Eletromecanica Resistencia Dos Materiais

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    Governador

    Vice Governador

    Secretria da Educao

    Secretrio Adjunto

    Secretrio Executivo

    Assessora Institucional do Gabinete da Seduc

    Coordenadora da Educao Profissional SEDUC

    Cid Ferreira Gomes

    Domingos Gomes de Aguiar Filho

    Maria Izolda Cela de Arruda Coelho

    Maurcio Holanda Maia

    Antnio Idilvan de Lima Alencar

    Cristiane Carvalho Holanda

    Andra Arajo Rocha

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    ndice

    Capitulo 1 Grandezas Fsicas 2Capitulo 2 Fora 5Capitulo 3 Esttica 14Capitulo 4 Conceito de Tenso 28

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    CAPITULO 1

    Grandezas Fsicas

    Neste captulo, vamos abordar as grandezas fsicas que so normalmente utilizadas emmecnica, particularmente teis para o estudo em Resistncia dos Materiais e em Elementosde Mquinas. uma boa oportunidade para que o aluno faa uma reviso de seus conceitos japrendidos sobre o tema.

    Chama-se grandeza fsica a tudo aquilo que pode ser mensurado e receber, portanto,um valor numrico. Este valor numrico vem sempre acompanhado de suas respectivasunidades de medida.

    O Sistema Internacional de Unidades (SI) baseado nas sete unidades fundamentaisapresentadas no quadro abaixo.

    Grandezas bsicas

    As grandezas que so formadas por mais de uma grandeza bsica so chamadas degrandezas derivadas.

    Grandezas derivadas

    Os mltiplos e submltiplos decimais das unidades SI tm nomes conforme o quadro aseguir.

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    Mltiplos e submltiplos

    Algumas grandezas no usam o sistema decimal para os seus mltiplos, por exemplo:tempo.

    1 minuto = 60 segundos1 min = 60 s

    Converso de unidadesPara fazer converses de unidades, basta seguir os procedimentos apresentados nos

    exemplos abaixo, usando os fatores de multiplicao do quadro anterior.

    Exemplos:1. Transformar 24,1daN em N.

    Soluo:

    24,1daN = 24,1 . 10N = 241N(daN)

    2. Transformar 54,7kJ em J.Soluo:

    54,7kJ = 54,7 . 1000J = 54 700J(kJ)

    3. Transformar 2min em s.Soluo:

    2min= 2 . 60s= 240s(min)

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    MetroA unidade de medida de comprimento no Sistema Internacional ometro.Historicamente, o metro resultado da busca de uma frao conveniente da distncia do

    Polo ao Equador, ao longo do meridiano que passa por Paris. Foi definido como sendo 1/10000 000 dessa distncia. Outro conceito mais atual do metro define-o como sendo a dimensocorrespondente a 1 650 763,73 vezes o comprimento da onda emitida pelo tomo de kriptnio86 quando submetido a determinadas condies no vcuo.

    MassaMassa de um corpo a quantidade de matria que esse corpo contm.A unidade de massa no Sistema Internacional de Unidades (SI) oquilograma, cujo

    smbolo o kg, sendo comum o uso de seus submltiplos e mltiplos.Um mltiplo do quilograma que recebe um nome especial a tonelada (t), que equivale

    a 1000kg.A massa dos corpos determinada atravs de aparelhos denominados balanas.

    VolumeVolume a medida do espao ocupado pela matria. No Sistema Internacional, a

    unidade de volume ometro cbico - m. Um submltiplo muito utilizado o decmetro cbico (dm) que equivale a 1 litro (l), ou

    seja, 1 dm = 1l.

    DensidadeDensidade ou massa especfica () a relao entre a massa (m) de um corpo e o seu

    respectivo volume (v). = m/v

    Onde: = densidade m = massav = volume

    A densidade uma caracterstica do material conforme exemplificado no quadro aseguir.

    Densidade de alguns materiais

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    CAPITULO 2

    Fora

    Neste captulo abordamos o conceito de fora, sua representao e suas caractersticasfundamentando conceitos para o estudo em Resistncia dos Materiais e em Elementos deMquinas. uma boa oportunidade para que o aluno faa uma correlao entre as ferramentasmatemticas e suas aplicaes na mecnica.

    Mecnica o ramo da Fsica que trata do movimento de corpos materiais e das forasque o produzem. Como o movimento melhor descrito pelos mtodos do Clculo, iniciaremoscom o estudo de foras.

    Quando empurramos ou puxamos um corpo exercemos uma fora sobre ele. Forastambm podem ser exercidas por objetos inanimados: uma mola esticada exerce foras sobreos corpos que estiverem presos s suas extremidades; ar comprimido exerce-a sobre asparedes do vaso que o contm; uma locomotiva, sobre o trem que ela puxa. A fora cuja

    presena mais notamos em nossas vidas dirias a da atrao da gravidade exercida pelaTerra em todos os corpos, chamada de peso do corpo. Foras gravitacionais (e tambm foraseltricas e magnticas) podem atuar atravs do espao vazio, sem contato. Nesse aspecto elasdiferem das foras mencionadas acima, onde o corpo que puxa ou empurra deve estar emcontato com o corpo sendo puxado ou empurrado.

    No Sistema Internacional a unidade de fora o Newton, definida como a fora queimprime a um corpo de 1 kg de massa a acelerao de 1 m/s2. A vantagem dessa unidade que ela independe da gravidade, que varia de ponto a ponto sobre a superfcie da Terra. ONewton cerca de dez vezes menor que o quilograma fora (kgf) e representado pela letra"N".

    A fim de que uma fora desconhecida possa ser comparada com a unidade de fora e,

    assim, medida, deve-se usar algum efeito mensurvel produzido por uma fora. Um tal efeito a alterao das dimenses ou da forma de um corpo sobre o qual a fora exercida; outro, aalterao do estado de movimento do corpo. Ambos podem ser usados na medida de foras.

    O instrumento mais usado para medir foras a balana de molas; consiste de umamola em espiral encerrada em um estojo para proteo, tendo numa extremidade um ponteiroque se move sobre uma escala. A fora exercida sobre a balana muda o comprimento damola; esta pode ser calibrada como se seque. Suspende-se primeiramente o quilogramapadro na balana, ao nvel de mar e a 45 de latitude, marcando-se a posio do ponteirocomo 1 kgf. Ento quando dois, trs ou mais desses corpos so suspensos simultaneamentena balana, a fora de distenso de 2 kgf, 3 kgf, etc., e as posies correspondentes doponteiro podem ser marcadas como 2 kgf, 3 kgf, etc. Esse procedimento no faz uso denenhuma hiptese acerca das propriedades elsticas da mola, exceto de que a fora exercidasobre ela sempre a mesma quando o ponteiro para na mesma posio. A balana calibradapode ento ser usada para medir uma fora desconhecida.

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    Representao Grfica de Foras. VetoresSuponhamos que uma caixa deslize ao longo do cho, puxada por um cabo ou

    empurrada por um basto, como na figura a seguir.

    O ponto de vista que adotaremos agora o de que o movimento da caixa causado no

    pelos objetos que a puxam ou a empurram, mas pelas foras que eles exercem. Para sermosconcretos, imaginemos que o valor do empurro ou do puxo seja de 10 N. claro queescrever apenas "10 N" sobre o diagrama no descreve completamente a fora, j que noindicaria em que direo ela est atuando. Poderamos escrever "10 N, 45 com a horizontal,para baixo e para a direita", mas toda essa informao pode ser abreviada se adotarmos aconveno de representar uma fora por uma seta. O comprimento em escala, e a direo e osentido da seta indicam, respectivamente, a intensidade ou mdulo, a direo e o sentido dafora. Assim, a figura a seguir o diagrama da fora correspondente figura anterior. (Houtras foras atuando na caixa, no mostradas na figura).

    Fora no a nica grandeza fsica que requer a especificao de uma direo, umsentido e um mdulo. Por exemplo, a velocidade de um avio no completamenteespecificada dizendo-se apenas que de 500 km por hora; necessitamos saber tambm a

    direo. Por outro lado, o conceito de volume no se liga s ideias de direo e sentido.Grandezas como volume, que envolvem apenas omdulo , so chamadas de escalares .Aquelas que, como fora e velocidade, envolvem tanto omdulo quanto uma direo e sentidono espao, so chamadas de vetoriais. Qualquer grandeza vetorial pode ser representada poruma flecha chamada vetor (ou se necessita maior especificao, vetor fora ou vetorvelocidade ).

    Algumas grandezas vetoriais, das quais a fora uma delas, no so completamenteespecificadas apenas por sua intensidade, direo e sentido. Assim o efeito de uma foradepende tambm de sua linha de ao e de seu ponto de aplicao . (A linha de ao umalinha de comprimento indefinido, do qual o vetor fora um segmento.) Por exemplo, sealgum empurra horizontalmente uma porta, a efetividade de uma fora de um dado mdulo edireo depende da distncia de sua linha de ao s dobradias (ou ponto de apoio, ouapoios). Se um corpo deformvel, como todos o so em uma maior ou menor extenso, a

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    deformao depende do ponto de aplicao da fora. Entretanto, como muitos objetos reaisso deformados apenas ligeiramente pelas foras que atuam sobre eles, suporemos porenquanto que todos os objetos so perfeitamente rgidos. O ponto de aplicao de uma foraatuando em um corpo rgido pode ser transferido para qualquer outro ponto sobre a linha deao, sem alterar o efeito da fora. Assim, uma fora aplicadaa um corpo rgido pode serconsiderada como atuandoem qualquer lugar ao longo desua linha de ao.

