Professor Alvaro Vannucci

Aula 23

Eletromagnetismo II

( )

( ) ( )

0

0

2

1

ˆ41

ˆ41

,

, ,

R

R

q

e vR

c

qv v

e v cR

c

r t

A r t r t

πε

µ

π

ϕ

ϕ

=

⋅ − = = ⋅

−

�

� �

�

�

�� �

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

2 2

3

0

2 2

3

0

4

1 1

4

,

,

q Rc v u R u a

R u

qR

E r t

c v v v R a a R uc R u

B r t

πε

πε

= − + × ×

⋅ = − × − + ⋅ + ⋅

⋅

∴

��

�� � �

��

� � �� � � � �

��

��

cRu v

R= −

�

� �

x

z

w�

y0

P•R�

q•

r�

posição da carga no instante t

Na última aula vimos...• Potenciais de Lienard-Wiechert para cargas pontuais, com movimento qualquer.

• No caso de M.R.U.M.R.U.:

• E mais interessante ainda:

( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2 2 2 20

2

1

4,

, ,

qcr t

c t r v c v r c t

vA r t r t

c

ϕπε

ϕ

=− ⋅ + − −

=

�

� �

��� �

( )2

0

2

*

1

41

,

sinR

qr t

v

c

π εθ

ϕ =

−

�x

y P

t=x=0qw

�

•

x,t•

v�

r�

*R�

R�

,r rx t•θ

( )( ) ( ) ( ). .esc R esv uc R× = × −� �� �

1 RB E

c R= ×

�

� �

• E como:

• Desta forma, vimos que:

→ pude trocar: v u↔ −� �

• Agora, quero substituir o produto , observando (dospotenciais de Lienard-Wiechert) que o termo:

• Mas, no caso específico de carga em M.R.U: ( )0v cte a =⇒=� �

• Da expressão de :E�

( )( )

( )

2 2

3

04

0c vq

E RuR u

aπε

−

⋅= =

��

��

R Ru =� cR

R

�

vR−�

( );

r

r

R r vt

R c t t

= −

= −

�� �

r rRu cr cvt cvt cvt= − − +� � � � �

R u⋅��

( )11

ˆRe v R v

R R cR R vc c c

⋅ ⋅ − = − = − ⋅

�� �

�� ( )1

;R uc

= ⋅��

para M.R.U.

tempo presente

• Mas, note que o termo:

• Assim:

//w�

( )Ru c r vt⇒ = −� � �

( )( ) ( )2 2

3

04

q RE c v u R u a

R uπε

= − + × ×

⋅

� �� � �

��

;cR

u vR

= −

�

� �

R

R=

�

cRR Ru v

RR = ⋅ −⋅ ⋅

�

�� ���

já que ecR

u vR

= −

�

� �

• Por outro lado, como visto na aula passada, para uma cargacom velocidade constante:

( ) ( )( )2

2 2 2 2 2 211

ˆR

e vR c t r v c v r c t

c c

⋅ − = − ⋅ + − −

�

� �2

2

2

*1 sin

vR

cθ= −

( )0

2 2

34

,q

E r tc v

cπε

=−�

�

32 2

2

2

2 *31 sinR

c

v

cθ

−

( )*R

r vt

=

−�

� �

�����

( )( )

2

2

32 2

02

2

2*

*

*

0

11

4

1

,

sina

v

q cE r tR v

c

R

Rπεθ

=

−=

−

�

��

*R�versor na

direção de

posição presente ao ponto P

exercício da 7a lista

• De forma que, substituindo na eq. de

escrita em termos do tempo e positempo e posiçção ão presentes presentes !

• Colocando c2 em evidência:

( )

( )

2 2

3

04

( 0)c vq

E a RuR uπε

−= =

⋅

��

��

• Note agora que, para pontos P situados na direção do movimento (θθ =0=0ºº):

2

22

0

*

1

//1

4

q vE

cRπε

≡ <

= −

�����

resultadoresultado estestááticotico (carga em repouso)

2

21

v

c−

E�

• Ou seja, a intensidade (| |) para pontos na direna direçção de ão de movimentomovimento diminuidiminui em relação à situasituaçção de repousoão de repouso, pelo fator

⇒ no limite vv→→→→→→→→ cc ⇒ EE// // →→→→→→→→ 00 !

• Ou seja, aponta na direção do ponto P em termos do Vetor “posição presente” da carga, o que é um resultado interessante jáque o “sinal” em P, no tempo t, vem da posição retardada!

