if

FisB

io20

10Energia Mecânica

gmF =

y

ao fim do deslocamento a velocidadedo corpo aumentou... algo mudou

inícioy=0, v(0)=0;

ao final y=+d, v(t)=?

2

21 mvK =

( ) Fdmgddgmmv ===22 2

21

21

dggdgv

gdt 22 ,2 ===

2

21)(

)(

atty

attv

=

=

Definindo a Energia Cinética como

sempre,qualquer distância(vertical) de queda

Queda livre: um corpo cai uma altura y sujeito a uma força constante;

Lembramos (pensando “ao contrário) que

se

ao final do movimento

WFd =

Essa quantidade deve ser importante, e tem as mesmas unidades que a Energia Cinética:

ganha um batismo Trabalho da Força

35

if

FisB

io20

10Introduzimos a quantidade W Trabalho da Força (do inglês “work”)que para uma força constante no tempo, e no espaço, é definida comoo produto escalar da força pelo deslocamento:

αcosdFdFW

=⋅=

F

d ′

αcos d ′gmF

=d

F d

Se não existirem outras forças agindo, a velocidade ao final do deslocamento deve depender só de

livre plano inclinado sem atrito

K aumenta K diminui não se altera

Sendo definido pelo produto escalar dos dois vetores, pode serpositivo negativo nulo

dF

,

Caso mais geral, o corpo já tinha velocidade inicial, podemos resumir:o trabalho da força F é igual à variação da energia cinética

20

2

21

21 mvmvW f −=

F

d

α

mas o mais interessante éque a única contribuição da força é a

colinear com o deslocamento!

WdFdFW

FddFW

=′=′⋅=′

=⋅=

αcos

36

if

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10

F

“altura” h

U=mgh

Mapa do Espaço (isolinhas)

(K obtido por queda a partir de h)

[ ][ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]2

2

2 TLML

TLMdF == Unidades: N×m=J (joule)

Trabalho e Energia Cinética são manifestações diferentes da mesma quantidade, uma se transforma na outra

(a partir da K de um corpo, pode-se realizar W).

Quanto mais alto o corpo inicialmente, maior capacidade de (“potencial” para) ganhar energia cinética

y

U(y)=mgy

Conceito de Energia Potencial

UmvUKE +=+= 2

21

unir os conceitos: Energia Mecânica

Um só corpo, U depende das forças que agem sobre ele

37

if

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10

Transformação integral de uma forma na outra (forças conservativas) :variação da Energia Potencialé igual em módulo àvariação da Energia Cinética

Se o sistema é somente mecânico

UKEET +==

A Energia Mecânica se conserva, nem sempre, só em casosde forças conservativas

e existem propriedades importantes das forças:•forças conservativas não dependem do tempo,

nem das velocidades

todas as forças fundamentais são conservativas!

0=∆E

Notar que a energia potencial cresce no sentido oposto ao sentido da força:o trabalho contra o campo armazena energiaque pode ser depois transformada em cinética

Além disso, o zero da energia é arbitrário, K depende do referencialU é escolhido por conveniência

ET

y

U(y)=mgy

E

EP=U(y)

EC=K(y)

ymax

zero no chão barreiras para o movimento:

Movimento Limitado Periódico

E o caso do sistema mola-massa? Força variável....

O máximo de energia cinéticadá os limites do movimento

mas:dado o valor da energia total(energia disponível para o sistema)

38

UWKWKU∆−=∆==∆+∆

0

if

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10Trabalho da Força F Energia Potencial U

F(x)

x∆x

Caso da força elástica muuuito simples: (comprimento natural x=0)

kxxF −=)(

x

F(x)

F1

F2

F3

∆x

321 WWWWTotal ++≈

Trabalhar em uma dimensão (coordenadas):podemos calcular aproximadamenteo trabalho:dividimos o trajeto total em trechos

menores, e tomamos a força média nesse trecho:

“área” só visualmente

xFWx∆⋅=∆

∆

no limite em que o número de trechosvai a infinito (∆x→0)

∫

∑∑

⋅=

∆⋅=⋅==

→∆=

∞→

fX

XTotal

n

iix

n

iinTotal

dxxFW

xxFndxFW

0

101

)(

)()(

limlim

O trabalho é a integral da força ao longo do trajeto

F(x)

x∆x

xFWWWWWn

i

n

inTotal ∆×==+++≈ ∑∑11

21

39

if

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10

x

F(x)

