Resoluo e discusso de sistemas linearesEliminao gaussianaEliminao de Gauss-JordanSistemas homogneos

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Equaes linearesQualquer linha reta no plano xy pode ser representada algebricamente por uma equao:

Forma geral: defina uma a equao linear em n variveis :

Onde e b so constantes reais.As variveis so tambm chamadas incgnitas.

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Exemplos de equaes linearesAs equaes e

so lineares. Observe que uma equao linear no envolve produtos ou razes de variveis. Todas as variveis aparecem na primeira potncia e no aparecem como argumentos de funes trigonomtricas, logaritmicas ou exponenciais.As equaes

no so lineares.A soluo de uma equao linear e uma seqncia de n nmeros

Tal que a equao satisfeita. O conjunto de todas as solues da equao chamado conjunto soluo ou soluo geral da equao.

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Exemplo encontrando o conjunto soluoEncontre a soluo de

Soluo(a)

Podemos definir um valor arbitrrio para x e resolver para y, ou escolher um valor arbitrrio para y e resolver para x.

Os nmeros so chamados parmetros.Por exemplo:

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Exemplo encontrando o conjunto soluoEncontre a soluo de

Soluo(b)

Podemos atribuir valores arbitrrios para quaisquer duas variveis e resolver para a terceira:Por exemplo:

s, t so parmetros.

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Sistemas linearesUm conjunto finito de equaes lineares nas variveis

chamado sistema de equaes lineares ou sistema linear.Uma seqncia de nmeros satisfazendo todas as equaes uma soluo do sistema.

Um sistema que no tm solua dito inconsistente ou incompatvel; havendo pelo menos uma soluo o sistema consistente ou compatvel.

Um sistema arbitrrio com m equaes lineares em n incgnitas

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Sistemas linearesCada sistema linear tem infinitas solues, ou tem uma soluo ou no tem soluo.Para um sistema geral de duas equaes lineares em duas incgnitas:

Duas linhas podem ser paralelas -> sem soluoDuas linhas podem interceptar-se em um ponto

-> uma soluoDuas linhas podem coincidir

-> infinitas solues

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Matrizes aumentadas

Podemos abreviar a escrita de um sistema linear escrevendo somente um arranjo retangular de nmeros.Este arranjo chamado matriz aumentada para o sistema.Note que os nmeros devem ser escritos na mesma ordem que aparecem no sistema.

1ra coluna1ra linha

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Uso das operaes elementaresO mtodo bsico para resolver um sistema de equaes lineares substitui-lo por um novo sistema que tem o mesmo conjunto soluo mas que seja mais fcil de resolver.

J que as linhas de uma matriz aumentada correspondem a equaes no sistema associado, os novos sistemas so geralmente obtidos aplicando as nossas conhecidas operaes elementares.

1. Permutar duas equaes (E1). 2. Multipicar uma equao por uma constante no nula (E2). 3. Adicionar um mltiplo de uma equao a outra equao (E3).

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Mais um exemploSistema linear original

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Mais um exemplo

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Mais um exemplo

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Mais um exemplo A soluo x=1,y=2,z=3 agora evidente.

Sistema linear final

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Eliminao gaussiana

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Formas escalonadasUma matriz com as seguintes propriedades dita matriz na forma escalonada reduzida (forma escada reduzida).

1. Se uma linha no for nula, ento o primeiro elemento no-nulo vale 1. Chama-se este elemento o piv ou lder. 2. Se h linhas nulas, estas se agrupam todas no final da matriz. 3. Em duas linhas sucessivas no-nulas, o piv da linha mais baixa aparece depois do da linha mais alta. 4. Cada coluna que contm um piv tem todos os demais elementos nulos.Uma matriz com as trs primeiras propriedades dita matriz escalonada (forma escada).Uma matriz escalonada reduzida necessariamente uma matriz escalonada, mas no o contrrio.

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Exemplo

Matrizes escalonadas reduzidas:

Matrizes escalonadas:

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Mais exemplosEstas matrizes so escalonadas :

Estas matrizes so escalonadas reduzidas:

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ExemplosSolues de quatro sistemas linearesSoluo (a) O sistema correspondente :Suponha que a matriz aumentada dos seguintes sistemas lineares tenham sido levadas forma escalonada reduzida. Resolva os sistemas.

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ExemplosSolues de quatro sistemas linearesSoluo (b) 1. O sistema correspondente :Variveis dependentesVarivel livre

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ExemplosSolues de quatro sistemas lineares

2. Vemos que a varivel livre pode receber um valor arbitrrio, digamos t, o qual determina as variveis dependentes.3. H infinitas solues para este sistema, dadas pelas frmulas:

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ExemplosSolues de quatro sistemas linearesSoluo (c) A quarta linha nula conduz a uma equao que no impe restries sobre as solues (porque?). Assim podemos omiti-la.

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ExemplosSolues de quatro sistemas linearesSoluo (c) Escrevendo as variveis dependentes em termos das variveis livres:

3. As variveis livres so associadas a parmetros e a soluo geral dada pelas frmulas:

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ExemplosSolues de quatro sistemas linearesSoluo (d): A ltima equao no sistema correspondente :

J que esta equao no pode ser satisfeita, no h soluo para este sistema.

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Mtodos de eliminaoVamos descrever um mtodo passo a passo para levar qualquer matriz a uma forma escalonada reduzida.

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Mtodos de eliminaoPasso 1. Localize a coluna mais esqueda que no consiste inteiramente de zeros.

Passo 2. Troque a linha de cima com outra para ter um elemento no-nulo no incio.

