. Para mais de duas cargas, o cálculo pode ser feito em partes conforme exemplo da Figura 01 abaixo.

O procedimento é simples: as forças são calculadas separadamente para cada par de cargas e o resultado é dado pela soma vetorial de cada força atuante.

Fig 01

Para determinar a força total que q2 e q3 exercem sobre q1, calculam-se separadamente as forças F12 e F13 conforme equação já vista da lei de Coulomb e a resultante F é dada pela soma vetorial de ambas:

F1 = F12 + F13 (grandezas vetoriais são indicadas pelo formato em negrito).

De forma análoga, pode-se determinar as forças totais atuantes nas demais cargas, isto é, q2 e q3.

Carga elementar(Topo pág | Fim pág)

A carga elétrica não varia de forma contínua e obedece aos princípios da física quântica. A menor carga possível é a do elétron

e ≈ 1,6 10−19 C #A.1#

Ela é denominada carga elétrica elementar.

Uma carga qualquer q deve ser tal que

#B.1#Onde n é um número inteiro, positivo ou negativo.

É evidente que, com um valor tão pequeno, é como se ela fosse continuamente variável para a maioria das aplicações práticas. Entretanto, certos fenômenos só podem ser estudados com o uso do conceito quântico.

Forças elétricas e gravitacionais no átomo(Topo pág | Fim pág)

A tabela abaixo dá os valores de carga elétrica e massa das partículas fundamentais do átomo. A massa do nêutron é aproximadamente igual à do próton e a do elétron, cerca de 1840 vezes menor.

Partícula Carga Massa kg

Próton + e ≈ 1,67 10-27

Nêutron 0 ≈ 1,67 10-27

Elétron − e ≈ 9,11 10-31

Para um átomo de hidrogênio (distância aproximada entre elétron e próton 5,3 10-11 m), o cálculo das forças conforme leis da gravitação e de Coulomb dá os resultados a seguir.

• Atração elétrica entre elétron e próton ≈ 3,7 10-8 N.

• Atração gravitacional elétron / próton ≈ 8,1 10-47 N.

Isso demonstra que, no átomo, a força gravitacional é muito pequena em relação à elétrica.

Campo elétrico - Introdução(Topo pág | Fim pág)

Um corpo de massa m, próximo da Terra, é submetido a uma aceleração g tal que a força atuante (peso) é

#A.1#De outra forma, pode-se escrever

#A.2#

E a aceleração da gravidade g pode ser considerada um vetor representativo do campo gravitacional da Terra.

Na analogia com a atração gravitacional, a massa equivale à carga elétrica. Assim, pode-se considerar, conforme Figura 01, um vetor E que representa a intensidade do campo elétrico da carga q1 na carga q2.

#B.1#

Desde que F é uma grandeza vetorial e q2 é um escalar, a grandeza E é um vetor.

Fig 01

A unidade de E no Sistema Internacional é N/C (newton por coulomb), de forma

análoga à do campo gravitacional (newton por quilograma N/kg ou metro por segundo quadrado m/s2). Na forma mais usual, o campo elétrico pode também ser dado em volts por metro (V / m), de acordo com o conceito (informado em página posterior) de potencial elétrico.

A noção de campo elétrico é necessária principalmente para o estudo de cargas não estacionárias, mas o seu desenvolvimento implica alguma complexidade em certos casos. Nas páginas seguintes, mais informações sobre o assunto.

Determinação do campo elétrico(Topo pág | Fim pág)

Em tópico anterior foi dada a introdução ao assunto, com a definição da grandeza vetorial que representa o campo. O cálculo do seu valor irá depender da forma geométrica e da distribuição das cargas envolvidas. Seja, por exemplo, o caso particular de duas cargas puntiformes:

q1: carga de referência, considerada produtora do campo.q: carga sobre a qual o campo elétrico atua.r: distância entre as cargas acima.

Segundo a lei de Coulomb, F = [ 1/(4 π ε0) ] q1 q / r2.

Da definição de campo elétrico, E = F / q.

Combinando as relações, o resultado é a magnitude do vetor do campo elétrico:

#A.1#

Naturalmente, a direção do vetor E é dada pela reta que passa pelas cargas.

Se, no lugar de uma, há várias cargas de referência, q1, q2 ... , cada uma dá sua contribuição de campo E1, E2 ... , e o resultado é a soma:

#B.1#

Para o caso de distribuição contínua de cargas, é necessária a integração

#C.1#

Pode-se deduzir que a complexidade aumenta bastante na prática, pois em muitos casos a distribuição é contínua. Entretanto, a análise do campo elétrico pode ser facilitada pelo conceito de linha de força, objeto do próximo tópico.

Linhas de força(Topo pág | Fim pág)

São linhas imaginárias que mostram a atuação do campo elétrico e apresentam as seguintes propriedades:

• Uma tangente à linha de força em um determinado ponto indica a direção do vetor E nesse ponto.

• O número de linhas por unidade de área é proporcional ao módulo do vetor E.

Isso significa que as linhas são mais próximas entre si onde E é maior e mais afastadas onde ele é menor.

O recurso dá apenas uma noção da direção e intensidade e não é adequado para determinações numéricas, mas permite uma fácil interpretação gráfica da ação do campo.

Fig 01

A Figura 01 acima é um exemplo de linhas de força representativas do campo de uma carga puntiforme negativa. A simetria do caso sugere que são retas no sentido radial e, portanto, as tangentes são as próprias, coincidindo com a atuação do campo.

Se a carga fosse positiva, apenas o sentido das linhas (indicado pelas setas)

seria o contrário.

Quanto maior a distância até a carga mais afastadas entre si estão as linhas, em conformidade com o que já foi visto, isto é, o valor do campo diminui com a distância.

Fig 02

Pode-se demonstrar que o campo entre duas placas planas, paralelas e de espessura desprezível é uniforme. Na Figura 02, a representação gráfica do campo elétrico uniforme: linhas de força retas e paralelas e igualmente espaçadas.

Linhas de força para duas cargas

A Figura 03 dá um exemplo de linhas de força para duas cargas puntiformes positivas e de valores idênticos. A interação de repulsão entre cargas iguais é claramente visível.

Fig 03

O exemplo da Figura 04 é a situação anterior com cargas opostas.

Fig 04

Portanto, há agora uma atração entre cargas, que é percebida pelas linhas de força comuns.

Em um ponto genérico P, o vetor campo elétrico pode ser dado por

E = E1 + E2. Onde

E1: campo da carga positiva.

E2: campo da carga negativa.

Essa relação vale também para o caso anterior, observados os sentidos dos vetores de campo.

Naturalmente, o cálculo acima pode ser estendido para qualquer distribuição de cargas puntiformes segundo a relação E = Σ Ei vista em tópico anterior.

Dipolo elétrico(Topo pág | Fim pág)

Dipolo elétrico é o conjunto de duas cargas elétricas puntiformes de mesma magnitude e de sinais contrários separadas por uma determinada distância. Como exemplo prático, pode-se citar o arranjo de duas esferas de pequenas dimensões unidas por uma haste de material isolante.

Na Figura 01, um dipolo elétrico é formado por duas cargas de magnitude q separadas de uma distância 2d. A grandeza momento de dipolo elétrico (vetor p) é definida pelo produto do vetor indicativo do deslocamanto entre cargas (2d) e o módulo de cada carga (q):

p = 2d q #A.1#

O momento de dipolo elétrico é uma grandeza específica para cargas elétricas e não deve ser confundido com momento ou conjugado mecânico. Há, naturalmente, uma relação com este último, que pode ser facilmente deduzida para o caso do dipolo estar sob ação de um campo elétrico uniforme E.

Fig 01

Assim, a magnitude da força em cada carga é dada por F = q E. E o momento mecânico é dado por

τ = 2d sen α F = 2d sen α q E

Essa relação sugere um produto vetorial entre o momento de dipolo conforme #A.1# e o campo elétrico:

τ = p × E #B.1#

A igualdade acima permite concluir que, se o dipolo puder girar livremente, ele deverá alinhar-se no sentido do campo, isto é, na condição de momento mecânico nulo.

Movimento de uma carga em um campo uniforme(Topo pág | Fim pág)

Considerando que, conforme leis da mecânica clássica, a força atuante em um corpo é igual ao produto da massa pela aceleração e, como já visto, o campo elétrico é igual à razão entre força e carga elétrica, pode-se escrever

m a = q E #A.1#

m: massa do corpo.a: aceleração.q: carga elétrica.E: campo elétrico (considerado uniforme).

A igualdade anterior pode ser rearranjada para

a = (q/m) E #A.2#

Portanto, uma carga elétrica em um campo uniforme adquire uma aceleração proporcional à relação (q/m).

Fig 01

Desde que a razão q/m não é a mesma para todos os corpos, a aceleração também não é. Isso mostra uma clara distinção entre campo elétrico e campo gravitacional. Neste último, a aceleração é a mesma para todos os corpos.

No exemplo da Figura 01 acima, uma partícula de carga q entra com velocidade inicial v0 em uma região de campo elétrico uniforme E. A aceleração devido a esse campo produz um desvio h em um anteparo situado a uma distância L.

Na direção horizontal, o movimento é uniforme. Assim, a distância é:

x = v0 t #B.1#

Na vertical, o movimento é uniformemente acelerado com aceleração dada por #A.2#:

y = (1/2) (q/m) E t2 #B.2#

Combinando essa igualdade com #B.1#, obtém-se a equação da trajetória:

y = (1/2) (q/m) (E/v02) x2 #B.3#

E o ângulo α é dado por:

tan α = dy/dx para x = a. Assim, tan α = (q/m) (E/v02) a.

Para a << L, pode-se supor tan α ≈ h/L. Substituindo na igualdade acima, resulta em:

h/L = (q/m) (E/v02) a #B.4#

Portanto, o desvio é proporcional à intensidade do campo elétrico.

Exemplo de aplicação: tubos de raios catódicos para osciloscópios

Fig 02

A proporcionalidade entre intensidade do campo e desvio é de especial aplicação em osciloscópios de tubos de raios catódicos, nos quais a deflexão do feixe de elétrons no tubo é obtida por meio de placas paralelas, horizontais e verticais. A Figura 02 acima dá uma idéia simplificada do funcionamento.

Pode ser demonstrado que o campo entre duas placas planas e paralelas é uniforme e proporcional à tensão aplicada. Assim, a forma de onda pode ser observada mediante aplicação adequada de sinais nos conjuntos de deflexão horizontal e vertical.

Energia potencial elétrica(Topo pág | Fim pág)

Sejam duas cargas q1 e q2 separadas por uma distância r conforme Figura 01 abaixo. Conforme já visto, a depender dos seus sinais, há entre elas uma força de atração ou repulsão. Assim, para serem mantidas na condição de equilíbrio estático, agentes externos devem aplicar forças opostas. Se, por exemplo, as cargas têm sinais contrários e as forças dos agentes externos são removidas, elas são aceleradas, uma de encontro à outra.

Fig 01

Pode-se então dizer que, na condição de equilíbrio, há uma energia potencial elétrica, que é transformada em energia cinética quando as cargas se tornam livres. É situação análoga à energia potencial resultante da ação gravitacional.

A energia potencial U das cargas da Figura 01 é calculada pelo simples produto da força entre elas segundo lei de Coulomb pela distância r:

#A.1#

Fluxo de campo elétrico(Topo pág | Fim pág)

Seja uma superfície S, aberta ou fechada, no interior de um campo elétrico (exemplos: S1, S2 e S3 da Figura 01).

Fig 01

Supõe-se agora a superfície dividida em áreas elementares ΔS suficientemente pequenas de forma que o campo elétrico que atravessa possa ser considerado constante ao longo de cada.

Seja ΔS o vetor de módulo ΔS e de direção perpendicular a essa área elementar conforme Figura 02. Seja também E o vetor campo elétrico que passa por essa área elementar

Fig 02

O fluxo de campo elétrico na área elementar é dado pelo produto escalar desses dois vetores:

#A.1#

Para toda a superfície, o fluxo é calculado pela soma:

#A.2#

A definição precisa de fluxo de campo elétrico considera áreas infinitesimais e, portanto, a fórmula usa a integral de superfície:

#A.3#

Desde que é uma integração de produtos escalares infinitesimais, pode-se concluir que o fluxo poderá ser positivo, negativo ou nulo, dependendo da forma da superfície e da distribuição do campo elétrico.

Lei de Gauss(Topo pág | Fim pág)

Seja S uma superfície fechada que contém uma carga elétrica q e ΦE o fluxo de campo elétrico em S devido a essa carga. A lei de Gauss estabelece a relação

#A.1#

Ou, de outra forma,

#A.2#

Desde que q é a carga total contida, pode-se deduzir:

• Se uma superfície contém duas cargas de mesma magnitude e de sinais contrários, o fluxo será nulo.

• Se uma superfície não contém cargas, o fluxo também será nulo. Assim, na Figura 01 do tópico anterior, o fluxo em S2 é zero, isto é, as cargas externas não têm influência.

Fig 01

A lei de Gauss pode ser usada para a dedução teórica da Lei de Coulomb: seja, conforme Figura 01, q uma carga puntiforme no centro de uma superfície esférica de raio r.

A simetria sugere que o campo elétrico E seja igual para cada área infinitesimal e perpendicular a ela. E o vetor dS está na mesma direção de E. Portanto, o produto escalar é o produto dos seus módulos:

ε0 ΦE = ε0 ∫S E dS = ε0 ∫S E dS = ε0 E ∫S dS = q

Desde que a integral de dS é a área da esfera (= 4 π r2), a igualdade pode ser escrita:

ε0 E 4 π r2 = q

E = [ 1/(4 π ε0) ] q / r2

Se for considerada uma carga q' no ponto de atuação de E, a força atuante é F = E q'. Substituindo na anterior,

#B.1#

Essa relação corresponde à fórmula já vista para a lei de Coulomb (o resultado é coerente com a formulação da constante de proporcionalidade, 1/(4 π ε0), comentada no tópico desse link).

Potencial elétrico(Topo pág | Fim pág)

No estudo deste conceito será considerado um campo elétrico uniforme de intensidade E, conforme Figura 01 abaixo. Pode ser um campo genérico, mas o desenvolvimento matemático é mais complexo.

Sejam os pontos a e b da figura e uma carga positiva q. A diferença de potencial elétrico V entre esses pontos é dada pela razão entre o trabalho necessário para deslocar a carga q de a até b e essa carga:

Vb − Va =Wab

#A.1#

q

A unidade de V, que em termos de outras do Sistema Internacional seria joule por coulomb (J/C), é denominada volt (V).

É usual considerar Va um potencial de referência e de valor nulo (em muitos casos a superfície da Terra é essa referência). Assim, a diferença de potencial fica dada por:

Vb

=W#A.2

#q

Fig 01

Considerando força F e deslocamento X na mesma direção, o trabalho é igual ao produto dos seus módulos:

Wab = F (Xb − Xa) #B.1#

Conforme definição de campo elétrico (E), a força em uma carga q é dada por:

F = − q E #B.2#

O sinal negativo indica que a força F tem direção oposta à do campo E, conforme pode ser visto na figura. E, combinando as igualdades anteriores com #A.1#, chega-se a

Vb − Va = − q E (Xb − Xa) / q.

Simplificando e usando a notação de intervalo,

E = −

ΔV #C.1

#ΔX

Por essa relação, deduz-se que, no lugar de newton por coulomb (N/C), a

unidade de campo elétrico pode ser volt por metro (V/m), que é a preferida na prática.

Da igualdade #C.1#, verifica-se também que, devido ao sinal negativo, o vetor campo elétrico aponta na direção em que o potencial elétrico diminui.

O desenvolvimento matemático aqui não é dado, mas é possível demonstrar que, no caso de campo uniforme, o trabalho para deslocar a carga de a até b é igual ao trabalho para deslocar de a até b'. Generalizando esse fato e considerando o campo no espaço, conclui-se que superfícies de mesmo potencial ou superfícies equipotenciais são planos perpendiculares à direção do campo, no caso de campo elétrico uniforme.

Fig 02

Para campos elétricos não uniformes, a determinação de superfícies equipotenciais exige em geral procedimentos matemáticos mais complexos.

No caso particular do campo de uma carga puntiforme, a simetria sugere que são superfícies esféricas concêntricas conforme indicado em corte na Figura 02 deste tópico.

Vale lembrar que, em qualquer caso, superfícies equipotenciais e linhas de forças são ortogonais entre si.

Voltando ao caso da carga puntiforme segundo Figura 02, é possível demonstrar que o potencial de uma superfície equipotencial de raio r é dado por:

V =

1 q #D.1#4 π ε0 r

Essa relação também vale para a região externa de uma esfera com cargas elétricas uniformemente distribuídas.

Potencial e campo elétrico em uma esfera condutora

(Topo pág | Fim pág)

A parte superior da Figura 01 deste tópico indica o corte de uma esfera condutora de raio R, supostamente carregada com uma carga positiva q. Deseja-se saber a variação do potencial e do campo elétrico em função da distância r ao centro da esfera.

Fig 01

O potencial elétrico para r ≥ R é dado pela fórmula do tópico anterior:

V =

1 q #A.1#4 π ε0 r

Desde que a esfera é condutora, não pode haver diferença de potencial no corpo. Assim, para r < R, ele é constante e igual ao potencial da superfície:

V =

1 q(= constante)

#A.2#4 π ε0 R

Para r ≥ R, o campo elétrico é dado pela lei de Gauss, vista em página anterior:

E =1 q #B.1

#4 π ε0 r2

De acordo com #C.1# do tópico anterior, o campo elétrico no interior da esfera deve ser nulo porque o potencial elétrico é constante.

Capacitância(Topo pág | Fim pág)

Sejam duas esferas de raio r, com cargas elétricas de mesmo valor q, mas opostas e distantes D uma da outra. A distância D é suficientemente grande para se considerar desprezível a interação elétrica entre elas (Figura 01). Nessas condições, o potencial elétrico das esferas superior e inferior é dado pelas relações a seguir.

+V' = +1 q #1.1

#4 π ε0 r

−V' = −1 q #1.2

#4 π ε0 r

Calculando a diferença de potencial,

(+V') − (−V') = V'' =1 q #2.1

#2 π ε0 r

Portanto,

q = (2 π ε0 r) V'' = C' V'' #2.2#

A constante C' é denominada capacidade ou capacitância do conjunto das esferas.

Fig 01

Se as esferas são aproximadas para uma distância d na qual seja considerável

a interação dos seus respectivos campos elétricos, as igualdades anteriores não são mais válidas, mas observa-se que a diferença de potencial entre elas diminui e, portanto, a capacitância aumenta.

De forma genérica, a capacitância C é definida pela relação básica

C =

q #A.1#V

Ou seja, é a relação entre a carga elétrica armazenada e a diferença de potencial.

A propriedade de armazenar uma grande quantidade de carga elétrica, desde que os corpos condutores sejam separados por uma pequena distância, é amplamente aplicada nos componentes elétricos denominados capacitores.

Na prática, não são usadas esferas, mas sim lâminas separadas por um isolante, que pode ser o próprio ar em alguns casos.

A unidade de capacitância, coulomb por volt no Sistema Internacional, é denominada farad (F) em homenagem a Michael Faraday, pioneiro no estudo desse fenômeno. Entretanto, ela é muito grande para a maioria das aplicações práticas e os submúltiplos (µF, nF, pF) são bastante empregados.

Capacitância de um capacitor(Topo pág | Fim pág)

O arranjo de um capacitor básico é exibido, em corte, na Figura 01 abaixo: duas placas condutoras planas e paralelas de mesma área S e separadas de uma distância d. Cada placa armazena cargas opostas +q e −q, produzindo um campo elétrico uniforme entre elas. O conjunto está supostamente sob vácuo.

De acordo com a lei de Gauss,

ε0 ΦE = ε0 ∫ E dS = ε0 E S = q

Da relação já vista entre potencial e campo elétrico,

V = E d

Fig 01

Da definição de capacitância, q = C V. Combinando essas igualdades e eliminando as variáveis q e V, o resultado é

#A.1#

Portanto, a capacitância aumenta com o aumento de área e com a redução da distância entre placas, conforme poderia ser esperado.

Coube a Faraday o pioneirismo de constatação do incremento da capacitância pela introdução de um material isolante (dielétrico) entre as placas.

Fig 02

A Figura 02 mostra o arranjo do capacitor anterior com um dielétrico. Observa-se experimentalmente que, nessa condição, a capacitância é dada por:

#B.1#

Ou seja, é a capacitância do capacitor básico anterior multiplicada por uma constante k. Ela é denominada constante dielétrica do material porque, conforme observações práticas, é característica do material do dielétrico e não depende da forma do capacitor.

Das relações anteriores, conclui-se que, para o vácuo, k = 1 (exemplo para comparação: no caso de vidro, k ≈ 4,5).

Cálculos com outros formatos de capacitores permitem deduzir que a formulação da igualdade #B.1# para um capacitor genérico é

#C.1#

Onde X é uma grandeza que tem dimensão de comprimento e depende da forma geométrica do capacitor. No caso de placas planas e paralelas, X = S / d.

Energia armazenada num capacitor(Topo pág | Fim pág)

Em página anterior, foi verificado que, entre duas cargas mantidas separadas entre si por um meio externo, há uma energia potencial. O capacitor é uma configuração física que mantém cargas opostas separadas. Um capacitor carregado contém teoricamente uma quantidade de energia equivalente àquela que se consumiu para carregá-lo.

Uma fonte que carrega um capacitor pode ser considerada um agente externo que retira elétrons da armadura positiva e os coloca na armadura negativa.

De acordo com o conceito de potencial elétrico entre dois pontos,

Vb − Va = Wab / q

No caso do capacitor, Vb − Va = V. Considerando variações infinitesimais,

V = dW / dq ou também dW = V dq

Mas, no capacitor, q = CV. Assim, dW = C V dV. Essa equação é resolvida por integração,

W = ∫ C V dV

O resultado é

#A.1#

A fórmula acima indica, portanto, a energia armazenada num capacitor de capacitância C carregado de forma a apresentar uma diferença de potencial V entre placas.

Considerando o capacitor de placas planas e paralelas do tópico anterior, é possível calcular a energia armazenada por volume u:

u = W / (S d) = (1/2) C V2 / (S d)

Substituindo C pela relação já vista, C = k ε0 S / d, e simplificando,

u = (1/2) k ε0 (V/d)2

Mas V/d = E (intensidade de campo elétrico). Portanto,

#B.1#

Embora deduzida para um capacitor, a fórmula acima é genérica e indica a energia armazenada por volume em um material de constante dielétrica k e submetido à ação de um campo elétrico E.

Voltímetro eletrostático(Topo pág | Fim pág)

Este é um instrumento que mede diferença de potencial (tensão) elétrica diretamente, sem uso de fenômenos eletromagnéticos. Serve como exemplo de aplicação de conceitos dados nos tópicos anteriores. A figura 01 abaixo mostra os elementos básicos.

A construção é semelhante à de um capacitor variável: duas placas metálicas planas e paralelas, em forma de semicírculo, eletricamente isoladas da estrutura e separadas de uma pequena distância.

Uma das placas é fixa e a outra pode girar em torno do centro geométrico do círculo, de modo que a área sobreposta S forma um capacitor cujo valor depende do ângulo α.

Fig 01

Se uma diferença de potencial V é aplicada entre as placas, a tendência da placa móvel é girar até se alinhar com a fixa, resultando em máxima capacitância e, assim, máxima energia armazenada. Entretanto, a ação da mola espiral limita o giro e impõe uma posição de equilíbrio.

De acordo com igualdade do tópico anterior, a energia armazenada é W = (1/2) C V2.

Para obedecer ao princípio da conservação da energia, a mola espiral deve armazenar igual quantidade de energia. E, segundo princípios da mecânica clássica, a relação do torque com a energia é

τ = dW / dα. Substituindo W pelo valor anterior,

#A.1#

Considerando que a mola trabalha na região elástica do material, a deflexão do ponteiro é proporcional ao torque. Se a variação da capacitância com o ângulo, dC / dα, é constante, a indicação da escala é proporcional ao quadrado da tensão aplicada na entrada.

Pode ser observado que esse medidor, na prática, não drena corrente do circuito medido, com exceção do breve período inicial para carga do capacitor. O instrumento pode ser usado também com tensões alternadas, ficando a proporcionalidade anterior relativa ao quadrado do valor eficaz. Em qualquer caso, devido a limitações práticas de sensibilidade, só pode medir tensões altas, na faixa de quilovolts.

Corrente elétrica(Topo pág | Fim pág)

Se um meio condutor põe em contato dois elementos entre os quais há uma diferença de potencial elétrico, cargas elétricas serão deslocadas devido a essa diferença de potencial, resultando em uma corrente elétrica.

A Figura 01 abaixo apresenta algumas situações possíveis sobre o modo de movimentação das cargas, que depende do meio condutor:

• Em A, somente cargas positivas (é o caso dos buracos em semicondutores tipo P).• Em B, somente cargas negativas (elétrons nos metais).• Em C, ambos os tipos (é o caso de íons em soluções eletrolíticas).

É usual representar a corrente elétrica (i) como uma seta no sentido do campo. É o sentido convencional da corrente. Notar que, no meio condutor mais comum (metal), ele é contrário ao movimento das cargas.

Fig 01

Fisicamente, a intensidade de corrente elétrica i é definida pela carga elétrica por unidade de tempo que passa por uma seção do condutor:

#A.1#

A unidade no Sistema Internacional, que seria C/s, é denominada Ampère (A).

A manutenção de uma corrente elétrica em um condutor implica a necessidade do fornecimento de energia, pois ela ocorre devido à aceleração de cargas pelo campo elétrico.

Da definição de potencial elétrico considerando o uso de infinitesimais,

V = dW / dq ou dW = V dq. A potência é dada por P = dW / dt.

Assim, P = V dq / dt. Substituindo o valor de #A.1#,

#B.1#

A fórmula acima indica a potência demandada por um dispositivo pelo qual circula uma corrente elétrica i sob uma diferença de potencial V.Corrente elétrica (cont)(Topo pág | Fim pág)

A intensidade de corrente elétrica i, pela sua própria definição (i = dq/dt), não é uma grandeza vetorial, embora seja praxe o uso de seta para indicar o seu sentido.

Há uma grandeza vetorial relacionada com a corrente elétrica, que é denominada densidade de corrente j. Para sua definição, considera-se um

condutor percorrido por uma corrente i e uma seção reta de área S desse condutor. Então a corrente é dada por

#C.1#

Ou seja, a corrente no condutor é dada pela integração dos produtos escalares dos vetores j em cada seção elementar dS pelos seus vetores de área dS.

A simples análise dimensional dessas relações mostra que a unidade de j no Sistema Internacional é o ampère por metro quadrado (A/m²).