Xf-Xf

Trabalho de x=0 a x=Xf=

Trabalho de x=0 a x= -Xf

( ) 20 2

12

00f

fff kX

XFXFW −=

−×−=→

)()()(

20 2

1ff kXW −=→

para qualquer x,

20 2

1 kxW x −=→

movimento periódico, limites do movimento ±Xf, determinadospela energia total do sistema:

kEXAEkX ff

221 2 ==→=

Finalmente: ) ) φφω +=+= tmk

kEtAtx cos(cos()( 2

energia cinética K

Xf-Xf

energia potencial U

2

0

21)(

)(

kxxU

WxU x

=

−= →

A energia potencial é

40Trabalho da Força F Energia Potencial U

if

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10Resumindo (para o modelo oscilador harmônico):

definida a força restauradora e linear

lei de Newton→ equação do movimento

solução senoidal → movimento periódico

trabalho da força → energia potencial

conservação de energia → amplitude do movimento

mktAx =+= ; ) cos( ωφω

kxxF −=)(

022

2

=+ xxdtd ω

2

21 kxU =

) φ+= tmk

kEtx cos()( 2

A relação geral, para o caso de movimento unidimensional, é

No caso de campos centrais, que só dependem da distância ao centro de forças

também teremos uma relação fácil de obter

41

if

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10

Ao aplicar uma força externa, não haverá movimento enquanto essa força não for capaz de romper algumas dessas barreiras microscópicas, e essa reação ao movimento é batizada de força de atrito estática. O corpo só começa a deslocar se em módulo

Veremos mais tarde que -embora todas as forças fundamentais sejamconservativas- muitas vezes a energia (mecânica ou eletromagnética) setransfere entre partes de um sistema complexo, de forma também complexa, eimpossível de ser tratada por completo de maneira simples.

Até aqui consideramos dois tipos de forças, mecânicas e elétricas; além disso,nos restringimos também a dois “tipos” de energia, mecânica e elétrica, econsideramos a energia total como sendo composta de cinética e potencial:

Forças Não Conservativas

UKEET +==

Nesses casos, o tratamento comum é admitir uma dissipação de energia (casoa energia mecânica mensurável tenha diminuido) ou uma geração “interna” deenergia (caso tenha aumentado).Exemplos cotidianos de energia interna são todos os animais quando comem ebebem, e portanto ganham energia cinética (movem-se) sem força externa.Exemplos de dissipação de energia são também comuns, e alguns deles têmtratamento matemático padrão, como o “atrito”. Sem o atrito, nãoconseguiríamos caminhar, nem realizar a quase totalidade de nossas atividadesnormais.

42

Atrito Estático e Dinâmico

Iniciamos pelo atrito entre duas superfícies,como nesta figura; as forças de ação (peso)e reação (normal) provovam o contato entre as superfícies, que ao microscópio

mostrarão rugosidades que impediriam o movimento relativo entre os doiscorpos;

if

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10

Uma vez iniciado o movimento,é um fato que se a força se mantivera mesma, o movimento é acelerado!

De modo geral, o atrito cinético (em movimento) exerce uma força de reaçãomenor que aquela do atrito estático. Para manter velocidade constante,devemos equilibrar essa nova força.

Outros fatos experimentais são que o módulo da força é :•independente da área de superfície em contato (aproximadamente)• proporcional ao módulo da força normal.

Atrito Estático e DinâmicoForças Não Conservativas 43

Entretanto, o valor da força depende não do material em si, mas das duassuperfícies específicas, naquele momento, naquelas condições, etc..

Não é uma força fundamental, e seu valor só pode ser determinado pormedidas diretas.O modo usual de nos referirmos a esse tipo de força, como no caso caso damola, é através de um coeficiente empírico, neste caso conhecido como ocoeficiente de atrito:

e em geral o coeficiente cinético é menor que o estático.

Atrito Viscoso

Outro tipo muito curioso (e cotidiano) de atrito é aquele que temosexperiência nadando, saltando de pára-quedas, andando contra o vento: éconhecido como atrito viscoso, e está relacionado ao movimento de umcorpo volumétrico em um meio líquido ou gasoso.

Da mesma forma, devemos “medir” um coeficiente, e o efeito é semprecontrário ao movimento, e pode ser aproximado por uma dependência com avelocidade do “corpo externo” ao fluido:

Um efeito muito importante desse tipo de “atrito”é a resistência elétrica de ummaterial ao movimento dos elétrons no seu interior: é essa a responsávelpela relação corrente / voltagem que nos dá uma corrente constante nos fios

metálicos de um circuito elétrico!

if

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10A1

É um produto de dois vetores, que resulta em outro vetor,

sendo o módulo afetado pelo seno do ângulo entre os vetores-parcela;A direção é aquela perpendicular ao plano dos vetores-parcela, e o sentido é definido pela Regra da Mão Direita em que a mão acompanha a ordem

do produto (do primeiro para o segundovetor envolvido).

supor

O vetor produto estarána direção do eixo z, dirigido para z-positivoou negativo, dependendoda ordem de multiplicação.

