1

ENERGIA

Energia Trabalho de uma força constante Energia cinética Trabalho e energia cinética Trabalho de uma força constante (graficamente) Trabalho de uma força variável Teorema do trabalho e da energia cinética Energia potencial Conservação da energia mecânica Energia potencial elástica Forças conservativas e forças não-

conservativas Potência

ENERGIA

As leis de Newton permitem analisar vários tipos de movimentos. Esta análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis.

0iv

?fv

Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.

2

ENERGIA

Até agora abordamos o movimento dum corpo utilizando grandezas como posição, velocidade, aceleração e força

Resolvemos anteriormente vários problemas de mecânica utilizando esses conceitos

Investigaremos agora uma nova técnica para a análise dos problemas

inclui definições de algumas grandezas conhecidas mas que na física essas grandezas tem significados mais específicos do que na vida diária

Energia é um conceito que ultrapassa a mecânica de Newton é relevante também na mecânica quântica, relatividade , eletromagnetismo, etc.

3

ENERGIA

Importância do conceito de energia

• Processos geológicos• Balanço energético no planeta Terra• Reações químicas• Funções biológicas (máquinas nanoscópicas)

energia armazenada e energia libertada

• Balanço energético no corpo humano

Um conceito importante no estudo de energia é o conceito de sistema

é um modelo de simplificação, em que focalizamos a nossa atenção numa pequena região do Universo e desprezamos os detalhes sobre o restante do universo fora do sistema

4

TRABALHO

Quando empurramos uma caixa ela se desloca nós realizamos um trabalho sobre a caixa a força que exercemos sobre a caixa fez com que ela se movesse

F

x

dm

O TRABALHO realizado por um agente ao exercer uma força constante sobre um sistema é

cosFddFW

O trabalho é uma grandeza escalar

A unidade de trabalho no SI é o joule (J)

Trabalho realizado por uma força constante

d

F

5

FdW

dFW )cos(

6

Exemplo 1: Calcular o trabalho de uma força constante de 12 N, cujo ponto de aplicação se translada 7 m, se o ângulo entre as direções da força e do deslocamento forem 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

J 84cos0 m 7N 12 o W

J 24cos60 m 7N 12 o W

J 0cos90 m 7N 12 o W

J 242cos135 m 7N 12 o W

J 84cos180 m 7N 12 o W

cosFddFW

ENERGIA CINÉTICA

A energia cinética de uma partícula de massa m em movimento com uma velocidade escalar v é

2

2

1vmK

A energia cinética é uma grandeza escalar

A unidade da energia cinética no SI é o joule (J)

v

A energia cinética K é a energia associada ao estado de movimento de um corpo

7

Da segunda lei de Newton

m

Fa x

x xx maF

22

0

2 davv x

2

1

2

1 2

0

2 dFmvvm x )(2

1 2

0

2 dFvvm x

O lado esquerdo da expressão representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho realizado pela força sobre o corpo

F

x

v

0v

dm

TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA

22

0

2 dm

Fvv x

“Realizar trabalho”, portanto, é transferir energia 8

Exemplo 2: Trabalho de uma força constante: a força gravitacional na superfície da Terra

mgdmgdmgdW 0180coscos

d

0v

v

gF

gF

o sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia mgd da energia cinética do objeto durante a subida.

Se o corpo se eleva duma altura d :

cosdFdFW gg

9

10

Exemplo 3: Agora vamos deteminar qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10.2 kg que de cai 1.0 m de altura?

J100)m0.1()m/s 8.9(kg) 2.10( 2 W

Qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso?

2

1 0

2

1

2

1

2

1 2222 WvmvmmvvmK ffif

)0( iv

m/s 4.4kg 10.2

J 10022

m

Wv f

11

Exemplo 4: Trabalho de forças constantes considerando o atrito

Trabalho realizado pelos carregadores:

Modelo para resolver o problema:

Trabalho realizado pela força de atrito:

FdWc

mgddfW caa

d

Se o carrinho se desloca com velocidade constante: 0K

( isto é consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo: 0 ac WW

e força resultante é nula, pois não há aceleração:

af

gm

1FN

)

01 afFF

12

TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE

xFW

x

xF

x0

F

0xxx

onde

O trabalho é a área sob a curva da força F

W

13

TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL (1-D)

( )i ii

W F x x

O trabalho é a área sob a curva da força F(x)

2

1

)( ex

x

dxxFW

No limite de :0x

)(xFF

Dividimos o intervalo (x2-x1) em um número muito grande de pequenos intervalos . Então:ix

Considere

a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m.