No caso particular de uma seção transversal de um condutor retilíneo e na hipótese de uma distribuição uniforme de corrente pela seção (j constante) a igualdade anterior pode ser escrita em termos escalares

#C.2#

Ainda nesse caso particular, seja nv o número de elétrons de condução do material do condutor por unidade de volume. Então, um comprimento ℓ desse condutor contém uma carga (e = carga elétrica elementar)

q = nv S ℓ e

Se vc é a velocidade de condução da corrente,

i = q / (ℓ/vc)

Substituindo q segundo relação anterior, i conforme #C.2# e simplificando, chega-se ao resultado

#D.1#

Onde:vc: velocidade de condução (ou deslocamento) da corrente elétrica no condutor.j: densidade de corrente conforme #C.2#.nv: número de elétrons de condução por unidade de volume do material condutor.e: carga do elétron (≈ 1,6 10−19 C).

Portanto, a igualdade acima permite calcular a velocidade de deslocamento da corrente elétrica no condutor. Possivelmente, o número de elétrons de

condução por volume nv é o parâmetro menos evidente, mas pode ser calculado por

#D.2#

Onde:μ: massa específica do material kg/m3.NA: constante de Avogadro (≈ 6,022 1023 átomo/mol).n: elétrons de condução por átomo (elétron/átomo).M: massa molar (kg/mol).

Resistência elétrica

Na primeira parte deste tópico foi abordado o conceito de corrente elétrica, isto é, cargas elétricas em movimento entre dois pontos de potenciais elétricos diferentes de um material condutor. A resistência elétrica R desse meio condutor é dada pela relação entre a diferença de potencial V e a corrente circulante i:

#E.1#

A unidade de resistência elétrica no Sistema Internacional é o ohm (Ω).

A resistência elétrica de um meio depende da sua geometria e do seu material. O parâmetro relacionado que depende apenas do material é denominado resistividade elétrica. Para um condutor de um material homogêneo, de comprimento ℓ e de seção transversal constante S, a seguinte relação é válida.

#E.2#

Onde:R: resistência elétrica.ρ: resistividade elétrica do materialℓ: comprimento.S: área da seção transversal.

Da relação acima, conclui-se que a unidade de resistividade no Sistema Internacional é ohm metro (Ω m).

Fig 01

Voltando à definição de resistência elétrica, R = V / i, pode-se presumir que um condutor perfeito teria resistência nula, isto é, poderia haver corrente sem qualquer diferença de potencial. Já um isolante perfeito teria resistência infinita, isto é, para qualquer diferença de potencial aplicada, a corrente seria nula. Naturalmente esses extremos não existem na prática e, portanto, bons condutores são elementos de baixa resistência elétrica e isolantes são elementos de resistência bastante alta.

A igualdade #E.1# pode ser escrita V = R i. Se a resistência de um elemento é constante, pode-se dizer que a tensão é proporcional à corrente que circula. Esse é o enunciado da lei de Ohm, que é válida principalmente para elementos metálicos.

Notar que, rigorosamente, o enunciado da lei de Ohm não é simplesmente a relação V = R i. Essa é válida em qualquer caso. Para obedecer à lei de Ohm, a resistência R deve ser constante, independente da corrente i.

Um circuito elétrico elementar é dado na Figura 01 acima: o gerador G mantém uma diferença de potencial constante V entre seus terminais (ab) e a corrente i circula por condutores (considerados de resistência desprezível) até um dispositivo de resistência elétrica R. Assim, esse dispositivo tem entre seus terminais (cd) uma diferença de potencial V e uma corrente circulante i. E a potência dissipada é calculada pela fórmula já vista no tópico anterior:

#F.1#

Substituindo V por Ri (da definição de resistência #E.1#), a potência dissipada pode ser dada em termos de resistência e corrente:

#F.2#

Também, substituindo V,

#F.3#

É evidente que o conjunto deve obedecer aos princípios da Termodinâmica. Se energia é dissipada em R, o gerador deve consumir energia (mecânica, química, etc) para manter a diferença de potencial V entre seus terminais. Essa diferença de potencial é muitas vezes denominada força eletromotriz (fem).

Eletromagnetismo I-10

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Introdução |Interação magnética e campo

magnético |

Introdução

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Segundo a História, a palavra magnetismo tem como origem Magnésia, cidade em uma região do antigo Oriente Médio (atual Turquia), de onde há registro da descoberta de um mineral que tinha a propriedade de atrair partículas de ferro. A esse mineral deu-se o nome de magnetita, que é o óxido de ferro com tal propriedade.

O fenômeno do magnetismo está estritamente ligado à eletricidade. Embora em um ímã comum possa parecer que não - afinal funciona sem qualquer fonte de corrente elétrica - se considerado o aspecto atômico, ele se relaciona com o movimento de cargas elétricas.

Nesta série de páginas não há nenhum objetivo de se tratar o assunto em nível de átomos. Apenas as relações maiores e práticas entre eletricidade e magnetismo.

Interação magnética e campo magnético

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O fato de dois ímãs se atraírem ou se repelirem, dependendo das suas posições, pode sugerir a existência de cargas magnéticas similares às elétricas. Entretanto, tal modelo não deve ser considerado.

Cargas elétricas podem existir de forma isolada, mas não é possível separar espécies de magnetismo. Se um ímã for dividido em duas ou mais partes, elas serão simplesmente outros ímãs com as mesmas características de atração e repulsão do original. No modelo aceito não existem cargas, mas sim dipolos magnéticos. Aos pólos são dados os nomes de norte (N) e sul (S). E a interação entre os mesmos é a face mais visível do magnetismo: pólos idênticos se repelem e pólos opostos se atraem.

O conceito de campo magnético é similar ao do elétrico. O vetor do campo magnético B é usualmente denominado indução magnética e as linhas que representam o campo são as linhas de indução. E as propriedades são similares às propriedades das linhas de campo elétrico:

• Uma tangente à linha de indução em um determinado ponto indica a direção do vetor B nesse ponto.

• O número de linhas por unidade de área é proporcional ao módulo do vetor B. Isso significa que as linhas são mais próximas entre si onde B é maior e mais afastadas onde B é menor.

Fig 01

A grandeza fluxo de campo magnético em uma superfície S é definida de forma similar à do fluxo elétrico:

ΦB = ∫S B · dS #A.1#.

A unidade de fluxo magnético no Sistema Internacional é o weber (Wb).

Entretanto, a lei de Gauss para o magnetismo tem uma formulação diferente da correspondente na eletricidade.

O fluxo de campo elétrico em uma superfície fechada é dado por

ΦE = q /ε0, onde q é a carga elétrica no interior da superfície.

Desde que não há pólos magnéticos isolados, se S é uma superfície fechada, deve-se ter

ΦB = ∫S B · dS = 0 #B.1#.

É importante lembrar que a igualdade é válida se S for uma superfície fechada.

Devido à não existência de campos magnéticos isolados, o vetor indução magnética é definido de forma diferente do campo elétrico:

Seja, conforme Figura 02, uma carga elétrica q que se move com velocidade v e sobre a qual age uma força F perpendicular a v. Então, a indução magnética no ponto da carga é o vetor B que satisfaz à relação

F = q v × B #C.1#.

Ou seja, a força é o produto vetorial de q v pela indução magnética. E a direção de v × B pode ser vista pela conhecida regra da mão direita.

Notar que, se v for nulo, F também será e isso significa que a interação eletromagnética só ocorre com cargas em movimento.

Fig 02

Se existe também um campo elétrico E no espaço em estudo, pode-se considerar a soma vetorial da força que ele exerce sobre a carga, resultando numa formulação mais genérica:

F = q E + q v × B #D.1#.

Essa igualdade é denominada relação de Lorentz.

A unidade da indução magnética (vetor B) no Sistema Internacional é N s C−1 m−1, que é denominada tesla (T). Uma unidade antiga, mas ainda possivelmente usada, é o gauss (G), que equivale a 10−4 T.

O tesla pode ser também expresso em weber por metro quadrado (Wb/m2). Isso pode ser deduzido pela relação dimensional conforme definição anterior de fluxo de campo magnético: weber = tesla × área.

Alguns valores típicos de campo magnético:

• Terra 30 a 60 µT (0,3 a 0,5 gauss) dependendo do local.• Pequenos ímãs de uso em brinquedos, portas de geladeiras, etc estão na faixa de 0,01 T (100 gauss).

Exemplo (efeito Hall)

Descoberto por E H Hall em 1879. Conforme Figura 03 abaixo, um condutor de seção retangular delgada é percorrido por uma corrente i no sentido longitudinal. Está sob ação de uma indução magnética B no sentido transversal.

• Em (a) é suposto que os portadores de carga são negativos e, portanto, o vetor velocidade v está para baixo.• Em (b) é suposto que os portadores de carga são positivos e, assim, o vetor v está para cima.

Notar que a força F tem o mesmo sentido em ambos os casos. Mas por quê?

Fig 03

Lembrando que F = q v × B, deduz-se que em (b) a força tem o mesmo sentido de v × B porque a carga q é positiva.

Em (a), v × B tem sentido contrário, mas a carga q é negativa e, assim, o resultado F tem o mesmo sentido de (b).

A ação da força F tende a deslocar os portadores de carga ao longo do eixo horizontal, provocando uma diferença de potencial entre as laterais S1 e S2. Se eles são negativos, a polaridade será conforme (a) e conforme (b) se são positivos.

Alguma dúvida pode surgir quanto a portadores de carga positivos. Nos condutores usuais (metais), somente elétrons são portadores. Mas no caso de semicondutores, aos quais se adicionam impurezas para torná-los tipo P, os buracos criados por elas simulam portadores positivos.

Experiência de Thomson

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Esta experiência, idealizada pelo físico inglês Sir Joseph John Thomson em 1897, permitiu a determinação, com bastante precisão para a época, da relação carga elétrica / massa do elétron.

Foi usada uma ampola de vidro, na qual um feixe de elétrons incidia sobre um anteparo fluorescente, de forma similar aos atuais tubos de raios catódicos. Mas havia diferenças: em vez de filamento aquecido, o emissor de elétrons era um par de eletrodos cilíndricos com elevada diferença de potencial entre si. O interior da ampola não era vácuo, mas um gás sob baixa pressão. Nessa condição, a descarga através do gás produzia o feixe, que era acelerado até o anteparo.

Logo após o emissor, o feixe passava por um campo elétrico vertical uniforme E (produzido por um par de placas paralelas e sob diferença de potencial) e por um campo magnético horizontal uniforme B, produzido por um eletroímã.

A Figura 01 mostra o arranjo básico, sem a ampola e sem os detalhes construtivos mencionados. Os elétrons entram nesse conjunto de campos com

uma velocidade v e percorrem uma distância d sob ação dos mesmos. Depois,

percorrem uma distância horizontal b até a tela.

Fig 01

Se nenhum campo é aplicado, ou seja, E = 0 e B = 0, não há desvio do feixe e ele segue na horizontal até o ponto O no anteparo.

Se os dois campos são aplicados simultaneamente, isto é, E ≠ 0 e B ≠ 0, a força atuante sobre os elétrons é dada pela relação de Lorentz já vista:

F = q E + q v × B #A.1#.

Considerando a direção dos campos conforme figura, deduz-se que a força do campo elétrico (q E) e a força do campo magnético (q v × B) têm sentidos opostos. Assim, é possível ajustar a intensidade de um ou de ambos os campos de forma que a resultante seja nula, significando o feixe no mesmo ponto O anterior. E a igualdade anterior fica

0 = q E + q v × B. Desde que os vetores v e B são perpendiculares entre si, pode-se trabalhar só com módulos e o resultado é

E = v B ou v = E / B #A.2#.

Se o campo elétrico (E) é mantido nesse valor e o campo magnético (B) é

anulado, o feixe é desviado para cima, atingindo a tela a uma distância h do ponto O.

Das relações de eletricidade, tem-se que a aceleração de uma partícula de

massa m e carga elétrica q submetida a um campo elétrico E é dada por

a = (q / m) E. Neste caso, q = e (carga do elétron) e, portanto, a = (e / m) E #B.1#.

Desde que a ação do campo elétrico é vertical, a velocidade horizontal v não

muda e o tempo para percorrer a distância d é

t = v / d #C.1#. Ou seja, t é o tempo durante o qual o elétron esteve sob ação do campo E.

Das relações simples da cinemática, a distância vertical percorrida é

y = (1/2) a t2 #C.2#.

Substituindo t de #C.1# e a de #B.2#,

y = e E d2 / (2 m v2) #C.3#.

Substituindo v de #A.2# e reagrupando,

e / m = 2 y E / (d2 B2) #D.1#.

O valor de y na igualdade acima pode ser calculado a partir de h, d e b. E as

intensidades de campo (E e B) podem ser medidas. Assim, essa igualdade permite calcular a relação carga / massa do elétron (e / m).

Na época, o valor obtido por Thomson foi 1,7 1011 C/kg, uma boa aproximação para o valor atualmente adotado (1,758796 1011 C/kg).

Ação magnética sobre uma corrente elétrica

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Em tópico anterior, foi dada a relação entre a força F resultante da ação de um campo magnético B sobre uma carga elétrica q com velocidade v:

Fig 01

F = q v × B #A.1#.

Na prática, o que se deseja saber é o resultado da ação de um campo magnético sobre uma corrente elétrica.

Seja então o caso mais simples conforme Figura 01: um condutor retilíneo percorrido por uma corrente i e sob ação de uma indução magnética constante B.

O vetor ℓ representa o condutor, ou seja, tem o seu comprimento e sentido igual ao da corrente percorrida.

Para um comprimento infinitesimal, a força é dF = dq v × B. Mas a velocidade é v = dℓ / dt. Substituindo e reagrupando, dF = (dq / dt) dℓ × B. Mas (dq / dt) é a própria definição da corrente elétrica i. Com a integração para o comprimento total, chega-se a

F = i ℓ × B #B.1#.

Ação magnética sobre uma espira

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Na Figura 01, os lados de uma espira condutora retangular são indicados pelos

vetores ℓ1, ℓ2, ℓ3 e ℓ4, que têm o mesmo sentido da corrente circulante i. A espira pode girar em torno do eixo z e está sob ação de um campo magnético uniforme B na direção indicada.

Segundo igualdade #B.1# do tópico anterior, a força atuante em um lado k é dada por Fk = i ℓk × B.

Fig 01

F2 e F4 são opostas de mesmo alinhamento e, portanto, anulam-se.

F1 e F3 são opostas, mas não têm o mesmo alinhamento. Assim, há um conjugado dado, em módulo, por

τ = F1 ℓ2 cos α. Mas F1 = i ℓ1 B. Substituindo,

τ = i ℓ1 ℓ2 cos α B.

Mas ℓ1 ℓ2 = S (área da espira).

Com a substituição da área, chega-se ao resultado τ = i S B cos α #A.1#.

Pode-se demonstrar que a fórmula acima é válida para qualquer formato de espira plana, não apenas o retangular. Essa relação é o princípio básico do funcionamento de máquinas elétricas como motores e de instrumentos como galvanômetros.

Para um caso mais genérico, de uma bobina de N espiras, o torque é multiplicado por esse valor

τ = N i S B cos α #A.2#.

Dipolo magnético

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Considerando a equação do torque do tópico anterior, pode-se concluir que, partindo de uma posição qualquer, a espira gira até a posição de torque nulo, isto é, α = 90°. Nessa condição, o vetor do campo magnético está alinhado com a reta normal à superfície da espira, de forma similar à agulha de uma bússola, que se alinha na direção do campo magnético da Terra.

Fig 01

A relação #A.1# do tópico anterior pode ser escrita

τ = i S B sen β, onde β = 90 + α = ângulo da normal à superfície da espira com o vetor B.

Essa relação sugere um produto vetorial e, portanto, o vetor conjugado pode ser dado por

τ = μ × B #A.1#.

A grandeza vetorial μ é denominada momento de dipolo magnético e, assim, o torque (momento mecânico) é igual ao produto vetorial dela pelo vetor campo magnético.

Do desenvolvimento anterior, deduz-se que o momento de dipolo magnético, para o caso genérico de N espiras, é definido por

μ = N i S #B.1#. Onde

μ: momento de dipolo magnético.N: número de espiras da bobina.i: corrente que circula pela bobina.S: vetor de superfície.

O sentido do vetor μ pode ser facilmente deduzido pela regra da mão direita, considerando o sentido da corrente circulante.

Se feita a integração do torque τ ao longo de um deslocamento angular (operação aqui não demonstrada), chega-se ao resultado (produto escalar):

U = − μ · B #C.1#.

Na relação acima, U é a energia potencial do dipolo, isto é, o trabalho que seria necessário para girá-lo da posição de conjugado nulo até o ângulo do vetor μ.

Lei de Ampère para o eletromagnetismo(Topo pág | Fim pág)

Essa lei afirma que, no vácuo, a relação entre o campo magnético B produzido por uma corrente i em um condutor é dada pela integração ao longo de um caminho:

#A.1#

dℓ: vetor do comprimento infinitesimal em uma linha de indução no ponto de atuação do campo magnético B.

μ0 = 4 π 10−7 Wb / (A m): constante de permeabilidade magnética do vácuo.

Fig 01

Exemplo - Condutor retilíneo

Neste caso, a simetria sugere que as linhas de indução são círculos concêntricos e o módulo do vetor B é constante ao longo de cada linha. Assim, para uma linha de raio r conforme Figura 01, a integração é igual ao módulo desse vetor multiplicado pelo comprimento da circunferência:

B 2 π r = μ0 i

#B.1#

O sentido de B pode ser determinado com o uso da regra da mão direita conforme indicado na Figura 01.

Para o caso mais genérico de uma espira qualquer sob uma corrente i (Figura 02), a indução magnética em um determinado ponto pode ser calculada pela lei de Biot-Savart.

Fig 02

#C.1#

Essa formulação é mais adequada quando o formato do condutor não permite uma dedução simples conforme exemplo anterior.

Força entre condutores paralelos(Topo pág | Fim pág)

Na Figura 01, dois condutores paralelos, supostamente no vácuo, separados de uma distância d são percorridos pelas correntes i1 e i2. B1 e B2 são os campos magnéticos atuantes em um condutor devido à corrente do outro. Podem ser calculados segundo a fórmula #B.1# do tópico anterior:

B1 = μ0 i1 / (2 π d)B2 = μ0 i2 / (2 π d)

Fig 01

Em página anterior, foi dado que a força F devido a um campo B em um condutor com uma corrente i e um comprimento ℓ (vetor no mesmo sentido de i) é

F = i ℓ × B

Neste caso, com as correntes no mesmo sentido, pode ser deduzido que as forças são de atração. E, para um comprimento ℓ de condutores, as forças são:

F1 = i1 ℓ B2 = μ0 ℓ i1 i2 / (2 π d)F2 = i2 ℓ B1 = μ0 ℓ i1 i2 / (2 π d)

Portanto,

#A.1#

Esse resultado é usado para a definição de corrente elétrica no Sistema Internacional de unidades:

Se d = 1 m, ℓ = 1 m e i1 = i2 = 1 A, o valor é F = 4 π 10−7 1 1 1 / (2 π 1) = 2 10−7 N

Ou seja, Ampère é a corrente que produz essa força por metro de comprimento entre dois condutores retilíneos e paralelos no vácuo e distantes 1 metro entre si.

Solenoide ideal(Topo pág | Fim pág)

Em um solenoide típico, as linhas de indução têm geometria parecida com a Figura 01 (a). Ocorre também alguma dispersão (não indicada na figura) devido ao espaço entre espiras. Se as espiras são compactas e o comprimento é

grande, o solenoide pode ser considerado aproximadamente ideal e o campo magnético na região central é aproximadamente uniforme. O objetivo deste tópico é determinar esse campo em função da corrente i e de outros parâmetros.

Fig 01

No corte (b) da Figura 01, o caminho 1234 é usado para aplicação da lei de Ampère:

(porque B é supostamente uniforme)

(B e dℓ são ortogonais)

(porque não há indução externa)

Portanto, B d = μ0 id

Na igualdade anterior, é usado id porque deve ser a corrente total no

comprimento d e não a corrente i em cada espira. Se o solenoide tem N espiras e comprimento ℓ, essa corrente é:

id = i d N / ℓ

Substituindo na anterior e simplificando,

#A.1#

Onde:

B: campo magnético na região central do solenoide ideal no vácuo.μ0: permeabilidade magnética do vácuo = 4 π 10−7 Wb / (A m).i: corrente no solenoide.N: número de espiras do solenoide.ℓ: comprimento do solenoide.

Campo magnético de um condutor retilíneo

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Pode-se usar a lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético produzido por um condutor reto percorrido por uma corrente constante i. Ver esquema na Figura 01 deste tópico.

Na formulação vista na página anterior, dB = [ μ0 i / (4 π) ] dℓ × r / r3, o vetor infinitesimal dℓ corresponde ao dx da figura.

Fig 01

Para um ponto P situado a uma distância R do fio,

dB = [ μ0 i / (4 π) ] dx × r / r3.

Conforme definição de produto vetorial, o vetor dB é perpendicular ao plano

dos vetores dx e r e tem sentido dado pela regra da mão direita. E o módulo do

produto vetorial dx × r é dx r sen α. Substituindo, obtém-se o módulo do

vetor dB:

dB = [ μ0 i / (4 π) ] dx r sen α / r3 = [ μ0 i / (4 π) ] dx sen α / r2.

De relações trigonométricas comuns,

r2 = x2 + R2 e sen α = R / r = R / √ (x2 + R2). Substituindo na anterior,

dB = [ μ0 i / (4 π) ] R dx / (x2 + R2)3/2.

Para o cálculo do valor de B, deve-se notar que o sentido de dB é sempre na direção indicada na figura, independente do local do ponto A sobre a reta. Portanto, B é dado pela integração simples

B = ∫x=−∞,x=+∞ dB = [ μ0 i / (4 π) ] ∫x=−∞,x=+∞ [R dx / (x2 + R2)3/2].

B = [ μ0 i / (4 π) ] R [x / R2 (x2 + R2)1/2]x=−∞,x=+∞.

O resultado final é B = μ0 i / (2 π R) #A.1#.

Esse valor é idêntico ao já visto em página anterior para o campo ao longo de uma circunferência com centro em O da figura e raio R. Ou seja, a lei de Ampère para o eletromagnetismo é um caso particular da lei de Biot-Savart, conforme sugere a formulação de ambas.

Campo magnético de uma espira circular

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Neste tópico deseja-se saber o valor do campo magnético em um ponto genérico P, situado no eixo de uma espira circular percorrida por uma corrente constante i. Esquema conforme Figura 01.

Da lei de Biot-Savart, dB = [ μ0 i / (4 π) ] dℓ x r / r3. Desde que dℓ e r são perpendiculares entre si, o módulo do produto vetorial é simplesmente dℓ r. Então o módulo de dB é

Fig 01

dB = [ μ0 i / (4 π) ] dℓ / r2. E o componente axial

dBA = dB cos α = dB R / r = [ μ0 i R / (4 π) ] dℓ / r3.

Notar que, na integração ao longo da espira, cada valor do componente radial dBR é anulado pelo seu oposto de 180º. Portanto, esses componentes não entram no cálculo de B.

B = ∫ dBA = [ μ0 i R / (4 π) ] (1/r3) ∫ dℓ = [ μ0 i R / (4 π) ] (1/r3) 2 π R = μ0 i R2 / (2 r3).

Mas r = (R2 + x2)1/2. Portanto,

B = μ0 i R2 / [ 2 (R2 + x2)3/2 ] #A.1#.

No conceito de dipolo magnético visto em página anterior, o módulo do vetor momento de dipolo magnético μ é dado por

μ = N i S, onde N é o número de espiras e S a área transversal.

Neste caso, N = 1 e S = π R2. Assim, μ = i π R2. E a fórmula anterior pode ser escrita em termos de momento magnético

B = μ0 μ / [ 2 π (R2 + x2)3/2 ] #B.1#. Onde μ = i π R2.

Dipolos elétrico e magnético

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O conceito de dipolo elétrico já foi visto em página anterior da série sobre eletricidade: duas cargas de mesma intensidade e opostas mantidas a certa distância uma da outra.

Fig 01

E o momento de dipolo elétrico (não é momento mecânico) é um vetor de módulo igual ao produto da intensidade das cargas pela distância entre elas:

p = d q #A.1#. Ver Figura 01.

Pode ser demonstrado que os componentes do campo elétrico em um ponto genérico P situado a uma distância r do centro do dipolo são dados por:

EN = 2 p cos α / (4 π ε0 r3) #B.1#.

Et = p sen α / (4 π ε0 r3) #B.2#.

Na espira do tópico Campo magnético de uma espira circular, se o seu raio R é pequeno em relação a x, pode-se desprezar o primeiro e a equação #B.1# do mesmo tópico fica

B = μ0 μ / (2 π x3) ou

B = μ0 2 μ / (4 π x3) #C.1#.

Fig 02

Essa igualdade dá o campo ao longo do eixo, isto é, com α = 0 na Figura 02.

Se isso é feito para o dipolo elétrico anterior, tem-se o campo na direção do eixo (com r = x)

E = 2 p / (4 π ε0 x3) #D.1#.

Notar a semelhança para a fórmula anterior (#C.1#) do campo ao longo do eixo de um dipolo magnético.

A diferença básica está na posição dos parâmetros μ0 e ε0. Assim, pode-se dizer que, no magnetismo, a constante de permeabilidade magnética no vácuo (μ0) "equivale" ao inverso da constante de permissividade elétrica no vácuo (1/ε0) da eletricidade. Naturalmente, isso se refere ao posicionamento nas fórmulas. Não há igualdade matemática.

Há outras fórmulas que confirmam essa relação. Seja a energia armazenada por unidade de volume:

Em um capacitor básico no vácuo u = ε0 E2 / 2.

Em um indutor no vácuo u = B2 / (2 μ0).

Voltando ao dipolo magnético da Figura 02, pode-se então escrever as fórmulas dos componentes do campo magnético em um ponto genérico P por simples analogia com as fórmulas do dipolo elétrico (com a hipótese anterior de R << r):

BN = μ0 2 μ cos α / (4 π r3) #E.1#.

Bt = μ0 μ sen α / (4 π r3) #E.2#.

Campo magnético de um solenóide

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Em página anterior, foi deduzida uma igualdade simples para o campo da região central de um solenóide de comprimento grande em relação ao diâmetro. Seja agora o campo em um ponto P no eixo de um solenóide genérico de comprimento L conforme esquema da Figura 01.

Se N o número total de espiras do solenóide, o número de espiras por unidade de comprimento é

n = N / ℓ #A.1#.

E o número de espiras em uma porção infinitesimal dx é n dx.

