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Emerson Marcos FurtadoMestre em Métodos Numéricos pela Univer-
sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma-temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join-ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore-ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí-nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con-sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003.
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317
Geometria I
Nesta aula estudaremos tópicos de geometria plana.
A geometria plana é a parte da Matemática que estuda as figuras geo-métricas bidimensionais, ou seja, figuras que podem ser observadas em um plano. Iniciaremos nossos estudos a partir dos triângulos.
Triângulos O estudo de triângulos é um dos assuntos mais importantes na Geome-
tria Plana, abrangendo interações com outras figuras geométricas, possibili-tando relações importantes, além de serem elementos básicos constituintes de figuras poligonais com mais do que três lados.
Observe a definição de triângulo:
Triângulo é qualquer polígono composto por exatamente três lados.
B C
A
Elementos principais de um triângulo
Os principais elementos de um triângulo são os lados, os vértices e os ângulos internos.
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318
Geometria I
B C
A
Â
ĈB
Considerando o triângulo ABC acima, temos:
Lados: são os segmentos AB , AC e BC.
Vértices: são os pontos: A, B e C.
Ângulos internos: são os ângulos A , B e C .
Soma dos ângulos internos de um triângulo
É importante relembrar de uma propriedade que relaciona os ângulos internos de um triângulo. Observe o triângulo a seguir:
B C
A
ÂĈ B
Se, pelo vértice A, traçarmos, uma reta paralela a BC , obteremos ângulos congruentes aos ângulos B e C . Os três ângulos destacados no vértice A, juntos, correspondem a um ângulo de 180°. Logo, podemos concluir que:
A + B + C = 180°
Portanto, em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°.
Esta relação é conhecida como teorema angular de Tales.
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Geometria I
319
Congruência e semelhança de figuras planas
As formas geométricas que observamos na natureza, nas obras de arte e até em telhados de casas são, muitas vezes, representadas por figuras semelhantes.
Para ilustrar, observe o desenho, no qual os segmentos AM e BN são respectivamente paralelos aos segmentos PN e PM :
A B
C
P
M N
Nessa ilustração, é possível observar cinco triângulos: ∆ABC, ∆APM, ∆PBN, ∆MNC e ∆PMN.
Todos eles são semelhantes entre si, pois os ângulos correspondentes têm a mesma medida. Entretanto, apenas um dos triângulos não é congruente com os outros.
O triângulo ABC, apesar de ser semelhante, não é congruente com os demais, porque as medidas dos seus lados são diferentes das medidas dos lados correspondentes dos outros triângulos.
A partir dessas ideias, podemos formalizar o conceito de semelhança.
Triângulos semelhantes
Dado o triângulo ABC a seguir, vamos traçar uma reta r, paralela ao lado AB determinando o segmento DE e destacando o triângulo DEC.
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320
Geometria I
A B
C
D Er
C
D E
Se AB é paralelo a DE , os ângulos CAB e CDE são congruentes. Pela mesma razão, também serão os ângulos ABC e DEC .
Como o ângulo BCA é comum aos triângulos ABC e DEC, conclui-se que tais triângulos são semelhantes, pois apresentam os três ângulos respecti-vamente congruentes. Devido à semelhança, escrevemos ∆ABC ≈ ∆DEC, e estabelecemos uma proporção entre as medidas dos lados homólogos:
ABDE
ACDC
BCEC
k= = =
O valor de k é a constante de proporcionalidade.
Existem algumas situações em que é possível identificar triângulos seme-lhantes. A mais comum consiste em se avaliar se um dos triângulos possui dois ângulos que têm a mesma medida que dois ângulos em um segundo triângulo. Como a soma das medidas dos três ângulos internos de qualquer triângulo deve ser igual a 180°, os terceiros ângulos de cada triângulo terão as mesmas medidas, o que garante a validade da semelhança.
