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GUIA DE ONDA RETANGULAR MODOS TRANSVERSAIS MAGNETICOS MODOS TRANSVERSAIS ELETRICOS PROBLEMAS

Eletromagnetismo Aplicado –Propagacao de Ondas Guiadas

Guias de Onda - 1/2

Heric Denis [email protected]


PROPAGACAO DE ONDAS GUIADAS - GUIAS DE ONDA

1/2

I Introducao;

I Guia de Onda Retangular;

I Modos Transversais Magneticos;

I Modos Transversais Eletricos;

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INTRODUCAOComo visto anteriormente, linhas de transmissao sao utilizadas

para transportar energia de forma guiada. Um guia de onda e outromeio de atingir o mesmo objetivo, entretanto, guias de onda diferemdas linhas de transmissao:

I Linhas de transmissao so suportam ondas transversaiseletromagneticas enquanto os guias de onda podem suportarvarios modos diferentes;

I Na faixa de micro-ondas (3 – 300 GHz, aproximadamente), aslinhas de transmissao tornam-se ineficientes, principalmentedevido ao efeito pelicular e as perdas nos dieletricos, enquanto osguias de onda operam bem nesta faixa de frequencias;

I Guias de onda podem operar desde corrente contınua (f = 0) atealtas frequencias, enquanto os guias de onda operam somenteacima de um certa frequencia, atuando como filtros passa-alta,ou seja, guias de onda nao transmitem corrente contınua etornam-se excessivamente grandes abaixo de micro-ondas.

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GUIA DE ONDA RETANGULAR

Embora um guia de onda possua secao transversal uniforme, quepode ter qualquer formato, os guias mais comuns sao os retangularese os circulares.

A analise do guia de onda circular e trabalhosa e esta fora doescopo da disciplina, por isso, somente o guia de onda retangular seraconsiderado.

Considerando o guia de onda mostrado na figura a seguir, onde a eb sao as dimensoes internas do guia, este e preenchido com umdieletrico sem perdas livre de cargas e correntes (σ = 0, ρv = 0,J = 0) e com paredes perfeitamente condutoras (σc = ∞).

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Assim, as equacoes de Maxwell na forma fasorial para um meiosem perdas tornam-se

∇2Es + k2Es = 0 (1a)

∇2Hs + k2Hs = 0 (1b)

onde k = ω√

µε . Utilizando Es = (Exs, Eys, Ezs) eHs = (Hxs, Hys, Hzs), cada uma das equacoes de Maxwellcorrespondera a tres equacoes escalares de Helmholtz, ou seja, seisequacoes diferenciais escalares devem ser resolvidas.

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Por exemplo, para a componente z, a equacao 1a fica

∂ 2Ezs

∂x2 +∂ 2Ezs

∂y2 +∂ 2Ezs

∂ z2 + k2Ezs = 0 (2)

Esta equacao pode ser solucionada por separacao de variaveis, ouseja, fazendo

Ezs (x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) (3)

e substituindo na equacao 2, dividindo por XYZ, obtem-se

X′′

X+

Y ′′

Y+

Z′′

Z=−k2 (4)

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Como as variaveis sao independentes, cada termo da equacao 4deve ser constante, para que somados sejam iguais a constante −k2,portanto, a equacao pode ser reescrita como

−k2x − k2

y + γ2 =−k2 (5)

onde kx, ky e γ sao constantes de separacao, assim, a equacao 4 eseparada em

X′′+ k2xX = 0 (6a)

Y ′′+ k2yY = 0 (6b)

Z′′− γ2Z = 0 (6c)

A escolha de γ ao inves de kz deve-se ao fato de que as ondas sepropagam na direcao z no sistema de coordenadas definido.