Para uma espira, o campo no eixo a uma distância x é dado pela igualdade #A.1# do tópico Campo magnético de uma espira circular:

Fig 01

B = μ0 i R2 / [ 2 (R2 + x2)3/2 ].

Então, para o ponto P da figura, o campo dB resultante de um segmento dx deve ser essa igualdade multiplicada pelo número de espiras em dx (n dx):

dB = μ0 i R2 n dx / [2 (R2 + x2)3/2].

dB = μ0 i R2 N dx / [2 ℓ (R2 + x2)3/2].

dB = [ μ0 i N / (2 ℓ) ] R2 dx / (R2 + x2)3/2.

Conforme relações trigonométricas, tan φ = R / x ou x = R / tan φ ou x = R cot φ.

Diferenciando a última, dx = − R cosec2 φ dφ.

Da trigonometria, cosec φ = 1 / sen φ = PA / R ou PA = R cosec φ.

Mas PA2 = (R2 + x2). Assim (R2 + x2) = R2 cosec2 φ.

Substituindo tudo, dB = [ μ0 i N / (2 ℓ) ] R2 (− R cosec2 φ dφ) / (R2 cosec2 φ)3/2. Simplificando,

dB = [ μ0 i N / (2 ℓ) ] ( − sen φ d φ). Então, o campo total é a integração de φ = α até φ = β:

B = [ μ0 i N / (2 ℓ) ] ∫α,β ( − sen φ d φ).

B = [ μ0 i N / (2 ℓ) ] (cos β − cos α) #B.1#.

Se o solenóide é grande e o ponto P está no centro, α ≈ 180º, cos α = −1, β ≈ 0 e cos β = 1.

E a igualdade anterior fica

B = μ0 i n #C.1#, onde n = N / ℓ.

É a fórmula dada em página anterior para a região central de um solenóide ideal no vácuo.

Forças entre dois ímãs

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Em páginas anteriores foram vistas fórmulas para calcular, por exemplo, força de um campo magnético sobre carga elétrica em movimento, forças devido à ação magnética entre condutores elétricos. Em geral, o cálculo da força entre dois ímãs é complexo, pois depende das forma geométricas. Entretanto, para casos mais simples, é possível deduzir uma fórmula a partir da analogia com cargas elétricas.

Fig 01

Segundo a lei de Coulomb, a força entre duas cargas elétricas puntiformes (Figura 01) é dada por

F = [ 1/(4 π ε0) ] (q1 q2 ⁄ r2) #A.1#, onde ε0 é a constante de permissividade elétrica do vácuo (meio considerado neste estudo).

Esse modelo não pode ser, em princípio, aplicado para o magnetismo porque não há uma espécie de "carga magnética" isolada. Se um ímã for dividido em duas ou mais partes, cada parte será um novo ímã, com os dois pólos distintos, de forma idêntica à da parte original. Mas os modelos de dipolos elétrico e magnético têm suas semelhanças.

Fig 02

Dos conceitos sobre eletricidade, pode ser visto que o momento de um dipolo elétrico conforme Figura 02 (a) é dado por

p = q ℓ #B.1# (não é momento mecânico).

E o campo elétrico E, no eixo e a uma distância x (>> ℓ) do dipolo, é

E = 2 p / (4 π ε0 r3) #B.2#.

Para (b) da figura, o momento de dipolo magnético é definido por

μ = N i S #C.1#. Onde N é o número de espiras da bobina, i a corrente circulante e S a área da seção transversal.

Observar que a definição não é semelhante à do elétrico porque, conforme já dito, não há "cargas magnéticas". A grandeza é estabelecida em função de uma bobina percorrida por uma corrente elétrica que produz o campo magnético.

Mas o campo magnético no eixo e a uma distância x (>> ℓ) é calculado de forma similar

B = μ0 2 μ / (4 π r3) #C.2#.

A diferença de posições dos parâmetros ε0 e μ0 é comentada em página anterior. Para efeito de posicionamento apenas, pode-se dizer que μ0 "equivale" a 1/ε0 (não é igualdade matemática). Valores numéricos são:

• Constante de permissividade elétrica do vácuo ε0 ≈ 8,85 10−12 C2 / (N m2).

• Constante de permeabilidade magnética do vácuo μ0 = 4 π 10−7 Wb m / A.

Fig 03

Também visto em página anterior que o campo magnético ao longo do eixo de um solenóide de comprimento finito (Figura 03) é:

B = [ μ0 i N / (2 ℓ) ] (cos β − cos α) #D.1#.

Para a extremidade direita (P'):

β = 90º e, portanto, cos β = 0.

cos α = − ℓ / (ℓ2 + R2)1/2. Substituindo,

B = μ0 i N / [2 (ℓ2 + R2)1/2].

Substituindo i N por μ / S (ver #C.1#), tem-se B S = μ0 μ / [2 (ℓ2 + R2)1/2].

μ = B S [2 (ℓ2 + R2)1/2] / μ0.

Da definição de dipolo elétrico (p = q ℓ ), pode-se imaginar a analogia com uma "carga magnética virtual" g tal que

μ = g ℓ. Substituindo na anterior,

g = 2 B S (ℓ2 + R2)1/2 / (μ0 ℓ) #E.1#.

Consideram-se agora os dois dipolos elétricos de comprimento ℓ e distantes x um do outro conforme Figura 04 (a). Há duas atrações e duas repulsões entre cargas e, portanto, pode-se calcular a resultante das forças entre ambos de acordo com a igualdade #A.1# (lei de Coulomb):

F = [ 1/(4 π ε0) ] q2 / x2 + [ 1/(4 π ε0) ] q2 / (x + 2L)2 − [ 1/(4 π ε0) ] q2 2 / (x + ℓ)2.

F = [ 1/(4 π ε0) ] q2 [ 1/x2 + 1/(x + 2L)2 − 2/(x + ℓ)2 ] #F.1#.

Fig 04

Para dois ímãs cilíndricos de comprimento ℓ, raio R, área transversal S (= π R2) e distantes x entre si, a analogia é

• (1/ε0) equivale a μ0.

• q equivale a g da igualdade #E.1#.

Substituindo, F = [ B2 S2 (ℓ2 + R2) / (π μ0 ℓ2) ] [ 1/x2 + 1/(x + 2L)2 − 2/(x + ℓ)2 ] #G.1#.

Para ímãs de seção retangular, uma aproximação pode ser obtida com a hipótese de cilíndricos de mesma seção transversal.

Iniciando uma nova analogia, calculamos agora a força entre placas de um capacitor de placas planas e paralelas, com cargas +q e −q para cada e área S conforme Figura 05.

Fig 05

Desde que as placas têm cargas opostas, há uma força F de atração entre as mesmas. Evidentemente, algum suporte não indicado na figura mantém a distância d entre placas. Isso significa, portanto, uma energia potencial igual ao produto da força pela distância

Ep = F d.

E esse valor deve ser igual à energia armazenada no capacitor.

Das relações de eletricidade, essa energia é W = C V2 / 2, onde C é a capacitância e V a tensão entre placas.

Da definição de capacitância, C = q / V, chega-se a W = (q / V) V2 / 2 = q V / 2. Igualando com a anterior,

F d = q V / 2 ou F = q (V/d) / 2.

Segundo o conceito de potencial elétrico, V/d = E (campo elétrico). Obtém-se então a força entre placas em função da carga de cada placa e do campo elétrico entre elas

F = q E / 2 #H.1#.

Observar que o resultado é equivocado se usada a definição de campo elétrico E = F/q ou F = q E. Isso é explicado pelo fato de o campo E ser resultado da ação de duas placas e não uma. Mas o que se deseja é a força em uma placa e, por isso, deve-se usar a metade do valor do campo (E/2).

Fig 06

Aplicando a lei de Gauss para uma placa do capacitor,

q = ε0 ΦE = ε0 E S. Substituindo em #H.1#,

F = ε0 E2 S / 2.

Na analogia com o campo magnético, ε0 é substituído por 1/μ0:

F = B2 S / (2 μ0) #I.1#.

Essa fórmula dá uma aproximação para a força que um ímã exerce sobre uma superfície de material magnético bem próxima de um pólo conforme ilustração da Figura 06.

Lei da indução de Faraday

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Conforme visto em página anterior, uma corrente elétrica sempre produz um campo magnético. E a situação inversa? Um campo magnético produz uma corrente elétrica? A resposta para essa questão foi dada pela primeira vez por Michael Faraday em 1831 na Inglaterra. E também, na mesma época, por Joseph Henry, nos Estados Unidos, trabalhando de forma independente.

Fig 01

A primeira experiência de Faraday foi um arranjo conforme Figura 01:

Uma espira de um material condutor de eletricidade conectada a um galvanômetro. Nessa situação, não se pode esperar indicação no instrumento, uma vez que não há fonte de corrente no circuito.

Entretanto, se um ímã for aproximado da espira, o galvanômetro indica uma corrente. Se for afastado, também indica, mas em sentido oposto. Com o ímã em repouso, não há nenhuma indicação. Uma outra experiência foi realizada conforme Figura 02.

Fig 02

Ao se ligar a chave, ocorre uma pequena e rápida deflexão no galvanômetro. E também ao se desligar, mas em sentido oposto. Mantida a chave ligada, por maior que seja a corrente circulando na espira esquerda, não há nenhuma indicação no galvanômetro.

Essas experiências simples levaram à dedução da Lei de Indução de Faraday.

A corrente que circula pela espira com o galvanômetro é denominada corrente induzida, que é produzida por uma força eletromotriz (fem) induzida Ve. E Faraday concluiu que esta última é proporcional ao negativo da variação do fluxo magnético com o tempo

Ve = − dΦB / dt #A.1#. Uma análise dimensional da igualdade indica que a unidade da fem é o Volt (V), ou seja, ela é uma tensão ou diferença de potencial elétrico.

Se, no lugar de uma espira, for considerada uma bobina de N espiras suficientemente compactas para desprezar-se a distância entre elas, a fem é dada por

Ve = − N dΦB / dt #A.2#.

É usual o conceito de fluxo concatenado λ, dado pelo produto N ΦB. Portanto,

λ = N ΦB #B.1#. E a lei de Faraday pode ser escrita na forma Ve = − dλ / dt #B.2#.

Lei de Lenz

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Enunciada pelo físico alemão H. F. E. Lenz em 1834, a lei que tem o seu nome afirma que a corrente induzida ocorre sempre de forma a contrariar a variação da grandeza que a produziu. Com essa lei, o sentido da corrente induzida é claramente definido.

Fig 01

Seja o exemplo da Figura 01 ao lado, que é a mesma situação da primeira figura do tópico anterior.

Desde que a área da espira é constante e o ângulo de incidência do movimento do ímã é também constante, pode-se supor a variação do fluxo magnético proporcional a um valor médio de campo magnético (B).

Após um intervalo de tempo Δt, o ímã é movimentado da posição 1 para a posição 2 e o campo magnético que atravessa a espira passa de B para B + ΔB porque há um maior número de linhas de indução por unidade de área para a posição mais próxima. Então a corrente induzida tem de produzir um campo B' oposto à variação, ou seja, B' = − ΔB. E o sentido da corrente i na espira pode ser facilmente deduzido pela regra da mão direita.

Essa lei é basicamente a conservação da energia aplicada ao fenômeno da indução magnética e pode ser vista de acordo com o primeiro princípio da Termodinâmica: a corrente que circula no circuito espira / galvanômetro produz calor porque a resistência dos condutores não é nula. Portanto, uma quantidade de trabalho equivalente dever ser fornecida pelo agente que movimenta o ímã. E esse trabalho deve vencer a repulsão do campo contrário B'. Se o sentido da corrente fosse oposto, haveria atração e nenhuma necessidade de trabalho fornecido, caracterizando o impossível moto perpétuo.

Devido à ação de oposição ao fenômeno gerador (também evidenciada pelo sinal negativo nas equações #A.1# e #A.2# do tópico anterior), a força eletromotriz induzida é algumas vezes denominada força contra-eletromotriz.

Exemplo numérico: consideram-se na Figura 01 deste tópico

Δ t = 0,005 s; B = 0,04 T; ΔB = 0,03 T; área da espira S = 0,004 m² (diâmetro ≈ 7,1 cm). Portanto, de acordo com #A.1# do tópico anterior, fem induzida

Ve = − (0,03 × 0,004) / 0,005 = − 0,024 V.

Espira em movimento retilíneo

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Na Figura 01 abaixo, um volume em forma de paralelepípedo contém um campo magnético uniforme B na direção indicada. Uma espira retangular de altura h é deslocada com velocidade com velocidade horizontal vx constante através da lateral direita do volume mencionado.

Fig 01

Deseja-se saber a força eletromotriz induzida na espira em função dos parâmetros fornecidos.

Sendo o campo magnético B uniforme, o fluxo através da espira é dado por

ΦB = B Sabef = B h xab, onde xab é a distância entre a e b.

Segundo a lei de indução de Faraday

Ve = − dΦB / dt = − B h (dxab / dt).

Mas a expressão dxab / dt é a própria velocidade horizontal vx. Portanto,

Ve = − B h vx #A.1#.

Notar que a altura h é o único parâmetro geométrico da espira que tem influência no resultado.

Consideram-se agora as forças atuantes de acordo com a relação já vista F = qv × B. Desde que em ab e em ef circulam correntes iguais a i em em sentidos opostos, as forças atuantes são verticais e opostas Fy e -Fy. Portanto, elas se anulam.

Notar que, na relação F = qv × B, v é a velocidade das cargas elétricas na espira e não a velocidade vx da figura. Assim, no trecho af, o vetor v deve ter sentido para cima de forma que a força horizontal Fx seja contrária ao

movimento indicado por vx., tudo em conformidade com a lei de Lenz. E o sentido da corrente i é, naturalmente, o mesmo da velocidade das cargas v.

Espira girante

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Trata-se agora do caso de uma espira de área S que gira com velocidade angular constante ω em um espaço sob ação de um campo magnético uniforme B (Figura 01).

Fig 01

De acordo com relações básicas do movimento circular uniforme, tem-se o ângulo α = ω t, onde t é tempo contado a partir da mesma referência do ângulo.

O fluxo de campo magnético através da espira é dado por

ΦB = B S cos α = B S cos ωt.

Então, a força eletromotriz induzida é

Ve = − dΦB / dt = ω B S sen ωt #A.1#.

Essa relação indica que a tensão induzida é senoidal com amplitude igual a ω B S.

A freqüência é dada por f = 2 π / ω, de acordo com princípios comuns dos movimentos periódicos.

Esse resultado indica princípio básico dos geradores de corrente alternada (alternadores). Notar que a amplitude da tensão induzida é diretamente proporcional à velocidade angular (rotação) ω da espira.

Na posição da figura, o vetor momento magnético (μ = i S) tem a direção indicada, de forma que o torque da corrente induzida τ = μ × B atua no sentido contrário ao da rotação ω, em conformidade com a conservação da energia ou da lei de Lenz.

Indutância

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Em página anterior, foi visto que o campo magnético no interior de um solenóide ideal no vácuo é dado por

B = μ0 N i / ℓ #A.1#. Onde

B: campo ou indução magnética.μ0: constante de permeabilidade magnética do vácuo = 4 π 10-7 (Wb / A) m.N: número de espiras.i: corrente circulante.ℓ: comprimento do solenóide.

Fig 01

Desde que o campo magnético no interior de um solenóide ideal é uniforme, o fluxo é

ΦB = ∫ B . dS = B S = μ0 N i S / ℓ #B.1#, onde S é a área da seção transversal.

Se a corrente i varia, há uma força eletromotriz induzida calculada de acordo com a lei de Faraday

Ve = − N dΦB / dt. O fator N ocorre porque há N espiras. Substituindo o valor do fluxo da igualdade anterior,

Ve = − (μ0 N2 S / ℓ) (di / dt) #C.1#. O fator μ0 N2 S / ℓ é denominado indutância da bobina e é normalmente simbolizado por L.

O conceito de indutância é genérico, aplicável a qualquer tipo de bobina (ou indutor). Assim, pode-se dizer que a relação entre tensão e corrente em um indutor é dada por

V = − L di / dt #D.1#. Onde L é a indutância. No caso particular do solenóide

ideal, ela é dada por

L = μ0 N2 S / ℓ #D.2#.

Da igualdade acima e de #B.1#, pode-se deduzir ΦB = (L / N) i. Portanto, se o fluxo ΦB em um solenóide de N espiras percorrido por uma corrente i é conhecido, a sua indutância pode ser calculada por

L = N ΦB / i #E.1#.

Comparação de alguns parâmetros

Resistores, capacitores e indutores são elementos básicos de circuitos elétricos e eletrônicos. A tabela abaixo dá as relações fundamentais para os mesmos.

Resistor V = R i#E.1

#V tensão, R resistência, i corrente

Capacitor q = C V#E.2

#q carga elétrica, C capacitância, V tensão

Indutor V = − L di / dt#E.3

#V tensão, L indutância, i corrente, t tempo

Energia de um indutor e de um campo magnético

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No circuito RL da Figura 01 abaixo, a potência fornecida pela fonte deve ser igual à potência dissipada no resistor mais a potência dissipada no indutor.

Fig 01

A potência fornecida pela fonte é igual a V i. Considerando as relações da tabela do tópico anterior, vale para o resistor V R i = R i2. Para o indutor, considerando valores absolutos, VL i = L i di / dt.

Portanto, V i = R i2 + L i di / dt. A parcela R i2 é a energia por unidade de tempo dissipada no resistor devido ao aquecimento (efeito Joule). A parcela do indutor, L i di / dt, não pode ser aquecimento porque se supõe indutor ideal, de resistência nula. Assim, ela só pode ser a energia por unidade de tempo armazenada no campo magnético do indutor.

P = dW / dt = L i di / dt. Simplificando, dW = L i di. E a energia armazenada no indutor é dada por

W = ∫ L i di = (1/2) L i2 #A.1#.

Para um solenóide ideal, foi visto que a indutância é L = μ0 N2 S / A e o campo magnético é B = μ0 N i / L. Isolando i, tem-se i = B L / (μ0 N). E o volume físico é dado por S A. Usando esses valores para calcular a energia armazenada por volume, u = W / (S A), chega-se ao resultado

u = (1/2) (1/μ0) B2 #B.1#.

As fórmulas anteriores guardam semelhança com as fórmulas vistas em páginas anteriores para capacitor e campo elétrico. Segue uma tabela comparativa.

Descrição Energia armazenada

Energia por volum

e

Capacitor / campo elétrico (1/2) C V2 (1/2) ε0

E2

Indutor / campo magnético (1/2) L i2(1/2) (1/μ0)

B2

Bobina toroidal

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Uma bobina toroidal tem espiras enroladas em torno de um anel circular fechado conforme Figura 01. A parte de cor cinza é apenas a forma geométrica do anel, não significando núcleo de nenhum material, ou seja, só existe o enrolamento.

Fig 01

Se, ao contrário da idéia da figura, as espiras são bastante próximas entre si e uniformemente distribuídas, e a espessura do anel é pequena em relação ao raio, não haverá campo magnético externo e as linhas de indução serão circulares e concêntricas no interior do anel.

Sejam as grandezas:

R: raio médio do anel.i: corrente que circula na bobina.N: número de espiras.

Segundo a lei de Ampère, ∫ B · dℓ = μ0 i. A simetria do arranjo sugere que o módulo da indução magnética é constante ao longo de uma circunferência interna. Portanto,

B 2 π R = µ0 N i. Notar que deve ser usado N i e não i porque a corrente total ao logo do caminho de integração é a corrente em cada espira multiplicada pelo número de espiras. Assim,

B = μ0 i N / (2 π R) #A.1#.

Há uma evidente semelhança com a fórmula para o solenóide ideal vista em páginas anteriores, B = μ0 i N / ℓ, onde ℓ é o comprimento. Observar entretanto que, neste último, a indução magnética B é constante e, na bobina toroidal, é dependente da posição dada pelo raio R.

Materiais magnéticos e intensidade de campo magnético

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Da eletricidade pode ser visto que a capacitância de um capacitor de placas no vácuo aumenta se um material com propriedades dielétricas for inserido entre elas. No magnetismo ocorre algo parecido, isto é, alguns materiais têm propriedades magnéticas que podem alterar parâmetros relacionados. O ferro é o elemento magnético mais comum e de ampla utilização.

Seja, conforme (a) da Figura 01, uma bobina toroidal similar à do tópico anterior. De acordo com a hipótese a adotar, ela poderá ter núcleo de material magnético ou não ter núcleo.

Uma corrente i que circula por uma espira forma, conforme já visto, um dipolo magnético cuja grandeza vetorial associada é o momento de dipolo magnético:

μ = i S #A.1#, onde S é a área da espira. E um dipolo magnético de momento μ sob ação de uma indução magnética B sofre um momento mecânico (torque) dado por τ = μ × B #A.2#.

Se o dipolo magnético pode girar de forma livre, conclui-se facilmente que ele

deverá se alinhar com o campo magnético B. Pode-se então supor, de forma simplificada, que materiais em geral contêm dipolos magnéticos elementares e que, nos materiais magnéticos, esses dipolos se alinham na direção do campo magnético externo.

Considera-se agora que o núcleo da bobina toroidal da Figura 01 (a) é de material magnético (ferro, por exemplo).

A magnetização (M) de um determinado volume no espaço é definida como o momento de dipolo magnético por unidade desse volume.

A parte (b) da Figura 01 representa uma fração infinitesimal de uma seção transversal dℓ com um momento de dipolo magnético dμ igual à soma dos dipolos elementares. Se S é a área transversal dessa seção, a magnetização será dada por:

M = dμ / dv = dμ / (S dℓ) #B.1#.

Se a bobina não tem núcleo, o campo magnético comporta-se segundo a lei de Ampère, ∫ B · dℓ = μ0 i. #B.2#

A prática demonstra que o campo magnético aumenta com a introdução de um núcleo de material magnético. Para manter a lei de Ampère válida na presença deste último, considera-se uma hipotética corrente de magnetização (im), isto é, a corrente equivalente ao aumento de corrente na espira que produz o mesmo efeito do núcleo.

Reformula-se então a lei de Ampère:

∫ B · dℓ = μ0 i + μ0 im #C.1#.

Integrando ao longo da circunferência de raio R e considerando N o número de espiras,

B 2 π R = μ0 N i + μ0 N im #C.2#.

Voltando à igualdade #A.1# deste tópico, pode-se concluir que, para uma bobina de k espiras, o módulo do momento de dipolo magnético é

μ = k i S. Se N é o número total de espiras da bobina toroidal considerada, o número de espiras da seção da Figura 01 (b) é N dℓ / (2 π R). Substituindo pelo k da anterior,

dμ = im S N dℓ / (2 π R) #D.1#.

Na relação acima, é usada a corrente de magnetização im porque se supõe que o momento μ é produzido pelos dipolos magnéticos elementares do núcleo.

Fig 01

Da igualdade #B.1#, dμ = M S dℓ. Portanto, M S dℓ = im S N dℓ / (2 π R). Simplificando,

N im = M 2 π R #D.2#. Substituindo em #C.2#,

B 2 π R = μ0 N i + μ0 M 2 π R #E.1#.

Se o termo B 2 π R de #C.2# é ∫ B · dℓ de #C.1#, pode-se deduzir por analogia que M 2 π R equivale a ∫ M · dℓ. Portanto,

∫ B · dℓ = μ0 i + μ0 ∫ M · dℓ. Pode-se reagrupar para

∫ [ (B − μ0 M) / μ0 ] · dℓ = i #E.2#.

Assim, a lei de Ampère para uma corrente i em um meio de material magnético é dada por

∫ H · dℓ = i #F.1# (válida para uma espira). Onde

H = (B − μ0 M) / μ0 #F.2#.

A grandeza H é denominada intensidade de campo magnético.

Notar que, na igualdade #F.1#, i é a corrente que circula pelo intervalo dℓ e não contém a corrente de magnetização anterior. Isso fica bastante claro se a igualdade #F.2# é rearranjada para

B = μ0 H + μ0 M #F.3#.

Portanto, o campo magnético B é a soma das parcelas:

• μ0 H: devida à ação da corrente i.• μ0 M: devida à magnetização do núcleo. Se não há núcleo, essa parcela é nula e B = μ0 H.

Em várias situações práticas, é possível considerar uma proporcionalidade entre B e H na forma

B = Km μ0 H #G.1#.

Km é denominado permeabilidade magnética relativa do meio (adimensional porque M e H são a mesma grandeza física).

Substituindo em #F.3#, M = (Km − 1) H #G.2#.

Observar que não há dipolos magnéticos no vácuo e, portanto, M = 0. Assim, Km

= 1 para o vácuo.

A permeabilidade magnética absoluta do meio é um valor μm tal que

μm = Km μ0 #H.1#. Onde μ0 = 4 π 10-7 Wb / (A m) é a permeabilidade magnética do vácuo. E a igualdade #G.1# fica:

B = μm H #H.2#.

A suscetibilidade magnética do meio é dada por Xm = Km − 1 #I.1#. É, portanto, nula para o vácuo.

Força magnetomotriz

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Em página anterior, foi vista a lei de Ampère para um meio de material magnético: ∫ H · dℓ = i. Para uma bobina de N espiras, a corrente deve ser multiplicada por esse número,

∫ H · dℓ = N i #A.1#.

Onde H é a intensidade de campo magnético, cuja relação com a indução magnética B é:

Fig 01

B = μm H #A.2#.

Onde μm é a permeabilidade magnética do meio, que pode ser dada em função da permeabilidade magnética do vácuo:

μm = Km μ0 #A.3#.

Onde Km é a permeabilidade relativa do meio.

No caso da bobina toroidal (Figura 01), a simetria sugere a fácil solução da integral da igualdade #A.1#,

H ℓ = N i #B.1#, onde ℓ = 2 π R (R = raio do núcleo).

No estudo de campo elétrico, a sua intensidade pode ser calculada pela diferença de potencial elétrico ou força eletromotriz e a distância. Desde que H = N i / ℓ, define-se por analogia:

Força magnetomotriz Fm = N i #C.1#.

Desde que é o produto do número de espiras pela corrente, é comum designar a unidade da força magnetomotriz por ampère-espira. Mas número de espiras é um fator adimensional e, portanto, a unidade no Sistema Internacional é a mesma da corrente elétrica (ampère).

Para a intensidade de campo magnético (H), a unidade é ampère por metro (A/m) ou ampère-espira por metro.

Circuito magnético

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Pode-se supor que a igualdade #B.1# do tópico anterior é válida para um arranjo de uma bobina em um núcleo magnético fechado conforme Figura 01 (circuito magnético). Sejam as grandezas de referência:

i: corrente na bobina.N: número de espiras

ℓ: comprimento do núcleo.S: área transversal do núcleo (supostamente constante).μm: permeabilidade magnética do material do núcleo.

