UN]VERSIDADE DE SÃO PAULO

rNsTtruro DE ríslca

EMISSÃO NP NUCTEONS VIA MECANISMO DE

FESHB Ac;l¡l-ZABEK NA COf,fSÃO PEltIFpnfC¿, np2-. ÍoNS PESADoS RptATrvrsrrcos

¡..¡

lícrn LIANt BARZSBI-IFUSP

I ililil Iilil ilIil ruffiul[llilut[l iltil ililt llilt illl lill

Dissertação de Mestrado

submetida ao lnstituto de física

da Universidade de São Paulo

:: i il l:li i .[ :.

ORIENTAD r A F. R. de TOLEDO PIZA

SÃO PAULO

1990

IUr \\

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I

EncalRw:3CEP:l

I 593"'4,L2-13 ¿9 L.vtL.T

Sr

FrcHA cArALocnÁrrcePreparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação

do InstÍtuto de FÍsica da UnÍversldade de São Paulo

Berz, Ligia LiæliÞnissao.de ¡L¡cleø¡s vla rncanlsp de Festibaclr-

Zabek na collsä periférica de íørs pesados rnelætfvísticos. Sä- Paulo, 1990.

Dissertação (restrado) - f¡:fr¡er"sld* de ,SãoPatrlo. Instihrto de Fisica. Departarento de Fisl-ca Matemåttca.

Área de Cqrcentraçã: Física l\hrcl-earOrientador: Profs Dr. Antq¡io Fernando Ribelro

de Toledo Plza,

thúterrnos; !. Ions ¡nsados.relatfvisticos; 2.Collsões periféricas nn:ctee-nn:cLeo ern aLtas enerÞgias; 3. Corrrel-ações nrrcleæruclesr.

f.

Aos meus pais Alberto e EdYpelo amor e dedicação

Agradecimentos

Enr especi al ao Piza, pela sugestão do trabalho, dedicação e paciência durante estes

três anos de orientação. 'ì

Ao Fernando e Mírian pelas enriquecedoras discussões e à Carolina pelas ex-

plicações valiosas onde sempre se mostrou solícita em me ajudar.

À Graciela, Vanderley, Orildo e Luis Guilherme pela ajuda nos cálculos numéricos

e ao Jorge delyra pelo inestimável auxílio no IATBX do manuscrito.

Às amigas Hatsumi, Mônica e Nelmara e ao amigo Sérgio pelo incentivo nos

momentos difíceis.

Aos colegas de sala Lin, Manuel, Sidney e Sílvia pela agradável convivência.

Às secretárias da pós-graduação pelo apoio nas questões burocráticas e à CAPBS

pelo apoio financeiro.

Aos meus irmãos Sérgio, Olmiro e Jânio, às minhas irmãs Loreni e Ladeli e ao

meu cunhado Renato pela compreensão e incentivo. Aos meus sobrinhos Krisagon

e Karla pelos momentos inesquecíveis de carinho e descontração.

Resumo

','i-o mecanismo de "troca de fônon" de Feshbach e Zabek1 é revisto e uma discussào

detalhada é fornecida sobre o papel das leis de conservação e relação "tipo fônon"

entre energia e momento transferidos. São investigados os efeitos de correlações

de curto alcance na emissã.o de nucleons em colisões periféricas de íons pesados

relativísticos. A seçã.o de choque é calculada na aproximação de Born. usando uma

a.daptaçã.o conveniente do modelo de KaroF para o estado inicial e ondas planas,

explicitamente ortogonalizadas ao estado inicial, para estados finais. Comparações

com os resultados obtidos por Bertulani et a/. 3 usando ondas planas puras para. o

estado final mostram que a ortogona.liza.çã.o desempenha um papel relevante no valor

obtido para a seção de choque. Discute-se também a sensibilidade do resultado aos

parâmetros usados na discussã.o do estado inicial.

Abstract

The "phonon exchange" mechanism of Feshbach and Z~hek1 is reviewed and the

role of the conservation laws and of the "phonon-like" relation between energy and

transfered momentum is discussed. The effects of short range correlations for the

emission of pair in peripheral relativistic heavy ions collisions are investigated. The

cross section is calculated in Born aproximation using a suitable modification of

Karol's model2 for the inicial state and plane waves, explicitly ortogonalized to the

inicial state, for the final states. Comparisons with the results obtained by Bertulani

et aP using pure plane waves for the final statc show that the ortogonalization has

a non-negligibe effect on the magnitude of the resulting cross-sections. Sensitivity

to the para.meters involved in the description of the inicial state is also discussed.

t

Indice

Introdução

1 Tratamento Teórico dos þfeitos de Correlações

Ð

lfde Curto Alcance 4

4

aI

10

11

1.1 Aspectos qualitativos

I.2 Definições

1.3 Ortogonalização explícita do estado final ao estado inicial

1.4 Seção de choque diferencial

2 Aplicações Numéricas e Discussão

2.I Aplicações numéricas

2.2 Discussão dos resultados e conclusões

15

15

16

202.3 Gráficos

A Dedução da expressão para a seção de choque diferencial quádrupla 31

B A aproximação de Karol para a densidade nuclear superficial 36

Referências 37

1

Introdução

O uso de íons pesados na investigação de sistemas nucleares e atômicos é de crescente

importância. A física dos íons pesados começou com o estuudo de reações nucleares

induzidas por Carbono, Nitrogênio e Oxigênio, há algumas äécadas. No entanto, foi

nos últimos vinte anos que surgiu um grande interesse em projéteis mais pesados.

Tópicos atuais de pesquisa incluem reações nucleares envolvendo a transfer'ência de

grandes quantidades de momento angular, massa e energia, o subseqüente fenômeno

de relaxação, fusão e fissão de sistemas pesados e a estrutura do núcleo a energia

de excitação e momento angular elevados. Finalmente, colisões entle núcleos com-

plexos a energias relativísticas oferecem, entre outras, a possibilidade de produzir

e estudar a matéria nuclear sob condições extremas de densidade e temperatura,

no caso de colisões centrais. Em tais colisões, de núcleos idênticos por exemplo, liá

grandes transferências de energia e momento conduzindo a um sistema muito denso

que, subseqüentemente, explode. Em processos periféricos, onde apenas a região su-

perficial interage, inforrnações de outra natureza podem ser obtidas. Este tlabalho,

em particular, utiliza tais plocessos como possíveis indicadores de propriedades da

função de correlação nuclear.