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A equacao 6 e solucionada como

X(x) = c1 coskxx+ c2 sinkxx (7a)

Y(y) = c3 coskyy+ c4 sinkyy (7b)

Z(z) = c5eγz + c6e−γz (7c)

Substituindo a equacao 7 na equacao 3

Ezs (x,y,z) = (c1 coskxx+ c2 sinkxx)

(c3 coskyy+ c4 sinkyy)(c5eγz + c6e−γz) (8)

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Considerando que a onda se propaga no sentido positivo de z, aconstante c5 = 0, assim

Ezs (x,y,z) = (A1 coskxx+A2 sinkxx)

(A3 coskyy+A4 sinkyy)e−γz (9)

Por um desenvolvimento semelhante, a solucao da equacao 1b e

Hzs (x,y,z) = (B1 coskxx+B2 sinkxx)

(B3 coskyy+B4 sinkyy)e−γz (10)

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Ao inves de resolver da mesma forma para as demais componentesde campo, utilizam-se as equacoes de Maxwell para determina-las apartir de Ezs e Hzs, utilizando

∇×Es =−jωµHs (11)

∇×Hs = jωεEs (12)

obtem-se

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∂Ezs

∂y−

∂Eys

∂ z=−jωµHxs (13a)

∂Hzs

∂y−

∂Hys

∂ z= jωεExs (13b)

∂Exs

∂ z− ∂Ezs

∂x= jωµHys (13c)

∂Hxs

∂ z− ∂Hzs

∂x= jωεEys (13d)

∂Eys

∂x− ∂Exs

∂y=−jωµHzs (13e)

∂Hys

∂x− ∂Hxs

∂y= jωεEzs (13f)

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O objetivo e expressar Exs, Eys, Hxs e hys em funcao de Ezs e Hzs,por exemplo, para Exs, combinando as equacoes 13b e 13c

jωεExs =∂Hzs

∂y+

1jωµ

(∂ 2Exs

∂ z2 −∂ 2Ezs

∂x∂ z

)(14)

Fica claro das equacoes 9 e 10 que todas as componentes decampo variam com z de acordo com e−γz, ou seja

Ezs ∝ e−γz; Exs ∝ e−γz→ ∂Ezs

∂ z=−γEzs;

∂ 2Exs

∂ z2 = γ2Exs (15)

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Desta forma,

jωεExs =∂Hzs

∂y+

1jωµ

(γ

2Exs + γ∂Ezs

∂x

)(16)

ou, fazendo h2 = γ2 +ω2µε = γ2 + k2

Exs =−γ

h2∂Ezs

∂x− jωµ

h2∂Hzs

∂y(17)

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De maneira semelhante, obtem-se os termos Eys, Hxs e Hys emfuncao de Ezs e Hzs

Exs =−γ

h2∂Ezs

∂x− jωµ

h2∂Hzs

∂y(18a)

Eys =−γ

h2∂Ezs

∂y− jωµ

h2∂Hzs

∂x(18b)

Hxs =−γ

h2∂Hzs

∂x+

jωµ

h2∂Ezs

∂y(18c)

Hys =−γ

h2∂Hzs

∂y− jωµ

h2∂Ezs

∂x(18d)

onde

h2 = γ2 + k2 = k2

x + k2y (19)

Portanto, as equacoes 18 em conjunto com as equacoes 9 e 10 paraobter Exs, Eys, Hxs e Hys

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Das equacoes 9, 10 e 18, nota-se que existem diferentes tipos deconfiguracoes de campo, cada configuracao e chamada de um modo,estas sao:

I Ezs = Hzs = 0, este e o modo transversal eletromagnetico (TEM),no qual os campos E e H sao transversais a direcao depropagacao da onda, das equacoes 18 segue que todas ascomponentes de campo se anulam nestas condicoes,consequentemente o guia de onda retangular nao suporta o modoTEM;

I Ezs = 0, Hzs 6= 0, para esses modos, o campo E e transversal adirecao de propagacao, por isto, este e denominado de modotransversal eletrico (TE);

I Ezs 6= 0, Hzs = 0, de forma semelhante, neste modo o campo H etransversal a direcao de propagacao, sendo assim o modotransversal magnetico (TM);

I Ezs 6= 0, Hzs 6= 0, neste caso, nenhum dos campos eperpendicular a direcao de propagacao, estes sao denominadosde modos hıbridos ou modos HE.