    Uma quantidade vetorial representada por uma letra em negrito. A mesma letra emitlico representa o mdulo da quantidade. Assim, o mdulo de uma foraF representado porF .

    Adio Vetorial. Resultante de um Sistema de ForasA aritmtica e a lgebra lidam com nmeros puros. De modo anlogo, a Anlise Vetorial,

    outro ramo da matemtica, considera um vetor simplesmente como uma seta ou segmento dereta orientado, sem qualquer significado fsico. Entretanto, assim como as leis da Aritmtica eda lgebra servem para descrever certas operaes entre quantidades fsicas, tambm as leis

    da lgebra Vetorial servem para representar alguns outros aspectos (no todos) docomportamento de outras grandezas fsicas.

    Por exemplo, dois vetores (matemticos) so considerados iguais, por definio, se temo mesmo mdulo, direo e sentido. Assim, os vetoresA, B e C, da figura so todos iguais.Matematicamente, um dado vetor pode ser deslocado livremente, desde que seu comprimentoe sua orientao no mudem. Entretanto, se os vetores indicados representam foras atuandosobre um corpo, no so fisicamente equivalentes, j que tem diferentes pontos de aplicao ediferentes linhas de ao.

    O vetor soma de dois vetores (matemticos) definido da seguinte maneira. SejamA eB, dois vetores dados (figura a seguir (a)).

    Desenhe os vetores como em (b) em um ponto qualquer conveniente, coincidindo aorigem deB com a extremidade deA.O vetor somaC ento definido como o vetor que vai daorigem de A extremidade de B. O smbolo para a adio vetorial o mesmo da adioalgbrica, assim,C = A+ B.

    Alternativamente os vetores dados podem ser traados como na figura a seguir, com aorigem deAcoincidindo com a extremidade deB. O vetorC tem o mesmo mdulo e orientaoque em (b) e, portanto, os dois vetores soma so matematicamente iguais.

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    A ordem na soma de vetores assimirrelevante, e a adio vetorial comutativa:A+ B = B + A

    O mdulo e a orientao do vetor somaC podem ser obtidos medindo-os em umdiagrama cuidadosamente desenhado. Podem tambm, ser calculados pelos mtodos daTrigonometria. Se, por exemplo, representa o ngulo entre os vetoresAe B, ento o mdulode C dado por:

    C = A + B - 2AB cos Observao:

    lei dos cossenos. O ngulo entre C e Apode, ento ser obtido da relao:

    Observao:lei dos senos. Outro mtodo para encontrar a soma de dois vetores o mostrado na figura (d), ondeA

    e B so traados fazendo-se coincidir suas origens. O vetor somaC a diagonal concorrentede um paralelogramo cujos lados so os vetores dados.

    A figura a seguir ilustra um caso especial em que dois vetores so paralelos, como em(a), ou antiparalelos, como em (b). Se so paralelos, o mdulo do vetor somaC igual somados mdulos de A e B. Se so antiparalelos o mdulo do vetor soma igual diferena dosmdulos deAe B. (Os vetores na figura foram ligeiramente deslocados, para maior clareza. Naverdade, todos os vetores esto ao longo da mesma linha geomtrica).

    Quando mais de dois vetores tm que ser somados, devemos primeiramente obter asoma de dois quaisquer, adicion-la vetorialmente a um terceiro, e assim sucessivamente.Esse processo ilustrado na figura que mostra, na parte (a), quatro vetoresA, B, Ce D. Naparte (b) os vetores A e B so primeiro somados pelo mtodo do tringulo, resultando numvetor soma E; E e C so tambm somados pelo mesmo processo, resultando o vetor somaF;finalmenteF e D so adicionados, obtendo se o vetor somaG = A + B+ C + D

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    claro que no precisamos traar os vetoresE e F; necessitamos desenhar apenas osvetores dados, em sucesso, com a origem de cada um coincidindo com a extremidade do queo precede, e completar o polgono por um vetorG, que vai da origem do primeiro extremidadedo ltimo. No interessa a ordem em que os vetores so desenhados, como mostra a figura.

    Consideremos agora o seguinte problema fsico. Duas foras, representadas pelosvetores F1 e F2 na figura, so aplicadas simultaneamente no mesmo ponto A de um corpo. Serpossvel produzir o mesmo efeito aplicando-se uma nica fora em A?

    Se for o caso, qual deve ser a intensidade e a orientao dessa fora? Essas perguntass podem ser respondidas experimentalmente; os resultados mostram que uma nica fora,representada em intensidade, sentido e linha de ao pelo vetor somaR das foras originais, em todos os aspectos equivalente quelas foras. Essa nica fora chamada deresultantedas originais. Da resulta que o processo matemtico de somar vetorialmente dois vetores foracorresponde operao fsica de encontrar a resultante de duas foras, aplicadassimultaneamente em um dado ponto.

    Consideremos agora o caso mais geral em que duas foras so aplicadas em pontosdiferentes de um corpo rgido, onde os pontos de aplicao deF1 e F2 esto em A e B.

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    Consideraremos apenas o caso especial em que as foras esto no mesmo plano, isto, so coplanares. Como uma fora aplicada a um corpo rgido pode ser deslocada ao longo desua linha de ao, desloquemos as foras para o ponto C, onde se interceptam (o ponto deinterseo pode estar situado fora do corpo atuado pelas foras). A resultanteR ento obtidacomo na figura, e esta, quando aplicada em qualquer ponto de sua linha de ao, tal como oponto D, fisicamente equivalente s forasF1 e F2 , atuando simultaneamente.

    O vetor soma de F1 e F2 pode tambm ser obtido usando-se a construo da figurainicial deste captulo, onde os vetares so desenhados com a origem de um coincidindo com aextremidade do outro em um ponto conveniente qualquer. O vetor soma tem o mesmo mduloe direo que os da resultante R, mas no necessariamente a mesma linha de ao. Esseexemplo ilustra novamente que embora um vetor matemtico possa ser deslocado livremente(retendo seu mdulo e orientao originais),uma fora atuando em um corpo rgido podeser deslocada apenas ao longo de sua linha de ao .

    Pode-se encontrar a resultante de mais de duas foras coplanares usando-se oprocesso ilustrado. Primeiro achamos a resultante de duas quaisquer, combinamos essa

    resultante com uma terceira, e assim sucessivamente. Como vetores obedecem leicomutativa da adio, a ordem da soma no faz diferena.

    Componentes de um VetorDois vetores quaisquer cuja soma vetorial seja igual a um terceiro so chamados

    componentes deste. Na figura, por exemplo, os vetoresAe B so as componentes de C.

    Evidentemente, cada vetor tem um nmero infinito de pares de possveis componentes.Se as direes das componentes so especificadas, entretanto, o problema de encontr-las oudecompor o vetor em suas componentes, tem uma nica soluo. Suponhamos queA,figura aseguir, para ser decomposto segundo as direes Op e Oq.

    Da extremidade deA traamos as linhas de construo paralelas a Op e Oq, formandoum paralelogramo. Os vetoresAP e AQ, que vo de O aos pontos de interseo, representamas componentes desejadas, j que esto nas direes especificadas e o vetor dado suasoma vetoriais.

    Um caso especial de particular importncia aquele em que as direes especificadasso perpendiculares entre si . Na figura (b) as linhas Ox e Oy so os eixos de um sistema decoordenadas retangulares. O paralelogramo obtido pelas linhas de construo da extremidadedo vetor A torna-se um retngulo e as componentesAX e AYso chamadas de componentesretangulares de A.

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    Os mdulos dos componentes retangulares de um vetar podem ser facilmentecalculados. Se O o ngulo que o vetarAfaz com o eixo dos x, ento:

    Onde A, Ax e Ay, so os mdulos dos vetores correspondentes.

    A aplicao desses conceitos a um problema fsico ilustrada na figura, onde uma foraF atua sobre um corpo no ponto 0. As componentes retangulares deF nas direes Ox e Oyso Fx e Fy e verifica-se que o efeito da aplicao simultnea das forasFx e Fy, equivalente, em todos os aspectos, ao da fora original.

    Qualquer fora pode ser substituda por suas componentes retangulares .

    Consideremos, como exemplo,F = 10 N e = 30

    Ento:Fx = F cos = 10 (N) . 0,866 = 8,7 N Fy = F sen = 10 (N) . 0.500 = 5,0 N

    E o efeito da fora origina! de 10 N equivalente ao da aplicao simultnea da forahorizontal de 8,7 N e da vertical de 5,0 N.

    Resultante pela Decomposio RetangularEmbora o mtodo do polgono seja um processo grfico satisfatrio para encontrar a

    resultante de vrios vetores, inconveniente para o clculo porque, em geral, tem-se queresolver vrios tringulos obliqungulos. O melhor mtodo analtico para determinar aresultante consiste em primeiro decompor todas as foras em componentes retangulares, aolongo de qualquer par conveniente de eixos, e ento combinar essas componentes em umanica resultante. Esse mtodo permite trabalhar com tringulos retngulos apenas.

    A figura, em (a), mostra trs foras concorrentesF1, F2 e F3, cuja resultante desejamosobter.

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    Escolhamos um par de eixos retangulares em uma direo arbitrria. O resultadosimplifica-se se um dos eixos coincide com uma das foras, o que sempre possvel. Nafigura, parte (b), o eixo dos x coincide comF1. Achemos primeiro os componentes x e y de cadauma dessas foras. De acordo com as convenes usuais da Geometria Analtica, ascomponentes x para a direita so consideradas positivas e as para a esquerda, negativas. Ascomponentes y para cima sero positivos e as para baixo, negativas.