Embora os maiores esforços têm sido concentrados na investigação dos produtos

de reações nucleares entre íons pesados relativísticos envolvendo colisões centlais,

colisões distantes e periféricas têm provocado interesse devido a sua potencialidade

como sondas de aspectos da estrutura nuclear dificilmente acessíveis através de ou-

tras técnicas.

Em particular, Rshbach e Zabekl, desenvolveranì uma teoria, mostlanclo a

relevância das colrelações de curto alcance entre dois nucleons, em uma colisão

2

periférica de íons pesados relativísticos, usando uma aproximação de impulsoa.

Bertulani et al.3 calcularam as seções de choque para a emissão de um par de

nucleons através desse mecanismo num modelo particularmente simples. O cálculo

é perturbativo e usa Gaussianas correlacionadas para estados iniciais e ondas planas

para estados finais. O trabalho que será exposto utiliza a teoria desenvolvida pol

Feshbach e Zabek 1 e o modelo de Bertulani el ø/.3 introduzindo a or-togonalização

explícita do estado final ao estado inicial não considerada por estes últimos autores.

O capítulo 1 contém uma revisão do mecanismo de "troca de fônon" de Feshbach

eZabekl, ou seja, uma discussão do papel das leis de conservação, da relação "tipo

fônon" entre energia e momento transferidos e da importfncia de correlações entre

pares de nucleons. Introduziremos o cálculo perturbativo das seções de choque para

a produção de pares de nucleons em colisões periféricas, a energias da ordem de

centenas de MeVIA ou maiores.

No segundo capítulo aplicaremos a teoria desenvolvida no primeilo para dois

sistemas específicos,,noCo+a0 Ca aI4.SGeVlu "2389 +to" Ag aIGeVlu. Desse

modo, estaremos em condições de comparar estes resultados com os obtidos, para os

mesmos sistemas, por Bertul ani et ø/.3, revelando os efeitos devido a ortogonalizaçáo

imposta entre os estados inicial e final.

3

-

Capítulo 1

Tratamentode Correlaç

Teórico dos Efeitosões de Curto Alcance

'i¡

1.1 Aspectos qualitativos

Uma descrição qualitativa da emissão de nucleons em colisões periféricas de íons

pesados relativísticos pode ser dada. Assume-se que em tais colisões o núcleo projétil

se aproxima do núcleo alvo numa trajetória retilínea. Quando o projétil ultrapassa

o alvo, os nucleons do alvo sentem um pulso de força. É assumido, também, que as

superfícies nucleares não têm tempo para se deformar em resposta ao pulso curto

de campo nuclear. Bntão, podemos determinar a enelgia de excitaçã.o através do

cálculo do momento transferido (impulso).

Um pulso de interação com dulação A?, tem a energia

E-L (r.1)AT

onde A? é dado pela escala A,Z (da ordem do diâmetro do projéiil), L,Zl1 no

referencial do alvo, dividida pela velocidade do projétil u, que é muito próxima a c,

a velocidade da lv. 1é o fator relativístico padrão introduzido aqui para considelal

a contração de LorenLzde LZ. Bntão, a energiae o momento do pulso de intelação

nuclear é

hruH.N-

LZ (r 2)

4

It'1P" - T-z

(1.3)

Para situações típicas A,Z corresponde a uns poucos Fermis e o pulso de interação

nuclear pode carregar várias centenas de MeV. As equações acima mostram que o

campo satisfaz a equação de dispersão

E:pu. (1.4)

Podemos, então, pensar que esta energia e este momento transferidos são calrega-

dos por um "fônon" (quantum de massa zerc). Feshbach eþbekl mostraram que os

fônons dificilmente seriam absorvidos por um único nucleon, visto que, um nucleon

com a mesma energia, B, do fônon teria um momento apreciavelmente maior,

p: (1.5)

Isto pode ser melhor entendido observando a fig.(1.1), eue mostra a energia calcu-

lada em função do mornento para as equações (1.2) (curva pontilhada), (1.4) (curvas

cheias) para o :0.5 c, u:0.75c e u : c e (1.5) (curva tracejada). Calculamos a

energia da equação (1.2) para A,Z : IÍm. Os pontos onde a curva pontilhada ctuza

as curvas cheias representam a energia e o momento do fônon com as velocidades

consideradas acima.

Entretanto, o fônon poderia sel absorvido por um par de nucleons collelaciona-

dos. Esta absorção do fônon pelos dois nucleons pode proceder porque, então, é

possível casar a energia transferida com o baixo momento transferido pelo fônon.

Os momentos dos nucleons poderão se cancelar parcialmente de modo que o rno-

mento total é compatível com a equação (1.3).

A seção de choque para a emissão de um par de nucleons depende da ploba-

bilidade de absorção do fônon pelo par. Isto inclui a correlação dos dois nucleons

de forma essencial e dependê de r", o alcance da função de colrelação entle os dois

nucleons.

"] * 2mE >) E-

cou

5

,

0.7 5

c¡

É

h¡0,6

0.26

00 0,26 0.5 0,76 I

P/mc

Figura 1.1:A energia em funçã,o do momento (em unidades adimensionais) segundo a relaçãode incerteza (eq.(I.Z)), do fônon absorvido (curva pontilhada),'segundo a equaçã,ode dispersão (eq.(l.4)) para u:0.5 c, u:0.T5ce u: c (curvas cheias) e, segundo

a equação relativística da energia (eq.(1.5)), do nucleon (curva tracejada).

t)

v=4.75

v=0.5c

v=c

,I

-

L.2 Definições

Vamos estudar quantitativamente os efeitos das correlações de curto alcance em

colisões periféricas de íons pesados relativísticos no contexto do modelo proposto

por Bertulani et a1.3.