2

1

)( x

x

ii

i dxxFxxF

N e

Seja a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m)(xFF

TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA

A definição mais geral de trabalho corresponde ao trabalho realizado por uma força variável

2

1

)(x

x

dxxFW

Integrando entre o estado inicial e o estado final

)(2

1

2)(

22

2

if

v

v

x

xi

x

xi

x

xi

x

xi

x

xi

vvm

vmvdvmdx

dt

dvmadxmmadxdxxFW

f

i

fffff

KW esse resultado é conhecido como teorema do trabalho e da energia cinética

Quando é feito um trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidade escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à variação da energia cinética do sistema

14

15

ENERGIA POTENCIAL

Muitas vezes o trabalho executado por uma força aplicada a um corpo não leva a um aumento da energia cinética do corpo

Porque existem outras forças que podem executar um trabalho negativo de mesmo valor

16

Por exemplo Supomos um corpo que é puxado lentamente para cima, por uma força sobre um plano inclinado, com velocidade constante. Não considere o atrito.

apF

1717

apF

N

gm

constantev

x

y

Análise das forças na direção do eixo x

apF

vx

y

sinmg

0xF

0sinap mgF

sinap mgF

Forças que atuam sobre o bloco:

gm

O peso:

A normal: N

A força aplicada: apF

1818

O trabalho realizado pela força aplicada, quando desloca o corpo ao longo da distância s é:

sh

Não há aumento de energia cinética porque a velocidade é constante e

mghW peso

Se soltarmos o bloco, transformamos o trabalho da força aplicada em energia cinética. E nesse caso o trabalho do peso é positivo e igual a mgh

apF

vx

y

sinmg

sinap mgF

sFW apsmgW )sin(

)sin)(( smgW

mghW

0coscos apapap sFsFsFW

Podemos utilizar a atração gravitacional da Terra sobre o bloco para armazenar o trabalho realizado, que posteriormente pode ser utilizado para imprimir ao bloco energia cinética

Dizemos então que o bloco que se encontra numa altura h tem um energia potencial mgh em relação à posição inicial

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Duas esferas exercem forças gravitacionais de atração entre si :

Na verdade o conceito mais geral de energia potencial se aplica a um sistema de partículas que interagem entre si:

F

F

apF

apF

F

F

Se aplicarmos uma força externa sobre cada uma delas tal que FF

ap

separamos as duas esferas com aceleração nula, e executamos um trabalho sobre o sistema

Recuperamos esse trabalho se largarmos as duas esferas elas serão aceleradas uma para a outra e as suas respetivas energias cinéticas aumentam

O trabalho executado aumenta a energia cinética e diminui a energia potencial.

F

F

20

Se uma das esferas for muito maior do que a outra, como é o caso da Terra e uma laranja, por exemplo, desprezamos o movimento da Terra.

Podemos separar esse par de corpos levantando a laranja e libertamos o par deixando cair a laranja

Superfície da Terra

A energia potencial U é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns sobre os outros

Se a configuração mudar, a energia potencial também pode mudar

Vemos que a descrição em que associamos a energia potencial a uma só partícula é uma simplificação

1F

1F

2F

2F

3F

3F

21

FUNÇÃO ENERGIA POTENCIAL, U (DEFINIÇÃO PARA1D)

VARIAÇÃO DE ENERGIA POTENCIAL:

0

0 0 ( )x

x

U x x U x U x W F x dx Normalmente consideramos x0 como uma configuração de referência fixa

É importante observar que é preciso que a força seja uma função apenas da posição (configuração).

Do ponto de vista físico, apenas as variações de energia potencial são relevantes. Então, pode-se sempre atribuir o valor zero à configuração de referência:

0 0U x

dUF

dx

x

x

dxxFxUxU0

)()()( 0

Não se pode definir U(x) em outros casos por exemplo a força de atrito de um corpo e um fluido (que depende da velocidade como veremos em fluidos)

22

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL

0

( ) 0 ( )y

U y mg dy mgy

Nas proximidades da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por gmFg

Tomando como referência para U,

o ponto U(0)=0

mgyyU )(

y

00 y

solo

mgyyU

y

y

dyyFyUyU0

)()()( 0

ye

:)(yUCalculamos

00 y

que é a energia potencial gravitacional do livro em y

Supomos que m é a massa de um livro

gF

mgyymgdFW g yy ee

O trabalho apresenta uma transferência de energia para o sistema e que agora aparece na forma de energia potencial gravitacional

A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule (J)

O trabalho da força da gravidade será

Do teorema do trabalho e da energia cinética para uma força que só depende da posição:

W K

2 21 1

2 2i f f iU x U x mv mv 2 21 1

2 2i i f fmv U x mv U x

)( WxUxU ifComo

a energia mecânica total não varia !

