Trabalho e EP Calculando EP Energia Mecanica Trab. Forcas Externa e Cons. Energia

ENERGIA POTENCIAL ECONSERVACAO DE ENERGIA

Fısica Geral I (1108030) - Capıtulo 04

I. Paulino*

*UAF/CCT/UFCG - Brasil

2012.2

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Sumario

Trabalho e EP

Energia potencial

Forcas conservativas

Calculando EP

Energia Potencial Gravitacional

Energia Potencial Elastica

Energia Mecanica

Conservacao de Energia Mecanica

Curva de energia potencial

Trab. Forcas Externa e Cons. Energia

Trabalho devido a forcas externas

Conservacao de Energia

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Trabalho e Energia Potencial

A energia potencial U e o tipo de energia que pode ser associada aconfiguracao (arranjo) de um sistema que exercem forcas entre si.Se a configuracao do sistema se alterar, a energia potencialtambem sera alterada.

Um tipo especial de energia potencial e aenergia potencial gravitacional que deve-seao estado de separacao entre objetos.

Outro tipo de energia potencial que serabastante discutido neste curso e a energiapotencial elastica que esta associada aoestado de compressao e estiramento de umobjeto elastico tipo uma mola.

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Trabalho e Energia Potencial

No movimento do tomate ao lado, durante a subida, sabe-seque o trabalho realizado pela forca gravitacional e negativo, ouseja, a forca gravitacional retira energia da energia cinetica dotomate. Isto acontece ate que toda a energia seja transferidacompletamente. Quando o tomate chega ao topo da suatrajetoria, este possui apenas energia potencial gravitacional. Oprocesso contrario acontece quando o tomate realiza omovimento de descida.Durante a descida, sabe-se que o trabalho realizado pela forcagravitacional e positivo. A energia potencial, que o tomateadquirira quando chegou ao topo da trajetoria, ecompletamente transferido para a forma de energia cinetica.Desta maneira, tanto na subida, quanto na descida, a variacaoda energia potencial pode ser escrita por:

∆U = −W . (1)Embora, o exemplo tomado se diz respeito a energia potencialgravitacional, a Equacao 1 pode ser aplicada tambem para umsistema de uma massa presa a uma mola.

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Forcas conservativas e nao-conservativasSempre que um campo vetorial qualquer ~G puder ser escrito como ± gradientede uma campo escalar φ, diz-se que este campo vetorial e um campoconservativo. Matematicamente, tem-se:

~G = ±∇φ ,neste caso, ∇ e o operador gradiente e pode ser escrito, em coordenadascartesianas, por:

∇ = x∂

∂xy∂

∂y+ z

∂

∂z.

O campo escalar φ e dito campo potencial de ~G .

Em analogia a essa definicao matematica, pode-se escrever a seguinteexpressao:

~F = −∇U ,

neste caso, ~F e a forca que atua sobre o sistema. Sempre que isto for possıvel,diz que U e a energia potencial associada a forca ~F e a forca ~F e ditaconservativa.

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Forcas conservativas e nao-conservativasAdmitindo que a forca variavel ~F mude apenas em uma unicadirecao, o modulo do campo vetorial ~F pode ser calculado por:

F (x) = −dU

dx

Quando apenas forcas conservativas atuam sobre um sistema, asolucao do problema pode ser significantemente simplificada,utilizando-se os conceitos de energia

Seja W1 o trabalho realizada sobre o sistema e W2 o trabalhorealizado pelo sistema. Numa situacao em que W1 = −W2, a forcaresultante que esta realizando trabalho e conservativa. Exemplosde forcas conservativas: forca gravitacional, forca elastica (lei deHooke), forca eletrostatica, etc. Um tıpico exemplo de uma forcanao conservativa e a forca de atrito.

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Independencia do percurso para forcas conservativas

O principal teste para saber se uma forca econservativa e o seguinte:

O Trabalho resultante realizado por uma forcaconservativa sobre um sistema que se move aolongo de qualquer percurso fechado e igual azero.

O exemplo dado anteriormente sobre a subida edescida do tomate e justamente sobre umpercurso fechado, no qual a tomate sai de umponto inicial e retorna aquele mesmo ponto.

Um resultado importante do teste do caminhofechado e que: O trabalho realizado por umaforca conservativa sobre um sistema emmovimento entre dois pontos independe dopercurso seguido.

Em termos matematicos, pode-se se escrever:

Wab,1 = Wab,2 (2)

Para demostrar a Equacao 2, faz-se o seguinte: Sabe-se que otrabalho realizado por uma forca conservativa ao longo de umpercurso fechado e nulo, logo

Wab,1 + Wba,2 = 0 ,

portanto,

Wab,1 = −Wba,2 ,

ou seja, o trabalho realizado ao longo da trajetoria de ida deveser igual ao trabalho realizado pela trajetoria de volta.

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Energia Potencial Gravitacional

Sabendo que a variacao da energiapotencial pode ser escrita por:

∆U = −WPor outro lado, o trabalho de uma forcavariavel qualquer que atua em apenas umadirecao pode ser encontrado da seguinteforma:

W =

∫ xf

xi

F (x)dx .

Desta maneira, a variacao da energiapotencial pode ser calculada por:

∆U = −∫ xf

xi

F (x)dx . (3)

Para o caso da energia potencial gravitacionaltem-se que F (y) = −mg , em que g e o modulodo campo gravitacional que esta atuando sobreo sistema. Substituindo na Equacao 3, tem-seque:

∆U = −∫ yfyi

mgdy = mg∫ yiyf

dy

∆U = mg(yf − yi ) = mg∆y .