Coluna no-nula mais esquerda A 1ra e 2da linhas foram trocadas.

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Mtodos de eliminaoPasso 3. Se o elemento no incio agora a, multiplique toda a linha por 1/a, fazendo aparecer um piv.

Passo 4. Adicione mltiplos da linha de cima com as linhas de baixo para anular os elementos abaixo do piv.

A 1ra linha foi multiplicada por 1/2.-2 vezes a 1ra linha adicionada terceira linha.

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Mtodos de eliminaoPasso 5. Agora, deixe de lado a primeira linha e comece de novo com a submatriz que restou. Repita at que a matriz fique em forma escalonada.

A primeira linha da submatriz foi multiplicada por -1/2.Coluna no-nula mais esquerda da submatriz

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Mtodos de eliminaoPasso 5 (cont.)

-5 vezes a 1ra linha da submatriz adicionada com a 2da linha da submatriz.

Esquecemos a primeira linha da submatriz e retornamos ao passo 1. A primeira e nica linha da submatriz foi multiplicada por 2.

Linha no-nula mais esquerda da submatriz A ltima matriz em forma escalonada.

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Mtodos de eliminaoPasso 6. Comeando com a ltima linha no-nula e trabalhando regressivamente, adicione mltiplos apropriados de cada linha para anular os elementos acima dos pivs..

7/2 vezes the 3ra linha adicionado 2da linha.-6 vezes a 3ra linha adicionado a 1ra linha. A ltima matriz est na forma escalonada reduzida.

5 vezes a 2da linha adicionado a 1ra.

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Mtodos de eliminaoPasso 1~Passo 5: este processo para levar a matriz at a forma escalonada constitui a eliminao gaussiana.Passu 1~Passo 6: acrescentando o passo 6 obtemos uma matriz na forma escalonada reduzida. Este mtodo chamado eliminao de Gauss-Jordan.Cada matriz corresponde a uma nica forma escalonada reduzida , porm a forma escalonada (no reduzida) no nica.

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ExemploEliminao de Gauss-JordanResolva usando eliminao de Gauss-Jordan

Soluo:

A matriz aumentada correspondente:

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ExemploEliminao de Gauss-JordanAdicionando -2 vezes a 1ra linha 2da e 4ta linhas:

Multiplicando a 2da linha por -1 e ento adicionando -5 vezes a nova 2da linha 3ra linha e -4 vezes a nova 2da linha 4ta linha:

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ExemploEliminao de Gauss-JordanPermutando a 3ra e 4ta linhas e ento multiplicando a 3ra por 1/6 leva forma escalonada:

Adicionando -3 vezes a 3ra linha 2da linha e ento adicionando 2 vezes a 2da linha (resultante) 1ra linha conduz forma escalonada reduzida:

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ExemploEliminao de Gauss-JordanO sistema correspondente :

Soluo do sistema

As variveis dependentes escritas em termos das livres:

Associamos um parmetro a cada varivel livre e a soluo geral dada pelas frmulas:

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RetrosubstituioAlgumas vezes prefervel resolver um sistema usando uma eliminao gaussiana, sem completar a eliminao de Gauss-Jordan.Quando isso feito, o sistema correspondente pode ser resolvido usando uma tcnica chamada retro-substituo.

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Exemplo anterior resolvido usando retro-substituioDos clculos do exemplo anterior, temos a seguinte matriz escalonada:

O sistema correspondente :

Passo 1. Escreva as variveis dependentes em termos das livres:

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Exemplo anterior resolvido usando retro-substituioPasso 2. Comeando com a equao de baixo e trabalhando regressivamente, subsititua cada equao nas anteriores:Substituindo x6=1/3 na segunda equao:

Substituindo x3=-2 x4 na primeira equao

Passo 3. Associe parmetros s variveis livres. A soluo geral ser:

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Eliminao gaussianaResolva por eliminao gaussiana e retrosubstituio

SoluoConvertemos a matriz aumentada

para a forma escalonada

O sistema correspondente torna-se:

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Eliminao gaussianaSoluoDependentes em termos de livres:

Substituindo a equao de baixo nas de cima:

Substituindo a segunda na de cima:

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Sistemas lineares homogneosUm sistema linear de equaes dito homogneo se os termos constantes so nulos.Cada sistema linear homogneo consistente, j que tem necessariamente pelo menos a soluo trivial; se h outras solues, estas so chamadas solues no-triviais. S h duas possibilidades:O sistema tem somente a soluo trivial.O sistema tem infinitas solues.

Soluo trivial

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Sistemas lineares homogneosUm caso especial de um sistema linear homogneo com duas equaes e duas incgnitas:

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ExemploResolva o seguinte sistema usando eliminao de Gauss-Jordan.

Soluo A matriz aumentada

Forma escalonada reduzida

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ExemploSoluo (cont)Sistema correspondente:

Dependentes em termos de livres:

Soluo geral:

Observe que a soluo trivial corresponde a s=t=0.

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Aspectos adicionais

Dois pontos importantes:Na soluo de um sistema homogneo, nenhuma das operaes elementares afeta a coluna de zeros no final. Assim, o sistema correspondente forma escalonada ser tambm homogneo.Se o sistema homogneo tem m equaes em n incgnitas com m

Teorema Um sistema linear homogneo com mais incgnitas que equaes tem infinitas solues.

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Soluo por computadorAlgoritmos baseados nas eliminaes gaussiana e de Gauss-Jordan procuram aperfeioar trs aspectos:Reduzir erros de arredondamentoMinimizar o uso de memriaAcelerar a soluo.

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