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

WxUxU fi )(

2

1

2

1 22 Wmvvm if e podemos igualar as duas expressões

gUKE mecânica

essa equação é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

constante (x) 2

1 2mecânica UvmE

24

gUKE mecânica

Exemplo 6 : Conservação da energia mecânica gUKE mec

25

26

Exemplo 7 : Conservação da energia mecânica para um carro que desce um plano inclinado

27

Exemplo 8 : Um carrinho está em movimento sobre uma montanha russa, como indica a figura abaixo. Qual a velocidade do carrinho no ponto C? Não há atrito.

CA mghmvmghvm 2

1

2

1 2

C2

A

gUKE mecânica

Cmecânica

Amecânica EE

CBAAgg UKUK

CA mghmghvm

mv 2

A2C 2

12

CA ghghvv 22 2A

2C

)(2 2AC CA hhgvv )85(8.9210 2

Cv

10 m/s

m/s 4.6)8.58100 C v

28

Exemplo 9: Conservação da energia mecânica para um pêndulo simples.

Substituindo a força elástica na integral

ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA

kxxF )(

A configuração de referência é x0= 0 e 0)0( U

x

dxkxxU0

)(0)(

é a energia potencial elástica

2

0 2

1)( kxxdxkxU

x

2

2

1)( kxxU

29

0

0 0 ( )x

x

U x x U x U x W F x dx

30

2max max

1 e 0

2v v x E mv

210 e

2v x A E kA

2max max

1 e 0

2v v x E mv

210 e

2v x A E kA

210 e

2v x A E kA

ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA

A energia mecânica para o sistema bloco-mola

constante 2

1

2

1 22mec xkvmE

FORÇA CONSERVATIVA

Forças conservativas forças para as quais a energia mecânica é conservada

O trabalho feito por uma força conservativa não depende da trajetória, depende apenas das configurações inicial e final

Exemplos de forças conservativas

• Força gravitacional

• Força elástica

• Força unidimensional que só dependa da posição: F(x)

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uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que descreve um percurso fechado é zero.

32

Exemplo 10: Trabalho de forças conservativas.

Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito fechado indicado:

d

L

A

B

C

CBA

0 mgdmgd

0sin mgLmgdWWW CBA

33

FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS

O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajetória

Exemplo de força não-conservativas: Força de atrito.

34

reta

/ 2 semi-círculo

atr atr atr A B

C

c

c

W A B d f L

mgd

mg d

f s

Nesse caso, não é possível definir uma energia potencial porque o trabalho da força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo

Exemplo 11. A Força de atrito é uma força não conservativa.

C

BALFsdFBAW atritoatritoatrito )(

POTÊNCIA

Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W no intervalo de tempo t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é definida como

t

WP

A potência instantânea P num instante particular é o valor limite da potência média quando t aproxima-se de zero:

dt

dW

t

WP

t

0lim

dt

rdF

dt

dWP

Unidade de P no SI: J/s = watt (W)

o segundo termo é a velocidade e vFP

35

Em aplicações práticas, principalmente na engenharia de máquinas, é mais importante saber a rapidez com que um trabalho é feito do que a quantidade do trabalho realizado.

A potência pode ser definida também como sendo a força multiplicada pela velocidade. Sabendo que rdFW

36

Unidade de potência HP criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina numa sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos. 1a motivação: retirada da água das minas de carvão.

A unidade de potência cavalo-vapor (horsepower)

Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade de potência:

Um quilowatt-hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW:

A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor: 1 HP = 760 W

J 103.6s) W)(360010(kWh 1 63

v = 1,0 m/s

m ~ 76 kg

Exemplo 12: 100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA

Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 104 J

Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 106J

P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995)

Potência do corredor de 100 m rasos:

Potência do corredor de maratona: Ws

JPmar 816

60602

109,5 6

Ws

JP 2100

10

101,2 4

100

37