Figura 1.2:

A colisão de um núcleo projétii, com a contração de Lorentz, com um par de

nucleons em um núcleo alvo.

Na figura (1.2) ilustraûros a colisão alvo-projétil. O núcleo projétil se aploxima

do núcieo alvo com velocidade constante próxima a velocidade da luz, I) x c) ao longo

da direção z. A interação do projétil com o alvo é representada por um potencial

nucleon-núcleo que apresenta a contração de Lorentz e ulna dependência espacial

Gaussiana, para simplificar o cálculo da araplitude de probabilidade. Então

V(i;,t): lVnexp (1.6)

onde (X, Y,, Z) e (*;,y¿, z¡) dão as posições do projétil e dos dois nucleons do alvo,

respectivamente, com ô : Xz +Y2 , Z : ut e 1 - (1 - u2fc2)-1/2, o fator rela-

tivístico padråo introduzido aqui para dar conta da contlação de Lot'entz da densi-

dade. Os parâmetros V, e op são escolhidos cle modo a reproduzir a magnitude e a

I

V

Tb

q\

z

difusividade de um potencial Woods-Saxon na superfície nuclear e, segundo Karol2,

estes parâmetros estão relacionados aos parâmetros radial e difusividaàe, Rp e a,

respectivamente por

v,:+".r{#} (1.7)

(1.8)4Rp 4.4a + 4.4a

4ln 5

2

dp:

onde4lnS:6.43775...Numa aproximação de perturbação de primeiru o.d"-fi.p.oxir.ração de Born),

o efeito de tal potencial é alterar o estado de um único nucleon. No entanto, utll

segundo nucleon correlacionado ao primeiro, também terá o seu estado alterado

já em primeira ordem. A amplitude de probabilidade, a ser calculada, refere-se à

probabilidade de mudança, do estado inicial ú;, no alvo, para o estado final \Þ¡, de

dois nucleons emergentes (livres).

a¡;(b) : #, l:dt e''t I cl"rrd3r2vi(n ,F2)lrl(fl,t) + v(í2,¿)l v;('-,,r-r) (1.9)

onde ñø - Ef - E; e ó é o parâmetro de impacto. Corno de costume) enì colisões

lelativísticas periféricas é feita a aproximação de trajetória retilínea para o projétil.

Consistentemente com a aproximação perturbativa de primeira ordem, a velocidade

relativa é constante.

Como estamos interessados na emissão de um par de nucleons, a função de onda

final tem a forma

Ül(f, ,ir) : "'Êt'û "'Ê2'íz (1'10)

a menos de um fator adicional dependente das coordenadas dos outros nucleous,

tratados como espectadores passivos. Bm (1.10), Ér1;:1,2) são os vetores de onda

dos nucleons emitidos.

A forma cia funçåo de onda inicial é escolhida de modo a obedecer alguns clitér'ios:

I

ø. vamos supor que as funções de onda de cada nucleon sejam proporcionais à

densidade nuclear;

b. como em colisões próximas surgem efeitos de absorção, apenas a região da

superfície dos núcleos envolvidos é relevante. A densidade a ser considerada, por-

tanto, deve reproduzir realisticamente a região superficial da densidade do alvo.

Dessa forma, podemos utilizar a aproximação introduzida por Karol2 e aproximar a

densidade nuclear na superficie por uma Gaussiana (e portanto, devido ao critério

ø, também as funções de onda) com normalização conveniente;

c. dadas essas "funções de onda Gaussianas" de par!ícula independente, cor-

relações de curto alcance são introduzidas através de uira função tipo Jastrow,

I - f(rtr) com /(0) = 1 e /(-) : 0, sendo / tomada também corrìo utna gaussiana.

Assim, a função de onda inicial tem a forma

ü¿("-,, í,):/ú;exp { *}"'e{-e}['-*o{ t#t}] (i11)

onde r" é o alcance de correlação e a7 é a largura da Gaussiana, relacionada ao raio

e difusividade do alvo numa maneira similar a (1.8), ou seja

afuy(4.4a) + (4.4a)2aT

_ EXD2'

(r.12)

(1.13)

4ln 5

Segundo Karol2, a constante de normalização N; é

N,3 1 Ri

c.27an*?¡lt*##]Esta nolmalizaçã,o, em particular, superestima drásticamente o valor da densi-

dade no interior do núcleo. Isto no entanto, não tem maiores consequências devido

ao caráíer periférico da colisão e da natureza de curto alcance das for'ças nucleares.

No cálculo da seção de choque, tal restrição é introduzida restringindo a integração

sobre parâmetros de impacto a valores maiores que uma distância da oldem do

início do processo de absorção forte, eliminando os efeitos do interior iruclear (veja

eq.(1. ie)).

I

L.3 Ortogonalização explícita do estado final aoestado inicial

A função de onda final ü¡ (eq.(1.10)) não está ortogonalizada a função de onda

inicial ü¿ (eq.(1.11)), ou seja, (ü¡l V;) I 0. Isso é um defeito de princípio que

pode ser eliminado ortogonalizando explicitamente o estado final ao estado inicial

correlacionado, isto é, usando emvez de lü¡),

l,þù: lür) .V (1.14)

Assim, de fato, temos uma função de onda frnal rþ¡(í1, r-2), explicitamente or-

togonalizada a funçã,o de onda inicial, !ü¿(ft, íz),, e que se reduz assintóticarrente ao

produto de duas ondas planas.

,þ ¡(ír, ír) : e'i''r' "tÊz'r2 - C ¡; exp

- l"-t - irl'llr! ll

{ t*}*{r|

2oT

X 1 -exp (1.15)

(1.16)

onde definimos C¡l como

C¡,

Um cálculo direto dessa quantidade dá

C¡,

com

10

^, (ürl ür),'t 1E,'¡ ü;)

(å. i)-'''u

-t12

I&

I

rl

.å)

I

I v2\* *-;t)-112

-1/2

p

p

2"7

1

ú*-- lt'

r!(1.17)

A amplitude de probabilidade, a¡;, é, entã,o, calculada, trocando na equação (1.9)

üt(t",f2) por ,þ¡(fr,i2). Veja detalhes do cálculo no apêndice A.

