Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

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Números e fuNções

Eliminando quadrados

Objetivos da unidadeEstudar um modelo discreto de função exponencial;1. Construir gráficos de funções exponenciais com os dados obtidos 2. no experimento.

Guia do professor

SinopseSobre uma mesa, lançamos quadradinhos de papel cujas faces possuem cores distintas (uma face pode ser verde e a outra marrom). Em seguida, retiramos todos aqueles que caírem sobre a mesa com a cor marrom vol­tada para cima. Repetimos o processo várias vezes até sobrar apenas um quadradinho. Com este experimento prático, construímos tabelas e gráficos que relacionam o número de jogadas e a quantidade restante de pedaços de papel.

ConteúdosRelações e Funções, Produto Cartesiano, Função Decrescente; �

Função Exponencial. �

ObjetivosEstudar um modelo discreto de função exponencial;1. Construir gráficos de funções exponenciais com os dados obtidos no 2. experimento.

DuraçãoUma aula simples.

Eliminando quadrados

As funções exponenciais são importantes em matemática e em suas apli-cações. Elas permitem interpretar o passado através de estimativas de tempo para fenômenos que ocorreram há milhões de anos, bem como prever o futuro com modelos de propagação de doenças, de crescimento logístico, de desintegração de materiais radioativos, de difusão de infor-mações sobre um dado produto etc.

Fenômenos que crescem ou decrescem muito rapidamente não são bem modelados por funções afim, quadráticas ou polinomiais. Esses fenômenos rápidos são mais bem modelados por funções exponenciais , cuja razão é constante se a diferença o for. Um exemplo é o decaimento do carbono-14, usado na arqueologia para estimar a idade de compostos orgânicos, como um pedaço de madeira ou um osso. Os pesquisadores conseguem prever a quantidade do material, pensando da seguinte maneira: se o carbono-14 decai a uma taxa de 11,4% a cada 1000 anos e se a quantidade inicial era 200 microgramas (μg), após 1000 anos a quantidade será:

, , , ,

Portanto, depois de 1000 anos haverá 177,2 μg de carbono-14. Da mesma forma, depois de 2000 anos, teremos

, , , , , , , g

Então, para

1000 anos, temos , .

Outro exemplo de função exponencial ocorre na matemática financeira. Considere a quantia que alguém deposita inicialmente numa conta que paga uma taxa de juros anuais e contínuos e a quantia na conta depois de anos. Usando essa linha de raciocínio e os conceitos avançados de infinitésimos e infinitos, podemos deduzir a seguinte função:

onde é o número irracional , . Se R$1.000,00 são depo-sitados numa conta bancária rendendo 5% de juros anuais compostos continuamente, ao final de 10 anos haverá

. , . , reais.

Podemos ainda encontrar muitos outros exemplos, como a posologia de remédios, o crescimento populacional, o resfriamento de objetos etc. A função que descreve o modelo Eliminando Quadrados nesta atividade também é exponencial, dada por:

,

onde é um parâmetro cujo valor os estudantes irão descobrir durante o experimento e é o total de jogadas.

O experimento que propomos é um modelo discreto de situação seme-lhante ao carbono-14. Ao lançar os 240 quadradinhos e retirar aqueles que ficaram com a face marrom voltada para cima, obtivemos os resultados da tabela a seguir:

A razão não é constante, mas perceba que é sempre positiva, menor que 1 e próxima a 0,5.

Jogar e separar

Nesta etapa, cada grupo deverá construir uma tabela semelhante à tabela anterior.

Construção do gráfico

O modelo experimental não produz resultados exatos, mas são aproxi-mações razoáveis. Para exemplificação, vamos começar com 240 quadra-dinhos e pensar em uma situação ideal, ou seja, que metade deles irá cair com a face marrom para cima. Assim, o quociente será uma constante igual a , isto é,

Lançamento ( )

Quadrados restantes ( )

Quociente ( )

,

,

,

,

,

,

,

tabela 1

,

e teremos antes de fazer qualquer jogada. Após a primeira jogada, , teremos . De maneira análoga, para ,

.

Com o quociente constante, é possível obter a quantidade de quadra-dinhos restantes em qualquer jogada através da generalização:

.

Para todo número real positivo , diferente de 1, a função exponencial

estabelece uma correspondência biunívoca entre R e R . Se , a função é crescente; se , a função é decrescente.

A função é chamada de função exponencial e apresenta a impor-tante propriedade de relacionar somas e produtos a partir da seguinte propriedade:

, para todo R.

Definição

Conclusão A função , com razão , obtida no experimento, tem o seguinte gráfi co decrescente:

Seja uma função do tipo exponencial defi nida em R. Se , , , , for uma progressão aritmética de razão 1, isto é,

, então os valores

formarão uma progressão geométrica de razão .

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

40

60

80

100

120

140

fig. 1 Gráfi co

Observação interessante

A função exponencial estudada neste experimento é usada na defi nição de função logarítmica:

Para todo número real positivo diferente de 1, a função possui uma função inversa, denominada função logaritmo de base , denotada por log , tal que:

se e somente se .

A ilustração abaixo mostra os gráfi cos das funções e , que são simétricos em relação à diagonal .

fig. 2

Defi nição

log

Como o exemplo do carbono-14 comentado anteriormente, mostraremos uma aplicação do logaritmo como inverso da exponencial. Relembremos que o carbono-14 decai a uma taxa de 11,4% a cada 1000 anos, ou seja, se inicialmente havia 200 microgramas (μg), após 1000 anos, como calcu-lamos, a quantidade será 177,2 μg. E, depois de 2000 anos, será 157 μg. Então, para

1000 anos, temos que .

Meia-vida de uma substância radiativa é o tempo gasto para que metade dessa substância se deteriore.

Após quanto tempo poderemos encontrar 100 microgramas (μg) de carbono-14, isto é, metade da quantidade inicial? Para encontrar o tempo, é necessário resolver a equação:

.

Usando a função logaritmo, encontramos

ln ln

lnln

5,728 mil anos.

Ou seja, 5728 anos é a meia-vida do carbono-14.

Defi nição

O experimento fornecerá aos alunos funções exponenciais do tipo . Para obter bases diferentes, basta sugerir que cada

grupo retire uma porcentagem dos quadradinhos que fi carem com a face marrom para cima. A tabela a seguir mostra algumas porcentagens e suas respectivas bases:

fig. 3 Gráfi co de decaimento do carbono-14.

O experimento também pode ser feito com dados ou outros objetos semelhantes.

Lima, Elon L.; Carvalho, Paulo C. P.; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto C.. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro, Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 1996.

Hughes-Hallett, Deborah et al. Cálculo e Aplicações. São Paulo, Editora Edgard Blücher Ltda, 1999.

Porcentagem de quadradinhos marrons retirados

Base da função exponencial

100% /

90% /

80% /

70% /

60% /

50% /

40% /

30% /

tabela 2

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

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AutoraMaria Zoraide M. C. Soares

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos Patrocínio Língua PortuguesaCarolina BonturiPedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design