Usando #C.1# e #B.1# do tópico anterior, Fm = N i = H ℓ #A.1#. Portanto, H = N i / ℓ.

Fig 01

Também conforme tópico anterior, B = μm H #B.1#. Considerando a definição de fluxo de campo magnético,

ΦB = ∫ B · dS = B S = μm N i S / ℓ #B.2#. Reagrupando essa igualdade,

Fm = N i = [ ℓ / (μm S) ] ΦB #C.1# ou

Fm = Rm ΦB #C.2# onde o fator

Rm = ℓ / (μm S) #C.3# é a relutância magnética do núcleo.

Na comparação com um circuito elétrico (V = R i), a força magnetomotriz equivale à tensão, a relutância magnética equivale à resistência elétrica e o fluxo magnético equivale à corrente elétrica.

Fig 02

Na página Eletromagnetismo II-20 pode ser vista a relação do fluxo magnético com a indutância L:

L i = N ΦB #D.1#. Desde que ΦB = Fm / Rm = N i / Rm, a substituição resulta na igualdade genérica para a indutância:

L = N2 / Rm #D.2#.

No circuito magnético com entreferro (Figura 02), considera-se que a abertura de espessura g tem a permeabilidade magnética do vácuo ((μ0).

Para pequenos valores de g a área do fluxo no entreferro é aproximadamente igual à do núcleo. E, de forma similar a uma série de resistências elétricas, a relutância magnética total pode ser considerada igual à soma da relutância do núcleo (Rm1) com a relutância do entreferro (Rm2):

Rm = Rm1 + Rm2 = [ ℓ / (μm S) ] + [ g / (μ0 S) ] #E.1#. E as fórmulas anteriores são usadas com esse valor de Rm.

Fig 03

Exemplo numérico

O arranjo da Figura 03 é uma construção típica para relés. A parte móvel do núcleo pode deslocar-se sob ação de molas e é usada para abrir ou fechar contatos elétricos. Deseja-se saber a corrente necessária na bobina considerando os seguintes dados.

• Indução magnética B = 1 T.• Número de espiras da bobina N = 500.• Comprimento de material magnético ℓ = 400 mm.• Permeabilidade relativa do material magnético Km = 1250.• Espessura do entreferro g = 1,5 mm.

Para o entreferro, considera-se a permeabilidade magnética do vácuo μ0 = 4 π

10−7 Wb m/A. E a permeabilidade do material magnético é μm = 1250 4 π 10−7 Wb m/A.

Na igualdade #E.1#, a espessura g deve ser o dobro porque são dois entreferros. Assim,

Rm = [ 0,4 / (1250 4 π 10−7 S) + 0,003 / (4 π 10−7 S) ] = [ 1 / (4 π 10−7 S) ] ( 0,4/1250 + 0,003) = 0,00332 / (4 π 10−7 S).

Das relações anteriores, Fm = N i = Rm ΦB = Rm B S. Substituindo os valores,

500 i = [ 0,00332 / (4 π 10−7 S) ] 1 S. Portanto, i ≈ 5,3 A.

Circuito magnético (cont)

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No exemplo da Figura 01 (A), as partes em cor cinza-claro são núcleos de material magnético ideal, de seções retangulares com as medidas indicadas.

A parte deslizante é guiada por camadas opostas de material não magnético, formando entreferros de espessura b = 2 mm. A permeabilidade magnética desse material é supostamente igual à do vácuo.

Fig 01

Determinar o fluxo magnético e a indutância na bobina quando a espessura do

entreferro a for igual a 5 mm.

Solução:

Núcleo de material magnético ideal significa permeabilidade magnética infinita e relutância magnética zero (similar à resistência elétrica nula de um condutor ideal). Portanto, circuito magnético pode ser representado por uma fonte de força magnetomotriz Fm (bobina) e as relutâncias dos entreferros, como em (B) da figura.

Desde que as duas Rmb estão em paralelo, o circuito pode ser simplificado para (C) da mesma figura. Nessa situação, é possível aplicar a soma das relutâncias conforme visto na página anterior:

Rm = Rma + (1/2) Rmb = [ a / (μ0 Sa) ] + [ (1/2) b / (μ0 Sb) ].

Substituindo os valores,

Rm = [ 5 10−3 / (μ0 20 40 10−6) ] + [ (1/2) 2 10−3 / (μ0 20 20 10−6 ] = 8,75 / μ0.

Segundo relação dada na página anterior, Fm = N i = Rm ΦB. Substituindo,

50 10 = ΦB 8,75 / (4 π 10−7) ou ΦB ≈ 0,0718 10−3 Wb. Da definição de fluxo de campo magnético, ΦB = ∫ B · dS = B S.

Portanto, B = 0,0718 10−3 Wb / (20 40 10−6 m2) ≈ 90 10−3 T. A indutância é calculada com a fórmula do tópico anterior,

L = N2 / Rm = 502 / [ 8,75 / (4 π 10−7) ] ≈ 0,36 mH.

Tabela de analogias entre grandezas de circuitos elétricos e magnéticos

Grandeza elétricaUnid

SIGrandeza magnética Unid SI

Campo elétrico E = V/x V/mIntensidade de campo

magnético H = Fm/ℓA/m

Condutância elétrica G = 1/R SPermeância magnética P =

1/RmWb/A

Condutividade elétrica σ S/m Permeabilidade magnética μ Wb/(A m)

Corrente elétrica i = ∫ j · dS AFluxo da campo magnético ΦB

= ∫ B · dSWb

Densidade de corrente j A/m2 Indução magnética BWb/m2

ou T

Força eletromotriz ou tensão elétrica V = R i

VForça magnetomotriz Fm = N i

= Rm ΦBA

Resistência elétrica R = (1/σ) ℓ/S

ΩRelutância magnética Rm =

(1/μ) ℓ/SA/Wb

Resistividade elétrica ρ = 1/σ Ω mRelutividade magnética ν =

1/μA m/Wb

Observações:• Em conformidade com a analogia, a indução magnética B é muitas vezes denominada densidade de fluxo magnético.• A unidade ampère (A) de várias grandezas magnéticas é também denominada ampère-espira, mas o símbolo não é alterado.

No exemplo da Figura 02 (a), o núcleo tem seção transversal quadrada e medidas conforme indicado. A permeabilidade relativa do material é 1150. Determinar o número de espiras da bobina para uma indução magnética na parte central de 0,2 T.

Fig 02

Solução:

As permeabilidades magnéticas são:

• Entreferro: considerada a do vácuo μmg = μ0 = 4 π 10−7 Wb/(A m).• Núcleo μmn = 1150 μ0 = 1150 4 π 10−7 Wb/(A m).

A área da seção para entreferro e núcleo é S = 20 20 10−6 = 400 10−6 m2.

O circuito equivalente é dado em (b) da figura. Pode-se então usar algo similar

à lei das correntes de Kirchhoff para circuitos elétricos:

ΦB1 = ΦB2 + ΦB3.

Os comprimentos para cálculo das relutâncias são:

ℓ1 = 60 + 60 + 70 = 190 mm = 0,19 m.ℓ2 = ℓ1 = 0,19 m.

ℓg = 0,0005 m.ℓ3 = 70 − 0,5 = 69,5 mm = 0,0695 m. Calculando as relutâncias magnéticas,

Rm1 = ℓ1 / (μmn S) = 0,19 / (1150 μ0 S) ≈ 0,000165 / (μ0 S).

Rm2 = ℓ2 / (μmn S) = 0,19 / (1150 μ0 S) ≈ 0,000165 / (μ0 S).

Rmg = ℓg / (μmg S) = 0,0005 / (μ0 S).Rm3 = ℓ3 / (μmn S) = 0,0695 / (1150 μ0 S) ≈ 0,00006 / (μ0 S).

O fluxo de campo magnético na parte central é ΦB3 = B3 S = 0,2 400 10−6 = 80 10−6 Wb.

Desde que Rm2 está em paralelo com a série Rmg e Rm3, a força magnetomotriz em ambos é a mesma. Portanto,

Rm2 ΦB2 = (Rmg + Rm3) ΦB3. Ou 0,000165 / (μ0 S) ΦB2 = [0,0005 / (μ0 S) + 0,00006 / (μ0 S)] 80 10−6.

ΦB2 ≈ 272 10−6 Wb.

Usando a relação anterior, ΦB1 = ΦB2 + ΦB3 = 272 10−6 + 80 10−6 = 352 10−6 Wb.

A força magnetomotriz da bobina Fm deve ser igual à força em Rm1 mais a força em Rm2 (ou na série Rmg e Rm3, que é a mesma desta última).

Fm = Rm1 ΦB1 + Rm2 ΦB2 = [0,000165 / (μ0 S)] 352 10−6 + [0,000165 / (μ0 S)] 272 10−6.

Fm = 624 0,000165 10−6/ ( 4 π 10−7 400 10−6 ) ≈ 205 A = N i = N 0,8. Portanto, N = 205 / 0,8 ≈ 256 espiras.

Magnetismo de materiais

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Sem maiores considerações quanto ao aspecto atômico, pode-se supor, de forma simplificada, que as substâncias contêm dipolos magnéticos elementares e que o comportamento magnético delas varia de acordo com a composição e outros fatores. Os próximos itens descrevem as formas comuns de magnetismo nos materiais.

Paramagnetismo

Nos materiais paramagnéticos, os dipolos elementares são permanentes e, na presença de um campo magnético, tendem a se alinhar com ele, mas o alinhamento perfeito é impedido pelo movimento térmico.

Fig 01

Até certo ponto, a magnetização M do material varia linearmente com o campo magnético aplicado B e com a temperatura T segundo a lei de Curie:

M = C B / T #A.1#. Onde C é uma constante.

Na Figura 01, a linha reta representa a lei de Curie e a linha curva, a variação real. Há, portanto, um valor de saturação.

Desde que os dipolos magnéticos tendem a se alinhar, a suscetibilidade magnética é positiva, mas de valor bastante baixo. Em geral,

1 10−5 < Xm < 1 10−3 #A.2#.

Sob ação de um campo magnético forte, um material paramagnético torna-se um ímã, mas a magnetização desaparece com a remoção do campo. Exemplos de materiais paramagnéticos são íons de Mn++ e de Gd++.

Diamagnetismo

Nos materiais diamagnéticos, os dipolos elementares não são permanentes. Se um campo magnético é aplicado, os elétrons formam dipolos de acordo com a lei de Lenz, isto é, eles se opõem ao campo atuante. Assim, o material sofre uma repulsão. Mas é um efeito muito fraco.

Por sofrerem repulsão, a suscetibilidade magnética desses materiais é negativa

e apresenta valores bastante baixos:

−1 10−5 < Xm < −1 10−4 #B.1#. O bismuto é um exemplo de material diamagnético.

Na realidade, todas as substâncias apresentam algum diamagnetismo, mas o fenômeno é tão fraco que é mascarado pela ação dos dipolos permanentes naqueles que os têm (paramagnéticos e ferromagnéticos).

Ferromagnetismo

Nos materiais ferromagnéticos, os dipolos elementares são permanentes e, aparentemente, se alinham na direção de um campo magnético aplicado, resultando em elevados níveis de magnetização. A suscetibilidade magnética Xm é elevada, podendo chegar a valores na faixa de 100000.

Entretanto, essa característica é dependente da temperatura. Acima de determinado valor, conhecido como temperatura de Curie, o material deixa de ser ferromagnético e se torna paramagnético.

A explicação do fenômeno envolve conceitos quânticos que não são do escopo desta página. De maneira resumida, pode-se dizer que os dipolos formam regiões distintas chamadas domínios. Em cada domínio, os dipolos têm o mesmo alinhamento. Entretanto, os alinhamentos dos domínios podem estar distribuídos aleatoriamente, resultando em magnetização nula.

Fig 01

Sob ação de um campo magnético, os domínios de alinhamentos próximos aos do campo tendem a aumentar mediante o sacrifício daqueles de alinhamentos distantes. Nestes últimos ocorre também a tendência de mudança dos alinhamentos para direções mais próximas da direção do campo aplicado. Tudo isso produz uma considerável magnetização.

A Figura 01 dá uma idéia gráfica do processo. Em (a) o material não está magnetizado e, de (b) até (d) passa por magnetizações crescentes. Naturalmente, há um limite (saturação) para esse crescimento, quando todos os dipolos elementares estão alinhados com o campo externo.

Se o campo externo é removido, os domínios alterados tendem a se fixar, produzindo ímãs permanentes em intensidades que dependem do material.

Nos materiais ferromagnéticos, a curva de desmagnetização não é igual à de magnetização. Esse fenômeno é denominado histerese e pode ser visto no gráfico da Figura 02. Nesse gráfico, o eixo horizontal indica a intensidade de campo magnético H produzida por um solenóide com núcleo do material ferromagnético.

Fig 02

Lembrar que H é a parcela devido apenas à corrente elétrica, de acordo com a relação já vista ∫ H · dℓ = N i #C.1#. O eixo vertical é a indução magnética B no núcleo, que inclui a magnetização do material.

Supondo o material desmagnetizado, o aumento progressivo (a partir do zero) da intensidade H até o valor de saturação Bs produz a curva inicial 01. Se o valor de H é reduzido até zero, o caminho é a curva 12, diferente da inicial.

No ponto 2, não há nenhuma corrente de magnetização (H = 0) e o valor de B não é nulo, significando uma magnetização residual Br (ímã permanente).

Para anular a magnetização residual, é necessário um valor negativo de intensidade (ponto 3) Hc, que é usualmente denominado campo coercitivo ou força coercitiva.

Aumentando o valor negativo de H, chega-se ao ponto de saturação 4, de sentido inverso ao 1 anterior. E o caminho de retorno até o ponto 1 inicial é dado pela curva 4561, com Br e Hc de sinais contrários aos sinais dos anteriores.

Fig 03

No aspecto termodinâmico, pode-se dizer que a histerese representa as irreversibilidades do processo de magnetização e desmagnetização do material. E a área interna da curva 1234561 é proporcional à energia dissipada sob forma de calor.

As proporções da curva de histerese dependem da composição do material magnético e têm influência na aplicação.

Uma curva estreita como (a) da Figura 03 é adequada para, por exemplo, núcleos de transformadores, onde se requer a menor perda possível de energia devido à histerese do material (naturalmente, um núcleo ideal para transformador teria histerese nula e a curva BH seria uma simples reta).

Uma curva mais larga como em (b) da mesma figura é apropriada para ímãs permanentes devido à elevada magnetização residual e ao também elevado campo coercitivo, significando que ele não pode ser facilmente desmagnetizado.

Fig 04

Se um material magnetizado for posto no campo de um solenóide alimentado com corrente alternada com intensidade tal que a curva de histerese cubra a magnetização residual, ele poderá ser desmagnetizado com a redução gradativa da corrente até zero, uma vez que as curvas de histerese serão reduzidas na mesma proporção.

Nas relações já vistas entre indução magnética e intensidade de campo magnético, foi considerada a proporcionalidade usual:

B = μm H #D.1#, onde μm é a permeabilidade magnética do material.

A Figura 04 mostra a curva inicial de magnetização ampliada. A relação entre B e H não é, evidentemente, linear.

Na prática, a permeabilidade μm é dada pela reta 0P, isto é, o ponto P da curva de magnetização que resulta em maior valor para μm. Com isso, a proporcionalidade mencionada dá uma razoável aproximação até certo valor de H.

Fig 05

A Figura 05 mostra curvas de magnetização para alguns materiais ferrosos. Notar que o aço-silício oferece uma elevada permeabilidade e sugere uma curva de histerese estreita conforme já visto na Figura 03 (a). É o material básico para núcleos de transformadores comuns.

Voltando às curvas B-H de histerese, Figuras 02 e 03, as áreas internas têm relação com a energia perdida em forma de calor conforme mencionado. Genericamente, a área é dada por

∫∫ dB dH #E.1#. A análise dimensional dessa integração é

[B] [H] = M T−2 I−1 I L−1 = L2 M T−2 L−3 #E.2#.

Ou seja, é energia por volume. Assim, para o caso de corrente alternada, a energia gasta por ciclo é

W = v ∫∫ dB dH #E.3#. Onde v é o volume do núcleo. E a potência dissipada pode ser calculada pelo produto dessa energia por ciclo pela freqüência da corrente elétrica.

Na prática, há uma fórmula empírica para a perda de potência por histerese:

Ph = f v ∫∫ dB dH = kh Bmn f.#E.4#. Onde kh é um coeficiente que depende do

núcleo, Bm é a máxima indução magnética e f é a freqüência. O expoente n pode ser 1,6 (para Bm < 1 T) ou 2 (para Bm > 1 T).

Relacionado com o produto BH, o máximo produto energético é um parâmetro comum para especificar ímãs permanentes. É dado pelo maior valor de BH na curva de desmagnetização (23 da Figura 02). É energia por volume conforme mencionado e, em muitas especificações de fabricantes, é usada a unidade não SI megagauss-oersted (MGOe), que equivale a 7958 J/m³.

Entre os elementos puros, apenas cobalto, ferro e níquel apresentam ferromagnetismo apreciável. Disprósio e gadolínio são ferromagnéticos em baixas temperaturas. Entretanto, há uma variedade de ligas desses elementos com outros, que são fortemente ferromagnéticas.

Formulação estendida da lei de indução de Faraday

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De acordo com a lei de Faraday, um campo magnético variável induz em uma espira uma força eletromotriz dada por

Ve= − dΦB / dt.

A força eletromotriz é uma tensão ou diferença de potencial elétrico. Isso sugere a existência de um campo elétrico E ao longo da espira, conforme Figura 01.

Se uma carga elétrica q circula pela espira sob uma diferença de potencial Ve, o trabalho realizado é

W = Ve q, conforme definição de potencial elétrico.

Mas o trabalho também é dado pelo produto da força atuante (q E) pela distância percorrida (2 π R).

Fig 01

Assim, Ve q = q E 2 π R ou

Ve = E 2 π R.

O produto da intensidade do campo pelo comprimento da circunferência indica uma integração ao longo da espira do produto escalar dos vetores campo e deslocamento infinitesimal. Portanto, a lei de indução de Ampère pode ser escrita de forma mais genérica

∫ E · dℓ = − dΦB / dt #A.1#.

A simetria da questão sugere que um campo magnético com a mesma variação dΦB/dt em todos os pontos deve produzir um campo elétrico cujas linhas de força são circunferências concêntricas.

Campo magnético produzido por um campo elétrico

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A formulação genérica da lei de Faraday leva a supor a ocorrência do processo inverso, isto é, um campo elétrico variável produz um campo magnético.

Na Figura 01 deste tópico, uma tensão linearmente variável com o tempo é aplicada nas placas do capacitor. O campo magnético induzido tem formato circular e pode ser verificado que vale:

Fig 01

∫ B · dℓ = μ0 ε0 dΦE / dt #A.1#.

De acordo com a lei de Ampère, uma corrente circulando por um condutor produz um campo magnético tal que

∫B · dℓ = μ0 i #B.1#.

Essas duas equações sugerem a existência de uma forma mais genérica:

∫B · dℓ = μ0 ε0 dΦE / dt + μ0 i #C.1#.

Pode-se, portanto, dizer que a formulação acima, descoberta por Maxwell, é uma generalização da lei de Ampère. Também denominada lei de Ampère-Maxwell.

É evidente que a existência das duas parcelas depende de cada caso. Na fórmula usual da lei de Ampère, só há a parcela μ0 i porque apenas a corrente no condutor é considerada. Na Figura 01, essa parcela não existe, pois somente o campo entre as placas do capacitor é considerado.

O produto μ0 i deve ter a mesma unidade física de μ0 ε0 dΦE / dt. Assim, ε0 dΦE / dt tem unidade de corrente elétrica e pode ser nomeado

I = ε0 dΦE / dt #C.2#.

E a equação pode ser reescrita:

∫B · dℓ = μ0 ( I + i ) #D.1#.

A corrente I foi denominada corrente de deslocamento, representando uma corrente que passa entre as placas do capacitor. Mas é algo virtual porque não há passagem de cargas elétricas no dielétrico de um capacitor ideal. Pode entretanto ser considerada uma continuidade da corrente i que passa pelos fios ligados às placas do capacitor. No dielétrico, essa corrente se transforma na corrente virtual de deslocamento.

Essa relação mútua entre campos elétricos e magnéticos é a base para a existência de ondas eletromagnéticas, ou seja, variações periódicas de campos que se propagam sem necessidade de meios materiais. Alguns conceitos podem ser vistos nas próximas páginas.

Equação de uma onda

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Pode-se definir onda como uma variação de uma grandeza física que se propaga através de algum meio. Seja f(x) uma função que representa a variação dessa grandeza na forma genérica da primeira curva (próxima do eixo vertical) da Figura 01 deste tópico.

Fig 01

Uma função g, que represente o deslocamento de f(x), deve, por exemplo, ter o mesmo valor f(x) quando x for igual a (x + d), ou seja deve ser igual a f(x − d).

Se x for igual a (x + 2d), deve ter o valor f(x − 2d).

Portanto, para representar a onda, a função pode ter a forma:

g(x, t) = f(x ± v t) #A.1#. Onde:

• t: tempo.• v: velocidade.

Se o sinal é negativo, ela se propaga na direção indicada pela seta e, se é positivo, a propagação se dá na direção oposta.

É possível demonstrar que a forma diferencial de g é

∂2g / ∂t2 = v2 ∂2g / ∂x2 #B.1#.

Onda senoidal

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Considerando, por simplicidade, a propagação em apenas uma direção, uma onda senoidal pode ser expressa por

g(x, t) = A sen k (x − v t) #A.1#.

Adicionando 2 π / k ao valor de x,

g(x + 2 π / k, t) = A sen k (x + 2 π / k − v t) = A sen [ k(x − vt) + 2π ] = A sen k (x − v t), que é a equação anterior. Portanto,

g(x + 2 π / k, t) = g(x, t).

Isso significa que (2 π / k) é o intervalo no espaço para o qual os valores se repetem, ou seja, é o comprimento da onda, que tradicionalmente é simbolizado pela letra grega lambda minúsculo:

λ = 2 π / k #A.2#.

E a equação anterior pode ser escrita

g(x, t) = A sen (2 π / λ) (x − v t) #A.3#.

Fig 01

De #A.1#, g(x, t) = A sen (k x − k v t).

No movimento senoidal, o coeficiente da variável tempo é a velocidade angular ω. Assim,

ω = k v = (2 π / λ) v.

E a velocidade angular é dada por 2 π f, onde f é a freqüência. Fazendo a igualdade,

2 π f = k v = (2 π / λ) v ou

v = λ f #B.1#.

Ou seja, a velocidade de propagação de uma onda senoidal é igual ao produto do seu comprimento de onda pela sua freqüência.

E outras formas da função da onda senoidal são dedutíveis com as igualdades anteriores:

g(x, t) = A sen (k x − ω t) = A sen 2 π (x / λ − f t) = A sen 2 π (x / λ − t / P) #C.1#.

Onde P é o período = 1 / f #C.2#.

Aqui não é demonstrado, mas não é difícil deduzir que uma outra forma da equação genérica de uma onda é

g(x, t) = F(t ± x / v).

E, para uma onda senoidal,

g(x, t) = A sen (ω t ± k x) #D.1#.

Ondas em uma barra

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Seja uma barra cilíndrica, homogênea de um material elástico. Na Figura 01 A, é aplicada uma força e uma seção infinitesimal genérica dx está na posição indicada.

Em B da mesma figura, a tensão devido à força desloca a seção para a posição indicada e ela tem a espessura aumentada para (dx + dℓ). Então, a deformação da seção devido à tração é

e = ∂ℓ/∂x.

Desde que o material é elástico, conforme a lei de Hooke, a tensão σ aplicada é proporcional à deformação:

σ = E e. Onde E é o módulo de elasticidade do material.

Fig 01

Considerando a situação estática, as forças que atuam em ambos os lados são iguais:

Fd = Fe = F.

Desde que a tensão é a relação entre a força e a área S da seção transversal da barra

σ = F / S, pode-se substituir esse valor na igualdade anterior:

F = E S ∂ℓ/∂x.

Derivando em relação a x, dF / dx = E S ∂2ℓ / ∂x2.

Supõe-se agora que a barra recebe um golpe longitudinal em uma extremidade. A prática mostra que uma onda de choque percorre a barra. Nesse caso, as forças que atuam sobre cada seção infinitesimal não mais são idênticas. Assim,

dF (= Fd − Fe) será a força que acelera a seção.

dF pode ser escrita como dF = (∂F/∂x) dx.

Considerando μ a massa específica do material, a massa da seção infinitesimal é dada por:

dm = μ dV = μ S dx.

A aceleração da seção é

a = ∂2ℓ/∂t2.

Então, conforme lei de Newton, a força dF é igual ao produto da massa pela aceleração:

dF = (∂F/∂x) dx = dm a = μ S dx ∂2ℓ/∂t2.

Ou, reagrupando, ∂F / ∂x = μ S ∂2ℓ / ∂t2.

Igualando com a equação anterior e simplificando,

∂2ℓ / ∂t2 = (E/μ) ∂2ℓ / ∂x2 #A.1#.

Essa é a forma diferencial da equação de uma onda conforme visto em página anterior.

Portanto, a velocidade de propagação é dada por:

v = (E / μ)1/2 #B.1#. Onde

E: módulo de elasticidade do material.μ: massa específica do material.

Isso significa que ela só depende das propriedades do material. Não depende das dimensões físicas da barra.

Este é um exemplo simples de onda unidimensional em meio físico. Na prática, as ondas podem ter duas ou três dimensões, como ondas na superfície de um líquido e ondas sonoras.

Efeito Doppler

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O nome é dado em homenagem ao seu descobridor, o físico austríaco C J Doppler.

Uma frente de onda pode ser entendida como o lugar geométrico de todos os pontos do meio físico que são alcançados pelo movimento ondulatório no mesmo intervalo de tempo.

Seja um movimento ondulatório onidirecional e uniforme, produzido por uma fonte localizada no pequeno círculo interno conforme Figura 01 (estão considerados movimentos em um plano, mas o conceito pode ser facilmente estendido para o espaço, com o uso de esferas em vez de círculos).

Fig 01

Se a fonte emissora está em repouso como em (a) da figura, as frentes de onda são círculos concêntricos e igualmente espaçados, se os incrementos dos intervalos de tempo são iguais.

Se a fonte está em movimento, as frentes se deslocam e não são concêntricas, conforme (b) da mesma figura.

Desde que são considerados incrementos de tempo iguais entre as frentes, um observador em 2 registra um comprimento de onda menor (ou uma freqüência maior) e o contrário para um observador em 1. No dia-a-dia, isso é facilmente observado com ondas sonoras. Uma fonte móvel (a sirene de uma ambulância, um avião, etc) parece ter um som mais agudo quando se aproxima e mais grave quando se afasta.