(4)

Tomando um ponto de referencia como sendoyi = 0 correspondente a um valor de energiapotencial inicial Ui = 0, pode-se se escrever aenrgia potencial para um yf = y como

U(y) = mgy . (5)

Isto quer dizer que a energia potencialgravitacional depende apenas da posicaovertical y do sistema em relacao a um nıvel dereferencia arbitrario.

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Energia Potencial ElasticaDa mesma maneira, pode-se utilizar a lei de HooKe, ou seja,

F (x) = −kx ,

para calcular a energia potencial elastica, i.e.,:

∆U = −∫ xfxi

−kxdx = k∫ yiyf

xdx

∆U = 12kx

2f − 1

2kx2i .

(6)

Escolhendo o valor de Ui = 0 em x = 0 e fazendo xf = x tem-seque

U(x) =1

2kx2 . (7)

O que quer dizer que a energia potencial elastica e proporcional aoquadrado da distancia de deslocamento do sistema preso a mola.

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Conservacao de Energia Mecanica

A energia mecanica de um sistema pode serconsiderada como a soma da energia cinetica ea energia potencial. Ou seja,

Em = U + K . (8)

Quando apenas forcas conservativas atuamsobre o sistema e nao ha transferencia deenergia mecanica para uma outra forma deenergia. Ou seja, quando nehuma forca atuasobre o sistema. Sabe-se que neste caso avariacao da energia cinetica pode ser calculadapor:

∆K = W (9)

e ainda, a variacao da energia potencial podeser estimada por:

∆U = −W . (10)

Comparando as Equacoes 10 e 9, pode-seescrever que:

∆U = −∆KUf − Ui = Kf − Ki

Kf + Uf = Ki + Ui

Emf = Emi

∆Em = 0 .

(11)

Isto implica que, num sistema isolado (sema acao de uma forca externa), a energiamecanica se conserva. Portanto, pode-serelacionar a soma da energia cinetica e aenergia potencial em instantes distintos semse preocupar com o movimentointermediario que o sistema foi submetido.

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Leitura da curva de Energia Potencial

Olhando para curva de energia potencial pode-se facilmenteescrever a curva da forca variavel que esta atuando sobre osistema considerando a seguinte equacao:

F (x) = −dU

dx.

No painel (c) desta figura, o ponto x1 e conhecido como pontode retorno. Os pontos x2 e x4 sao conecidos como pontos deequilıbrio estavel. O ponto x3 e o ponto de equilıbrio instavel etodos os pontos a direita de x5 sao pontos de equilıbrio neutro.

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Equilıbrio neutro, estavel e instavel

Na pratica, os pontos de equilıbrio podem ser melhor visualizadosna esquema da figura abaixo.

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Trabalho realizado por uma forca externa

Trabalho e a energia transferida para um sistema ou retirada dele por meio deuma forca externa que age sobre este sistema

Quando a energia e tranferida para o sistema, o trabalho epositivo.

Quando a energia e retirada do sistema, o trabalho e negativo.

Como tatica para solucao de problemas, e sempre necessario escolheradequadamente o sistema que pretende-se estudar. Para o caso de um sistemalivre de forcas dissipativas, pode-se calcular o trabalho devido a uma forcaexterna por:

W = ∆K + ∆U

W = ∆Em ,(12)

isto e, o trabalho devido a forca externa sem a presenca de atrito pode sercalculado a partir da variacao da energia mecanica do sistema.

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Trabalho realizado por uma forca externa

Considere uma forca ~F constante que puxa um bloco ao longo de um eixox deslocando por uma distancia d e fazendo a velocidade aumentar de ~v0para ~v . Durante este deslocamento, o piso exerce uma forca de atritocinetico constante fk sobre o bloco. Aplicando a segunda lei de Newton,pode-se escrever que:

F − fk = ma ,

em que m e a massa do bloco e a e o modulo da aceleracao que atuasobre o bloco. Utilizando a equacao de Toricelli, pode-se reescrever aequacao acima por:

Fd =1

2mv2 −

1

2mv2

0 + fkd ,

Para uma situacao mais geral (por exemplo, obloco subindo numa rampa)pode-se tambem considerar a energia potencial, ou seja:

Fd = ∆K + ∆U + fkdFd = ∆Em + fkd .

(13)

Porem, o termo fkd que e o trabalho realizado pala forca de atrito serve,por exemplo, para aquecer a superfıcie enquando to bloco desliza, logoeste termo pode ser considerado como sendo uma energia termica (ETe ),portanto,

W = ∆Em + ∆ETe , (14)

que e o trabalho de uma forca externa na presenca do atrito.

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Conservacao de EnergiaA energia total E de uma sitema deve obedecerao princıpio de conservacao de energia que dizque:

A energia total de um sistema pode variarapenas atraves de quantidades de energia quesao transferidas para o sistema ou retiradasdele.

O trabalho foi a unica forma de transferencia deenergia estudada, sendo assim,

W = ∆E = ∆Em + ∆ETe + ∆Eint ,

aqui ∆Eint e a variacao de energia interna dosistema. Esta e uma lei fısica formulada a partirde inumeras experimentacoes e nunca foiencontrado excecoes a essa lei.Se o sistema estiver isolado de sua vizinhaca, alei de conservacao de energia estabelece que:

A energia total E de um sistema isolado naopode variar.

Desta maneira pode-se escrever que:

∆Em + ∆ETe + ∆Eint = 0 .

De onde pode-se concluir que:

Em,f = Em,i − ∆ETe − ∆Eint . (15)

Ou seja, em um sistema isolado pode-se relacionar a energiatotal em um instante qualquer com a energia em outro instantesem considerar valores da energia em instantes intermediarios.

A potencia media devida a forca que atuadurante um intervalo ∆t, de uma forma maisgeral pode ser escrita por:

Pmed =∆E

∆t, (16)

analogamente, a potencia instantanea fica:

P =dE

dt. (17)

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