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MODOS TRANSVERSAIS MAGNETICOS (TM)Neste caso, o campo magnetico e normal a direcao de propagacao,

ou seja Hzs = 0, as demais componentes devem ser calculadas a partirdas equacoes 9, 10 e 18 e as condicoes de fronteira, iniciando por Ezs,nas paredes do guia, as componentes tangenciais devem ser contınuas,ou seja

Ezs = 0 em y = 0 (parede inferior) (20a)

Ezs = 0 em y = b (parede superior) (20b)

Ezs = 0 em x = 0 (parede esquerda) (20c)

Ezs = 0 em x = a (parede direita) (20d)

as equacoes 20a e 20c requerem A1 = A3 = 0 na equacao 9

Ezs = Eo sinkxxsinkyye−γz (21)

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onde Eo = A2A4, as equacoes 20b e 20d aplicadas a equacao 21 levama

sinkxa = 0; sinkxb = 0 (22)

ou

kx =mπ

a; ky =

nπ

b; m,n ∈ Z∗+ (23)

Assim, substituindo a equacao 23 na equacao 21

Ezs = Eo sinmπx

asin

nπyb

e−γz (24)

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As outras componentes de campo sao obtidas a partir das equacoes18 e 24 tendo em vista que Hzs = 0

Exs =−γ

h2mπ

aEo cos

mπxa

sinnπy

be−γz (25a)

Eys =−γ

h2nπ

bEo sin

mπxa

cosnπy

be−γz (25b)

Hxs =jωε

h2nπ

bEo sin

mπxa

cosnπy

be−γz (25c)

Hys =−jωε

h2mπ

aEo cos

mπxa

sinnπy

be−γz (25d)

onde

h2 = k2x + k2

y =[mπ

a

]2+[nπ

b

]2(26)

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Note que cada par de inteiros m e n corresponde a umaconfiguracao de campo diferente, estes sao referidos de modos TMmn.O inteiro m e igual ao numero de meios ciclos de senos ou cossenosna direcao x e n denota o numero de senos ou cossenos na direcao y.

Das equacoes 24 e 38 conclui-se que se m ou n for nulo, todas ascomponentes de campo se anulam, ou seja, o modo de menor ordemtransversal magnetico e TM11.

Substituindo a equacao 23 na equacao 19, obtem-se a constante depropagacao

γ =

√[mπ

a

]2+[nπ

b

]2− k2; k = ω

√µε (27)

Lembrando que, em geral, γ = α + jβ .

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Da equacao 27, separam-se tres casos, dependendo dos valores dek (ou ω), m e n:1. Corte:

Se

k2 = ω2µε =

[mπ

a

]2+[nπ

b

]2

entao

γ = 0 ou α = β = 0

O valor de ω para o qual isto ocorre e chamado de frequencia decorte ωc, isto e

ωc =1√

µε

√[mπ

a

]2+[nπ

b

]2(28)

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2. Evanescente:

Se

k2 = ω2µε <

[mπ

a

]2+[nπ

b

]2

entao

γ = α; β = 0

Estes modos sao atenuados e nao ha propagacao da onda.

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3. PropagacaoSe

k2 = ω2µε >

[mπ

a

]2+[nπ

b

]2

entao

γ = jβ ; α = 0

ou seja, da equacao 27, a constante de fase β torna-se

β =

√k2−

[mπ

a

]2−[nπ

b

]2(29)

Este e o unico caso em que ocorre propagacao, pois todas ascomponentes de campo terao o fator e−γz = e−jβ z, portanto, cadamodo TMmn tera uma frequencia de corte fc = ωc/2π correspondente.

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Assim, o guia de onda opera como um filtro passa-alta. Daequacao 28, nota-se que o modo TM11 tem a menor frequencia decorte dos modos TM, a constante de fase β pode ser reescrita emfuncao da frequencia de corte fc como

β = ω√

µε

√1−[

fcf

]2

(30)

ou

β = β′

√1−[

fcf

]2

(31)

onde β ′ = ω/u′ = ω√

µε e a constante de fase de uma onda planauniforme no meio dieletrico, u′ e a velocidade da luz neste meio.

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A velocidade de fase up e o comprimento de onda λ no guia sao

up =ω

β; λ =

2π

β=

up

f(32)

A impedancia intrınseca da onda para cada modo e obtida daequacao 38 considerando γ = jβ

ηTM =Ex

Hy=−

Ey

Hx=

β

ωε=

√µ

ε

√1−[

fcf

]2

(33)

ou

ηTM = η′

√1−[

fcf

]2

(34)

onde η ′ =√

µ/ε e a impedancia intrınseca de uma onda planauniforme no meio dieletrico.