É importante notar que a ortogonali zaçã.o (1.14) introdç correlações também no

estado final (1.15) a ser usado na amplitude de transição (eq.(1.9)). Essas correlações

incluem correlações de alcance maior que rc, em particular, através da contribuição

expressa em termos do produto de duas gaussianas, ligada ao primeiro termo do

último colchete na eq.(1.15). Por outro lado, a presença da funçã,o de Jastrow

assinala também a presença de correlações de curto alcance no estado final (1.15).

L.4 Seção de choque diferencial

A aproximação de Born é utiliza.da para calcular a seção de choque pa,ra uma

transição i -- f . A probabilidade total de que os nucleons sejam emitidos, com

vetores de onda (Ér,Ëù fixados, a qualquer parâmetro de impacto é dada por

zn [* la¡;l2bdb (1.18)JRr+Rr' '-'

A integral acima é cortada em ô : Re *.Ra para eliminar os efeitos de absorção

forte que surgem em colisões próximas.

A seção de choque para a emissão de um par de nucleons correlacionados pode

ser obtida multiplicando a equação (1.18) pela densidade de estados de ondas planas

finais, d3hdsk2l(2r)6 , e peló número de pares de nucleons no alvo, A7(Ar - 7) l2 -ATl2. Em tennos das energias cinéticas e1,€.2 e das direções (d1, ót),(ïr,dr), dot

dois nucleons, esta seção de choque é

11

daO f3 ¡2 'æ

Eãã;ffi,= ffi\Fte¿ J*,**,laÀ2bdu (1'1e)

onde m é a massa do nucleon e A7 é o número de massa do alvo.

A expressã,o o¡;(b) em termos das energias cinéticas e das direções dos dois nu-

cleons é

o¡;(b) -'n*o?tfro" "*o

T"¡ : 4a!7e2 exp

(Ta - 7"" - To,) (1.20)í -o'r,t \| +t'"'J

onde,s >:ì

l_b,f"þma?ye2-æ-' þ"'{-

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¡z

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) ".'{me2e2__--:-Slfì

2h",,\

+B]')

et*ez

2

(1.21)

r"" : tup'0"",{-#(t - å)}*1"*o{W\

exp

exp

X

X

{ # [er sin2 0t * 62ezsin2 02 + 26{ele2sin 91 sin 02cos(51- dr)] }

{ #l'ncos á1 + 6,ß cos o2 - " :;t#1'\T2

X

+

x

exp

exp

exp

exp

exp

X

X

fW[/E sindl oin ór + 6rfisind2 ''" drJ]

[-*P"t\I zn'J

f# [e2 sinz 0z * 62etsin2 d1 + 26\Æsin 01 sinu2cos(/1 - dr)]]

{ #l**',,z*6tÃcosd1 - "i;*!rtl'l

fffirfisinu2sinöz+ 6,/Ç,tr,iËt',)] Q.zz)

I o'r(r, + ez * B)2 ì\-----æ,, ¡

To, c¡t 2a$r2 exp(b2I _-ì. "þ

-4usÀ2r¡*r{-å(t

+!u'€'0.*{-å ('- å)}

t t\4*4)

('-#)

å))

exp

exp

p2

r!

{

x exp { # fe1 ¡ 62 el2 + 26yãl.r(sin d1 sin d2 cos(fi - ör)* cos d1 cos ,r)]

}]

exprf (et + ez + B)2

4h,2u2

þ'(rr+ez*B)2*----ffiu'z)]

(1 2s)

n..- 8vt¿:

" þ"t ."r{-#(.' + .,)} + ts p"."r{-W\ (1.24)

com

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p: (

r=()"''

1 1\-J--l2oT ' o', )11

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-1/2

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/ 1 1 IÀ : l;¡*,?+4v2

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L/2

lt I€: læ*,?*.ç - ltt

r!

12 -r/2

2o', r!

(1.25)

B é a energia de ligação do par de nucleons correlacionados.

No próximo capítulo faremos algumas aplicações numéricas dessas expressões.

s,¡*

T4

Capítulo 2

Aplicações Numéricas e Discussão

tf2.L Aplicações numéricas

Alguns exemplos de aplicação da expressão da seção de choque diferencial quádrupla

serão mostrados aqui. Consideramos a aplicação da equaçáo (1.19) aos sistemas

Aoca +4o Ca a Ia.SGeVlu e 238(J +ro8 Ag a IGeVf u. Neste último.caso, vamos

supor que os nucleons são emitidos do núcleo de Urânio. O sistema de referência

adotado é o do Urânio.,

Calculamos numericamente a integral da equação (1.19) para os dois sistemas

citados acima. Para os parâmetros ro, rc, ø, B e V" utilizamos os valores 7.2fm,

0.7 f m,0.65f m, L6M eV e 50MeV, respectivamente.

Na figura (2.1), mostramos a seção de choque diferencial calculada em função

das energias cinéticas €1 € €2, paîa os dois nucleons emitidos em sentidos opostos

(0, : Ao e 02: 180") ao longo da direção do feixe, nos dois sistemas acima. A figura

(2.2) refere-se aos valores da seção de choque diferencial calculados em funçåo de e2

e 02 fixando 01 em 90o e €1 €rn 50M eV . Neste caso, o primeiro nucleon é emitido

perpendicularmente a direção do feixe.

As curvas de nível, que aparecem nessas figuras, estão em escala logarítmica (isto

é, curvas de nível sucessivas correspondem a valores da seção de choque que diferem

por um fator 10).