    A foraF1, est ao longo do eixo dos x e no pode ser decomposta.As componentes de F2 so F2X = F2 cos e F 2Y = F2 sen , ambas positivas; Fx foi

    ligeiramente deslocado, para maior clareza.As componentes deF3 so F3X = F3 cos e F3Y = F3 sen , ambas negativas.

    Imaginemos agoraF2 e F3 removidos e substitudos por suas componentes retangulares.Todas os componentes x podem agora ser combinadas em uma nica foraRx, cujaintensidade igual soma algbrica das intensidades das componentes x, ou FX(somatriade todas as foras F na direo x), e todos as componentes y combinadas em uma nica foraRY de intensidade FY (somatria de todas as foras F na direo y), assim podemosescrever:

    Finalmente combinamos essas componentes resultantes, parte (c) da figura, para formara resultante R, de intensidade:

    O ngulo entre R e o eixo dos x pode ser obtido detg = RY /RX.

    Exemplo.Consideremos na figura anterior, F1 = 120N, F2 = 200 N, F3 = 150N, =60 e = 45 .Os clculos podem ser efetuados como na tabela abaixo.

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    Sendo: Rx = FX e RY = FY , ento:

    = arctg (67/114) = arctg 0,588 = 30,45

    Diferena VetorialFrequentemente necessrio subtrair um vetor de outro. O processo de subtrair uma

    quantidade algbrica de outra equivalente a adicionar o negativo da quantidade a sersubtrada. Isto ,

    a - b = a + (-b)

    Semelhantemente, o processo de subtrair uma quantidade vetorial de outra equivalente a somar (vetorialmente) o negativo do vetor a ser subtrado, onde onegativo deum dado vetor definido como o vetor de mesmo comprimento, mas no sentido oposto. Isto ,se Ae B so dois vetores:

    A- B = A+ (-B)Uma subtrao vetorial ilustrada na figura a seguir. Os vetores dados so mostrados

    na parte (a).

    Em (b) o vetor soma deA e - B, ou o vetor diferenaA - B, obtido pelo mtodo doparalelogramo. A parte (c) mostra um segundo mtodo: os vetoresA e B so colocados emuma origem comum e o vetor diferenaA - B o vetor que vai da extremidade deB extremidade deA. O vetor diferenaA - B, assim, o vetor que deve ser adicionado aB paradar A, j que B + (A- B ) = A.

    Diferenas vetoriais tambm podem ser obtidas pelo mtodo de decomposioretangular. Ambos os vetores so decompostos em componentes x e y. A diferena entre ascomponentes x a componente x do vetor diferena desejado e a diferena entre ascomponentes y a componente y do vetor diferena.

    Subtrao vetorial no muito usada quando se lida com foras, mas aparecefrequentemente em conexo com velocidades e aceleraes.

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    CAPITULO 3

    Esttica

    Neste captulo vamos abordar os conceitos fundamentais da Esttica bem como as Leisde Newton. Esses conceitos so bsicos para a aplicao e dimensionamento de estruturas emecanismos sob as restries da esttica.

    IntroduoA Mecnica baseada em trs leis naturais, claramente enunciadas, pela primeira vez,

    por Sir lsaac Newton (l643-1727) e publicadas em 1686 nos Philosophiae Naturalis PrincipiaMathematica ("Os Princpios Matemticos das Cincias Naturais"). No se deve concluir,entretanto, que a Mecnica comeou com Newton. Muitos o precederam, destacando-seGalileo Galilei (1564-1642), que lanou as bases para as trs leis de Newton, em seus estudosdo movimento acelerado.

    Equilbrio. Primeira Lei de NewtonUm dos efeitos de uma fora aplicada a um corpo alterar suas dimenses ou sua

    forma; outro, modificar seu estado de movimento.O movimento de um corpo pode ser considerado como composto de seu movimento

    como um todo, ou movimento detranslao e de rotao . No caso mais geral, uma nicafora altera tanto o movimento de translao como o de rotao. Entretanto, quando vriasforas so aplicadas simultaneamente, seus efeitos podem se cancelar, resultandono havermudana nem na translao nem na rotao do corpo. Quando tal acontece diz-se que o corpoest em equilbrio. Isto significa que o corpo como um todo (I) est em repouso ou se moveem linha reta com velocidade constante, e (2) no tem rotao ou gira com velocidade

    constante.Idealizemos algumas experincias que permitam deduzir as leis de equilbrio. A figura aseguir representa um objeto rgido, achatado de forma arbitrria e apoiado em uma superfciehorizontal, sem atrito.

    Se uma nica fora F1 aplicada, figura (a), e se o corpo estiver originalmente emrepouso, ele comea a se mover e a girar no sentido dos ponteiros do relgio. Se j se movia, oefeito da fora seria alterar o movimento de translao em mdulo e direo (ou ambas), e

    aumentar ou diminuir sua velocidade de rotao. Em ambos os casos o corpo nopermaneceria em equilbrio.

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    O equilbrio, entretanto, pode ser mantido aplicando-se outra foroF2, figura (b), quetenha mesma intensidade e linha de ao queF1, mas de sentido oposto. A resultante , ento,nula. Se os linhas de ao no coincidirem, figura (c), o corpo permanecer em equilbriotranslacional masno rotacional.

    ObservaoAs foras constituem, nesse caso, um conjugado. Rigorosamente falando, podemos

    dizer que as forasF1 e F2 so iguais em valor absoluto e de sinais opostos, isto ,F2 = -F1 Ento, se R representa a resultante de F1 e F2:

    R = F1 + F2 = F1 - F1 = 0

    Por brevidade falaremos apenas em foras "iguais e opostas", significando que tm omesmo valor absoluto (mesmo mdulo) e sentidos opostos.

    A figura a seguir em (a), representa um corpo sendo atuado por trs foras coplanaresno paralelas, F1 , F2 e F3.

    Qualquer fora aplicada a um corpo rgido pode ser considerada como atuando emqualquer ponto de sua linha de ao.

    Desloquemos F1 e F2 para o ponto de interseo de suas linhas de ao e seja R suaresultante, na figura (b) . Reduzidas agora a duas,R e F3, devem ter, para o equilbrio:

    1. intensidades iguais;2. sentidos opostos e3. mesma linha de ao.

    Segue-se, das condies (1) e (2) que a resultante das trs foras deve ser nula. A

    condio (3) implica que a linha de ao deF3 passa pela interseo das linhas de ao de F1 e F2. Em outras palavras, as trs foras so concorrentes.A construo usada na figura prov um mtodo grfico satisfatrio para a soluo de

    problemas de equilbrio. Para a soluo analtica mais simples utilizar componentesretangulares. J mostramos que as componentes retangulares da resultanteR de um conjuntoqualquer de foras coplanares sero dadas por:

    RX = FX e RY = FY

    Quando em equilbrio, a resultante de todos as foras aplicadas a um corpo nula.A Esttica o ramo da mecnica que trata do equilbrio dos corpos.Ambas as componentes retangulares so nulas e, ento:

    R = 0 ou FX = 0 e FY = 0

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    Essas equaes constituem a primeira condio de equilbrio. Ou condio de equilbrioesttico do ponto material.

    A segunda condio de equilbrio uma equao que ser desenvolvida no estudo doequilbrio dos corpos rgidos, e que estabelece que:

    a) Quando um corpo rgido est em equilbrio sob a ao de apenas duas foras, elasdevem ter a mesma linha de ao;

    b) Quando em equilbrio sob a ao de trs foras, elas devem ser concorrentes.

    A primeira condio assegura que o corpo deve estar em equilbrio de translao asegunda, de rotao. A afirmao de que um corpo est em equilbrio completo quandoambasas condies so satisfeitas constitui a essncia da primeira lei do movimento de Newton, quea anunciou, na verdade, de uma maneira diferente: "Todo corpo continua no estado de repousoou de movimento retilneo uniforme, a menos que seja obrigado a mud-lo por foras a eleaplicadas" (Traduzido do Princpio)

    Embora o movimento de rotao no tivesse sido explicitamente mencionado por

    Newton, ele conhecia perfeitamente as condies a que as foras deviam satisfazer para arotao ser nula. ou constante, como se pode deduzir de seus trabalhos.

    Discusso da primeira Lei do Movimento, de NewtonA primeira lei do movimento, de Newton, no to evidente quanto parece. Em primeiro

    lugar, ela afirma que, na ausncia de fora aplicada, um corpo permanece em repouso ou semove em movimento retilneo uniforme. Segue-se que uma vez colocado em movimento, no necessrio exercer uma fora para mant-lo nesse estado. A experincia diria parececontradizer essa afirmativa. Exeramos uma fora com a mo para empurrar um livro ao longode uma mesa. Quando o livro abandona a mo e paramos, portanto, de exercer a fora, ele nose move indefinidamente, mas vai parando at ficar em repouso. Para mant-lo em movimento

    uniforme devemos continuar a exercer alguma fora por causa dafora de atrito que age nocorpo quando este desliza em cima da mesa, em sentido oposto ao do movimento. Quantomais polidas forem as superfcies de contato, menores sero as foras de atrito e tambm afora necessria para manter o movimento. A primeira lei assegura que, se a fora de atritopudesse ser eliminada, nenhuma fora seria necessria para manter o livro em movimento,uma vez iniciado. Ainda mais, se a resultante for nula, caso em que a fora aplicada contrabalanada pela de atrito, o livro tambm continuar a se mover uniformemente. Emoutras palavras, uma fora resultante nula equivalente inexistncia de foras.