Para obter a relação matemática, é usado o modelo da Figura 02, considerando, por simplicidade, que a fonte (F) e o observador (O) estão na mesma linha. A fonte se move com velocidade constante vF e o observador, vO.

Fig 02

No instante inicial de tempo (t = 0), a fonte está em F1 e o observador, em O1 (a distância entre os mesmos, F1O1, é x).

Nesse instante, a fonte emite uma onda que alcança o observador depois de um tempo t. Assim, no tempo t, o observador se move vO t e a onda, x + vO t.

Considerando v a velocidade de propagação da onda, ela percorre nesse tempo uma distância v t, que deve ser igual à distância percorrida pela onda conforme cálculo anterior, ou seja,

v t = x + vO t.

Depois de um tempo tF, a fonte está em F2 e, nesse instante, emite uma onda que alcança o observador depois de um tempo tO, medido em relação ao tempo inicial t = 0. E a distância que a onda percorre até atingir o observador é

x − vF tF + vO tO.

Mas o tempo real do percurso da onda é tO − tF e, portanto, a distância é v (tO − tF), onde v é a velocidade de propagação da onda conforme já dito. Fazendo a igualdade com ambos os cálculos de distâncias, tem-se:

v (tO − tF) = x − vF tF + vO tO.

Ou tO = [ x + (v − vF) tF ] / (v − vO).

Da igualdade anterior, v t = x + vO t, obtém-se t = x / (v − vO).

Pelas considerações aplicadas, t é o tempo em que o observador registra a emissão em F1 e tO, o tempo em que registra a emissão em F2. Assim, o intervalo de tempo registrado entre as duas emissões é

Δt = tO − t = (v − vF) tF / (v − vO).

No tempo tF, a fonte emite um número n de períodos dado por n = fF tF, onde fF

é a freqüência da fonte. E o observador recebe esse mesmo número no intervalo Δt. Assim, a freqüência registrada por ele é

fO = fF tF / Δt.

E, substituindo Δt pela igualdade anterior,

fO = fF (v − vO) / (v − vF) #A.1#. Onde, recapitulando o significado das variáveis,

fO: freqüência registrada pelo observadorfF: freqüência da fonte emissoravO: velocidade do observadorvF: velocidade da fonte emissorav: velocidade de propagação da onda.

O efeito Doppler tem importantes aplicações. Em Astronomia, para demonstrar o afastamento de estrelas ou galáxias, através do deslocamento de raias do espectro (universo em expansão). Radares de efeito Doppler são usados para medir velocidade de corpos móveis. Também em instrumentação com ultra-sons, etc.

Fig 03

Embora não mencionado explicitamente, as considerações anteriores pressupõem que a velocidade de deslocamento da fonte é menor que a velocidade de propagação da onda.

Caso contrário, isto é, a velocidade da fonte é maior que a de propagação, ela estará sempre adiante das frentes de onda, conforme indicado na Figura 03 ao lado.

Aqui não é dado o desenvolvimento matemático. Pode-se demonstrar que o resultado é um cone de propagação conforme parte inferior da figura e que vale a relação

sen α = v / vF.

Esse fenômeno é denominado onda de choque e, por exemplo, pode ser

sentido na passagem de um avião supersônico. Também pode ser observado no rastro deixado na água por um barco veloz.

Nos próximos tópicos, são apresentados conceitos resumidos e formulações mais genéricas sobre diversos tópicos de eletricidade e eletromagnetismo dados em páginas anteriores. A finalidade é proporcionar um conjunto de definições e fórmulas fundamentais para o posterior estudo de ondas eletromagnéticas.

Diferença de potencial elétrico

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Em página anterior da série sobre eletricidade, foi dado o conceito de diferença de potencial elétrico entre dois pontos A e B situados em um campo elétrico uniforme, isto é,

VA − VB = E x #A.1#. Onde E é a intensidade do campo e x é a distância entre A e B na direção do campo.

Fig 01

Essa igualdade vale apenas para campo uniforme, mas pode-se demonstrar (e a analogia com um campo gravitacional permite concluir) que, para um campo elétrico genérico, a diferença de potencial é dada pela integração do produto vetorial dos vetores campo elétrico e deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória considerada entre os dois pontos (ver Figura 01 deste tópico).

Portanto, para o caminho aberto (a) da figura,

VA − VB = ∫ℓ E · dℓ #B.1#.

Para um caminho fechado conforme (b) da figura, os pontos A e B coincidem e, portanto, a integração ao longo do caminho é nula

0 = ∫ℓ E · dℓ #B.2#.

Fluxo de corrente elétrica

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O conceito de intensidade de corrente elétrica, conforme já informado em páginas anteriores, é dado pela fórmula

i = dq / dt #A.1#, ou seja, é a carga elétrica que passa por unidade de tempo em uma seção transversal de um condutor. É uma grandeza escalar, portanto.

Em vários casos, é conveniente o uso de uma grandeza vetorial que tenha relação com a corrente elétrica.

Na Figura 01, a superfície genérica S pertence supostamente a um condutor por onde passa corrente elétrica não necessariamente uniforme.

Numa superfície elementar dS, o vetor j representa o fluxo de corrente (também denominado densidade de corrente), ou seja, a intensidade de corrente elétrica por unidade elementar de área transversal. E u é um vetor unitário perpendicular a dS.

Fig 01

Portanto, a corrente que passa por dS é dada por:

di = j · u dS #B.1#.

E a corrente total em S é a integral da superfície:

i = ∫S j · u dS #B.2#.

Se S é uma superfície plana e o fluxo de corrente é uniforme, a igualdade anterior se reduz a

i = j S cos α #B.3#, onde α é o ângulo entre j e a reta perpendicular à superfície.

No caso comum de condutores, onde se considera a seção transversal e o fluxo uniforme e perpendicular à mesma, a relação é mais simples:

i = j S #B.3#, pois cos α = 1 no caso.

Lei de Gauss na forma diferencial

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Se uma superfície fechada S contém carga elétrica total q, então, segundo a lei de Gauss,

ε0 ΦE = q #A.1#. Onde ΦE é o fluxo de campo elétrico, que, por sua vez, é definido como

ΦE = ∫S E · dS #A.2#. Ou seja, é a integração do produto escalar dos vetores campo elétrico (E) e superfície infinitesimal dS.

Na igualdade acima, dS é um vetor de módulo dS e perpendicular à superfície infinitesimal. Também pode ser usado um vetor unitário u:

ΦE = ∫S E · u dS #A.3#.

Combinando as igualdades anteriores, ∫S E . dS = q / ε0 #B.1#.

Para o desenvolvimento da forma diferencial, considera-se, conforme Figura 01, uma superfície fechada elementar em forma de paralelepípedo com arestas de comprimentos dx, dy e dz e, por simplicidade, paralelas aos eixos de coordenadas correspondentes.

Sejam duas faces opostas dSx1 e dSx2 ao longo do eixo x. A área de ambas é dada por dy dz.

Em dSx1, o vetor campo elétrico é E1 e o componente perpendicular é Ex1 (= E1 cos α1). E de forma similar para a superfície dSx2.

Desde que a superfície fechada considerada é elementar, é lícito supor que a diferença entre os componentes anteriores é a variação infinitesimal do campo elétrico ao longo do eixo x. Assim,

dEx = Ex2 − Ex1.

O valor de dEx não se altera se dividido e multiplicado por dx. Assim, dEx = (∂Ex/∂x) dx. E o fluxo de campo elétrico na direção x será esse valor multiplicado pela área (dy dz):

ΦEx = dEx dy dz= (∂Ex/∂x) dx dy dz.

Mas dx dy dz = dv (volume elementar). Portanto, o fluxo correspondente às duas superfícies em estudo é

ΦEx = (∂Ex/∂x) dv.

Fig 01

Resultados similares são obtidos para os dois pares restantes de faces (ΦEy e ΦEz) e o fluxo total é dado por:

Φe = (∂Ex/∂x) dv + (∂Ey/∂y) dv + (∂Ez/∂z) dv.

Φe = [ (∂Ex/∂x) + (∂Ey/∂y) + (∂Ez/∂z) ] dv.

Conforme Lei de Gauss, o fluxo deve ser igual a

dq / ε0 (dq porque a superfície fechada considerada é elementar). Assim,

[ (∂Ex/∂x) + (∂Ey/∂y) + (∂Ez/∂z) ] dv = dq / ε0.

Ou, reagrupando, (∂Ex/∂x) + (∂Ey/∂y) + (∂Ez/∂z) = dq / (dv ε0).

A relação dq/dv é a carga elétrica por unidade de volume, usualmente conhecida como densidade de carga e simbolizada por ρe.

ρe = dq / dv #C.1#.

Portanto,

(∂Ex/∂x) + (∂Ey/∂y) + (∂Ez/∂z) = ρe / ε0 #D.1#.

Dos conceitos sobre campos e operadores vetoriais, pode ser deduzido que o lado esquerdo dessa igualdade é a divergência do campo e a Lei de Gauss pode ser expressa de modo bastante resumido na sua forma diferencial:

div E = ρe / ε0 #D.2#.

Significado físico

A divergência de um campo vetorial é uma função definida por um valor escalar em cada ponto. Considerando, por exemplo, um campo vetorial que representa o movimento de uma massa de água, um ponto de divergência não nula significa que água é adicionada ao sistema ou drenada do mesmo (fonte ou sumidouro). No caso do campo elétrico, a divergência não nula indica uma densidade de carga elétrica no ponto considerado, ou seja, cargas elétricas são fontes ou drenos de linhas de força.

Lei de Ampère na forma genérica

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A formulação simplificada da lei de Ampère para o eletromagnetismo estabelece uma relação entre a corrente elétrica em um condutor e o vetor do campo magnético induzido em um caminho fechado ℓ:

∫ℓ B · dℓ = μ0 i #A.1#.

Fig 01

Entretanto, essa fórmula é válida para apenas um condutor. No caso de vários, conforme exemplo da Figura 01, a corrente i é a soma das correntes individuais.

No caso mais genérico, considera-se i a integração dos fluxos de corrente conforme conceito dado na página anterior. Assim,

∫ℓ B · dℓ = μ0 ∫S j · u dS #B.1#.

Onde S são as superfícies cortadas por ℓ por onde circulam correntes elétricas e μ0, conforme visto na página citada, é a constante de permeabilidade magnética do meio considerado (vácuo).

Lei de Ampère na forma diferencial

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Seja, conforme Figura 01, um caminho retangular infinitesimal 1234 no plano xy tal que os lados têm comprimentos dx e dy.

Desde que se trata de um retângulo, a integral de linha pode ser subdividida para cada lado:

∫1234 B · dℓ = ∫12 B · dℓ + ∫23 B · dℓ + ∫34 B · dℓ + ∫41 B · dℓ.

Consideram-se agora os lados 41 e 23, onde atuam os vetores de campo magnético B1 e B2 respectivamente.

Em 23, dℓ = dy e, portanto, ∫23 B · dℓ = B2y dy.

Em 41, dℓ = −dy e, portanto, ∫41 B · dℓ = −B1y dy.

Somando as duas igualdades e dividindo / multiplicando o resultado por dx,

∫23 B · dℓ + ∫41 B · dℓ = (B2y − B1y) dy = dBy dy = (∂By/∂x) dx dy.

Fig 01

Aqui não é demonstrado nem está indicado na figura, mas, se adotado procedimento similar para os lados 12 e 34 (campos B'1 e B'2 atuando sobre mesmos), o resultado será:

∫12 B · dℓ + ∫34 B · dℓ = −(∂Bx/∂y) dx dy.

Portanto, a integração global pode ser dada por:

∫1234 B · dℓ = (∂By/∂x − ∂Bx/∂y) dx dy.

Para a corrente, deve-se considerar, conforme lei de Ampère, que essa integração é igual a μ0 di, uma vez que é suposto um caminho infinitesimal. E o produto escalar j · u é igual a jz. E a área dS é dx dy.

Então, de acordo com a igualdade #B.1# do tópico anterior,

(∂By/∂x − ∂Bx/∂y) dx dy = μ0 jz dx dy. Simplificando,

∂By/∂x − ∂Bx/∂y = μ0 jz #A.1#.

Aplicando o mesmo raciocínio para caminhos retangulares nos planos yz e xz, chega-se a resultados similares:

∂Bz/∂y − ∂By/∂z = μ0 jx #A.2#.

∂Bx/∂z − ∂Bz/∂x = μ0 jy #A.3#.

Se as três últimas igualdades são somadas, verifica-se que:

• o lado esquerdo é o rotacional do campo vetorial B.• o lado direito é o vetor j multiplicado pelo escalar μ0.

E a forma diferencial da Lei de Ampère para o eletromagnetismo é simplesmente escrita como:

rot B = μ0 j #A.1#.

Significado físico

Ao contrário da divergência, o rotacional é um campo vetorial. Para cada ponto há um vetor que o define. Retornando à analogia com o movimento de uma massa de água, rotacional não nulo significa um redemoinho. Para o eletromagnetismo, significa que não pode haver campo magnético se não houver corrente elétrica. Para um campo elétrico, o rotacional é sempre nulo (rot E = 0) pois, conforme já visto, a integração ao longo de um caminho fechado é sempre nula.

Lei de Gauss para o magnetismo

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O fluxo de campo magnético em uma superfície S é dado pela relação já vista em páginas anteriores:

ΦB = ∫S B · dS #A.1#.

Onde B é o vetor campo magnético atuante em cada porção elementar da superfície (dS) e dS é um vetor de módulo dS perpendicular à essa superfície infinitesimal.

O produto escalar acima pode ser dado com o uso do vetor unitário u, perpendicular a dS:

ΦB = ∫S B · u dS #B.1#.

É um conceito semelhante ao fluxo de campo elétrico, mas com uma importante diferença: se S é uma superfície fechada, ocorre sempre

ΦB = ∫S B · u dS = 0 #C.1#.

O desenvolvimento da forma diferencial não é apresentado porque é basicamente o mesmo do fluxo de campo elétrico da página anterior. E o resultado é:

div B = 0 #D.1#.

Significado físico

Tanto para o campo elétrico quanto para o magnético, são consideradas superfícies fechadas. Conforme já visto, a divergência não nula do campo elétrico indica a existência de carga elétrica no interior da superfície, ou seja, fonte ou sumidouro de linhas de força na analogia com um fluido. No caso do campo magnético, a divergência é sempre nula, significando a impossibilidade da existência de cargas ou pólos magnéticos isolados.

Tabela-resumo das leis

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Conforme já mencionado, as leis e formulações vistas até aqui se referem a campos estacionários, isto é, campos cujos valores em cada ponto não variam com o tempo. O espaço considerado é o vácuo. A tabela abaixo dá o resumo das principais igualdades.

Lei ou igualdade Forma integral Forma diferencial

Lei de Ampère p/ eletromagnetismo

∫ℓ B · dℓ = μ0 i rot B = μ0 j

Lei de Gauss ∫S E · u dS = q / ε0 div E = ρe / ε0

Lei de Gauss para o magnetismo

∫S B · u dS = 0 div B = 0

Potencial elétrico em caminho ∫ℓ E · dℓ = 0 rot E = 0

fechado

Os parâmetros das equações acima são resumidos a seguir.

B vetor campo magnético

div divergência (operador vetorial)

E vetor campo elétrico

ε0 constante de permissividade elétrica do vácuo

i corrente elétrica

j vetor fluxo de corrente elétrica (corrente elétrica por área)

ℓ caminho (linha) fechado

μ0 constante de permeabilidade magnética do vácuo

q carga elétrica

rot rotacional (operador vetorial)

ρe densidade de carga elétrica (carga elétrica por volume)

S superfície fechada

u vetor unitário, perpendicular à superfície infinitesimal dS

As formulações mais genéricas para as equações do eletromagnetismo vistas nas páginas anteriores são válidas para campos estacionários. Nesta página e nas próximas, elas são estendidas para campos variáveis com o tempo.

Lei de indução de Faraday

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A formulação simplificada para a força eletromotriz induzida em uma espira por um campo magnético variável é

Ve= − dΦB / dt #A.1#.

Consideram-se agora as igualdades:

• diferença de potencial elétrico em um caminho: VA − VB = ∫ℓ E · dℓ.

• definição de fluxo de campo magnético: ΦB = ∫S B · dS.

Substituindo em #A.1#,

∫ℓ E · dℓ = − d[ ∫S B · dS ] / dt #B.1#.

Ou, conforme notação já usada, pode-se substituir dS por u dS, onde u é um vetor unitário perpendicular à superfície infinitesimal dS:

∫ℓ E · dℓ = − d[ ∫S B · u dS ] / dt #B.2#.

Lei de indução de Faraday na forma diferencial

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Seja, conforme Figura 01 abaixo, um caminho retangular elementar 1234 no plano xy, tal que os comprimentos dos lados sejam dx e dy e a área infinitesimal envolvida dS = dx dy.

Na expressão esquerda da igualdade #B.2# do tópico anterior, a integral pode ser subdividida:

∫1234 E · dℓ = ∫12 E · dℓ + ∫23 E · dℓ + ∫34 E · dℓ + ∫41 E · dℓ.

Supõe-se que os lados 23 e 41 estão sob ação dos vetores de campo elétrico E2 e E1 respectivamente. Nesses lados, o produto escalar E · dℓ é igual ao produto do componente vertical (y) de E por dℓ, que é igual a +dy para 23 e −dy para 41. Assim, com a divisão / multiplicação por dx na última relação,

∫23 E · dℓ + ∫41 E · dℓ = E2y dy − E1y dy = (E2y − E1y) dy = dEy dy = (∂Ey/∂x) dx dy.

Fig 01

De forma similar, considerando por exemplo campos E2' e E1' (não indicados na figura) para os lados 34 e 12, chega-se ao resultado:

∫12 E · dℓ + ∫34 E · dℓ = − (∂Ex/∂y) dx dy.

E a integral pode ser dada por:

∫1234 E · dℓ = [ (∂Ey/∂x) − (∂Ex/∂y) ] dx dy.

Para o lado direito da igualdade #B.2# do tópico anterior,

∫S B · u dS = Bz dx dy, uma vez que a área infinitesimal dS é igual a dx dy.

Combinando as igualdades finais anteriores para a lei de Faraday,

[(∂Ey/∂x) − (∂Ex/∂y)] dx dy = − ∂Bz dx dy / ∂t. Simplificando,

(∂Ey/∂x) − (∂Ex/∂y) = − ∂Bz / ∂t #A.1#.

Considerando o retângulo 1234 nos planos xz e yx, chega-se a resultados similares:

(∂Ez/∂y) − (∂Ey/∂z) = − ∂Bx / ∂t #A.2#.

(∂Ex/∂z) − (∂Ez/∂x) = − ∂By / ∂t #A.3#.

As igualdades #A.1#, #A.2# e #A.3# podem ser somadas e o resultando é

rot E = − ∂B / ∂t #B.1#.

É, portanto, uma expressão muito mais compacta que a forma integral do tópico anterior.

Lei de Ampère-Maxwell

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Na página Eletromagnetismo III-10 foi dada uma forma particular para a relação entre o campo magnético e um campo elétrico variável como o tempo:

∫ℓ B. dℓ = μ0ε0 dΦE / dt + μ0 i.

Consideram-se as definições:

• ΦE = ∫S E · u dS.

• i = ∫S j · u dS.

Substituindo na anterior,

∫ℓ B. dℓ = μ0ε0 d[ ∫S E · u dS ] / dt + μ0 ∫S j · u dS #A.1#.

Conforme já mencionado, o produto u dS, onde u é um vetor unitário perpendicular a dS, equivalente a dS.

Lei de Ampère-Maxwell na forma diferencial

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De forma similar à usada no tópico Lei de Ampère na forma diferencial, usa-se um caminho retangular elementar de lados dx e dy no plano xy, de área dS = dx dy (Figura 01).

No tópico mencionado, é desenvolvida a integral de linha do vetor campo elétrico (E). Para o vetor campo magnético B (lado esquerdo da igualdade #A.1# do tópico anterior), o processo é exatamente o mesmo e aqui não é repetido. O resultado é:

∫1234 B · dℓ = [ (∂By/∂x) − (∂Bx/∂y) ] dx dy.

Fig 01

Resolvendo as integrais do lado direito da equação #A.1# do tópico anterior,

∫S E · u dS = Ez dx dy.

∫S j · u dS = jz dx dy.

Substituindo estes no lado direito e o anterior no esquerdo e removendo por simplificação o produto dx dy,

(∂By/∂x) − (∂Bx/∂y) = μ0ε0 ∂Ez/ ∂t + μ0 jz #A.1#.

De modo semelhante a outras demonstrações anteriores, considera-se agora o retângulo 1234 nos planos yz e, depois, em xz. Os resultados serão similares ao anterior:

(∂Bz/∂y) − (∂By/∂z) = μ0ε0 ∂Ex/ ∂t + μ0 jx #A.2#.

(∂Bx/∂z) − (∂Bz/∂x) = μ0ε0 ∂Ey/ ∂t + μ0 jy #A.3#.

Dos conceitos e definições sobre campos e operadores vetoriais, conclui-se que a soma das igualdades #A.1#, #A.2# e #A.3# equivale à igualdade abaixo, que é a forma diferencial da lei de Ampère-Maxwell:

rot B = μ0ε0 ∂E / ∂t + μ0 j #B.1#.

Tabela resumo das leis

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Notar semelhança com a tabela da página Eletromagnetismo V-30. Na realidade, as diferenças estão na terceira e quarta igualdades, com a introdução de parcelas referentes a variações de campos com o tempo. No caso de campos estacionários, (∂B/∂t) = 0 e (∂E/∂t) = 0 e as equações são as mesmas da tabela da página mencionada.

Quanto às duas primeiras (leis de Gauss para campo elétrico e magnetismo), experimentos demonstram que continuam válidas para campos não estacionários e, portanto, permanecem sem modificações.

Lei de Forma integral Forma diferencial

Gauss p/ campo elétrico

∫S E · u dS = q / e0 div E = ρe / ε0

Gauss p/ magnetismo

∫S B · u dS = 0 div B = 0

Indução de Faraday ∫ℓ E · dℓ = − d[∫S B · u dS ] / dt rot E = − ∂B/∂t

Ampère-Maxwell∫ℓ B. dℓ = μ0ε0 d[ ∫S E · u dS ] / dt + μ0

∫S j · u dSrot B = μ0ε0 ∂E/∂t +

μ0 j

Os parâmetros das equações acima são resumidos a seguir.

B vetor campo magnético

div divergência (operador vetorial)

E vetor campo elétrico

ε0 constante de permissividade elétrica do vácuo

i corrente elétrica

j vetor fluxo de corrente elétrica (corrente elétrica por área)

ℓ caminho (linha) fechado

μ0 constante de permeabilidade magnética do vácuo

q carga elétrica

rot rotacional (operador vetorial)

ρe densidade de carga elétrica (carga elétrica por volume)

S superfície fechada

u vetor unitário, perpendicular à superfície infinitesimal dS

Ondas eletromagnéticas

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A existência de ondas eletromagnéticas foi provada pelas experiências do físico alemão Heinrich Hertz no final do século XIX. O propósito deste tópico não é a descrição dessas experiências, mas a demonstração matemática da possibilidade de existências dessas ondas conforme previsto por Maxwell através da análise das equações do eletromagnetismo, que podem ser vistas na tabela abaixo, repetida da página Eletromagnetismo V-50.

Lei de Forma integral Forma diferencial

Gauss p/ campo elétrico

∫S E · u dS = q / e0 div E = ρe / ε0

Gauss p/ magnetismo

∫S B · u dS = 0 div B = 0

Indução de Faraday ∫ℓ E · dℓ = − d[∫S B · u dS ] / dt rot E = − ∂B / ∂t

Ampère-Maxwell∫ℓ B. dℓ = μ0ε0 d[ ∫S E · u dS ] / dt + μ0

∫S j · u dSrot B = μ0ε0 ∂E / ∂t

+ μ0 j

As igualdades dessa tabela podem ser consideradas um sistema de equações diferenciais que, em princípio, pode ter inúmeras soluções. No presente estudo, supõem-se algumas condições para um caso particular e verifica-se depois se é uma solução para o sistema de equações:

a) O espaço considerado é o vácuo e não há cargas nem correntes elétricas. Portanto,

• carga elétrica por unidade de volume nula ρe= 0.• corrente elétrica por unidade de área nula j = 0.

b) Os vetores de campo elétrico e magnético (E e B) são perpendiculares entre si e paralelos aos eixos de coordenadas conforme Figura 01 deste tópico.

• Ex = Ez = 0. Assim, E = Ey.• Bx = By = 0. Assim, B = Bz.

Da primeira (div E = ρe/ε0) e segunda (div B = 0) igualdades da tabela, ocorre ∂E / ∂y = 0 e ∂B / ∂z = 0.

Da terceira equação (rot E = − ∂B / ∂t),

(∂Ez / ∂y − ∂Ey / ∂z) + (∂Ex / ∂z − ∂Ez / ∂x) + (∂Ey / ∂x − ∂Ex / ∂y)= − ∂B / ∂t.

Desde que ∂E / ∂z = 0, tem-se ∂E / ∂x = − ∂B / ∂t #A.1#.

De forma similar para a 4ª equação (lei de Ampère-Maxwell, rot B = μ0ε0 ∂E / ∂t + μ0 j), lembrando que ∂B / ∂y = 0 porque By = 0,

∂B / ∂x = − μ0ε0 ∂E / ∂t #B.1#.

Derivando a igualdade #A.1# em relação a x e a igualdade #B.1# em relação a t,

∂2E / ∂x2 = − ∂B2 / ∂x∂t.∂2B / ∂x∂t = − μ0ε0 ∂2E / ∂t2.

Desde que o termo ∂B2 / ∂x∂t é comum nas duas igualdades, elas podem ser unificadas:

∂2E / ∂t2 = (1 / μ0ε0) ∂2E / ∂x2 #C.1#.

Conforme pode ser visto em Eletromagnetismo IV-10, essa é a equação diferencial de uma onda E(x, t) que se propaga na direção do eixo x com velocidade

c = (1 / μ0ε0)1/2 #C.2#. Portanto, o campo elétrico se propaga ao longo de x com essa velocidade.

Fig 01

Se derivada a igualdade #A.1# em relação a t e #B.1# em relação a x, obtém-se:

∂2B / ∂t2 = (1 / μ0ε0) ∂2B / ∂x2 #D.1#.

Ou seja, o campo magnético também é uma onda que se propaga ao longo de x com a mesma velocidade anterior:

c = (1 / μ0ε0)1/2 #D.2#.

O cálculo de c com os valores conhecidos de μ0 e ε0 resulta em cerca de 3 108 m/s, que é a velocidade da luz no vácuo.