Teorema de Tales O geômetra grego conhecido como Tales de Mileto deixou importantes
resultados na geometria plana. Vamos estudar um de seus mais conhecidos teoremas.
Considere um feixe de retas paralelas, r, s e t, cortadas por duas transver-sais, u e v, aleatoriamente traçadas.
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Geometria I
321
A
B
C
D
E
r
s
t
u v
F
a
b
a’
b’
AB = a , BC = b , DE = a’ , EF = b’
Pelos pontos A e B são traçadas as retas v1 e v2, paralelas à reta v, desta-cando os pontos E’, F’ e F’’:
A
B
C
D
E
r
s
t
u v
F
a
b
a’
b’
a’
b’ b’
E’
F’F’’
v2 v1
Os triângulos ABE’, BCF’’ e ACF’ são semelhantes entre si, pois os ângulos correspondentes são iguais. Logo, podemos escrever:
aa
bb
a ba b’ ’ ’ ’
= =++
Esse resultado caracteriza o que se denomina Teorema de Tales:
Um feixe de retas paralelas intersectado por duas transversais determi-na sobre essas transversais segmentos proporcionais.
Exemplo:
Na ilustração, as retas r, s, t, u, v são paralelas.
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322
Geometria I
Quais são as medidas x, y, z e w?
w
80
75
y
87
90
z108
x120
v
u
r
s
t
Como as retas r, s, t, u e v são paralelas, podemos utilizar o Teorema de Tales:
12090 87
10875
80= = = =
xy
zw
Então, particularizando as proporções, temos:
12090 87
43 87
3 348 116
12090
108 43
1084 324
= ® = ® = ® =
= ® = ® = ® =
x xx x m
y yy y 881
12090 75
43 75
3 300 100
12090
80 43
804 240
m
z zz z m
w ww
= ® = ® = ® =
= ® = ® = ® ww m= 60
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Geometria I
323
Triângulo retângulo Vamos estudar agora um tipo de triângulo que se destaca na resolução
de problemas geométricos: o triângulo retângulo.
Definição: triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.
Vamos iniciar considerando um triângulo ABC, retângulo em A . Nesse triângulo, traçamos a altura AD, relativa à hipotenusa BC, e destacamos os triângulos ACD e ABD que, assim como ABC, também são triângulos retângulos.
A
BCD
c
m n
b h
Elementos importantes:
BC � : hipotenusa;
AC � e AB: catetos;
AD � : altura relativa à hipotenusa;
CD � e BD: projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Os triângulos ABC, DCA e DBA são triângulos retângulos. Logo, como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180° e um dos ân-gulos é reto (90°), concluímos que cada um deles tem um par de ângulos complementares. Consequentemente, os triângulos ABC, DCA e DBA são semelhantes entre si:
A
BCD
c
m n
b h
α
β α
β
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324
Geometria I
Triângulo ABC: Triângulo DCA: Triângulo BDA:
A
BC
c
a
b
C
D
Ab
hm
D
BA
h n
c
Da semelhança existente entre os três triângulos, podemos obter rela-ções importantes entre as medidas de seus lados, observe:
∆ABC ≈ ∆DCA � :
bm
ab
b a m= ® =2 .
A medida de um cateto ao quadrado é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa. E ainda:
ab
ch
b c a h= ® =. .
O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida da hi-potenusa pela medida da altura relativa a essa hipotenusa.
∆ABC ≈ ∆BDA � :
cn
ac
c a n= ® =2 .
A medida de um cateto ao quadrado é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa
∆DCA ≈ ∆BDA � :
mh
hn
h m n= ® =2 .
A medida da altura relativa à hipotenusa, ao quadrado, é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
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Geometria I
325
Há ainda uma relação que pode ser obtida a partir de duas dessas equa-ções, observe:
b2 = a . m
c2 = a . m
Adicionando membro a membro, temos:
b2 + c2 = a . m + a . n
b2 + c2 = a . (m + n)
b2 + c2 = a . a
b2 + c2 = a2
Esse resultado destaca a validade do teorema de Pitágoras em qualquer triângulo retângulo:
O quadrado da hipotenusa é igual à soma das medidas dos quadrados dos dois catetos.