    Em segundo lugar, a primeira lei define, por implicao, um sistema inercial dereferncia. Para entender o significado desta expresso, devemos reconhecer que omovimento de um corpo s pode ser especificado em relao a um outro. O movimento relativoa um corpo pode ser diferente relativamente a outro. Por exemplo, um passageiro de um avioque corre na pista para decolar est em repouso relativo ao avio, mas se move cada vez maisdepressa em relao Terra.

    Um sistema de referncia significa um conjunto de eixos coordenados ligados a umcorpo (ou corpos) isto , movendo-se com ele. Consideremos um sistema de referncia ligadoao avio acima referido. Durante a decolagem, enquanto o avio corre cada vez mais rpido, opassageiro sente o encosto da poltrona empurr-lo para frente, embora permanea em repousorelativo ao avio. logo, a primeira lei de Newton no descreve corretamente a situao; umafora para a frente age sobre o passageiro que permanece, entretanto, em repouso (relativo aoavio).

    Por outro lado, suponhamos que o passageiro esteja de p sobre patins. Quandocomear a decolagem ele se mover para trs, embora nenhuma fora atue sobre ele.Novamente a primeira lei de Newton no descreve corretamente os fatos.

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    Podemos agora definir um sistema inercial de referncia como aquele relativo ao qualum corpo permanece em repouso ou em movimento retilneo uniforme quando nenhuma fora(ou resultante) atua sobre ele. Isto , um sistema inercial de referncia aquele em que aprimeira lei de Newton descreve corretamente o movimento de um corpo livre de qualquer fora(ou com resultante nula).

    O avio durante decolagem no , claro, um sistema inercial. Para muitos propsitos,um sistema de referncia ligado Terra pode ser considerado inercial, embora no sejaexatamente correto, por causa da rotao e de outros movimentos da Terra. O prprio Newtonacreditava que seria possvel conceber um sistema de referncia em um estado de repousoabsoluto", parado de alguma maneira no espao vazio.

    Quando se referia a um estado de repouso ou movimento uniforme, ele usava talsistema de referncia. Os princpios da relatividade levaram-nos a acreditar que os conceitosde "repouso absoluto" e de "movimento absoluto" no tm significado fsico. A soluo escolher um sistema de referncia em repouso relativo s estrelas fixas, que esto todistantes que seus movimentos relativos no podem ser detectados. A primeira lei de Newton

    descreve corretamente os movimentos dos corpos relativos s estrelas fixas que, assim, podemser consideradas um sistema inercial.Em terceiro lugar, a primeira lei contm uma definio qualitativa do conceito de fora,

    ou, pelo menos, de um aspecto do conceito de fora, como aquele que muda o estado demovimento de um corpo" (Isso no significa que a fora no possa produzir outros efeitos,como, por exemplo, mudar o comprimento de uma mola).

    Quando um corpo em repouso relativo a um sistema inercial comea a se mover, ou amudar sua direo ou, quando em movimento, aumentar ou diminuir sua velocidade, podemosconcluir que uma fora est atuando sobre ele.

    Equilbrio estvel, instvel e indiferente

    Quando um corpo em equilbrio ligeiramente deslocado, as intensidades, sentidos elinhas de ao das foras atuantes podem variar. Se as foras na nova posio so tais quetendem a levar o corpo para a posio original, o equilbrio estvel . Se elas tendem aaumentar o deslocamento, o equilbrio instvel . Se o corpo ainda permanece em equilbrio,na nova posio, este chamado de indiferente. O estado de equilbrio s pode serdeterminado considerando-se outras posies ligeiramente diferentes da original.

    Um cone circular reto apoiado em uma superfcie horizontal constitui um exemplo dostrs tipos de equilbrio. Quando apoiado sobre a base, figura (a), o equilbrio estvel; quandosobre o vrtice, figura (b), instvel e quando apoiado em seu lado, figura (c), indiferente.

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    Terceira Lei do Movimento, de NewtonQualquer fora resulta de uma interao mtua entre dois corpos. Verifica-se que

    sempre que um corpo exerce uma fora sobre outro, o segundo tambm exercer sobre oprimeiro uma fora igual em intensidade, de sentido oposto e com a mesma linha de ao (estaafirmao deve ser modificada quando se trata de foras de origem eletromagntica, mas correta para qualquer das foras encontradas na mecnica). Logo, impossvel existir umafora isolada, nica.

    As foras envolvidas em cada interao entre dois corpos so chamadas de "ao" e"reao", o que no implica haver qualquer diferena em suas naturezas, ou que uma fora a"causa" e a outra o "efeito". Uma qualquer pode ser considerada ao" e a outra "reao".

    Essa propriedade foi enunciada por Newton em sua terceira lei do movimento:"A cada ao se ope sempre uma reao igual, ou seja, as aes mtuas de dois

    corpos so sempre iguais e dirigidas para as partes contrrias".

    Equilbrio de uma partcula ou ponto material

    Os processos e as substncias encontradas na natureza so raramente simples. Paratratar um problema da natureza necessrio, em primeiro lugar, idealizar o material e fazerhipteses simplificadoras concernentes ao processo. Por exemplo, se deseja calcular onde ecom que velocidade uma bola atirada para cima atinge o solo, o primeiro passo idealizar abola, ignorando os detalhes de sua superfcie e todas as mudanas de esfericidade durante omovimento. Em outras palavras, substitumos a bola por um objeto ideal, isto ,uma esferargida lisa. O prximo passo ignorar a rotao da bola e as foras envolvidas por causa domovimento do ar provocado pela bola em rotao. Mais ainda, devemos desprezar aresistncia do ar. Ficamos ento com um problema bem diferente do original, pelo quepodemos ser acusados de roubar quase toda sua realidade. Isso verdade, mas o que restaaproxima-se do original a baixas velocidades e tem a virtude de ser matematicamente mais

    fcil, enquanto o original a altas velocidades requer mtodos muito mais avanados.Em geral, as foras atuando em um corpo rgido no passam todas em um mesmo ponto(no so concorrentes), resultando que o corpo adquire tanto movimento de translao comode rotao. H, entretanto, muitas situaes de grande interesse onde a rotao no pertinente soluo do problema. Um exemplo o movimento planetrio da Terra em torno doSol sob a ao da fora de gravidade entre os dois, que pode ser estudado sem se levar emconta a rotao da Terra. Se a rotao de um corpo pode ser ignorada como irrelevante, ele chamado de partcula, ou ponto material.

    Uma partcula pode ser to pequena que pode ser considerada uma aproximao a umponto; pode tambm ser bastante grande, desde que as linhas de ao de todas as forasinterceptem em um ponto.

    surpreendente como aparecem situaes de interesse e importncia em engenharia,cincias biolgicas e naturais e tambm na vida cotidiana, envolvendo equilbrio de partculas.Na maioria delas importante saber como calcular uma ou duas das foras aplicadas a umapartcula, quando as outras so dadas. Para isso, o melhor aderir s seguintes regras:

    1) Fazer um esquema do aparelho ou estrutura, mostrando dimenses e ngulos;2) Selecionar um corpo como a partcula em equilbrio, traando um diagrama

    separadamente, onde todas as foras aplicadas ao corpo so indicadas por meio de vetores(setas). o chamado diagrama de foras ou diagrama do corpo livre. Para um sistema devrias partculas, pode ser necessrio fazer um diagrama de fora para cada uma. No indicarno diagrama de uma dada partcula quaisquer foras exercidas por ela. Tais foras (reaes sforas que atuam sobre ela) atuam sobre outros corpos, figurando nos diagramas destes;

    3) Traar um sistema de eixos retangulares e decompor quaisquer foras inclinadas emsuas componentes retangulares. Assinale com traos leves todas essas foras decompostas.

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    4) Anular a soma algbrica de todas as componentes x e de todas as componentes y,separadamente. Isso fornece duas equaes independentes que permitem calcular duasincgnitas (foras, ngulos, distncias, etc.).

    O peso de um corpo, isto , a fora de atrao gravitacional exercida pela Terra sobre ocorpo, aparecer em muitos problemas.

    A fora de atrao gravitacional exercida sobre um corpo pela Terra apenas um dosaspectos de uma interao mtua entre a Terra e o corpo. Isto , a Terra atrai o corpo e aomesmo tempo o corpo atrai a Terra. A fora exercida sobre a Terra pelo corpo oposta emsentido e igual em intensidade fora exercida sobre o corpo pela Terra.

    Assim, se um corpo pesa 10N (isto , se a Terra puxa o corpo para "baixo" com umafora de 10N), o corpo puxa a Terra para "cima" com uma fora igual a 10 N. As foras iguais eopostas exercidas sobre o corpo e sobre a Terra so outro exemplo de ao e reao.

    Exemplo 1Seja um corpo em repouso pendurado no teto por uma corda, figura (a). A parte (b) o

    diagrama de fora para o corpo. As foras aplicadas so o pesoW1 do corpo e a fora paracima, T1, exercida pela corda. Considerando o eixo dos x horizontal e o dos y vertical, nohaver componentes ao longo de x e as componentes y so as forasW1 e T1.

    Da condio FY = 0 resulta FY = T1 - W1 = 0,

    T1 = W1 (Primeira lei).