E�

0

2

2

3*220 2

2(

2

)

11

| |4

1 sina

vq cE

Rv

c

πεθ

=

−= ⋅

−

�

x

y P

t=x=0qw

�

•

x,t•

v�

r�

*R�

R�

,r rx t•

θ

( )( ) ( )

2

2

3 122 22

22

22

11

11

1

vc

E

vvcc

α⊥

−=

−−

>

1 RB E

c R= ×

�

� �

• Por outro lado, para pontos na direção ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ ao movimento da carga (θθ = = ππ//22), a intensidade do campo será:

• Concluindo: há então uma tendência das linhas de campo elétrico concentraremconcentrarem--sese na direna direçção ão ⊥⊥ ao movimento ao movimento da cargada carga(com velocidade constante).

• O campo , por outro lado: ( 0)B a =�

sempre! para qualquer v!

xq

E�

v�

posição retardada ⇒ quero escrever na posiposiçção ão presentepresente

0

2

2

3*2220

22

( )

1| |

41 sin

a

vq cE

Rv

c

πεθ

=

−=

−

�

• Note ainda que a intensidade do campodiminui em pontos que se encontram ao longo da direção de movimento.

(dependência com sin2 θ)

rr v tR

R R

−=

�� �

⇒

( )*

1,

R vB r t E E

c R c

= × + ×

��

� � �� ( ) ( )2

1,B r t v E

c= ×

� �� �

=0

• Como:

• Então:

parapara q q pontualpontual,,ctecte (MRU)(MRU)v�

• Ou seja, as linhas de força de têm direção de (Verifiquem!)B�

eφ

x

B�

v�

⇒

�

( )*

1r

RR c

r tR

vt v t

==

= −

+

−

�

��� � �

1 RB E

c R

= ×

�

� � ( )( )

2

2

32 2

02

2

*

*2 *0

1

4

1

,

sina

vq RcE r tR Rv

c

πεθ

=

−=

−

�

��

q

⇒

x

y P

t=x=0qw

�

•

x,t•

v�

r�

*R�

R�

,r rx t•

θ

*R R v

R R c= +

� ��

0

1 RE

c RS E

µ

×

= ×

�

�� �

• Vamos calcular agora a Potência IrradiadaPotência Irradiada por carga pontual, com trajetória qualquer:

• No entanto, como já discutimos, não é toda energia associada aos campos que constituirá os “Campos de Radiação”; uma parte representa o campo que acompanha a carga enquanto ela se move.

( )0

2

1

E

R RE E E E

c R Rµ=

= ⋅ − ⋅

� �

� � � �

���

• Ou seja, a energia irradiada é aquela que efetivamente propaga-se para o infinito.

• Vamos então calcular a Potência Irradiada pela carga, no instante tt

rr, considerando casca esférica imaginária, de raioraio RR

(centrada na posição retardada) e esperar para calcular o fluxo de , no instante tt, através da casca esférica.

rRt t t

c∆ = − =

S�

( ) ( ){ }B A C C A B⋅ − ⋅=� � � �� �

• Agora, como elemento de área dA ∝∝∝∝ R2 ⇒ somente os termos de é que “sobrevivem” quando faço R →→→→ ∞∞∞∞ .

2

1S

R∝�

• Isto significa, nas expressões gerais de e , que somente o somente o termo que envolve termo que envolve aceleraaceleraççãoão constituirá a Parte de RadiaParte de Radiaççãoão!

E�

B�

cRu v

R= −

�

� �• Isto porque não depende de não depende de RR (módulo)

RE⇒ ∝�

3R

[ ( ) ( )2 1 2 ,t e tv R a

�

21R

∝1R

∝

• Por isso, carga com ctecte (aa=0=0) não irradianão irradia!!v�

⇒

( )( )

( ) ( )2

3

2

04

,q R

E r t c v u R u aR uπε

= − + × ×

⋅

� �� � � �

��

1;

RB E

c R

= ×

�

� �

( )( )3

04

rad

q RE R u a

R uπε = × ×

⋅

� �� �

��

radE R ξ∝ ×�� �

0R

ER

⋅ =

�

�

⇒2

0

1rad rad

RS E

c Rµ=

�

�

R E� �

E�

R�

•

• Assim: para carga pontual aceleradaacelerada, com trajettrajetóória qualquerria qualquer!