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Como mencionado anteriormente, os inteiros m e n indicam onumero de meio ciclos de senos ou cossenos existentes em uma secaoreta x− y do guia. Assim, por exemplo, para um determinado instantede tempo, a figura abaixo ilustra o modo TM21.

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MODOS TRANSVERSAIS ELETRICOS (TE)

Nos modos TE, o campo eletrico e normal a direcao de propagacaoda onda, ou seja, utilizando o mesmo desenvolvimento feito para asondas TM, fazendo Ezs = 0, determinam-se as demais componentesde campo aplicando as condicoes de contorno, estas sao obtidas apartir do fato de que as componentes tangenciais do campo eletricodevem ser contınuas nas paredes do guia de onda

Exs = 0 em y = 0 (35a)

Exs = 0 em y = b (35b)

Eys = 0 em x = 0 (35c)

Eys = 0 em x = a (35d)

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A partir das equacoes 18, as condicoes de fronteira podem serreescritas como

∂Hzs

∂y= 0 em y = 0 (36a)

∂Hzs

∂y= 0 em y = b (36b)

∂Hzs

∂x= 0 em x = 0 (36c)

∂Hzs

∂x= 0 em x = a (36d)

impondo estas condicoes de fronteira na equacao 10, obtem-se

Hzs = Ho cosmπx

acos

nπyb

e−γz (37)

onde Ho = B1B327/31


As outras componentes de campo sao obtidas, novamente,utilizando as equacoes 18

Exs =jωµ

h2nπ

bHo cos

mπxa

sinnπy

be−γz (38a)

Eys =−jωµ

h2mπ

aHo sin

mπxa

cosnπy

be−γz (38b)

Hxs =γ

h2mπ

aHo sin

mπxa

cosnπy

be−γz (38c)

Hys =γ

h2nπ

bHo cos

mπxa

sinnπy

be−γz (38d)

onde m, n ∈ Z+

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Os parametros h e γ permanecem como foram definidos para osmodos TM. Novamente, os inteiros m e n indicam o numero de meiociclos de senos ou cossenos existentes em uma secao reta x− y doguia. A frequencia de corte fc, a constante de fase β , a velocidade defase up e o comprimento de onda λ para os modos TE sao iguais aosdos modos TM.

Para os modos TE, m e n podem ser nulos, porem naosimultaneamente. Isto implica que os modos de menor frequencia decorte sejam o modo TE10 ou TE01, dependendo dos valores de a e b.E usual considerar a > b, de tal maneira que o modo TE10 e o demenor frequencia de corte, e e assim, definido como modo dominante.

fc10 =u′

2a(39)

E importante ressaltar que, qualquer onda EM com frequenciamenor do que a frequencia de corte do modo dominante, nao sepropagara no guia de onda.

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A impedancia intrınseca para os modos TE e diferente daimpedancia intrınseca para os modos TM:

ηTE =Ex

Hy=−

Ey

Hx=

ωµ

β=

√µ

ε

1√1−[

fcf

]2(40)

ou

ηTE =η ′√

1−[

fcf

]2(41)

Note que

ηTEηTM = η′2 (42)

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PROBLEMAS1. Projete um guia de onda retangular com uma razao de 3 para 1

em suas dimensoes, para ser utilizado na banda K (18 – 27 GHz).Suponha que o guia e preenchido com ar.

2. Um tunel e modelado com um guia de onda retangular metalicopreenchido com ar, com dimensoes de a = 8 m e b = 16 m.Determine se o tunel transmite: (a) um sinal de radio AM de 1.5MHz; (b) um sinal de radio FM de 120 MHz; (b) um sinal de telefoniaGSM 2G de 900 MHz.

3. Em um guia de onda quadrado preenchido com ar, com a = 1.2cm,

Ex =−10sin2πx

asin(ωt−150z) V/m

(a) qual e o modo de propagacao? (b) determine a frequencia de cortefc; (c) calcule a frequencia de operacao f ; (d) determine γ e η .

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