Circunferência e círculo Preste atenção ao conceito de circunferência:
Circunferência é o conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado desse plano é fixa. O ponto dado é chamado de centro e a distância fixa é o raio da circunferência.
O
O: centro da circunferênciaOP: raio da circunferência (R)
circunferência
PR
Pela definição, a circunferência é o lugar geométrico constituído apenas pela linha formada pelos pontos que estão a mesma distância R do centro O.
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326
Geometria I
Comprimento da circunferência
Uma relação bastante útil na geometria é a que permite avaliar o compri-mento de uma circunferência apenas a partir da medida do próprio raio.
A medida do comprimento de uma circunferência de raio de medida R, representada por C, é dada por:
C = 2πR
em que π vale aproximadamente 3,14.
C = 2πR
BA AP PB BA
BP A P
Além da circunferência, outro conceito importante é o de círculo:
Círculo é o conjunto dos pontos de um plano pertencentes a uma circunfe-rência e interiores a ela.
Círculo de raio R e centro em OR
Área do círculo
É possível provar que a medida da área de um círculo de raio R, represen-tada por S, é dada por:
S = πR2
Elementos da circunferência
Além do raio, existem outros elementos importantes em uma circun-ferência, tais como diâmetro, corda e arco. Observe alguns conceitos importantes:
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Geometria I
327
Reta secante a uma circunferência é toda reta que corta a circunferência em dois pontos distintos.
Reta tangente a uma circunferência é toda reta que toca a circunferência num único ponto.
Arco de uma circunferência é uma parte da circunferência delimitada por dois pontos pertencentes à circunferência.
Corda de uma circunferência é qualquer segmento de reta que tenha ex-tremidades na circunferência.
Na figura a seguir, o segmento AB é o diâmetro da circunferência, sendo, portanto, uma das cordas de maior medida possível nessa circunferência.
AO
B
Observe na figura a seguir que a reta s é secante à circunferência nos pontos C e D, e a reta t é tangente à circunferência no ponto P. Os dois pontos distintos C e D determinam a corda CD e os arcos CAD
e CPD
.
A
P
CD
s (secante)
t (tangente)
O ponto P é chamado de ponto de tangência ou ponto de contato da reta t com a circunferência. Pelas ilustrações, podemos concluir que qualquer reta secante a uma circunferência determina na circunferência uma corda e dois arcos.
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Geometria I
Elementos do círculo
Existem dois elementos importantes a serem considerados em um cír-culo: o setor circular e o segmento circular. Para melhor compreender esses conceitos, é importante relembrar o conceito de ângulo central.
Ângulo central é todo ângulo com vértice no centro de um círculo.
A
B
O α α ângulo centralAÔB tem medida α
Não é difícil perceber que todo ângulo central corresponde a um arco e, reciprocamente, a todo arco, um ângulo central.
Setor circular
Setor circular é a região de um círculo delimitada por um ângulo central.
setor circular de ângulo α O α
R
R
A área de um setor circular pode ser obtida por meio de uma propor-ção relacionando o ângulo de 360°, referente à totalidade do círculo, com o ângulo do setor especificamente. Assim, sendo α o ângulo central de um setor circular de área Sset, pertencente a um círculo de raio R, temos:
ângulo área360° → πR2
α → Sset
Um setor circular também pode ser identificado pelo comprimento do arco correspondente.
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Geometria I
329
O α
R
RB
A
l
l é o comprimento do arco ÂB
Nesse caso, a área também pode ser obtida por meio de uma proporção relacionando as medidas das áreas e dos comprimentos. Sendo l a medida do comprimento de um arco de um setor circular pertencente a um círculo de raio R, temos:
área comprimentoπR2 → 2πRSset
→l
Segmento circular
Segmento circular é a parte de um setor circular compreendida entre a corda e o arco relativos ao setor.