Fixamos estes valores de modo que possamos comparar nossos resultados com

os obtidos por Bertulanü et ht.3, já, que eles os utilizaram por resultarem ern valores

15

apreciáveis da seção de choque diferencial em ambos os sistemas. Por simplicidade

consideramos que o pa,r de nucleons é emitido em um plano contendo a direção do

feixe, û-Óz=1"80o.As figuras (2.3) e (2.4) referem-se aos valores da seção de choque diferencial

calculados em função de e1 e €2 para, dr = 0o e 02 = 180o e, em função de e2 e 02 para

et = 50MeV e 07 = 90o, respectivamente, obtidos por Bertulani et a1.3, utilizando

os parâmetros

dp:

ay=

¡f' =

2{"Rp

2\f;Rr3

4"RT'(2.1)

em vez de (1.8), (1.12) e (1.13) (não fizemos aqui as aproximações introduzidas por

esses autores, r! 11 o'rraz7 e u: c). As curvas de nível estão também em escala

logarítmica. A expressão da seçã,o de choque da ref.[3] foi obtida desprezando, em

il¿(t-r, r'z), o primeiro termo dentro do colchete (cujo termo'não contém a correlação

de curto alcance entre os nucleons).

2.2 Discussão dos resultados e conclusões

Nesta seção vamos discutir os resultados, obtidos na seçã,o anterior, da aplicaçã,o

da eq.(1.19) aos dois sistemas considerados. Vamos comparar os gráficos obtidos

(fig.(2.t) e (2.2)) com os da ref.þl (fig.(Z.S) e (2.4)). Discutiremos, também, os

efeitos dos parâmetros, usados na discussão do estado inicial, sobre o valor da seção

de choque diferencial.

Um estudo da topografia das figuras (2.1) e (2.2) revela que tais gráficos apre-

sentam três regiões mais elevadas separadas por "depressões".

Observamos que a primeira região, a mais elevada das três, tem máximos €rn €1

e €2 muito baixos (fig.(2.1)) e, é constante com a variaçã,o de 0z para uma meslra

energia, e2 (fr,g.(2.2)). Interpretamos esta região como proveniente das correlações de

16

F,1,.ìllLì ii:-ìÀ t-

-.x

o

otrÈ

CÊf,,,r. r', r'r

lr'j

.t./i- ltl,J v'"

longo alcance no estado final. Observamos, inclusive (nafrg.(2.2)), q,r" nesta região

o par de nucleons tem momento transverso apreciável e momento longitudinal rnuito

pequeno, contrariando as expectativas de encontrar o par de nucleons com momento

longitudinal apreciável em virtude do fônon absorvido carregar momento ao longo

da direçã,o do feixe, como discutido na seção (1.1).

Bncontramos uma segunda região, mais baixa do que a primeira, onde os valor-es

de e1 > e2 (ß,g.(2.I)) " 0, ( 90o, e2 ) 20MeV (fr,g.(2.2)), em ambos os sistemas.

Notamos que essa região é semelhante à encontrada nas figuras (2.3) e (2.4) e,

como as curvas de nível destes gráficos foram obtidas da expressão.da seção de

choque diferencial segundo a ref.[3], onde apenas as correlações de curto alcance

foram consideradas, identificarnos, então, a segunda região com cor-relações de curto

alcance no estado inicial.

Finalmente, encontramos uma terceira região onde os valores de e2 ) e1 (fig.(2.1))

e, 02 ) 90", e2 >_ 20M eV (fig.(2.2)), também em ambos os sistemas. Esta é a legião

proveniente das correlações de curto alcance no estado final, introduzida através da

ortogonali zaçã"o entre os estados inicial e final, como discutido na seção (1.3). Apesar-

desta região ser, qualitativamente, muito rica em detalhes, não nos detelemos mais

nela, poìs tal região desempenha um papel quantitativamente secundár'io em virtude

dos baixos valores da seção de choque diferencial, os quais são replesentados pelas

curvas de nível. Veja, como ilustração, as figuras (2.5) e (2.6) onde ca,lcula,mos a

seção de choque diferencial em função de e1 e e2 para os dois sistemas ern questão,

com d1 : 90o e (a) 02 - 60o, (b) 0r: 95o no sistema Ca * Ca e 02: 105o no

sistema U + Ag e (c) 02: 170o. Observe que tais gráficos contém cortels da fig.(2.2)

nos ângulos descritos acima. A riqueza de detalhes mencionada é palticulalrnente

visível nas figuras (2.5ó) e (2.6ó).

Observando a região proveniente das correlações de curto alcance no estado ini-

cial, notamos que o nucleon emitido no nresmo sentido do movimento do feixe,

carrega ulna energia maior. Isto é uma consequência direta do fato que os fônons

absorvidos carregam monento ao longo da direção do feixe. Para, nucleons emitidos

em sentidos opostos (0r:0o e 02: 180") ao longo da direção do feixe (fig.(2.i)),

r7

suas energias mais prováveis são e1 - I45MeV ee2tSlMeV, no sistema Ca*Cae €1 ! 67MeV e €.2 t 27MeV, no sistema U * Ag.

Para um nucleon emitido perpendicularmente a direção do feixe (0t :90o) com

energia et : 50MeV, constatamos que a energia e a direção mais prováveis do

segundo nucleon são e2 - 74MeV e 0z - 64o, no sistema Ca * Ca e e2 - 57MeV

e 02 = 64o, no sistema U + Ag. Nestes ângulos e energias confirmamos, o que

se esperava segundo a discussão da seção (1.1), que o momento transverso do par

de nucleons é relativamente pequeno e o momento longitudinal é aproximadamente

igual ao momento do fônon absorvido (rlr).\l

Co* Co U + Ag

k=t.Zk. f.= r.ozÎlo

640

z z

[, [,,

Estas propriedades da seção de choque diferencial quádrupla ilustradas nas fi-

guras (2.1) e (2.2) sãro os sinais da emissão de pares de nucleons via as correlações

nucleon-nucleon de curto alcance.

Para verificarmos a sensibilidade do resultado aos parâmetros N¡, ap ê dy, vamos

compará-los com os utilizados na ref.[3] (eq.(Z.t)). Para diferenciá-los vamos usar

os símbolos K e B, respectivamente. Cálculos numéricos mostram que

NjK) ;' ¡¿jr) (2.2)

.,g) > of') " "F) > ",ft + ç@) 2 ç6) (2.3)

onde G(8) " 6t(lr) referem-se aos valores da seção de choque diferencial calculados

com a mesma coustante de nolmalizaçâo (Nj') : ¡üjr() : t¡.