    Para que ambas os foras tenham a mesma linha de ao, o centro de gravidade docorpo deve estar abaixo do ponto em que se prende corda, e na mesma vertical. Salientemosnovamente que as forasT1 e W1 no so ao e reao, embora tenham mesma intensidade,sentidos opostos e a mesma linha de ao. O pesoW1 a fora de atrao exercida sobre ocorpo pela Terra. Sua reao uma fora igual e oposta, de atrao, exercida pelo corpo sobreo Terra. Essa reao uma das foras atuando sobre a Terra e, assim, no aparece nodiagrama de fora do corpo suspenso.

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    A reao T1 uma fora para baixo,T1, exercida sobre a corda pelo corpo suspenso:T1 = T1 (Terceira lei).

    T1 mostrada em (c), o diagrama de fora da corda. As outras foras aplicadas cordaso seu peso W2 e T2, dirigida, para cima, exercida, em sua extremidade superior, pelo teto.Como a corda est em equilbrio:

    FY = W2 - T2 - T1 = 0 T2 = W2 + T1 (Primeira lei)

    A reao T2 a fora para baixoT2, em (d), exercida sobre o teto pela corda:T2 = T2 (Terceira lei)

    Exemplo numrico: O corpo pesa 100N e a corda 5N.Ento,

    T1 = W1 = 100 N

    T1 = T1 = 100 N T2 = W2 + T1 = 5 N + 100 N = 105 N, T2 = T2 = 105 N.

    Se o peso da corda for desprezvel, nenhuma fora atuar nela, a no ser naextremidade.T2 e T2 sero ento iguais a 100 N e, como j explicado, a corda transmitir umafora de 100 N de uma extremidade a outra, sem modific-la. Podemos ento considerar afora para cima, da corda sobre o bloco, como uma "ao" e a para baixo, sob o teto, como"reao".

    A fora na corda ser ento de 100 N.

    Exemplo 2Na figura a seguir (a) um bloco de peso w est pendurado de uma corda, amarrada emO a duas outras cordas presas no teto. Determinar as foras nas 3 cordas, que tm pesosdesprezveis.

    A fim de usar as condies de equilbrio para calcular uma fora desconhecida, devemosconsiderar um corpo em equilbrio e no qual atua a fora desejada. O corpo pendurado podeser escolhido e, como mostrado no exemplo anterior, a tenso na corda vertical igual ao pesodo corpo. As cordas inclinadas no exercem foras sobre o bloco, mas atuam sobre o n. Daiconsideraremos o n como uma partcula em equilbrio, com peso desprezvel.

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    Os diagramas de fora para o bloco e o n so mostrados na figura (b), ondeT1, T2 e T3 representam as foras exercidas sobre o n pelas trs cordas, eT1, T2 e T3 so asrespectivas reaes.

    Consideremos primeiro o corpo pendurado, em equilbrio:T1= w (Primeira lei). T1e T1 so ao e reao:T1 = T1 (Terceira lei)

    Da:T1 = w

    Para encontrar T2 e T3, veja figura a seguir, decomposta em componentes retangulares.Da primeira lei de Newton,

    FX = T2 cos 2 - T3 cos 3 = O, FY = T2 sen 2 - T3 sen 3 - T1 = O.

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    Exemplo numrico: w = 250 N, 2 = 30 e 3 = 60.

    EntoT1 = 250 N e das duas equaes precedentes,T2 = 125 N, T3= 216 N.

    Finalmente, pela terceira lei de Newton, as cordas inclinadas exercem sobre o teto asforas T2 e T3, iguais e opostas a T2 e T3, respectivamente.

    Momento de uma foraO efeito produzido em um corpo por uma fora de intensidade, direo e sentido dados

    depende da posio de sua linha de ao. Assim, na figura a seguir, alm da translao para adireita, as forasF1 e F2 produziriam rotaes de sentidos contrrios.

    A linha de ao de uma fora pode ser especificada dando-se a distncia perpendicularda linha de ao a um ponto de referncia.

    Estudaremos vrios exemplos de movimento de corpos que giram livremente em tornode um eixo, e aos quais se aplicam foras coplanares, situadas em um plano perpendicular aoeixo. Neste caso conveniente escolher como ponto de referncia a interseo do eixo com oplano dos foras. A distncia perpendicular desse ponto linha de ao de uma fora chamada brao da fora ou brao do momento da fora em torno do eixo. O produto daintensidade de uma fora pelo seu respectivo brao chama-semomento da fora em relaoao eixo ou torque .

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    A figura a vista de cima de um objeto plano que gira em torno de um eixo perpendicularao plano do diagrama, passando pelo ponto O. Aplicados ao corpo,F1 e F2 esto nesse plano.O brao do momento deF1 a distncia perpendicular OA, de comprimento l1, e o brao domomento deF2 a distncia perpendicular OB, de comprimento I2.

    F1 produz uma rotao de sentido contrrio ao do movimento dos ponteiros do relgio(ou seja, uma rotao no sentido anti-horrio, ou rotao anti-horria), enquantoF2 produz umarotao no sentido do movimento dos ponteiros (ou seja, uma rotao no sentido horrio, ourotao horria). Para distinguir esses sentidos de rotao, adotaremos a conveno de que osmomentos de fora no sentido contrrio ao dos ponteiros de um relgio (momentos de foraque tendero a girar o corpo no sentido anti-horrio) seropositivos e os momentos de forano sentido dos ponteiros de um relgio (momentos de fora que tendero a girar o corpo nosentido horrio) seronegativos . Assim, o momento de fora M1, da fora F1, em relao aoeixo que passa por O, :

    M1 = F1 . l1

    E o momento de fora M2, da foraF2 :M2 = F2 . l2

    Se as foras so expressas em newtons (N) e os comprimentos em metros (m), osmomentos de fora so expressos em N.m.

    A segunda condio de equilbrioJ vimos que quando um corpo atuado por varias foras coplanares, estas podem ser

    sempre reduzidas a duas. Se o corpo est em equilbrio, essas foras devem:a) ter mesma intensidade, mesma direo e sentidos opostos e,b) ter a mesma linha de ao.

    A condio (a) satisfeita pela primeira condio de equilbrio, FX = 0 e FY = 0

    O requisito (b),segunda condio de equilbrio , somente pode ser expresso em termosdos momentos das foras. A figura a seguir mostra novamente um objeto plano sujeito a duasforas F1 e F2.

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    Se o objeto est em equilbrio, as intensidades de ambos so iguais e tm a mesmalinha de ao. Portanto, elas tm o mesmo brao de torque OA, de comprimento l em relao aum eixo perpendicular ao plano do objeto e passando atravs de um ponto arbitrrio O. Seusmomentos de fora em relao ao eixo so, assim, iguais emmdulo e de sinais opostos ,sendo a soma algbrica resultantenula. Portanto, a condio necessria e suficiente para queduas foras iguais e opostas, situadas no mesmo plano, tenham mesma linha de ao que asoma algbrica de seus momentos, em relao a um eixo qualquer, seja nula.

    Assim, a segunda condio de equilbrio poder ser expressa analiticamente como: M = 0 (em relao a qualquer eixo)

    No necessrio reduzir primeiramente o conjunto de foras coplanares a duas, paracalcular a soma de seus momentos. Basta calcular o momento de fora de cada umaseparadamente e ento som-los algebricamente.

    Se um corpo est em equilbrio sob a ao de um nmero qualquer de forascoplanares, a soma algbrica dos momentos de fora em relao a um eixo arbitrrio zero.

    Exemplo 1Uma barra rgida de peso desprezvel articulada no ponto O e sustenta um corpo de

    peso w1 na extremidade A. Determine um segundo peso W2 a ser preso na extremidade B paraque a barra fique em equilbrio. Determine tambm a fora exercida no barra pela articulaoO.

    A figura ao lado o diagrama de foras da barra.

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    As foras T1 e T2 so, respectivamente, w1 e w2. As condies de equilbrio, tomando osmomentos de fora em relao ao eixo que passa por O, perpendicular ao diagrama, fornecem:

    FY = P - T1 - T2 = 0 (primeira condio), M = T1 . l1 - T2 . l2 = 0 (segunda condio).

    Aplicao numrica: sejam l1 = 0,9m, l2 = 1,2m e w1 = 20 N. Ento das equaes acima,P = 35 N e T2 = w2 = 15N.

    Observaes:1. Para ilustrar que o momento de fora em relao a qualquer eixo nulo, vamos

    calcular o momento de fora resultante com relao ao eixo passando pelo ponto A: M = P . l1 - T2 . (l1 + l2) = 35 x 0,9 - 15 x 2,1 = 0

    2. O ponto em relao ao qual se calculam os momentos de fora, no necessita estarsobre a barra.

    Exemplo 2A figura representa uma escada homognea de 6,0 m de comprimento pesando 400 N,

    est em equilbrio apoiada em uma parede vertical sem atrito, fazendo um ngulo de 53 com ahorizontal. Encontrar a intensidade e a direo dos forasF1 e F2.

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    Como a parede sem atrito,F1 horizontal. A direo deF2 no conhecida (exceto emcasos especiais, sua direo no coincide com a escada). Em vez de considerar incgnitas aintensidade e direo, mais fcil decomporF2 segundo os eixos x e y, e determin-las. Entoa intensidade, direo e sentido deF2 podem ser determinados.

    Da primeira condio de equilbrio temos:FX = F2 . cos - F1 = 0

    (Primeira condio)FY = F2 sen - 400 = 0

    Usemos a segunda condio com os momentos calculados em relao a um eixopassando por um ponto qualquer. A equao resultante ser mais simples se escolhermos umponto no qual passam duas ou mais foras, pois, nesse caso, elas no aparecero (as suaslinhas de ao passam pelo ponto considerado, assim a distancia nula!). Calculemos osmomentos, ento, em relao a um eixo passando por A.