O α
R
RB
A
l
segmento circular
relativo à corda AB
A área de um segmento circular, representada por Sseg, pode ser obtida pela diferença entre as áreas do setor circular correspondente e do triângulo isósceles AOB, que tem R como dois de seus lados e a corda AB como ter-ceiro lado. Assim, temos:
Sseg = Sset – Striângulo
Ângulo inscrito em uma circunferência
Ângulo inscrito é a denominação dada a todo ângulo cujo vértice perten-ça a uma circunferência e cujos lados sejam secantes a ela.
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Geometria I
Exemplo:
V
B
A
AVB é um ângulo inscrito na circunferência
Existem duas propriedades importantes relacionadas a um ângulo inscri-to de uma circunferência.
Propriedade 1
A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central correspondente.
Exemplo:
Na ilustração, a medida do ângulo inscrito APB
é igual à metade da medida do ângulo central AOB :
B
A
O
P
α
2α
m APBm AOB
( )( )
=2
Propriedade 2
Ângulos inscritos em uma mesma circunferência, que são relativos a um mesmo arco, têm medidas iguais.
B
A
ααα
Os ângulos inscritos “enxergam” o arco ÂB segundo o mesmo ângulo α
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Geometria I
331
Observe, na figura, que os três ângulos inscritos são relativos ao mesmo arco AB
. Logo, de acordo com a propriedade 1, todos são relativos ao mesmo ângulo central de medida 2α, e, portanto, têm a mesma medida α.
Uma consequência importante da propriedade 1 anterior é a que quando os extremos de um arco são os extremos de um diâmetro AB , cada um dos arcos é uma semicircunferência e a medida de cada um dos arcos é igual a 180°.
Assim, se considerarmos um ponto qualquer P sobre uma das semicir-cunferências, podemos concluir que o ângulo APB
mede 90°. Observe:
BA
180º
Pα
Pela propriedade anterior, a a= ® =180
290
.
Dessa forma, qualquer triângulo inscrito numa circunferência, que tenha um dos lados coincidindo com o diâmetro da circunferência, certamente será retângulo.
BAO
Pα
Se o lado AB é diâmetro, o triângulo APB é retângulo em P
Propriedades complementares
1. Dada uma reta t tangente a uma circunferência num ponto P, o raio com extremidade em P será sempre perpendicular à reta t.
PO t
O
t
RP
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Geometria I
2. De um ponto P externo a uma circunferência, é possível traçar duas retas tangentes à circunferência. Se os pontos de tangência forem A e B, os segmentos PA e PB têm medidas iguais.
PA = PB
A
P
B
Polígonos regulares Fique atento à seguinte definição:
Polígonos regulares são aqueles que apresentam todos os lados con-gruentes e todos os ângulos congruentes.
Dessa forma, por exemplo, o triângulo regular é o triângulo equilátero e o quadrilátero regular é o quadrado.
Todos os polígonos regulares são inscritíveis, ou seja, admitem uma cir-cunferência que passa pelos seus vértices. Essa circunferência é denominada circunferência circunscrita.
Observe estas figuras:
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Geometria I
333
Todos os polígonos regulares são circunscritíveis, ou seja, admitem uma circunferência que tangencia os lados do polígono nos respectivos pontos médios. Essa circunferência é denominada circunferência inscrita.
Exemplos:
Quadradocircunscrito
Pentágono regular circunscrito
Hexágono regular circunscrito
O raio da circunferência inscrita em um polígono é denominado apóte-ma do polígono.
r é o apótema
Embora existam infinitos polígonos regulares, destacaremos o estudo do triângulo equilátero, do quadrado e do hexágono regular.