18

Entã,o,

/"Jt\ :n /ctar1\ilttl - Rw " (,õ-,1 - Rc Q'4)

sendo .Eiv e .R6 constantes adimensionais maiores do que 1.

No sistema Ca * Ca temos ,Rc )) ¡?iv. Desse modo, os valores da seçåo de

choque diferencial p.ru .lrjryì , .,tr) " .,f) são menores do que para NJ'), of) "

ol4. Jár, no sistema tl + Ag temos ,Riv )) Rc, a situaçã,o se inverte porqr" NjK)

cresce exponencialmente com .R7, ou seja, possui valores muito grandes em sistemasÈ'e

mais pesados.

Isso pode ser visto na fig.(2.7), cuja figura foi obtida aa fazermos um corte

nas fig.(2.2a) e Q.aa) ã €2:67MeV e nas fig.(2.2b) e (2.ab) ã, e2:45MeV,visto que estamos interessados nos efeitos das correlações de curto alcance e onde

obtemos valores apreciáveis da seção de choque diferencial na região proveniente das

correlações de curto alcance no estado final. Ilustramos a seção de choque diferencial

em função de 92, segundo os cálculos da ref.[3] puru NjB) , o(f),of ) l"rrruus cheias)

e para NJ"), of), "f) (curvas pontilhadas) e, segundo a equação (1.19) (curvas

tracejadas). Esta última curva inclui a ortogonalizaçã,o entre os estados inicial e

final.

Ao compararmos as duas primeiras curvas notamos que as constantes

Nj^), c,f),crtK) ptod, ziramuma diminuição do valor da seção de choque diferencial

no sistema Ca * Ca e um aumento no sistema U * Ag. A terceira curva mostra uma

diminuição no valor da seçåo de choque diferencial encontrado na segunda curva, isto

é, a ortogonalização entre os estados inicial e final produz uma dirninuição do valor

da seção de choque encontrado por Bertulani et a1.3, para os mesmos par'âmetros.

Na figura (2.S) constatamos que as constantes utilizadas poï Karol2,

Nj*), c'f),,of) l"nrvas tracejadas), reproduzem corretamente o valor da clensidade

na superfície nuclear. Esta é uma condição que deve ser satisfeita em virtude dos

critérios o, e b, do capítulo 1, utilizados na escolha da forma de {ri eq.(1.11). Isto,

no entanto, não ocorre no caso das constant", NjB),o9),oft) 1"u.uu,s pontilhadas).

19

As curvas cheias correspondem a distribuição de densidade de Woods-Saxon (veja

eq.(8.1) no aPêndice B).

Nas figuras (2.9) e (2.10) ilustramos a seção de choque diferencial quádrupla

como uma função de e1 e e2 para diversos valores de r". Verificamos que há uma

sensível alteração na topografia especialmente para variações grandes de r" (isto

ê, r" variando até valores da ordem do raio nuclear). A sensibilidade a rc parece

aumentar, no entanto, com a energia do feixe, como pode ser visto comparando a

fig.(2.9) (E,ou : Ia.SGeVlu) com a fig.(2.10) (8,"u - IGeVlu). Isso pode sugerir

a possibilidade de extrair um alcance médio de correlações na região superficial do

núcleo através do estudo experimental da distribuição no plano e1 x e2 dos nucle-

ons emitidos numa dada geometrias. É ìnp."rcindível, porém, examinar modelos

nucleares mais realísticos antes que processos desta natureza possam sel conside-

rados instrumentos quantitativos para o estudo da função de correlação nucleon-

nucleon na região superficial de núcleos. Tais modelos devem, em particular, conter

uma parametrização mais completa e mais flexível da função de correlação nuclear.

Dado o caráter ingênuo do modelo nuclear adotado aqui, a suposição de que as seções

de choque dele obtidas sejam diretamente aplicáveis quantitativamente a seções de

choque experimentais parece, no mínimo, precipitada.

2.3 Gráficos

Nesta seção colocaremos todos os gráficos aos quais nos referimos nas duas primeilas

seções deste capítulo.

20

Co+CoEtqb= 74.5 GeV/u

(o)

rte

t20

^99o

=À¡(t 6e $+'}

ee

ot t8 109 t50

r30

U+ AgEtob= l GeV/u

(b)

t2a

^9øo

=uT t,

3ø

ø38 t I ?go

€1(MeV)

Figura 2.1:Seção de choque diferencial quádrupla (daof d,efie2dùÅnù da eq.(1.19) para

dr : 0o e 02 : 180o, como uma função de e1 e e2. Aseção de choque é dada em(f ml M eV)2.

2t

reo

t60

t1l'

lzø

3 to,øoL9aE

N@6o

ae

2A

e

r96

t66

t.lg

l2ø

î toøao5aøó' êø

10

2ø

o

(o)

(b)

Co+CoEtob= 74.5 GeV/u

.ì.+f

t

t30

5e

39

t9,a

U+ Ag

Etob= tGeV/ u

¡

€2 (MeV)

?aøt

Figura 2.2:A seção de choque da Fig.(2.1) como uma função de e2 e 02para01 e e fixados enr

90" e 50MeV, respectivamente.

22

Co+CoEfob= 74.5 GeV/u

(o)

r56

l¿o

9A

3ui 6ø

ito

aa 5A 1 t56

t5ø

U+AgEtob= 1 GeV/u

(b)

tza

;rutu

=Ntu 6ø

3A

øg 50 1eg I 2øø

C1 (MeV)

Figura 2.3:

Seção de choque diferencial quádrupla (daof defiezdù1dùz) da ref.[3] para 0r :0o c,

dz : 180o, como uma função de e1 e e2. A seção de choque é dada em ([mlAIeV)2.

23

r¡oCo+CoEtob = 14'5 GeV/u

(o)¡66

t.lg

tza

antoEl

N(D

rta

30

60

.ø

2ø

ela lDO 150 2âø

tgo

t6a U+AgEtob' l GeV/u

(b)

.t,

=tr'Lcn

(\¡(D

taø

tza

r9g

Bø

6ø

aø

2ø

øt 3g 100 !50

€2 (MeV )

O

Figura 2.4:A seçåo de choque da Fig.(2.3) como uma funçã,o de e2 e 02 para dr : g0o e

et=50MeV.

