1Engenharia BiomdicaEN2322 - MODELAGEM E SIMULAO DE

SISTEMAS BIOMDICOSMtodo dos Elementos Finitos (MEF)ConectividadeProfessores: Erick Dario Len Bueno de Camargo(erick.leon@ufabc.edu.br)Wagner Shin Nishitani(wagner.nishitani@ufabc.edu.br)

2Tpicos Conectividade

Conceito Modelo de dados Implementao em Matlab

3Formulao bsica Trelia

Barra sob trao/compresso apenas Aplicao de foras axiais nas extremidades Sem cisalhamento ou flexo Extremidades livres para rotacionar

No transmitem momentoF F

4Formulao bsica Sistema de equaes{ A EL(i) (uiu i+1)=FiA EL(i)

(u i+u i+1)=Fi+1

F i=A E~u (xi) x

Fi+1=A E~u (xi+1)

x

A EL( i) [ 1 11 1 ]{ u iui+1}={ FiF i+1}

5Trelia plana Elemento de trelia 2D

Deslocamento em x e y em cada n (2 graus de liberdade) Fora axial apenas

Trelia 1D rotacionada Matriz de transformao de coordenadas

50 N

8 cm

12 cmX

Y

xy

50 N

8 cm

12 cmX

Y

xy

1 1

1 1

2 2

2 2

local global

cos sin 0 0u usin cos 0 0v v0 0 cos sinu u0 0 sin cosv v

{ } [ ]{ }q T q

uv

u

v

uv

u

v

GlobalLocal

6Trelia plana

1x 1

1y 1

2x 2

2y 2

element stiffnessmatrix

f 1 0 1 0 uf 0 0 0 0 vEA

Lf 1 0 1 0 uf 0 0 0 0 v N1

N2

x

y

K1u1v

2u2v

1xf

2xf

N1

N2

x

y

K1u1v

2u2v

1xf

2xf

{ } [ ]{ }f k q

[ ]{ } [ ][ ]{ }T f k T q 1

global global

{ } [ ] [ ][ ] { }f T k T q 1[ ] [ ] [ ][ ]k T k T

2 2

2 2

2 2

2 2

cos cos sin cos cos sincos sin sin cos sin sinEA[ ]

L cos cos sin cos cos sincos sin sin cos sin sin

k

7Conectividade Relao entre ns locais e globais

Montagem da matriz de rigidez global1 23Global2

1Elemento N Local N Global1 1 12 22 1 32 2

21

Local Elemento21 2Elemento 1u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1v1u2v2u3v3

u1 v1 u2 v2 u1v1u2v2

8ConectividadeElemento N Local N Global1 1 12 22 1 32 2

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1v1u2v2u3v3

u1 v1 u2 v2 u1v1u2v2

Elemento 1 u1 v1 u2 v2 u1v1u2v2

Elemento 2

Global

9ConectividadeElemento N Local N Global1 1 12 22 1 32 2

u1 v1 u2 v2 u3 v311 12 13 14 u121 22 23 24 v131 32 33 34 u241 42 43 44 v2u3v3

u1 v1 u2 v211 12 13 14 u121 22 23 24 v131 32 33 34 u241 42 43 44 v2

Elemento 1 u1 v1 u2 v211 12 13 14 u121 22 23 24 v131 32 33 34 u241 42 43 44 v2Global

Global

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ConectividadeElemento N Local N Global1 1 12 22 1 32 2

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1v133 34 31 32 u243 44 41 42 v213 14 11 12 u323 24 21 22 v3

u1 v1 u2 v211 12 13 14 u121 22 23 24 v131 32 33 34 u241 42 43 44 v2

Elemento 2 u3 v3 u2 v211 12 13 14 u321 22 23 24 v331 32 33 34 u241 42 43 44 v2Global

Global

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Conectividade Dependendo da numerao pode ser complicado e trabalhoso

Mtodo sistemtico para montagem Passos

Definir graus de liberdade (GDLs) globais Associar ns locais a globais Associar graus de liberdade (GDLs) locais a globais Montar matriz global a partir das locais

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GDLs globais Matriz de rigidez e vetor de GDLs

Ordenado por nmero de n GDLs em sequncia

Trelia plana: deslocamento x e yN Global GDL ndice1 x 1y 22 x 3y 43 x 5y 6

1 23Global

u1 v1 u2 v2 u3 v3 u1v1u2v2u3v3

Matriz de rigidez globalu1v1u2v2u3v3

GDLs globais

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Associar n local a global Modelo de dados (matriz)