Triângulo equilátero
O triângulo equilátero é o único polígono regular composto por exata-mente três lados congruentes possuindo, portanto, três ângulos internos de mesma medida.
Observe um triângulo equilátero de lado medindo l, altura medindo h cujas circunferências inscrita e circunscrita possuem raios medindo r e R, respectivamente.
R
r
l
l
l
h
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334
Geometria I
Se a soma dos ângulos internos é igual a 180° e todos os ângulos são con-gruentes, então cada um dos ângulos internos mede 60°.
Além disso, a bissetriz de qualquer ângulo interno passa pelo centro coin-cidente das circunferências inscrita e circunscrita, dividindo o ângulo interno em dois ângulos de 30°.
Rhr
l
l
l
30º60º
A medida da altura do triângulo retângulo pode ser obtida utilizando razões trigonométricas:
senh
hh
60
32
32
l
l
l
=
= ® =
A medida do raio da circunferência inscrita também pode ser obtida por meio de razões trigonométricas:
tgr
r r h
30
2
23
313
32
13
l
l l
=
= = ® =. . .
Por outro lado, também é possível escrever:
senrR
rR
r h
30
12
23
=
= ® ® =R = 2r .
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Geometria I
335
A área de um triângulo qualquer é igual ao semiproduto das medidas da base e da altura correspondentes.
Sbase altura
=.2
No caso do triângulo equilátero de lado l e altura h, temos:
Sh
=l .
2
Se a medida da altura é igual a h =l 3
2, então:
S =l l
23
2.
Portanto, a medida da área de um triângulo equilátero é dada por:
S =l
2 34
Quadrado
O quadrado é o quadrilátero composto por quatro lados congruentes possuindo quatro ângulos retos.
Na próxima ilustração pode-se observar um quadrado de lado medin-do l, diagonal d e as circunferências inscrita e circunscrita de raios r e R, respectivamente.
R
d
rl
l
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336
Geometria I
A medida da área de um quadrado de lado l é igual ao produto das me-didas de dois quaisquer de seus lados, ou seja:
S
S
=
=
l l
l
.
2
A medida da diagonal pode ser obtida por meio do teorema de Pitágoras:
A B
CD
dl
l
45º
d d
d d
2 2 2 2 2
2
2
2 2
= + ® = ®
= ® =
l l l
l l
Observe que a medida do raio da circunferência inscrita é igual à metade da medida de um lado, ou seja:
r =l
2
A medida do raio da circunferência circunscrita é igual à metade da medida de uma diagonal:
Rd
ou R= =2
22
l
Hexágono regular
O hexágono regular é um polígono regular composto por seis lados con-gruentes e seis ângulos internos iguais.
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Geometria I
337
Na figura a seguir vemos um hexágono regular de lado l e as circunferên-cias inscrita e circunscrita de raios r e R, respectivamente.
l
l
rα
R
l
Como todos os lados têm a mesma medida l, os seis arcos, determina-dos pelas cordas correspondentes aos lados, são congruentes. Portanto, a
medida do ângulo central α é dada por 360
660
°= °. Os lados adjacentes ao
ângulo α são congruentes e, portanto, os outros dois ângulos do triângulo também o são.
Logo, os triângulos componentes do hexágono regular são triângulos equiláteros de modo que a medida da área do hexágono regular é igual a seis vezes a medida da área de um triângulo equilátero, ou seja:
S = 63
4
2
.l
Para encontrar a medida do apótema, observe a ilustração:
l
l
rR Rl
A medida do raio da circunferência inscrita é igual à medida da altura de um dos seis triângulos equiláteros componentes do hexágono regular:
r =l 3
2
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338
Geometria I
A medida do raio da circunferência circunscrita pode ser encontrada de forma imediata, pois se os triângulos são equiláteros, os lados congruentes, ou seja:
R = l
Resolução de questões 1. (Funrio) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. Se EF = 12cm e a altura
do triângulo EFG, relativa ao lado EF, mede 6cm, a medida da área do quadrado ABCD, em cm2, é igual a:
E A B F
CD
G
a) 25.
b) 20.
c) 16.
d) 12.
e) 14.