24

r3g Co+CoOz = 60"

r2.}

tr"e,ã

.rT "u

(o)

ezcø

çq + Co êe = 95o .I.Ito

rlg

too

=ui" óo

'E

(b)I

!29

Co+Co

Oz = 1?o"

^90o,g,¡I ."

'B (c)

e5e teg !5e

€1(McV)

Figura 2.5:A seção de choque da Fig.(2.1) ern funçã.o de e1 e €2 rlo sistema Co ! Ca, para

dr : 90o e (a) 02: 60o, (b) 0r: 95o e (c) 02: 170o.

25

¡50

^ 9e!

o3

(\,tu go U+Ag

ge = 60"

to

(o)g

tloU+AgOz = 4O5"

rto

o

=N

t¡, 60

te(b)

tle

tts u+AgQz= 17O"

^90o

_=

uI ""

to (c)

G

åee

€q ( McV)

Figura 2.6:A seção de choque da Fig.(2.1) como uma função de e1 e (2, ao sistema U + Ag,,

para d1 :90o e (a) 02:60o, (b) 0, = 105o e (c) 02: 170o.

26

çq+Co€2= 61 MeV

(o)

.ta

I

3

2

I

0

30

25

20

t5

0

5

0

Nq)

N\E

çtos-

N

ÞiÞtriþ\U"!lò

ç!

N

(¡)

EN

ÊçIor

NqÞiÞq-ï\ll.¡Jb\lJçÞ

0

0

50

50

t00

t00A2 (grous)

t50

t50

200

200

I

ú rìI rìi rìi rli rli rlI rìí rì

í ¡ì, r'ì, rl, r',

(b)IIII

rìrìt'r

U+Ag€z = 45 MeV

:

I¡

tÌ:

I

I

Figura 2.7:(ø) Cortes nas Fig.(2.2a) e Q.aQ Êm (2:6lAtleV. Seção de choque difelencial

quádrupla calculada em função de 02, segundo a ref.[3] para Njt), of),"f)(curvas cheias) e para /4^), "9r),"'lj')

(curvas po'tilhadas) e, segundo aeq.(l.1g)(curvas tracejadas). (¿r) o mesmo de (a) com cortes nas Fig.(2.zlt) e (2.4b) em

ez:45MeV'

0.2

0,15¡r)

Êl+..

(/)cogU3c

ta_

0.î

0.05

00t23166789

R (fm)

A densidade nuclear para aoc a;rttttïli l"oriaud" de woods-saxon (curvascheias) e a densidade Gaussial3 p?I3 ¡rJ"), of),,of) (curvas tracejadas) e para

¡trJ"), c,f,), c,çl (curvas pontilhadas).

î01l

"t

1

I

'l

I

1

l

,t

il

.t

tt

II

| 40^,tÇa

IIIIt 238, ,

itrutttttII

t

\t\\

28

C. r C. . tc.a.t l. C. . C¡ t ...1.4 l.tta tL

(o) (b)

rta tta

c)

=N

tu

T

aa

I

t

Ca . C. . t..l.l l. C¡ . Ca t "G-2.4 l.

(c)tta

tto

I

Ôo

ta

(d)

tL

io,

=ui 6'

5 t¿ar lt II

t3a

tto

C. . C¡ a ?c.9.ì ¡. €r (MeV )

(e)

o,

=NUJ

t€

II

€1(MeV )

Figula 2.9:O mesmo da Fig.(2.1) para (o) ," -- 0.5f m, (ó)

"" -- I.0f nt, (r) ,": 1lf nt, (d)

r, :2'0f nt. e (e) r. :3.0f n¿, no sistema Ca * Ca.

29

t'. U . Ì, . FC.a,t t¡!L U . ì, . F3¡t,a t.

(o) (b)Ita tta

t¡,

=N

t,

I t

¡a

a

V . ùl , .c.l.l f. tlt U. t\. rc.¿.¡ t.

(c) (d)

>r.(¡)

=N(u 6r

IG

30

I

3tltt

tlc U+4.rÊ.t.¡t.€'r (MeV)

(e)

(¡,

=Nu/ 6C

tel

o

€r (MeV )

Figura 2.10:O mesnro da Fig.(2.9), no sistemaLl * Ag

30

Apêndice A

Dedução da expressão para aseção de choque diferençialquádrupla

Vamos detalhar os cálculos que conduziram a expressão da seção de choque diferen-

cial quádrupla (eq.(1.19)).

Substituindo ü; (eq.(1.11)),,rþ¡ ("q,.(L i5)) e V (eq.(1.6)) na equação (1.9), obte-

mos

a¡¿(b) : bfZl:dte,,t ld,,Å,,2[*oi-,f¿.ñ, + Ë, iù]

-c ît*o{-W}['-*o{"i*)llI t'@t - ,¡)'\\----e-lX exp

exp

(x - *¡)')*'{

(Y- )') ",.0aþ

r?+rZ2oT

o"

X )t1-exp 1_ li' -'-rl'\l'3 1(A 1)

A integração sobre o tempo pode ser facilmente efetuada e conseguimos o lesul-

tado

#".0{- #}"*o{","}Assim,

31

(A.2)

aÍ¿ w# ."r {-ffi} å t l du,,d',,"*p {-,(ã, r-, * Ë, Fù}

x exp {-"'¡

+ Q: ù'} *o {tf\".' {- Wb

- | asrra'?n2 €Xp {-rt*, 'fr + ,r ',ù\*o {-

xexP.W}*o{ t#}*t¡*( v¡)' ?,QZ j

o"exp

u

-c,, I d3r1d3,2".0 {-

üEÅ} *o {?}e' {-r?+rZ

a27

+2C¡; I d"rrd'rr*o {-rl+(b-y¡)'

)".0 {.?\o"( r"+rl\

x exp \--a- ¡exp I -lr=t - irl'\trt)