• Agora, como

S�

na expressão de :

⇒ ⇒

⇒

( )0

2

1

E

R RS E E E E

c R Rµ≡

= ⋅ − ⋅

� �

� � � � �

���

⇒

ξ�

radE R⊥� �

• Então:

• Vamos agora calcular a intensidade da radiação ( ), de uma forma aproximada (para simplificar a álgebra), supondo:

S

cR cRu v

R R= − ≈

� �

� � ; ou seja, a velocidade de propagavelocidade de propagaçção do ão do sinalsinal é >> que a velocidade velocidade dada cargacarga:v

�

( )c v>>

( ) ( )3

04

rad BAC CABq R cR cR

E R a a RR RcR

RR

πε−

≈ ≈ ⋅ − ⋅

⋅

� �

� � �� �

�

�

3 3

04

ˆR

q R Rc e a c R a

RRR

cπε

= ⋅ −

�

� �

( )2

0cos

1

4ˆ ˆ

R Rrad

a

qE a e e a

c Rθ

πε=

⇒ = ⋅ −

�� �

���

(situa(situaçção nãoão não--relativrelativíística)stica)

(θ = ângulo entre o vetor aceleração da carga e a

direção da onda irradiada)

=

⇒

\\ ˆRe

//ˆRe

( )( )3

04

rad

q RE R u a

R uπε

= × ×

⋅

� �� �

��

2

2E E E= ⋅

� �

( ) ( )2 2 2

2

0

2

cos cos4ˆ ˆcos cos cosR R

a a

qa a e a a a e a

c R θ θθ θ θ

πε = =

= − ⋅ − ⋅ +

� �

( )2

2 22

2

0221 c sio ns

cos 2cos 14

q

ca

Rθ θ

θ θπε

= =−

= − + ���������

2 2 2

2 2 5 2

0 016

sinˆ

R

q aS e

c R

θ

π µ ε=�

~cR

uR

�

�

• No cálculo do Vetor de Poynting:

• Portanto:

; expressão válida para

(situação não-relativística)

=

=

• Como vemos, a carga não irradianão irradia na direna direçção em que estão em que estááaceleradaacelerada e a emissão memissão mááximaxima ocorre ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥ àà aceleraaceleraçção da cargaão da carga!

( ) ( )2

2

04

ˆ ˆcos cosR R

qa e a a e a

c Rθ θ

πε

= − ⋅ −

� �

( )2

0cos

1

4ˆ ˆ

R Rrad

a

qE a e e a

c Rθ

πε=

= ⋅ −

�� �

���

( )

2 2

2 3

2 2 5 2

0 0

423

16ˆ sin

rad

q aP S n dA R d d

c R

π

θ θ φπ µ ε

=

= ⋅ =∫ ∫�

�������

⇒ ⇒2 2

3

0

1

4

2

3

q aP

cπε=

Fórmula de Larmor!

• Calculando o fluxo desta energia/área-tempo através de uma casca esférica de raio R, temos a Potência Total IrradiadaPotência Total Irradiada:

⇒

2

0 0

1c

µ ε

=

para cargas com v << c, já obtida antes utilizando distribuição de cargas em torno da origem.

RELATIVIDADERELATIVIDADE

•• Teoria de Maxwell do EletromagnetismoTeoria de Maxwell do Eletromagnetismo foi publicada em 1862. Nos anos seguintes a estrutura matemática foi gradualmente desenvolvida, e os resultados comprovados experimentalmente.

• Um ponto crucial neste processo foi decidir sobre a existência (ou não) de um meio para a propagação das ondas EM: o ÉÉterter. Ele existindo, porém, se estabeleceria um sistema de referência preferencial para o estudo das leis da Física.

• Experiências com a de Michelson-Morley (1888) levaram a maioria dos cientistas a concluírem pela não-existência do Éter.

• Em 1904 Lorentz propôs uma transformação que deixava inalterada a forma das Equações de Maxwell quando descrita por dois observadores em referenciais inerciais diferentes (o que não ocorre quando aplicadas às transformações de Galileu → as equações de Maxwell não eram invariantes frente a uma transformação de Galileu) .

2

2

1

1 Vc

γ =

−

Vt�

V�

y y'

0

zz'

0'

x'

x

x=x'

• Por exemplo, supor a Explosão de um Balão (evento) em um ponto P, no instante t.

2

2

21

'

V xc

Vc

tt

−=

−

'y y=

'z z=

2

21

'Vt

Vc

xx

−=

−

(4)

(3)

(2)

(1)

• No ano seguinte Einstein consegue elaborar a Teoria Especial Teoria Especial da Relatividadeda Relatividade, partindo de dois princípios básicos:

1- As Leis da Natureza são as mesmas para qualquer ref. inercial.

2- A velocidade da luz no vácuo é c para qualquer ref. inercial.