2. (Esaf ) O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do círculo B em:
a) 51%.
b) 49%.
c) 30%.
d) 70%.
e) 90%.Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A.,
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Geometria I
339
3. (Esaf ) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11.
b) 12.
c) 10.
d) 15.
e) 18.
4. (Esaf ) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2cm e um outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo, em cm2, é igual a:
a) 3-/3.
b) 2/2.
c) 2-/2.
d) 3 3 .
e) 1.
5. (Esaf ) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simulta-neamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (di-ferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde está João Guilherme. Fer-nando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer pon-to até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra. Portanto, a distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e João Guilherme é:
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340
Geometria I
a) 650.
b) 600.
c) 500.
d) 700.
e) 720.
6. (Esaf ) Um quadro retangular cobre exatamente 25% da área de uma pa-rede, também retangular, que mede 3 metros de altura por 2 metros de largura. Sabe-se que as dimensões do quadro estão na mesma razão que as da parede, isto é, que sua altura está para sua largura assim como 3 está para 2. Assim, se quiséssemos que o quadro cobrisse exatamente toda a superfície da parede, deveríamos multiplicar a sua altura e a sua largura por:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
7. (Esaf ) Um feixe de quatro retas paralelas determina sobre uma reta trans-versal, A, segmentos que medem 2cm, 10cm e 18cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transver-sal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54.
b) 6, 34 e 50.
c) 10, 30 e 50.
d) 14, 26 e 50.
e) 14, 20 e 56.
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Geometria I
341
8. (Esaf ) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20cm, base menor igual a 8cm e altura igual a 15cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é igual a:
a) 10.
b) 5.
c) 7.
d) 17.
e) 12.
9. (Esaf )As rodas de um automóvel têm 40cm de raio. Sabendo-se que cada roda deu 20 000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel, em quilômetros (km), foi de:
a) 16km.
b) 16πkm.
c) 16π2km.
d) 1,6 . 103πkm.
e) 1,6 . 103π2km.
10. (Esaf ) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o
lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 32
m, então a área, em metros, do hexágono é igual a:
a) 9 34
.
b) 73
.
c) 2 3 .
d) 3 3 .
e) 33
.
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342
Geometria I
Dica de estudo O bom desempenho em Geometria plana exige a resolução de muitos
exercícios para que o raciocínio visual se desenvolva. Assim, embora algumas pessoas tenham mais facilidade que outras, a habilidade na resolução de pro-blemas geométricos é obtida progressivamente. Estude bem os triângulos e o círculo. Com eles, outras figuras poderão ser mais bem compreendidas.
Referências BOYER, Carl B. História da Matemática. 12. ed. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 1996.
GAERTNER, Rosinete (Org.). Tópicos de Matemática para o Ensino Médio. Blu-menau: FURB. (Coleção Aritthmos 2.)
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras Histórias. Rio de Janei-ro: Sociedade Brasileira de Matemática. (Coleção do Professor de Matemática.)
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemática, 2001. v. 1.
LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.
TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.
Gabarito 1. Os triângulos EFG e DCG são semelhantes, pois os ângulos FEG e CDG
são congruentes, bem como os ângulos EFG e DCG .
E A B12
F
C
6 - l
D
G
ll
l
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Geometria I
343
Logo, podemos escrever:
12 66
6 12 6 6 72 12
6 12 72 18 72 4
l l
l l l l
l l l l
=-
= -( ) ® = - ®
+ = ® = ® =
.