Linhas = Elemento, Colunas = N LocalElemento N Local N Global1 1 12 22 1 32 2

N Global N Local1 2Elem 1 1 22 3 2Matlab: matriz completa

conect = [1,2;3,2];

Matlab: para associar n global ao localconect(elem,local) = global;Matlab: para obter n global associado ao localglobal = conect(elem,local);

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Associar GDL local a global Considerar ndice para associao

Para cada um dos ns globais, uma quantidade de GDLs Utilizar em sequncia

Trelia plana: N Global N Local1 2Elem 1 1 22 3 2

uG u1v1u2v25 u36 v3

uL1 u12 v1u2v2Matlab: para obter ndices dos deslocamentos x e y de um nindiceX = n * 2 1;indiceY = n * 2;

gdlG(noL*2-1) = noG*2-1;gdlG(noL*2) = noG*2;

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Montar matriz global a partir das locais Registrar associao local-global

Para cada n local, varrer os graus de liberdade Trelia plana: elemento 2

N Global N Local1 2Elem 1 1 22 3 2Para n local 1 (GDLs 1 e 2), n global 3: GDLs globais 5 e 6Para n local 2 (GDLs 3 e 4), n global 2: GDLs globais 3 e 4

uG u1v13 u24 v25 u36 v3

uL1 u12 v13 u24 v2Matlab: ndices globais associados aos locais

gdlG(local) = global;

gdlG = [5,6,3,4];

GDL Local1 2 3 4GDL Global 5 6 3 4

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Montar matriz global a partir das locais Somar elementos da matriz local global

Utilizar associaes local-global Trelia plana: elemento 2

Matlab: para utilizar ndices globais para montagemgdlG = [5,6,3,4];

Kglobal(gdlG(i),gdlG(j)) = Kglobal(gdlG(i),gdlG(j)) + Klocal(i,j);

u1 v1 u2 v25,5 5,6 5,3 5,4 u16,5 6,6 6,3 6,4 v13,5 3,6 3,3 3,4 u24,5 4,6 4,3 4,4 v2

Elementos da matriz globalGDL Local1 2 3 4GDL Global 5 6 3 4

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Montar matriz global a partir das locaisu1 v1 u2 v2 u3 v3 u1v13,3 3,4 3,1 3,2 u24,3 4,4 4,1 4,2 v21,3 1,4 1,1 1,2 u32,3 2,4 2,1 2,2 v3

u1 v1 u2 v21,1 1,2 1,3 1,4 u12,1 2,2 2,3 2,4 v13,1 3,2 3,3 3,4 u24,1 4,2 4,3 4,4 v2

Elemento 2

GlobalGDL Local1 2 3 4GDL Global 5 6 3 4

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Exerccio MEF 2b Prepare uma funo em Matlab que calcule a matriz de rigidez de uma trelia plana a partir de E, A, L e

1[ ] [ ] [ ][ ]k T k T T[ ] [ ]k T k T

2 2

2 2

2 2

2 2

cos cos sin cos cos sincos sin sin cos sin sinEA[ ]

L cos cos sin cos cos sincos sin sin cos sin sin

k

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Implementao da KG em Matlab Gerar tabela de conectividade dos ns Para cada elemento

Gerar tabela de conectividade dos graus de liberdade Somar elementos da matriz local s posies correspondentes na matriz globalN Global N Local1 2Elem 1 1 22 3 2GDL Local1 2 3 4GDL Global 5 6 3 4

u1 v1 u2 v25,5 5,6 5,3 5,4 u16,5 6,6 6,3 6,4 v13,5 3,6 3,3 3,4 u24,5 4,6 4,3 4,4 v2

Elementos da matriz global

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Implementao da KG em Matlab Gerar tabela de conectividade dos ns Para cada elemento

Gerar tabela de conectividade dos graus de liberdade Para cada n, obter os ndices dos GDLs locais e globais

Somar elementos da matriz local s posies correspondentes na matriz globalKglobal(gdlG(i),gdlG(j)) =

Kglobal(gdlG(i),gdlG(j)) + Klocal(i,j);

conect(elem,noL) = noG;

noG = conect(elem,noL);

gdlG(noL*2-1) = noG*2-1;gdlG(noL*2) = noG*2;

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Exerccio MEF 3 Prepare um script em Matlab que calcule a matriz de rigidez global para a seguinte estrutura, utilizando uma numerao de ns diferente do Exerccio MEF 2

Calcule os deslocamentos e reaes, comparando com o exerccio anterior5 cm

4 cm

xy

3 cm

F = 10 NE = 210 GPaA = 0,5 cm2

Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21