P

Equações de Lorentz

O luz

c

fóton

O’

• Supor agora, por exemplo, que 0 e 0’ sincronizam seus relógios ao passar um pelo outro (com velocidade V), e neste instante um “flash” de luz é disparado nas origens coincidentes dos sistemas de coordenadas:

i) O observador 0 afirma que a luz propaga-se em todas as direções com velocidade c, como frentes de ondas esféricas centradas na sua origem e com raio r = ct crescente.

ii) Observador 0’ afirma o mesmo, com as ondas centradas na sua origem e com raio r’=ct’ crescente.

lanterna

c

• Note:

2 2 2 2 2 2x y z r c t+ + = ='2 '2 '2 '2 2 '2

x y z r c t+ + = =

• Isto significa dizer que, para cada observador, as frentes de onda são descritas pela equação da esfera:

2

2

1

1

;V

c

γ =

−

( )2

22 2 2 2 2

2

Vx Vt y z c t x

cγ γ

− + + = −

2 2 2 2 2 2 2 2

2x V t xVt y zγ γ γ⇒ + − + + =

( ) ( )2 22 2 2 2 22 2

221 1x y z t VcVc c

γ γ− −⇒ + + =

2 2 2 2 2x y z c t∴ + + = ≡

• Aplicando as equações de transformação de Lorentz na eqeq.(6).(6) :

(5)

(6)

⇒

2

2 2 2 2 2 2 2 2

4 22

V Vc t c x c t x

c cγ γ γ= + − ⇒

eqeq. (5). (5)!

2

2

21

'

V xc

Vc

tt

−=

−'y y= 'z z=

2

21

'Vt

Vc

xx

−=

−

2

• Vamos agora determinar as eqs. de Transformação de Lorentzpara a velocidade (de um objeto que se move, para 2 referenciais inerciais)

• Considere o objeto em movimento, segundo os observadores 0 e 0’, sofrendo um deslocamento infinitesimal ⇒ tem-se variaçõesinfinitesimais nas coordenadas linha e sem linha, dadas por:

2

21

'd dx V

dt

xV

c

−=

−

'dy yd=

( )2

2

21

'

d dd

Vt xc

tV

c

−=

−

'dz zd=

(7)

(8)

(9)

(10)2

2

21

'

V xc

Vc

tt

−=

−

'y y=

'z z=

2

21

'Vt

Vc

xx

−=

−

(4)

(3)

(2)

(1)

⇒

21

dx Vdt

V dxdt

c dt

−=

−

2

'

1

xx

x

v Vv

Vv

c

−=

−

• Fazendo (7) ÷(10):

(11)

(12)' '

'y

dyv

dt=

2

2

2

1

1

Vc

dyV

dtdt

dx

c

−=

−

2

2

2

'1

1

y

x

y

Vvc

vV v

c

−=

−

• Também (8 ou 9) ÷ (10) :

xv≡

2

21

'dx Vdt

dxV

c

−=

−

( )2

2

21

; '

Vdt dxc

dtV

c

−=

−

xv≡

⇒

'dy dy= ; 'dz dz=

''

'x

dx

dtv=

⇒

yv≡

xv≡

• Analogamente:

2

2

2

'1

1

'

'

z

z

x

Vvc

c

dz

dtv

V v= =

−

−

V c<<< ( )0Vc

→• Verifique que, fazendo

caímos na Transformação de velocidade clássica de Galileu!

(13)

( )( )

0

,,

r tE r t

ρ

ε∇ ⋅ =

�� � �

↔ ( )( )

0

' ', '' ', '

r tE r t

ρ

ε∇ ⋅ =

�� �

�

( ), 0B r t∇ ⋅ =� � �

↔ ( )' ', ' 0B r t∇ ⋅ =� � �

• Pode-se mostrar que as equações de Maxwell são covariantes(variam da mesma maneira, não mudam suas formas) com relação a uma transformação de Lorentz:

(14)

(15)

⇒

⇒

( )( ),

,B r t

E r tt

∂∇× = −

∂

��

� ��

↔ ( )( )' ', '

' ', ''

B r tE r t

t

∂∇× = −

∂

��

� ��

( ) ( )( )

0 0 0

,, ,

E r tB r t J r t

tµ µ ε

∂∇× = +

∂

��

� � �� �

↔ ( ) ( )( )

0 0 0

' ', '' ', ' ' ', '

'

E r tB r t J r t

tµ µ ε

∂∇× = +

∂

��

� � �� �

(16)

(17)

• Isto porque, na realidade, estas grandezas não são iguais (para referenciais inerciais diferentes)!

( ),E B� �

• Agora isto não significa que há igualdade entre os campose ou entre densidades de carga e corrente ( ) ( ), ', 'J Jeρ ρ

� �

( )', 'E B� �

• Fica fácil perceber isso observando que se uma carga está em repouso em um referencial, no outro ela está em movimento!

• Nossa tarefa, agora, será determinar as leisleis (equações) que regem as TransformaTransformaçções dos ões dos CamposCampos →→ veremos na veremos na prpróóxima aulaxima aula

↔