Portanto, as condições estabelecidas no início deste tópico representam ondas de campos elétricos e magnéticos ortogonais, ou seja, ondas eletromagnéticas.

Na mesma página citada (Eletromagnetismo IV-10) pode ser visto que a forma usual para as equações #C.1# e #D.1# é:

E = E(x − c t) #E.1#.B = B(x − c t) #E.2#.

Fig 02

Para o caso comum de ondas senoidais, pode-se usar as fórmulas da página mencionada:

E(x, t) = E0 sen (2 π x/λ − ωt) #F.1#.

B(x, t) = B0 sen (2 π x/λ − ωt) #F.2#.

Onde E0 e B0 são as amplitudes das senóides, λ o comprimento de onda e ω a freqüência angular (=2 π f). E vale a relação

ω = 2 π c / λ #F.3#.

Na Figura 02, uma representação gráfica dos campos elétricos e magnéticos senoidais.

Os valores de E0 e B0 não podem ser quaisquer. Eles devem obedecer à igualdade #A.1# (ou #B.1#). Assim,

∂E / ∂x = [ 2 π E0 / λ ] cos (2 π x/λ − ωt).

∂B / ∂t = − ω B0 cos (2 π x/λ − ωt).

Desde que ∂E / ∂x = − ∂B / ∂t, tem-se 2 π E0 / λ = ω B0. Ou E0 = (ω λ / 2 π) B0. Como ω = 2 π c / λ,

Fig 03

E0 = c B0 #G.1#.

O desenvolvimento matemático aqui não é dado, mas se pode demonstrar que os valores instantâneos também obedecem à igualdade anterior, isto é,

E = c B #H.1#.

A forma geométrica do caminho de oscilação do campo elétrico E define a polarização da onda eletromagnética.

Nos exemplos deste tópico (Figuras 01 e 02) a polarização é plana e vertical. Outras podem existir. Na polarização circular da Figura 03, os vetores de campos giram à medida que avançam. Naturalmente, para essa polarização e outras, as formulações de E e B são diferentes das apresentadas.

Este tópico apresentou apenas a formulação teórica de uma onda eletromagnética. Aspectos outros, como geração, propriedades, considerações práticas etc, poderão ser inseridos em futuras atualizações.

Energia de uma onda eletromagnética

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A experiência demonstra que energia e momento são transferidos na propagação de ondas e ondas eletromagnéticas não são exceções.

Em páginas anteriores, foram vistas fórmulas para densidade de energia (energia por unidade de volume) de campos elétricos e magnéticos no vácuo:

uE = (1/2) ε0 E2 #A.1#.uB = (1/2) (1/μ0) B2 #A.2#.

Do tópico Ondas eletromagnéticas, tem-se as relações:

E = c B #B.1# (relação entre valores de campos).c = (1 / μ0ε0)1/2 #B.2# (velocidade de propagação no vácuo).

Combinando #B.1# com #B.2# para o valor de B e substituindo em #A.2#,

uB = (1/2) ε0 E2 #C.1#.

E a densidade de energia da onda eletromagnética é a soma das duas parcelas

u = uE + uB = ε0 E2 #C.2#.

A intensidade da onda I é dada pela energia que passa por unidade de tempo e por unidade de área, isto é, pelo produto da velocidade c pela densidade de energia:

Fig 01

I = c u = c ε0 E2 #D.1#.

No caso de onda senoidal,

E2 = E02 sen2 (2 π x/λ − ωt) #E.1#.

Portanto, o valor médio de E2 é E02/2. Substituindo em #D.1#, obtém-se o valor

médio da intensidade para a onda senoidal

Im = c ε0 E2 / 2 #E.2#.

Sejam, conforme Figura 01, E e B os vetores dos campos elétrico e magnético em um determinado instante de uma onda que se propaga para a direita ao longo do eixo x.

Da relação E = c B e da definição anterior de intensidade, pode-se concluir que o vetor dado por

c2 ε0 E × B #F.1# tem como módulo a intensidade da onda. Esse vetor é denominado vetor de Poynting.

Dipolo elétrico

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Este assunto é citado em páginas anteriores da série sobre eletricidade. O presente tópico apresenta algumas considerações adicionais, que serão necessárias para o estudo das irradiações de ondas eletromagnéticas.

Um dipolo elétrico é um conjunto de cargas opostas +q e −q separadas de uma distância d. A grandeza momento de dipolo elétrico p é um vetor tal que

p = q d #A.1#.

Onde d é um vetor de módulo igual a d e sentido da carga negativa para a positiva.

Na Figura 01, um dipolo genérico de momento p está localizado sobre o eixo x e simétrico em relação à origem 0.

Segundo relações de eletricidade, o potencial elétrico de um ponto situado a uma distância r de uma carga q é

V = [ 1/(4 π ε0) ] . (q / r).

Para um ponto M genérico conforme figura, o potencial devido ao dipolo é a diferença dos potenciais relativos às duas cargas:

V = [ 1/(4 π ε0) ] . [(q / r') − (q / r'')] = [ 1/(4 π ε0) ] q (r'' − r') / (r' r'').

Considerando que a distância d é pequena em relação a r, as seguintes aproximações podem ser feitas:

r' r'' ≈ r2 e r'' − r' ≈ d cos α. E, substituindo, resulta em

V = q d cos α / (4 π ε0 r2) = p cos α / (4 π ε0 r2) #B.1#, onde p é o momento do dipolo elétrico.

Fig 01

A relação simplificada entre campo e potencial elétrico é bem conhecida

E = − (Va − Vo) / Xa.

Onde Xa é a distância entre os pontos de potencial a e o na direção do campo. Essa igualdade é, na realidade, um caso particular de uma mais genérica, que é dada por:

Ex = − ∂V / ∂x #C.1#.

Onde Ex é o componente do vetor campo elétrico na direção x.

Por analogia, pode-se deduzir os componentes radial e tangencial para o caso de coordenadas polares:

Er = − ∂V / ∂r #D.1#.

Et = − ∂V / ∂ℓ #D.2#, onde dℓ = r dα.

As igualdades acima podem ser usadas em #B.1# para determinar os componentes do campo elétrico do dipolo. O resultado é:

Er = − ∂V / ∂r = 2 p cos α / (4 π ε0 r3) #E.1#.

Et = − (1/r) ∂V / ∂α = p sen α / (4 π ε0 r3) #E.2#.

Na Figura 01, esses componentes (radial e tangencial) estão representados (sem correspondência gráfica) para uma linha de força genérica que passa pelo ponto M.

Dipolo elétrico oscilante

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Os conceitos vistos até agora para ondas eletromagnéticas não mencionam como elas podem ser produzidas. Este tópico dá algumas informações sobre a irradiação de ondas eletromagnéticas por um dipolo elétrico.

Fig 01

Se o momento elétrico do dipolo é constante, há apenas o campo elétrico. Se ele oscila, o campo varia com o tempo e também há um campo magnético variável conforme leis do eletromagnetismo. Isso sugere, e a prática confirma, a irradiação de ondas eletromagnéticas.

Um dipolo oscilante pode ser formado, por exemplo, pela perturbação do movimento de elétrons num átomo ou por um dispositivo comum, como uma antena para telecomunicação.

Considerando o caso prático mais comum, isto é, oscilação senoidal, o momento do dipolo oscilante é dado por

p(t) = p0 sen ωt #A.1#.

Entretanto, o desenvolvimento matemático dos campos elétrico e magnético produzidos por um dipolo oscilante é complexo e, por enquanto, aqui não é dado. São apresentadas apenas algumas aproximações e os resultados finais.

Fig 02

Para pequenas distâncias, o retardo devido à velocidade de propagação da onda pode ser desprezado e os componentes radial e tangencial do campo elétrico podem ser dados de forma aproximada pela substituição do valor anterior de p nas igualdades #E.1# e #E.2# do tópico Dipolo elétrico:

Er = 2 p0 cos α sen ωt / (4 π ε0 r3) #B.1#.

Et = p0 sen α sen ωt / (4 π ε0 r3) #B.2#.

Para maiores distâncias, as frentes de onda se aproximam do plano a a tendência é existir apenas o componente tangencial do campo elétrico conforme indicado na Figura 01.

E o desenvolvimento matemático resulta em:

E = p0 sen α (ω/c)2 sen(2 π r/λ − ωt) / (4 π ε0 r) #C.1#.

O campo magnético pode ser deduzido a partir da igualdade E = c B vista em página anterior:

B = p0 sen α (ω/c)2 sen(2 π r/λ − ωt) / (4 π ε0 r c) #C.2#.

A Figura 02 dá a forma aproximada das linhas de força do campo elétrico do dipolo em questão (é apenas um desenho aproximado. Não foi traçado por software matemático). Notar que, próximas do dipolo, parecem linhas do campo estático e, distantes, são linhas fechadas que correspondem a uma oscilação completa.

Fig 03

A densidade de energia (para grande distância) irradiada pelo dipolo pode ser obtida pela igualdade #C.2# do tópico Energia de uma onda eletromagnética:

u = ε0 E2 #D.1#.

Usando o valor de E conforme #C.1#,

u = p02sen2α (ω/c)4sen2(2 π r/λ − ωt)/(16 π2 ε0 r2)

#E.1#.

E o valor médio de u é dado por:

um = p02 sen2α (ω/c)4/(32 π2 ε

0 r2) #F.1#.

E, conforme #E.2# do mesmo tópico, a intensidade média da onda é dada por

Im(α) = c um = p02 sen2α ω4 / (32 π2 ε0 r2 c3) #G.1#.

A Figura 03 dá um gráfico aproximado típico da variação de Im(α) com α. Pode-se observar, portanto, que um dipolo não emite radiação ao logo do seu eixo. E que a curva é similar às encontradas nas especificações de ganhos de antenas reais tipo dipolo.

Espectro eletromagnético

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Ondas eletromagnéticas são produzidas, natural ou artificialmente, em uma ampla faixa de freqüências. A Figura 01 dá o espectro aproximado para as radiações mais comuns.

Conforme conceitos já vistos, as grandezas comprimento de onda (λ) e

freqüência (f) são inter-relacionadas:

c = λ f #A.1# (considerando a velocidade da luz no vácuo c). E as escalas de comprimento de onda e freqüência do espectro refletem essa relação.

Fig 01

De acordo com princípios da física quântica, a onda eletromagnética pode ser também considerada partícula e a energia correspondente dos fótons é também indicada na figura.

Essa energia é proporcional à freqüência ( = h f, onde h é a constante de Planck) e é interessante associar o valor com o efeito da radiação na matéria. Ondas de baixas freqüências, isto é, fótons de baixa energia, pouco interagem com substâncias e seres vivos. À medida que a freqüência aumenta e, por conseqüência, a energia dos fótons também cresce, as interações se tornam mais evidentes, como o aquecimento provocado por microondas e radiação infravermelha, efeitos dos raios ultravioleta e dos raios X, etc.

Luz - Alguns fundamentos

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Natureza |Velocidade da luz |Propagação da luz |

Natureza

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Nos tempos atuais, a natureza da luz é bem compreendida e dispensa muitos comentários: luz são radiações eletromagnéticas que a vista humana consegue perceber.

Fig 01

No espectro conhecido das ondas eletromagnéticas, a luz ocupa apenas uma estreita faixa conforme indicação aproximada da Figura 01 (os comprimentos de onda λ são considerados decrescentes da esquerda para a direita. Isso significa que as freqüências são crescentes no mesmo sentido).

Grosso modo, pode-se dizer que luz são radiações de comprimentos de onda entre 780 nm (nanômetro = 10-9 m) e 400 nm. O comprimento de onda define a cor da radiação visível.

No limite inferior de freqüência (ou superior de comprimento de onda), ocorre a cor vermelha e, no superior, a violeta. Por isso, radiações próximas desses limites e fora da faixa visível são denominadas respectivamente infravermelhas e ultravioletas.

Na parte superior da figura há uma ampliação em sentido vertical da parte visível do espectro. A variação de cores apresentada é apenas ilustrativa e aproximada. Não há correspondência exata da cor com o comprimento de onda medido em escala no desenho.

É importante lembrar que a sensibilidade da vista humana não é igual para todas as cores. Ela tem seu valor máximo num ponto aproximadamente central e valores mínimos nos extremos, conforme indicado pela curva vermelha da figura. De forma similar à escala de cores, o gráfico é meramente ilustrativo, sem maiores preocupações com a precisão.

Velocidade da luz

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Quando se menciona velocidade da luz, fica em geral subentendido que é a sua velocidade no vácuo. Desde que luz são ondas eletromagnéticas, a velocidade no vácuo é dada pela fórmula vista na página Eletromagnetismo VI-10:

c = (1 / μ0ε0)1/2 #A.1#. Onde μ0 é a permeabilidade magnética do vácuo e ε0 a permissividade elétrica do vácuo. Portanto, o termo pode ser estendido para a velocidade das ondas eletromagnéticas no vácuo.

Mas a comprovação prática da velocidade da luz pode ser feita de forma independente das teorias do eletromagnetismo. Coube a Galileu a primeira tentativa histórica de que se tem notícia para a medição da velocidade da luz. Entretanto, a tecnologia disponível na época não oferecia meios para medir algo tão rápido e Galileu pode apenas fazer comentários não quantitativos ("Se não for instantânea, será extremamente rápida").

Fig 01

Entre o final século XVII e início do século XVIII, alguns métodos astronômicos foram usados e os melhores resultados chegaram a valores perto de 3 108 m/s, bastante próximo da realidade.

O primeiro método não astronômico foi idealizado pelo físico francês Hippolyte Fizeau em 1849. A Figura 01 dá o esquema do dispositivo.

Considera-se inicialmente que o disco giratório está parado e não obstrui o feixe de luz. Assim, a luz emitida pela fonte e desviada pelo espelho semi-refletor percorre um caminho 2L antes de chegar ao observador.

Supõe-se agora que o disco gira com uma velocidade angular ω e que φ é o ângulo entre o centro de um entalhe e um dente adjacente. Se o intervalo de tempo em que o disco gira desse ângulo for exatamente igual ao tempo em que a luz percorre a distância 2L, o observador não verá a parcela de luz refletida pelo espelho à esquerda. Portanto, ocorre a igualdade

φ / ω = 2L / c #A.1#, onde c é a velocidade da luz. Na época, Fizeau obteve o

valor de 3,13 108 m/s.

Outros métodos foram desenvolvidos e o valor atualmente adotado é 299 792

458 m/s. E o dado 3 108 m/s é a aproximação prática comum. A letra c (minúscula) é o símbolo usual para a velocidade da luz no vácuo.

Propagação da luz

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Ao contrário de ondas sonoras, vibrações mecânicas e similares, a luz e outras ondas eletromagnéticas se propagam no vácuo, sem necessidade de qualquer meio físico aparente. Até início do século passado, a teoria aceita era a existência de um éter, isto é, uma espécie de substância elástica, invisível e insensível que preencheria os espaços vazios do Universo e, portanto, seria o meio de transporte das ondas no vácuo. Assim, o éter seria uma referência de deslocamento para todos os fenômenos.

Fig 01

Em 1887, os físicos Michelson e Morley realizaram a famosa experiência, que ficou batizada com os seus nomes, para tentar demonstrar a existência do éter.

O instrumento usado foi o interferômetro, cujo princípio básico é dado na Figura 01. Um raio emitido pela fonte de luz tem supostamente a velocidade da luz c em relação ao éter. A Terra tem uma velocidade v em relação ao éter na mesma direção da luz emitida.

Assim, na direção emitida pela fonte, a luz deve ter uma velocidade c − v em relação à Terra.

A luz da fonte atravessa parcialmente o espelho semi-refletor e, conforme parágrafo anterior, no trecho OE1 deve ter velocidade c − v. Para o raio refletido em E1, caminho E1O, a velocidade deve se a soma c + v. Essas suposições são conceitos simples de velocidades relativas de acordo com a mecânica clássica.

Pode-se demonstrar pelos mesmos princípios que a velocidade é (c2 − v2)1/2

para a parte perpendicular refletida (OE2) em ambos os sentidos.

Um raio de luz, que atinge em determinado tempo o ponto O, é dividido em dois pelo espelho semi-refletor e esses dois raios retornam ao mesmo ponto O depois da reflexão em E1 e em E2. As distâncias OE1 e OE2 são idênticas. Chama-se esse valor de L'.

Ora, se os raios percorrem a mesma distância e têm velocidades diferentes, retornam ao ponto O em tempos diferentes que são dados por:

t1 (para OE1 e E1O) = L' / (c − v) + L' / (c + v) = (2 L' / c) / (1 − v2/c2) #A.1#.

t2 (para OE2 e E2O) = 2 L' / [(c2 − v2)1/2] = (2 L' / c) / (1 − v2/c2)1/2 #A.2#.

Se os tempos são supostamente diferentes, o observador deve notar algum padrão de interferência, porque as frentes de onda não coincidem. Mas, para surpresa na época, nada foi observado. E as repetições da experiência afastaram a possibilidade de erros.

Uma das hipóteses consideradas para explicar o estranho resultado foi a contração real de objetos que se movem em relação ao éter. Mas essa e outras hipóteses se mostraram insatisfatórias.

Fig 02

A idéia brilhante para explicar o fenômeno foi dada em 1905 por um físico até hoje, com justa razão, qualificado de gênio (Abert Einstein):

A velocidade da luz é a mesma para todos os observadores, independente das suas velocidades, isto é, é uma constante física.

Com essa suposição, o conceito do éter é desnecessário. E a velocidade da luz é o limite de velocidade do Universo.

Nesta página não cabem maiores considerações sobre a teoria da relatividade. É assunto para um estudo à parte. Mas uma conseqüência pode ser vista na Figura 02 (a):

O observador 2, com velocidade v em relação ao observador 1, lança um projétil com velocidade u'.

Se o observador 1, por algum meio, mede a velocidade do projétil, ele deverá encontrar um valor u que, conforme leis da mecânica clássica, é dado por

u = v + u' #B.1#.

Mas essa fórmula é apenas uma aproximação da realidade. Conforme relatividade, a velocidade real medida pelo observador 1 é

u = (v + u') / [1 + (v u') / c2] #B.2#. Onde c é a velocidade da luz.

Considerando agora um caso particular de v = u', o gráfico da Figura 02 (b) dá uma idéia da diferença: a curva A é a simples soma das velocidades conforme modelo clássico. A curva B é resultado da fórmula relativística apresentada. Ambas as curvas são dadas em relação à velocidade da luz c. Notar que diferenças significativas aparecem a partir de aproximadamente 0,3c, o que é uma velocidade bastante alta. Assim, na maioria dos casos práticos, os cálculos da mecânica clássica podem ser usados porque os desvios são totalmente insignificantes.

Luz - Reflexão e refração

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Princípios básicos |

Esses são provavelmente os fenômenos mais importantes no estudo da óptica. A visão humana e de outros seres vivos, os instrumentos ópticos são exemplos comuns de aplicação. Alguns conceitos teóricos e práticos são dados nesta página, com previsão de ampliação em futuras atualizações.

Um pouco de história: a lei básica da reflexão era conhecida por Euclides, o mais famoso matemático da Antigüidade que supostamente viveu entre 325 e 265 AC. De forma experimental, o princípio básico da refração foi descoberto por Willebrod Snell em 1621. Em 1637, René Descartes deduziu a mesma lei a partir de analogias mecânicas.

Princípios básicos

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O conceito de frente de onda é bastante intuitivo e pode ser definido como o lugar geométrico de todos os pontos que a radiação atinge, a partir da fonte, no mesmo intervalo de tempo. São facilmente visíveis no clássico exemplo do impacto de um pequeno objeto na superfície de um líquido em repouso. Nesse caso, as frentes de onda são circulares.

Aqui considera-se que a luz é uma onda plana, isto é, as frentes de onda são planas e perpendiculares à direção de propagação.

Sejam, conforme Figura 01, dois meios de substâncias diferentes (exemplo: ar e água), com superfície de contato plana, pelos quais a luz se propaga. Um raio de luz plana atravessa esses meios.

Fig 01

Pode-se verificar experimentalmente que uma parte do raio incidente é refletida pela superfície de contato e outra parte é refratada, isto é, passa para o outro meio mas com direção diferente.

Em relação à reta normal à superfície de contato,

θ1 é o ângulo de incidência.θ1' é o ângulo de reflexão.θ2 é o ângulo de refração.

E as relações básicas que determinam os dois fenômenos podem ser facilmente observadas de forma experimental:

Na reflexão, ocorre a igualdade de ângulos:

θ1 = θ1' #A.1#.

Na refração, ocorre a proporção de senos:

sen θ1 / sen θ2 = n21 #B.1#.

Onde a constante n21 é denominada índice de refração do meio 2 em relação ao meio 1.

Pode-se verificar, também de forma experimental, que o índice de refração é igual à relação das velocidades da luz nos meios:

n21 = v1 / v2 #C.1#.

Portanto, no exemplo da Figura 01, a velocidade no meio 1 deve ser maior que a velocidade no meio 2 porque θ1 > θ2.

Na prática, os índices de refração são dados em relação ao vácuo, onde a velocidade da luz é a constante física c (aproximadamente 3 108 m/s). Assim,

n = c / v #D.1#.

Esse parâmetro é denominado índice absoluto de refração.

E o índice entre dois meios pode ser dado pelos seus valores absolutos:

n21 = v1 / v2 = (c/n1) / (c/n2) = n2 / n1 #E.1#.

Material n Material n

Água a 25ºC 1,33 Glicerina 1,473

Álcool etílico a 20ºC 1,36 Poliestireno 1,59

Ar 1,00029 Quartzo 1,46

Diamante 2,417 Vidro óptico tipo crown 1,50 − 1,62

Gelo 1,31 Vidro óptico tipo flint 1,57 − 1,75

Tabela 01 - Índices absolutos de refração de alguns materiais.

Fig 02

Das fórmulas anteriores, pode-se facilmente concluir que o índice de refração do vácuo é igual a 1. Conforme tabela, o valor para o ar é bastante próximo de 1 e é assim considerado quando não há grandes exigências de precisão.

Entretanto, o índice de refração varia com o comprimento de onda (isto é, a cor) da luz incidente. Os valores da tabela anterior são médios para o espectro visível.

O gráfico da Figura 02 dá uma idéia da variação do índice de refração do quartzo em relação ao comprimento de onda da luz.

Esse comportamento do índice de refração tem importantes aplicações na decomposição de espectros luminosos, assunto de páginas ou tópicos posteriores.

Princípio de Fermat

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Enunciado por Pierre Fermat em 1650, afirma basicamente que a luz percorre o caminho do menor tempo. E as leis da reflexão e da refração do tópico anterior podem ser deduzidas a partir do mesmo.

Fig 01

Na reflexão as velocidades são idênticas porque os raios estão no mesmo meio. Assim, o caminho de menor tempo é o de menor comprimento. E, conforme Figura 01, devemos ter AOB mínimo.

Mas AOB = AO + OB == (a2 + x2)1/2 + [b2 + (d-x)2]1/2.

Para o mínimo, a derivada deve ser nula:

d(AOB)/dx = (1/2) 2x (a2+x2)−1/2 + (1/2) 2 (d-x) (−1) [b2+(d−x)2]−1/2 = 0.

Simplificando, x / (a2 + x2)1/2 = (d − x) / [b2 + (d − x)2]1/2.

Essa igualdade é equivalente a sen θ1 = sen θ1' ou θ1 = θ1'.

Fig 02

No caso de refração, precisa-se somar os tempos porque as velocidades nos meios são diferentes (Figura 02).

T = (1/v1) (a2 + x2)1/2 + (1/v2) [b2 + (d−x)2]1/2.

Derivando em relação a x e igualando a zero para obter o valor mínimo, de forma similar à anterior,

(1/v1) x / (a2 + x2)1/2 == (1/v2) (d − x) / [b2 + (d−x)2]1/2.

Ou (1/v1) sen θ1 = (1/v2) sen θ2.

Ou sen θ1 / sen θ2 = v1 / v2. Essa fórmula corresponde à igualdade já vista para refração:

sen θ1 / sen θ2 = n21.

Exemplos

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A Figura 01 deste tópico dá um arranjo de dois espelhos E1 e E2 perpendiculares entre si.

Fig 01

A simples verificação visual dos ângulos permite concluir que um raio de luz refletido por ambos retorna em direção paralela ao raio incidente.

Na Figura 02, observa-se a seção transversal de um prisma de vidro, simétrico em relação ao eixo vertical que passa pelo vértice B.

É suposto que a direção do feixe é ajustada de forma que a direção de saída θ (em relação à reta normal à superfície) seja igual à de entrada.

Fig 02

Notar que ocorre a relação φ = β/2 porque as direções AB e BD são perpendiculares aos lados de φ.

Considerando o triângulo ADC e o ângulo α de desvio total do raio,

180 − α = 180 − (θ − φ) − (θ − φ) ou α = 2 (θ − φ).

Aplicando a lei da refração no ponto A (θ é o ângulo de incidência e φ o de refração):

sen θ = n21 sen φ. Onde n21 é o índice de refração do material do prisma (vidro) em relação ao ar.

Substituindo valores anteriores,

sen [ (α + β) / 2 ] = n21 sen (β/2) #A.1#.

Essa igualdade permite determinar o índice de refração do material do prisma a partir do ângulo β e do desvio α para a situação de simetria.

Exemplos

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Para um prisma comum, conforme visto na página anterior, ocorre a relação:

sen [ (α + β) / 2 ] = n21 sen (β/2) #A.1#.

Fig 01

Onde α é o desvio angular entre os raios emergente e incidente e β o ângulo do vértice superior. Isso é válido se ambos os raios formam o mesmo ângulo com as superfícies, isto é, se há uma simetria no arranjo (de outra forma, pode-se dizer que o caminho interno é paralelo à base do prisma).

Se o raio incidente é uma mistura de vários comprimentos de onda (a luz branca do sol por exemplo), pode-se verificar que os raios de cada comprimento de onda terão caminhos diferentes porque o coeficiente n21 varia com os mesmos.

A demonstração matemática é simples e aqui não é dada. E a visualização do espectro de uma fonte de luz é uma das aplicações clássicas do prisma conforme Figura 01.

Seja agora o caso de um raio que atravessa um meio de faces planas e paralelas entre si conforme Figura 02 (exemplo: uma placa de vidro no ar).

Fig 02

Conforme visto em página anterior, para o ponto B,

sen θ1 / sen θ2 = n21 = n2 / n1.

No ponto C, a refração é do meio 2 para o meio 1:

sen θ1' / sen θ2' = n12 = n1 / n2.

Pela geometria do caso, θ2 = θ1'.

Substituindo nas igualdades anteriores, chega-se a

sen θ1 = sen θ2' ou θ1 = θ2'. Portanto, os raios incidente e emergente são paralelos.