    M = F1 . 4,8- 400 . 1,8 = 0 (segunda condio),

    F1 = 720 / 4,8 = 150 N Das duas equaes da primeira condio, temos

    F2 . sen = 400 e F 2 . cos = 150, que nos do:

    E = arc tg (400/150) = 6930.

    Resultantes de foras paralelasA resultante de um conjunto de foras paralelas tem a direo destas, e a intensidade

    a soma algbrica dos seus mdulos. A linha de ao da resultante pode ser encontrada pelacondio de que o momento de fora resultante, em relao a qualquer eixo, seja igual somados momentos das foras dadas.

    Consideremos as foras paralelasF1 e F2, da figura a seguir. O ponto O arbitrrio e oeixo x ortogonal s foras.

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    ComoF1 e F2 no tm componentes x, a intensidade da resultante vale:R =FY = F1 + F2

    Se x1 e x2 so as distncias perpendiculares de O s linhas de ao das foras, seumomento de fora resultante em relao a um eixo passando por O se escreve:

    M = x1 . F1 + x2 . F2

    Representando por a distncia de O linha de ao da resultante, o momento defora dado por:

    E como igual ao momento de fora resultante, vem:

    Assim,

    De modo que a intensidade, direo, sentido e linha de ao da resultante estodeterminados.

    A resultante de um nmero qualquer de foras paralelas calculada da mesma maneira,e sua intensidade : R =F

    Se as foras so paralelas ao eixo dos y, a coordenada da linha de ao dada por:

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    CAPITULO 4

    Conceito de Tenso

    Neste captulo vamos introduzir o conceito de tenso, particularmente til para oestudo em Resistncia dos Materiais e em Elementos de Mquinas. Os conceitos decoeficiente de segurana e tenses admissveis tambm so abordados neste captulo. aoportunidade para que o aluno fundamente seus conceitos.

    A mecnica dos materiais tem por objetivo principal fornecer ao engenheiro os meiosque lhe possibilitem analisar e projetar mquinas e estruturas.

    Considerando a estrutura da figura, que consiste das barras AB e BC, nos propomos averificar se essa estrutura pode suportar com segurana a carga de 30 kN, aplicada no ponto B.

    Do nosso conhecimento de esttica, deduzimos que as barras AB e BC esto sob aao de duas foras, iguais e de sentido contrrio, atuando na direo do eixo da barra,aplicadas em cada uma de suas extremidades: FAB e FAB' de mdulos FABe FAB' e FBc e FBc' de mdulos FBC e FBC', conforme representado na figura a seguir.

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    Desenhando o diagrama de corpo livre do pinoB, compondo as foras atuantes nopolgono de foras da figura,

    Podemos escrever, da semelhana de tringulos:

    FAB FBc 30 4 5 3

    Obtm-se ento,FAB =40 Kn e FBc= 50 kN

    Cortando a barra BC, por uma seo transversal, em um ponto arbitrrio D, obtemosduas partes BC e CD.

    Para que estas duas partes permaneam em equilbrio, necessrio aplicar em cadauma delas uma fora de 50 kN no ponto D. Conclumos tambm que BC est sob efeito detrao.

    Da mesma maneira, podemos ver que a fora na barra AB de 40 kN, e que essa barraest sob efeito de compresso.

    Os resultados obtidos representam o primeiro passo na anlise da estrutura, mas no

    nos levam concluso de que a carga pode ser suportada com segurana.

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    O fato de a barra BC, por exemplo, suportar a fora interna que lhe aplicada, ou sequebrar sob a ao dessa fora, no depende s do valor encontrado para o esforo interno,mas tambm da rea da seo transversal da barra e do material com que ela foi construda.Na verdade, a fora interna Fgc realmente representa a resultante de foras elementares quese encontram distribudas em toda a rea da seo transversal da barra BC.

    A intensidade dessas foras distribudas igual fora por unidade de rea, FBc/A, naseo transversal. O fato de a barra BC se quebrar ou no sob a ao da fora FBC, depende,ento, da capacidade do material resistir intensidade das foras distribudas. Em suma, aruptura da barra depende da fora Fgc, da rea da seo transversal e das caractersticas domaterial que a constitui.

    A fora por unidade de rea ou a intensidade das foras distribudas numa certa seotransversal chamada tenso atuante, nessa seo, e indicada pela letra grega a (sigma). Atenso em uma barra de seo transversal A, sujeita a uma fora axial P, figura a seguir (a), ento obtida dividindo-se o mdulo da fora (P) pela rea da seo transversal (A):

    Para indicar a tenso de trao(barras tracionadas) ser usado o sinal positivo. O sinalnegativo indicar tenso de compresso(barras comprimidas).

    No Sistema Internacional, P expressa em newtons (N), A em metros quadrados (m). Atenso a ser expressa em N/m, unidade que denominada pascal (Pa). Para uso prtico, noentanto, o pascal se revela uma medida muito pequena (as grandezas expressas em pascaltornam-se nmeros muito grandes). Usam-se, ento, mltiplos dessa unidade, que so oquilopascal (kPa), o megapascal (MPa) e o gigapascal (GPa).

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    1 kPa = 103 Pa = 103 N/m1 MPa = 106 Pa = 106 N/m1 GPa = 109 Pa = 109 N/m

    Voltando ao estudo da barra BC, vamos imaginar que constituda de ao e possui umdimetro de 20mm. Temos ento:

    P= FBc = 50 kN= 50 x 10NA = 7. r 2 = .(20/2)2= .(10x 10 -3)2 = 314 x 10-6 m

    O valor de , obtido acima, deve ser comparado com o mximo valor de tenso quepode ser aplicado com segurana ao ao. Dessa comparao se deduzir se a barra BCpode ser usada para suportar a carga de 30 kN. Atravs de tabelas de propriedades demateriais, descobrimos que a tenso mxima admissvel para o ao utilizado adm 165 MPa.Como o valor da tenso calculado menor queadm, conclumos que a barra BC pode suportarcom segurana a carga aplicada. Para completar a anlise da estrutura, devem ser estudadasainda a tenso de compresso na barra AB e as tenses provocadas nos pinos e nos suportesda estrutura, o que ser feito mais adiante.

    As funes do tcnico no se limitam anlise de estruturas ou mquinas jexistentes, que devem suportar determinados carregamentos; de maior importncia o projetode novas mquinas e estruturas, quer dizer, a escolha dos componentes estruturais adequadospara as solicitaes que se prevem. Vamos, por exemplo, imaginar que na estrutura da figura,a barra BC deve ser de alumnio.

    Qual deve ser o dimetro da barra, para suportar com segurana a carga aplicada?Primeiramente, voltando tabela de propriedades dos materiais, encontramos, para o

    alumnio a ser usado, o valor da tenso admissvel igual aadm = 100 MPa. Sabemos que afora na barra P = FBc = + 50 kN, pois no houve mudana de carregamento.

    Da equao adm = P/A, obtemos:

    E como A= r

    Sendo d= 2r =25,2mmConclumos ento que uma barra de alumnio de 26 mm de dimetro ser adequada

    para a pea BC.

    Foras Axiais; Tenses NormaisComo j foi dito anteriormente, as foras FBc e FBc' , que atuam na barra BC do

    exemplo considerado, tm a direo do eixo da barra. Dizemos ento que a barra est sob aao de foras axiais. A seo transversal que passamos pelo ponto D, para a determinaodas foras internas e das tenses, era perpendicular ao eixo da barra; as foras internasficaram assim perpendiculares (normais) ao plano da seo transversal e as correspondentestenses so chamadas de tenses normais, Assim, a equao a seguir fornece atensonormal em uma barra sob a ao de fora axial:

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    Devemos notar tambm que, nessa equao, a obtida dividindo-se a intensidade P daresultante das foras internas que atuam na seo transversal pela rea A dessa seo; essarelao, no entanto, representa ovalor mdio das tenses na seo transversal, e no o valorespecifico da tenso em um determinado ponto da seo transversal.

    Para definir a tenso em um dado ponto Q da seo transversal, devemos consideraruma pequena rea A como ilustrado na figura a seguir:

    Dividindo-se a intensidade de F por A, obtm -se o valor mdio da tenso em A.Fazendo ento A tender a zero, obtm-se a tenso no ponto Q:

    De modo geral, o valor obtido para a tenso no ponto Q diferente do valor da tensomdia dado pela primeira equao, e notamos que varia ao longo da seo transversal. Emuma barra delgada, sujeita a foras concentradas iguais e de sentidos opostos, P e P', veja afigura a seguir (a), esta variao pequena nas sees distantes do ponto de aplicaodas foras (figura c); porm, ela aprecivel nas imediaes deste ponto (figura b e d).

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    Deduz-se que a intensidade da resultante das foras internas distribudas :

    As condies de equilbrio de cada uma das partes da barra, mostradas na figuraanterior, exigem que a intensidade da resultante se iguale ao valor P das cargas aplicadas.Assim, temos:

    Essa expresso mostra que o volume limitado pelas superfcies que se formam em cadadistribuio de tenses da figura deve ser igual intensidade P das foras aplicadas. Essa ,ento, a nica informao acerca da distribuio de tenses nas vrias sees da barra, que aesttica pode nos fornecer.

    A distribuio real de tenses em uma certa seo transversal estaticamenteindeterminada.Para conhecermos qualquer dado a mais sobre essa distribuio, precisamos lanar

    mo da considerao das deformaes que resultam das diferentes maneiras de se aplicar acarga nos extremos da barra.