_c¡, I au

* ",.0 {-

r1d,3r2",.0 {-

r,j +(b-a)'

)*o {.f}r?+r7

o.27

o"2lú - í2]l2 (A.3)exp

12"

vamos calculal, analiticar¡ente, a primeira integral da equação acllrìa, ou seJa)

3¡ : I dtrrd"rr"*p {-r(t, ' r-t * ã, A)} *P

xexp t"f)"*o {W\

x2,+(b-a¡)'o"

(A.4)

Podemos escrever S¡ como um produto dos fatores cartesianos S¡", S¡, e 33'

Jj" : t: d*t Ëd"r2exp {-a(k1"r1 + kz"xz)\

X exp úd2P

exp _r? + nZ

2"7

t: t: dy2exp {-r(ktoAt * kzoYz)}J JAdyt

32

(A.5)

(A.6)

xexp{ #('-å)}*o{'+\ (A7)

onde k¿7(i : I,2) é a componente transversal de t¿.

Obtemos uma expressão similar para j:2, trocando os índices 1 e 2.

O cálculo das demais integrais e dos coeficientes (V;l V;) " (ü¿1.Ü¡) segue o

mesmo procedimento, assim

(A.8)

Sr, : ll*0" I]*orrexp {-z(k1 "zt * kz,zz)}

I ze2bfio)

\--4-¡

{ +(r,,-î)'}

(r', -ï)')

(Ta-T""-To,)

ra: r--,,!ye2",.o{- ""(r-#)} [",.'{ ry}"*,,{ +}

2T

2

y?+yZ2"7

t

o.

€'lr?,4

exp

{ry}",.,{

) ".'{

-2t-221122-1ÇCalculamos as integrais acima para j-l e obtemos

{

#)\t'k?rl4l

exp

exp

o'P'241tr'

1

{

o¡r(b) :Y-t!#, ",.0 {-

b - y¡)'

exp

oTk3"

exp

otP

2

b2-&

_oTk'r"

exp

2

xQz¡

u

"Tk'ru2

"Tk3

exp

grs_ Jinror"*P

II

2

x exp

x exp

QT

2tra?7 exp

x exp

Jl"

31 : 4tr3a$e2 exp

t

sr,

Desse modo,

J1

onde

33

<{

co

côti

t-l*_N1"S

¿

+1"s¿

e¡*l*Igx(¡)

tl*ñI S

l<,

{lÈ

lö

'-;-ÀXq)(')ae_(r:I

cl ôa"e+ô¡É.¡¿

oFr

ö6c)klt

ÞÞ

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(Ðaa_(Ð+(Ð(Ð\@tiI

oFr

öæo-Io.Ìlætl

il

Þà

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.b,E(õQ

)'=(JÈ

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Ë:9

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À.:^(aca,H

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8.e) .g

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obo€ 8Ë

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älaIÀx(¡)

ae.ô¡(Ð

'-r l$ô¡F+

Èx(u.

{l}Èx(¡)

ô]c)\<tôt

Ft-{I

o. lo¡\ts. löI

o¡ lo¡È-olöIÀxo

6lI3 l.:-É

l+IÈx(¡)c{t-çË

rðô¡F

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C)û)

FllÈ-oñ

Or-{à"e(o+àôl"e

*ot ^

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lô¡t\sl öI

-/\-rl-/ Ào.Èöõöx+

x ôt3lÞI\H.sè(o+

¡ì6t"e

Ël-l*IÈXo

*å+-

t,€(()tit€

$Èx(¡)

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\,- \--zË

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rS(O+Ër

1"s¿

ll*IÈXq)

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I

o¡ le¡\-olöÈx(¡)

aa-c\aa.d)ôrt-.ilo-oF

,-t

q

-sldl

slr(r)lèlt-

-\-:-Ë

Fl* r

'ì"1 -I

- 3laa6l-s¿I

Ào.*

öõõx+

x

Èx(¡)

6|¡I,s¿

Ia¡t-rlöl

tl\/ ¡lrl

slssl'lO.

xq)

ôt3leIlì

-¡¿

"å1*

E, definimos

c¡; =", lYll Y,'J (4.14)''' (ütl ü¿)

Para obter a seçã,o de choque diferencial segundo a ref.[3], basta fazer T1 :Ts = 0 e considerar os parâmetros N¡, op € o2" corfio descritos pela eq.(2.1). A

partir daqui, fazer as aproximaçóes rf; 11 a2p,,azy e u - ce expandir þ, p,6 e B até

termos de segunda ord"*.

$

35

Apêndice B

A aproximação de Karol para adensidade nuclear superfiçial

A densidade de Woods-Saxon é dada por

p(R) =Po (8.1)

1+exp{ry}com

3Ar (8,2)Po=arufilt * ##,,]

A densidade gaussiana segundo Karol2 é

p(R) =p(o)exp{_#}

onde o1 é dado pela eq.(1.12) e p(0) é

p(0) = 'rro"*n{#\

(8.3)

(8.4)

Embora essa aproximação superestime fortemente a densidade nuclear na região

central do núcleo, os valores prescritos de crs "

p(0) dã,o uma representaçã,o bastante

razo¡ível da densidade nuclear na região superficial (confira na fig.(2.8)).

36

Referências

[1] H.Feshbach eM.Zabek, Ann. Phys. 107(1977)110; H. Feshbach, Prog. Part

Nucl. Phys. 4(1980)451. È.

[2] P.J. Karol, Phys. Rev. Cl1(1975)1203.

[3] C. A. Bertulani, L. F. Canto, R. Donângelo e J. O. Rasmussen, Mod. Phys

Lett. 14(1989)1315.

[4] B. F. Bayman, P. J. Ellis, S. Fricke e I. C. Tang, Phys. Rev. Lett. 53(1984)1322.

[5] F. S. Navarra e M.'C. Nemes, aceito para publicação em Phys. Rev. C

[6] I. S. Gradshteyn e I. M. Ryzhik. Table of Integrals, Series and Products (Aca-

demic Press Inc., 1965).

37