Por trigonometria simples, cos θ2 = a / BC e sen (θ1 − θ2) = d / BC. Portanto, a distância entre os raios é dada por:

d = a sen (θ1 − θ2) / cos θ2 #B.1#.

Também pode ser facilmente deduzido que os raios continuam paralelos no caso de várias camadas de materiais com diferentes índices de refração.

Reflexão total

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Na situação da Figura 01, uma fonte de luz O no interior de uma placa de vidro. Os raios são refratados para o meio externo, que se considera o ar.

Fig 01

Para uma direção genérica,

sen θ1 / sen θ2 = n21 = nar_vidro = nar / nvidro.

Ou sen θ1 = sen θ2 (nar / nvidro).

Desde que nar < nvidro, o ângulo θ2 é sempre maior (ou igual) a θ1.

Assim, se θ1 é aumentado gradativamente conforme representado na figura, chega-se a um limite θ2 = 90º, a partir do qual não há mais refração, isto é, ocorre apenas reflexão ou reflexão total.

Esse valor-limite (θ2d na figura) é dado pela igualdade anterior com θ2 = 90º: sen θ1d = sen 90 (nar / nvidro) ou:

sen θ1d = (nar / nvidro) #A.1#.

Considerando índice do ar igual a 1 e do vidro igual a 1,5, tem-se sen θ1d = 0,677 ou θ1d ≈ 42º.

Notar que o fenômeno não ocorre no caso de passagem para um meio com maior índice absoluto de refração.

Reflexão e refração de ondas esféricas

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Uma fonte puntiforme que emite luz uniformemente em todas as direções produz frentes de ondas esféricas ou circulares, se considerada a propagação em um determinado plano.

Fig 01

Na Figura 01, uma fonte O emite ondas esféricas que são refletidas por uma superfície plana.

Considera-se apenas a reflexão de dois raios, OB e OD, que pode ser estendida para todos os demais.

Conforme já visto, os ângulos de incidência e de reflexão são sempre iguais. Assim, todos os raios refletidos se encontram em um ponto comum I, simétrico, em relação à superfície, ao ponto de origem O. Isso significa claramente que a onda refletida é também esférica.

O ponto I é denominado imagem de O devido à reflexão.

Fig 02

Mas não se pode dizer o mesmo no caso da refração. Seja o exemplo da Figura 02.

Desde que os ângulos dos raios incidente e refratado não são necessariamente iguais, só há pontos comuns para raios em posições simétricas em relação ao eixo vertical.

No conjunto, os pontos estão dispersos ao longo da reta OG. Portanto, os raios refratados de uma onda esférica em uma superfície plana não formam ondas esféricas.

Motor CC linear

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Princípios de operação

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O motor linear de corrente contínua é, possivelmente, um dispositivo de pouca utilidade prática, mas os fundamentos da operação são simples e facilmente compreensíveis, servindo como um bom ponto de partida para o estudo dos motores reais. Evidentemente, esse estudo demanda algumas noções básicas de eletromagnetismo, que podem ser vistas nesta série de páginas deste site.

Notação vetorial:

Desde que várias fórmulas do eletromagnetismo fazem uso de produtos vetoriais, há normalmente necessidade da consideração das três dimensões (x, y e z). Por simplicidade, aqui são usados desenhos bidimensionais, com o plano da tela correspondendo ao plano xy. Assim, o eixo z é perpendicular à tela e os sentidos dos vetores nesse eixo são indicados com a notação de praxe:

Vetor que entra (do leitor para a tela) Vetor que sai (da tela para o leitor)

É adotada a convenção de vetores unitários em cada eixo (ux, uy e uz). Assim, um vetor (caractere em negrito) em qualquer eixo fica perfeitamente definido pelo seu módulo (valor positivo, caractere normal), pelo sinal e pelo vetor unitário correspondente. Exemplo: B = − B uz.

Fig 01

Arranjo básico:

Conforme Figura 01, uma barra de material condutor pode deslizar perpendicularmente entre dois condutores fixos e paralelos, separados de uma distância ℓ e alimentados por uma fonte de tensão Vs. O resistor R representa as resistências que na prática ocorrem nos condutores e na fonte.

Um campo magnético uniforme B é aplicado na direção perpendicular ao plano do circuito. O sentido do campo é indicado segundo a notação vetorial anterior.

A interseção dos vetores unitários ux, uy e uz define a origem do sistema de coordenadas.

Uma vez fechada a chave SW, uma corrente i(t) circula pelo conjunto e a força decorrente da interação com o campo magnético produz o movimento da barra deslizante. De acordo com relações do eletromagnetismo, essa força é dada pelo produto vetorial

F = i(t) ℓ × B #A.1#. Onde ℓ é um vetor de comprimento igual ao da barra e no mesmo sentido da corrente elétrica. Portanto,

ℓ = − ℓ uy. Considerando que B = − B uz conforme indicado, a substituição resulta em F = i(t) (− ℓ uy) × (− B uz). Ou

F = i(t) ℓ B ux #A.2#.

Na hipótese de uma situação mecânica ideal, isto é, sem atritos, essa barra terá uma aceleração calculada pela segunda lei de Newton:

a = d2x / dt2 ux = F / m = [i(t) ℓ B / m] ux #B.1#. Onde m é a massa da barra.

Numa situação mais realista, deve haver uma força de atrito, que se considera proveniente do atrito fluido de um lubrificante entre as superfícies deslizantes.

Segundo relações da Mecânica, a força de atrito de uma superfície em um meio fluido é Fa = −k v. Onde v é a velocidade (ux dx / dt) e k é um coeficiente que depende da geometria e da viscosidade do fluido. Portanto, F + Fa = m a. Substituindo os valores e eliminando a notação vetorial, chega-se à equação mais genérica para o movimento da barra:

i(t) ℓ B − k dx / dt = m d2x / dt2 #B.2#.

Fig 02

Força contra-eletromotriz:

As relações anteriores estão incompletas porque falta determinar a corrente i(t) em função de parâmetros conhecidos. Ela não é constante, uma vez que, com o movimento da barra, o circuito forma uma espira de área variável e, segundo a lei de indução de Faraday, deve existir uma força eletromotriz induzida ou força contra-eletromotriz dada por:

Ve = − dΦB / dt #C.1#. Onde ΦB é o fluxo de campo magnético, calculado por:

ΦB = ∫ B · dS #C.2#. Por sua vez, dS é um vetor de módulo igual à superfície infinitesimal dS e perpendicular a ela.

Desde que B é constante e a espira é plana, a integral anterior é simplesmente o produto escalar ΦB = B · S onde S = ℓ x uz. Substituindo esse valor e o de B,

ΦB = (− B uz) · (ℓ x uz) = − B ℓ x #C.3#. Substituindo em #C.1#,

Ve = B ℓ dx / dt = B ℓ v #D.1#, onde v é a velocidade da barra (dx / dt).

Obs: rigorosamente, o cálculo do fluxo deve considerar a parcela gerada pela própria corrente na espira, ΦB' = L i(t), onde L é a indutância da espira. Entretanto, por ser apenas uma espira, ela é pequena e pode ser desprezada.

Relações finais:

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff ao circuito, −Vs + R i(t) + Ve = 0. Substituindo Ve e reagrupando,

R i(t) = Vs − B ℓ dx / dt #E.1#.

A igualdade acima indica um comportamento que pode ser estendido para motores práticos: a corrente aumenta com a redução da velocidade. Numa situação extrema, isto é, se a barra for impedida de se movimentar (equivalente ao eixo travado de um motor real), dx / dt = 0 e a corrente será i(t) = Vs / R = constante. Portanto, ela fica limitada apenas pela resistência elétrica do conjunto, podendo provocar superaquecimento e danos no equipamento.

Multiplicando a igualdade anterior por i(t) e rearranjando, Vs i(t) = R i(t)2 + B ℓ i(t) dx / dt. Mas B ℓ i(t) = F segundo #A.2# e dx / dt = v (velocidade). Portanto,

Vs i(t) = R i(t)2 + F v #F.1#. As parcelas dessa igualdade têm dimensão de potência, com as seguintes correspondências.

Vs i(t): potência elétrica fornecida pela fonte

R i(t)2: potência dissipada pelas resistências do circuito

F v: potência mecânica

Isso significa uma outra analogia com motores reais: a resistência elétrica dos enrolamentos reduz a eficiência, isto é, a taxa de conversão da potência elétrica em potência mecânica.

Combinando as igualdades #B.2# e #E.1# de forma a eliminar i(t), chega-se à equação do movimento do motor linear:

m d2x / dt2 + [ (B2 ℓ2) / R + k ] dx / dt = (B ℓ / R) Vs #G.1#. Onde:

m: massa da barra deslizante.x: distância percorrida.t: tempo.B: campo magnético.ℓ: distância entre condutores.R: resistência elétrica do circuito.k: coeficiente de atrito fluido para a barra.Vs: tensão da fonte.

Tópicos diversos I-20: Ondas eletromagnéticas e

física quântica

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Radiação de cavidade |

Radiação de cavidade

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Tudo começou quando, em 1900, o físico alemão Max Planck apresentou seu estudo sobre a emissão de luz por cavidades de um sólido aquecido.

Uma cavidade em um corpo sólido, também denominada irradiador de cavidade, apresenta propriedades de emissão de luz que se aproximam de um sólido ideal, isto é, são independentes do material e variam somente com a temperatura. Esse fato , que é uma realidade e não uma simplificação, facilita bastante o estudo e experiências. A seguir conceitos e fórmulas que deram início à teoria quântica.

Radiância espectral R(λ) é a grandeza definida de forma que o produto R(λ) dλ é a potência irradiada por unidade de área para os comprimentos de onda no intervalo de λ até λ + dλ.

A Figura 01 mostra a curva típica da radiância espectral de um metal aquecido até emitir luz, para uma cavidade no mesmo (A) e para a superfície (B). Notar a diferença de intensidade e o deslocamento dos valores máximos.

Radiância R é dada por R = ∫0,∞ R(λ) dλ #A.1#.

Fig 01

A unidade de radiância é potência por área. Ela não depende do comprimento de onda porque é a integração ao longo de todo o espectro de emissão.

Conforme já dito, a radiância da cavidade depende apenas da temperatura e a relação entre essas grandezas é dada pela fórmula abaixo.

Rcavidade = σ T4 #B.1#.

O fator σ é a constante de Stefan-Boltzmann, cujo valor aproximado é 5,67 10−8 W/(m2 K4).

Para uma superfície genérica,

Rsuperfície = ε σ T4 #C.1#.

Onde ε é a emissividade da superfície. É um número adimensional que teoricamente varia de 0 (material não emissor de radiação) até 1 (radiador perfeito ou corpo negro, simulado com a cavidade mencionada).

Radiância espectral da cavidade

Até o ano de 1900 havia apenas a formulação aproximada de Wien. Max Planck apresentou igualdade seguinte que expressa corretamente a emissão de uma cavidade.

R(λ) = ( a / λ5 ) { 1 / [ eb/(λ T) − 1 ] } #D.1#. Onde:

c: velocidade da luz.k: constante de Boltzmann.h: constante de Planck, ≈ 6,625 10−34 J s.

Os coeficientes a e b são dados por:

a = 2 π c2 h #D.2#.

b = h c / k #D.3#.

Para chegar a esse resultado, que lhe valeu o prêmio Nobel de 1918, Planck assumiu duas hipóteses sobre as fontes de radiação (ou osciladores):

a) Os níveis de energia de um oscilador só podem ter valores tais que

E = n h f #E.1#, onde:

E = energia.n = um número inteiro.h = constante de Planck.f = freqüência da radiação.

b) Se esses valores discretos de energia forem chamados de níveis quânticos, a radiação só pode ser emitida ou absorvida se a energia passa de um nível para outro, ou seja, ela é formada por pequenos pulsos ou quanta.

Sendo n um inteiro, pode-se dizer que a energia é quantizada.

Na prática, nos processos macroscópicos, a variação parece contínua pois a constante de Planck tem um valor bastante pequeno. Isso reflete uma semelhança com a matéria, a qual no dia-a-dia parece monolítica, mas, na realidade, é formada por átomos e esses, por partículas subatômicas.

Efeito fotoelétrico

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Um feixe de luz que incide sobre uma superfície metálica pode, sob certas condições, fazer com que elétrons do metal sejam liberados e, assim, estabelecer uma corrente elétrica entre dois elementos fisicamente separados e no vácuo.

Os estudos desse fenômeno comprovaram a teoria quântica de Planck e demonstraram que a luz (ou qualquer outra radiação eletromagnética) não pode ser apenas considerada onda, mas pode ser também partícula. Seja o conjunto conforme Figura 01.

Fig 01

Os eletrodos A e B estão em uma ampola sob vácuo e, sobre A, incide uma radiação luminosa monocromática que pode liberar elétrons do mesmo. Uma tensão contínua ajustável V é aplicada aos eletrodos e a corrente no circuito é medida pelo amperímetro G.

O gráfico da Figura 02 curva 1 indica a variação da corrente i do circuito em função do potencial V aplicado: acima de um certo valor, pode-se notar que a curva tende a ficar horizontal, isto é, a corrente não varia com o potencial.

Isso significa que, nessa faixa, todos os elétrons liberados pela radiação são coletados pelo eletrodo B. Abaixo desse valor, a corrente cai com a tensão.

Fig 02

Quando o potencial V se torna negativo, o campo elétrico entre os eletrodos se opõe ao movimento dos elétrons de A para B. Entretanto, a corrente não se anula de imediato, só ocorrendo no potencial V0.

Isso indica que a mais alta energia cinética de um elétron liberado pelo efeito fotoelétrico é igual a

e V0 #A.1#, onde e é a carga do elétron.

A curva 2 refere-se ao mesmo experimento, mas com uma intensidade de radiação menor que A, demonstrando que V0 não depende da intensidade da radiação. Entretanto, V0 varia com a freqüência. A Figura 03 indica essa variação.

Fig 03

Observa-se que existe uma freqüência de corte f0 abaixo da qual não há efeito fotoelétrico.

Pela teoria ondulatória da luz, V0 deveria variar com a intensidade e não poderia haver uma freqüência de corte.

Tais contradições levaram Albert Einstein a supor um novo modelo para a propagação da luz, conforme a seguir descrito.

Einstein assumiu que a luz, ao se propagar pelo espaço, comporta-se como partículas denominadas fótons, cuja energia é dada por

E = h f #B.1#, onde h é a constante de Planck e f é a freqüência. Assim, no efeito fotoelétrico,

h f = E0 + e V0 #C.1#. Ou seja, ao atingir o material,

• A parcela E0 da energia do fóton é usada para remover o elétron.

• A parcela e V0 é a energia efetivamente cedida ao elétron.

Esse modelo explica perfeitamente as contradições anteriores:

• Para uma mesma freqüência, V0 não varia com a intensidade da radiação, pois esta última muda apenas a quantidade de fótons, mas a energia de cada (h f) é constante.

• A freqüência de corte existe porque haverá um valor tal que h f0 = E0 e, portanto, e V0 será nulo, não mais havendo energia para o deslocamento do elétron.

Rearranjando a equação anterior,

V0 = (h/e) f − (E0/e) #D.1#.

Isso é uma relação linear de V0 com f, confirmando o resultado experimental do gráfico da Figura 03.

Entretanto, a teoria ondulatória da luz não pode ser descartada. Ela explica

muitos outros fenômenos. O modelo aceito é a dualidade do comportamento da luz, isto é, dependendo das circunstâncias, pode ser onda ou partícula.

Efeito Compton

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Este efeito é mais uma demonstração do conceito de fóton, apresentada em 1923 por A H Compton, que teve como reconhecimento o prêmio Nobel em 1927.

A figura mostra apenas o esquema simplificado do experimento e não detalhes construtivos dos meios e instrumentos usados.

Fig 01

A experiência consistiu em dirigir um feixe de raios X de comprimento de onda λ e medir, por meio do detector, o comprimento de onda da radiação dispersa em um ângulo θ da direção da radiação incidente.

Foi observado que, na direção mencionada, também existe uma radiação de comprimento de onda λ' tal que

λ' − λ = λc (1 − cos θ) #A.1#. Onde λc é constante e aproximadamente igual a 2,426 10−12 m.

Pela teoria ondulatória da radiação, esse fato não pode ser explicado. A radiação incidente deveria fazer os elétrons livres oscilarem na mesma freqüência e, portanto, a dispersa teria idêntica freqüência, de forma semelhante à antena de um transmissor de rádio.

Fig 02

A Figura 02 dá a explicação quântica do fenômeno:

Para não violar a lei da conservação da energia, a energia do fóton incidente (h f) deve ser igual à soma da energia do fóton desviado (h f') mais a energia do elétron desviado (Ek). Assim,

h f = h f' + Ek #B.1#. Portanto a freqüência do fóton desviado deve ser menor que a do incidente.

Retornando à equação #A.1#, λ' − λ = λc (1 − cos θ), a constante λc, também denominada comprimento de onda de Compton para elétrons, tem seu valor dado por

λc = h / (me c) #C.1#. Onde:

h: constante de Planck.me: massa de repouso do elétron.c: velocidade da luz.

O desenvolvimento teórico dessa relação não é aqui inserido porque depende de conceitos ainda não disponíveis neste site.

Exemplo

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Considere um feixe de raios-x com comprimento de onda λ = 1,00 Å e também um feixe de raios-γ com λ = 1,88 x 10−2 Å que incidem em um alvo feito de ouro Au197. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres for observada a 90º do feixe incidente, qual é a variação no comprimento de onda Δλ devido ao efeito Compton neste caso ? (fonte: prova perito Polícia Federal)

Dados:massa de repouso do elétron m0 = 9,11 x 10−31 kg;constante de Planck h = 6,63 x 10−34 Js;velocidade da luz no vácuo 3 x 108 m/s;1Å = 10−10 m.

(a) 0,0243 Å para raios-x e 0,0457 Å

para raios-γ.

(b) 0,0243 Å em ambos os

casos.

(c) 0,0457 Å para raios-x e 0,0243 Å

para raios-γ.

(d) 0,0457 Å em ambos os

casos.

Solução: da igualdade #A.1# do tópico Efeito Compton, a variação do comprimento de onda em função do ângulo de observação é

λ' − λ = λc (1 − cos θ). Desde que θ = 90º, λ' − λ = λc.

Conforme #C.1# do mesmo tópico λc = h / (me c).

Substituindo pelos valores dados (me é o m0 da questão),

λc = 6,63 10−34 / ( 9,11 10−31 3 108 ) ≈ 0,243 10−11 m. Ou 0,0243 Å.

Portanto, a variação do comprimento de onda, Δλ = λ' − λ = 0,0243 Å, não depende da onda incidente nem do material do alvo. Resposta (b).

Tópicos diversos sobre eletricidade II-10

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Comando duplo |Condutores - Tabela de

capacidades |Disjuntor termomagnético |

Interruptor de fuga |Lâmpada dicróica |

Comando duplo

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Em vários casos, é desejável que a iluminação de um ambiente seja ligada e desligada, de forma independente, pois dois interruptores em locais distintos.

Fig 01

O circuito da Figura 01, também denominado three way, executa essa função. Os interruptores duplos ch1 e ch2 abrem ou fecham o circuito, de forma independente, para a lâmpada L1.

Condutores - Tabela de capacidades

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A tabela abaixo dá os valores usuais de capacidade de condução em ampères para as seções padronizadas.

Seção mm2

2 condutores carregados

3 condutores carregados

Seção mm2

2 condutores carregados

3 condutores carregados

0,5 9 8 50 151 134

1,0 13,5 12 70 192 171

1,5 17,5 15,5 95 232 207

2,5 24 21 120 269 239

4 32 28 150 309 272

6 41 36 185 353 310

10 57 50 240 415 364

16 76 68 300 473 419

25 101 89 400 566 502

35 125 111 500 651 578

Os valores referem-se a cabos isolados com PVC, a 70 °C, temperatura ambiente de 30 °C, instalados em calhas ou dutos. Ver catálogos dos fabricantes para mais detalhes e outras informações.

Disjuntor termomagnético

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A Figura 01 deste tópico mostra o esquema simplificado de um disjuntor termomagnético do tipo comum em instalações residenciais.

Fig 01

Entre os bornes 1 e 2, a corrente passa pela resistência de baixo valor R (que está próxima da lâmina bimetálica B), pela bobina do eletroímã E e pelo par de contatos C. Esse tende a abrir pela ação da mola M2, mas o braço atuador A impede com ajuda da mola M1.

O eletroímã E é dimensionado para atrair a extremidade do atuador A somente em caso de corrente muito alta (curto circuito) e, nessa situação, A gira no sentido indicado, liberando a abertura do par de contatos C pela ação de M2.

De forma similar, R e o bimetal B são dimensionados para que este último não toque a extremidade de A dentro da corrente nominal do disjuntor. Acima dessa, o aquecimento leva o bimetal a tocar o atuador A, interrompendo o circuito de forma idêntica à do eletroímã.

Interruptor de fuga

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Também denominado interruptor diferencial, é, na realidade, um disjuntor. Mas não se destina à proteção contra curtos ou sobrecargas e sim contra falhas na isolação de aparelhos.

Na Figura 01 o princípio de funcionamento: um equipamento é ligado à rede monofásica e o conjunto interruptor é formado pelas partes dentro do retângulo tracejado. A alimentação da rede passa pelo núcleo da bobina L que alimenta o atuador A que, por sua vez, comanda o grupo de contatos C.

Fig 01

Em situação normal, a corrente no condutor fase é igual à do neutro mas em sentidos opostos. Assim, os campos magnéticos se anulam e não há tensão induzida na bobina L. Entretanto, se houver uma fuga F de corrente entre o circuito do equipamento e sua carcaça que está aterrada, a corrente na fase será maior que a do neutro. Isso induz uma tensão na bobina L e o atuador A provoca a abertura dos contatos. Opera de forma similar com circuitos trifásicos.

Pode funcionar também como uma proteção contra choques elétricos.

Se houver fuga de corrente com a carcaça não aterrada, o desequilíbrio provocado pelo toque de uma pessoa pode atuar o dispositivo.

A principal característica, além da máxima tensão e corrente que pode suportar, é a sensibilidade, isto é, a menor corrente de fuga que provoca a abertura (o conceito está no sentido inverso, ou seja, quanto menor a corrente, maior a sensibilidade).

Interruptores de baixa sensibilidade, por exemplo 500 mA, são usados para proteção somente contra fugas e as carcaças dos equipamento devem estar corretamente aterradas. Já os de alta sensibilidade como 30 mA são usados onde o aterramento não existe ou é deficiente. Entretanto, tais dispositivos não podem ser considerados substitutos do aterramento. O aterramento deve ser sempre usado.

Lâmpada dicróica

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Dicroísmo (do grego dichroos, bicolor) é a propriedade, que alguns materiais têm, de dividir um feixe de luz em dois feixes de comprimentos de onda (cores) diferentes.

Fig 01

Essa propriedade é usada em filtros e espelhos para diversas aplicações.

Uma lâmpada dicróica comum é uma lâmpada halógena com um refletor de algum material dicróico, que reflete a parte visível da radiação e absorve a parte infravermelha.

Desde que ela normalmente fica embutida em forros ou similares, é reduzida a emissão de calor para o ambiente iluminado.

Lâmpada fluorescente

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A Figura 01 mostra o funcionamento de uma lâmpada fluorescente comum. A estrutura é um bulbo tubular de vidro, com um filamento em cada extremidade, contendo uma pequena quantidade de mercúrio e um gás nobre (argônio, criptônio ou neônio) sob baixa pressão.

Sob ação do potencial elétrico aplicado aos filamentos, os elétrons se movem de um lado a outro em alta velocidade. A colisão com os átomos do mercúrio emite radiação ultravioleta. Um revestimento interno de material apropriado, por exemplo, halofosfato de cálcio, converte essa radiação em luz visível.

A eficiência de uma lâmpada fluorescente está na faixa de 23%. Entretanto, ela exige dispositivos adicionais para operar.

Fig 01

Na parte inferior da Figura 02, o esquema de ligação mais simples, com partida manual.

O reator R (bobina com núcleo de ferro) é necessário para limitar a corrente e fornecer a tensão adequada.

Para acender é necessário pressionar por um breve período o botão S, de forma a aquecer os filamentos e formar o arco entre as extremidades. Uma vez acesa o filamento pode e deve ser desligado, pois a descarga se mantém enquanto houver tensão aplicada.

É evidente que esse método é pouco prático. Existem dispositivos denominados starters, que fazem essa operação automaticamente. Há reatores que dispensam starters, chamados de partida rápida. E também os reatores eletrônicos.

Desde a década de 1990, são bastante usadas as lâmpadas fluorescentes compactas, em formato de U ou circular. Contendo o reator na própria base e soquete-padrão, tornam a instalação tão simples quanto a das incandescentes.

Lâmpada halógena

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A lâmpada incandescente é o meio mais antigo e simples de se produzir luz a partir da energia elétrica. A Figura 01 deste tópico dá o esquema simplificado.

O filamento é um fino fio de um metal de alto ponto de fusão (quase sempre o tungstênio). Ele fica no interior de um bulbo de vidro e condutores em cada extremidade são conectados a um meio de encaixe (rosca ou outro tipo) para fixação do conjunto e condução da corrente elétrica. No centro das lâmpadas comuns há ainda um suporte de vidro ao qual são fixados filetes metálicos de apoio do filamento para melhorar a resistência a vibrações.

A corrente elétrica aquece o filamento a uma temperatura de cerca de 2500°C e, nessa condição, há emissão de calor e luz visível. Se estivesse exposto ao ar, o filamento seria rapidamente destruído devido à ação do oxigênio. Nas primeiras lâmpadas, vácuo era feito no interior do bulbo para prevenir isso.

Fig 01

Entretanto, devido à alta temperatura, ocorre a vaporização do tungstênio, que se deposita nas paredes do bulbo até a completa ruptura do filamento em relativamente pouco tempo.

Lâmpadas atuais, no lugar do vácuo, usam um gás inerte (em geral argônio) para reduzir a vaporização. Mas a duração ainda é pequena. Em média, cerca de 1000 horas em condições normais de utilização.

Além da pequena durabilidade, as lâmpadas incandescentes comuns têm outra importante desvantagem: a baixa eficiência energética. Somente cerca de 10% da energia consumida é convertida em luz. O restante é desperdiçado sob forma de calor.

A lâmpada halógena usa o mesmo princípio da incandescente, mas o gás de enchimento é em geral criptônio ou xenônio com traços de um elemento halogênio (normalmente bromo ou iodo). O halogênio tem a propriedade de se combinar com os átomos do tungstênio evaporado e depositá-los no filamento, ou seja, um processo de reciclagem. Assim, a temperatura de trabalho pode ser mais alta para aumentar a parcela de luz visível e, por conseqüência, a eficiência. Os bulbos são menores, mais próximos do filamento e em vidro de quartzo para suportar as temperaturas mais altas e também as pressões, que podem chegar até 25 bar. Tudo isso resulta em vida média maior (próxima de 3000 h), rendimento energético cerca de 50% maior que o da incandescente comum e um espectro de emissão que permite uma reprodução mais fiel das cores.