    Na prtica, vamos assumir que a distribuio das tenses uniforme em uma barracarregada axialmente, com exceo das sees nas vizinhanas do ponto de aplicao dacarga. O valor a da tenso adotado igual ao valor da tenso mdia md, e pode ser calculadopela equao:

    Devemos compreender, no entanto, que quando assumimos uma distribuio uniformede tenses, isto , quando adotamos que as foras internas esto uniformemente distribudasao longo da seo, segue-se da esttica elementar que a resultante P das foras internas estaplicada no baricentro da seo transversal, conforme ilustrado na figura a seguir.

    Ento, uma distribuio uniforme de tenses s possvel se a linha de ao dasforas aplicadas P e P' passar pelo baricentro da seo considerada.

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    Este tipo de carregamento chamado de carga centrada e ser adotado comocarregamento atuante em todas as barras de eixo reto das trelias e estruturas reticuladas(estruturas cujas barras so conectadas por pinos), como aquela da figura apresentada noincio deste estudo. No entanto, se uma barra carregada axialmente, mas excentricamentecomo mostra a prxima figura em (a), as condies de equilbrio de uma parte da barra (figurab) nos levam a concluir que as foras internas em uma certa seo transversal devem serequivalentes fora P aplicada no baricentro dessa seo, e um conjugado M, de intensidadedada pelo momento M = P. d.

    A distribuio de tenses, ento, no pode ser uniforme, ou simtrica, comoanteriormente apresentado.

    Tenses de Cisalhamento. As foras internas e correspondentes tenses, que foramdiscutidas nos itens anteriores, eram normais seo transversal. Quando duas foras P e P'so aplicadas a uma barra AB, na direo transversal barra (como ilustrado a figura a seguir),ocorre um tipo de tenso muito diferente.

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    Se passarmos uma seo transversal pelo ponto C, entre os pontos de aplicao dasforas (figura a), podemos desenhar o diagrama da parte AC (figura b), e concluirmos quedevem existir foras internas na seo transversal, e que sua resultante deve igualar a P.

    Essa resultante, de intensidade P, chamada de fora cortante na seo. Aodividirmos a fora cortante P pela rea da seo transversal A, obtemos a tenso mdia decisalhamento na seo. A tenso de cisalhamento indicada com a letra grega (tau).

    Podemos escrever ento:

    Devemos frisar bem que o valor obtido nesta equao um valor mdio das tenses decisalhamento. E, contrariamente ao que dissemos para as tenses normais, a distribuio detenses de cisalhamento na seo transversal no pode ser assumida como uniforme.

    O valor real da tenso de cisalhamento varia da superfcie para o interior da pea, ondepode atingir valores bem superiores a md.

    A tenso de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam asdiversas partes das mquinas e estruturas. Consideremos na figura a seguir as duas chapas Ae B, ligadas pelo rebite CD.

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    Ao aplicarmos s chapas as foras de trao de intensidade F, aparecero tenses naseo de rebite que corresponde ao plano EE'.

    Desenhando os diagramas de rebite e da parte deste que fica acima do plano EE' (figuraanterior a e b), conclumos que a fora cortante P na seo igual a F. A tenso decisalhamento mdia na seo obtida dividindo-se P = F pela rea da seo transversal A,assim:

    Nas condies descritas, dizemos que o rebite est sujeito acorte simples.Podem surgir outras situaes de carregamento. Por exemplo, se as chapas de ligaoC e D so usadas para conectar as chapas A e B (conforme ilustrado na figura a seguir), orebite HJ poder ser cortado nos planos KK' e LL' (do mesmo modo essa situao ocorre parao rebite EG).

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    Nesse caso, os rebites se dizem sujeitos corte duplo.Para determinarmos a tenso mdia de cisalhamento em cada plano, desenhamos os

    diagramas do rebite HJ e da poro entre os planos KK' e LL' (figura a seguir).

    A fora cortante P em cada uma das sees P = F/2, e a tenso mdia decisalhamento vale:

    Tenses de esmagamentoOs parafusos, pinos e rebites provocam tenses de esmagamento nas barras que

    esto ligando, ao longo da superfcie de contato. Tomemos como exemplo,novamente, as chapas A e B ligadas pelo rebite CD discutidas no item anterior. O rebite

    exerce na placa A uma fora P igual e de sentido contrrio fora F, aplicada sobre o rebitepela placa. A fora P representa a resultante das foras elementares que se distribuem aolongo da superfcie interna do semicilindro de dimetro d e comprimento t, igual espessura dachapa. A distribuio das tenses ao longo dessa superfcie cilndrica de difcil obteno e,na prtica, se utiliza um valor nominal mdio para a tenso. A esse valor nominald-se o nome de tenso de esmagamento esm. Obtm-se esm, dividindo-se a fora Ppela rea do retngulo que representa a projeo do rebite sobre a seo da chapa.

    Essa rea igual a t.d, onde t a espessura da chapa, edo dimetro do rebite.Temos:

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    Aplicaes na anlise de estruturas simplesEstamos agora em condies de determinar as tenses atuantes nos membros e

    ligaes de algumas estruturas simples bidimensionais.

    a) Determinao das tenses normais nas barras com fora axial:O primeiro passo consiste na determinao da fora em cada uma das barras. No casoda estrutura estudada, isto pode ser feito pelas consideraes de equilbrio de apenas umponto, ou n.

    Em problemas mais complexos, necessrio considerar, inicialmente, o diagrama decorpo livre da estrutura toda, determinando as reaes nos apoios atravs das trs equaesde equilbrio para um corpo rgido:

    Fx=0 Fy=0 mA= o

    Onde A um ponto qualquer do plano que contm a estrutura. As foras atuantes nasbarras podem ento ser determinadas, analisando-se as condies de equilbrio de cada n.Em alguns casos, pode ser vantajoso desenhar o diagrama de corpo livre de uma parte daestrutura, estudando as equaes de equilbrio para essa parte. Se as barras da estruturaestiverem sob ao de vrias foras, as equaes podem ser desenvolvidas para cada barra.

    Como vimos, para uma barra sujeita ao de uma fora centra* a tenso normal apode ser obtida do quociente entre a fora P e a rea A da seo transversal da barra. Quandoa seo transversal varivel ao longo da barra, a maior tenso ocorre na seo transversal demenor rea.

    Tomando como exemplo a estrutura da figura, vamos especificar que a barra circular BC,de 20 mm de dimetro, tem extremidades achatadas, com seo transversal retangular de 20 por40 mm. Especifiquemos, tambm para a barra B, uma seo transversal retangular, constanteao longo da barra, de 30 mm por 50 mm. Na extremidade B, a barra AB divide-se em duaspartes, permitindo o encaixe da barra BC. As duas barras se ligam em B, por intermdio de umpino, de onde fica suspensa a carga de 30 kN. No ponto A, um pino liga a barra AB ao apoio,que consiste em um encaixe entre duas chapas. No ponto C, um pino liga a barra BC aoapoio, que consiste em uma placa nica. Os pinos tm 25 mm de dimetro. A figura a seguirilustra essa estrutura.

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    J calculamos a fora atuante na barra BC, FBc = 50kN, que levou a um valor para a

    rea da seo transversal A = 314 x 10-6

    m2

    , que corresponde tenso admissvelBC = 159MPa.No entanto, as extremidades achatadas da barra tambm esto sob tenso. tomarmos a

    menor seo transversal, no ponto onde a barra furada para a passagem do pino, temos:A = (20 mm) . (40 mm -25 mm) = 300 x 10-6 m2

    O valor mdio da tenso nesse ponto :

    Este um valor mdio; prximo ao furo o valor da tenso bem maior. Fica claro que,sob a ao de uma carga crescente, a barra vai se romper num ponto prximo a um dos furos,e no na parte cilndrica. No seu projeto, ento, deve-se providenciar uma majorao da alturaou da espessura da parte achatada.

    Voltando nossa ateno, agora, para a barra AB, sabemos que ela est sendocomprimida pela ao da fora FAB = 40 kN. Como a rea da seo transversal da barra A =30 mm x 50 mm =1,5 x 10-3 m2, o valor da tenso mdia, na parte principal da barra, entre ospontos A e B :

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    Devemos notar que as sees transversais de menor rea, em A e B, no esto sujeitasa nenhuma tenso urna vez que a barra est comprimida e, portanto, empurra os pinos (aoinvs de puxar os pinos, como faz a barra BC).

    b) Determinao das tenses de cisalhamento nas ligaes:Para a determinao da tenso de cisalhamento em um conector, como parafuso, pinoou rebite, devemos especificar claramente as foras que so aplicadas pelas vrias peasligadas por ele. Assim, no caso do pino C de nosso exemplo (figura a seguir em a),desenhamos o diagrama (em b) que mostra a fora de 50 kN aplicada ao pino pela barra BC, ea fora igual e oposta, aplicada pela chapa de ligao. Se desenharmos agora o diagrama daparte do pino abaixo do plano DD', vemos que a fora cortante nesse plano P = 50 kN.

    A rea da seo transversal do pino :

    E calculamos a tenso mdia de cisalhamento nesta seo, que :

    Vamos considerar agora o pino A. A figura mostra que ele se encontra sujeito a corteduplo.