Assim, a medida da área do quadrado é dada por:
S
S
S cm
=
=
=
l
2
2
2
4
16
Resposta: C
2. Sejam Ra e Rb as medidas dos raios dos círculos A e B, respectivamente. Se a medida de Ra é 30% menor que a medida de Rb, então:
Ra = (1- 0,30) . Rb
Ra = 0,70 . Rb
A medida da área do círculo A é dada por:
Sa = π.(Ra)2
Sa =π. (0,70. Rb)2
Sa = (0,70)2. π. (Rb)2
Sa = 0,49 . Sb
O resultado indica que a área do círculo A é 49% da área do círculo B. Logo, o circulo A possui área 51% menor que a do círculo B.
Resposta: A
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344
Geometria I
3. Se um polígono convexo possui n lados, então também possui n vértices. De cada vértice podem ser traçadas diagonais para todos os demais vér-tices, com exceção do próprio vértice e dos dois vértices vizinhos. Assim, de cada vértice podem ser traçadas exatamente (n – 3) diagonais.
Raciocinando dessa forma, é possível obter a quantidade de diagonais de um polígono convexo de n vértices. Se de cada um dos n vértices podem ser traçadas (n – 3) diagonais, então a quantidade de diagonais seria dada pelo produto do número de vértices pela quantidade de diagonais que poderiam ser traçadas de cada um deles:
n . (n – 3)
Entretanto, a diagonal traçada do vértice A para o vértice C, por exemplo, é a mesma que a diagonal traçada do vértice C para o vértice A. Por esse motivo, para encontrar a quantidade de diagonais, é necessário dividir por dois o produto do número de vértices pelo número de diagonais que podem ser traçadas de cada vértice, pois não se deve contar duas vezes a mesma diagonal.
Portanto, a quantidade de diagonais de um polígono convexo de n lados, representada por D, é dada por:
Dn n
=-( ). 3
2
Logo, se um hexágono possui n = 6 vértices, o número de diagonais é dada por:
D =-( )
=6 6 3
29
.
Se o polígono que se deseja encontrar possui nove diagonais partindo de cada um dos próprios vértices, então o polígono deve possuir uma quantidade de lados n tal que:
n – 3 = 9
n = 12
Resposta: B
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Geometria I
345
4. Observe a figura:
2
h
45º
2
Utilizando a razão seno no ângulo de 45° do triângulo destacado, temos:
senh
h sen h
452
2 45 22
2
=
= ® = ®. . h = 1cm
A área do triângulo, representada por S, pode ser calculada pelo semipro-duto das medidas da base pela altura, ou seja:
Sh
=2
2.
S = h
Substituindo-se h = 1cm, temos:
S = 1cm2
Resposta: E
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346
Geometria I
5. Observe a figura na qual estão destacadas pelos pontos F, J e B as posi-ções de Fernando, João Guilherme e Bruno, respectivamente.
J
B F
400
400
100100
250
250
Observe que os círculos com centros nos pontos F, J e B correspondem às regiões em que é possível ouvir os gritos de Fernando, João Guilherme e Bruno, respectivamente. Esses três círculos são tangentes externamente dois a dois, pois existe um único ponto em que é possível ouvir simulta-neamente duas dessas pessoas.