O módulo do produto vetorial é igualà “área” do paralelogramo definido pelos doisvetores:

O Produto Vetorial

O triedro fundamental (eixos cartezianos ortogonais x,y,z) pode ser definidocomo destro, ecíclico:

ao mesmo tempo os versores são ortogonais (não têm projeção um no outro)

if

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10A2O Momento Angular

Outra grandeza útil é o produto vetorial do raio vetor de uma partícula pelo seumomento linear

chamado de momento angular.Definido um sistema de referências, e por simplicidade colocando os vetoresno plano (x,y):

O vetor momento angular terá a direção de z com o sentido dado pela regra da mão direita.

Notem que o vetor momento angular é afetado pela arbitrariedade da escolha da origem do sistema de coordenadas, além do valor da velocidade da partícula, que também é relativa ao referencial adotado.

Entretanto, em um sistema mecânico isolado, o momento angular é conservado!

ou seja, se tem um valor (módulo, direção e sentido) em um certo t,

esse valor é constante no tempo, como vemos a seguir.

if

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10A3Se não existem forças atuando sobre a partícula, o momento linear é

constante no tempo,

e nesse caso odeslocamento do corpose dá ao longo deuma reta;

O plano do raio vetore momento linear é sempreo mesmo: o versor do momento angular é constante;

O módulo

Da mesma forma, para N partículas, define-se o momento angular total, que é conservado um sistema isolado:

A utilidade do produto vetorial em Física está na facilidade para a descriçãode movimentos associados a rotações, seja de corpos extensos seja de sistemas de partículas, através do momento angular.

também é constante, pois é definido peladistância entre a origem e a linha da trajetória

A descrição do movimento dos planetas no Sistema Solar, asLeis de Keppler,

podem ser escritas em termos de conservação do momento angular.Também o giro de uma bailarina, ou de um pião, ou a estabilidade

de um ciclista....

if

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10A4

Observemos o movimento circular uniforme:a velocidade tem módulo constante, masmuda continuamente de direção; o vetorposição também muda continuamente mas se escolhermos a origem das coordenadasno centro de rotação, o módulo é constante,e o momento angular é constante,

(para os eixos da figura).Além disso, são constantes

Podemos definir um vetor que tem

•módulo•direção do eixo de rotação•sentido dado pela regra da mão direita,

acompanhando o sentido da rotação

Verifiquem que podemos escrever a relação vetorial

Podemos agora escrever o momento angular como

ou

sendo I o momento de inércia do sistema:

(para um sistema de N partículas)

Vemos que I é análogo à massa para a translação, mas depende da distribuição de massa do sistema

em relação ao eixo de rotação.

Rotações e Momento Angular

•o eixo de rotação•o sentido da rotação •a velocidade angular

if

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10

Centro de Massa

A

B

C

D

Nos casos A e C, o corpo se deslocará sem girar, nos casos B e D o movimento será de translação e rotação.

Podemos decidir isso calculando o Torque daForça

A5

Quando uma força é aplicada a um corpo extenso e rígido, sabemosque o resultado pode ser que o corpo não se desloque como um todo, por uma translação uniforme de todas as suas partes, mas sim que ele gire:

Isso vai depender do ponto de aplicação da força em relação ao centro demassa do corpo: depende do Torque aplicado.

Se não existem forças externas agindo sobre um sistema, tanto o momento linear quanto o momento angular são conservados.

Na presença de forças, se não há torque, o momento angular é conservado.

Verifiquem que este é o caso para o movimento circular uniforme!

Torques e Forças

que é definido como ( é chamado “braço” da força)

e dá a direção e o sentido da rotação resultante; o módulo dá o impulso rotacional transmitido; de novo, em analogia ao caso da translação:

if

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10

Nesse caso, na realidade é o torque da força peso do corpo quem causa o movimento oscilatório, temos um torque restaurador:

no limite de pequenos ângulos, e chegamos à equação de movimento

A6

O braço da força é medido a partir do centro de massa, se o corpo está livre, ou do ponto de suspensão ou de fixação, no caso de um corpo preso.

a variação do momento angular é dada pelo torque,

que é sempre contrário a aumentar o ângulo com avertical.

Cuja solução é um movimento harmônico em que o ângulo com a vertical oscila na forma de uma função senoidal:

nesse caso a troca de energia ocorre entre a energia potencial gravitacional adquirida pela massa, máxima para ângulos máximo e mínimo,e a energia cinética, máxima no ponto mais baixo:

Pêndulo simples

if

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10Junta articulada:

Outro problema em que é importante entender a resultante de torques em torno de um eixo acontece com juntas articuladas, como em todos os músculos fletores:

os ossos são presos por fibras musculares que podem alterar seu comprimento, “puxando” um osso para o outroem torno da articulação.

Suponham que o músculo deve sustentar um peso suspenso a uma distância B da articulação:

o torque da força muscular deve compensar o torque da força peso

com o versor saindo da figura;

Se a e b são as distâncias dospontos de fixação da fibraao eixo da articulação (constantes);m é o comprimento dafibra (variável);

são os ângulos opostosa a, b e m,o comprimento mdepende do ângulo

A desproporção entre b e B faz com que ;

aumentar reduz esse efeito

A7