Tensões e correntes em ligações trifásicas

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A Figura 01 mostra as ligações trifásicas comuns: em (a), as cargas são ligadas em delta (ou triângulo) e, em (b), em Y (ou estrela).

As considerações deste tópico pressupõem circuitos equilibrados, isto é, cargas iguais e tensões iguais entre linhas.

Fig 01

Na figura, A, B e C são os condutores da rede trifásica. Tensão de linha é a tensão entre dois desses condutores (VL). Corrente de linha é a corrente nesses condutores (IL).

Tensão de fase e corrente de fase são tensões e correntes em cada carga, VF e IF.

Na ligação delta ocorre:

• VL = VF #A.1#.• IL = √3 IF #A.2#.

Na ligação Y ocorre:

• VL = √3 VF #B.1#.• IL = IF #B.2#.

Em ambos os casos, a potência é calculada pelas fórmulas:

Potência aparente√3 VL IL #C.1#

Potência ativa√3 VL IL cos φ #C.2#

Potência reativa√3 VL IL sen φ #C.3#

Onde cos φ é o fator de potência do circuito.

Termostato

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O termostato é um dispositivo simples e de baixo custo, usado para controle de temperatura em equipamentos com aquecimento elétrico.

O elemento fundamental é uma lâmina formada por dois metais de diferentes coeficientes de dilatação, mantidos juntos (por meio de rebites ou soldas) de forma que não possam deslizar entre si. Devido a essa construção, o conjunto é denominado bimetal.

Fig 01

Na Figura 01, o metal 1 tem supostamente um coeficiente de dilatação maior do que o do metal 2.

O aquecimento faz o comprimento do metal 1 maior que o do metal 2 e, desde que não há deslizamento, o conjunto se deforma conforme indicado em (b), abrindo o contato elétrico e desligando a resistência de aquecimento do aparelho.

Desligado o aquecimento, a temperatura cai e o bimetal retorna à posição original e religa o circuito.

Existe ainda um parafuso para ajustar a temperatura desejada. O controle não é dos mais precisos, mas é suficiente para muitos aparelhos como ferros de passar, refrigeradores e mesmo para diversos equipamentos industriais.

Transformadores elétricos I-10

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Introdução |Transformador ideal

(introdução) |

Introdução

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O estudo dos transformadores requer o conhecimento de alguns conceitos sobre eletromagnetismo, que são apresentados de forma resumida neste tópico.

De acordo com a lei de Ampère para o eletromagnetismo, no vácuo, a relação entre campo magnético e corrente em um condutor é

∫ B · dℓ = μ0 i #A.1#. Onde

B: vetor campo magnético (unidade: tesla T).dℓ: vetor de comprimento infinitesimal da linha de indução (unidade: metro m).μ0: constante de permeabilidade magnética do vácuo (= 4 π 10-7 T m / A).i: corrente elétrica (unidade: ampère A).

Fig 01

Por definição, o fluxo de campo magnético em uma superfície (Figura 01) é dado por

Φ = ∫ B · dS #B.1#. Onde

Φ: fluxo de campo magnético (unidade: weber Wb).B: vetor campo magnético (unidade tesla T).dS: vetor de área infinitesimal (unidade metro quadrado m2). Equivale ao vetor unitário uN perpendicular multiplicado pela área dS.

Das relações acima, pode-se concluir que a unidade de campo magnético tesla (T) é equivalente a weber por metro quadrado (Wb/m²).

Omitindo o desenvolvimento matemático, é possível deduzir que, para uma

espira sob ação de uma corrente i, o fluxo de campo magnético é proporcional a essa corrente

Φ = k i #C.1#.

Na Figura 01 (a), uma corrente Ia circula por uma bobina de N espiras. Se Ia é variável com o tempo, o fluxo de campo magnético Φa também será, conforme igualdade anterior. Nessa condição, a lei de Faraday afirma que haverá uma força eletromotriz auto-induzida segundo a relação

Fig 02

Va = − N dΦa/dt #D.1#. Onde N é o número de espiras e Va é a força eletromotriz.

Em (b) da figura ocorre situação similar, isto é, o fluxo magnético variável Φb é produzido por um ímã que se desloca ao longo do núcleo da bobina. E a força eletromotriz induzida é dada pela mesma igualdade

Vb = − N dΦb/dt #D.2#.

Substituindo o valor do fluxo de #C.1# em #D.1# ou em #D.2#, V = − k N di/dt. Fazendo k N = L, a relação da tensão induzida com a corrente é

V = − L di/dt #E.1# Onde.

V: tensão (unidade: volt V).

L: indutância (unidade: henry H).i: corrente (unidade: ampère A).t: tempo (unidade: segundo s).

Portanto, em uma bobina (indutor), a tensão ou força eletromotriz induzida é proporcional ao negativo da variação da corrente com o tempo. E a indutância é a constante de proporcionalidade dessa relação.

A indutância é uma característica da bobina e não depende da corrente. É calculada por

L = N2 / Rm #F.1#. Onde

L: indutância (unidade: henry H).N: número de espiras.Rm: relutância magnética do núcleo (unidade: ampére por weber A/Wb).

Por sua vez, a relutância magnética é dada por

Rm = ℓ / (S μ) #G.1#. Onde

Rm: relutância magnética (unidade: ampére por weber A/Wb).ℓ: comprimento (unidade: metro m).S: área da seção transversal (unidade: metro quadrado m²).μ: permeabilidade magnética do meio. É calculada por

μ = μ0 μr #H.1#. Onde

μ: permeabilidade magnética (unidade T m / A).μ0: permeabilidade magnética do vácuo (= 4 π 10-7 T m / A).μr: permeabilidade magnética relativa do meio (adimensional). Portanto, se o

meio é o vácuo, μr = 1 e μ = μ0.

Para um meio de material magnético, a lei de Ampère (para uma espira) pode ser dada por

∫ H · dℓ = i #G.1#. Onde

H: vetor intensidade de campo magnético (= B / μ). Unidade A / m.dℓ: vetor de comprimento infinitesimal (unidade: m).i: corrente elétrica (unidade A).

Para o circuito magnético de uma bobina de N espiras circulada por uma corrente i, vale

Fm = N i = Rm Φ #H.1#. Onde

Fm: força magnetomotriz (unidade: ampère A ou ampère-espira). Demais grandezas já vistas nas fórmulas anteriores.

Transformador ideal (introdução)

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Um transformador ideal pode ser esquematizado conforme arranjo da Figura 01 abaixo. Duas bobinas compartilham o mesmo núcleo. Todo o fluxo magnético é conduzido pelo núcleo.

Fig 01

A aplicação de uma corrente variável com o tempo em uma das bobinas gera um fluxo magnético que, por sua vez, induz uma tensão na outra conforme lei de Faraday.

A bobina que recebe a corrente é denominada bobina ou enrolamento primário. Na bobina ou enrolamento secundário, está presente a tensão induzida.

Transformadores práticos costumam ter apenas um enrolamento primário, mas podem ter mais de um secundário.

Este tópico continua na próxima página, onde são examinadas as relações básicas do transformador ideal.

Transformador ideal - Relações básicas

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Um transformador ideal pode ser representado pelo arranjo da Figura 01: duas bobinas, com N1 e N2 espiras de fio condutor de resistência elétrica desprezível, enroladas em um núcleo fechado de material magnético ideal, de forma que o mesmo fluxo magnético Φ atravessa ambos os enrolamentos.

Segundo a lei da Faraday, as tensões são dadas por

v1(t) = N1 dΦ/dt e v2(t) = N2 dΦ/dt. Combinando e simplificando,

v1 / v2 = N1 / N2 #A.1#.

Fig 01

Portanto, as tensões em cada enrolamento são proporcionais aos seus números de espiras.

Aplicando-se a lei de Ampère,

∫ H · dℓ = itotal = N1 i1 + N2 i2.

Para um núcleo magnético ideal, μ → ∞ e H → 0.

N1 i1 + N2 i2 = 0 #B.1#.

i1 / i2 = − N2 / N1 #B.2#.

Portanto, as correntes em cada bobina são inversamente proporcionais aos seus números de espiras.

A igualdade #B.1# multiplicada por v1 resulta em N1 v1 i1 + N2 v1 i2 = 0. Combinando com #A.1# e simplificando,

v1 i1 + v2 i2 = 0 ou P1 + P2 = 0 #C.1#, onde P é potência.

A relação acima indica que a potência líquida é nula, ou seja, não há perda de potência no transformador ideal.

As marcas de ponto (•) nos terminais dos enrolamentos indicam correspondência de sentidos, ou seja, correntes que entram nos pontos produzem fluxos magnéticos no mesmo sentido. Assim, um acréscimo de corrente que entra no ponto de uma bobina produz uma tensão positiva no ponto da outra.

Consideram-se agora tensões e correntes complexas, simbolizadas por V e I (maiúsculos).

Fig 02

A igualdade #A.1# é escrita como

V1 / V2 = N1 / N2 #D.1#.

A igualdade #B.2# é escrita

I1 / I2 = N2 / N1 #E.1#.

(significa uma corrente saindo do ponto).

A Figura 02 apresenta o esquema elétrico com símbolo usual de transformador (supostamente ideal neste caso). São considerados parâmetros complexos e uma carga de impedância Z.

A potência complexa é dada por

S1 = V1 I1* = (N1 V2 / N2) (N2 I2 / N1)* = V2 I2* = S2 #F.1#.

Conclui-se então que, no transformador ideal, a potência complexa é mantida.

A impedância de entrada é determinada por

Z1 = V1 / I1 = (N1 V2 / N2) / (N2 I2 / N1) = (N1 / N2)2 (V2 / I2). Portanto,

Z1 = (N1 / N2)2 Z2 #G.1#.

Isso significa que o transformador pode ser usado como um meio de acoplamento de impedâncias entre circuitos. A impedância da carga no secundário é refletida para o primário na razão do inverso do quadrado da relação entre espiras secundário / primário.

A relação de transformação n é dada por n = N2 / N1 #H.1#.

E as principais igualdades anteriores podem ser escritas com uso desse parâmetro:

V2 = n V1 I2 = (1/n) I1 S2 = S1 Z1 = (1/n2) ZL #I.1#

Exemplo numérico: no circuito da Figura 03, são conhecidos N1 = 1000 | N2 = 100 | Vs = 2500 /_0° V | Zs = (0,25 + j 2) Ω | ZL = (0,2375 + j 0,05) Ω. Determinar as tensões e correntes em cada lado do transformador, que é considerado ideal.

Fig 03

Usando a lei das tensões de Kirchhoff no lado da fonte,

− Vs + Zs I1 + V1 = 0.

(0,25 + j 2) I1 + V1 = 2500 /_0°.

Aplicando a mesma lei no lado da carga,

− V2 + ZL I2 = 0. Portanto, (0,2375 + j 0,05) I2 = V2.

A relação de transformação é n = N2/N1 = 100/1000 = 0,1. Das igualdades de #I.1#,

V1 = 10 V2 e I2 = 10 I1. Combinando com a anterior,

V1 = 10 [ (0,2375 + j 0,05) 10 I1 ] = (23,75 + j 5) I1. Inserindo V1 na outra relação anterior,

(0,25 + j 2) I1 + (23,75 + j 5) I1 = 2500 /_0° ou (24 + j 7) I1 = 2500 /_0°. Calculando,

I1 = 100 /_−16,26° A. E a tensão do primário é

V1 = Vs − Zs I1 = 2500 /_0° − (0,25 + j 2) (100 /_−16,26°) = 2427,06 /_−4,37° V.

Tensão e corrente do secundário: V2 = 0,1 V1 = 242,7 /_−4,37° V e I2 = 10 I1 = 1000 /_−16,26° A.

Indutância mútua

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O conjunto das bobinas de N1 e N2 espiras da Figura 01 forma um transformador

cujo núcleo não é representado. De forma genérica, é possível supor que os fluxos magnéticos que atravessam as bobinas não são necessariamente idênticos.

Para a bobina 1, pode ser considerado Φ1 = Φ11 + Φ12 #A.1#. Onde:

Φ1: fluxo total na bobina 1.Φ11: fluxo na bobina 1 devido à corrente na bobina 1.Φ12: fluxo na bobina 1 devido à corrente na bobina 2.

De acordo com a lei de Faraday, v1(t) = N1 dΦ1/dt = N1 dΦ11/dt + N1 dΦ12/dt #A.2#.

Segundo relações do eletromagnetismo, Φ11 = N1 i1 / Rm11 e Φ12 = N2 i2 / Rm12 #A.3#. Onde Rm11 e Rm12 são as relutâncias magnéticas dos caminhos percorridos pelos fluxos. Substituindo os valores em #A.2#,

v1(t) = (N12/Rm11) di1/dt + (N1 N2/Rm12) di2/dt #A.4#.

Desenvolvimento similar pode ser feito para o outro lado, chegando-se a

v2(t) = (N22/Rm22) di2/dt + (N1 N2/Rm21) di1/dt #A.5#.

Fig 01

Os termos (N12/Rm11) e (N2

2/Rm22) são as indutâncias de cada (L1, L2) e, neste caso, são denominadas auto-indutâncias #A.6#.

As expressões (N1 N2/Rm12) e (N1 N2/Rm21) também têm dimensão de indutância.

Supondo o meio linear,

Rm12 = Rm21 #B.1#.

Define-se então a indutância mútua M = (N1 N2/Rm12) = (N1 N2/Rm21) #B.2#.

E as igualdades #A.4# e #A.5# são escritas:

v1(t) = L1 di1/dt + M di2/dt #C.1# v2(t) = M di1/dt + L2 di2/dt #C.2#

Na representação com tensões e correntes complexas, são usadas as reatâncias indutivas:

V1 = (j ω L1) I1 + (j ω M) I2 #C.3# V2 = (j ω M) I1 + (j ω L2) I2 #C.4#

Determinação da indutância mútua

Das relações #B.2# e #A.3#, deduz-se M = N1 Φ12 / i2. A relação #A.3# para o outro lado foi omitida, mas é possível obter resultado similar M = N2 Φ21 / i1. Em geral, Φ12 = Φ21 = Φm. Portanto.

M = N1 Φm / i2 = N2 Φm / i1 #D.1#.

De #A.6# e #A.3# (com analogia para o outro lado) é possível deduzir

L1 = N1 Φ11 / i1 e L2 = N2 Φ22 / i2 #D.2#.

Supondo uma proporcionalidade Φm = k1 Φ11 = k2 Φ22 #D.3# e combinando com as igualdades anteriores

M2 = k1 k2 L1 L2. Unificando as constantes de proporcionalidade, obtém-se a indutância mútua em função das indutâncias dos enrolamentos:

M = k √(L1 L2) #E.1#.

Onde k é o coeficiente do acoplamento indutivo, que pode variar de 0 a 1. Transformadores com núcleo de ferro podem ter valores tão altos quanto 0,998. Números na faixa de 0,50 são típicos para transformadores sem núcleo (núcleo de ar).

Na prática, o valor de M (e, por conseqüência, o de k) pode ser obtido pela medição da indutância do primário e secundário em série, que deve ser L = L1 + L2 ± M. O sinal positivo ou negativo depende da ligação das bobinas em relação ao ponto (•) de referência (adição ou oposição de tensões).

Fig 02

Exemplo numérico: determinar a tensão de saída Vx do circuito da Figura 02.

Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff no lado primário,

2 I1 + V1 = 10. Substituindo V1 pelo valor dado em #C.3#,

(2 + j 2) I1 + j 2 I2 = 10.

Para o lado do secundário, (1 + 1) I2 = − V2. Substituindo V2 pelo valor de #C.4# e simplificando,

j 2 I1 + (2 + j 2) I2 = 0. Essa igualdade e a anterior formam um sistema de equações lineares cuja solução é

I1 ≈ 3,17 /_−18,4° A e I2 ≈ 2,24 /_−153,4° A. Portanto, Vx = 1 I2 ≈ 2,24 /_−153,4° V.

Indutância mútua: modelos e análise de tensões e correntes

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As igualdades #C.1# e #C.2# da página anterior permitem construir um modelo para a indutância mútua com domínio de tempo. Ver Figura 01 abaixo. Essas mesmas igualdades podem ser representadas na forma de matrizes conforme #A.1#.

L1 MM L2

× di1/dtdi2/dt

=v1

v2

Fig 01 #A.1#

Para tensões e correntes complexas (domínio de freqüência. #C.3# e #C.4# da página anterior), modelo e matrizes são vistos na Figura 02 e em #B.1# abaixo.

jωL1 jωMjωM jωL2

×I1

I2

=V1

V2

Fig 02 #B.1#

Análise de tensões e correntes

Fig 03

Seja, conforme Figura 03, um circuito típico com transformador: no primátio é aplicada uma tensão Vs e, no secundário, uma carga de impedância ZL. A Figura 04 dá o modelo com tensões e correntes complexas, de acordo com o circuito da Figura 03 anterior.

A equivalência de correntes é I1 = Is e I2 = −IL.

Laço do primário: jωL1 Is − jωM IL = Vs #C.1#. Laço do secundário: (jωL2 + ZL) IL = jωM Is #C.2#.

Fig 04

De #C.2#, IL / Is = jωM / (jωL2 + ZL) #C.3#.

A impedância da fonte é Zs = Vs / Is. Usando o valor de #C.1# nessa relação,

Zs = jωL1 −jωM IL / Is. Substituindo IL / Is de #C.3# e simplificando,

Zs = [ −ω2 L1 L2 + jωL1 ZL + ω2 M2 ] / (jωL2 + ZL) #C.4#.

Conforme relação vista na página anterior, M = k √(L1 L2). Considerando um transformador ideal, k = 1 e, portanto, M = √(L1 L2) #C.5#.

Com essa relação, a igualdade #C.4# fica reduzida a Zs = jωL1 ZL / (jωL2 + ZL) #C.6#. Dividindo numerador e denominador por jωL2,

Zs = ZL (L1/L2) / [ 1 + ZL/(jωL2) ] #C.7#.

A relação de transformação é n = N2 / N1 #C.8# e, para o transformador ideal,

também vale L2 / L1 = n2 #C.9#.

Voltando à igualdade #C.7#, se (jωL2) >> ZL e usando #C.8#, Zs = ZL / n2 #C.10#.

A relação de tensões é VL / Vs = ZL IL / (Zs Is) = (ZL / Zs) (IL / Is). Considerando #C.3# e #C.6# e simplificando,

VL / Vs = M / L1. Considerando #C.5# e #C.9#, VL / Vs = n #C.11#.

Dividindo, na igualdade #C.3#, numerador e denominador por jωL2, obtém-se

IL / Is = (M / L2) [ 1 / (1 + ZL / jωL2) ]. Empregando a mesma premissa anterior (jωL2) >> ZL, chega-se a

IL / Is = (M / L2) e, considerando #C.5# e #C.9#, IL / Is = 1 / n #C.12#.

As igualdades #C.10#, #C.11# e #C.12# são as relações básicas já vistas para o transformador ideal, que foram aqui obtidas a partir do conceito de indutância mútua.

Indutância mútua - Modelos T e π

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O circuito da Figura 01 é o básico com indicação da indutância mútua, conforme visto em página anterior.

Fig 01

Primário e secundário estão interligados em um lado comum. Assim, a contribuição da indutância mútua pode ser positiva ou negativa, dependendo dos sentidos dos enrolamentos.

Fig 02

O modelo T segundo Figura 02 pode ser confirmado pela aplicação da lei das tensões em ambos os lados.

V1 = jω (L1 M) I1 ± jωM (I1 + I2).

V1 = jωL1 I1 jωM I1 ± jωM I1 ± jωM I2.

V1 = jωL1 I1± jωM I2 #A.1#.

V2 = jω (L2 M) I2 ± jωM (I1 + I2) = jωL2 I2 jωM I2 ± jωM I1 ± jωM I2.

V2 = ± jωM I1 + jωL2 I2 #A.2#.

Os resultados #A.1# e #A.2# são iguais às fórmulas vistas nas páginas anteriores. Há opção de sinal (±) na parte de M para indicar caso genérico, de disposição aditiva ou em oposição dos enrolamentos.

Fig 03

As relações para o modelo π da Figura 03 podem ser deduzidas com um artifício: o circuito é a conversão Y-Delta do anterior.

Desde que associações de indutores são similares às de resistores, podem ser empregadas as fórmulas para circuitos CC.

Na página Circuitos elétricos I-60 pode ser visto que RXY = A / Rz, onde A = RxRy + RyRz + RzRx. Adaptando para as indutâncias da Figura 02,

A = (L1 M) (±M) + (±M) (L2 M) + (L2 M) (L1 M) = L1 L2 − M2. Portanto,

L11 = A / (L2 M) L12 = A / (±M) L22 = A / (L1 M) Onde A = L1 L2 − M2 #B.1#

Autotransformador

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No autotransformador, um dos enrolamentos é comum ao primário e ao

secundário. A Figura 01 mostra a ligação para um autotransformador elevador de tensão.

Fig 01

Devido à bobina comum, a potência transmitida é maior que a potência da configuração separada, para as mesmas dimensões físicas. Entretanto, apresenta a desvantagem da ausência de isolação elétrica entre primário e secundário, característica desejável ou indispensável em várias aplicações.

Desde que a indutância mútua é mantida, a análise é basicamente a mesma anterior, com as adaptações para o novo circuito.

O circuito da Figura 02 é o equivalente T para o autotransformador elevador de tensão da Figura 01. As igualdades a seguir são obtidas através da lei das tensões de Kirchhoff nos laços do primário e do secundário.

Fig 02

Vs = jωL1 Is − jω (L1 + M) IL #A.1#.

0 = − jω (L1 + M) Is + [ jω (L1 + 2M + L2) + ZL ] IL #A.2#.

De #A.2#,

IL / Is = jω (L1 + M) / [ jω (L1 + 2M + L2) + ZL ] #B.1#.

A relação de tensões é dada por VL / Vs = ZL IL / Vs. Das relações anteriores após simplificação,

VL / Vs = jω (L1 + M) / [ jω L1 ZL − ω2 (L1 L2 − M2) ] #B.2#.

A relação entre indutâncias, conforme dado em página anterior, é L2 / L1 = (N2 / N1)2 = n2 #C.1#.

Considerando a hipótese jω (L1 + 2M + L2) >> ZL #C.2#, a igualdade #B.1# fica

IL / Is = (L1 + M) / (L1 + 2M + L2) #D.1#.

Supondo transformador ideal, M = √(L1 L2) #D.2#. Substituindo na anterior e dividindo os termos por L1,

IL / Is = [1 + √(L2 / L1)] / [1 + 2 √(L2 / L1) + (L2 / L1)]. Considerando #C.1#,

IL / Is = (1 + n) / (1 + n)2 = 1 / (1 + N2 / N1) = N1 / (N1 + N2) #D.3#.

A relação de transformação do transformador clássico é dada pela relação entre espiras n = N2 / N1. No caso do autotransformador, o enrolamento comum é adicionado:

a = (N1 + N2) / N1 #E.1#.

E a relação anterior entre correntes fica IL / Is = 1 / a #E.2#.

De #B.2# e com o uso das igualdades e hipóteses anteriores, VL / Vs = a #E.3#.

Modelo T - Exemplo de cálculo

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No circuito da Figura 01, são dados os seguintes valores:

Fig 01

vs = (10 cos 1000 t) V.L1 = 2 mH.L2 = 20 mH.M = 4 mH.R = 6 Ω.C = 50 µF.

Determinar as correntes em cada lado do transformador bem como a tensão VL da série R e C.

Fig 02

Em termos complexos, a tensão da fonte é

Vs = 10 /_ 0° V com ω = 1000 rad/s. Assim,XL1 = j 1000 2 0,001 = j2 Ω.XL2 = j 1000 20 0,001 = j20 Ω.XM = j 1000 4 0,001 = j4 Ω.XC = − j / (1000 50 0,000001) = −j20 Ω.

A Figura 02 mostra o modelo T segundo página anterior com valores numéricos a partir dos dados acima.

−j2+j4 −j4−j4

j4+j16+6−j20

× Im1

Im2

=100

#A.1#

Na mesma figura, Im1 e Im2 são as correntes das malhas para análise conforme sistema de equações #A.1#.

O resultado desse sistema é Im1 ≈ 3/_−36,9° A e Im2 ≈ 2/_53,1° A.

Portanto, Is = Im1 ≈ 3/_−36,9° A. Corrente da carga IL = Im2 ≈ 2/_53,1° A. Tensão da cargaVL = (6 − j20) IL ≈ 41,8/_−20,2° V.

Relação para número de espiras

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A Figura 01 representa um transformador supostamente ideal, isto é, a resistência elétrica dos condutores é desprezível e o material do núcleo é magnético ideal, de forma que a indução magnética B é uniforme e o mesmo fluxo magnético Φ atravessa ambos os enrolamentos.

Fig 01

Considerando um enrolamento genérico, segundo a lei de Faraday,

v = N dΦ / dt #A.1#.

Presumindo uma tensão alternada senoidal,

v = √2 vef cos ωt #A.2#, onde vef é o valor eficaz.

De #A.1#, o fluxo magnético pode ser obtido por integração,

Φ = (1 / N) ∫ v dt.

Substituindo o valor de v e resolvendo a integral, Φ = [ √2 vef / (ω N) ] sen ωt. Em geral, os parâmetros são estabelecidos para o valor máximo de Φ, que ocorre com sen ωt = 1. Assim,

Φ = √2 vef / (ω N) #B.1#. Onde

Φ: fluxo magnético (weber Wb).vef: valor eficaz da tensão no enrolamento (volts V).ω: velocidade angular (rad/s).N: número de espiras.

Das relações do eletromagnetismo, Φ = B S #C.1#. Onde:

B: indução magnética (tesla T).S: área da seção (m²).

Do movimento periódico, ω = 2 π f #D.1#. Onde:

f: freqüência (hertz Hz).

Introduzindo #C.1# e #D.1# em #B.1#, chega-se ao resultado

vef = (2 π / √2) B N S f ≈ 4,44 B N S f #E.1#.

Exemplo: um enrolamento de um transformador deve trabalhar com 10 V e 50 kHz. O núcleo é ferrite, tem área de 0,148 cm² e deve operar com uma indução magnética máxima de 0,2 T. Determinar o número de espiras para esse enrolamento.

Da fórmula #E.1#, N = 10 / ( 4,44 0,2 0,0000148 50000 ) ≈ 15,2 espiras.