Logo, a distância entre Bruno e João Guilherme é dada por:
BJ = 400 + 100
BJ = 500m
Resposta: C
6. Sejam a e b as medidas da altura e da largura do quadro, em metros, res-pectivamente. Então:
ab
ab
=
=
32
1 5,
a = 1,5 . b
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Geometria I
347
A área da parede retangular, representada por Sp, é igual ao produto das medidas da altura pela largura:
Sp = 3 . 2
Sp = 6m2
Se o quadro cobre exatamente 25% da área da parede, então a área do quadro, representada por Sq, é dada por:
Sq = 0,25 . 6
Sq = 1,5m2
Por outro lado, a área do quadro é igual ao produto das medidas da altura pela largura:
Sq = a . b
1,5 = a . b
Substituindo a = 1,5 . b, temos:
1,5 = 1,5 . b . b
1 = b2
Como a medida b não pode ser negativa, conclui-se que:
b = 1m
Então, a altura do quadro é dada por:
a = 1,5 . b
a = 1,5 . 1
a = 1,5m
Logo, se multiplicássemos por x, x > 0, as medidas da altura e da largura do quadro, as dimensões seriam iguais a 1,5x (altura) e 1x (largura). Para que a área do quadro, após multiplicarmos a altura e a largura por um determinado número x seja igual à área da parede deveríamos ter:
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348
Geometria I
1,5x .1x = 6
1,5x = 6
x = 4
x = 2
2
2
x2 61 5
=,
Resposta: A
Outra forma de solucionar essa questão seria considerar a semelhança existente entre as figuras retangulares constituídas pela parede e pelo quadro:
S
S a b
S
S a bp
q
p
p
= æèç
öø÷
= æèç
öø÷
® = æèç
öø÷
= æèç
öø÷
®
=
3 20 25
3 2
43
2 2 2 2
, .
aa b a bæèç
öø÷
= æèç
öø÷
® = = ®2 22
23 2
a = 1,5 e b = 1
Assim, se multiplicarmos por dois cada uma das dimensões do quadro, teremos as dimensões da parede:
1,5 . 2 = 3m (altura) e 1 . 2 = 2m (largura)
A resposta é a da alternativa (A).
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Geometria I
349
7. Observe a ilustração em que estão destacadas as medidas das transver-sais na reta A e as medidas a serem determinadas x, y e z, na reta B:
2
10
18
x
y
z
A B
90
Utilizando o teorema de Tales, temos:
x y z2 10 18
= =
Utilizando propriedades das proporções e, ainda, observando que x + y + z = 90, temos:
x y z x y z2 10 18 2 10 18
9030
3= = =+ +
+ += =
Particularizando as proporções, temos:
xx m
yy m
zz m
23 2 3 6
103 10 3 30
183 18 3 54
= ® = =
= ® = =
= ® = =
.
.
.
Resposta: A
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350
Geometria I
8. Observe a figura na qual estão destacados o trapézio ABCD, a correspon-dente medida da altura, GF, o triângulo CDE, e a respectiva altura EG, todas as medidas em cm:
A B
E
DG
F
8
15
20
C
h
Os triângulos ABE e DCE são semelhantes, pois os ângulos EAB e EDC são congruentes, bem como os ângulos ABE e DCE, uma vez que as bases de qualquer trapézio situam-se em retas paralelas. Logo, pode-se escrever:
ABDC
EFEG
hh
hh
= ®
=+
® =+
®
5h = 2 . (15 + h)
208
15 52
15
5h = 30 + 2h
5h - 2h = 30 3h = 30
® ®
® ®
=h3033
h = 10cm®
Resposta: A
9. A medida do comprimento de uma circunferência de raio R é dada por:
C = 2πR
Considerando-se que as rodas do automóvel são perfeitamente circula-res, em 20 000 voltas a distância percorrida pelo automóvel é dada por:
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Geometria I
351
D = 20 000 . C
D = 20 000 . 2πR
Substituindo-se a medida do raio, temos:
D = 40 000 . π . 40
D = 1 600 000π cm
Observando-se que 1km = 100 000cm, temos:
D km=1600 000
100 000p
pD = 16 km
Resposta: B
10. Observe a ilustração na qual um hexágono regular é composto por seis triângulos equiláteros, cada um deles com medida do lado l, em metros:
ll
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
A área de um dos triângulos equiláteros que compõem o hexágono regu-lar é dada por:
ST =l
2 34
Logo, a área do hexágono é dada por:
SH = 63
4
2
.l
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352
Geometria I
Substituindo a medida do lado por 32 , temos:
S
S
S cm
H
H
H
=æ
èçö
ø÷
=
=
64
32
3
32
32
3
9 34
2
2
. .
. .
Resposta: A
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