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    Desenhamos os diagramas do pino e da poro dele situada entre os planos DD' e EE',onde ocorre o corte. Nesse caso conclumos, sendo P=20kN, que:

    Devemos ainda analisar o pino no ponto B. Na figura a seguir em a, vemos que o pinopode ser dividido em cinco pores pelas foras exercidas pelas barras BC, AB (que sedividem em duas partes) e pela chapa dobrada que suspende a carga aplicada.

    Considerando sucessivamente as partes DE e DG (figura b e c), conclumos que a foracortante em E PE = 15 kN, e a fora cortante em G PG = 25 kN.

    O carregamento do pino simtrico, donde afirmamos que a maior fora cortante PG =25 kN. Com esse valor, calculamos a maior tenso de cisalhamento no pino, que :

    c) Determinao das tenses de esmagamento:Para a determinao da tenso nominal de esmagamento no ponto A da barra AB,

    utilizamos a equao:

    A figura fornece os valores t = 30 mm e d = 25 mm. Como P = F= 40 kN, temos:

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    Para calcularmos a tenso de esmagamento nas chapas de ligao, usamost=2.(25mm)= 50 mm e d = 25 mm.

    As tenses de esmagamento nos pontos B e C, para as barras AB e BC, so calculadasde maneira idntica.

    Tenses admissveis e tenses ltimas; coeficiente de segurana. J vimos comocalcular tenses em barras e pinos submetidos a condies simples de carregamento. Noentanto, dentro das aplicaes da engenharia, a determinao de tenses no o objetivofinal, mas um passo necessrio no desenvolvimento de dois dos mais importantes estudos:

    A anlise de estruturas e mquinas existentes, com o objetivo de prever seucomportamento sob condies de carga especificadas;

    O projeto de novas mquinas e estruturas, que devero cumprir determinadas funesde maneira segura e econmica.Para encaminhar qualquer dos dois estudos acima, precisamos saber como o material a serusado vai atuar sob condies conhecidas de carregamentos. Para cada material, isso podeser determinado realizando testes especficos em amostras preparadas do material. Porexemplo, podemos preparar um corpo de prova de ao e lev-lo a uma mquina de testes emlaboratrio, onde ele ser submetido a uma carga axial de trao. Enquanto fazemos a foraaplicada aumentar progressivamente de intensidade, podemos medir vrias modificaes porque passa o corpo de prova, como, por exemplo, alteraes no comprimento e no dimetro.

    Em certo instante, a mxima fora que pode ser aplicada ao corpo de prova atingida ea amostra se quebra, ou comea a perder resistncia, suportando foras menores. Essa foramxima chamada de carregamento ltimo, ou carga de ruptura dessa amostra, e designadapelo smbolo FR.

    Como a fora aplicada centrada, podemos dividir a carga de ruptura pela rea daseo transversal da barra, para obter a tenso normal ltima, ou tenso de ruptura do materialem estudo. Esta tenso, tambm conhecida como tenso de ruptura trao, tem valor:

    Muitos procedimentos para testes so usados na determinao da tenso de ruptura acisalhamento de um material.

    Uma pea estrutural ou componente de mquina deve ser projetada de tal forma que acarga de ruptura seja consideravelmente maior que o carregamento que essa pea ouelemento iro suportar em condies normais de utilizao. Esse carregamento menor chamado de carregamento admissvel e, algumas vezes, carga de utilizao e carga de projeto.Ento, quando se aplica a carga admissvel, apenas uma parte da capacidade de resistnciado material est sendo utilizada; a outra parte reservada para assegurar ao material

    condies de utilizao segura. A relao entre o carregamento ltimo, ou de ruptura, e ocarregamento admissvel chamadacoeficiente de segurana (s ou CS). Temos, ento:

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    Carga de ruptura Coeficiente de Segurana =

    Em muitas aplicaes existe uma correspondncia linear entre carga aplicada e tensoprovocada pela carga. Nesse caso o coeficiente de segurana pode ser expresso por:

    Coeficiente de Segurana =

    A determinao do valor a ser adotado para o coeficiente de segurana, nas muitasaplicaes possveis, um dos mais importantes problemas da engenharia. Por um lado aescolha de um coeficiente de segurana baixo pode levar a uma possibilidade de ruptura daestrutura muito alta; por outro lado, um coeficiente de segurana muito alto leva a projetos

    antieconmicos ou pouco funcionais.A escolha do coeficiente de segurana adequado para as diferentes aplicaes prticasrequer uma anlise cuidadosa, que leve em considerao muitos fatores, como os que seseguem:

    1- Modificaes que ocorrem nas propriedades do material. A composio, resistnciae dimenses dos materiais esto sujeitas a pequenas variaes durante a fabricao daspeas. Alm disso, as propriedades do material podem ficar alteradas, e podem ocorrertenses residuais, devido a deformaes e variao de temperatura a que o material sesujeita no transporte, armazenamento ou na prpria execuo da estrutura.

    2- O nmero de vezes em que a carga aplicada durante a vida da estrutura oumquina. Para a maior parte dos materiais, a aplicao do carregamento, repetida muitasvezes, leva a um decrscimo no valor da tenso ltima. Este fenmeno chamado de fadigado material e, se no for levado em conta, poder ocorrer uma ruptura brusca.

    3- O tipo de carregamento para o qual se projeta, ou que poder atuar futuramente.A maior parte dos carregamentos adotados em projeto so estimados, pois so poucasas vezes em que um carregamento pode ser previsto com preciso. Ocorre tambm apossibilidade de alteraes futuras na finalidade da mquina ou estrutura que est sendoprojetada, como modificaes nos valores previstos por ocasio do projeto. Cargasdinmicas, cclicas e instantneas (choque) exigem altos valores de coeficientes desegurana.

    4- O modo de ruptura que pode ocorrer. Materiais frgeis apresentam ruptura repentina,sem nenhuma indicao de que o colapso iminente. J os materiais dcteis, como o aoestrutural, apresentam grande deformao, chamadaescoamento, antes de atingir a ruptura, eesse comportamento do material fornece um aviso de que est ocorrendo carregamentoexcessivo. A ruptura ocasionada por perda de estabilidade da estrutura geralmenterepentina, seja o material frgil ou no. Quando existe a possibilidade de ruptura repentina, ovalor a se adotar para o coeficiente de segurana deve ser maior do que no caso de rupturacom aviso.

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    BIBLIOGRAFIA

    CEPEP. Seleo e Resistncia dos Materiais. Fortaleza, [S.d.].

    CEPEP. Elementos de Mquinas e Lubrificao. Fortaleza, [S.d.].

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    Hino do Estado do Cear

    Poesia de Thomaz LopesMsica de Alberto NepomucenoTerra do sol, do amor, terra da luz!Soa o clarim que tua glria conta!Terra, o teu nome a fama aos cus remontaEm claro que seduz!Nome que brilha esplndido luzeiroNos fulvos braos de ouro do cruzeiro!

    Mudem-se em flor as pedras dos caminhos!Chuvas de prata rolem das estrelas...E despertando, deslumbrada, ao v-lasRessoa a voz dos ninhos...H de florar nas rosas e nos cravosRubros o sangue ardente dos escravos.Seja teu verbo a voz do corao,Verbo de paz e amor do Sul ao Norte!Ruja teu peito em luta contra a morte, Acordando a amplido.Peito que deu alvio a quem sofriaE foi o sol iluminando o dia!

    Tua jangada afoita enfune o pano!Vento feliz conduza a vela ousada!Que importa que no seu barco seja um nadaNa vastido do oceano,Se proa vo heris e marinheirosE vo no peito coraes guerreiros?

    Se, ns te amamos, em aventuras e mgoas!Porque esse cho que embebe a gua dos riosH de florar em meses, nos estios

    E bosques, pelas guas!Selvas e rios, serras e florestasBrotem no solo em rumorosas festas! Abra-se ao vento o teu pendo natalSobre as revoltas guas dos teus mares!E desfraldado diga aos cus e aos mares A vitria imortal!Que foi de sangue, em guerras leais e francas,E foi na paz da cor das hstias brancas!

    Hino Nacional

    Ouviram do Ipiranga as margens plcidasDe um povo herico o brado retumbante,E o sol da liberdade, em raios flgidos,Brilhou no cu da ptria nesse instante.

    Se o penhor dessa igualdadeConseguimos conquistar com brao forte,Em teu seio, liberdade,Desafia o nosso peito a prpria morte!

    Ptria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

    Brasil, um sonho intenso, um raio vvidoDe amor e de esperana terra desce,Se em teu formoso cu, risonho e lmpido, A imagem do Cruzeiro resplandece.

    Gigante pela prpria natureza,s belo, s forte, impvido colosso,E o teu futuro espelha essa grandeza.

    Terra adorada,Entre outras mil,s tu, Brasil, Ptria amada!Dos filhos deste solo s me gentil,Ptria amada,Brasil!

    Deitado eternamente em bero esplndido,

    Ao som do mar e luz do cu profundo,Fulguras, Brasil, floro da Amrica,Iluminado ao sol do Novo Mundo!

    Do que a terra, mais garrida,Teus risonhos, lindos campos tm mais flores;"Nossos bosques tm mais vida","Nossa vida" no teu seio "mais amores."

    Ptria amada,Idolatrada,Salve! Salve!

    Brasil, de amor eterno seja smboloO lbaro que ostentas estrelado,E diga o verde-louro dessa flmula- "Paz no futuro e glria no passado."

    Mas, se ergues da justia a clava forte,Vers que um filho teu no foge luta,Nem teme, quem te adora, a prpria morte.

    Terra adorada,Entre outras mil,s tu, Brasil, Ptria amada!Dos filhos deste solo s me gentil,Ptria amada, Brasil!

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